I-005 – OTIMIZAÇÃO VERSUS CONFIABILIDADE PARA REDES DE
DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA DIMENSIONADAS PELO PNL2000
Heber Pimentel Gomes(1)
Engenheiro Civil e Mestre em Recursos Hídricos pela Universidade Federal da Paraíba,
Especialista em Gestão de Recursos Hídricos pela Universidade de São Paulo (USP) e em
Engenharia de Irrigação pelo Centro de Estudos Hidrográficos do CEDEX (Espanha) e
Doutor pela Universidade Politécnica de Madrid. Autor dos livros: Sistemas de
Abastecimento de Água - Dimensionamento Econômico; Sistema de Riego; e Engenharia
de Irrigação - Aspersão e Gotejamento.
Leonardo de Araújo Neves(2)
Engenheiro Sanitarista pela Universidade Federal do Pará (UFPA). Mestre em Recursos
Hídricos pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG).
Saulo de Tarso Marques Bezerra(3)
Engenheiro Civil pela Universidade Federal da Paraíba (UFPB). Mestrando em Recursos
Hídricos na Universidade Federal de Campina Grande (UFCG).
Endereço(1): Campus I da UFPB, Cidade Universitária, CEP 58050-900. João Pessoa - PB,
Brasil. Tel.(83) 2167684, 2481937 e 99852300 - e- mail: [email protected].
RESUMO
As redes de distribuição de água constituem a maior parcela dos investimentos dos sistemas
de abastecimento e o seu dimensionamento possui estreita ligação com a qualidade dos
serviços. O presente trabalho apresenta uma metodologia de otimização para dimensionar
economicamente redes malhadas urbanas, utilizando técnicas de programação não linear,
levando-se em consideração o critério de confiabilidade do atendimento contínuo do
sistema, em casos de rompimento de trechos da rede. Para a aplicação do método, foi
utilizado o sistema de abastecimento do bairro do Bessa em João Pessoa, e o
dimensionamento econômico foi feito utilizando o algoritmo GRG2, baseado na técnica dos
Gradientes Reduzidos Generalizados. Os resultados mostraram que a metodologia utilizada
na análise da confiabilidade mostrou-se bastante eficiente na previsão do comportamento
do sistema sob condições críticas e que o uso conjunto de técnicas de otimização e
conceitos de confiabilidade pode auxiliar na fase de projeto de redes, visando um
planejamento a longo prazo, focado na redução de custos e manutenção da qualidade dos
serviços.
PALAVRAS-CHAVE: Otimização, Redes de Abastecimento, Confiabilidade.
INTRODUÇÃO
Das partes que compõem os sistemas de abastecimento de água, as redes malhadas de
distribuição são extremamente importante em termos de custo e da qualidade do
abastecimento. Dado ao aumento da capacidade de cálculo dos atuais computadores, aliado
à facilidade que há nos nossos dias em se trabalhar com ferramentas de pesquisa
operacional, tornou-se viável a implementação de critérios de otimização econômica para o
dimensionamento das redes de distribuição, levando-se em consideração também a
confiabilidade do sistema de abastecimento.
As técnicas de otimização econômica começaram a ser aplicadas, para o cálculo de redes,
no final dos anos 60. Existem dezenas de trabalhos científicos já desenvolvidos com o
objetivo de minimização dos custos de redes de abastecimento. Somente para citar alguns
exemplos, dentre os inúmeros existentes, Karmeli et al. (1968) utilizou a programação
linear para encontrar o menor custo de redes ramificadas; Alperovitz e Shamir (1977),
propuseram a utilização dessa técnica na minimização dos custos em redes malhadas;
Gessler e Walski (1985), desenvolveram o método WADISO, baseado na enumeração
exaustiva das possíveis soluções do dimensionamento. A metodologia GRANADOS,
baseada em princípios de programação dinâmica (Granados, 1986), foi aplicada por Leal e
Gomes (1997) na otimização das redes malhadas. Além das ferramentas de programação
linear, não linear e dinâmicas, tem sido utilizada também técnicas baseadas no Algoritmo
Genético, aplicado na resolução de diversos problemas relacionados à otimização dos
custos de implantação e também de operação em redes malhadas (Savic e Walters, 1997).
Pode-se ressaltar que a solução de custo mínimo para uma rede malhada de distribuição,
obtida através dos métodos de otimização, não é uma boa solução em termos de
confiabilidades do sistema de abastecimento. Este fato pode ser explicado pelas
características das redes malhadas. Os modelos de otimização, quando aplicados a uma
única configuração de demanda, resultam em sistemas ramificados ao invés de sistemas
malhados, a menos que a solução seja restringida de modo a forçar a formação de anéis
(Walski et al., 1987, Deb, 1976). Restrições para garantir a formação de anéis na rede,
como as de diâmetro mínimo, fazem com que a solução ótima seja uma rede ramificada
fechada por tubulações de diâmetro mínimo (Quindry et al., 1981). Dessa forma, existe
uma relação antagônica entre o custo e a confiabilidade da rede, em que um aprimoramento
de um fator implica na depreciação do outro.
A grande vantagem de uma rede malhada, frente a uma ramificada, está na segurança do
abastecimento de água. Caso haja uma ruptura em um trecho de um determinado anel de
uma rede malhada, os trechos localizados a jusante do trecho avariado receberão água por
meio dos trechos que compõem a artéria oposta a do trecho avariado. Assim, a rede
malhada de custo mínimo terá seus trechos, situados mais distantes da origem, com
diâmetros mínimos que dificultarão a passagem da água por ambos os lados dos anéis.
Dessa forma pode-se concluir que uma rede de custo mínimo é uma rede com baixa
confiabilidade em quanto ao atendimento das demandas de vazão e pressão em todos os
seus pontos de consumo.
Em paralelo com pesquisas sobre otimização econômica do dimensionamento de redes,
esforços foram despendidos com vistas à quantificação da confiabilidade da rede, visto que
esse parâmetro é uma limitação à redução do custo do sistema. De modo geral, redes
ramificadas seriam de baixa confiabilidade e custo, enquanto que as redes malhadas seriam
de alta confiabilidade e custo.
Geralmente os pesquisadores atribuem algum tipo de falha às redes de distribuição, para
tentar mensurar a confiabilidade destas. Segundo Su et al. (1987), a confiabilidade do
sistema é a probabilidade deste executar uma tarefa, dentro de certos limites, em um
determinado intervalo de tempo, indicando a capacidade que o sistema tem para suprir
demanda nos nós, ou em pontos de um sistema, com um mínimo de pressão requerida,
mesmo se um trecho da rede estiver fora de operação. Para Gupta e Bhave (1996) a
confiabilidade do sistema está diretamente relacionada com a sua capacidade de atender
requisitos de performance durante situações de falha de componentes, principalmente nas
suas tubulações. Lopes (2002) quantificou a confiabilidade da rede de abastecimento de
acordo com o abastecimento do sistema e ocorrência de falhas, que seriam basicamente
situações de rompimento das tubulações.
O presente trabalho tem como objetivo a aplicação de um modelo de otimização econômica
para o dimensionamento de redes malhadas, levando-se em consideração a confiabilidade
do atendimento contínuo de água para todos os nós da rede.
METODOLOGIA
Dado que no problema físico o cálculo de redes malhadas se enquadra em um processo
matemático não linear, optou-se, nesta pesquisa, pela utilização do modelo matemático da
programação não linear (PNL), para se alcançar o dimensionamento mais econômico. O
modelo escolhido é o PNL2000 (Gomes, 2002), com algumas adaptações para levar em
conta as condições de contorno relativas às rupturas de determinados trechos da rede. A
metodologia prevê o comportamento hidráulico de uma rede malhada, considerando
diversas configurações de falha, de modo a se verificar a confiabilidade do sistema em
termos de atendimento das vazões e pressões a todos os pontos de consumo.
A metodologia se divide em duas etapas. Na primeira etapa faz-se um prédimensionamento do sistema, simulando o funcionamento da rede para três situações de
contorno (em paralelo): a primeira quando a rede estiver com todos os seus trechos intactos,
ou em operação; a segunda quando a rede estiver com um trecho de um determinado lado
de um anel fora de operação; e a terceira quando a rede estiver com um trecho do lado
oposto do anel fora de operação. Para as duas últimas condições de contorno serão nulas as
vazões para cada trecho avariado e a rede funcionará como sendo uma rede ramificada, na
qual o abastecimento do anel ocorrerá apenas por um lado. Na primeira etapa do modelo
será executado um pré-dimens ionamento da rede, onde os diâmetros e as vazões nos
trechos são variáveis contínuas a serem determinadas no processo de otimização,
considerando as três condições de contorno citadas anteriormente.
Na segunda etapa, com as três condições de contorno da primeira etapa, realiza-se o ajuste
da solução inicialmente obtida já que os valores dos diâmetros determinados (variável
contínua) não coincidem com os valores dos calibres interiores dos tubos comerciais. Nesta
segunda etapa o diâmetro contínuo, calculado inicialmente para cada trecho, é desdobrado
nos dois diâmetros comerciais adjacentes, um imediatamente superior e outro
imediatamente inferior, considerando como incógnitas (variáveis de decisão) os
comprimentos de seus sub-trechos pertencentes ao trecho considerado. Além dos
comprimentos dos tubos, as vazões nos trechos também são consideradas como variáveis a
serem otimizadas, na segunda etapa do método.
Para realizar a otimização, o PNL2000 utiliza o método do Gradiente Reduzido
Generalizado (GRG2), que é um algoritmo de programação não linear, desenvolvido por
Lasdon et al. (1984). O modelo da programação não linear, a partir do GRG2, pode ser
formulado e processado através da ferramenta Solver da planilha eletrônica Excel da
Microsoft.
Solução Inicial (Primeira Etapa)
Função Objetivo
A equação que representa a função objetivo a ser minimizada será:
C(Di,Qi,) = equação (1)
onde:
C(Di,Qi,) é o custo da rede, em função dos diâmetros e das vazões nos seus trechos;
Li é o comprimento do trecho i;
P(Di) é a função que relaciona o preço do tubo com o diâmetro; e
m é o número de trechos da rede.
A função P(Di) se obtém através da correlação entre os dados conhecidos de diâmetros
comercia is com seus correspondentes custos de implantação, incluindo os custos dos tubos
e os de montagem. A equação (1), com o critério de custo mínimo, representa a função
objetivo do método proposto, cujas variáveis de decisão são os diâmetros contínuos Di e as
vazões nos trechos Qi.
Restrições
A solução ótima (de custo mínimo) a ser obtida, que fornece os diâmetros de todos os
trechos da rede, deve satisfazer um conjunto de restrições hidráulicas inerentes ao
escoamento permanente em redes malhadas:
Pressões mínimas nos nós
As pressões nos nós da rede devem estar situadas dentro de um intervalo de valores
admissíveis:
equação (2)
onde:
Z é a cota de cabeceira da rede;
Zk cota piezométrica requerida no nó "k"; e
S hf soma das perdas de carga nos trechos pertencentes ao percurso compreendido entre a
cabeceira e o nó "k".
Diâmetros mínimos e máximos:
Os diâmetros são limitados por um valor mínimo (Dmin) e máximo (Dmax) adotados
previamente.
Dmin?£ Di £ Dmax equação (3)
Conservação de energia no anel:
Essa restrição deve garantir que a soma algébrica das perdas de carga dos trechos de um
anel seja nula.
equação (4)
onde:
hj a perda de carga no trecho i;
zk o número de trechos no anel k em questão;
Epj a energia de impulsão aplicada na malha ou anel. Na falta de uma fonte externa dessa
energia no interior do anel, o valor de S Ep será nulo; e
pk número de fontes de energia de impulsão dentro do anel k.
Continuidade nos nós:
A soma algébrica das vazões nos nós deve ser igual a zero, ou seja, as vazões que entram
devem ser iguais às que saem:
equação (5)
onde:
Qentra(i) as vazões dos trechos i que chegam ao nó n;
Qsai(j) as vazões dos trechos j que deixam o nó n;
dn a demanda concentrada nesse nó;
kn a número de trechos com vazões chegando ao nó n; e
qn a número de trechos com vazões saindo do nó n.
Velocidades mínima e máxima admissíveis:
Vmín £ Vi £ Vmáx equação (6)
onde:
Vi - velocidade média no trecho i;
Vmax - velocidade máxima admissível; e
Vmín - velocidade mínima recomendada.
Vazão nula no trecho avariado:
A partir desta equação de restrição escolhe-se os trechos que estariam fora de operação.
Esta indica que em um determinado trecho a vazão será nula.
Qi = 0 equação (7)
Dimensionamento definitivo (segunda etapa)
Função objetivo
A partir dos resultados obtidos no pré-dimensionamento, executa-se a segunda etapa do
PNL2000. Assim, para cada trecho, o diâmetro ótimo contínuo, obtido na primeira etapa, é
desdobrado em dois diâmetros comerciais, sendo um o imediatamente superior, e o outro o
imediatamente inferior àquele encontrado. Dessa forma, a função objetivo a ser minimizada
será:
equação (8)
onde:
C(lij, Qi) é o custo total da rede de distribuição;
lij é o comprimento ocupado pelo diâmetro Dj no trecho i considerado;
P(Dj)i é o preço unitário do tubo de diâmetro Dj no trecho i; e
m é o número de trechos da rede.
Restrições
A função objetivo (equação 8), tem como variáveis de decisão os comprimentos dos subtrechos lij, e as vazões Qi. As restrições "a", "c", "d", "e" e "f" da etapa inicial também
devem ser satisfeitas nesta fase. Além dessas, a solução encontrada deve satisfazer a mais
dois grupos de restrições, que são:
Comprimento dos sub-trechos:
equação (9)
h)Não negatividade dos comprimentos dos sub-trechos
lij ³ 0 equação (10)
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO
A rede deste exemplo foi projetada pela CAGEPA, em 1982, para abastecer o bairro do
Bessa, na cidade de João Pessoa - PB (ver figura 1).
Figura 1 - Esquema do Grande Anel
Para o cálculo do dimensionamento otimizado, será considerado três situações de contorno:
a primeira, a rede sem trechos fora de operação;
a segunda, com o trecho "dois" estivesse fora de operação; e
a terceira, quando o trecho "cinco" estivesse fora de operação.
Quando o trecho "dois" estiver fora de operação, a vazão total que se d ividiria no nó "A",
passará totalmente através do trecho "cinco", dando a volta completa no anel, até atender o
nó "B" (nó mais desfavorável). Quando o trecho "cinco" estiver fora de operação, a vazão
total dará a volta no anel através do trecho "dois", até atender o nó "E" (nó mais
desfavorável). Isto implica na ocorrência de maiores vazões no final da rede, considerandoa com a possibilidade dela se tornar ramificada (trechos "quatro" e "sete"), que implicará
em maiores diâmetros para a rede como um todo. Assim, esta rede não disporá de
diâmetros mínimos no seu final (trechos 4 e 7), se for levado em consideração o
rompimento de trechos que transformará a rede malhada em ramificada.
A confiabilidade da rede estará garantida pela sua capacidade em abastecer continuamente
os nós "B" e "E", considerando que poderá haver rompimentos no trecho "dois" e "cinco".
Os nós "B" e "E" seriam os mais prejudicados com a falha de seus trechos a montante, já
que a vazão teria que contornar toda a rede até chegar a esses nós e manter a demanda
nestes nós.
Estas simulações serão comparadas: a) com resultados obtidos no projeto original pela
CAGEPA, considerando os diâmetros encontrados por esta e utilizando os custos atuais das
tubulações; e b) com os resultados encontrados pelo método PNL2000 para a primeira
situação de contorno (sem considerar a possibilidade de rompimento dos trechos "dois" e
"cinco").
Por último será testado o dimensionamento encontrado pela CAGEPA e pelo PNL2000
(dimensionamento ótimo sem considerar ne nhum trecho fora de operação), onde foram
simulados o funcionamento da rede, com os trechos "dois" e "cinco" fora de operação, para
testar a confiabilidade do atendimento contínuo das vazões e pressões a todos os nós da
rede.
A rede do exemplo é abastecid a por gravidade a partir do reservatório elevado, que possui
uma carga constante, com cota piezométrica de 54 m (cota do terreno de 30 m, mais 24 m
de altura do reservatório elevado).
A tabela 1 apresenta as demandas, as cotas altimétricas do terreno nos nós dos anéis em
questão e os dados referentes aos comprimentos dos trechos dos anéis. A pressão mínima
imposta aos nós da rede é de 25 mca, mesmo para as condições de falha dos trechos "dois"
ou "cinco". As velocidades máximas e mínimas admitidas nos trechos da rede são de 3,0
m/s e 0,2 m/s, respectivamente.
Tabela 1: Dados de vazões demandadas, cotas e comprimento dos trechos
Os dados referentes aos custos de implantação dos tubos (em reais por metro), material
utilizado e o conjunto de diâmetros internos, em função dos seus diâmetros nominais
utilizados se encontram na Tabela 2:
Tabela 2: Preço dos tubos em função do diâmetro.
Resolução do Exemplo
A equação que relaciona o custo de implantação da tubulação P(D), com o seu diâmetro
"D", pode ser obtida através de um ajuste de curva. A equação obtida, a partir dos dados da
tabela 2 (coluna 6 versus coluna 3), é:
P(D) = 2 x 10-8 x D4 - 3 x 10-5 x D3 + 0,0162 x D2 –2,9416 x D + 175,73 equação (11)
1ª Etapa:
Função objetivo da 1ª etapa
De posse da expressão que relaciona o custo da tubulação com o preço do tubo e levando-se
em consideração as três condições de contorno, a função objetivo será:
equação (12)
Restrições
Pressão mínima requerida nos nós
A restrição de pressão mínima impõe que em todos os nós da rede a pressão disponível seja
maior ou igual a 25 mca. Isto deve ser garantido até nos nós "B" e "E", que ficam a jusante
dos possíveis trechos avariados. Para cada nó, têm-se três equações de restrições, devido às
três condições de contorno (simulando com a rede normal e com cada um dos dois trechos
avariados). Portanto, ter-se-á dezoito equações de restrição a serem desenvolvidas, seis em
cada situação de contorno:
Para a rede sem trechos avariados:
Nó A: 54 - (2540 · hf1) = (25 + 5,0) equação (13a)
Nó B: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf2) = (25 + 5,0) equação (13b)
Nó C: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf2 + 1140 · hf3) = (25 + 4,0) equação (13c)
Nó D: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf5 + 1140 · hf3 + 1430 · hf4) = (25 + 4,5) equação (13d)
Nó E: 54 - (2540 · hf1 + 1020 · hf5) = (25 + 4,5) equação (13e)
Nó F: 54 - (2540 · hf1 + 1020 · hf5 + 1430 · hf6) = (25 + 4,5) equação (13f)
Para o trecho dois avariado:
Nó A: 54 - (2540 · hf1) = (25 + 5,0) equação (13g)
Nó B: 54 - (2540 hf1 + 1020 hf5 + 1430 · hf6+ 1710 ·hf7 + 1430 · hf4 + 1140 · hf3) = (25 +
5,0) equação (13h)
Nó C: 54 - (2540 · hf1 + 1020 · hf5 + 1430 · hf6+ 1710 · hf7 + 1430 hf4) = (25 + 4,0)
equação (13i)
Nó D: 54 - (2540 · hf1 + 1020 · hf5 + 1430 · hf6+ 1710 · hf7) = (25 + 4,5) equação (13j)
Nó E: 54 - (2540 · hf1 + 1020 · hf5) = (25 + 4,5) equação (13k)
Nó F: 54 - (2540 · hf1 + 1020 · hf5 + 1430 · hf6) = (25 + 4,5) equação (13l)
Para o trecho cinco avariado:
Nó A: 54 - (2540 · hf1) = (25 + 5,0) equação (13m)
Nó B: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf2) = (25 + 5,0) equação (13n)
Nó C: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf2 + 1140 · hf3) = (25 + 4,0) equação (13o)
Nó D: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf5 + 1140 · hf3 + 1430 · hf4) = (25 + 4,5) equação (13p)
Nó E: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf5 + 1140 · hf3 + 1430 · hf4 + 1710 · hf7+ 1430· hf6) = (25
+ 4,5) equação (13q)
Nó F: 54 - (2540 · hf1 + 350 · hf5 + 1140 · hf3 + 1430 · hf4 + 1710 · hf7) =(25 + 4,0)
equação (13r)
Diâmetros mínimos e máximos
Todos os diâmetros devem ser maiores do que 108,4 mm e menores do que 638 mm, que é
a faixa de diâmetros disponível para o projeto:
D1 = 108,4 ... D7 = 108,4equação (14)
D1 = 638 ... D7 = 638equação (15)
Conservação de energia nos anéis
A rede deste exemplo possui somente um anel, proporcionando apenas uma equação de
restrição desse tipo. Serão consideradas como positivas as perdas em que o sentido da
vazão é o mesmo que o arbitrado para o anel (no caso contrário as perdas serão
negativas).Teria-se então uma equação para cada situação de contorno, ou seja, uma para
quando a rede estivesse com todos os trechos normais, uma para quando o trecho "dois"
estivesse avariado e uma quando o trecho "cinco" estivesse avariado. Porém quando um
anel estiver com um dos seus trechos fora de operação, a equação da conservação de
energia não poderá ser aplicada já que o anel estará aberto. Com isso, só haverá uma
equação de restrição, que será quando a rede estiver com todos ao trechos normais:
Para a rede sem trechos avariados:
Anel 1: hf2 + hf3 + hf4 - hf5 - hf6 - hf7= 0 equação (16)
Continuidade nos nós
A soma algébrica das vazões nos nós deve ser igual a zero, ou seja, as vazões que entram
devem ser iguais às que saem. Como a rede possui seis nós, teremos, seis equações para o
dimensionamento normal, seis para o trecho dois avariado e seis para o trecho cinco
avariado. Tomando-se as vazões em, l/s, as equações de restrição serão:
Para a rede sem trechos avariados:
Nó A: (Q1 - Q2 - Q5) = 0 equação (17a)
Nó B: (Q2 - Q3) = 43,44 equação (17b)
Nó C: (Q3 - Q4) = 40,29 equação (17c)
Nó D: (Q4 + Q7) = 208,6 equação (17d)
Nó E: (Q5 - Q6) = 47,78 equação (17e)
Nó F: (Q6 - Q7) = 80,32 equação (17f)
Para o trecho dois avariado:
Nó A: (Q1 - Q2 - Q5) = 0 equação (17g)
Nó B: (Q3 - Q2) = 43,44 equação (17h)
Nó C: (Q4 - Q3) = 40,29 equação (17i)
Nó D: (Q7 - Q4) = 208,6 equação (17j)
Nó E: (Q5 - Q6) = 47,78 equação (17k)
Nó F: (Q6 - Q7) = 80,32 equação (17l)
Para o trecho cinco avariado:
Nó A: (Q1 - Q2 - Q5) = 0 equação (17m)
Nó B: (Q2 - Q3) = 43,44 equação (17n)
Nó C: (Q3 - Q4) = 40,29 equação (17o)
Nó D: (Q4 + Q7) = 208,6 equação (17p)
Nó E: (Q6 - Q7) = 47,78 equação (17q)
Nó F: (Q7 - Q6) = 80,32 equação (17r)
Velocidade máximas e mínimas adotadas
V1 = 0,2 m/s;.....,V7 = 0,2 m/s equação (18a)
V1 = 3,0 m/s; ,V7 = 3,0 m/s equação (18b)
Vazão nula no trecho avariado
Como explicado anteriormente, foram escolhidos os trechos "dois" e "cinco", devido a sua
localização (ligados à linha tronco), que proporciona as duas situações mais desfavorável
de operação da rede. Haverá duas equações, uma para o trecho dois e outra para o trecho
cinco:
Para o trecho dois avariado:
Q2 = 0 equação (19)
Para o trecho cinco avariado:
Q5 = 0equação (20)
Montadas as equações procede-se a otimização, utilizando o algoritmo GRG2 disponível na
ferramenta Solver da Planilha Excelâ . As tabelas 3a, 3b, 4a, 4b, 5a e 5b mostram os
resultados do dimensionamento para a primeira etapa, resultados esses que devem satisfazer
as três condições de contorno estabelecidas.
Tabela 3a: Resultados da otimização da primeira etapa sem nenhum trecho avariado
Tabela 3b: Resultados da otimização da primeira etapa sem nenhum trecho avariado
Tabela 4a: Resultados da otimização da primeira etapa para o trecho dois avariado
Tabela 4b: Resultados da otimização da primeira etapa para o trecho dois avariado
Tabela 5a: Resultados da otimização da primeira etapa para o trecho cinco avariado
Tabela 5b: Resultados da otimização da primeira etapa para o trecho cinco avariado
2ª Etapa
Com os resultados dos diâmetros e vazões obtidos na primeira etapa do dimensionamento,
ilustrado nas tabelas 3, 4 e 5, executa-se um novo processo de otimização, alterando-se
algumas variáveis de decisão já que agora o diâmetro não será mais variável de decisão,
passando a sê-la, no seu lugar, o comprimento dos sub-trechos. Para cada trecho será
adotado dois diâmetros comerciais, um imediatamente superior e outro imediatamente
inferior ao obtido na etapa anterior. Na tabela 2 estão os diâmetros comercialmente
utilizados, para as três condições de contorno adotadas.
Como têm-se três condições de contorno a função objetivo para a segunda etapa e as
equações de restrição serão formuladas levando em consideração que as três considerações
sejam atendidas no processo de otimização.
equação (21)
Substituindo os valores dos preços dos tubos (tabela 2), tem-se:
equação (22)
Para as três condições de contorno a função objetivo estará sujeita às restrições:
Pressão mínima requerida nos nós
Para a rede sem trechos avariados:
Nó A: 54 - (hf1,500 + hf1,600) = (25 + 5,0) equação (23a)
Nó B: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf2,500 + hf2,600) = (25 + 5,0) equação (23b)
Nó C: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf2,500 + hf2,600+ hf3,500 + hf3,600) = (25 + 4,0)
equação (23c)
Nó D: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,500 + hf5,600+ hf3,500 + hf3,600 + hf4,500 +
hf4,600) = (25 + 4,5) equação (23d)
Nó E: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,500 + hf5,600) = (25 + 4,5) equação (23e)
Nó F: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,500 + hf5,600+ hf6,500 + hf6,600) = (25 + 4,5)
equação (23f)
Para o trecho dois avariado:
Nó A: 54 - (hf1,500 + hf1,600) = (25 + 5,0) equação (23g)
Nó B: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,500 + hf5,600+ hf6,500 + hf6,600+ hf7,500 + hf7,600
+ hf4,500 + hf4,600 +
+ hf3,500 + hf3,600) = (25 + 5,0) equação (23h)
Nó C: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450+ hf6,500 + hf6,600+ hf7,500 + hf7,600
+ hf4,500 + hf4,600)
= (25 + 4,0) equação (23i)
Nó D: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450 + hf6,500 + hf6,600+ hf7,500 +
hf7,600) = (25 + 4,5) equação (23j)
Nó E: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450) = (25 + 4,5) equação (23k)
Nó F: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450 + hf6,500 + hf6,600) = (25 + 4,5)
equação (23l)
Para o trecho cinco avariado:
Nó A: 54 - (hf1,500 + hf1,600) = (25 + 5,0) equação (23m)
Nó B: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf2,500 + hf2,600) = (25 + 5,0) equação (23n)
Nó C: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf2,500 + hf2,600+ hf3,500 + hf3,600) = (25 + 4,0)
equação (23o)
Nó D: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450 + hf3,500 + hf3,600 + hf4,500 +
hf4,600) = (25 + 4,5) equação (23p)
Nó E: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450+ hf3,500 + hf3,600 + hf4,500 +
hf4,600+ hf7,300 + hf7,350+
+hf6,500 + hf6,600) =(25 + 4,5) equação (23q)
Nó F: 54 - (hf1,500 + hf1,600 + hf5,400 + hf5,450+ hf3,500 + hf3,600 + hf4,500 +
hf4,600+ hf7,300 + hf7,350)
= (25 + 4,0) equação (23r)
Conservação de energia nos nós
Do mesmo modo que realizado na primeira etapa, haverá somente uma equação de
restrição, que seria para o dimensionamento sem trechos avariados:
Anel 1: (hf2,500 + hf2,600) + (hf3,500 + hf3,600) + (hf4,500 + hf4,600) - (hf5,500 +
hf5,600) - (hf6,500 + hf6,600) –
(hf7,500 + hf7,600) = 0 equação (24)
Continuidade nos nós
As equações de continuidade nos nós são idênticas às obtidas na primeira etapa do método,
ou seja, equações 17a,...., 17r.
Velocidades máximas e mínimas adotadas
As equações de velocidades máximas admissíveis são idênticas às obtidas na primeira etapa
do método.
Vazão nula no trecho avariado
As equações de vazão nula para os trechos avariados serão idênticas às obtidas na primeira
etapa do método, ou seja, equações 19 e 20.
Comprimentos dos trechos
Por esta nova restrição, tem-se que a soma dos comprimentos dos sub-trechos deve ser
igual ao comprimento de cada trecho:
Trecho 1: l1,500 + l1,600 = 2.540 equação (25a)
Trecho 2: l2,500 + l2,600 = 350 equação (25b)
Trecho 3: l3,500 + l3,600 = 1.140 equação (25c)
Trecho 4: l4,500 + l4,600 = 1.430 equação (25d)
Trecho 5: l5,500 + l5,600 = 1.020 equação (25e)
Trecho 6: l6,500 + l6,600 = 1.430 equação (25f)
Trecho 7: l7,500 + l7,600 = 1.710 equação (25g)
Não negatividade dos comprimentos dos sub-trechos
Todos os comprimentos devem ser maiores ou iguais a zero:
Trecho 1: l1,500 = 0; l1,600 = 0 equação (26a)
Trecho 2: l2,500 = 0; l2,600 = 0 equação (26b)
Trecho 3: l3,500 = 0; l3,600 = 0 equação (26c)
Trecho 4: l4,500 = 0; l4,600. = 0 equação (26d)
Trecho 5: l5,500 = 0; l5,600 = 0 equação (26e)
Trecho 6: l6,500 = 0; l6,600 = 0 equação (26f)
Trecho 7: l7,500 = 0; l7,600 = 0 equação (26g)
Terminado o processo de elaboração das equações, faz-se a otimização do problema,
novamente utilizando o algoritmo GRG2. Os resultados da otimização para a 2ª etapa são
mostrados nas tabelas 6a, 6b e 6c:
Tabela 6a: Resultados da otimização da segunda etapa sem nenhum trecho avariado
Tabela 6b: Resultados da otimização da segunda etapa para o trecho dois avariado
Tabela 6c: Resultados da otimização da segunda etapa para o trecho cinco avariado
Como ocorreu para a 1ª etapa, os trechos "dois" e "cinco" continuaram fora de operaç ão. E
os diâmetros nesta 2ª etapa, que foram desdobrados em dois diâmetros comerciais, onde
esses não seriam mais variáveis de decisão, o modelo continua garantindo a confiabilidade
da rede com relação a não encontrar diâmetros mínimos ao final desta (o diâmetro mínimo
encontrado foi de 500 mm no trecho "sete" e de 500 mm no trecho "quatro"), o que
demonstra que a rede dimensionada garante o abastecimento contínuo de todos os nós,
mesmo em caso de rompimento de um ou mais trechos.
As pressões mínimas (25 mca) foram atendidas em todos os nós da rede, para a simulação
sem trechos avariados.
Tabela 7: Comparação entre os diâmetros adotados pela a CAGEPA, e os calculados pelos
PNL2000 e o método proposto
Essas duas redes dimensionadas, uma pelo método Hardy-Cross (CAGEPA) e a outra pelo
método PNL2000 sem levar em consideração a confiabilidade, foram simuladas adotando
as mesmas falhas utilizadas por esse trabalho (os trechos "dois" ou "cinco" fora de
operação), os resultados obtidos mostraram que o dimensionamento feito pelo método
Hardy-Cross, não é confiável. Quando o trecho "dois" estiver fora de operação, existirão
três nós onde a pressão será negativa (nós "D", "C" e "B"), ou seja, não haverá
abastecimento nestes nós. Quando o trecho "cinco" estiver fo ra de operação não haverá nós
com pressão negativa, porém, em alguns destes a pressão mínima não será atendida. Com
relação ao dimensionamento efetuado pelo método PNL2000 sem levar em consideração a
confiabilidade, o dimensionamento também não atende o critério de confiabilidade adotado,
quando esta rede estiver com um dos dois trechos fora de operação. Quando o trecho "dois"
estiver fora de operação, haverá três nós com pressão negativa, ou seja, não haverá
abastecimento nestes nós (nós "D", "C" e "B"). Quando o trecho "cinco" estiver fora de
operação, haverá três nós com pressão negativa, ou seja, não haverá abastecimento nestes
nós (nós "D", "F" e "E").
Confiabilidade versus custo
A relação entre a confiabilidade e o custo da rede será obtida a partir das considerações do
trecho "dois" e "cinco" fora de operação. Neste caso tem-se que a confiabilidade da rede
estaria em abastecer continuamente os nós "B" e "E" da rede, onde se diminui
gradativamente a demanda de abastecimento destes dois nós. A variação da demanda
influenciará na variação dos custos, haja vista que com demandas menores, os diâmetros
das tubulações também serão menores. Mesmo com a diminuição da demanda, foi imposto
que a pressão requerida em todos os nós continuaria de 25 mca.
Após várias simulações, estabeleceu-se um gráfico que relaciona o custo da rede, com a
confiabilidade do sistema (ver figura 2). A figura 2 e a tabela 8 demonstram que quanto
mais confiável for uma rede mais onerosa ela se tornará. Pode-se acrescentar que a
simulação com apenas 50% da demanda nos nós "B" e "E" e com os trechos "dois" ou
"cinco" avariados, que seria o dimensionamento mais desfavorável para o Grande Anel,
atende a todas as restrições imposta ao sistema.
Tabela 8: Resultados dos custos obtidos para os dois trechos avariados com relação a
diminuição da demanda
Figura 3 - Custo de implantação versus confiabilidade
CONCLUSÕES
Ficou demonstrado que as técnicas de otimização e análise de confiabilidade, utilizadas na
fase de projeto de redes de distribuição, podem contribuir para a melhoria da qualidade do
abastecimento, levando-se em conta a minimização dos custos de implantação.
Com relação a confiabilidade do sistema ficou verificado que a alteração na rede de suas
características hid ráulicas implica na variação de seu custo de implantação, já que
componentes que promovem aumento de capacidade hidráulica e melhora dos índices de
performance estão ligados diretamente a custos mais elevados. Assim, a maior
confiabilidade estaria associada a maiores custos e vice- versa.
Através deste trabalho ficou demonstrado que a solução obtida para o dimensionamento de
uma rede a partir de critérios de otimização econômica, não proporciona uma alternativa de
projeto confiável, com relação ao atendimento das vazões e pressões nos pontos de
consumo, com possíveis avarias em trechos da rede. Para que o dimensionamento ótimo,
em termos econômicos, possa ser considerado confiável, haverá que introduzir critérios ou
determinadas situações de projeto que possam prever rompimentos ou falhas no
abastecimento. Com isso o custo da rede de abastecimento será incrementado em função
das condições impostas ao atendimento. Para o estudo de caso apresentado neste trabalho,
pode-se verificar que o dimensionamento ótimo da rede, considerando as condições de
atendimento em caso de falhas no sistema (situações mais desfavorável), o seu custo torna se semelhante ao custo do projeto original efetuado pela CAGEPA (ver dados da tabela 7).
Entretanto, pode-se dimensionar a rede com critérios de otimização, de maneira que o
sistema atenda a determinadas situações de falha com vazões e pressões menores do que
máximas admitidas. Assim pode-se ter uma rede cujo custo possa ser compatível com uma
relativa confiabilidade.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALPEROVITS, E.; SHAMIR, U. Design of Optimal Water Distribution Systems. Water
Resources Research. AGO. Vol. 13, Nº 6, p. 885-900. New York, NY, USA, 1977.
DEB, A. K. Optimization of Water Distribution Network Systems. Journal of
Environmental Engineering Division, 102(4), p. 837-851, 1976.
FORMIGA, Klebber Teodomiro. Metodologia de Otimização de Redes Malhadas através
da Programação Não Linear. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal da Paraíba.
Campina Grande – 1999.
GESSLER, J.; WALSKY, T. M. Technical Report EL-85-11: Water Distribution System
Optimization. U.S. Army Corps Engineers, Washington, DC, USA, 1985.
GOMES, H. P. Sistemas de Abastecimento de Água - Dimensionamento Econômico.
Editora Universitária - UFPB. João Pessoa, PB, 2002, 192 p.
GOUTER, Ian C.; LUSSIER, Bernard M.; MORGAN, David R.. Implications of Head
Loss Path Choice in Optimization of Water Distribution Networks. Water Resources
Research. AGO. Vol. 22, Nº 5, p. 819-822, New York, NY, USA, 1986.
GRANADOS, Alfredo. Infraentructuras de Regadios – Redes Colectivas de Riego a
Presión. Servicio de Publicación de E. T. S. I. de Caminos de la Universidad politécnica de
Madrid, Espanha, 1990.
GUPTA, R. e BHAVE, P. Reliability- Based Design of Water Distribuition Systems.
Journal of Environmental Engineering, p. 51-54, 1996.
KARMELI, D., GADISH, Y.; MEYERS, S. Design of Optimal Water Distribution
Networks. Journal of Pipeline Division, ASCE, Vol. 94, Nº 10, p. 1-10., New York, NY
USA, New York, NY, USA, 1968.
LASDON, L. S.; WARREN, A. D.; RATNER, M. S.. GRG2 User´s Guide. University of
Texas at Austin, Austin Tex, USA, 1984.
LEAL, Antônio Farias. Estudo Comparativo de Métodos de Otimização de Redes Malhadas
Pressurizadas. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal da Paraíba. Campina
Grande, PB, 1995.
LOPES, Alan Vaz. Otimização do Dimensionamento e Análise de Confiabilidade de Redes
de Distribuição de Água. Dissertação de Mestrado. Universidade de Brasília. Brasília, DF,
2002.
QUINDRY, G. E., BRILL, E. D., LIEBMAN, J. C. Optimization of Looped Water
Distribution Systems. Journal of Environmental Engineering Division, 107(4), p. 665-679,
1981.
SAVIC, D. A., WALTERS, G. A. Genetic Algorithms for Least-cost Desing of Water
Distribution Netwoks. Journal of Water Resources Planning and Management, 123(2), p.
67-77, 1997.
SU, Yu-Chun; MAYS, Larry W.; DUAN, Ning; LANSEY, Kevin E. Reliability-Based
Optimization Model for Water Distribution Systems. Journal of Hydraulic Engineering,
ASCE, Vol 114, Nº 12, p. 1539-1555, New York, NY, USA, 1987.