Atividades Dinâmicas Com o Winplot, Wingeom e Cabri-Géomètre
Adelmo Ribeiro de Jesus1
INTRODUÇÃO
Este artigo visa apresentar algumas atividades em três softwares de grande
utilidade prática e fácil manuseio. São eles: Winplot, Winmat e Cabri-Géomètre.
Com o Winplot (versão em português) abordaremos tópicos mais avançados,
relacionados à animação de curvas e superfícies no plano e espaço. No Winmat (versão
preliminar, em português) faremos uma atividade “passo a passo” com o recurso de
escalonamento de matrizes. Finalmente, exploraremos no Cabri-Géomètre o sutil
conceito de “radiano”.
I) ANIMAÇÕES DE CURVAS E SUPERFÍCIES COM O WINPLOT
O Winplot é um programa livre, disponível em várias línguas (inglês, alemão,
francês, português, espanhol, etc). Ele pode ser encontrado no site Peanut Softwares,
endereço http://math.exeter.edu/rparris. Abordaremos com este programa dois tipos
básicos de animação: O primeiro deles, mais simples, apresenta famílias de curvas, a um
parâmetro pré-definido. Melhor dizendo, escolhida uma função y = f(x), considera
famílias a 1-parâmetro y = f(x) + c, y = cf(x), ou então famílias do tipo y = f(cx). Como
exemplos citamos as curvas y = sen(x) + c, y = c sen(x) e y = sen (cx)
O segundo tipo, mais avançado, trabalha com a construção de curvas ou
superfícies utilizando um parâmetro para sua construção. Melhor dizendo, dada uma
curva y = f(x) (ou uma superfície z = f(x, y)) tratamos de construir seu traço
1
Professor Adjunto IV da UFBA (aposentado). Professor dos cursos de Matemática da UCSAL e Faculdades Jorge
Amado. Ex-coordenador de Matemática do Programa Pró-Ciências, da CAPES/FAPEBA/UFBA.
e-mail: [email protected]
Anais do VIII ENEM - Palestra
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continuamente, através de uma animação com 1 parâmetro. Para obter esse efeito
dinâmico, utilizamos as equações paramétricas dessa curva ou superfície.
1) Visualização do traço de y = sen(x) de P = (0, 0) até Q = (2π , 0)
x ( t ) = t
 y( t ) = sin( t )
As equações paramétricas da curva y = sen(x) são 
onde 0 ≤ t ≤ 2π . Para
obter o efeito de “traçado”, ou seja, para visualizar na tela o traço desta curva,
introduzimos um novo parâmetro de animação, que denominamos de “k” . Este novo
parâmetro terá a função de retardar o traçado da curva y=sen(x) , para valores 0< k < 1.
Somente para o valor de k=1 teremos a curva inteiramente traçada, ligando os pontos P
e Q.
Animação no Winplot: No programa, use a opção Equação → paramétrica e digite
 x ( t ) = kt

 y( t ) = sin( kt ) , fazendo 0 < t < 2pi
y
y
y
1
1
1
x
π/4
−1
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
x
x
2π
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
2π
π/4
−1
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
−1
2) Visualização do traço da parábola y =x2 de P = (-2, 4) até Q = (3, 9)
Para visualizar na tela do computador o traçado da parábola y = x2 , ligando os pontos
P = (-2, 4) a Q = (3, 9), procedemos da seguinte forma:
x ( t ) = t
 y( t ) = t 2
dessa parábola que liga os pontos P e Q são : 
As equações paramétricas
, −2 ≤ t ≤3
7π/4
2π
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A animação correspondente é similar ao caso anterior,
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com um cuidado adicional pelo fato de que a curva não
9
inicia no ponto (0,0).
7
(3, 9)
8
6
5
(-2,4)
4
x ( t ) = −2 + k ( t + 2)
Animação: 
 y( t ) = (−2 + k ( t + 2) ) 2
3
, -2≤ t ≤3
2
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
A lógica dessa animação é a seguinte:
quando k=0 temos x(t) = -2 e y(t) = 4 . Conseqüentemente, o programa só exibe o
ponto P =(-2, 4).
Quando k = 1 teremos x(t) = -2 + (t+2) , ou seja, x(t) = t .
Também, temos y(t) = = (-2 + (t+2) )2 , ou seja, y(t) = t2 , que é a curva y=x2 inteira.
Os passos intermediários 0 < k < 1 nos dão as várias “gradações” da curva y=x2
3) Animação de uma helicóide no espaço
De modo análogo ao exposto acima para curvas planas e espaciais, podemos construir a
animação de superfícies, usando a forma paramétrica (t, u) → ( x(t,u), y(t,u), z(t,u) ) .
No exemplo abaixo, mais uma vez denotamos por “k” o parâmetro de animação.
x ( t , u ) = t cos(k 2u )

 y( t ) = tsin(k2u)
z(t) = ku
0 ≤ t ≤ 2 , 0 ≤ u ≤ 2π

z
z
y
x
y
x
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II) ESCALONAMENTO “PASSO A PASSO” UTILIZANDO O WINMAT
O Winmat é um programa da mesma “família” do Winplot. Ele é gratuito e simples, e
disponível em site da Peanut Softwares. As suas únicas desvantagens no momento são:
a) Sua interface ainda em teste, e portanto sujeita a pequenos “bugs”; b) Disponibilidade
para o usuário apenas em língua inglesa, trazendo um certo desconforto para alguns
professores e alunos de Matemática. Por outro lado, a versão em português do Winmat
já está terminada e deve entrar em rede em maio ou junho deste ano, no mesmo site
http://math.exeter.edu/rparris .
O Winmat é um software que executa uma série de operações com matrizes: Calcula
somas e produtos de matrizes, determina o posto e o determinante de uma matriz,
escalona matrizes, etc. Por essa razão, ele é muito útil para o Ensino Médio. Para
disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear, do Ensino Superior, temos as
opções de escalonar matrizes, determinar as raízes do polinômio característico (mesmo
as raízes complexas), e determinação de uma base para o núcleo de um operador linear.
No presente artigo examinamos o escalonamento “passo a passo” de uma matriz A do
tipo 3x3. Esta atividade tem aplicação na resolução de sistemas lineares.
A matriz para ser escalonada:
Abrimos o programa e escolhemos a opção Matriz | Nova. Uma caixa de diálogo se
abre, onde podemos escolher o tipo de matriz. Escolhemos 3x3, de nome A.
Dessa forma, digitamos os valores dos elementos
da matriz A, obtendo a seguinte janela:
Anais do VIII ENEM - Palestra
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Os Passos do Escalonamento :
Usando a opção “Calc | Oper linhas/col ” do menu, acessamos a caixa de diálogo
“operações”, onde serão digitados os cálculos.
Efetuando as operações elementares sobre as linhas da matriz, obtemos os passos do
escalonamento:
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III)
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PRINCÍPIOS DA TRIGONOMETRIA COM O CABRI-GÉOMÈTRE
Afinal, o que é um radiano? É comum se ouvir dizer que “uma circunferência tem
2π radianos”, e também ouvir que “π é igual a 180o ” . Este conceito é delicado para se
expor em sala de aula, e via de regra os professores do Ensino Fundamental e Médio
evitam comentar sobre ele. Vemos que na maioria dos casos, a única medida de arcos e
ângulos que é utilizada é o “grau”, pela razão de que é mais simples dizer que “dividese a circunferência em 360 partes e toma-se uma delas” .
Em minha opinião, a melhor forma definir (e de visualizar) um radiano em uma
circunferência é através da transposição de “um raio” para esta circunferência. Melhor
dizendo, dada uma circunferência, um arco AP cuja medida é igual a do raio desta
circunferência é chamado arco de 1 radiano. Ou ainda, 1 radiano se obtém em uma
circunferência de raio r tomando-se na mesma um arco AB de medida igual ao raio.
Como o comprimento de uma circunferência é C = 2π r temos:
C= 2π(1r) = 2π rad, ou seja, C ≅ 6,28 rad
O radiano no Cabri-Géomètre
A atividade abaixo mostra uma circunferência de raio igual a 5cm. Nela foram
marcados 2 arcos, um deles de comprimento 5 cm (igual ao do raio) e outro de 10 cm.
Com a opção de medida de ângulos do Cabri, marcamos e medimos estes ângulos, em
radianos. O que vemos é exatamente o conceito mencionado acima, ou seja, que 1
radiano é a medida do arco (ou ângulo) que corresponde ao (ou subtende o) raio de uma
circunferência dada.
Esta atividade é experimental, simples, e bastante interessante para se compreender o
conceito de radiano. Alguns comandos do Cabri são necessários, como transferência de
medidas.