FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: FUNÇÃO AFIM E O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME: UMA ABORDAGEM
INTERDISCIPLINAR
Autor
VERA ALICE MARIANO
Disciplina/Área
MATEMÁTICA
Escola de Implementação COLÉGIO ESTADUAL RUI BARBOSA EFMP
do Projeto e sua localização Avenida Manuel Ribas, nº 500
Município da escola
JACAREZINHO
Núcleo
Regional
Educação
de JACAREZINHO
Professor Orientador
Instituição
Superior
de
GEORGE FRANCISCO SANTIAGO MARTIN
Ensino UENP: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO
PARANÁ
Relação Interdisciplinar
FÍSICA E EDUCAÇÃO FÍSICA
Resumo
Esta Unidade Didática aborda o conceito de Função
Afim, nas aulas de Matemática no Colégio Estadual Rui
Barbosa (Jacarezinho/PR), em uma turma de 1ª série do
Ensino Médio, por meio de experiências relacionadas ao
Movimento Retilíneo Uniforme, buscando através da
interdisciplinaridade mostrar aos alunos que a
Matemática é dinâmica e fundamental para o
desenvolvimento da sociedade. A Unidade Didática foi
definida através do problema: Quais as reais
possibilidades de se introduzir o conceito de Função
Afim, na 1ª série do Ensino Médio, através da resolução
de problemas, envolvendo o Movimento Retilíneo
Uniforme? O objetivo geral é verificar por meio de
experimentos, tabelas e construção de gráficos
provenientes do estudo da função horária do Movimento
Retilíneo Uniforme, como se pode contribuir para melhor
articular e compreender de modo significativo o conteúdo
relativo às Funções Afins. A metodologia será por
abordagem qualitativa, utilizando-se de aspectos
metodológicos
da
Modelagem
Matemática,
da
Etnomatemática e da Resolução de Problemas no
desenvolvimento das atividades. Pretende-se com essa
Unidade Didática que o aluno tenha uma aprendizagem
significativa sobre Função Afim e, consequentemente
perceba a importância da Matemática para a sociedade.
Palavras-chave
Formato
Didático
Público Alvo
do
Função Afim; Interdisciplinaridade; Movimento Retilíneo
Uniforme
Material UNIDADE DIDÁTICA
ALUNOS DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
1- APRESENTAÇÃO
Esta produção didático pedagógica se caracteriza como uma Unidade
Didática voltada para o estudo de Função Afim por meio de uma abordagem
interdisciplinar, sendo direcionada a alunos da 1ª série do Ensino Médio do
Colégio Estadual Rui Barbosa EFMP, sob a Orientação do professor mestre
George Francisco Santiago Martin.
A escolha do tema Função Afim para a produção desta Unidade Didática,
justifica-se na constatação da dificuldade encontrada pelos alunos no ensino de
funções, especificamente no conceito de Função Afim.
A maneira como este conceito é apresentado para os alunos é muito
formal e abstrata e isso faz com que encontrem dificuldades na aprendizagem de
funções, principalmente na construção e interpretação de tabelas e gráficos,
devido à metodologia de ensino ainda tradicional.
Pensando em amenizar este problema procura-se nesta Unidade Didática
apresentar o conceito de Função Afim, utilizando-se de experiências do
Movimento Retilíneo Uniforme por meio de atividades voltadas para a realidade
dos alunos, uma vez que, normalmente este conceito é apresentado de forma
abstrata não havendo motivação e nem significado neste estudo.
Espera-se que este material possa contribuir para que o aluno perceba que
a matemática não é algo pronto e acabado, isolada das outras disciplinas e sem
relação com a realidade. Pretende-se também, que este estudo possa contribuir
com os professores, através de sugestões de atividades onde será utilizado
principalmente o conceito de Movimento Retilíneo Uniforme, um conteúdo de
física,
para
introduzir o
conteúdo
de Função
Afim, proporcionando
a
interdisciplinaridade, mostrando que a matemática é uma disciplina que está
muito próxima, ou seja, tem muitas afinidades com outras áreas do currículo como
a física, a química e a biologia, onde geralmente as leis naturais e físicas são
expressas pela linguagem matemática.
Os estudos estarão embasados principalmente nos autores Ubiratan
D’Ambrósio, Maria Salett Biembengut, Nelson Hein e nas Diretrizes Curriculares
da Educação Básica (DCE), da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, da
disciplina de Matemática, pois serão utilizados alguns elementos metodológicos
da Etnomatemática, da Modelagem Matemática e da Resolução de Problemas,
presentes nas Diretrizes, que servirão para contextualizar o conteúdo, partindo de
situações que valorizem
a realidade dos alunos envolvidos no processo,
buscando dar significado ao conteúdo. É importante salientar que a simples
memorização de fórmulas, leis e conceitos não levam o aluno a uma
aprendizagem significativa, é preciso trabalhar as idéias, os conceitos
matemáticos de modo intuitivo para depois chegar às representações formais.
Observa-se que, algumas vezes, a forma como a matemática é trabalhada
na sala de aula, pode levar o aluno a não se interessar pelos conteúdos
abordados. Percebe-se que esse desinteresse está ligado a alguns fatores que
contribuem para que essa situação aconteça. Primeiramente porque a
matemática é apresentada sem a contextualização dos conteúdos e isso faz com
que o aluno não tenha motivação para aprender, gerando situações que
enfatizam a afirmação de muitos alunos que dizem que “a matemática é muito
difícil”.
Almeja-se com esse trabalho observar se esse desinteresse está ligado à
forma linear e sequencial que os conteúdos são trabalhados, não proporcionando
uma articulação adequada entre eles e também entre a matemática e outras
ciências.
Diante dessas constatações a problemática gira em torno de como
possibilitar ao aluno uma aprendizagem significativa, para que ele perceba a
importância do conteúdo para a sua vida em sociedade e de como lhe será útil
para entender o mundo em que vive.
O objetivo desta Unidade é verificar por meio de experimentos, tabelas e
gráficos que a função horária do Movimento Retilíneo Uniforme é uma Função
Afim, possibilitando ao aluno articular e compreender de modo significativo o
conteúdo apresentado. Para que esse objetivo seja alcançado serão realizadas
experiências que envolvam o M.R.U., para depois serem construídos os gráficos e
a partir disto relacionar os elementos da Função Afim com os elementos do
Movimento Retilíneo Uniforme.
2- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
”A Matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas
educacionais, e tem sido a forma de pensamento mais estável da tradição
mediterrânea que perdura até nossos dias como manifestação cultural que se
impôs incontestada, às demais formas”. [...] (D’AMBRÓSIO, 1990, p.10)
Este conceito de matemática, historicamente construído interfere de forma
negativa, na prática pedagógica dos professores, pois foi com esta mentalidade
que a maioria dos professores que hoje atuam em sala de aula foram formados.
Entende-se que a matemática é tida como uma disciplina isolada, onde os
conteúdos estudados são prontos e não necessariamente testados para uma
efetiva comprovação. Esse caráter formal da matemática contribui para que seu
ensino seja algo doloroso tanto para os professores como para os alunos, que
não vêem significado no que estão aprendendo. Uma consequência visível dessa
situação é o desinteresse que os alunos apresentam em relação à matemática,
isso é comprovado pelas notas baixas dos alunos que acabam na maioria das
vezes referindo-se à matemática como o “terror da escola”.
D’AMBRÓSIO (1990) explica que a criança desde pequena é condicionada
a não gostar de matemática, porque é comum ouvir dos mais velhos que
matemática é muito difícil.
Essa comprovação de que a causa do fracasso escolar é culpa da
matemática é claramente observada na escola, e comumente se ouve alunos
indagando o porquê de se estudar determinados conteúdos e onde eles serão
usados.
O processo de explicação do fracasso escolar tem sido uma busca de
culpados – o aluno, que não tem capacidade; o professor, que é mal
preparado; as secretarias de educação, que não remuneram seus
professores; as universidades, que não formam bem o professor; o
estudante que não aprendeu no secundário o que deveria ter aprendido
e agora não consegue aprender o que seus professores universitários
lhe ensinam. (CARRAHER et al.1994,p.20)
Essas indagações são constantes no meio escolar, mas é difícil encontrar o
culpado dessa problemática criada em torno da matemática. Ao mesmo tempo em
que isso acontece na escola, sabe-se que a matemática vivenciada pelos alunos
e pela sociedade fora da escola é diferente. A matemática do cotidiano é
facilmente assimilada, não é preciso tanto esforço para aprendê-la. Percebe-se
que isso acontece porque há significado naquilo que se está fazendo.
[...]. Mas a criança que aprende a matemática na rua, o cambista
analfabeto que recolhe apostas, o mestre-de-obras treinado por seu pai,
todos eles são exemplos vivos de que nossas análises estão
incompletas, precisam ser desafiadas, precisam ser desmanchadas e
refeitas, [...] (CARRAHER et al. 1994,p.21)
Entende-se através dessa afirmação que há uma matemática formal,
ensinada na escola e uma matemática do cotidiano, onde se resolve situações
reais e necessárias ao convívio social. Verifica-se que há uma grande dificuldade
em unir essas duas concepções de matemática para que o aluno possa, na
escola, ser motivado a aprendê-la.
O ensino de matemática se faz, tradicionalmente, sem referência ao que
os alunos já sabem. Apesar de todos reconhecermos que os alunos
podem aprender sem que o façam na sala de aula, tratamos nossos
alunos como se nada soubessem sobre tópicos ainda não ensinados.
(CARRAHER et al. 1994,p,21).
É muito importante que o professor através de um trabalho contextualizado
desenvolva atividades onde seus alunos possam perceber a relevância dos
conteúdos matemáticos ensinados na escola para a sociedade. É também
primordial que ele entenda que a matemática existe para que outras ciências
também se desenvolvam, como por exemplo: a física, a química e a biologia, visto
que é a matemática que dá sustentação para que muitos estudos possam ser
desenvolvidos nessas áreas.
Contudo, hoje ainda existem professores que preferem pensar que a
matemática é um privilégio de poucos e que a escola deve se preocupar em
realizar um trabalho diferenciado proporcionando a estes um ensino de qualidade.
De acordo com Ubiratan D’Ambrósio:
[...]. Havia e ainda há matemáticos e mesmo educadores matemáticos
que vêem a matemática como uma forma privilegiada de conhecimento,
acessível apenas a alguns especialmente dotados, e cujo ensino deve
ser estruturado levando em conta que apenas certas mentes, de alguma
maneira “especiais” podem assimilar e apreciar a Matemática em sua
plenitude. [...] (D’AMBRÓSIO,1986,p.9).
Desta maneira, é preciso refletir sobre questões mais abrangentes. Podese observar na escola que existem alunos que se saem melhor na matemática:
outros na literatura, mas isso não pode ser considerado um problema. É
necessário entender essas diferenças e realizar um trabalho onde todos possam
participar, sem exclusão, com o objetivo de que todos tenham acesso ao
conhecimento.
D’Ambrósio faz uma reflexão pertinente a esse assunto destacando que:
[...]. Nosso enfoque questiona fundamentalmente esse ponto de vista,
deslocando a questão para uma outra, isto é, perguntamos a que
matemática estamos nos referindo. Ao mesmo tempo que dificilmente
poderíamos negar que há mentes mais inclinadas para a Matemática,
assim como há mentes mais inclinadas para a Literatura ou para a
Música, (D’AMBRÓSIO,1986.p.9;10)
Tendo essa visão o professor precisa direcionar o seu trabalho para uma
matemática, onde os conhecimentos adquiridos pelos alunos em seu meio social
sejam valorizados na escola. Deve-se ter a preocupação com a forma de
abordagem dos conteúdos, para isso, o professor deve buscar conhecimento,
procurando metodologias que privilegiem uma aprendizagem significativa.
As Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE), da Secretaria de
Estado da Educação do Paraná, da disciplina de Matemática, sugere a realização
de um trabalho diferenciado embasado nas Tendências da Educação Matemática.
De tal forma que, [...], “são apresentadas considerações sobre as
tendências metodológicas que compõem o campo de estudo da Educação
Matemática, as quais têm grau de importância similar entre si e complementam-se
uma às outras”. (PARANÁ, 2008, p.63).
Através das Diretrizes Curriculares de Educação Básica o professor pode
realizar um trabalho articulado, partindo sempre de uma abordagem histórica,
para que o aluno possa compreender a importância do conteúdo estudado
socialmente.
O estudo das Funções, tendo como foco a Função Afim, por exemplo, deve
ser desenvolvido baseando-se nas Tendências da Educação Matemática,
buscando trabalhar com situações problemas que possibilitem ao aluno a
compreensão do conteúdo e sua importância tanto para a matemática como para
outras ciências.
Na Educação Básica, o aluno deve compreender que as Funções estão
presentes nas diversas áreas do conhecimento e modelam
matematicamente situações que, pela resolução de problemas, auxiliam
o homem em suas atividades. As Funções devem ser vistas como
construção histórica e dinâmica, capaz de provocar mobilidade às
explorações matemáticas, por conta da variabilidade e da possibilidade
de análise do seu objeto de estudo e por sua atuação em outros
conteúdos específicos da Matemática. (PARANÁ, 2008, p.59).
É fundamental que o trabalho pedagógico realizado pelo professor
contribua para que o aluno perceba que a matemática é uma ciência exata, mas
não é estática, todas as descobertas e teorias existentes partiram de uma
necessidade social, e que isso a torna importante para a sociedade.
De acordo com a construção histórica da matemática, foi possível organizála em campos de conhecimentos matemáticos. Nas Diretrizes Curriculares da
Educação Básica esses campos são denominados de conteúdos estruturantes,
esses conteúdos abrangem os conteúdos básicos que devem ser trabalhados
pelo professor proporcionando aos alunos a construção do conhecimento
matemático de modo significativo.
Mendes (2009, p.23), salienta que:
A educação como área de estudos e pesquisas tem se constituído por
um corpo de atividades essencialmente pluri e interdisciplinares dos mais
diferentes tipos cujas finalidades principais são: desenvolver, testar e
divulgar métodos inovadores de ensino; elaborar e implementar
mudanças curriculares, além de desenvolver e testar materiais de apoio
para o ensino da matemática.
Frente a esse quadro, é urgente uma mudança de postura do professor. É
um grande desafio a ser vencido, para que o processo ensino-aprendizagem
aconteça de forma contextualizada e articulada.
O professor deve buscar uma metodologia que atenda a essa necessidade
e a Modelagem Matemática pode ser uma aliada nessa busca.
No ponto de vista de Biembengut et al(2005, p.11):
“A criação de modelos para interpretar os fenômenos naturais e sociais é
inerente ao ser humano”. Essa afirmação mostra que na matemática também é
possível estabelecer modelos e que estes são uma forma eficaz na busca de uma
matemática significativa, capaz de levar o aluno a construção do conhecimento e
que através dessa construção possa aprender a gostar e valorizar essa disciplina
como uma ferramenta importante para a sociedade.
“A modelagem matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e
elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas
que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e
teorias”. (BIEMBENGUT et al, 2005, p.13). No entanto, o estudo de função é
comumente apresentado aos alunos de forma abstrata, é um ensino formal,
baseado no que a maioria dos livros didáticos apresenta. Sendo este um conceito
importante da matemática, deve ser explorado por meio de situações que
realmente levem o aluno a perceber a relação existente entre Função Afim e
outros conteúdos, como por exemplo: Progressão Aritmética, Movimento Retilíneo
Uniforme, sendo este último um conteúdo de física intimamente ligado ao conceito
de Função Afim.
Existe uma grande preocupação em se ensinar os conteúdos matemáticos
tendo uma sequência obrigatória a seguir. O ensino de função, por exemplo, deve
ser apresentado ao aluno somente depois que o professor trabalhar os conteúdos
de Conjuntos Numéricos, Produto Cartesiano e Relações para que o aluno
perceba que função é um subconjunto de uma Relação. Toda essa trajetória é
feita sem mostrar aos alunos situações que possibilitem relacionar função com
outras ciências como a física, a química e a biologia, além de não proporcionar
aos alunos o entendimento de que existe uma relação de dependência entre as
grandezas envolvidas, seja essa dependência, uma situação matemática ou não.
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática:
A abordagem do Conteúdo Funções no Ensino Médio, devem ser
ampliadas e aprofundadas de modo que o aluno consiga identificar
regularidades, estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem
matemática para descrever e interpretar fenômenos ligados à
Matemática e a outras áreas do conhecimento.[...]. (PARANÁ, 2008,
p.59)
Desse modo, o estudo de função deve ser apresentado de modo intuitivo,
para que o aluno possa através da resolução de problemas contextualizados
compreender seu significado e a partir daí fazer generalizações, conceituando
assim, funções. A resolução de problema, como ponto de partida para o ensino
de função é uma forma de levar o aluno a participar ativamente da construção do
conhecimento, levando-o a uma aprendizagem significativa.
Tendo a física uma grande afinidade com a matemática, pode-se também
relacionar o conceito de Função Afim com o Movimento Retilíneo Uniforme,
procurando mostrar aos alunos que a matemática é uma ciência presente em
várias outras e que sua importância vai além dos conteúdos ensinados na escola,
tendo como função principal formar cidadãos críticos, independentes que devem
atuar na sociedade, procurando construir sua própria história.
[...]. ”Aprende-se matemática não somente por sua beleza ou pela
consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu
conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da
sociedade”. (PARANÁ, 2008, p.48).
Portanto, a escola deve ser um local de aprendizagem, onde tanto o
professor quanto o aluno devem interagir de modo que o currículo a ser seguido
não seja um problema, mas um caminho para que o aluno motivado pelo
professor possa vivenciar situações significativas de aprendizagem, que lhe
servirão para uma mudança de comportamento e atitude no que diz respeito à
matemática, procurando desmistificar esse conceito de que a matemática é muito
difícil e não tem influência nenhuma na vida da sociedade.
Para que o trabalho pretendido com o conteúdo de Função Afim seja
apresentado de forma contextualizada, optou-se pela realização de uma proposta
interdisciplinar. Sabe-se que a matemática é uma disciplina que apresenta grande
afinidade com a física e essa afinidade deve ser explorada, para que contribua de
modo significativo na aprendizagem desse conteúdo.
De acordo com Dante, no manual do professor:
Os professores de uma mesma classe podem promover um
ensino interdisciplinar por meio de um projeto de investigação, um plano
de intervenção ou mesmo de uma atividade. Neste caso, são
identificados os conceitos e procedimentos de cada disciplina que podem
contribuir nesta tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo soluções
e executando-a. Numa tarefa como essa, os conceitos podem ser
formalizados, sistematizados e registrados no âmbito das disciplinas que
contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a interdisciplinaridade
não pressupõe a diluição das disciplinas. A tarefa a ser executada é que
é interdisciplinar na sua concepção, execução e avaliação. (DANTE,
2008, p. 9).
Partindo
dessa
concepção
esta
Unidade
Didática
contemplará
a
interdisciplinaridade entre os conteúdos de Função Afim e o Movimento Retilíneo
Uniforme,
desenvolvendo
atividades
que
envolverão
os
professores
de
Matemática, Física e Educação Física da 1ª série do Ensino Médio do Colégio
Estadual Rui Barbosa EFMP de Jacarezinho – PR.
No planejamento realizado no início do ano letivo de 2013 serão
contemplados de forma interdisciplinar os conceitos de função afim e movimento
retilíneo uniforme, onde estes serão apresentados pelos professores para que em
seguida sejam realizadas as atividades propostas nesta Unidade Didática de
modo a promover a relação existente entre os conteúdos citados.
3- APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DE TRABALHO
Primeiramente será apresentada para os alunos a proposta de trabalho, o
modo como as aulas serão organizadas e principalmente a forma como o
conteúdo será abordado, ou seja, o envolvimento das disciplinas de Física e
Educação Física para contextualizar o conteúdo.
Nas aulas de matemática será trabalhado o conceito de Função Afim e
nas aulas de física o Movimento Retilíneo Uniforme.
FUNÇÃO AFIM
Definição:
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f
de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números
reais e a ≠ 0.
Na lei f(x) = ax+b, o número a é chamado coeficiente angular de x e o número b é
chamado termo constante ou independente (IEZZI et al. 2010)
Exemplos:
f(x) = 7x- 3, em que a = 7 e b = -3
f(x) = -2x-5, em que a =-2 e b = -5
f(x) =
+ , em que a =
eb=
f(x) = 15x, em que a = 15 e b = 0
f(x) = -x+5, em que a = -1 e b = 5
Para que o aluno consiga perceber a relação existente entre as
grandezas, as variáveis dependentes e independentes, a lei de formação da
função e a construção e interpretação de gráficos, serão apresentados alguns
problemas que ilustrarão essas relações.
PROBLEMA 1
(Adaptado de DANTE, 2008)
Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas
partes: uma parte fixa no valor de R$ 1.800,00, e uma variável, que corresponde a
uma comissão de 5% (0,05) sobre o total das vendas realizadas mensalmente.
Com base nos dados acima, pode-se montar uma tabela com algumas possíveis
situações de vendas mensais, primeiramente respondendo as seguintes
questões:
Quais as grandezas envolvidas?
Qual a variável dependente e a independente?
Variável
Variável dependente
independente
Vendas (R$)
Salário (R$)
1.000,00
S
1.800,00 + 0,05 1.000,00
1800,00 + 50,00
2.000,00
S
1.800,00 + 0,05 1.000,00
1.800,00 + 100,00
1.900,00
5.000,00
S
1.800,00 + 0,05 1.000,00
1.800,00 + 250,00
2.050,00
8.000,00
S
1.800,00 + 0,05 1.000,00
1.800,00 + 400,00
2.200,00
1.850,00
Em seguida pode-se mostrar o modelo matemático contextualizado dessa
situação:
S = 1 800,00 + 0,05. v
Deste modo pode-se resolver qualquer situação de venda realizada pelo
representante comercial do problema. Com este modelo também é possível
verificar qual é o total de vendas que ele fez durante o mês, sabendo o seu
salário.
Por exemplo:
Salário
S
R$ 2.250,00
1.800,00 + 0,05 . v
2.250,00
1.800,00 + 0,05 . v
2.250,00 – 1.800,00
450,00
v
v
0,05 . v
0,05 . v
450,00 / 0,05
9.000,00
PROBLEMA 2
Um motorista de táxi cobra por uma corrida na bandeira 1, um valor
correspondente a R$ 5,40 mais R$ 1,80 por quilômetro rodado. Com base nesses
dados:
Determine o modelo matemático contextualizado dessa função.
Quantos quilômetros uma pessoa percorrerá se gastar R$ 95,40 pela
corrida?
Quanto pagará uma pessoa que rodar 20 km nessas condições?
Este problema pode ser resolvido seguindo os mesmos passos do
primeiro. Descobrindo qual a variável dependente e qual a independente, em
seguida montar uma tabela com algumas possíveis situações de corrida para
chegar ao modelo matemático contextualizado:
V
5,40 + 1,80 . d, onde v (valor da corrida) e d (distância percorrida).
Nos
dois
problemas
os
modelos
matemáticos
contextualizados
representam o modelo matemático estrutural da função afim, ou seja, y
Problema 1 → S
1.800,00 + 0,05 . v, onde a
Problema 2
5,40 + 1,80 . d, onde a
V
0,05 e b
1,80 e b
1.800,00
5,40
ax + b.
Gráfico da função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Fonte: autora
D = R e a Im = R
Casos particulares
Função linear
Um caso particular de função afim é aquele em que b = 0. Nesse caso,
temos a função afim f de R em R dada pela lei f(x) = ax com a real e a ≠ 0, que
recebe a denominação especial função linear.( IEZZI, et al. 2010, p.71)
O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do
sistema cartesiano.
Fonte: autora
D = R e a Im = R
Função constante
Quando em y = ax + b temos a = 0, essa lei não define uma função afim,
mas sim outro tipo de função denominada função constante.
Portanto, chama-se função constante uma função f: R→R dada pela lei
y = 0x + b, ou seja, y = b para todo x. (IEZZI, et al. 2010, p. 74).
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo 0x.
Fonte: autora
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
O professor de Física desenvolverá em suas aulas o conceito de
Movimento Retilíneo Uniforme, com o objetivo de levar o aluno a:
reconhecer o M.R.U;
determinar a velocidade média de um móvel;
construir um gráfico da variação da posição em função do tempo, partindo
de uma experiência realizada no laboratório de Física;
identificar por meio do gráfico S x t, o M.R.U.;
estabelecer, a partir das observações, a função horária de um móvel em
M.R.U.
Para entender o conceito de velocidade média e instantânea, será
utilizada como exemplo uma família que sai de férias e viaja com o seu carro de
uma cidade A em direção as praias (cidade B), distante 600 km. Durante a viagem
o velocímetro do carro registra diversas velocidades, conforme representação na
trajetória abaixo:
30 min.
_|_________|_________|_________|________|_______|________|___________
V=0
40 km/h
80 km/h
120 km/h
60km/h
v=0
t=10h
100 km/h
t=18h
O carro sai da cidade A as 10 horas da manhã, faz uma parada de 30
minutos e chega à cidade B às 18 horas. Qual a velocidade desenvolvida pelo
carro durante a viagem?
Se utilizarmos os dados registrados no velocímetro ficará difícil responder
a pergunta, pois a cada instante o velocímetro marcou velocidades diferentes.
Então como responder a essa pergunta?
Se dividirmos a distância total percorrida pelo carro, durante a viagem,
pelo tempo total (diferença entre o tempo de chegada e o tempo de saída), sem
se importar se o carro parou ou não, durante o trajeto, temos uma velocidade
denominada de velocidade média, que matematicamente pode ser escrita da
seguinte forma:
=
Portanto a velocidade média do carro é:
= 600/ 8= 75 Km/h
Qual o significado dessa resposta?
Se o carro percorresse essa distância com uma velocidade constante de
75 km/h, ele gastaria 8 horas para ir da cidade A para a cidade B.
Mas o que é velocidade instantânea?
É a velocidade registrada pelo velocímetro do carro em cada posição
durante o trajeto.
Velocidade média (
de um corpo em determinado percurso é a relação entre
o deslocamento escalar realizado pelo corpo (
) e o tempo despendido na ação
( ). (SANT’ANNA et al. 2010, p. 37)
=
1ª Lei de Newton→ Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou de
movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar de
estado por forças nele aplicadas. (SANT’ANNA et al. 2010, p.183).
Se a resultante das forças que agem num corpo for nula este corpo estará
em repouso ou em movimento com velocidade constante, esse movimento é
então denominado de movimento retilíneo uniforme (M.R.U.)
O M.R.U. é aquele em que a velocidade é constante e diferente de zero,
como a velocidade instantânea não varia a aceleração é nula. Portanto no
movimento uniforme não tem sentido usar o termo velocidade média, pois a
velocidade média será sempre igual a velocidade instantânea.
Partindo da fórmula da velocidade média podemos chegar à função
horária do movimento retilíneo uniforme:
Experimento sobre o movimento retilíneo uniforme:
CARRINHO SOBRE TRILHO
Figura 1
Fonte: autora
Este aparelho pertence ao laboratório de física do Colégio Estadual Rui
Barbosa.
Descrição dos materiais:
Um trilho de aço
Bases niveladoras
Régua milimétrica e roldana
Um carrinho puxado por um fio
Porta massa
Cronômetro digital
Sensores para marcar tempo
Eletroímã
Montagem:
Passo 1: Ligar o par de fios AZUL e PRETO na posição inicial, fixando os
conectores argola nos parafusos correspondentes.
Passo 2: Ligar o par de fios VERDE e PRETO na posição final, fixando os
conectores argola nos parafusos correspondentes.
Passo 3: Ligar o cronômetro.
Passo 4; Selecionar a chave vermelha na posição M.R.U. (parte rebaixada
voltado para cima).
Passo 5; Colocar o carrinho na pista e energizar a bobina que o retém,
através da chave preta contida no painel frontal.
Passo 6: Selecionar a escala desejada, através da chave amarela contida
no painel frontal do equipamento.
Passo 7: Zerar o cronômetro, através da chave cinza de reset (painel
frontal).
Passo 8: Acionar a chave preta (painel frontal), para a posição START.
Essa ação fará com que a corrente elétrica cesse na bobina que segura o
carrinho, liberando o mesmo para que siga sua trajetória sobre os trilhos. Ao
passar pelo primeiro sensor, irá disparar a contagem no cronômetro. A contagem
só pára a partir do momento que o carrinho cruza o segundo sensor. O tempo
referente à esta distância percorrida será mostrado, em segundos, no display do
equipamento. A experiência poderá ser repetida a partir dos passos descritos
anteriormente.
Procedimento:
1- Suspender uma das extremidades do trilho para compensar o atrito
mecânico.
2- Medir a altura entre a massa que vai movimentar o carrinho e o solo.
3- Colocar o primeiro sensor mecânico na posição maior do que a altura
medida no item anterior. Por exemplo: Se a altura for 18 cm a posição
inicial do sensor será 20 cm. Essa condição é necessária para que o
movimento seja uniforme, pois no instante em que a massa tocar no solo,
cessa a força que age sobre o carrinho e o mesmo continua em
movimento, com a velocidade adquirida devido a queda da massa.
4- Coloque uma massa de 50g na extremidade, livre do barbante.
5- Varie a posição do segundo sensor conforme os dados da tabela.
6- Libere o carrinho e meça o tempo gasto para percorrer o deslocamento
entre os sensores mecânicos.
7- Anote o resultado na tabela.
8- Calcule o valor de ∆S e V através da fórmula: ∆S = S -
e V=
9- Calcule a média aritmética das velocidades.
S
∆T
∆S
V
1
20 cm
30 cm
0,21s
10 cm
47,6m/s
2
20 cm
40 cm
0,42s
20 cm
47,6m/s
3
20 cm
50 cm
0,63s
30 cm
47,6m/s
4
20 cm
60 cm
0,84s
40 cm
47,6m/s
5
20 cm
70 cm
1,05s
50 cm
47,6m/s
6
20 cm
80 cm
1,25s
60 cm
48m/s
→ posição inicial
S → posição final
∆t → variação do tempo
∆s → deslocamento entre os sensores
V
→ velocidade
→ média aritmética das velocidade
47,66 m/s
Construção do gráfico:
Questionário:
A velocidade permaneceu constante?
O que conclui deste fato?
Qual a média obtida?
Que tipo de proporcionalidade existe entre o deslocamento e o intervalo de
tempo?
Qual a influência da massa colocada na extremidade do fio no resultado da
experiência?
Por que a massa precisa ser amparada pelo anteparo antes do carrinho
atingir o primeiro sensor mecânico?
Trace no papel milimetrado dois eixos ortogonais sendo 20 cm na vertical e
16 cm na horizontal.
No eixo vertical representamos os valores de S e no eixo horizontal os
valores de t.
Lance os valores de S no eixo vertical.
Lance os valores de t no eixo horizontal
Ligue os pontos obtidos.
Qual o aspecto do gráfico S = f(t)
Qual o valor do coeficiente linear?
Qual o valor do coeficiente angular?
Qual a equação da função obtida no gráfico?
GRÁFICO
Fonte: autora
Relação de igualdade entre a função y = f(x) e S = f(t)
Após a realização da experiência e a construção do gráfico esse dados serão
apresentados pelos alunos na aula de matemática.
No gráfico S x t, o ponto onde a reta corta o eixo das posições representa a
posição inicial do móvel ( ). Através do triângulo retângulo formado com as
coordenadas das duas posições ocupadas pelo móvel durante o movimento é
possível calcular a inclinação da reta por meio da fórmula:
, onde o cateto oposto corresponde a variação da posição (∆S) e o
tg x =
cateto adjacente a variação do tempo (∆t).
A relação
mede a velocidade do móvel, logo no gráfico S x t, a velocidade do
móvel corresponde à inclinação da reta.
A função horária da posição do movimento retilíneo uniforme é: S=
+ Vt
A função afim é dada pela fórmula: y = ax + b.
Comparando
as
grandezas
das
duas
funções
chega-se
as
seguintes
constatações:
O gráfico de S = f(t) e y = f(x) são representados por uma reta,
portanto são funções do 1º grau.
y
corresponde a grandeza física S.
x
corresponde a grandeza física t.
a é o coeficienta angular ou a inclinação da reta, que corresponde
a velocidade (V) do móvel.
b é o coeficiente linear, ou seja, o ponto em que a reta intercepta o
eixo y, que corresponde a posição inicial do móvel ( ).
Logo podemos concluir que a função horária do movimento retilíneo
uniforme S =
+ vt é igual a função afim f(x) = ax + b
Fonte: autora
ATIVIDADES PRÁTICAS NA AULA DE EDUCAÇÃO FÍSICA
Para que essa relação seja entendida pelos alunos, levando-os a perceber
que a matemática está presente nas situações mais simples do nosso dia a dia e
deve ser aplicada para resolver problemas do mundo real serão desenvolvidas
algumas atividades com os alunos da 1ª série do Ensino Médio
na aula de
Educação Física com o objetivo de mostrar a relação entre o conteúdo de Física e
da Matemática de modo prático, onde os alunos poderão vivenciar situações em
que ocorrem o movimento retilíneo uniforme e em seguida realizar nas aulas de
matemática a construção de gráficos para comprovar a relação de igualdade entre
a função horária do M.R.U. e a função afim.
Inicialmente a turma será dividida em equipes compostas por no máximo
cinco alunos, que executarão as atividades e serão supervisionados pelos
professores de Educação Física e de Física.
Para a realização dessas atividades serão utilizados cones, cronômetro
digital e trena.
Descrição das atividades:
1ª ATIVIDADE:
Os alunos estaráo dispostos em fileiras e será demarcado um espaço para
que individualmente cada um realize o percurso em linha reta (ida e volta),
andando e no final o aluno responsável pelas anotações, registre o tempo gasto
para percorrer a distância previamente estipulada.
O objetivo desta atividade será determinar a velocidade média de cada
equipe. Como este conceito já foi trabalhado na aula de Física, os alunos deverão
utilizar a fórmula para fazer o cálculo.
2ª ATIVIDADE:
É a mesma disposição da atividade anterior, mas os alunos deverão
percorrer o percurso correndo.
Nesta atividade o objetivo também será determinar a velocidade média da
equipe.
3ª ATIVIDADE:
Cada componente da equipe percorrerá vários trajetos, em linha reta, que
serão), esta atividade poderá ser realizada correndo ou andando. Cada equipe
escolherá a forma como todos realizarão o percurso.
demarcados com cones, este deverá manter o tamanho dos passos para que o
tempo gasto seja o mesmo (condição básica para que o movimento seja uniforme
Os trajetos serão demarcados da seguinte forma:
1º trajeto→ distância entre os cones: 3 m;
2º trajeto→ distância entre os cones: 4 m;
3º trajeto→ distância entre os cones: 5 m;
4º trajeto→ distância entre os cones: 6 m;
5º trajeto→ distância entre os cones: 8 m.
O tempo de cada participante será medido e anotado em cada trajeto.
Nesta atividade o objetivo será percorrer as distâncias com velocidade
aproximadamente constante. Será possível observar se isso realmente aconteceu
verificando os resultados obtidos individualmente pelos alunos. Também pode ser
feita uma comparação entre os resultados de cada equipe e calcular a velocidade
média de cada equipe.
Após a realização dessas atividades durante a aula de Educação Física,
os alunos responsáveis pelas anotações dos resultados obtidos, levarão os dados
para a aula de Física, onde poderão construir uma tabela (distância x tempo),
calculando a velocidade média de cada equipe e em seguida construir o gráfico
com base nos resultados das tabelas.
Essa atividade deverá ser apresentada na aula de matemática para que
seja feita a relação entre o movimento retilíneo uniforme e a função afim sendo
este mais um exemplo prático da articulação da matemática com outras
disciplinas, promovendo a interdisciplinaridade.
Mais problemas envolvendo o movimento retilíneo uniforme:
PROBLEMA 1
(DANTE, 2008, p. 66) A tabela abaixo fornece a posição S(t), em km, ocupada por
um veículo, em relação ao km 0 da estrada em que se movimenta, para vários
instantes t (em h).
t (h)
0,0 2,0
S(t) (km) 50
4,0
6,0
8,0
10,0
100 150 200 250 300
a) Qual a função horária que descreve a posição desse veículo em função do
tempo?
b) Em que instante o veículo ocupará a posição S= 500 km?
a) Ao analisarmos a tabela, podemos perceber que a velocidade do veículo é
constante, pois ele percorre 50 km a cada 2 h, aumentando o espaço
(velocidade positiva). Como v = , temos v =
= 25 km/h.
No início (t = 0), o veículo ocupa a posição inicial S(0) = 50 km.
Como a velocidade é constante (movimento uniforme), podemos descrever o
movimento por uma função afim
S(t) = v t + S(0). Assim, S(t) = 25t + 50
Para conferir basta substituir t por alguns valores da tabela e verificar se a
posição S corresponde ao valor calculado.
b) Para encontrarmos o instante em que o veículo ocupa a posição S = 500 km
fazemos:
S(t) = 25t + 50
500 = 25t + 50
25t = 450
t = 450/25 = 18h
Logo, o veículo alcançará a posição S = 500 km após 18h do início do
movimento.
PROBLEMA 2
(DANTE, 2008, p.67) Um ponto material percorre um trajeto retilíneo com
velocidade constante. A posição inicial desse ponto material no instante
é
=0
= 100 m e, no instante t = 5,0 s, é S = 400 m.
Nessas condições determine:
a) a velocidade desse ponto material;
b) a função da posição em relação ao tempo;
c) a posição no instante t = 10 s;
d) o instante em que a posição é S = 1 000 m.
PROBLEMA 3
(DANTE, 2008, p. 67) A função da posição em relação ao tempo do movimento de
um ponto material é S = 50 – 10 t. Determine:
a) a velocidade e a posição inicial desse ponto material;
b) o gráfico da posição (S) em função do tempo (t);
c) o gráfico da velocidade (v) em função do tempo (t)
4-CONSIDERAÇÕES FINAIS
A implementação do projeto de pesquisa, por meio da utilização desta
Unidade Didática é uma forma de verificar se a proposta pedagógica
interdisciplinar realmente é possível no estudo das funções. O objetivo principal
será levar o aluno a perceber que a matemática está presente nas situações mais
simples do nosso dia a dia e deve ser aplicada para resolver problemas que
envolvam outras ciências.
Durante a aplicação do projeto poderá ocorrer situações que não estavam
previstas, mas que deverão ser resolvidas para enriquecer ainda mais o trabalho
e colaborar na aprendizagem dos alunos.
A avaliação do trabalho será realizada durante a realização das
atividades, procurando avaliar a participação dos alunos nas atividades práticas,
bem como o desempenho dos mesmos na resolução dos problemas, na
construção das tabelas e gráficos.
Para finalizar será respondido um questionário pelos alunos para avaliar se
a metodologia utilizada realmente vai fazer a diferença na aprendizagem da
função afim e do movimento retilíneo uniforme.
Modelo do questionário:
1- Você acha que a matemática é uma disciplina muito difícil? Por que?
2- A matemática está presente em situações do nosso dia a dia? Em
caso afirmativo dê um exemplo.
3- Esta forma de trabalho ajudou a melhorar seu pensamento em relação
à matemática? Por que?
4- É importante relacionar a matemática com outras disciplinas? Além
da física com qual outra disciplina seria interessante relacionar?
5- A metodologia utilizada facilitou a aprendizagem de função afim? Por
que?
6- Durante a realização das atividades práticas, houve situação que
achou desnecessária? Em caso afirmativo, escreva qual.
7- É importante o trabalho em grupo nas aulas de matemática? Por que?
8- Dentre todas as atividades realizadas, qual foi a mais interessante?
5-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino.
4 ed. São Paulo: Contexto, 2005.
CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Ana Lúcia. Na Vida
Dez, Na Escola Zero. 7 ed, São Paulo: Cortez, 1993.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1990.
______. Da Realidade à Ação: Reflexões sobre Educação e Matemática. 5 ed.
Copyright, 1986.
MENDES, Iran Abreu. Matemática e Investigação em sala de aula: Tecendo
redes cognitivas na aprendizagem. 2 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba:
SEED, 2008.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Volume único. 1 ed. São Paulo: Editora Ática,
2008.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciência e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Editora
Saraiva, 2010.
SANT’ANNA, Blaidi et al. Conexões com a Física. 1 ed. São Paulo: Moderna,
2010.