RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
1. ENUMERAÇÃO POR RECURSO
1.1 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM
2. FATORIAL
3. ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES
4. ANÁLISE COMBINATÓRIA COMPLETA
1.1) PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM
Sejam E1, E2 ... Em , eventos que possam ocorrer de m, p ... k
maneiras diferentes.
1.1.1) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
(ocorrência conjunta)
A ocorrência de E1 e E2 e ... Em , pode acontecer de m x n x ... x k
maneiras diferentes.
1.1.2) PRINCÍPIO DA UNIÃO
Se E1 pode ocorrer de “m” maneiras e E2 pode ocorrer de “n”
maneiras então a ocorrências de E1 ou E2 (disjunção), ocorrerá de
m U n maneiras.
Obs: Se E1 e E2 forem eventos disjuntos:
mUp=m+p
Por tratar-se de assunto de caráter eminentemente prático será
amplamente detalhado em sala.
TREINAMENTO BÁSICO
Uma pessoa deseja pintar a frente de uma garagem que possui
apenas uma porta. Sabendo-se que dispõe de cinco cores
diferentes, de quantas maneiras poderá pintar a garagem em cada
caso a seguir:
1) Porta e parede
2) A porta não pode ter a mesma cor de parede.
3) Porta ou parede
4) Ou porta ou parede
Numa praça está situada uma igreja que possui 6 portas, estando as
portas abertas e um cachorro do lado de fora. De quantas maneiras
o cachorro pode:
5) Entrar e sair da igreja
6) Entrar por uma porta e sair por outra
7) Entrar ou sair da igreja
8) Ou entrar ou sair da igreja
1
RUBÃO
ANOTAÇÕES E CALCULOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado
na figura com os países P , Q , R e S, de modo que, países cuja
fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor.
12) De quantas maneiras diferentes podemos pintar o mapa em
cada caso a seguir:
a) Os países P e S forem com cores diferentes?
b) Os países P e S forem coloridos com a mesma cor?
P
R
Q
S
13) (Cesgranrio)
Mariana foi passar um fim de semana na casa de uma amiga e levou
na bagagem cinco camisetas (branca, azul e preta) e três bermudas
(marrom, azul e preta). De quantos modos Mariana poderá escolher
uma camiseta e uma bermuda para se vestir se ela deseja que as
peças escolhidas sejam sempre de cores diferentes?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
01) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas
brancas numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se sucessivamente
e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a
primeira é verde e a segunda contem um número par?
A) 15
B) 20
C) 23
D) 25
E) 27
02) No Nordeste Brasileiro é comum encontramos peças de
artesanatos constituídas por garrafas preenchidas com areia de
diferentes cores formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças
com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o
mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa,
palmeira e fundo) conforme a figura.
O fundo pode ser nas cores azul ou cinza; a casa nas cores azul,
verde ou amarela; e a palmeira cinza ou verde. Se o fundo não pode
ter as cores em da casa e nem da palmeira, então o número de
variações que podem ser obtidas é:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
2
RUBÃO
ANOTAÇÕES E CALCULOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
FORMAÇÃO DE NÚMEROS
Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6, determinar:
1) Quantas centenas podem ser formadas?
2) Quantos milhares com algarismos distintos podem ser formados?
3) Quantas centenas ímpares?
4) Quantas centenas pares com algarismos distintos podem formar?
5) Quantos milhares com algarismos distintos são menores que
300?
6) Quantas centenas são maiores que 300?
7) Quantos milhares apresentam o 3 como algarismo das dezenas?
TENTE AGORA !!!
01) Escrevendo-se todos os números de 1 a 300, quantas vezes
escrevemos o algarismo 1?
02) Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Quantos milhares com
algarismos distintos e que não são múltiplos de 5 podem ser
formados?
TAREFA MÍNIMA (QUESTÕES CESGRANRIO)
01) A vitrinista de uma loja de roupas femininas dispõe de 9 vestidos
de modelos diferentes e deverá escolher 3 para serem exibidos na
vitrine.
Quantas são as escolhas possíveis?
A) 84
B) 96
C) 168
D) 243
E) 504
02) Certa empresa identifica as diferentes peças que produz,
utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo,
sempre, o seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código
são iguais entre si, mas diferentes dos demais. Por exemplo, código
“03344” é válido, já o código “34544”, não.
Quantos códigos diferentes podem ser criados?
A) 3.312
B) 4.608
C) 5.040
D) 7.000
E) 7.290
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RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
03) Em uma pequena sala de projeção, há cinco cadeiras dispostas
em linha, lado a lado, e numeradas de 1 a 5. Quatro pessoas vão
ocupar quatro dessas cadeiras. As possíveis ocupações das
cadeiras distinguem-se não só pela cadeira vazia, mas, também,
pela disposição das pessoas nas cadeiras ocupadas.
De quantos modos as cadeiras podem ser ocupadas pelas quatro
pessoas?
A) 5
B) 20
C) 24
D) 120
E) 1.204
04) Se todos os números naturais formados por três algarismos
distintos fossem dispostos em ordem crescente, o número 742
ocuparia que posição?
A) 433ª
B) 448ª
C) 462ª
D) 467ª
E) 493ª
EXTRA
Uma lanchonete dispõe de 6 tipos de frutas diferentes, quantos
sabores diferentes de sucos, ela pode oferecer, com 3 frutas
diferentes em cada suco?
A) 120
B) 60
C) 40
D) 20
E) 10
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RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
FATORIAL

Dado um número natural qualquer n ≥ 2
n! = n (n -1) (n – 2) ... 1

Casos particulares
1! = 1
0! = 1
TREINAMENTO
01) (PUC/SP) Se (n – 6)! = 720, então:
A) n = 12
B) n = 11
C) n = 10
D) n = 13
E) n = 14
02) (CESGRANRIO) A expressão:
(n+2)!+(n+1)(n-1)! , é igual a:
(n+1)(n-1)!
A) n2 +2n
B) n2 +2n + 1
C) (n+2)! + 1
D) (n+2) n! + 1
E) n3 +2n3 + 2n
03) (CESGRANRIO) Se an = n!(n2–1) , então a1984 igual a:
(n+1)!
A) 1/1985
B) 1984
C) 1983
D) 1985/19842 - 1
E) 19842 -1
TENTE EM CASA HOJE!!!!
01) (n+1)! – n! é igual a:
A) n!
B) 1
C) (n-1)!
D) n! . n
E) n! + n
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RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
02) Qual o valor de:
10! + 9! + -8!
A) 11!
B) 8.98!
C) 99.9!
D) 98.8!
03) Qual o valor de:
A) 1/12!
B) 1/60!
C) 2! + 2/5!
D) 26/5!
04) Qual conjunto solução da equação:
(n+2)! + (n+1)! = 24n!
A) Ø
B) N
C) {-7; 3}
D) {3}
E) {3;5}
05) Qual solução da equação
(n+2)! – (n+1)!
= 5 (n +1)
n!
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
GABARITO
01) D 02) D 03) D 04) D 05) C
6
RUBÃO
ANOTAÇÕES E CALCULOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES
GRUPO COMBINATÓRIO SIMPLES
_____________________________________________________
_____________________________________________________
 ARRANJO
____________________________________________________
 COMBINAÇÃO
_____________________________________________________
ARRANJO SIMPLES
São agrupamentos onde a ordem com que os elementos
participam é considerada e não existe repetição de elementos.
CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS
Demonstraremos em sala que:
Ou
TREINAMENTO
01) Entre os 18 membros de um clube, devem ser escolhidos 3 para
preencher os cargos de: Presidente, Vice-Presidente e Secretário.
De quantos modos distintos podem ser feita a escolha?
02) uma pessoa deseja pintar as paredes de sua casa de uma cor e
as portas, de outra. Dispondo de 7 cores diferentes o número de
escolhas possíveis é:
A) 49 B) 42 C) 14 D) 7 E) 6
03) (Cesgranrio) Juliana nasceu no dia 25 de maio de 1980. Ela
deseja fazer uma senha de seis dígitos para acesso a um site
usando apenas vogais e algarismos que aparecem em seu nome e
em sua data de nascimento. Juliana decidiu que sua senha terá
todos os dígitos distintos e que a quantidade de letras e de
algarismo será a mesma. De quantos modos distintos Juliana
poderá escrever sua senha, se as letras devem, obrigatoriamente,
ficar juntas (seguidas)?
A) 2.880 B)8.064 C) 11.220 D)16.128 E) 32.256
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RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
PERMUTAÇÃO
Permutação é o grupo (arranjo) em que todos os elementos do
universo participam ao mesmo tempo, (m = p). Isto é:
Pm = Am ,m
Pm = m!
TREINAMENTO
Quantos aos anagramas que podemos formar com as letras da
palavra CAPITULO, determinar:
A) O total.
B) Quantos começam por C.
C) Quantos terminam por O.
D) Quantos começam por C e terminam com O.
E) Quantos começam, com a sílaba CA.
F) Quantos começam com a sílaba CA.
G) Quantos apresentam a sílaba CA.
H) Quantos apresentam a palavra PITU.
I) Quantos terminam com as letras C, A, P, I juntas.
EXTRA
Tenho 3 coleções de livros,
a de Cálculo tem 4 volumes ( I. II, III, IV)
a de Português 3 volumes ( I, II e III)
a de direito 2 volumes ( I e II)
De quantos modos posso arruma-los numa prateleira, em cada caso
a seguir:
1) Simplesmente dispô-los lado a lado.
2) Os livros de uma mesma matéria fiquem juntos.
3) Os livros de uma mesma matéria fiquem juntos e por ordem
crescente de volumes.
TREINE MAIS UM POUCO (CESGRANRIO)
01) X homens e X mulheres podem se sentar em 2X cadeiras de 72
maneiras distintas. Sabendo-se que homens e mulheres não se
sentam em cadeiras vizinhas, o valor de X é:
A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6
02) Para montar a senha de segurança de sua conta bancária que
deve ser formada por seis dígitos, João escolheu 1, 2, 5, 5, 7 e 8. Os
dígitos escolhidos não serão dispostos na ordem apresentada, pois
para João, é importante que a senha seja um número maior do que
500.000.
Com os dígitos escolhidos por João, quantas senhas maiores do que
500.000 podem ser formadas?
A) 720 B) 600 C) 360 D) 240 E) 120
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
03) Qual é o número de anagrama da palavra TRANSPETRO em
que as letras PETRO ficam juntas e nessa ordem?
A) 6!
2!.2!
B) 6! C) 6!.5!
D) 10! E)10!
2!.2!
PERMUTAÇÃO CIRCULARES
São permutações que estudam grupos fechados, grupos em anel,
grupos em círculos e etc.
Veremos em sala que:
Pcm = (m – 1)!
Ex. De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem se arrumar wm
seis cadeiras em torno de uma mesa circular?
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Veremos em aula que o número de permutações que podem formar
com M objetos em que existem α, β, γ, elementos iguais é:
01) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da
palavra ARARA?
02) Numa sequência de seis partidas perdi três e ganhe três.
Quantas sequências de resultados podem ter ocorrido?
03) Uma prova è constituída por 20 questões tipo A, B, C, D e E. De
quantas maneiras diferentes um estudante pode preencher um
gabarito marcando quatro questões A, quatro questões B e assim
sucessivamente?
COMBINAÇÕES SIMPLES
São agrupamentos onde não importa a ordem de participação dos
elementos. O número total de combinações simples é dado por:
Demonstraremos em sala de aula que:
9
RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANOTAÇÕES E CALCULOS
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
RELAÇÃO
DE
STIFFEL
TREINAMENTO
01) Quantas comissões de 3 pessoas pode ser formada com 8
pessoas?
02) Sobre uma circunferência, marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos.
O número de triângulos que podemos formar com vértices nos
pontos marcados é:
03)(UFBA) Considerando-se 16 pontos coplanares dos quais três
nunca estão alinhados, exceto nove que pertence à mesma reta.
Sabendo-se que o número de triângulos que podem ser formados,
tendo vértices nestes 16 pontos, é x, calcule
:
04) Para a manutenção de seus equipamentos, uma fabrica conta
com sete fornecedores de peças dos tipos P e Q. Por instrução da
direção, o responsável pelas compras nunca deve adquirir mais do
que 01 lote de peças para cada fornecedor. Precisando adquirir 04
lotes de peças do tipo P e 3 lotes de peças do tipo Q, o responsável
pelas compras pode escolher os fornecedores de quantos lotes
diferentes? Compras pode escolher os fornecedores de quantos
modos diferentes?
A) 7 B) 12 C) 35 D) 70 E) 24
05) Certa pizzaria oferece aos clientes cinco tipos de cobertura
(presunto, calabresa, frango, cebola e azeitona) para serem
acrescentados ao queijo. Os clientes podem escolher uma, duas ou
três coberturas. João quer cebola em sua pizza, mas ainda não
decidiu se colocará, ou não, outras coberturas. Considerando-se
essas informações, de quantos modos distintos João poderá montar
“sua pizza”?
A) 10 B) 11 C) 15 D) 16 E) 24
06) Em uma loja, trabalham 8 funcionárias, dentre as quais Diana e
Sandra. O gerente da loja precisa escolher duas funcionárias para
trabalharem no próximo feriado. Sandra e Diana trabalham no último
feriado e, por isso, não podem ser escolhidas. Sendo assim, de
quantos modos distintos esse gerente poderá fazer a escolha?
A) 15 B) 28 C) 32 D) 45 E) 56
07) Um treinador de futebol dispõe de 3 goleiros, 5 atacantes, 6
jogadores de meio de campo e 4 zagueiros para compor um time de
11 jogadores. Se o time será composto por 1 goleiro, 3 atacantes, 5
jogadores de meio de campo e 2 zagueiros, de quantos modos
diferentes esse time poderá ser montado?
A) 25 B) 120 C) 360 D) 745 E) 1080
10
RUBÃO
ANOTAÇÕES E CALCULOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
EXTRA!!!!
ANÁLISE COMBINATÓRIA COMPLETA
Grupamento Completo
É o grupo em que é permitida a repetição de elementos.
Arranjo Completos
Combinações Completas
TREINAMENTO
01) Um vendedor de sucos dispõe de laranja, limão, acerola e
abacaxi. Quantos tipos de sucos poderão ser preparados com três
frutas em cada um?
02) Uma agência dispõe de 3 marcas de veículos, de quantas
maneiras diferentes osso montar uma frota de 6 carros?
TREINAMENTO DE CASA ( IMEDIATO)
01) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em
uma proporção, era possível comprar três barras de chocolate com
desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo,
branco ou com amêndoas, repetidos ou não. Assim, um cliente que
comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de
n modos distintos, sendo n igual a:
A) 4
B) 10
C) 12
D) 16
E) 20
02) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão
participar de um desfile de moda. A promotora do desfile determinou
que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas
formadas por exatamente quatro modelos. Além disso, a última de
cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise.
Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o
número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
A) 420
B) 480
C) 360
D) 240
E) 60
11
RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
03) Uma artesã de bijuteria fabrica um colar de
contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas
contas grandes, cujo modelo é apresentado
abaixo.
06) Para cadastrar-se em um site de compras
coletivas, Guilherme precisará criar uma senha
numérica com, no mínimo, 4 e, no máximo, 6
dígitos. Ele utilizará apenas algarismos de sua
data de nascimento: 26/03/1980.
Quantas senhas diferentes Guilherme poderá
criar se optar por uma senha sem algarismo
repetidos?
Os critérios que ela utiliza para montar cada colar
são os seguintes:
 As contas pequenas são todas de mesma
cor;
 Contas grandes devem ter cores
diferentes;
 Se as contas pequenas forem da cor “X”,
nenhuma conta grande pode ser da cor
“X”.
Sabendo-se que a artesã dispõe de contas
pequenas brancas, pretas, azuis e laranja, de
contas grandes brancas, vermelhas, verdes,
azuis e rosas, de quantos modos distintos ela
pode escolher as cores das contas que irão
compor um colar?
A) 5040
B) 8400
C) 16870
D) 20160
E) 28560
07) O número de cadeias distintas de 13
caracteres que podem ser formadas apenas com
as letras da palavra papiloscopista é inferior a
108 .
08) Um par e uma trinca consistem,
respectivamente, de duas e três cartas do mesmo
número ou letra. Um full hand é uma combinação
de 5 cartas formadas por um par e uma trinca.
A) 28
B) 30
C) 32
D) 40
E) 42
04) Não bem conhecido os códigos de barra que
aparecem, por exemplo, nos produtos à venda
em supermercados. Os códigos habituais são
sequências de barras pretas ou brancas.
Imagine, no entanto, um código incomum em que
cada barra possa ser preta, branca ou cinza.
Nesse caso, se o código é composto por 5
barras, quantas sequências distintas existirão?
A) 2089
B) 729
C) 720
D) 243
E) 125
05) Se todos os anagramas da palavra BRASIL
forem dispostos em ordem alfabética, o primeiro
anagrama cuja a última letra é “B” ocupará que
posição?
A) 5ª
B) 25ª
C) 34ª
D) 49ª
E) 121ª
Considerando essas informações, calcule:
a) De quantas maneiras distintas se pode formar
um full hand com um par de reais e trinca de
dois?
b) De quantas maneiras distintas se pode dormar
um full hand com um par de reais?
c) De quantas maneiras distintas se pode formar
um full hand?
GABARITO:
01) E 02) A 03) C 04) D 05) C 06) B 07) E
08 a-) 24 08 b-) 288 08 c-) 3744
12
RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
TREINAMENTO LIGHT – TREINE MAIS
01) Para eleição do corpo dirigente de uma
empresa candidatam-se oito pessoas. O números
de maneiras que poderão ser escolhidos
presidente e vice-presidente é 56.
02) Uma pesquisa deseja saber a ordem de
preferência dos três maiores ídolos do esporte no
Brasil. O número de respostas diferentes que são
possíveis, se a cada entrevistado é representada
uma lista com o nome de 20 esportistas é 5.040.
06) Uma classe 10 alunos, entre eles Júlia e
Alberto, será submetida a uma prova oral em que
todos os alunos serão avaliados. De quantas
maneiras o professor pode escolher a sequência
dos alunos se Júlia deve ser sempre a primeira a
ser chamada e Alberto sempre o último a ser
chamado?
A) 40.320
B) 36.400
C) 24.200
D) 10.360
07) Um professor dispõe de oito questões de
Álgebra e duas de Lógicas para elaborar uma
prova de 10 questões. De quantas maneiras ele
poderá escolher a ordem delas, sabendo que as
de Lógica não podem aparecer em uma seguida
da outra?
A) 5.6!
B) 6.7!
C) 7.8!
D) 8.9!
03) Uma emissora de tevê dispõe, ao todo, de 10
programas distintos. Quantas são as possíveis
sequências de seis programas distintos a serem
exibidos em um dia?
A) A10,4
B) P6
C) A10,6
D) 10!
04) Uma prova de atletismo reúne 15 atletas.
Quantos são os resultados possíveis para que
sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e
bronze?
A) 2.730
B) 2.370
C) 2.380
D) 2.830
05) Dez enxadristas participam de um
campeonato onde todos jogam contra todos. Se
um deles vence todas as partidas, quantas são
as classificações possíveis para os três primeiros
colocados?
08) Um comício reúnem oito políticos de um
partido, entre eles o presidente e seu vice.
Supondo que todos os políticos presentes irão
discursar, de quantas maneiras pode ser
estabelecida a sequência de discursos se
presidente e vice, nesta ordem, devem discursar
consecutivamente?
A) 5.040
B) 4.480
C) 3.360
D) 2.400
09) Uma empresa distribuí a seus funcionários
um questionário constituído de duas partes,. Na
1ª, o funcionário deve colocar a ordem de
preferência de turno de trabalho: diurno,
vespertino e noturno. Na 2ª, o funcionário deve
escolher, em ordem de preferência, dois dos sete
dias da semana para folgar. De quantas
maneiras um funcionário poderá preencher esse
questionário?
A) 128
B) 240
C) 252
D) 336
A) 24
B) 36
C) 48
D) 72
13
RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
10) Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7,
quantos números de quatro algarismos distintos
podemos formar?
15) Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer
uma salada. Se cada salada é composta de
cinco frutas diferentes, então o número de
saladas diferentes que se pode preparar é:
A) 840
B) 820
C) 640
D) 460
A) 8
B) 10
C) 56
D) 120
GABARITO
11) Um torneio de futebol será disputado em
duas sedes a serem escolhidas entre seis
cidades. De quantas maneiras poderá ser feita a
escolha das duas cidades?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 35
12) Quinze alunos de uma classe participam de
uma prova classificatória para a olimpíada de
Matemática. Se há três vagas para Olimpíada, de
quantas formas poderão ser escolhidos os alunos
participantes?
A) 360
B) 420
C) 455
D) 720
13)Uma junta médica deverá ser formada por
quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas
maneiras ela poderá ser formada se estão
disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?
A) 2.840
B) 3.150
C) 4.250
D) 5.480
14) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas.
De quantas maneiras poderá ser escolhida uma
comissão de três meninos e quatro meninas,
incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a
melhor aluna?
A) 3.150
B) 4.560
C) 4.890
D) 5.480
01) C 02) E 03) C 04) A 05) D 06) A 07) D 08) A
09) C 10) A 11) B 12) C 13) B 14) D 15) C
QUESTÕES DE COMBINATÓRIA (POR
ASSUNTO)
TENTE
RESOLVER ESTAS
QUESTÕES
TANTO
POR
CONTAGEM
COM
POR
COMBINATÓRIA CLÁSSICA. COMPARE OS
TEMPOS GASTOS E VÊJA O QUE É MAIS
CONVINIENTE
PARTE I - ARRANJOS
01) Ágata é decoradora e precisa atender o
pedido de um excêntrico cliente. Ele – o clienteexige que uma das paredes do quarto de sua
filha seja dividida em uma sequência de 5 listras
horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja,
uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui
apenas 8 cores disponíveis, então o número de
diferentes maneiras que a parede pode ser
pintada é igual a:
A) 56
B) 5.760
C) 6.720
D) 3.600
E) 4,320
02) Em um campeonato de tênis participam 30
duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O
número de diferentes maneiras para classificação
dos 3 primeiros lugares é igual a:
A) 24.360
B) 25.240
C) 24.460
D) 4.060
E) 4.650
14
03) Ana possui em seu closet 90 pares de
sapatos, todos devidamente acondicionados em
caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede
emprestada à Ana quatro pares de sapatos.
Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do
closet quatro caixas de sapatos. O número de
retiradas possíveis que Ana pode realizar de
modo que a terceira caixa retirada seja a de
número 20 é igual à:
A) 681.384
B) 382.426
C) 43.262
D) 7.488
E) 2120
04) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui
10 cadeiras dispostas em uma fila, O número de
diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo
podem escolher seus lugares para sentar, de
modo que fique ao menos uma cadeira vazia
entre eles, é igual a:
A) 80
B) 72
C) 90
D) 18
E) 56
07) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem
formar uma fila para comprar as entradas para
um jogo de futebol. O número de diferentes
formas que está na fila de amigos pode ser
formada, de modo que Mário e José fiquem
sempre juntos é igual:
A) 2! 8!
B) 0! 8!
C) 2! 9!
D) 1! 9!
E) 1! 8!
08) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas
amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os
cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de
maneiras pelas quais eles podem distribuir-se
nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem
sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
A) 16
B) 24
C) 32
D) 46
E) 48
09) O número de maneiras diferentes que 3
rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma
mesma fila de modo que somente as moças
fiquem juntas é igual a:
05) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla
e Denise, vão participar de um desfile de modas.
A promotora do desfile determinou que as
modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre
em filas formadas por exatamente quatro das
modelos. Além disso, a última fila só poderá ser
ou Ana, ou Beatriz, ou Carla, ou Denise.
Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da
fila. Assim, o número de diferentes filas que
podem ser formadas é igual a:
A) 6
B) 12
C) 24
D) 36
E) 48
10) O número de anagramas da palavra
FAZENDA que começam com FA e nessa ordem
é igual a:
A) 130
B) 124
C) 120
D) 115
E) 136
A) 420
B) 480
C) 360
D) 240
E) 60
PARTE II - PERMUTAÇÕES
06) Quais casais compram ingressos para oito
lugares contíguos em uma mesma fila no teatro.
O número de diferentes maneiras em que podem
senta-se de modo que a) homens e mulheres
sentem-se em lugares alternados; e que b) todos
os homens sentem-se juntos e que todas as
mulheres sentem-se juntas são, respectivamente:
A) 1.112 e 1.152 B) 1.152 e 1.110
C) 1.152 e 1.152 D) 384 e 1.112
RUBÃO
E) 112 e 384
15
RUBÃO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PARTE III – COMBINAÇÕES
11) Marcela e Mario fazem parte de uma turma
de quinze formados, onde dez são rapazes e
cinco são moças. A turma reúne-se para formar
uma comissão de formatura composta por seis
formandos. O número de diferentes comissões
que podem ser formadas de modo que Marcela
participe e que Mario não participe é igual a:
A) 1.287
B) 252
C) 284
D) 90
E) 84
12) E m um plano sçao marcados 25 pontos, dos
quais 10 e somente 10 desses pontos são
marcados em linha reta. O número de diferentes
triângulos que podem ser formados com vértices
em quaisquer dos 25 pontos é igual a:
13) Na Mega-Sena, são sorteadas seis dezenas
de um conjunto de sessenta possíveis (as
dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma
aposta simples (ou aposta mínima), na MegaSena, consiste em escolher seis dezenas. Pedro
sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas
no próximo concurso da Mega-Sena estarão
entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45.
O número mínimo de apostas simples para o
próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve
fazer para ter certeza matemática de que será um
dos ganhadores, caso o seu sonho esteja correto
é:
A) 8
B) 28
C) 40
D) 60
E) 84
14) Uma empresa possui vinte funcionários, dos
quais dez são homens e dez são mulheres.
Desse modo, o número de comissões de cinco
pessoas que se pode formar com três homens e
duas mulheres é:
15) Em uma circunferência são escolhidos 12
pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer
desses pontos, de modo a formar um
quadrilátero. O número total de diferentes
quadriláteros que podem se formar é:
A) 128
B) 495
C) 545
D) 1,485
E) 11.880
16) Um grupo de estudantes encontram-se
reunidos em uma sala para escolher
aleatoriamente, por sorteio, quem dele irá ao
Simpósio de Matemática no próximo ano. O
grupo é composto de 15 rapazes e de certo
número de moças cumprimentaram-se, todas e
apenas entre si, uma única vez. Há um total de
150 cumprimentos. O número de moças é,
portanto, igual a:
A) 10
B) 14
C) 20
D) 25
E) 45
18) O departamento de vendas de uma empresa
possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6
mulheres. Quantas opções possíveis existem
para se formar uma equipe de vendas de 3
funcionários, havendo na equipe pelo menos um
homem e pelo menos uma mulher?
A) 192
B) 36
C) 96
D) 48
E) 60
GABARITO
01) C 02) A 03) A 04) B 05) A 06) C 07) C 08) E
09) C 10) C 11) A 12) 2.180 13) B 14) D 15) B
16) A 17) D 18) C
A) 1.650
B) 165
C) 5.830
D) 5.400
E) 5.600
16