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HP-12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
RENATO BECKER
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HP-12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
OBJETIVO
Capacitar o participante a utilizar, de modo eficaz, a CALCULADORA HP-12C pelo uso das funções
existentes e a suas aplicações em Finanças, Matemática, etc..
Transmitir ao participante as formas de evolução do dinheiro com o tempo nas aplicações e
empréstimos e instrumentos para análise de alternativas de investimentos, enfatizar também aspectos
teóricos para desenvolver a capacidade de resolução de novos problemas.
RENATO BECKER
Formação:- Matemática, Economia, Pós-Graduação em Administração de Empresas e Controladoria.
Experiência:- 10 anos como Analista de Sistemas na Indústria de Fundição Tupy Ltda.
2 anos como Chefe de Planejamento de Materiais na Indústria de Fundição Tupy Ltda.
4 anos como Assessor Técnico do PCP na Indústria de Fundição Tupy Ltda.
4 anos como Coordenador do Projeto MRP II na Indústria de Fundição Tupy Ltda.
9 anos como Gerente de Informática na Indústria de Fundição Tupy Ltda.
5 anos como Gerente de Tecnologia da Informação na Termotécnica Ltda.
Professor Universitário da cadeira de Matemática Financeira na FURJ desde 1978.
8 anos como Instrutor do SENAC para os seminários de Matemática Financeira e
Calculadora HP-12C.
Instrutor da ABAM, FAE e FEJ.
Renato Becker
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PROGRAMA
I - HP-12C
OPERAÇÕES BÁSICAS
Liga/Desliga
Apresentação de valores
Mantissa
Uso do teclado
Pilha operacional
INTRODUÇÃO DE VALORES
Limpar registradores (memórias)
Inversão de sinal
Fixar decimais
CÁLCULOS ARITMÉTICOS
Operações aritméticas
Registradores (memórias) de armazenamento
CÁLCULOS MATEMÁTICOS
Inverso
Potenciação
Raiz "enézima"
Logaritmo
ALTERAÇÃO DE VALORES
Arredondamento
Números inteiros
Números fracionários
PORCENTAGEM
Cálculo de percentagem
Variação percentual
Participação percentual
CALENDÁRIO
Modos de apresentação (notação)
Número de dias entre datas
Determinação de datas e dia da semana
Renato Becker
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II- MATEMÁTICA FINANCEIRA
FUNDAMENTOS
Conceituação
Simbologia
Saldo médio
JUROS COMPOSTOS
Caracterização
Registradores financeiros
Fórmulas e exemplos
.Capitalização para períodos fracionários
PRESTAÇÕES
Caracterização
Prestações iguais
Taxa de juros
Prestação antecipada
Prestação com carência (diferida)
.Saldo devedor
FLUXO DE CAIXA
Valor presente líquido
Taxa interna de juros
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Conceituação
Fórmulas e exemplos
Exercícios
PROGRAMAÇÃO BÁSICA COM A HP-12C
Renato Becker
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HP-12C - USO E APLICAÇÕES
OPERAÇÕES BÁSICAS
LIGA/DESLIGA
Tecla
ON -
LIGA quando está desligada
DESLIGA quando está ligada
Desliga automaticamente entre 8 e 17 minutos após uso
APRESENTAÇÃO DOS VALORES
Notação Americana/Inglesa - Ponto para decimais
Vírgula para milhares
Notação Européia
- Vírgula para decimais
Ponto para milhares
Tecla . (ponto) e ON
1,000.00
1.000,00
muda a notação
USO DO TECLADO
As teclas da HP-12C podem possuir até 3 funções.
- PRIMÁRIA
- Face superior da tecla, identificada na cor BRANCA.
- 1a. SECUNDÁRIA - Acima da tecla, na cor AMARELA.
a
- 2 . SECUNDÁRIA - Face oblíqua da tecla, na cor AZUL.
- PRIMÁRIA (branca) - pressionar a tecla.
- 1a. SECUNDÁRIA (amarela) - pressionar a tecla
desejada.
a
- 2 . SECUNDÁRIA (azul) - pressionar a tecla
e após pressionar a tecla da função
e após pressionar a tecla da função desejada.
Renato Becker
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PILHA OPERACIONAL
São 4 registradores especiais usados para armazenar números durante os cálculos.
Para melhor entendimento e visualização usa-se a notação de empilhamento.
T
Z
Y
X (visor)
Cálculos com 1 número - registrador X
Cálculos com 2 números - registradores X e Y.
Z e T ===> Armazenam resultados intermediários.
TECLA ENTER
Ao digitarmos um número na calculadora, este é apresentado no visor, ou seja, no registrador X.
Pressionando a TECLA ENTER este número é transferido para o registrador Y, permitindo que novo
valor seja digitado.
Exemplo T
Z
Y
X
Renato Becker
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TECLA
(Roll down = Girar para baixo)
Permite verificar e recuperar o conteúdo da Pilha Operacional.
X --> T --> Z --> Y --> X
Exemplo -
T
Z
Y
R↓
R↓
R↓
X><Y
X><Y
X
TECLA
Inverte o conteúdo dos registradores X e Y.
Exemplo T
Z
Y
X><Y
X
Renato Becker
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TECLA
(Last X = Último X)
Recupera o valor do último número que constava no visor antes da última operação.
Exemplo T
Z
Y
X
Também pode ser usado como constante
Exemplo - Qual a receita produzida por um produto se vendermos 800 unidades a UM$ 50,00, UM$
75,00 e UM$ 95,00.
INTRODUÇÃO DE VALORES
LIMPAR REGISTRADORES
CL X
f CLEAR ∑
f CLEAR PRGM f CLEAR FIN
f CLEAR REG
f CLEAR PREFIX -
(MEMÓRIAS)
Registrador X (Visor)
Registradores Estatísticos (0 a 6)
Programa
Registradores Financeiros
Todos Registradores
Anula tecla de prefixo (f,g)
Renato Becker
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INVERSAO DE SINAL
(CHange Sign = Trocar sinal)
Positivo ===> Negativo
Negativo ===> Positivo
Exemplo -32
(-27) x 8
41 : (-3)
FIXAR DECIMAIS
n
Para fixar o número de casas decimais a serem apresentadas no visor (registrador X) da calculadora,
teclar f e em seguida o número de decimais desejadas.
Exemplo 0 decimais
3 decimais
9 decimais
Obs.:- Apesar do visor apresentar o número de casas decimais desejadas, internamente a HP-12C
continua efetuando os cálculos com até 16 casas decimais.
MANTISSA
Mostra no visor o conteúdo dos 10 dígitos do visor.
Manter a tecla ENTER pressionada.
Exemplo f 2
1,23456789
ENTER
Renato Becker
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CÁLCULOS ARITMÉTICOS
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
As operações aritméticas são cálculos que necessitam de dois números e para efetuar esta operação a
calculadora HP-12C utiliza o sistema de notação polonesa inversa (RPN).
Neste caso será necessário introduzir na calculadora os dois números (armazenados em X e Y) e então
efetuar a operação a ser executada.
Exemplo 12 + 5
14 x 8
29 - 12
36 ÷ 4
Com o auxílio da pilha operacional podemos executar cálculos encadeados.
Exemplo - Calcular
(4 + 8) ÷ (7 - 3)
9 x (3 + 5)
(98 - 90) x (5 + 6)
Renato Becker
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REGISTRADORES (MEMÓRIAS) DE ARMAZENAMENTO
A HP-12C pode possuir até 20 registradores ou memórias para armazenar resultados de operações
aritméticas.
0 --> 9
e
.0 --> .9
ARMAZENAR NÚMEROS
STO n
(STOre = Armazenar)
(n = número da memória)
Exemplo 2
no registrador 9
35 + 7 no registrador 6
4 x 9 no registrador 3
45 ÷ 3 no registrador .2
Os registradores de 0 a 4 permitem que a operação de armazenamento seja acompanhada de
operações aritméticas, possibilitando o seu uso como acumuladores.
Exemplo Somar 5 no registrador 3
Diminuir 2 do registrador 3
Multiplicar por 9 o registrador 3
Dividir por 3 o registrador 3
RECUPERAR NÚMEROS ARMAZENADOS
RCL n
(ReCalL = Recuperar)
(n = número da memória)
Exemplo - Verificar o conteúdo dos registradores
0
3
6
9
.2
Renato Becker
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CÁLCULOS MATEMÁTICOS
INVERSO
Obtém o inverso do valor contido no visor. Esta operação representa o mesmo que dividir 1 pelo
conteúdo do visor (registrador X)
Exemplo Determinar o inverso dos seguintes números:5
0,25
0,5
POTENCIAÇÃO
Esta é uma operação de dois números (registrador X e Y).
Y Recebe a base
X Recebe o expoente
Exemplo Calcule as seguintes potências:5
-2,5
4
9
RAIZ ENÉZIMA
x
3,87
20 ÷ 58
y
A HP12C dispõe somente da função raiz quadrada, porém usando um artifício matemático, é possível
extrair qualquer raiz, ou seja, se utilizarmos a potência inversa (elevar à potência 1/X) obteremos o
resultado desejado.
x
y
=
Y 1÷X
ou
Y1/x
Exemplo Determinar as seguintes raizes:3
8
12
254
−5
425
Determinar a taxa mensal equivalente 600% ao ano.
Renato Becker
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LOGARITMO
ln = Logaritmo natural ou Neperiano
Exemplo Calcular o logaritmo neperiano de:100
123
2
2,7182818
Obs.:- Para obter o logaritmo comum (base 10) de um número (log, base 10), calcular o ln do número
desejado, em seguida o ln de 10 e dividindo-se os valores.
Calcular o logaritmo comum (log) de:100
123
2
2,7182818
Renato Becker
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ALTERAÇÃO DE VALORES
ARREDONDAMENTO
(RouND = Arredondar)
Arredonda o número do visor (registrador X) e internamente para a quantidade de decimais constantes
no visor
g Lst X -- Recupera o valor com todas as decimais.
Exemplo Arredondar para:3 decimais 1,2345678
5 decimais 234,5678901
Obs.:- O critério de arredondamento usado, é o convencionado internacionalmente.
0 a 4 -- abandona
5 a 9 -- aumenta.
PARTE INTEIRA
(INTeGer = Nº Inteiro)
Altera o número do visor (registrador X) para a parte inteira do número nele contido, abandonando as
decimais.
g Lst X -- Recupera o valor original.
Exemplo Obter o número inteiro de:1,2345678
345,678901
0,598723
Renato Becker
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PARTE FRACIONÁRIA
(FRACtional = Fracionário)
Altera o número do visor (registrador X) para a parte fracionária, a parte inteira é substituída por zero.
g Lst X -- Recupera o valor original.
Exemplo Manter as decimais dos seguintes números:457,987
754
9,876578
PORCENTAGEM
Segundo o dicionário - Porcentagem ou percentagem - “Quantia que se paga ou recebe na proporção
de um tanto por cento”.
Porcento – “Importância recebida proporcional à venda; taxa ou quantidade que
determina essa importância”.
Cento – (s. m.) Número de cem; Uma coleção de cem unidades.
PERCENTUAL
Operação de dois números. Informar em primeiramente o valor base (de quem se quer obter o
percentual) e em seguida o valor do porcentual que se deseja calcular.
Exemplo Calcular 35% de 120.000.
Obs.:- O valor base permanece no registrador Y, permitindo com isso operações aritméticas entre ele e
o resultado
Exemplo Um objeto custa UM$ 520,00 e teve um aumento de 15%. Qual o seu novo preço?
Uma loja oferece 12% de desconto para a compra à vista de um objeto que custa UM$ 420,00. Qual o
valor a pagar?
Renato Becker
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VARIAÇÃO PERCENTUAL
Determina a diferença percentual entre um número base (registrador Y) e o número indicado no visor
(registrador X).
Exemplo O preço de um objeto aumentou de UM$ 240,00 para UM$ 324,00. Qual foi o aumento verificado?
Um objeto alterou seu preço de UM$ 675,00 para UM$ 540,00. Qual a redução ocorrida?
PARTICIPAÇÃO PERCENTUAL
(Percentual de um Total)
Determina quantos porcentos representa o valor contido no visor (registrador X) em relação a um valor
base (registrador Y).
Exemplo Qual a participação percentual de 220 em um total de 880?
O faturamento de uma empresa foi:UM$ 1200,00 Mercado Nacional
2500,00 Europa
4500,00 E U A
500,00 África
Qual a participação de cada um sobre o total?
Renato Becker
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CALENDÁRIO
A HP-12C está preparada para manipular datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de
4046.
FORMATO DA DATA
A data pode ser manipulada de duas maneiras:-
Americano/Inglês
- Mês Dia Ano
Europeu
- Dia Mês Ano
Um desativa o outro.
Quando D.MY estiver ativado, esta informação permanece indicada no visor.
As datas devem ser informadas da seguinte maneira.M.DY ==> 15/08/1998
D.MY ==> 15/08/1998
NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS
(DaYS = Dias)
Determina a quantidade de dias entre duas datas informadas.
Registrador X ==> Ano Civil (365 dias)
Y ==> Ano Comercial (360 dias)
Exemplo –
Determinar o número de dias decorridos entre 15 de outubro de 1998 e 27 de julho de 1999.
Determine o número de dias decorridos entre o dia do seu nascimento e data de hoje.
Renato Becker
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CÁLCULO DE DATA E DIA DA SEMANA
(DATE = Data)
Determina a data e o dia da semana a partir de uma data base, decorrido um certo número de dias
(passado ==> nº de dias negativo).
O resultado tem o seguinte formato:dd.mm.aaaa
S ==> D.MY
mm.dd.aaaa
S ==> M.DY
S ==> Dia da semana, 1 - Segunda, 2 - Terça,....., 6 - Sábado, 7 - Domingo.
Utiliza o calendário civil.
Exemplo Determinar a data e dia da semana em que ocorrerá o vencimento de uma duplicata emitida no dia 20
de agosto de 1999 com prazo de 45 dias.
Determinar o dia da semana do seu nascimento.
Renato Becker
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO
CONCEITUAÇÃO
A fim de produzir os bens de que necessita, o homem combina os fatores produtivos - recursos
naturais, trabalho e capital. Assim organizando a produção temos a geração de bens e serviços. A sua
venda gera a renda que é distribuída na forma de salários, alugueis, lucros e juros, este último
destinado aos proprietários do capital.
No cálculo financeiro JURO é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por um
determinado tempo, a uma taxa previamente combinada.
Dinheiro que se paga pelo uso de dinheiro emprestado
SIMBOLOGIA
P (PV) = Principal, valor do capital no início do investimento, ou seja, é a quantia transacionada,
também chamado de valor atual, valor presente, capital, etc..
r (I)= Taxa de juros por período de capitalização, expresso como porcentagem do principal.
i = Taxa de juros por período de capitalização, expresso na forma decimal (r/100), também conhecida
como taxa unitária de juros.
n = Número de unidades de tempo do investimento, ou seja, é a duração do investimento, (representa a
quantidade de capitalizações).
j = Valor dos juros produzidos (recebidos/pagos) durante um investimento.
S (FV) = Montante, valor do capital no final do investimento acrescido de juros, também conhecido
como valor nominal, valor futuro, valor final, etc..
d = Desconto obtido numa operação de antecipação de pagamento de um título.
R (PMT) = Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga de forma parcelada.
Diagrama de Fluxo de Caixa
$
$
|
|
receitas
0 1
2
3
4|
n-1| n
+---+---+---+---+ .............---+---+---+---> período
|
|
|
|
|
|
|
|
despesas
$
$
$
$
Renato Becker
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Cuidados
• A taxa de juros deve sempre ser transformada para o seu período de capitalização.
• A taxa de juros e o número de períodos de um investimento devem sempre ser expressos na mesma
unidade de tempo (de preferência na unidade de tempo da taxa de juros).
SALDO MÉDIO
O cálculo do saldo médio de um saldo bancário é o resultado da soma dos saldos diários dividido pelo
número de dias de observação.
saldo _ médio =
$1 + $2 + $3 + L + $n
n
saldo _ médio =
$1 × n1 + $2 × n2 + $3 × n3 + L + $n × nn
n1 + n2 + n3 + L + nn
Exemplo
Saldo D/C
Dias de Saldo
600,00 C
5
710,00 C
4
280,00 C
12
110,00 C
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FORMAS DE PAGAMENTO POR JUROS COMPOSTOS
- Pagamento Simples (único)
- Série Uniforme de Pagamentos (prestações)
- Mistos
Renato Becker
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REGISTRADORES FINANCEIROS
Através das funções financeiras podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, quaisquer
problemas financeiros que impliquem num só pagamento ou em uma série de pagamentos iguais. Os
valores dos pagamentos ou recebimentos introduzidos na calculadora devem estar de acordo com a
convenção de sinais estabelecida para fluxos de caixa, ou seja, sinal + para entradas e sinal - para
as saídas.
A HP-12C possui 5 registradores especiais para armazenamento e cálculo de valores na resolução de
problemas que envolvam finanças.
- Número de períodos de um investimento
- Taxa de juros por período de capitalização em %
- Valor Presente ou Principal
- Valor da prestação de uma Série Uniforme
- Valor Futuro ou Montante
Para armazenar valores nestes registradores basta digitar o valor e pressionar a tecla correspondente.
Para recuperar o valor armazenado em um registrador financeiro, basta pressionar
tecla do registrador correspondente.
seguida da
- É importante limpar os registradores financeiros antes de qualquer cálculo.
Para planos de pagamentos mistos (fluxos de caixas) podem ser utilizadas as teclas de fluxo de caixa:-
- Valor no período zero do fluxo de caixa
- Valor nos demais períodos do fluxo de caixa
- Número de vezes que o valor se repete
- Valor atual líquido do fluxo de caixa
- Taxa interna de retorno do fluxo de caixa
Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa.
Cada conjunto de valores, a exceção do gCf0, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento.
- Valor atual líquido do fluxo de caixa
Renato Becker
22
- Taxa interna de retorno do fluxo de caixa
Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa.
Cada conjunto de valores, a exceção do gCf0, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento.
Renato Becker
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PAGAMENTO SIMPLES
No sistema de pagamento simples sempre estão envolvidos um principal e um montante, além de
evidentemente da taxa de juros e do tempo do investimento.
Para P sempre atribui-se o tempo (período) zero e para S o período n.
0
1
2
3
4 . . . . . . n
+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
P
S
FÓRMULAS
n
S = P (1+ i)
S = P x FAC'(r,n)
FAC' = fator de acumulação de capital
P =
S
(1 + i)n
P = S x FVA'(r,n)
FVA' = fator de valor atual
Exemplos
1. Um investimento paga 5% a.m. de juros, quanto é possível resgatar após 6 meses, se aplicarmos
UM$ 35.000,00?
0
1
2
3
4 .5. . 6
+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
P
S
2. Qual o principal, que aplicado a juros de 11% a.a. produz um montante de US$ 35.000,00 após 12
anos?
Renato Becker
24
3. Um investimento de UM$ 25.000,00 produz UM$ 36.600,00 ao final de 4 meses. Qual a taxa de
juros?
 S
i = n
 P


 −1


4. Durante quanto tempo um capital de UM$ 100.000,00 deve ser aplicado a juros de 10% ao mês para
produzir juros de UM$ 61.000,00?
S
P
i=
log(1 + i)
log
5. Um banco remunera as aplicações com juros de 3% a.m.. Se aplicarmos hoje UM$ 8.500,00 e UM$
10.000,00 daqui a 3 meses qual será o resgate daqui a 6 meses?
Renato Becker
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS É FRACIONÁRIO
Para investimentos em regime de capitalização composta por um período de tempo nao inteiro, é
necessário convencionar de que forma será calculado o valor do montante. São utilizadas várias
convenções, conforme exposto a seguir para o exemplo de uma aplicação de UM$ 100.000,00 durante
3,5 meses com uma taxa de 18% a.m.
Três critérios:a) EXCLUSÃO – Período Inteiro – Juros Compostos
Período Fracionário – Não remunerado
b) LINEAR – Período Inteiro – Juros Compostos
Período Fracionário – Juros Simples
c) EXPONENCIAL – Período Inteiro – Juros Compostos
Período Fracionário – Juros Compostos
Renato Becker
26
PRESTAÇÕES (ou Rendas)
Os sistemas de prestações são casos particulares de juros compostos e devido a sua freqüência e
características foram desenvolvidas fórmulas para a determinação dos valores.
O principio do sistema de prestações é o de que cada parcela é composta por dois valores, amortização
e juros.
Os principais sistemas são:- Prestações Iguais
- Prestações Antecipadas
- Prestações com carência ou diferidas
- Prestações com pagamentos adicionais (balão)
PRESTAÇÕES IGUAIS OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
É o caso mais comum de sistema de prestações e serve como base para a maioria dos demais
sistemas.
0
1
2
3
4 . . . . . . n
+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
R
R
R
R
R
R
R
|
|
P
S
R - parcela de pagamento ou prestação
Antes de usarmos qualquer fórmula ou a calculadora HP12C para cálculos que envolvam um sistema
de prestações iguais é necessário que sejam observadas as suas características.
Características
1- O primeiro pagamento de um sistema de prestações iguais ocorre um período após o inicio do
investimento, ou seja, o período 0 é o início do investimento e a ele fica designado o principal.
2- O valor da parcela (R) é constante durante todo o investimento.
3- Não existem interrupções de pagamentos durante o investimento.
4- O número de períodos a ser considerado como n é igual a quantidade de prestações.
5- A taxa de juros e o intervalo de tempo entre pagamentos de parcelas, devem ser expressos na
unidade tempo da taxa de juros.
6- O montante (S) é obtido junto com o pagamento da última prestação. Isto significa dizer que o
investimento termina com o pagamento da última parcela.
7- O montante (S) de uma série uniforme de pagamentos é igual ao montante do principal que deu
origem a ela.
Renato Becker
27
FÓRMULAS
 (1 + i)n

−1
S = R×
i







ou
S = R x FAC(r,n)
FAC = Fator de acumulação de capital

i
R = S×
 (1 + i)n − 1





ou
R = S x FFC(r,n)
FFC = Fator de formação de capital
 (1 + i)n − 1
P = R×
 i × (1 + i)n





ou P = R x FVA(r,n)
FVA = Fator de valor atual
 i × (1 + i)n
R = P×
 (1 + i)n − 1





ou
R = P x FRC(r,n)
FRC = Fator de recuperação de capital
Exemplos
1. Se depositarmos mensalmente UM$ 2.000,00 em uma conta que rende 5% a.m. de juros, quanto
teremos ao final de 8 depósitos?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
R
R
R
R
R
R
R
|
|
P
S
2. Posso pagar mensalmente de UM$ 1500,00 durante os próximos 10 meses. Que quantia é possível
financiar se considerarmos uma taxa de juros de 6% a.m.?
Renato Becker
28
3. Uma compra de UM$ 72.000,00 será paga em 7 prestações mensais e iguais. Qual o valor da
prestação, se a taxa de juros é de 11% a.m.?
4. A loja “Vende Fácil” diariamente distribui aos seus vendedores os coeficientes para determinar o
valor das prestações no caso de vendas a prazo. Hoje ela determinou que a taxa de juros a ser
praticada é de 4,2% ao mês. Ajude o gerente determinar os coeficientes para os planos de 4, 7 e 12
meses.
TAXA DE JUROS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS
A taxa de juros de um sistema de prestações iguais normalmente é determinada por meio de
calculadoras financeiras ou então por aproximações sucessivas com o uso de interpolação linear.
Exemplo
Um financiamento de UM$ 40.000,00 será pago em 24 prestações mensais de UM$ 2.360,00 cada.
Qual a taxa de juros usada no financiamento?
Podemos obter a taxa de juros, de forma aproximada, através da formula de Karppin
Q=
n×R
−1
P
r =
200 × Q × (3 + Q)
n × (3 + 2 × Q ) + 3
Renato Becker
29
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE PARCELAS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS
O número de parcelas de um financiamento a partir do valor financiado e do valor da prestação é
determinado por:-
R
R − Pxi
log(1 + i)
log
n=
Exemplo
Um financiamento de UM$ 20.000,00 seráa pago em prestações mensais de UM$ 2.256,00 cada. A
juros de 5% a.m qual a duração do financiamento?
PRESTAÇÕES ANTECIPADAS
Neste caso a primeira prestação é paga no dia da tomada do empréstimo, podemos dizer que estamos
pagando uma entrada de valor igual ao da prestação. Este tipo de plano de pagamentos é muito usado
no comércio.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
R
R
R
R
R
R
R
R
|
|
|
P
S
FÓRMULA
 i × (1 + i)n − 1
R = P×
 (1 + i)n − 1





Exemplo
Foram financiados UM$ 5.000,00, em 10 (1 + 9) prestações iguais, onde o primeiro pagamento ocorre
no ato do financiamento. Qual o valor das prestações se a taxa aplicada é de 8% a.m.?
Renato Becker
30
PRESTAÇÕES COM CARÊNCIA OU DIFERIDAS
Este tipo de plano de pagamentos prevê que o pagamento da primeira prestação ocorre um certo
número de períodos após a contratação do empréstimo, ou seja existe uma carência.
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
R
R
R
R
R
|
P
Aqui devemos considerar dois períodos distintos
q - número de períodos sem pagamentos (3)
n - número de prestações (5)
FÓRMULA
 i × (1 + i)n + q
R = P×
 (1 + 1)n − 1





Exemplo
Para fazer uma promoção de venda, será necessário elaborar um plano de 6 prestações iguais, onde a
primeira prestação vence 4 meses após a venda. Determinar o valor das prestações de uma venda de
UM$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5,4% a.m.?
Renato Becker
31
PRESTAÇÕES COM PARCELAS ADICIONAIS
São planos de pagamentos onde um ou mais pagamentos são maiores ou menores que a prestação a
ser paga normalmente.
q
0
1
2
3
4 . . . . . . n
+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
R
R
R
R
R
R
R
|
|
P
± Adic.
Podem ocorrer duas situações: - é conhecido o valor do adicional
- é conhecido o valor da prestação com o adicional
PRESTAÇÕES ONDE É CONHECIDO O VALOR DO ADICIONAL
Neste caso calcula-se primeiramente o valor atual (P) do adicional
P1 =
S
(1 + i)n
Em seguida calcula-se a diferença entre o valor atual da dívida e o valor atual do adicional, obtendo-se
o saldo.
SALDO = P - P1
Finalmente calcula-se o valor da prestação tomando-se o SALDO por principal.
 i × (1 + i)n
R = P×
 (1 + i)n − 1





P = SALDO
Renato Becker
32
Exemplos
Uma compra de UM$ 9.000,00 será paga em 7 prestações, todas iguais, menos a quarta prestação que
será UM$ 1.000,00 maior que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 10%
a.m..
- valor atual do adicional
- valor do saldo
- valor da prestação
Uma compra de UM$ 40.000,00 será paga em 9 prestações, todas iguais, menos a quinta prestação
que será UM$ 1.200,00 menor que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de
6% a.m..
Renato Becker
33
SALDO DEVEDOR DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES
Consiste em determinar a parcela do principal, ainda não paga em determinada ocasião.
P = 20000
R = 2934
r = 10% a.m.
Saldo devedor no vencimento da 5a prestação
Mês
Juros
Saldo Devedor
antes do pgto
Pagamento
0
Saldo Devedor
após pgto
Amortização
20.000,00
1
2.934,00
2
2.934,00
3
2.934,00
4
2.934,00
5
2.934,00
Exemplo
Uma compra esta sendo paga através de 17 prestações de UM$ 5.000,00. Considerando uma taxa de
6% a.m., qual o saldo devedor antes e após o pagamento da sétima prestação?
Uma compra esta sendo paga através de 20 prestações de UM$ 8.000,00. Considerando uma taxa de
14% a.m., determinar:
a- Qual o valor à vista da compra?
b- Qual o saldo devedor antes e após o pagamento da nona prestação?
c- Quanto deveria ser dado de entrada para liquidar a dívida em 12 prestações de UM$ 8.000,00?
Renato Becker
34
FLUXO DE CAIXA
Quando um plano de pagamentos não é um Pagamento Simples nem uma Série Uniforme de
Pagamentos, dizemos que se trata de um Sistema Misto e para encontrar o Principal ou a Taxa de
Juros a HP12C possui um recurso denominado Fluxo de Caixa representado pelas teclas:
- Valor no período zero do fluxo de caixa (Principal)
- Valor nos demais períodos do fluxo de caixa
- Número de vezes que o valor se repete
Primeiramente informar o Principal e em seguida os demais valores.
Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa.
Cada conjunto de valores, a exceção do gCf0, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento.
Antes de inserir o fluxo de caixa limpar as memórias da calculadora (f CLEAR REG)
Quando um ou mais períodos não possuírem valor, para eles deve-se informar para o mesmo o valor
zero e o número de períodos que ele se repete.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 100 200 300 300 300 300 400
500 500 500 400
|
P
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
Determina o principal de um fluxo de caixa.
Exemplo
Determinar o valor atual (principal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 100 200 300 300 300 300 400
500 500 500 400
|
P =?
Renato Becker
35
TAXA INTERNA DE JUROS
Determina a taxa interna de juros do fluxo de caixa.
Obs. – Receitas e despesas devem ser informadas com sinal contrários.
Exemplo
Determinar o valor atual (principal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---->
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 100 200 300 300 300 300 400
500 500 500 400
|
2100
Renato Becker
36
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Quando uma taxa de juros é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no final de um número de
períodos são maiores do que os calculado pela taxa oferecida.
Por exemplo, se um principal de UM$ 10.000,00 for aplicado a 20% ao ano capitalizados
trimestralmente, temos:i = 20 / 4 = 5% ao trimestre
P = 10000,00
n = 1 ano = 4 trimestres
S = 10000 (1 + 0,05 )4 = 12.150,00
Assim os juros realmente pagos são de 21,5%.
Com isto 20% ao ano capitalizados trimestralmente, representa a taxa nominal e 21,5% ao ano
representa a taxa efetiva.
FÓRMULAS
i e = (1 + i)n − 1
in = n × i
n = número de capitalizações a acumular
Exemplos
1. Quais as taxas nominal e efetiva anual equivalente a 11% ao bimestre?
2. Para 10% a.m. calcular a taxa efetiva equivalente a:1 trimestre
1 semestre
1 ano
2 anos
Renato Becker
37
5 anos
3. Sendo a taxa anual de 381,7% ao ano, qual a taxa mensal equivalente?
re = 381,7% ao ano
m = 12 meses
(
i = n 1 + ie
)− 1
4. Transforme as taxas abaixo em taxa ano
10% a.m.
20% a.b.
30% a.t.
40% a.q.
Renato Becker
38
PROGRAMAÇÃO BÁSICA COM A HP-12C
Um programa nada mais é do que uma seqüência de teclas que é armazenada na calculadora. Sempre
que, por várias vezes, for necessário realizar cálculos com a mesma seqüência de teclas, poderá ser
economizado tempo, compondo um programa com estas teclas. Feito isso, em vez de pressionar todas
as teclas cada vez, simplesmente será pressionada uma tecla para ativar o programa. A calculadora
fará o resto automaticamente.
TECLAS DE PROGRAMAÇÃO
- Programação / Execução
- Mapa de disponibilidade de memória para programação e registradores de
armazenamento.
- Apaga todos os programas contidos na memória de programação.
- Desvia de uma linha para outra linha de programação.
- Executar / Parar um programa que esteja em execução.
- Mostra o número e o conteúdo da próxima linha de programação.
- Pausa, interrompe a execução do programa por cerca de um segundo.
- Mostra o número e o conteúdo da linha anterior de programação.
- Compara o conteúdo do registrador X com zero
- Compara o conteúdo do registrador X com o do registrador Y.
CRIANDO UM PROGRAMA
Para criar um programa primeiro é necessário escrevê-lo para então armazená-lo.
1 - Escrever a seqüência de teclas que seriam usadas para calcular o que se deseja.
2 - Pressionar a tecla f P/R para colocar a calculadora no modo de programação. O indicador PRGM
ficará acesso no visor, indicando que tal modo está ativo.
3 - Pressionar a tecla f CLEAR PRGM para apagar qualquer programa anteriormente armazenado.
4 - Introduzir a seqüência de teclas que foram escritas no passo 1.
5 - Pressionar g GTO 00 após a última instrução.
6 - Pressionar f P/R para retornar a calculadora para o modo execução.
Durante a confecção do programa ou na sua conferência, percebemos que códigos aparecem no visor
da calculadora.
Os dígitos que aparecem no lado esquerdo do visor representam o número de ordem da linha (passo)
do programa utilizado (um programa pode ter até 99 passos).
Os dígitos que aparecem no lado direito indicam as teclas digitadas (sua posição no teclado).
Podemos comparar o teclado com uma matriz composta por linhas e colunas. Dessa forma quando se
introduz, por exemplo, a instrução RCL 3 na memória de programação, a calculadora apresentará no
visor "01- 45 3": isto indica que esta é a primeira linha do programa e que estão sendo usadas as
teclas RCL (4a. linha e 5a. coluna) o dígito 3 (nº 3 bem a direita).
Renato Becker
39
Exemplos 1- Uma empresa deseja remarcar o preço de seus produtos em +5%. Criar um programa que auxilie
este cálculo.
2- Uma empresa deseja calcular os fatores para um plano de pagamentos diferidos, que serão
especificados em meses, bem como a taxa de juros. Criar um programa que auxilie a empresa a
calcular os fatores de multiplicação.
3- Elaborar um programa que permita converter de forma efetiva pelo critério exponencial para
qualquer período múltiplo de dia, para qualquer taxa de juros e períodos.
Renato Becker
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BIBLIOGRAFIA
. ENGENHARIA ECONÔMICA - Geraldo Hess, José L. Marques,
Luiz C. R. Paes, Abelardo Puccini
. MATEMÁTICA FINANCEIRA - Frank Ayres jr.
. MATEMÁTICA FINANCEIRA - Samuel Hazzan, José N. Pompeo
. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA - Rogério G. de Farias
. MATEMÁTICA FINANCEIRA - Walter de Francisco
. APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA - Renato Becker
. HP-12C - MANUAL DO PROPRIETÁRIO - Hewlett Packard
. SOLUÇÕES FINANCEIRAS COM A HP-12C - Suporte Consultoria e Treinamento
Renato Becker