X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM NAS SÉRIES DO ENSINO
FUNDAMENTAL II (7º ANO E 8º ANO) RELACIONADOS AOS MÉTODOS
ARITMÉTICOS PARA O ALGÉBRICO
Rainzilda Santana dos Santos Bispo
Centro Educacional Gov. César Borges
[email protected]
Resumo: O presente trabalho teve por objetivo estudar as possíveis dificuldades
apresentadas no uso das operações de adição e subtração nos diferentes conteúdos
matemáticos do 7º e 8º anos do Ensino Fundamental. Para tanto foi feito uma pesquisa
bibliográfica que permitiu investigar como os estudantes usam suas habilidades com os
números em alguns algoritmos aritméticos da matemática, e as dificuldades que podem
encontrar ao se depararem com uma adição ou subtração que esteja envolvida em uma
expressão algébrica. Os resultados mostraram que estudantes precisam entender que a
matemática possui uma linguagem própria diferente dos significados trabalhados nas salas
de aula e na rua, mas que ambas se complementam.
Palavras - chave: Aritmética; Algoritmos; Adição-subtração; Significados.
Introdução
A matemática é uma necessidade em qualquer sociedade e nos dias atuais em todos
os setores, vem sendo aplicada para facilitar negociações, avaliar índices de
desenvolvimentos sociais entre outras, portanto os modelos matemáticos atingem todos os
diferentes níveis sociais e seria lógico esperar que ocorresse uma generalização da cultura
matemática na sociedade. Contudo nem todas as pessoas de uma comunidade social
atingem o nível de “alfabetização funcional” necessária para o convívio social.
Diante de minha experiência como professora do Ensino Fundamental, de maneira
especial na 7ª série, observo que na maioria das vezes os alunos apresentam dificuldades
no uso das operações fundamentais. Em geral eles apresentam as seguintes dificuldades:
não conseguem identificar qual a operação a ser aplicada no problema proposto; não usam
corretamente os algoritmos na efetuação das operações; não tem domínio das noções
básicas da álgebra. Essas dificuldades têm comprometido a aquisição de novos saberes
concernentes aos demais temas trabalhados pelo professor em sala de aula e que são
pertinentes a serie atual dos estudantes.
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Santana, Cazorla e Campos (2007) desenvolveram um estudo com 1029 estudantes
da 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental de seis municípios da Região Sul da Bahia com o
objetivo de fazer um diagnóstico do desempenho dos estudantes na solução de situaçõesproblema envolvendo adição e subtração. Tal estudo aponta que embora haja uma
tendência linear de crescimento no desempenho dos estudantes, de 1ª a 4ª série, ele não é
satisfatório, e os alunos chegam ao final do 2º ciclo sem domínio satisfatório das quatro
operações.
Além do mais, segundo o relatório do SAEB (Brasil, 2003), o sistema de ensino
brasileiro não está sendo eficiente para os alunos da quarta série, onde foram constatadas
profundas lacunas na aprendizagem da Leitura e Matemática. Na dimensão curricular
Números e Operações, os estudantes não conseguiram efetuar cálculos simples envolvendo
as quatro operações, nem resolver problemas do cotidiano, havendo diferenças
significativas entre as regiões.
É
possível
que
tais
dificuldades
exerçam
importantes
influencia
no
desenvolvimento dos estudantes nos anos posteriores, ou seja, no Ensino Fundamental II.
Objetivos
Frente a estas dificuldades resolvi investigar o tema utilizando uma pesquisa
bibliográfica, cujos objetivos são observar alguns aspectos tais como: a importância da
aritmética na resolução de problemas; as dificuldades na aprendizagem da aritmética; a
aritmética do contexto escolar e aritmética do cotidiano dos estudantes e alguns elementos
para reflexão sobre as práticas em sala de aula, esperando obter resultados satisfatórios que
possam colaborar com o processo de ensino e aprendizagem.
Tais objetivos visam responder à seguinte questão de pesquisa: “Quais as possíveis
dificuldades enfrentadas pelos estudantes dos 7º e 8º anos do Ensino Fundamental no
emprego das operações de adição e subtração no contexto algébrico?
Metodologia
Objetivando responder à questão acima colocada optamos por uma pesquisa
bibliográfica, que segundo Cervo e Bervian (1983, p. 55), explica um problema a partir de
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referencias teóricos publicados em documentos. Os autores ainda afirmam que tal pesquisa
pode ser utilizada independentemente ou como parte da pesquisa descritiva ou
experimental. Ambos os casos permitem conhecer e analisar as contribuições culturais e
cientificas do passado existente sobre um determinado assunto, tema ou problema.
Ao tratar de pesquisa bibliográfica Gil (1999) explica que esta é desenvolvida
mediante material já elaborado, principalmente livros e artigos. O autor ressalta que
embora praticamente todos os outros tipos de estudo exigirem trabalho dessa natureza, há
pesquisas exclusivamente desenvolvidas por meio de fontes bibliográficas.
Para o presente estudo foi feita a análise de artigos e livros que trataram dos
aspectos referentes às dificuldades apresentadas por estudantes do Ensino Fundamental no
que tange à utilização das operações fundamentais, em particular, adição e subtração, num
contexto algébrico.
Revisão da Literatura
Apresentamos nesse momento os autores que tratam da questão das dificuldades
dos estudantes na aquisição de conhecimentos matemáticos no tocante à aritmética e a
álgebra. Ressaltando que o nosso foco está nas operações de adição e subtração.
Em seu livro Na vida dez, na escola zero: os contextos culturais da aprendizagem
da matemática a autora CARRAHER (2006) evidencia que “enquanto atividade humana, a
matemática é uma forma particular de organizarmos os objetos e eventos no mundo”. Para
CARRAHER (Ibid) em seu mesmo artigo os algoritmos ensinados
na escola para
realização de operações aritméticas podem constituir um obstáculo para o raciocínio da
criança, talvez por interferir com o significado dos próprios números com os quais a
criança deve operar .
Em seu artigo: “A matemática na vida cotidiana: psicologia, matemática e
educação”, CARRAHER, (2006, p.12) afirma a que a aprendizagem da matemática na sala
de aula é um momento de interação entre a matemática organizada pela comunidade
científica, ou seja, a matemática formal, e a matemática como atividade humana”.
A autora ainda aponta que a dificuldade sistemática em resolver os problemas nas
situações formais estaria nas diferenças lingüísticas existentes entre a versão formal e a
versão informal. No caso de problemas envolvendo subtração, por exemplo, na versão
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natural, retira-se uma quantidade de outra enquanto que, na versão escolar, a operação é
indicada pela palavra “menos” (Carraher 2006; p.41).
Em artigo ZUNINO, Délia (1995) chama a atenção para os procedimentos
utilizados pelas crianças para resolver contas, afirma que são totalmente diferentes dos
empregados para resolver problemas.
A análise das respostas de alguns problemas propostos pela pesquisadora a
estudantes da primeira série do Ensino Fundamental mostrou que: encontrar uma estratégia
para resolver um problema é algo muito diferente de poder representá-lo através de uma
conta convencional; a introdução apressada da conta convencional pode criar obstáculos
para elaboração de uma estratégia adequada; é necessário dar tempo as crianças para
repensar o problema, como também oportunidades para auto corrigir seus erros acidentais;
é imprescindível diferenciar a adequação da estratégia ao problema formulado da correção
ou incorreção do resultado obtido; trabalhar com números menores e sugerir a utilização de
material concreto, ou do desenho, parecem ser recursos úteis para ajudar as crianças a
elaborar uma estratégia de resolução. ZUNINO, Délia (1995; p.35)
De acordo com a autora, em alguma situação problema os alunos podem elaborar
estratégias diferentes para solucionarem problemas semelhantes, portanto a construção de
um problema deve ser bem estruturado, pois, “situações problemáticas que aparecem como
sendo semelhantes aos olhos dos adultos – porque eles as resolveriam através da mesma
operação- podem resultar muito diferentes para as crianças, porque efetivamente
correspondem a situações de fato diferentes , é necessário então levar em conta que o fato
de que uma criança resolva de uma determinada maneira uma situação específica de
subtração (ou de soma) não significa que ela resolverá da mesma maneira outra situação
que envolva a mesma operação. ZUNINO,Délia (1995; p.37).
Segundo ZUNINO,Délia (1995; p.45) um problema merece seu nome quando
torna possível construir conhecimento matemático, quer dizer , quando leva a elaborar uma
estratégia de resolução, a descobrir a equivalência de estratégias diferentes para estabelecer
relações que ainda não tinha se estabelecido.
ZUNINO,Délia (1995; p.52) destaca que os estudantes não utilizam de forma
exclusiva a representação convencional dos números e ainda que estejam resolvendo
cotidianamente contas na escola, elas levam a cabo um verdadeiro processo de
reconstrução da representação, que se expressa através da produção de escritas aritméticas.
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No tocante, as contas, essa autora chama a atenção para o fato de que estas
apresentam o mágico poder de induzir as crianças a operar de uma maneira muito diferente
frente a uma situação problema. Por que não recorrem ao material concreto oferecido a
elas para realizar com elas as ações que permitem resolver a situação. (1995; pg. 59)
A conclusão imediata desse conjunto de fatos, analisada por ZUNINO,Délia (1995;
p.67.) é que em situações que envolvem a matemática, ou seja, o uso de cálculos, como o
da vida extra- escolar, com moedas, e o propriamente escolar , tem se desenvolvido como
dois sistemas independentes, sem relação entre si.
Para essa autora os estudantes frequentemente não compreendem a necessidade ou
a lógica dos métodos escritos impostos pela escola. Como resultado, surge uma
extravagante aritmética escrita, separada por um abismo, em relação ao conhecimento
informal dos estudantes.
GÓMEZ-GRANELL,Carmen(2002;p.259) em seu trabalho intitulado “A aquisição
da linguagem matemática símbolos e significados”, afirma que a natureza do conhecimento
matemático é diferente em muitos aspectos, dos outros tipos de conhecimento. Em
primeiro lugar a matemática tem um caráter de administração muito maior que em
qualquer outro conteúdo. Para o autor o conhecimento matemático é profundamente
dependente de uma linguagem específica, de caráter formal, que difere muito das
linguagens naturais.
A característica dessa linguagem é tentar abstrair o essencial das relações
matemáticas, eliminando qualquer referencia ao contexto ou à situação, ao ponto de na
linguagem algébrica – considerada como a autêntica linguagem da matemática – os
números em si menos abstratos serem substituídos por letras, que tem um caráter muito
mais genérico, por exemplo, a expressão a. b = c pode referir-se a diferentes expressões
numéricas: 3.4 = 12 ; 140.7 = 980). GÓMEZ-GRANELL, Carmen (2002; p.261).
Ainda para o mesmo autor, a grande contribuição do Sistema de numeração
decimal com o qual trabalhamos consiste, precisamente, em conjugar o princípio da base e
da combinação dos princípios aditivos e multiplicativos com outro aspecto essencial; a
contribuição de um caráter dinâmico e variável a cada um dos dígitos da base que podem
ser combinados entre si adotando um valor ou outro de acordo com a posição que ocupam.
GÓMEZ-GRANELL,Carmen(2002;p.264)
ainda
salienta
que
os
símbolos
matemáticos possuem dois significados. Um deles, estritamente formal, que obedece a
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regras internas do próprio sistema e se caracteriza pela sua autonomia do real, pois a
validade das duas declarações não está determinada pelo exterior. E o outro significado,
que poderíamos chamar de essencial, que permite associar os símbolos matemáticos às
situações reais e torná-los úteis, para entre outras coisas resolverem problemas.
De acordo com BOOTH, Lesley (1982,p. 27) em seu artigo “Dificuldades das
crianças que se iniciam em álgebra”, os estudantes das series iniciais, consideram o
símbolo de = unidirecional e em aritmética, símbolos como + e = são interpretados
geralmente em termos de ações a serem efetuadas, de maneira que + significa efetivamente
realizar a operação, e = significa a resposta.
Considerações
Enquanto continuarmos ensinando procedimentos mecânicos sem criar as
condições que permitam aos alunos descobrirem os fundamentos desses mecanismos,
enquanto não favorecermos a utilização das estratégias que as próprias crianças possam
elaborar para resolver e representar as operações terá que continuar aceitando que as contas
sejam interpretadas como truques inventado por um mágico como entidades que obedecem
a regras próprias, independentes das ações de “agregar” e “tirar”.
Quando o aluno está envolvido em realizar uma atividade matemática que contenha
procedimentos aritméticos e algébricos o seu foco principal é encontrar um valor numérico
que satisfaça as operações realizadas, pois na maioria das vezes estes estudantes não
conseguem estabelecer relações entre os dados do problema e uma regra procedimental
para resolvê-lo.
Outra atitude muito freqüente entre os estudantes do 8º ano é simplificarem uma
expressão algébrica do tipo 3a + 4b, para eles o resultado é 7ab. Isso ocorre normalmente
devido ao fato de que os alunos apresentam dificuldade cognitiva, eles não aceitam a
ausência de fechamento ou então refletem a preocupação em encontrar um único valor
como se tratasse de uma situação aritmética.
Contudo esse problema pode estar muito mais ligado à dificuldade que os
estudantes apresentam em aceitar as respostas algébricas do que o dilema nome e processo
da expressão. Cada uma dessas dificuldades se não forem percebidas logo cedo pelos
professores, pode ocorrer que os alunos apresentem baixo desempenho no estudo das
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relações algébricas, portanto é importante que as regras aritméticas sejam bem trabalhadas
com propostas, contextualizadas, que as interações entre o saber intuitivo do aluno esteja
aproveitado e valorizado com exemplos concretos, assim a linguagem própria da
matemática em relação à parte aritmética não será confundida com os procedimentos e
relações algébricas.
Ainda com relação à solução da expressão 3a + 4b, que os estudantes geralmente
resolvem como 7ab vem do fato de que eles agem dando muita ênfase a operação indicada,
que no caso é a adição, devido a presença do símbolo + entre os termos. Mas, também
algumas vezes a forma como eles aprenderam a identificar o valor posicional de um
algarismo é interpretado da mesma maneira na álgebra.
Um erro comum realizado pelos alunos e que está relacionado à concepção que
tiveram em aritmética é a divisão de dois números, para a maioria deles deve-se sempre
dividir o número maior pelo menor, eles nunca pensam na possibilidade de se ter uma
quantidade pouca de qualquer objeto que deve ser distribuída por um número maior que a
quantidade existente dos objetos.
Este é um dos erros em aritmética que deve ser sanado enquanto o aluno ainda não
teve conhecimento das informações algébricas, pois muitas das concepções erradas que os
alunos cometem podem levar a problemas maiores quando estiverem estudando a álgebra.
É a falta de um referencial numérico que torna mais difícil a interpretação do
significado das letras, e por isso os alunos se confundem tanto na aplicação das variáveis.
Portanto depois que os alunos adquirem informações quanto ao uso das variáveis é
recomendado que não rotule as letras, deixando a critério do aluno qual variável ele deseja
usar em uma determinada situação.
Essa interpretação pode provocar uma situação desconfortável e que os alunos
passam a entender que uma letra é aquele valor e em outro momento não poderá assumir
mais nenhum outro valor numérico, ou seja, cada número com sua letra própria.
Muitos dos estudantes não apresentam bem definido a noção de variável, alguns
acreditam que na maioria das vezes as letras representam valores específicos (únicos)
confundindo-se, portanto com o que é proposto na aritmética em que os símbolos
representam sempre valores únicos.
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Identificar que um símbolo matemático (uma letra) pode representar não somente
um valor pode se tornar uma tarefa difícil devido às relações aritméticas não terem sido
bem compreendidas.
Quando o estudante aprende as relações e procedimento dentro do contexto
aritmético esta condição lhe permite diferenciar as várias situações em que determinado
símbolo esteja inserido num contexto algébrico ou aritmético. Caso estas relações sejam
transmitidas de forma que os estudantes adquiram concepções erradas ou equivocadas irá
favorecer no aluno um desempenho desfavorável em relação aos aspectos algébricos.
Dessa forma é fundamental que os procedimentos aritméticos sejam trabalhados
dentro ou fora da sala de aula, inserido no contexto aritmético. Eles devem ser bem
estabelecidos para que o aluno não apresente maiores problemas no momento em que
estabeleçam comparações ou até mesmo aplicações dos conceitos aritméticos.
Isso pode ser visto quando é apresentada ao aluno uma expressão numérica
composta por parênteses ou chaves, na maioria das vezes estes estudantes não conseguem
acertar o valor numérico da expressão por não utilizarem a regra de eliminação das chaves
e dos parênteses antes de realizarem as operações que estejam fora desses símbolos.
Outro aspecto relacionado ao uso dos parênteses que ainda não está claro para o
estudante ocorre quando é solicitado para que ele construa algumas expressões numéricas
com resultados diferentes utilizando para isso os mesmos algarismos eles dizem que não é
possível, pois, qualquer operação realizada com aqueles números o resultado será o
mesmo, assim compreendemos que muitos desses alunos ainda não apresentam bem
definidos os conceitos das operações fundamentais e não conseguem bom desempenho
com os sinais de uma expressão.
Quando é solicitado ao estudante que resolva uma equação ou determine os
elementos de dois conjuntos e para isso fazem uso de procedimentos informais é
importante que sejam orientados a perceber no momento que estiverem construindo suas
estratégias que seus procedimentos podem apresentar característica limitada, ou que seus
métodos apenas atendem a um leque de problemas da mesma série, neste momento o
professor deve discutir a importância dos métodos informais desenvolvidos pelos alunos e
despertar a curiosidade para que eles percebam a necessidade de métodos mais elaborados
e generalizados que atendam não somente os problemas em questão, mas que possibilite a
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resolução de outros mais estruturados, além de poder estabelecer relação entre os
procedimentos aritméticos e as generalizações algébricas.
Referências
BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD,
Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
Brasil (2003). Relatório do Sistema de Avaliação do Ensino Básico – SAEB. Brasília,
Brasil: INEP, MEC.
CARRAHER, Terezinha N; SCHLIEMANN, Analúcia; CARRAHER, David. Na vida dez
na escola zero. 14ª edição, São Paulo: Cortez, 2006.
CERVO, Amado Luiz; BERVIAN, Pedro Alcino. Metodologia científica: para uso dos
estudantes universitários. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1983.
GIL, Antônio Carlos. Métodos e técnicas de pesquisa social. 5ª edição. São Paulo: Atlas
1999.
GÓMEZ-GRANELL, Carmen. A aquisição da linguagem matemática: símbolo e
significado. In: TEBEROSKY, Ana & TOLCHINSKY, Liliana (Orgs). Além da
alfabetização: a aprendizagem fonológica, ortográfica, textual e matemática. 4ª edição, São
Paulo: Ática, 2002.
ZUNINO,Délia L. A matemática na escola aqui e agora. 2ª edição. Artes Médicas. Porto
Alegre,1995.
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