MÉTODOS NUMÉRICOS
Engenharia CIVIL
EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS
Ano lectivo de 2007/2008
Eng. Civil - Métodos Numéricos -
1
A. Ismael F. Vaz
-
Departamento de Produção e Sistemas
1
Erros. Solução de uma equação não linear.
1.1 O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de algarismos
significativos do que as parcelas.
Comprove a afirmação, calculando
x+y
com x = 0.123 × 104 e y = 0.456 × 10−3 .
1.2 Para x = 0.433 × 102 , y = 0.745 × 100 e z = 0.100 × 101 , calcule usando aritmética de
três algarismos significativos
(a) x + y
y
(b)
x
(c) xz
Quantos algarismos significativos apresentam os resultados? Estime os erros de arredondamento cometidos.
1.3 Calcule um limite superior do erro absoluto no cálculo da expressão
f (x, y, z) =
2xy
+z
x2
Sabendo que são usados os seguintes valores aproximados:
x = 3.1416 de π
√
y = 1.732 de 3
√
z = 1.4142 de 2
Estime também o erro relativo em f .
1.4 Calcule um limite superior do erro absoluto no calculo da expressão
f (x, y, z) = −x + y 2 + sen(z)
sabendo que sao usados os seguintes valores aproximados: x = 1.1 (δx = 0.05); y = 2.04
(δy = 0.005); z = 0.5rad. (δz = 0.05). Quantos algarismos significativos apresenta o valor
calculado de f ?
1.5 (TPC) Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência (R) de 20Ω. A resistência foi
medida com um erro relativo que não excede 0.01. A intensidade da corrente (I) é 3.00 ±
0.01A. Sabendo que a tensão da corrente é dada por V=RI, determine um limite superior
do erro absoluto no cálculo da tensão da corrente.
Quantos algarismos significativos garante para o valor calculado da tensão?
√
2
1.6 (TPC) Seja A = 3 23a a área de um hexágono regular de lado a. Seja 1m o valor
√
aproximado para o lado do hexágono. Considerando um valor aproximado de 3 com
quatro algarismos significativos, com que aproximação se deve medir o lado de modo a
que o limite superior do erro absoluto no cálculo da area não exceda 100cm2 ?
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2
1.7 Pretende-se calcular a área de um círculo, de raio aproximadamente igual a 25cm, com
erro absoluto que em modulo não excede 0.5cm2 . Com que aproximação se deve medir o
raio do círculo e quantos algarismos significativos se devem usar no valor aproximado de
π?
2
Zeros de funções
2.1 Localize através do método gráfico as raízes das equações não lineares em x:
(a) f (x) ≡ x3 − 3x + 1 = 0;
(b) f (x) ≡ sen(x) + x − 2 = 0;
(c) f (x) ≡ ex + x − 1 = 0;
(d) (AULA)f (x) ≡ x + ln(x) = 0.
2.2 A equação
1
f (x) ≡ 1 + (sec (x)) 2 − tg (x) = 0
surge na teoria das reacções nucleares e tem várias raízes. Calcule a raiz que pertence
ao intervalo [1, 1.5] usando um método iterativo que não precise do cálculo das derivadas.
Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = 0.05.
2.3 (TPC) Baseado num trabalho de Frank-Kamenetski, em 1955, a temperatura no interior de um material, quando envolvido por uma fonte de calor, pode ser determinada se
resolvermos a seguinte equação não linear em x:
√
e−0.5x
=
0.5L
cosh(e0.5x )
Para L = 0.088, calcule a raiz da equação, usando um método que não recorra a derivadas.
Tome como aproximação inicial o intervalo [−1, 0] e pare o processo iterativo quando o
critério de paragem for verificado para ε1 = 0.5 e ε2 = 0.1, ou ao fim de 2 iterações.
Nota: cosh(y) =
ey +e−y
2
2.4 (TPC) Considere a equação não linear f (x) ≡ x + ln(x) = 0 que tem uma única raiz.
Sabe-se que esta pertence ao intervalo [0.5, 1.0].
(a) Determine uma aproximação a essa raiz através do método de Newton. Considere
no critério de paragem ε1 = 0.005 e ε2 = 0.0005.
(b) Repita o processo, para o método de Newton, tomando agora x1 = 3.0. Que conclusões pode tirar desta implementação?
2.5 (AULA) Uma bola esférica de raio r = 10 cm feita de uma substância cuja densidade é
ρ = 0.638, foi colocada num recipiente com água. Calcule a distância x da parte submersa
da bola sabendo que
π x3 − 3x2 r + 4r 3 ρ
f (x) ≡
=0
3
usando o método de Newton. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = ε2 = 0.001, ou ao fim de 3 iterações.
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3
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=
−
+
2.6 (AULA) Considere a figura ao lado que representa
um lago. h é a profundidade do lago, A(h) = 4.7h é
a área da secção molhada, P (h) = 4 + 2h representa
o perímetro molhado, R(h) é o raio hidráulico dado
por PA(h)
(h) , S = 0.001 (inclinação longitudinal do lago),
v = 0.02 (parâmetro de rugosidade da superfície do
lago) e Q = 12.2 (vazão do lago).
Pretende-se determinar a profundidade h do lago pela aplicação da equação de Manning
para verificação da capacidade da vazão de lagos:
2
1
A(h) R(h) 3 S 2
Q=
.
v
Sabendo que h ∈ [1, 2], utilize o método mais adequado, considerando no critério de
paragem ε1 = 10−1 e ε2 = 10−2 (2 iterações).
2.7 (TPC) A equação
a(x) = 2.02x5 − 1.28x4 + 3.06x3 − 2.92x2 − 5.66x + 6.08
25
20
15
a'(x), velocidade de propagação
é usada num estudo do comportamento mecânico de materiais, sendo a(x) o comprimento da fissura e x (positivo) representa uma fracção de ciclos de propagação.
Pretende-se saber para que valores de x é
nula a velocidade de propagação. Utilize
um método que não recorre ao cálculo de
derivadas, usando no critério de paragem
ε1 = ε2 = 10−3 , ou no máximo 3 iterações.
10
5
0
-5
-10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
x, número de ciclos de propagação
0.6
0.8
1
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4
Sistemas de equações lineares
3.1 (AULA) Dada a matriz


2.4
6.0 −2.7
5.0
 −2.1 −2.7
5.9 −4.0 

A=
 3.0
5.0 −4.0
6.0 
0.9
1.9
4.7
1.8
e o vector b = (14.6, −11.4, 14.0, −0.9)T .
(a) Resolva o sistema correspondente por um método directo e estável.
(b) Calcule o determinante da matriz A por um método directo e estável.
(c) Calcule A−1 usando o método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial.
3.2 (TPC) A aplicação da lei de voltagem nos
nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear:

 17V 1 − 8V 2 − 3V 3 = 480
−2V 1 + 6V 2 − 3V 3 = 0

−V 1 − 4V 2 + 13V 3 = 0
(a) Resolva o sistema por um método directo e estável.
(b) Calcule a inversa e o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.
3.3 (TPC) Considere o sistema

 x1 + 0.5x2 + 0.5x3 = 2
0.5x1 + x2 + 0.5x3 = 2

0.5x1 + 0.5x2 + x3 = 2
(a) Use o método iterativo de Gauss-Seidel para calcular a solução, com uma precisão
(em termos relativos) igual a 0.3.
(b) Estude a convergência através das condições suficientes.
3.4 (AULA) Considere o sistema

 2x1 + x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 9

x1 + x2 + 3x3 = 6
Estude a convergência do método de Gauss-Seidel através das condições suficientes.
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5
3.5 Considere a matriz dos coeficientes de um certo sistema linear


k 3 −1
A =  k 6 1 .
1 5 −7
Com base numa das condições suficientes baseada na matriz A, para que valores de k se
garante a convergência do método de Gauss-Seidel?
3.6 Considere o seguinte sistema de equações lineares

2x1 + 0.5x2 = 1




0.5x

1 + x2 = 1
2x3 = −1


x
+ x5 = 1


 4
x4 + 2x5 = −1
Implemente o método iterativo de Gauss-Seidel para resolver o sistema. Pare o processo
iterativo quando uma das seguintes condições for verificada:
(k+1)
x
− x(k) i.
≤ 0.5
x(k+1) ii. nmax = 3.
3.7 Considere o seguinte sistema de

 0.8x1
0.6x1

2.0x1
equações lineares
+ 1.4x2 + 3.0x3 = 12.6
+ 0.9x2 + 2.8x3 = 10.8
+ 1.0x2 + 1.0x3 = 4.0
Estude a convergência do método de Jacobi na sua resolução. Justifique.
3.8 (TCP) Considere o seguinte sistema de equações lineares

x2 +
x3 =
1
 5x1 +
0.1x1 + 4.5x2 + 0.4x3 = 0.02

0.5x1 + 1.1x2 + 3.1x3 =
6
(a) Estude a convergência do método iterativo de Jacobi. Justifique a sua resposta.
(b) Calcule a solução do sistema, pelo método indicado, usando no critério de paragem
o seguinte valor para o parâmetro: ε = 0.1 (no máximo 3 iterações).
3.9 (AULA) A aplicação da lei de voltagem nos
nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear:

 17V 1 − 8V 2 − 3V 3 = 480
−2V 1 + 6V 2 − 3V 3 = 0

−V 1 − 4V 2 + 13V 3 = 0
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6
Use o método de Gauss-Seidel para encontrar uma aproximação à solução. Considere
V (1) = (0, 0, 0)T como aproximação inicial, ε = 0.2 e faça no máximo 2 iterações.
4
Sistemas de equações não lineares
4.1 (TPC) A posição de um determinado objecto O1 no plano xy é descrita em função
do tempo (t) pelas seguintes equações:
x1 (t) = t, y1 (t) = 1 − e−t .
A posição de um segundo objecto O2 é descrita pelas seguintes equações:
x2 (t) = 1 − cos(α)t, y2 (t) = sin(α)t − 0.1t2
em que α representa o ângulo em radianos,
como mostra a figura.
Quando se iguala as coordenadas x e y, obtém-se o seguinte sistema:
t
= 1 − cos(α)t
−t
1−e
= sin(α)t − 0.1t2
cujos valores de t e de α são desconhecidos.
Determine os valores de t e α na posição em que os dois objectos colidem, i.e., na posição
em que se igualam as coordenadas x e y. Considere os valores iniciais (t, α)(1) = (4.3, 2.4),
ε1 = ε2 = 0.015 e faça no máximo duas iterações.
4.2 Considere o seguinte sistema de equações:
3x2 +2y 2 = 35
.
4x2 −3y 2 = 24
Como se pode observar na figura o sistema tem 4 raízes. Utilize o método de Newton para
resolução de sistemas de equações não lineares para determinar uma aproximação à raiz
do 1o quadrante. Considere como aproximação inicial o ponto (2.5, 2) e ε1 = ε2 = 10−1
ou no máximo 2 iterações.
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4.3 (AULA)
(x1, y1)
Em problemas de navegação, é necessário
encontrar a posição de um ponto (x, y),
através dos valores das distâncias r1 e r2 a
dois pontos de posição conhecida (x1 , y1 ) e
(x2 , y2 ), como mostra a figura.
r1
(x2, y2)
r2
(x, y)
(a) Formule o problema como um sistema de equações não lineares em função das coordenadas do ponto (x, y). Note que r1 e r2 são os raios das circunferências de centro
(x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), respectivamente.
(b) Considerando (x1 , y1 ) = (10, 10), (x2 , y2 ) = (10, −10), r1 = 14 e r2 = 16, calcule as coordenadas do ponto (x, y) através do método iterativo de Mewton para
(x, y)(1) = (0, 0). Apresente o valor final ao fim de duas iterações com a correspondente estimativa do erro de aproximação.
4.4 Duas estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica
possível. O custo total de operação das duas estações é dado por
f (x1 , x2 ) = 0.1 + 0.01x1 x2 + 0.15x42 + 0.01x41 − 0.25(x1 + x2 − 100)
em que x1 é a energia fornecida pela primeira estação e x2 é a energia fornecida pela
segunda estação. Determine os valores de x1 e x2 por forma a minimizar o custo total
de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto (2.0, 0.5) e
ε1 = ε2 = 0.2 (uma iteração).
5
Interpolação polinomial
5.1 (TPC) Dada a tabela de valores de uma função f (x)
xi
f (xi )
0.0
0
0.1
1
0.2
1
0.3
2
0.4
2
0.5
3
0.8
3
1.0
4
(a) Pretende-se aproximar f (0.6) usando um polinómio de grau 3. Use a fórmula interpoladora de Newton baseada em diferenças divididas.
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.
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(c) Estime f (0.6) usando todos os pontos da tabela.
5.2 (AULA) Considere a seguinte tabela:
x
f (x)
−2
−17
−1
−1
0
1
0.25
1.421875
1
7
2
35
(a) Construa a tabela das diferenças divididas (utilize nos cálculos 6 casas decimais).
(b) Estime o valor de f (0.5) utilizando dois polinómios interpoladores de grau 3.
(c) Comente os resultados obtidos.
5.3 (AULA) Considere a seguinte tabela de uma função polinomial
x
p(x)
-1
-1
0
-3
1
-1
2
5
3
15
4
29
Sem recorrer à expressão analítica de p(x):
(a) mostre que p(x) é um polinómio interpolador de grau 2.
(b) determine p(10).
5.4 A velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo com a tabela abaixo:
Temperatura (o C)
Velocidade (m/s)
86.0
1552
93.3
1548
98.9
1544
104.4
1538
110.0
1532
(a) Pretende-se estimar a velocidade do som na água a uma temperatura de 100o C,
utilizando:
i. um polinómio interpolador de Newton de grau dois;
ii. um polinómio de grau dois no sentido dos Mínimos Quadrados, usando os mesmos
pontos que utilizou na alínea anterior.
(b) Comente e justifique os resultados.
6
Splines
6.1 (TPC) Pretende-se construir um desvio entre duas linhas de caminho de ferro paralelas.
O desvio deve corresponder a um polinómio de grau três que une os pontos (0, 0) e (4, 2),
como mostra a figura
( 4 ,2 )
( 0,0 )
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Com base nos quatro pontos da tabela
xi
fi = f (xi )
0
0
−1
0.4375
4
2
5
1.5625
construa uma spline cúbica natural para definir a trajectória do desvio e calcular f (2).
6.2 A resistência de um certo fio de metal, f (x), varia com o diâmetro desse fio, x. Foram
medidas as resistências de 6 fios de diversos diâmetros:
xi
f (xi )
1.5
4.9
2.0
3.3
2.2
3.0
3.0
2.0
3.8
1.75
4.0
1.5
Como se pretende estimar a resistência de um fio de diâmetro 1.75, use uma “spline” cúbica
natural para calcular esta aproximação.
6.3 (TPC) A distância requerida para parar um automobilista é função da velocidade a que
ele se desloca. Os seguintes dados experimentais foram recolhidos para quantificar essa
relação:
vel (Km/h)
15 20 25 30 40 50
distância (m) 16 20 34 40 60 90
Estime a distância necessária para parar um carro que se desloca a uma velocidade de 45
Km/h, utilizando uma spline cúbica completa.
6.4 (AULA) Num certo campeonato regional de futebol há 7 equipas. No fim da temporada, o número de pontos ganhos e o número de golos sofridos por 6 das equipas estão
representados na tabela
Equipa
No de pontos, xi
No de golos, f (xi )
F.C.Sol
10
20
F.C.Lá
12
18
S.C.Gato
18
15
Nova F.C.
27
9
Vila F.C.
30
12
F.C.Chão
34
10
a) Use uma spline cúbica completa para descrever a relação entre o número de pontos e
o número de golos sofridos pelas equipas no campeonato. Sabendo que a 7a equipa
terminou o campeonato com 29 pontos, estime o número de golos que terá sofrido.
b) Calcule uma estimativa do erro de truncatura cometido na alínea anterior.
6.5 (AULA) Considere a função f (x) definida por
x
f (x)
−2
−8
0
0
1
1
2
8
n′′
Sabendo que s1′′
3 (−2) = 12 e s3 (2) = 20 estime o valor de f (−1) através de uma ’spline’
cúbica.
6.6 Considere as duas seguintes funções ’spline’ cúbicas:

 −x + 5,
S3 (x) =
3.75x3 − 11.25x2 + 10.25x + 1.25,

−3.75x3 + 56.25x2 − 192.25x + 203.75,
0≤x≤1
1≤x≤3
3≤x≤5
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10
e
R3 (x) = 2x3 − 3x2 + 5,
0≤x≤5
e a tabela da função f (x):
xi
f (xi )
f ′ (xi )
0
5
0
1
4
−
3
32
−
5
180
120
Verifique se alguma das duas funções S3 (x) e R3 (x), corresponde à função ’spline’ cúbica
completa, interpoladora de f (x) nos pontos da tabela dada.
6.7 Um braço de um robô deve passar nos instantes t0 , t1 , t2 , t3 , t4 e t5 por posições prédefinidas θ(t0 ), θ(t1 ), θ(t2 ), θ(t3 ), θ(t4 ) e θ(t5 ), onde θ(t) é o ângulo (em radianos) que o
braço do robô faz com o eixo dos X’s.
ti
θi = θ(ti )
1
1
2
1.25
3
1.75
4
2.25
5
3
6
3.15
(a) Com base nos dados da tabela, aproxime a trajectória do robô por uma spline cúbica
completa. Indique também uma aproximação da posição do robô no instante t = 1.5.
(b) Calcule uma aproximação à velocidade do robô no instante t = 1.5
(c) Calcule um limite superior do erro de truncatura que se comete quando se usa a
derivada da spline calculada para aproximar a velocidade do robô.
7
Aproximação dos mínimos quadrados polinomiais e lineares
7.1 De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:
xi
ln(xi )
1
0
1.5
0.4055
2
0.6931
3
1.0986
3.5
1.2528
Calcule uma aproximação a ln(0.5), tendo como base o polinómio dos mínimos quadrados
de grau dois que melhor se ajusta aos pontos do quadro.
7.2 (TCP) Um carro inicia a sua marcha num dia frio de inverno e um aparelho mede o
consumo de gasolina verificado no instante em que percorreu x Km. Os resultados obtidos
foram:
x (Km)
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
−1
f (x) (lKm ) 0.260 0.208 0.172 0.145 0.126 0.113
Construa um modelo quadrático, para descrever o consumo de gasolina em função da
distância percorrida, usando a técnica dos mínimos quadrados.
7.3 (TCP) Pretende-se ajustar o modelo linear
M (x; c1 , c2 , c3 ) = c1 e−x + c2 x + c3
à função f (x) dada pela tabela
xi
f (xi )
−1
1.4
0
0
1
0.75
2
2.3
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11
no sentido dos mínimos quadrados. Determine os coeficientes do modelo apresentado.
Apresente uma estimativa para f (0.5).
7.4 Considere os seguintes valores de f da tabela:
xi
fi
2
0.5882
10
0.4000
17
0.3125
Suponha que pretendia ajustar o modelo
M (x) =
1
a + bx
aos valores de f da tabela no sentido dos mínimos quadrados, em que a e b são os parâmetros do modelo.
(a) Calcule o modelo M usando (a, b)(1) = (1.4, 0.2). Faça apenas uma iteração.
(b) Avalie o modelo, justificando se este se ajusta bem aos valores da tabela.
7.5 Considere a seguinte tabela matemática
xi
fi
0
−1.0
2
0.0
4
4.0
Qual dos modelos a seguir indicados ajusta melhor os dados da tabela, no sentido dos
mínimos quadrados?
i. p1 (x) = 1 + 1.25(x − 2)
ii. p2 (x) = 1 + 1.25(x − 2) + 0.37 (x − 2)2 − 2.67
x
iii. M (x; a, b) = −1.97 + 0.80e 2
7.6 (AULA) A resistência de um certo fio (de uma certa substância), f (x), varia com o
diâmetro desse fio, x. A partir de uma experiência registaram-se os seguintes valores:
xi
f (xi )
1.5
4.9
2.0
3.3
3.0
2.0
4.0
1.5
Foram sugeridos os seguintes modelos para ajustar os valores de f (x), no sentido dos
mínimos quadrados:
- uma recta
- o modelo linear: M (x, c1 , c2 ) =
c1
+ c2 x
x
(a) Calcule a recta.
(b) Calcule o modelo M (x) .
(c) Qual dos modelos escolheria? Justifique a sua escolha.
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12
Equações diferenciais com condições iniciais
8.1 Calcule a solução de
y ′ + 2xy 2 = 0
no intervalo [1, 2], utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem, com h = 0.5
e y(1) = 1.
8.2 A equação de Duffing,
d2 y
+ ky + y 3 = B cos t,
dt2
descreve a dinâmica caótica de um circuito com um inductor não linear. A representação
dy
gráfica das variáveis de estado (y e
) ao longo do tempo (t), origina uma figura
dt
denominada mapa de Poincaré:
Estime os valores das variáveis de estado, para k = 0.1, B = 12 e 0 ≤ t ≤ 0.1. Considere
dy
h = 0.05 e as condições y(0) = 0 e
(0) = 4 usando o método de Runge-Kutta de 2a
dt
ordem.
8.3 (AULA) A variação do fluxo de calor (condução) entre dois pontos de um cilindro aquecido numa das extremidades é dada por
dT (x)
dQ(t)
= λA
,
dt
dx
onde λ é uma constante, A é a área de uma secção do cilindro, Q(t) representa o fluxo de
calor, T (x) a temperatura, t o tempo e x é a distância à extremidade aquecida. Como a
equação envolve duas derivadas, podemos simplificá-la usando:
dT (x)
100(L − x)(20 − t)
=
,
dx
100 − xt
em que L é o comprimento do cilindro. Combine as duas equações e calcule o fluxo de
calor, Q(t), para t = 0.25 e t = 0.5. A condição inicial é Q(0) = 0 e os parâmetros são
λ = 0.4, A = 10, L = 20 e x = 2.5.
Use o método de Runge-Kutta de segunda ordem.
8.4 (TPC) Considere o seguinte modelo linear para a velocidade, v(t),
dv(t)
c
= g − v(t)
dt
m
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onde g = 9.8, c = 14 e m = 70. É possível definir um novo modelo, baseado numa descrição
mais complexa da força de atrito causada pela resistência ao vento, que é dado por
dv(t)
c
v(t) b
= g − [v(t) + a(
)]
dt
m
vmax
em que as constantes empíricas a, b e vmax são dadas respectivamente por 8.464, 2 e 46.
Usando o método de Runge-Kutta de 2a ordem, calcule aproximações numéricas a v(5)
para os dois modelos (separadamente), sabendo que v(0) = 0.
Tome h = 5 e comente a diferença obtida para os dois modelos.
8.5 A disciplina de Métodos Numéricos dum curso de Engenharia no ano lectivo 2005/06 tem
80 alunos inscritos. No início (instante t = 0), um grupo de 10 alunos resolveu lançar o
boato de que o exame iria ser cancelado. Em média cada estudante conversa com outros
colegas a uma taxa de α = 2 estudantes/hora, podendo estes já saberem ou não da
novidade. Se y(t) representar o número de estudantes que sabem do boato no instante
de tempo t (horas) então a taxa de recepção do boato é dada por
dy(t)
80 − y(t)
= αy(t)(
).
dt
80
Resolva esta equação numericamente e calcule o número de estudantes que após 2 horas
tomou conhecimento do boato (use h = 1).
8.6 Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias
′
y1 = y2
y2′ = x + 2y1
com as seguintes condições iniciais:
y1 (0) = y2 (0) = 1.
Determine a sua solução numérica no intervalo [0, 1] com h = 0.5, através do método de
Runge-Kutta de 2a ordem.
8.7 As seguintes equações definem as concentrações de três reagentes

dc1 (t)


= −2c1 (t)c3 (t) + 2c2 (t)
c1 (0) = 0.5


 dt
dc2 (t)
= 2c1 (t)c3 (t) − 2c2 (t)
c2 (0) = 0
 dt



 dc3 (t) = −2c (t)c (t) + 2c (t) − 0.2c (t) c (0) = 0.5
1
3
2
3
3
dt
Determine as três concentrações para t = 0.5, usando um método explícito de ordem dois
e de passo único. Considere um espaçamento h = 0.5.
8.8 Se y(t) representar a altitude de uma granada no instante de tempo t, então esta pode ser
descrita pela seguinte equação diferencial:
y ′′ (t) = −g + 0.2y,
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em que g representa a aceleração da gravidade (= 9.8m/s2 ). Sabendo que a granada é
lançada no instante t = 0, a partir do chão (y(0) = 0) e que, como a granada explode
após 5 segundos, esta deverá estar a 40 metros do chão. Será que, com uma velocidade
inicial de 18 ms−1 (y ′ (0) = 18 ms−1 ), a granada explode antes, depois ou na distância
prevista? Use um espaçamento de 2.5 segundos.
8.9 (TPC) Um soldado pára-quedista cai do avião a uma altura de 600 metros. Após 5
segundos, o pára-quedas abre.
A altura de queda do soldado pára-quedista
como função do tempo, y(t), é dada por
α(t)
,
y(0) = 600m e y ′ (0) = 0m/s
y ′′ = −g +
m
em que g = 9.81m/s2 é a aceleração da gravidade
e m = 80 kg é peso do soldado pára-quedista.
A resistência do ar α(t) é proporcional ao quadrado
da velocidade, com diferentes constantes de
proporcionalidade antes e depois da abertura do
pára-quedas:
K1 y ′ (t)2 , t < 5 s
α(t) =
K2 y ′ (t)2 , t ≥ 5 s
Considere K1 = 1/150, K2 = 4/150.
A que altura o pára-quedas abre? (considere um espaçamento de 2.5 segundos).
8.10 (AULA) O movimento vertical de um peso seguro por uma mola é descrito pela seguinte
equação diferencial:
1 d2 x dx
+
+ x = 0,
4 dt2
dt
x(0) = 4,
x′ (0) = 2.
Utilizando o método mais adequado que estudou, calcule a distância vertical, x, percorrida
pelo peso após 1 unidade de tempo (use h = 0.5).
Considerando L = 1 m, g = 9.81 m/s2 e θ0 = π/10, calcule a posição θ no instante de
tempo t = 5 (considere um espaçamento h = 2.5).
9
Equações diferenciais com condições fronteira
9.1 O composto A difunde-se através de um tubo de comprimento 4cm e reage à medida que
se difunde. A equação que governa a difusão e reacção é
D
d2 A(x)
− kA(x) = 0.
dx2
Numa extremidade do tubo existe uma grande quantidade de composto a uma concentração de 0.1M . Na outra extremidade do tubo existe um material absorvente que rapidamente absorve o composto e a concentração é igual a 0M . Se D = 1 × 10−6 cm2 /s
e k = 4 × 10−6 s−1 , qual é a concentração do composto nos seguintes pontos do tubo:
1cm, 2cm, 3cm.
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9.2 O potencial electrostático entre duas esferas de metal concêntricas de raios R1 e R2 (R1 <
R2 ) é representado por u. O potencial da esfera interior é mantido constante com V1 volts
e o potencial da esfera exterior é 0 volts. O potencial da região entre as duas esferas é
governado pela equação de Laplace que, neste caso específico se reduz a
d2 u 2 du
+
= 0,
dr 2
r dr
para R1 ≤ r ≤ R2 com u(R1 ) = V1 e u(R2 ) = 0.
Suponha que R1 = 2in, R2 = 4in e V1 = 110 volts. Calcule aproximações a u(2.5), u(3.0)
e u(3.5).
9.3 Quando o valor da tensão T não é constante, o modelo para a curva de deflexão y(x) de
uma corda a girar, é dado pela seguinte equação diferencial:
d
dy
T (x)
+ ρ̟2 y = 1
dx
dx
Considere que 1 ≤ x ≤ e e que T (x) = x2 . Se y(1) = 0, y(e) = 0 e ρ̟ 2 = 1, determine os
valores de deflexão nos três pontos interiores igualmente espaçados. Considere e = 2.72.
9.4 A conservação de calor pode ser usada para desenvolver um balanço de calor para uma
haste fina e longa. Se a haste não estiver isolada ao longo do seu comprimento e o sistema
estiver em estado estacionário, surge a seguinte equação
d2 T (x)
+ h′ (Ta − T (x)) = 0,
dx2
em que h′ é um coeficiente de transferência de calor que parametriza a variação da dissipação do calor para o ar circundante e Ta é a temperatura do ar circundante. Para uma
haste de comprimento L = 10 e para h′ = 0.01, Ta = 20, calcule a temperatura ao longo
da haste, supondo que T (0) = T1 = 40 e T (L) = T2 = 200. Use um espaçamento h = 2.5.
9.5 (AULA) Considere a seguinte equação diferencial
t − y(t),
0≤t≤π
′′
y (t) =
πeπ−t − y(t),
t>π
com as condições
y(0) = 0
e
y(2π) = 1.
π
Resolva-a no intervalo [0, 2π], considerando h = .
2
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16
Departamento de Produção e Sistemas
9.6 Dado o problema de equações diferenciais
−
dy(x)
d dy(x)
(x
) + x2
= −x,
dx
dx
dx
com y(0) = 1 e y(1) = −2 , calcule aproximações a y(0.25), y(0.5) e y(0.75). Use um
espaçamento h = 0.25.
9.7 (TPC) Dado o problema de equações diferenciais
(1 − x)y ′′ (x) + x2 y ′ (x) − y(x) = x
com y ′ (0) − y(0) = 1 e y(1) = 1, calcule aproximações numéricas a y(0), y(0.25), y(0.5)
e y(0.75).
10
Integração numérica
10.1 Foram registados os consumos, f (xi ), de um aparelho em determinados instantes, xi (em
segundos):
xi
f (xi )
0
0
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
0.5
0.5
0.6
0.6
3.6
0.6
6.6
0.6
9.6
0.6
9.8
0.7
10
0.8
Calcule o consumo total ao fim de 10 segundos.
10.2 A função F (t) surge na determinação da tensão à superfície de um líquido que rodeia
uma bolha esférica de gás:
Z t
P (x)
F (t) =
dx para 0 ≤ t ≤ 1
Q(x)
0
em que
P (x) = 3 + 3x + x2
Q(x) = 3 + 6x + 6x2 + 2x3
Determine F (1) considerando apenas os seguintes valores de x no cálculo do integral
0, 0.25, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0
10.3 (TPC) Considere a seguinte tabela de valores da função P (x) :
xi
P (xi )
0
0
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.29
0.5
0.46
(a) Calcule a melhor aproximação ao integral
Z 1
sen (xP (x)) dx
0
usando toda a informação da tabela.
0.7
0.61
1
0.79
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17
(b) Estime o erro de truncatura cometido no intervalo [0.7, 1] com a aproximação da
alínea anterior.
10.4 O comprimento do arco da curva y = f (x) ao longo do intervalo [a, b] é dado por
Z bq
1 + (f ′ (x))2 dx.
a
Calcule uma aproximação numérica ao comprimento do arco da curva f (x) = e−x no
intervalo [0, 1], usando 5 pontos igualmente espaçados no intervalo.
10.5 (TPC) A função distribuição normal acumulada é uma função importante em estatística.
Sabendo que
Rz
2
Z z
1 + √12π −z e−x /2 dx
1
−x2 /2
F (z) = √
.
e
dx =
2
2π −∞
Calcule uma estimativa de F (1), usando a fórmula composta do trapézio com 5 pontos
no cálculo do integral.
10.6 A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é dada
I(a)
pela função F (t) = 8e−t
para t ≥ a, em que
π
Z 2
eax
I(a) =
f (x, a)dx
com f (x, a) =
x
1
Calcule I(1) usando a fórmula composta do trapézio com erro de truncatura inferior a
0.05.
10.7 (TPC) Considere o seguinte integral
I=
Z
1
x2 ex dx.
0
Calcule uma aproximação ao integral I obtida a partir da fórmula composta do trapézio,
de tal forma que o erro (de truncatura) cometido, em valor absoluto, não exceda 0.005.
10.8 Determine uma aproximação ao valor do integral definido
Z 1
1
2
x +
dx
x+1
0
através da fórmula de Simpson, com um erro de truncatura, em valor absoluto, inferior
a 0.0005.
10.9 (AULA) A velocidade de queda de um paraquedista é dada pela seguinte equação:
c
gm V (t) =
1 − e−( m )t
c
onde m é a massa do paraquedista e c é o coeficiente de atrito.
Determine a distância de queda do paraquedista ao fim de 10 segundos sabendo que a
massa do paraquedista é de 71kg e que o coeficiente c = 12.5kg/s, com erro absoluto
inferior a 10−4 , usando a regra dos 38 .
Assuma que o paraquedista salta de um avião no instante de tempo 0 e considere g =
9.81m/s2 .
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18
10.10 (AULA) Pretende-se calcular a pressão, P , que suporta um semicírculo de raio r, submerso verticalmente em água, de tal forma que o seu diâmetro coincide com a superfície
livre da água, como mostra a figura
0
h x r
dh
X
Y
Para calcular a pressão do líquido, usa-se a lei de Pascal. Assim, a pressão total é definida
por
Z r p
P = 2γ
h r 2 − h2 dh
0
em que γ é o peso específico da água. Considere γ = 1 e r = 7.
(a) Calcule a pressão, P , usando seis pontos igualmente espaçados no intervalo [0,5] e
cinco pontos igualmente espaçados no intervalo [5,7].
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior apenas para o intervalo
[0,5].