Cortes
(cut-sets)
UFES
Corte por arestas
• Em um grafo conexo G, um corte de
arestas é um conjunto de arestas cuja
remoção de G torna G desconexo, desde
que nenhum subconjunto próprio desse
conjunto também desconecte G
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Corte por arestas
• rank de um grafo: r = n - (G)
• Subconjunto minimal de arestas de
maneira a garantir a conexidade de cada
componente do grafo
• corte de arestas: subconjunto minimal de
arestas cuja remoção reduz o rank de um
grafo de uma unidade.
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Corte por arestas
• corte de arestas: subconjunto minimal de
arestas cuja remoção acarreta uma
partição no grafo.
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Propriedades
• Todo corte de arestas de um grafo conexo G
deve conter pelo menos uma aresta de toda
árvore geradora de G;
• Em um grafo conexo G, qualquer conjunto
minimal de arestas contendo pelo menos uma
aresta de qualquer árvore geradora de G é um
corte de arestas;
• Todo ciclo possui um número par de arestas em
comum com qualquer corte de arestas
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Corte por Aresta
(Bondy & Murty)
• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos
por [S, S´] o conjunto de arestas com um
extremo em S e outro em S´
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Corte por Aresta
(Bondy & Murty)
• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos
por [S, S´] o conjunto de arestas com um
extremo em S e outro em S´
• Seja C um subconjunto de E da forma
[S, S´], onde S é um subconjunto não
vazio e próprio de V e S´=V-S
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Bond
• Se C é minimal, então C é um corte de
arestas de G.
• Em alguns livros o corte de arestas é
denominado bond.
• Se G é conexo, então um bond B de G é
um subconjunto minimal de E tal que G-B
é desconexo.
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(INF 5037)
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Exemplo:
G
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Exemplo:
G
a
b
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(INF 5037)
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Exemplo:
G
a
Conjunto de arestas
que desconecta o grafo!
b
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(INF 5037)
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Exemplo:
G
a
Mas não é minimal!!!
b
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Exemplo:
G
a
É um corte de arestas (bond)!!
b
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Cotree
• Se H é um subgrafo de G, o complemento
de H em G, denotado por H é o subgrafo
G-E(H).
• Se G é conexo, e T é uma árvore
geradora de G, então T é dita cotree de G
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(INF 5037)
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Teorema:
Seja T uma árvore geradora de um
grafo conexo G e seja a uma aresta
de T. Então:
a) a cotree T não contém corte de
aresta de G;
b) T + a contem um único corte de
arestas de G.
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(INF 5037)
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Prova
• Exercício!!!!!!!!!!
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(INF 5037)
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Conectividade e Separabilidade
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(INF 5037)
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Conectividade de arestas
• Em um grafo conexo G, o número de arestas do
menor corte de arestas de G é definido como
conectividade de arestas de G (K´ (G))
• K´ (G): número mínimo de arestas cuja
remoção reduz o rank de G em uma unidade.
• K´(T) = ????, onde T é uma árvore.
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(INF 5037)
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Corte de vértices
• Subconjunto minimal de vértices V´  V,
cuja remoção de G o desconecta ou o
transforma em um grafo nulo.
• G – V´: desconexo ou nulo e 
subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é
conexo e não nulo.
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(INF 5037)
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Conectividade de vértices
• O número mínimo de vértices que
desconecta o grafo G ou o reduz a um
único vértice é definido como
conectividade de vértices de G (K (G))
• K(T) = ????, onde T é uma árvore.
• Conectividade de vértices tem sentido
apenas para grafos conexos com mais de
três vértices e não completos.
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(INF 5037)
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Conectividade de vértices
• K´(G) = K(G) = 0, G desconexo
• K(G)  n – 2,  G  Kn
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Grafo separável
• Um grafo G é dito separável quando
K(G) = 1.
• Neste caso, G pode ser decomposto em
subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem
apenas um vértice em comum.
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(INF 5037)
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Articulação
• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.
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(INF 5037)
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Teorema
Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2.
Então:
a) Um vértice v de V é articulação sss
existem dois vértices x e y em G, x, y  v,
tais que todo caminho entre x e y passa por
v;
b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q}
for o único caminho entre p e q em G.
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(INF 5037)
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Exemplo
Suponha que são dadas n estações que
devem ser conectadas por e linhas,
e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de
conectá-las, de maneira a evitar sua
destruição devido à destruição de estações
individuais e/ou linhas individuais?
Maior conectividade de vértices e arestas
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(INF 5037)
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Teorema
A conectividade de arestas de um grafo G
não pode exceder o grau do vértice com o
menor grau de G
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Prova
• Seja w o vértice de grau mínimo de G ()
• É possível desconectar G, removendo-se
as  arestas incidentes a w.
•  ≥ K´(G)
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Teorema
A conectividade de vértices de um grafo G
não pode exceder a conectividade de
arestas de G
Teoria dos Grafos
(INF 5037)
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Questão
Sejam G = (V,E) um grafo e
E´ um corte de arestas de G.
É sempre possível encontrar
um corte de vértices V´
tal que |V´|  |E´|?
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G, K(G)  K´(G)
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Corolário
Todo corte de arestas em um grafo não
separável com mais de dois vértices contém
pelo menos duas arestas
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