capa_curvas.pdf C M Y CM MY CY CMY K 1 01/03/12 14:37 Universidade do Sul de Santa Catarina Informática Aplicada à Matemática Financeira Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2011 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 1 01/03/12 14:41 Créditos Universidade do Sul de Santa Catarina | Campus UnisulVirtual | Educação Superior a Distância Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: [email protected] | Site: www.unisul.br/unisulvirtual Reitor Ailton Nazareno Soares Vice-Reitor Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Willian Corrêa Máximo Pró-Reitor de Ensino e Pró-Reitor de Pesquisa, Pós-Graduação e Inovação Mauri Luiz Heerdt Pró-Reitora de Administração Acadêmica Miriam de Fátima Bora Rosa Pró-Reitor de Desenvolvimento e Inovação Institucional Valter Alves Schmitz Neto Diretora do Campus Universitário de Tubarão Milene Pacheco Kindermann Diretor do Campus Universitário da Grande Florianópolis Hércules Nunes de Araújo Secretária-Geral de Ensino Solange Antunes de Souza Diretora do Campus Universitário UnisulVirtual Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Diretor Adjunto Moacir Heerdt Secretaria Executiva e Cerimonial Jackson Schuelter Wiggers (Coord.) Marcelo Fraiberg Machado Tenille Catarina Assessoria de Assuntos Internacionais Murilo Matos Mendonça Assessoria de Relação com Poder Público e Forças Armadas Adenir Siqueira Viana Walter Félix Cardoso Junior Assessoria DAD - Disciplinas a Distância Patrícia da Silva Meneghel (Coord.) Carlos Alberto Areias Cláudia Berh V. da Silva Conceição Aparecida Kindermann Luiz Fernando Meneghel Renata Souza de A. Subtil Assessoria de Inovação e Qualidade de EAD Denia Falcão de Bittencourt (Coord.) Andrea Ouriques Balbinot Carmen Maria Cipriani Pandini Assessoria de Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.) Felipe Fernandes Felipe Jacson de Freitas Jefferson Amorin Oliveira Phelipe Luiz Winter da Silva Priscila da Silva Rodrigo Battistotti Pimpão Tamara Bruna Ferreira da Silva Coordenação Cursos Coordenadores de UNA Diva Marília Flemming Marciel Evangelista Catâneo Roberto Iunskovski Auxiliares de Coordenação Ana Denise Goularte de Souza Camile Martinelli Silveira Fabiana Lange Patricio Tânia Regina Goularte Waltemann Coordenadores Graduação Aloísio José Rodrigues Ana Luísa Mülbert Ana Paula R.Pacheco Artur Beck Neto Bernardino José da Silva Charles Odair Cesconetto da Silva Dilsa Mondardo Diva Marília Flemming Horácio Dutra Mello Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janaína Baeta Neves Jorge Alexandre Nogared Cardoso José Carlos da Silva Junior José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Joseane Borges de Miranda Luiz G. Buchmann Figueiredo Marciel Evangelista Catâneo Maria Cristina Schweitzer Veit Maria da Graça Poyer Mauro Faccioni Filho Moacir Fogaça Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Fontanella Roberto Iunskovski Rose Clér Estivalete Beche Vice-Coordenadores Graduação Adriana Santos Rammê Bernardino José da Silva Catia Melissa Silveira Rodrigues Horácio Dutra Mello Jardel Mendes Vieira Joel Irineu Lohn José Carlos Noronha de Oliveira José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Luciana Manfroi Rogério Santos da Costa Rosa Beatriz Madruga Pinheiro Sergio Sell Tatiana Lee Marques Valnei Carlos Denardin Sâmia Mônica Fortunato (Adjunta) Coordenadores Pós-Graduação Aloísio José Rodrigues Anelise Leal Vieira Cubas Bernardino José da Silva Carmen Maria Cipriani Pandini Daniela Ernani Monteiro Will Giovani de Paula Karla Leonora Dayse Nunes Letícia Cristina Bizarro Barbosa Luiz Otávio Botelho Lento Roberto Iunskovski Rodrigo Nunes Lunardelli Rogério Santos da Costa Thiago Coelho Soares Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher Gerência Administração Acadêmica Angelita Marçal Flores (Gerente) Fernanda Farias Secretaria de Ensino a Distância Samara Josten Flores (Secretária de Ensino) Giane dos Passos (Secretária Acadêmica) Adenir Soares Júnior Alessandro Alves da Silva Andréa Luci Mandira Cristina Mara Schauffert Djeime Sammer Bortolotti Douglas Silveira Evilym Melo Livramento Fabiano Silva Michels Fabricio Botelho Espíndola Felipe Wronski Henrique Gisele Terezinha Cardoso Ferreira Indyanara Ramos Janaina Conceição Jorge Luiz Vilhar Malaquias Juliana Broering Martins Luana Borges da Silva Luana Tarsila Hellmann Luíza Koing Zumblick Maria José Rossetti Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 2 Marilene de Fátima Capeleto Patricia A. Pereira de Carvalho Paulo Lisboa Cordeiro Paulo Mauricio Silveira Bubalo Rosângela Mara Siegel Simone Torres de Oliveira Vanessa Pereira Santos Metzker Vanilda Liordina Heerdt Gestão Documental Patrícia de Souza Amorim Poliana Simao Schenon Souza Preto Karine Augusta Zanoni Marcia Luz de Oliveira Mayara Pereira Rosa Luciana Tomadão Borguetti Gerência de Desenho e Desenvolvimento de Materiais Didáticos Assuntos Jurídicos Márcia Loch (Gerente) Bruno Lucion Roso Sheila Cristina Martins Desenho Educacional Marketing Estratégico Rafael Bavaresco Bongiolo Carolina Hoeller da Silva Boing Vanderlei Brasil Francielle Arruda Rampelotte Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD) Roseli A. Rocha Moterle (Coord. Pós/Ext.) Aline Cassol Daga Aline Pimentel Carmelita Schulze Daniela Siqueira de Menezes Delma Cristiane Morari Eliete de Oliveira Costa Eloísa Machado Seemann Flavia Lumi Matuzawa Geovania Japiassu Martins Isabel Zoldan da Veiga Rambo João Marcos de Souza Alves Leandro Romanó Bamberg Lygia Pereira Lis Airê Fogolari Luiz Henrique Milani Queriquelli Marcelo Tavares de Souza Campos Mariana Aparecida dos Santos Marina Melhado Gomes da Silva Marina Cabeda Egger Moellwald Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo Pâmella Rocha Flores da Silva Rafael da Cunha Lara Roberta de Fátima Martins Roseli Aparecida Rocha Moterle Sabrina Bleicher Verônica Ribas Cúrcio Reconhecimento de Curso Acessibilidade Multimídia Lamuniê Souza (Coord.) Clair Maria Cardoso Daniel Lucas de Medeiros Jaliza Thizon de Bona Guilherme Henrique Koerich Josiane Leal Marília Locks Fernandes Gerência Administrativa e Financeira Renato André Luz (Gerente) Ana Luise Wehrle Anderson Zandré Prudêncio Daniel Contessa Lisboa Naiara Jeremias da Rocha Rafael Bourdot Back Thais Helena Bonetti Valmir Venício Inácio Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Janaína Baeta Neves (Gerente) Aracelli Araldi Elaboração de Projeto Maria de Fátima Martins Extensão Maria Cristina Veit (Coord.) Pesquisa Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC) Mauro Faccioni Filho (Coord. Nuvem) Pós-Graduação Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.) Biblioteca Salete Cecília e Souza (Coord.) Paula Sanhudo da Silva Marília Ignacio de Espíndola Renan Felipe Cascaes Gestão Docente e Discente Enzo de Oliveira Moreira (Coord.) Capacitação e Assessoria ao Docente Alessandra de Oliveira (Assessoria) Adriana Silveira Alexandre Wagner da Rocha Elaine Cristiane Surian (Capacitação) Elizete De Marco Fabiana Pereira Iris de Souza Barros Juliana Cardoso Esmeraldino Maria Lina Moratelli Prado Simone Zigunovas Tutoria e Suporte Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação) Claudia N. Nascimento (Núcleo Norte- Nordeste) Maria Eugênia F. Celeghin (Núcleo Pólos) Andreza Talles Cascais Daniela Cassol Peres Débora Cristina Silveira Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste) Francine Cardoso da Silva Janaina Conceição (Núcleo Sul) Joice de Castro Peres Karla F. Wisniewski Desengrini Kelin Buss Liana Ferreira Luiz Antônio Pires Maria Aparecida Teixeira Mayara de Oliveira Bastos Michael Mattar Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) Letícia Regiane Da Silva Tobal Mariella Gloria Rodrigues Vanesa Montagna Avaliação da aprendizagem Portal e Comunicação Catia Melissa Silveira Rodrigues Andreia Drewes Luiz Felipe Buchmann Figueiredo Rafael Pessi Gerência de Produção Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente) Francini Ferreira Dias Design Visual Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.) Alberto Regis Elias Alex Sandro Xavier Anne Cristyne Pereira Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Daiana Ferreira Cassanego Davi Pieper Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Fernanda Fernandes Frederico Trilha Jordana Paula Schulka Marcelo Neri da Silva Nelson Rosa Noemia Souza Mesquita Oberdan Porto Leal Piantino Sérgio Giron (Coord.) Dandara Lemos Reynaldo Cleber Magri Fernando Gustav Soares Lima Josué Lange Claudia Gabriela Dreher Jaqueline Cardozo Polla Nágila Cristina Hinckel Sabrina Paula Soares Scaranto Thayanny Aparecida B. da Conceição Conferência (e-OLA) Gerência de Logística Marcelo Bittencourt (Coord.) Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente) Logísitca de Materiais Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.) Abraao do Nascimento Germano Bruna Maciel Fernando Sardão da Silva Fylippy Margino dos Santos Guilherme Lentz Marlon Eliseu Pereira Pablo Varela da Silveira Rubens Amorim Yslann David Melo Cordeiro Avaliações Presenciais Graciele M. Lindenmayr (Coord.) Ana Paula de Andrade Angelica Cristina Gollo Cristilaine Medeiros Daiana Cristina Bortolotti Delano Pinheiro Gomes Edson Martins Rosa Junior Fernando Steimbach Fernando Oliveira Santos Lisdeise Nunes Felipe Marcelo Ramos Marcio Ventura Osni Jose Seidler Junior Thais Bortolotti Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.) Bruno Augusto Zunino Gabriel Barbosa Produção Industrial Gerência Serviço de Atenção Integral ao Acadêmico Maria Isabel Aragon (Gerente) Ana Paula Batista Detóni André Luiz Portes Carolina Dias Damasceno Cleide Inácio Goulart Seeman Denise Fernandes Francielle Fernandes Holdrin Milet Brandão Jenniffer Camargo Jessica da Silva Bruchado Jonatas Collaço de Souza Juliana Cardoso da Silva Juliana Elen Tizian Kamilla Rosa Mariana Souza Marilene Fátima Capeleto Maurício dos Santos Augusto Maycon de Sousa Candido Monique Napoli Ribeiro Priscilla Geovana Pagani Sabrina Mari Kawano Gonçalves Scheila Cristina Martins Taize Muller Tatiane Crestani Trentin Gerência de Marketing Eliza B. Dallanhol Locks (Gerente) Relacionamento com o Mercado Alvaro José Souto Relacionamento com Polos Presenciais Alex Fabiano Wehrle (Coord.) Jeferson Pandolfo 01/03/12 14:41 José Humberto Dias Toledo Oscar Ciro López Informática Aplicada à Matemática Financeira Livro didático Revisão e atualização de conteúdo José Humberto Dias Toledo Design instrucional Roseli Rocha Moterle 1ª edição revista Palhoça UnisulVirtual 2011 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 3 01/03/12 14:41 Copyright © UnisulVirtual 2011 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. Edição – Livro Didático Professores Conteudistas José Humberto Dias Toledo Oscar Ciro López Revisão e atualização de conteúdo José Humberto Dias Toledo Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes Roseli Rocha Moterle (1ª edição revista) ISBN 978-85-7817-277-0 Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Rafael Pessi Fernanda Fernandes (1ª edição revista) Revisão Foco 650.01513 T58 Toledo, José Humberto Dias Informática aplicada à matemática financeira : livro didático / José Humberto Dias Toledo, Oscar Ciro López ; revisão e atualização de conteúdo José Humberto Dias Toledo; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, Roseli Rocha Moterle. – 1. ed. rev. – Palhoça : UnisulVirtual, 2011. 240 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7817-277-0 1. Matemática financeira – Processamento de dados. I. López, Oscar Ciro. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Moterle, Roseli Rocha. IV. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 4 01/03/12 14:41 Sumário Apresentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE 1 - Apresentação dos fundamentos básicos das ferramentas: calculadora HP 12c e planilha de cálculo Excel®. . . . . . . . . . . . 17 UNIDADE 2 - Regimes de capitalização simples e composto. . . . . . . . . . . . . 41 UNIDADE 3 - Taxas de juros e sequência de capitais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 UNIDADE 4 - Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa; amortização de empréstimos – sistemas: PRICE e SAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 UNIDADE 5 - Desenvolvimento de projetos aplicados à Matemática Financeira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Para concluir o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Sobre os professores conteudistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação. . . . . . . . . . . . . . 209 Biblioteca Virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 5 01/03/12 14:41 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 6 01/03/12 14:41 Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Informática Aplicada à Matemática Financeira. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz. Lembre que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação. É que, na relação de aprendizagem, professores e instituição estarão sempre conectados com você. Então, sempre que sentir necessidade entre em contato. Você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual. 7 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 7 01/03/12 14:41 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 8 01/03/12 14:41 Palavras dos professores Caro(a) Aluno(a)! Os temas abordados pela matemática financeira estão presentes no nosso cotidiano e vêm sendo trabalhados desde épocas antigas. A proposta dessa disciplina é a de utilizar recursos tecnológicos como calculadora financeira e planilha de cálculo para resolver problemas relacionados a área financeira com mais agilidade e, consequentemente, liberando o seu tempo para tomada de decisões. Acreditamos que é muito importante, para a sua formação, adquirir habilidades para o manuseio de ferramentas tecnológicas muito usadas tanto no meio acadêmico quanto no profissional e que possibilitam a realização de cálculos de forma rápida e eficiente. Esta disciplina foi introduzida no contexto do Núcleo Orientado da área financeira pela sua praticidade. Os estudos serão desenvolvidos através da apresentação de conceitos básicos da matemática financeira como: juros, taxas, amortização de empréstimos, sequências de capitais, valor presente líquido, taxa interna de retorno etc. que, para uma melhor compreensão, serão complementados com exemplos contextualizados, resolvidos de forma algébrica, assim como com o apoio da calculadora financeira HP 12c e da planilha de cálculo Excel®. Informamos que as tabelas e ilustrações sem indicação de fonte foram elaboradas pelos autores. Por outro lado, é importante destacar que as máquinas nada fazem se o ser humano não as comandar. Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 9 01/03/12 14:41 Portanto, destacamos a importância de adquirir o domínio dos conceitos e métodos requeridos para a condução de um determinado processo, mesmo quando apoiados no emprego de uma máquina. Bons estudos! Professores: José Humberto Dias de Toledo Oscar Ciro Lopez Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 10 01/03/12 14:41 Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos desse processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial. Ementa Uso de softwares estatísticos, matemáticos e planilha eletrônica. Desenvolvimento de projetos aplicados à Matemática Financeira. Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 11 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivos Geral Compreender o desenvolvimento para a aplicação dos recursos tecnológicos na resolução de problemas práticos, promovendo a integração entre teoria e prática, na área financeira. Específicos Explorar o uso de planilhas eletrônicas na área financeira; Explorar o uso da calculadora HP 12c na resolução de problemas da matemática financeira; Desenvolver projetos que possam ser aplicados à área financeira; Entender a importância de adquirir o domínio dos conceitos e métodos, utilizando uma máquina (calculadoras, computadores etc.). Carga Horária A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula. Conteúdo programático/objetivos Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Unidades de estudo: 5 12 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 12 01/03/12 14:41 Nome da disciplina Unidade 1 – Apresentação dos fundamentos básicos das ferramentas: calculadora HP 12c e planilha de cálculo Excel® Nesta unidade apresentamos as funções básicas da calculadora HP 12c e da planilha Excel® com o objetivo de realizar cálculos elementares com essas ferramentas. Faremos uso das memórias temporárias e permanentes e as funções de percentagem da calculadora HP 12c. Vamos determinar datas futuras, passadas e número de dias entre datas usando as duas ferramentas. Unidade 2 – Regimes de capitalização simples e composto Nesta unidade faremos uma retomada dos conceitos dos regimes de capitalização simples e composto e de desconto simples e composto. Na resolução dos exercícios faremos uso das funções financeiras da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel®, com o objetivo de gerar habilidades com essas ferramentas tecnológicas. Unidade 3 – Taxas de juros e sequência de capitais Nesta unidade, além do resgate dos conceitos de taxas de juros e de sequências de capitais, vamos usar a calculadora HP 12c e a planilha de cálculo Excel® para calcular taxas de juros equivalentes. Vamos, ainda, usar as funções de programação da HP 12c para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalização composto. Calcularemos pagamentos periódicos de sequências uniformes postecipadas e antecipadas usando as funções financeiras da calculadora e da planilha de cálculo. 13 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 13 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 – Valor presente líquido (VPL) e Taxa interna de retorno (TIR) de um fluxo de caixa; Amortização de empréstimos – sistemas: PRICE e SAC Nesta unidade usaremos as funções de fluxo de caixa da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel® para determinar valor presente líquido (VPL) e calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR). Ainda, faremos uso das funções financeiras da calculadora HP 12c para auxiliar na elaboração de uma planilha de amortização de empréstimos – sistema PRICE e, vamos elaborar planilhas de amortização de empréstimos sistemas: PRICE e SAC usando o Excel®. Unidade 5 – Desenvolvimento de projetos aplicados à Matemática Financeira O intuito desta unidade é apresentar alguns recursos avançados da planilha Excel®, como os comandos para Atingir Meta, Proteção de células e planilhas, Validação de dados etc. que permitam ampliar e tornar as planilhas de cálculo uma plataforma de modelagem poderosa e flexível. O estudo de como usar alguns dos recursos das planilhas de cálculo é apresentado através de uma abordagem de desenvolvimento e construção gradual de projetos. 14 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 14 01/03/12 14:41 Nome da disciplina Agenda de atividades/Cronograma Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e professor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina. Atividades obrigatórias Demais atividades (registro pessoal) 15 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 15 01/03/12 14:41 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 16 01/03/12 14:41 UNIDADE 1 Apresentação dos fundamentos básicos das ferramentas: calculadora HP 12c e planilha de cálculo Excel® Objetivos de aprendizagem Apresentar as funções básicas da calculadora HP 12c e da planilha Excel®. Realizar cálculos elementares com as ferramentas. 1 Utilizar as memórias permanentes da calculadora para realizar cálculos. Usar as funções de percentagem da HP 12c. Usar as funções de formatação da planilha de cálculo Excel®. Determinar datas futuras, passadas e número de dias entre datas usando a HP 12c e a planilha de cálculo Excel®. Seções de estudo Seção 1 Apresentando a calculadora HP 12c Seção 2 Apresentando a planilha de cálculo Excel® Seção 3 Cálculos aritméticos usando a HP 12c no modo “RPN” e no modo “ALG” Cálculos aritméticos usando a planilha de cálculo Excel® Funções de percentagem e calendário da HP 12c e funções data e hora da planilha Excel® Seção 4 Seção 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 17 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade vamos apresentar a você a calculadora HP 12c e a planilha de cálculo Excel®, com o objetivo de realizar cálculos aritméticos e explorar as funções elementares dessas ferramentas. Na calculadora, usaremos o modo “RPN” – Notação Polonesa Reversa – e o modo “ALG” – Algébrico. Também usaremos o Excel® para realizar cálculos elementares da matemática por meio da elaboração de fórmulas ou usando as funções matemáticas que o software apresenta. Além disso, você aprenderá a fazer uso das funções de percentagem e calendário, e desta forma aprender a determinar: percentagens de um número, percentagem de um total e diferença percentual, cálculo de datas futuras e passadas e o número de dias entre datas. Você usará as memórias da calculadora para auxiliar nos cálculos e/ou armazenar dados que possam ser usados posteriormente. Seção 1 – Apresentando a calculadora HP 12c Nesta seção serão apresentadas algumas funções da calculadora HP 12c a serem utilizadas nesta disciplina. Observe na figura 1.1 a imagem da calculadora. Figura 1.1 – Calculadora HP 12c Platinum 18 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 18 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP 12c executam duas ou até três funções. A função primária é indicada pelos caracteres impressos em branco, na face superior da tecla. As funções secundárias da calculadora são impressas nas cores dourada e azul, apresentadas acima da tecla e na sua face inferior, respectivamente. Para acionar essas funções, pressione a tecla de prefixo apropriada antes da tecla da função, ou seja: e . Veja na figura 1.2: Para selecionar a função secundária impressa em dourado, aperte a tecla de prefixo dourado e, em seguida, a tecla da função. Para selecionar a função primária impressa na face superior de uma tecla, aperte somente a tecla. Para selecionar a função secundária impressa e, em em azul, aperte a tecla de prefixo azul seguida, a tecla da função. Figura 1.2 – Modo de acesso às funções primárias e secundárias da calculadora HP 12c Platinum Entrando com números e separadores de dígitos Para que você possa entrar com um número na HP 12c, aperte as teclas correspondentes ao número em sequência. O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionária do número. Se você quiser, pode configurar a calculadora para exibir a vírgula como separador. Para tanto, desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas e . Para voltar à configuração anterior, repita a operação. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 19 19 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Números negativos A tecla troca o sinal de um número no mostrador. Portanto, se você quer trocar o sinal de um número positivo que está no visor, aperte a tecla que ele fica negativo, e vice-versa. As teclas “CLEAR” (apagar) A ilustração abaixo apresenta as teclas “Clear”, que apagam ou zeram o mostrador, as memórias, a memória de programação, os registradores financeiros, os registros de pilha e registros estatísticos. Confira na figura 1.3. Apaga o mostrador. Apaga os registros estatísticos, registros da pilha e mostrador. Apaga a memória de programação. Apaga os registros financeiros. Apaga os registros de armazenamento de dados, registros financeiros, registros de pilha, LAST X e mostrador. Figura 1.3 – As teclas Clear da Calculadora HP 12c Platinum Registros de armazenamento Os dados de entrada na HP 12c podem ser armazenados em memórias chamadas “registros de armazenamento”. Quatro registros são usados para o armazenamento de números durante os cálculos e mais um é usado para armazenar o último número, chamado de “LAST X”. 20 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 20 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Além dos registros citados, nos quais os números são armazenados automaticamente, existem outros 20 registros para o armazenamento manual de números. Eles são designados por: R0 a R1 e R.0 a R.9. Outros registros de armazenamento, designados de registros financeiros, são reservados para os números que serão usados em cálculos financeiros. Registro de pilha Quando você estiver trabalhando com a HP 12c no modo RPN, quatro registros (X, Y, Z e T) especiais são utilizados para armazenar números durantes os cálculos. A visualização desses registros deve ser feita como se eles estivessem empilhados. Portanto, eles são chamados de “registros de pilha”, ou simplesmente “pilha”. A figura 1.4 a seguir mostra como esses registros devem ser visualizados. Mostrado T Z Y X Figura 1.4 – Esquema de visualização para os quatro registros especiais da HP 12c Armazenando, recuperando números e zerando registros Para armazenar um número em um registro de armazenamento de dados, aperte a tecla (armazenar) e, em seguida, um dos números de 0 a 9 para os registros R0 a R9 e .0 a .9 para os registros R.0 a R.9. Para recuperar um número de um registro de armazenamento de dados, aperte a tecla (recuperar) e, em seguida, um dos números de 0 a 9 para os registros R0 a R9 e .0 a .9 para os registros R.0 a R.9. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 21 21 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Já para zerar um único registro de armazenamento, você pode armazenar o valor zero no registro. Agora, para zerar todos os registros de armazenamento de uma só vez – incluindo os registros financeiros, os registros da pilha e o registro LAST X –, aperte: . E então, está motivado(a) para continuar? Na próxima seção apresentaremos as funções básicas da planilha de cálculo Excel®. Seção 2 – A planilha de cálculo Excel® Nessa seção serão apresentadas algumas funções básicas da planilha de cálculo Excel® das quais faremos uso no desenvolvimento desta disciplina. A figura 1.5 apresenta a área de trabalho da planilha de cálculo com a barra de ferramentas padrão. Figura 1.5 – Tela da planilha de cálculo Excel®, versão XP 2003 22 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 22 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Observe que a planilha é formada por linhas (representadas por números: 1, 2, 3…) e colunas (representadas por letras A, B, C…), e cada junção da linha com a coluna forma uma célula (observe a seleção da célula A1 na fig. 1.5). Uma planilha está contida em uma pasta de trabalho que pode conter várias planilhas (na fig. 1.5 temos a Pasta 1 com seis planilhas). Você pode adicionar planilhas avulsas a uma pasta; para isto, clique com o botão direito do mouse sobre uma aba qualquer e selecione a opção Inserir. Aparecerá a janela Inserir (fig. 1.6). Figura 1.6 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a opção Inserir Planilha Para acionar uma planilha na pasta de trabalho, basta clicar em uma das abas correspondente à planilha desejada. Clicando com o botão direito do mouse é possível renomear, excluir, mudar a cor da guia ou mover uma planilha. Formatando células de uma planilha Para formatar uma ou um conjunto de células em uma planilha, selecione a célula ou o conjunto de células e, em seguida, a aba Formatar – Células (fig. 1.7). Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 23 23 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 1.7 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a seleção Formatar Células Observe que aparecem as guias: Número; Alinhamento; Fonte; Borda; Padrões; e Proteção. Para ilustrar essas funções, vamos elaborar um exemplo. Exemplo 1.1: Os dados a seguir devem ser digitados em uma planilha de cálculo seguindo as orientações de preenchimento dadas. Ex.: D2 Salário com gratificação e horas extras. Você deve selecionar a célula D2 e digitar o texto sugerido; D4 - você deve selecionar a célula indicada e digitar Funcionário e assim por diante. D2 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 Salário com gratificação e horas extras Funcionário A B C D E F G H I set/08 1.150,89 891,80 658,70 728,90 925,89 1.150,98 1.425,00 625,00 987,80 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 G13 out/08 1.128,20 926,80 758,25 689,70 899,20 1.220,30 1.625,00 725,00 1.050,00 nov/08 1.258,00 1.020,00 699,00 758,00 859,00 1.205,00 1.525,00 702,00 1.020,30 24 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 24 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Agora que você digitou os dados nas células sugeridas, vamos usar as funções de formatação a seguir. Selecione o conjunto de células E5:G13; agora, selecione Formatar Células e, em seguida, Moeda e a seleção duas casas decimais; depois, clique em ok. Selecione as células D5:D13 e centralize usando: Formatar Células Alinhamento de texto: Horizontal – centro; Vertical – centro e, em seguida, ok. Agora, selecione as células D2:G2, faça a seguinte formatação: Formatar Células Alinhamento, e onde tem controle de texto, selecione Mesclar células e, em seguida, ok. Para finalizar: selecione o conjunto de células D2:G13 e, em seguida, Formatar Células Fonte: Arial; Estilo de Fonte: Normal; Tamanho: 12. Agora, selecione o conjunto de células D4:G13 e, em seguida, Formatar Células Borda e em predefinições selecione: contorno e, na sequência, interno, ok. Finalizando, selecione as Células D2:G13 e, em seguida, Formatar Células Padrões cor branca, ok. A planilha deve apresentar as seguintes características: Salários com gratificações e horas extras Funcionário set/08 out/08 nov/08 A R$ 1.150,89 R$ 1.128,20 R$ 1.258,00 B R$ 891,80 R$ 926,80 R$ 1.020,00 C R$ 658,70 R$ 758,25 R$ 699,00 D R$ 728,90 R$ 689,70 R$ 758,00 E R$ 925,89 R$ 899,20 R$ 859,00 F R$ 1.150,98 R$ 1.220,30 R$ 1.205,00 G R$ 1.425,00 1.625,00 R$ 1.525,00 H R$ 625,00 R$ 725,00 R$ 702,00 I R$ 987,80 R$ 1.050,00 R$ 1.020,30 Na próxima seção realizaremos cálculos aritméticos usando os modos RPN e ALG da calculadora HP 12c. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 25 25 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 – Cálculos aritméticos usando a HP 12c no modo “RPN” e no modo “ALG” A calculadora HP 12c pode ser configurada para executar operações aritméticas nos modos: RPN (Notação Polonesa Reversa) e ALG (Algébrico). No modo RPN os resultados intermediários nas operações aritméticas são armazenados automaticamente, portanto, quando você aciona as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potência, raiz quadrada etc.), o cálculo é feito entre o valor do visor da calculadora e o conteúdo da última memória temporária. Já no modo ALG as operações elementares são executadas de maneira convencional. Portanto, em qualquer um dos modos de operação, quando você for resolver uma expressão numérica, deve seguir a sequência lógica entre as operações matemáticas, ou seja, por exemplo: em uma expressão em que as operações de multiplicação e adição estão presentes, você deve resolver primeiro a multiplicação e, em seguida, a adição. Conheça alguns exemplos. Exemplo 1.2: Calcular 5 + 6 × 2 usando os modos RPN e ALG na HP 12c. Resolvendo no modo RPN: para configurar a calculadora no modo RPN, aperte a tecla e, em seguida, . Observe no visor da máquina que vai aparecer o indicador RPN. Agora que a calculadora está no modo RPN, vamos ao cálculo. Digite 5 ENTER 6 ENTER 2 × Resultado + 17 Resolvendo no modo ALG: para configurar a calculadora no modo ALG, aperte a tecla e, em seguida, . Observe no visor da máquina que vai aparecer o indicador ALG. 26 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 26 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Calculando no modo algébrico: Digite Resultado 6 × 2 + 5 ENTER 17 Os modelos mais antigos de calculadoras HP 12c não disponibilizam o modo algébrico. Portanto, se você é usuário desse tipo de calculadora, todos os cálculos devem ser efetuados no modo RPN. Exemplo 1.3: Use os modos RPN e ALG para resolver: 2–3 + 5 × 2 – 1 Resolvendo no modo RPN: em primeiro lugar, configure a calculadora para o modo RPN. Digite Resultado 2 ENTER 3 CHS yx 5 ENTER 2 × + 1 – 9,125 Obs.: Para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora, aperte: e em seguida um número de 1 a 9 que corresponda à quantidade de casas decimais. No exemplo acima, usamos: . Resolvendo no modo Algébrico: em primeiro lugar, configure a calculadora para o modo Algébrico. Digite 2 y x 3 CHS 5 × 2 + Resultado ENTER RCL 0 STO 0 Armazena o resultado da potência na memória 0 Resgata o conteúdo da memória 0 – 1 ENTER 9,125 Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 27 27 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 1.4: Resolva a expressão numérica: ln 2 + e2 + 1, usando os modos RPN e ALG. Modo RPN: Digite 2 g Resultado ln 2 g ex + 1 + 9,0822 Modo ALG: Digite Resultado 2 g ln STO 1 Armazena o resultado do logaritmo na memória 1 2 g ex + Resgata o conteúdo da memória 1 + 1 ENTER RCL 1 9,0822 Na seção a seguir, vamos usar a planilha de cálculo Excel® para resolver cálculos aritméticos. Seção 4 – Cálculos aritméticos usando a planilha de cálculo Excel® A planilha de cálculo Excel® realiza cálculos aritméticos desde que a operação seja precedida de um sinal de igualdade (“=”). Você pode realizar os cálculos aritméticos diretamente na barra de referência do Excel® ou na célula da planilha em que deve ser inserido o cálculo. Nos cálculos aritméticos, você pode usar: valores de referência de outras células; valores numéricos; operadores matemáticos; e/ou parênteses. Quando na expressão numérica aparece mais de um operador matemático (+, –, ×, ÷, yx, ), o Excel® segue a sequência lógica das operações matemáticas na execução dos cálculos. Entretanto, você pode fazer uso dos parênteses ( ) para alterar essa sequência. 28 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 28 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira A planilha de cálculo apresenta alguns operadores matemáticos que serão destacados no Quadro 1.1 com os respectivos significados e funções. Operador Significado + Adição – Subtração * Multiplicação / Divisão % Porcentagem ^ Potenciação Função Adiciona valores numéricos ou conteúdo de duas ou mais células. Subtrai um valor da primeira célula ou o valor de uma fórmula. Se o valor da primeira célula for inferior ao da segunda, gera-se um valor negativo. Multiplica o valor de uma célula pelo equivalente a outra célula selecionada. Divide o valor de uma célula pelo equivalente a outra célula selecionada. Mostra o resultado da divisão de uma célula por 100. Multiplica a primeira célula ou o valor da fórmula por si mesmo pela quantidade de vezes definida pelo valor da célula ou valor da fórmula apresentado após o sinal da potência. Quadro 1.1 – Operadores aritiméticos do Excel® A seguir, vamos resolver os exemplos da seção anterior usando a planilha de cálculo Excel®. Exemplo 1.5: Calcular 5 + 6 × 2 usando a planilha de cálculo Excel®. Para resolver essa expressão numérica usando a planilha de cálculo, você deve selecionar uma célula qualquer ou, se preferir, selecione a barra de referência e, em seguida, digite: =5+6*2. Vai aparecer a fig. 1.8. Figura 1.8 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica Para ter o resultado da expressão, use Tab ou Enter (teclado). O resultado apresentado é 17. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 29 29 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe que a planilha preservou a sequência lógica das operações aritméticas nos cálculos executados, ou seja, resolveu em primeiro lugar a multiplicação e depois a adição. Exemplo 1.6: Use a planilha de cálculo para resolver a expressão numérica: 2–3 + 5 × 2 – 1. Para resolver a expressão numérica, digite a expressão precedida pelo sinal de igual. A figura 1.9 apresenta a expressão na barra de referência e o resultado na célula C1. Figura 1.9 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica na barra de referência e o resultado na célula C1 Exemplo 1.7: Resolva a expressão numérica: ln 2 + e2 + 1, usando o Excel®. Nessa expressão numérica aparecem dois termos: um com ln (logaritmo neperiano) e o outro com potência na base e (e = 2,7182…). Para digitar essa expressão, faça: =ln(2)+exp(2)+1. O software entende que ln é o logaritmo neperiano na base e e que exp é o número e = 2,7182… O ln deve ser digitado seguido de parêntese e, em seguida, o número que você vai determinar o logaritmo. O mesmo raciocínio deve ser seguido para a potência de base e. Veja o resultado na figura 1.10. Figura 1.10 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica na barra de referência e o resultado na célula C1 Na seção 5 vamos explorar as funções de calendário e percentagem da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel®. 30 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 30 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Seção 5 – Funções de percentagem e calendário da HP 12c e funções data e hora da planilha Excel® A calculadora HP 12c apresenta funções que permitem o cálculo de percentagens e de calendário. Para cálculo com percentagens não é necessário converter o número na notação percentual para a notação decimal. Já as funções calendário fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. A seguir, você conhecerá detalhadamente essas funções. Funções de percentagem Calcula a Percentagem de um número ou valor. Calcula a diferença entre dois números. Calcula qual percentual um número é de um outro. Figura 1.11 – Ilustração das funções de percentagem da Calculadora HP 12c Platinum Funções de calendário Configura o formato de uma data para: dia-mês-ano. Configura o formato de uma data para: mês-dia-ano. Calcula o número de dias entre datas. Calcula datas futuras ou passadas. Figura 1.12 – Ilustração das funções de calendário da Calculadora HP 12c Platinum Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 31 31 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Já as funções data e hora da planilha de cálculo Excel® podem ser acessadas em “Inserir” e, em seguida, “Função”. Aparece a tela “Inserir função”; onde tem “Ou selecione uma categoria”, faça a seleção “Data e hora”. Ver figura 1.13. Funções data e hora do Excel® Figura 1.13 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a seleção da função Data e hora Observe na tela da figura 1.13 que, na opção “Selecione uma função”, estão disponíveis várias funções relacionadas a data e hora (use a barra de rolagem para verificar todas as funções disponíveis). Nos exemplos a seguir faremos uso das funções percentagens e calendário da HP 12c e vamos elaborar fórmulas, na planilha de cálculo Excel®, para resolver as mesmas questões. Obs.: Na calculadora HP 12c os cálculos vão ser realizados no modo RPN. 32 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 32 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Exemplo 1.8: Calcular 18% de R$ 1.850,00. Solução Resolvendo na HP 12c Digite Resultado 1.850,00 ENTER 18 % 333,00 Resolvendo no Excel® Selecione uma célula qualquer e, em seguida, digite: =1850*18% (ver fig. 1.14 e 1.15) e depois Tab ou Enter. Figura 1.14 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular percentagem de um número Figura 1.15 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular percentagem de um número e o resultado Exemplo 1.9: A empresa “Eletro A” tem ações na bolsa de valores e verificou as seguintes variações nos valores das suas ações: no dia 20/09/08 o valor da ação passou de R$ 30,25 para R$ 35,62. Já no dia 21/09/08, o valor da ação caiu de R$ 35,62 para R$ 31,69. Qual a diferença percentual nas duas situações? Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 33 33 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: Resolvendo na HP 12c A sequência a seguir apresenta a variação percentual. Calculando a variação percentual de R$ 30,25 para R$ 35,62 usando a HP 12c. Digite 30,25 ENTER 35,62 ∆% Resultado 17,75 Observe que o resultado apresentado é positivo, portanto, representa aumento. Calculando a variação percentual de R$ 35,62 para R$ 31,69 usando a HP 12c. Digite 35,62 ENTER 31,69 ∆% Resultado –11,03 Observe que o resultado apresentado é negativo, portanto, representa queda. Resolvendo no Excel® Na figura 1.16, o cálculo da variação percentual de R$ 30,25 para R$ 35,62 é Figura 1.16 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular variação percentual e o resultado (positivo) 34 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 34 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Na figura 1.17, o cálculo da variação percentual de R$ 35,62 para R$ 31,69 é Figura 1.17 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular variação percentual e o resultado (negativo) Exemplo 1.10: A empresa do exemplo anterior atua na região Sul do Brasil com vendas totais realizadas no mês de julho de 2008 de R$ 1.125.357,89, distribuídas da seguinte forma: R$ 350.480,33 no Paraná; R$ 425.363,80 em Santa Catarina; e R$ 349.513,76 no Rio Grande do Sul. Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos três estados? Solução Resolvendo na HP 12c A sequência a seguir apresenta os percentuais nos estados do Paraná, de Santa Catarina e do Rio Grande do Sul. Digite Resultado 31,14 Resultado PR CLx 425.363,80 %T 37,80 Resultado SC CLx 349.513,76 %T 31,06 Resultado RS 1.125.357,89 ENTER 350.480,33 %T Resolvendo no Excel® Na figura 1.18, está o cálculo do percentual das vendas do estado do Paraná em relação ao total das vendas. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 35 35 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 1.18 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular o percentual das vendas de um total – estado – PR Na figura 1.19, é mostrado o cálculo do percentual das vendas do estado de Santa Catarina em relação ao total das vendas. Figura 1.19 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular o percentual das vendas de um total – estado – SC Na figura 1.20, está o cálculo do percentual das vendas do estado do Rio Grande do Sul em relação ao total das vendas. Figura 1.20 – Tela da planilha de cálculo Excel® com a expressão numérica para calcular o percentual das vendas de um total – estado – RS Exemplo 1.11: Realizei a compra de um computador em 20/09/2008 com vencimento para 90 dias. Determine a data do vencimento usando a calculadora HP 12c e o Excel®. Solução Resolvendo na HP 12c Vamos determinar o número de dias configurando a calculadora para o formato de data dia, mês e ano. Digite g D.MY 20.092008 ENTER 90 g Resultado DATE 19.12.2008 5 36 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 36 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira A data é 19 de dezembro de 2008. O 5 representa o dia da semana, sexta-feira. Resolvendo no Excel® Na planilha de cálculo Excel® digite a data em uma célula (C2) e o número de dias em outra célula (D2). Em seguida, selecione a célula na qual você quer a data final e digite a soma: =C2+D2 e depois dê Enter. O resultado será apresentado conforme a figura 1.21. Figura 1.21 – Tela da planilha de cálculo Excel® com o cálculo da data do vencimento Exemplo 1.12: Comprei uma TV LCD na loja “ELETRO A” no dia 29/09/2008 com vencimento único para o dia 10/12/2008. Qual o número de dias entre a data da compra e a data do vencimento para pagar a TV? Solução Resolvendo na HP 12c Digite g Resultado D.MY 20.092008 ENTER 10.122008 g ∆DYS 72 Sendo 72 o número de dias entre as datas. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 37 37 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo no Excel® Para calcular o número de dias entre duas datas, digite a data da compra em uma célula (C3); a data do vencimento em outra célula (D3) e, em seguida, selecione a célula na qual você quer o resultado (antes, formate a célula para número). Agora, com a célula selecionada, digite a fórmula: =D3-C3, e em seguida, tecle Enter ou Tab. O resultado vai aparecer conforme a figura 1.22. Figura 1.22 – Tela da planilha de cálculo Excel® com o cálculo do número de dias entre duas datas Síntese Nesta unidade você conheceu algumas funções elementares da calculadora HP 12c e como realizar cálculos na planilha de cálculo Excel®. Essas funções serão utilizadas para realizar cálculos que envolvem questões do nosso cotidiano, tais como: determinar juros simples e compostos e descontos simples e compostos de problemas na área financeira. 38 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 38 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Atividades de autoavaliação Efetue as atividades de autoavaliação e acompanhe as respostas e os comentários a respeito nas páginas finais deste material. Para melhor aproveitamento do seu estudo, realize a conferência de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas. Desse modo, o momento da conferência lhe proporcionará novas oportunidades de aprendizagem. 1.1) Calcule o valor das expressões numéricas a seguir usando a HP 12c e a planilha de cálculo Excel®. a)23 – 2 × 3 + 10 ÷ 2 b)–33 – 4 × ln 2 – e2 c) – 12 × 3 + 44,18 d)0,45 + – 2–2 1.2) Use a HP 12c e em seguida a planilha Excel® para realizar os cálculos e informar o saldo final da seguinte movimentação financeira: saldo inicial na conta: R$ 1.678,90; depósito de R$ 1.435.87; cheques compensados nos valores: R$ 345,98; R$ 123,45; R$ 657,90 e R$ 309,87. 1.3) No dia 03/10/08 o dólar americano estava cotado em R$ 1,92; no dia 06/10/08 a cotação foi de R$ 2,16. Com base nestes dados, indique qual foi a variação percentual do dólar. (resolva usando a HP 12C e, em seguida, a planilha de cálculo Excel®). 1.4) Um cliente realiza uma compra em uma loja de eletrodomésticos no valor de R$ 1.125,80 em 15/05/08. Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 120 dias para o pagamento, usando as funções calendário da HP 12c e a planilha de cálculo Excel® determine a data do vencimento. 1.5) Uma empresa tem vendas mensais para o mês de novembro de 2008 estimadas em R$ 1.358.980,00. Sabendo que o valor total das vendas está distribuído nas cidades de Florianópolis, Curitiba e Porto Alegre, com valores correspondentes a R$ 389.159,30; R$ 253.455,90 e R$ 716.364,80 respectivamente, determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades. Unidade 1 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 39 39 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais HEWLETT-PACKARD. HP-12C Platinum. Manual do usuário e guia de resolução de problemas. Hewlett-Packard Company, 2003. 40 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 40 01/03/12 14:41 UNIDADE 2 Regimes de capitalização simples e composto Objetivos de aprendizagem Fazer uso das funções financeiras da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel® para calcular juros simples e composto. Calcular juros simples exatos e comerciais ou bancários. Aprender o cálculo de descontos: simples e composto. Calcular taxas, valor presente, valor futuro e prazo no regime de capitalização composto, usando a HP 12c e a planilha de cálculo Excel®. 2 Seções de estudo Seção 1 Regime de capitalização simples Seção 2 Regime de capitalização composto Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 41 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade, você vai fazer uso das funções financeiras da HP 12c com o objetivo de realizar cálculos de juros simples e composto, montantes simples e composto, descontos simples e composto, cálculo de taxas e prazos. Os cálculos também serão realizados utilizando a planilha de cálculo Excel®. Destacamos que faremos uma abordagem dos conceitos dos conteúdos vistos, que darão base para realizar todos os cálculos solicitados nos problemas que serão propostos nesta unidade. Seção 1 – Regime de capitalização simples Nesta seção, faremos uma abordagem sobre o regime de capitalização simples, destacando alguns conceitos, aplicação e as suas principais características. No regime de capitalização simples, o juro (J) é produzido unicamente pelo capital inicial. Ou seja, o juro é constante em todos os períodos (n) de capitalização. Matematicamente, o cálculo de juros simples é conhecido por cálculo linear de juros. Vejamos a dedução da fórmula: J1 = C∙i∙1 J2 = C∙i∙1 + C∙i∙1 = C∙i∙2 J3 = C∙i∙1 + C∙i∙1 + C∙i∙1 = C∙i∙3 Jn = C∙i∙n (2.1) Onde: Jn = Juros no final do período C = Capital i = Taxa n = Período 42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 42 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Geometricamente Figura 2.1 – Gráfico com o cálculo dos juros simples – crescimento linear Montante (M) Montante (M) é uma quantia gerada pela aplicação de um capital inicial (C) por determinado tempo, acrescido dos respectivos juros (J). Dedução da fórmula: M=C+J Como: J = C∙i∙n (2.1) M = C + C∙i∙n = C∙(1 + i∙n), logo: M = C∙(1 + i∙n) (2.2) Onde: M = Montante C = Capital i = Taxa n = Período Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 43 43 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 2.1: Uma pessoa faz uma aplicação no valor de R$ 1.000,00, por um período de 4 anos, no regime de capitalização simples, a uma taxa de 10% a.a. (ao ano). Determinar: juros e o montante produzido. Solução Dados: C = R$ 1.000,00 i = 10% a.a. n = 4 anos J=? M=? J = C∙i∙n = 1.000,00∙0,10∙4 = 400,00 M = C∙(1 + i∙n) = 1.000,00∙(1 + 0,1∙4) = 1.400,00 Resolvendo o problema com o auxílio da planilha de cálculo Excel® Figura 2.2 – Tela do Excel® com os cálculos dos juros simples e do montante Juros simples exatos (Je) No cálculo dos juros simples exatos, o prazo é contado em dias; o mês é o número real de dias conforme o calendário (ex.: mês de agosto = 31 dias); o ano civil tem 365 dias ou 366 dias (ano bissexto). Juros simples comerciais ou bancários (Jc) Já no cálculo dos juros simples comerciais ou bancários, todo mês do ano tem 30 dias, gerando, portanto, o ano civil de 360 dias. O mercado financeiro utiliza o ano comercial. 44 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 44 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Exemplo 2.2: Calcular os juros simples exatos e comerciais resultantes de uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de 180 dias a uma taxa de 2% a.m. (ao mês). Solução Dados: C = R$ 2.000,00 i = 2% a.m. = 24% a.a. n = 180 dias Je = ? Jc = ? Resolvendo o problema com o auxílio da planilha de cálculo Excel® Figura 2.3 – Tela do Excel® com os cálculos dos juros simples exatos e comerciais Você sabia? Os juros simples no Brasil são utilizados principalmente para: cálculo do IOF (imposto sobre operações financeiras); determinação dos encargos financeiros na maioria dos empréstimos no âmbito do sistema BNDES; cálculo de mora em caso de atraso de obrigação pecuniária; operações e negócios entre empresas e consumidores fora do mercado bancário (empresas não financeiras). Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 45 45 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Calculando juros simples na HP 12c Antes de realizar cálculos de juros simples usando a calculadora financeira HP 12c, vamos apresentar os registradores financeiros disponíveis nessa ferramenta, os quais serão utilizados na maioria dos exemplos que deverão ser resolvidos ao longo das próximas seções desta unidade e nas demais unidades desta disciplina. Portanto, na ilustração a seguir, você verá os registradores financeiros e as suas aplicações. Registra e armazena período. Registra e armazena taxa. Registra e armazena valor presente. Registra e armazena pagamentos periódicos Registra e armazena valor futuro. Figura 2.4 – Registradores financeiros e as suas aplicações Para armazenar um número em um registrador financeiro, digite o número e, em seguida, uma das teclas correspondentes ilustradas na figura 2.4 acima. Para exibir um número armazenado em um dos registradores financeiros, aperte e, em seguida, a tecla correspondente. Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequência de teclas: . É importante lembrar que os registradores financeiros também são zerados ao apertar a sequência e quando a memória contínua é reinicializada. A seguir você fará cálculos de juros simples usando a HP 12c. Obs.: Para usar as funções financeiras da HP 12c na fórmula para o cálculo dos juros simples J = C∙i∙n, vamos fazer: C = PV. 46 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 46 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira A HP 12c calcula automaticamente juros simples ordinários – usando o ano comercial – e juros simples exatos – usando um ano de 365 dias, simultaneamente. É possível apresentar qualquer um dos dois e, ainda, com os juros acumulados no mostrador, podemos calcular o montante apertando a tecla . Exemplo 2.3: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros simples durante 2 anos a uma taxa de 14% a.a. Qual é o valor dos juros e o montante adquirido? Solução A sequência a seguir calcula os juros e o montante. Digite f Resultado REG 10.000,00 CHS n 14 i f INT PV 720 No cálculo de juros simples, o período deve ser em dias. Calcula os juros simples + 2.800,00 Juros 12.800,00 Montante Exemplo 2.4: Determinar os juros simples exatos em uma aplicação de R$ 12.000,00 a uma taxa de 12% a.a., de 15 de setembro de 2008 a 10 de dezembro de 2008. Solução A sequência a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos. Digite f Resultado REG 12.000,00 CHS PV 15.092008 ENTER 10.122008 g ∆DYS 86 Número de dias n 12 i INT R f x y 344,00 Juros comerciais 339,29 Juros exatos Neste exemplo, utilizamos duas teclas, que serão ilustradas a seguir, para realizar o cálculo dos juros exatos. Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 47 47 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina Ao apertar essa tecla, ela rola para baixo o conteúdo da pilha para visualização no registro X. Ao apertar essa tecla, ela troca o conteúdo dos registros X e Y da pilha. Figura 2.5 – Teclas utilizadas para registros de dados Descontos simples A operação desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação do recurso, ou seja, desconto é o abatimento feito no valor nominal (VN) de uma dívida, quando ela é negociada antes do vencimento. Podemos resumir a operação de desconto por meio do esquema: Figura 2.6 – Esquema com o resumo da operação desconto O desconto simples pode ser: Racional – DRS ou Comercial (Bancário) – DCS. 48 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 48 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Determinação da fórmula para o cálculo do Desconto Racional Simples (DRS) Do esquema apresentado na figura 2.6, podemos concluir que: DRS = VN – VL (2.3) Onde: DRS = Desconto Racional Simples VN = Valor Nominal = valor do título na data do vencimento VL = Valor Líquido = valor negociado antes do vencimento Da fórmula do cálculo do montante simples, temos: M = C∙(1 + i∙n) (2.2) Fazendo M = VN e C = VL em (2.2), teremos: (2.4) Substituindo (2.4) em (2.3), teremos: Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 49 49 01/03/12 14:41 Universidade do Sul de Santa Catarina (2.5) Onde: DRS = Desconto Racional Simples VN = Valor Nominal = valor do título na data do vencimento n = Período i = Taxa de desconto A fórmula (2.5) calcula o valor do desconto, sendo conhecidos: Valor Nominal, taxa de desconto e período. Determinação da fórmula para o cálculo do Desconto Comercial ou Bancário Simples (DCS) No cálculo do desconto comercial ou bancário simples, você determina primeiro o valor do desconto, ou seja: DCS = VN∙i∙n (2.6) Em seguida, determina-se o valor líquido: VL = VN – DCS (2.7) Exemplo 2.5: Uma empresa realiza uma operação de desconto em um determinado banco “A” de uma duplicata de valor nominal (VN) de R$ 10.000,00. Sabendo-se que o vencimento do documento é o dia 23/11/2008, e que a operação de desconto ocorreu em 08/10/2008 a uma taxa de 2,5% a.m., pergunta-se: qual é o desconto simples bancário da operação? E qual o valor do desconto se considerarmos o racional simples? 50 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 50 01/03/12 14:41 Informática Aplicada à Matemática Financeira Solução Dados: VN = R$ 10.000,00 i = 2,5% a.m. n = 46 dias DCS = ? DRS = ? Realizando os cálculos acima com o auxílio da calculadora HP 12c As sequências a seguir determinam o Desconto Comercial e Racional Simples respectivamente. Digite Resultado 10.000,00 ENTER 0,025 × 46 × 30 ÷ 383,33 DCS 369,18 DRS 10.000,00 ENTER 0,025 × 46 × 30 ÷ 1 ENTER 0,025 ENTER 46 × 30 ÷ + ÷ Resolvendo os cálculos com o auxílio da planilha de cálculo Excel® Na planilha de cálculo, digite o valor do capital na célula A2; a taxa na célula B2; o período na célula C2 (observe que o período está em dias e a taxa em mês. Portanto, transforme a unidade do período para mês, inserindo na célula B2: =46/30). Agora, insira a fórmula =A2*B2*C2 na célula F2 para determinar o valor do Desconto Comercial Simples. Na célula G2 insira a fórmula =A2*B2*C2/(1+B2*C2). Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 51 51 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Essa fórmula determina o valor do desconto Racional Simples. Veja figura 2.7 a seguir. Figura 2.7 – Tela do Excel® com os cálculos dos descontos: comercial e simples Exemplo 2.6: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2,5% a.m. Sabendo-se que esse tipo de operação está sujeita ao pagamento do IOF, que é 0,0082% ao dia, para operação de desconto, obter o valor recebido pelo portador do título. Solução Dados: VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% a.m. iIOF = 0,0082% a.d. VL = ? Cálculo do desconto comercial simples DCS = VN∙i∙n = 25.000,00×0,025×2 = R$ 1.250,00 Cálculo do IOF Pelo Decreto no 6.339, a base de cálculo do IOF será: R$ 25.000,00 – R$ 1.250,00 = R$ 23.750,00 Como a taxa do IOF é diária e o prazo de antecipação é de 2 meses, devemos converter o prazo para dias, ou seja, 2 meses = 60 dias. Logo: IOF = 23.750,00 × 0,000082 × 60 = R$ 116,85 52 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 52 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Cálculo do Valor líquido VL = VN – DCS – IOF VL = 25.000,00 – 1.250,00 – 116,85 = R$ 23.663,15 Realizando os cálculos acima com o auxílio da calculadora HP 12c A sequência de teclas a seguir determina o valor líquido a receber pelo portador do título. Digite Resultado 25.000,00 ENTER 0,025 × 2 × 25.000,00 ENTER RCL 1 + STO 1 RCL 1 – 0,000082 × 60 × CHS 25.000,00 + 23.663,15 Valor Líquido Resolvendo os cálculos com o auxílio da planilha de cálculo Excel® Para determinar o valor líquido com o auxílio da planilha, insira o valor do título na célula A2; a taxa na célula B2; o período em mês na célula C2; calcule o período correspondente na unidade de tempo “dia” na célula D2, insira a taxa do IOF na célula F2. Em seguida, insira as fórmulas nas células E2; G2 e H2 conforme orientações na figura 2.8 a seguir. Figura 2.8 – Tela do Excel® com os cálculos do: desconto; IOF e valor líquido Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 53 53 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Operação de desconto com um conjunto de títulos Borderô: nota discriminativa de quaisquer mercadorias ou valores entregues, sob a forma de extrato recapitulativo. Nos exemplos apresentados, realizamos a operação de desconto simples usando apenas um único título. Na possibilidade de depararmos com um borderô de títulos, o melhor seria aplicar uma metodologia que facilitasse esses cálculos. Vamos ver uma situação em que haja mais de um título ou borderô de títulos ou duplicatas. Exemplo 2.7: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo para serem descontadas num banco à taxa de desconto comercial simples de 2,8% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa sabendo que na operação de desconto o IOF é de 0,0082% a.d.? Tabela 2.1 – Borderôde duplicatas Duplicata A B C D E Valor (R$) 2.890,00 3.789,90 879,80 375,80 628,98 Vencimento 28 dias 45 dias 58 dias 65 dias 48 dias Solução Total do borderô: R$ 8.564,48 54 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 54 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Valor total do desconto comercial simples: R$ 75,53 + R$ 159.18 + R$ 47.63 + R$ 22,80 + R$ 28,18 = = R$ 333,30 Cálculo do IOF IOF = + (2.890,00 – 75,53)∙0,000082∙28 IOF = + (3.789,90 – 159,18)∙0,000082∙45 IOF = + (879,80 – 47,63)∙0,000082∙58 IOF = + (375,80 – 22,80)∙0,000082∙65 IOF = + (628,98 – 28,18)∙0,000082∙48 IOF = R$ 28,06 Cálculo do valor líquido da operação desconto: VL = R$ 8.564,48 – R$ 333,30 – R$ 28,06 = R$ 8.203,11 Resolvendo o problema com o auxílio da planilha de cálculo Excel® Figura 2.9 – Tela do Excel® com os cálculos do: desconto; IOF e valor líquido Obs.: Vamos resolver esse exemplo na calculadora HP 12c após a explanação do próximo item sobre prazo médio de um conjunto de títulos. Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 55 55 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Prazo médio de um conjunto de títulos No item anterior foi possível perceber que, para acharmos o valor líquido de um conjunto de títulos, teremos que calcular inicialmente o valor do desconto de cada título. Se tivermos uma quantidade grande de títulos para calcular, esse método se torna muito lento; teríamos, então, que aplicar o conceito do prazo médio. Podemos definir o prazo médio de um conjunto de títulos como o prazo em que devemos descontar o valor total do conjunto, ou seja, o total do borderô. Para tanto, deve-se considerar uma taxa de desconto (i) e o conceito de Desconto Comercial Simples (DCS). Sejam VN1, VN2, VN3, …, VNn os valores nominais dos títulos e n1, n2, n3, …, nn os prazos dos respectivos valores nominais; considere ainda uma taxa de desconto bancário (i). Teremos a seguinte fórmula para o Prazo Médio (PM): (2.8) Onde: VN = Valor Nominal n = Período Exemplo 2.8: Resolver o exemplo 2.7 usando o conceito de prazo médio. Solução Determinação do prazo médio 56 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 56 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Cálculo do desconto comercial simples IOF = R$ 28,06 Valor Líquido: VL = R$ 8.564,48 – 333,30 – 28,06 = R$ 8.203,11 Cálculo do prazo médio usando a HP 12c Você pode calcular o prazo médio usando a calculadora HP 12c. A ilustração a seguir apresenta as funções necessárias para o cálculo do prazo médio. Acumula dados nos registros de armazenamento. Calcula a média ponderada dos valores y (item) e x (peso) usando os dados acumulados em ∑+. Figura 2.10 – Teclas da calculadora HP 12c para o cálculo de prazo médio Para calcular o prazo médio usando a calculadora financeira e as teclas ilustradas, faça: Digite Resultado 28 ENTER 2.890,00 ∑+ armazena o prazo e o valor correspondete 45 ENTER 3.789,90 ∑+ armazena o prazo e o valor correspondete 58 ENTER 879,80 ∑+ armazena o prazo e o valor correspondete 65 ENTER 375,80 ∑+ armazena o prazo e o valor correspondete 48 ENTER 628,98 ∑+ armazena o prazo e o valor correspondete g xw prazo médio do conjunto de títulos Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 57 41,6968 57 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Você sabia? Que para quem vai liberar recursos financeiros, um banco, por exemplo, a melhor opção será usar o Desconto Comercial ou Bancário Simples (DCS)? Entretanto, se você fosse receber a liberação de recursos financeiros por meio de uma operação de desconto, a melhor opção seria aplicar a metodologia de cálculo do Desconto Racional Simples (DRS). Você pode fazer essa verificação confrontando os resultados de uma operação de desconto simples pelos dois métodos (racional e comercial). Confira! Na próxima seção, faremos uma abordagem sobre o sistema de capitalização composto; usaremos a HP 12c e as funções financeiras da planilha de cálculo Excel® para realizar cálculos de juros compostos, período, taxa, valor presente e valor futuro. Seção 2 – Regime de capitalização composto Nesta seção, faremos uma abordagem sobre o regime de capitalização composto, destacando alguns conceitos, aplicação e as suas principais características. No regime de capitalização composto, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja, juros sobre juros (anatocismo). O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Vejamos a dedução da fórmula. 58 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 58 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Cálculo do montante (M) M1 = C + C∙i = C∙(1 + i) M 2 = M1 + M1∙i = M1∙(1 + i) = C∙(1 + i)∙(1 + i) = C∙(1 + i)2 Mn = C∙(1 + i)n (2.9) Onde: C = Capital inicial Mn = Montante no final do período i = Taxa n = Período Cálculo dos Juros (J) Juros = Capital final – Capital inicial, matemática, representado como: J = Mn – C = C∙(1 + i)n – C J = C[(1 + i)n – 1] (2.10) Onde: J = Juros C = Capital i = Taxa n = Período Geometricamente Figura 2.11 – Representação gráfica do cálculo dos juros compostos Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 59 59 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 2.9: Um investidor aplica R$ 2.000,00 no regime de juros compostos em uma determinada instituição financeira por um período de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de juros negociada foi de 1,5% a.m., pergunta-se: quais os juros gerados na aplicação? E qual o montante final? Solução Dados: C = R$ 2.000,00 i = 1,5% a.m. n = 6 meses J=? M=? M = 2.000,00∙(1 + 0,015)6 = R$ 2.186,89 J = 2.000,00∙[(1 + 0,015)6 – 1] = R$186,89 Na sequência, vamos resolver problemas de juros compostos usando a calculadora HP 12c e a planilha de cálculo Excel®. Na calculadora, vamos usar as funções já apresentadas da figura 2.4 da seção anterior. Já na planilha de cálculo vamos usar as funções da categoria Financeira, como as mostradas na figura 2.12. Figura 2.12 – Tela do Excel® com algumas funções financeiras 60 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 60 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Os exemplos apresentados a partir de agora são ilustrativos de uma ampla variedade de cálculos financeiros. Para resolvê-los, você precisa estruturá-los identificando os elementos básicos do problema, de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas, seja à calculadora quanto à planilha de cálculo, qual é o valor desconhecido, ou seja, o valor que queremos determinar. Na resolução dos cálculos usando a HP 12c e a planilha de cálculo, é indispensável elaborar o diagrama de fluxo de caixa. É importante ressaltar que as ferramentas precisam de informações com relação à entrada de dados (valores positivos e/ou negativos), para comparar o fluxo de caixa, ou seja, é preciso informar quando temos uma entrada ou uma saída. O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos (valores positivos) são representados por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos (valores negativos) são representados por setas verticais apontadas para baixo. Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo. O conceito caixa (financeiro) não pode ser confundido com conceito de competência (contábil). Observe o modelo simplificado. Figura 2.13 – Fluxo de caixa – modelo simplificado Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 61 61 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Veja agora o modelo detalhado. Figura 2.14 – Fluxo de caixa – modelo detalhado Na HP 12c a tecla (do inglês Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um número, ou seja, faz o fluxo de caixa. Na sequência de exemplos apresentada a seguir, realizaremos cálculos de juros, montantes, valor presente, prazo, taxa de juros, com o auxílio dos registradores financeiros da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel®. Obs.: A tabela 2.1 a seguir apresenta uma comparação entre as funções financeiras da HP 12c e da planilha de cálculo Excel®. Tabela 2.2 – Comparação entre as funções da HP12C e Excel® Função HP 12c Excel® Capital (C) PV VP Montante (M) FV VF Taxa (i) i i Período (n) n NPER PMT PGTO Parcelas (PMT) Exemplo 2.10: Qual o montante gerado por um capital de R$ 2.500,00, aplicado por 10 meses a juros compostos a uma taxa de 3,5% a.m.? 62 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 62 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Solução Dados: VP = R$ 2.500,00 n = 10 meses i = 3,5% a.m. FV = ? Resolvendo na HP 12c A sequência a seguir calcula o montante composto. Digite f Resultado REG 25.000,00 PV 10 n 3,5 i CHS Fluxo de caixa: saída do dinheiro para aplicação. FV 3.526,50 Montante Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Digite o valor do capital, a taxa e o período em células diferentes. Em seguida, selecione a célula na qual você quer que apareça o montante. Depois, faça <Inserir> <Função> em “Ou selecione uma categoria” selecione “Financeira” e em seguida use a barra de rolagem da caixa “Selecione uma função” e escolha VF. Obs.: Outra maneira mais fácil de acessar as opções da janela “Inserir função” é clicando sobre ícone fx da barra de edição das células. Agora, clique em OK e vai aparecer a janela: “Argumento da função”. Em Taxa, clique na célula correspondente ao valor da taxa; em Nper, clique na célula do período e em Vp clique no valor do capital (não esqueça de fazer o fluxo de caixa, isso significa: entrar com valor negativo para o capital, já que temos uma aplicação, ou seja, “sai capital do meu bolso”). Em “Resultado da fórmula”, confira o valor do montante. Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 63 63 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Veja a figura 2.15 a seguir. Figura 2.15 – Tela do Excel® com os argumentos da função VF (valor futuro) Em seguida, clique em OK e vai aparecer o resultado da fórmula. Veja a figura 2.16. Figura 2.16 – Tela do Excel® com o cálculo do montante Exemplo 2.11: Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 8 meses a uma taxa de 1,2% a.m. Calcule os juros resultantes dessa aplicação. Dados: VP = R$ 15.000,00 n = 8 meses i = 1,2% a.m. J=? 64 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 64 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Resolvendo na HP 12c Use a sequência a seguir para calcular os juros. Digite f Resultado REG 15.000,00 CHS PV 8 n 1,5 i RCL PV Fluxo de caixa: saída do dinheiro para aplicação. FV + 16.501,95 Montante 1.501,95 Juros Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Na resolução dessa questão, use as mesmas orientações da questão anterior. Digite na célula G1 Juros e faça o cálculo dos juros na célula G2. Observe que no cálculo dos juros somamos os valores: = VP + VF, pois foi feito o fluxo de caixa para o valor presente, ou seja, na hora de digitar o valor presente digitamos o sinal negativo. Caro aluno, lembre que os juros representam a diferença entre o valor recebido (VF) e o valor aplicado (VP). Figura 2.17 – Tela do Excel® com o cálculo do montante e dos juros Exemplo 2.12: Um determinado capital é aplicado a juros compostos a uma taxa de 1,5% a.m., gerando um montante de R$ 10.500,00 após 1 ano e 6 meses. Determine o capital. Dados: FV = R$ 10.500,00 i = 1,5% a.m. n = 1 ano 6 meses = 18 meses VP = ? Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 65 65 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo na HP 12c Use a sequência de teclas da calculadora a seguir para determinar o capital. Digite f REG 10.500,00 FV 1,5 i 18 n Resultado PV –8.031,57 Capital aplicado Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Selecione a função financeira VP (Figura 2.18). Figura 2.18 – Tela do Excel® com a seleção da função financeira VP (valor presente) Clique em OK e vai aparecer a janela: “Argumento da função”. Em Taxa, clique na célula correspondente ao valor da taxa; em Nper, clique na célula do período e em vf, clique no valor do montante. Em “Resultado da fórmula”, confira o valor do montante. Veja a figura 2.19 a seguir. 66 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 66 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 2.19 – Tela do Excel® com os argumentos da função Valor Presente Selecione OK e vai aparecer o resultado da fórmula. Figura 2.20 – Tela do Excel® com o resultado do Valor Presente Exemplo 2.13: Qual a taxa de juros paga pela instituição financeira para um capital aplicado de R$ 5.500,00, se o valor recebido ao final de um período de 12 meses foi de R$ 8.373.42? Dados: PV = R$ 5.500,00 FV = R$ 8.373,42 n = 12 meses i=? Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 67 67 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo na HP 12c Use a sequência de teclas da HP para determinar a taxa de juros mensal. Digite f REG 5.500,00 CHS Resultado PV 12 n 8.373,42 FV i Taxa de Juros mensal 3,56 Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Selecione a função financeira TAXA (Figura 2.21). Figura 2.21 – Tela do Excel® com a seleção da função financeira TAXA Clique em OK e vai aparecer a janela: “Argumento da função”. Em Nper, clique na célula do período, em Vp, clique no valor do capital, e em vf, clique no valor do montante. Em “Resultado da fórmula”, confira o valor da taxa. Veja a figura 2.22 a seguir. 68 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 68 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 2.22 – Tela do Excel® com os argumentos da função TAXA Selecione OK e vai aparecer o resultado da fórmula. Figura 2.23 – Tela do Excel® com o resultado da TAXA Exemplo 2.14: Determinar o período para que um empréstimo de R$ 25.000,00 seja pago pela quantia de R$ 28.154,06, sabendo-se a taxa de juros compostos cobrada foi de 2% a.m. Dados: PV = R$ 25.000,00 FV = R$ 28.154,06 i = 2% a.m. n=? Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 69 69 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo na HP 12c Use a sequência a seguir para determinar o prazo. Digite f REG 25.000,00 CHS Resultado PV 2 i 28.154,06 FV n Período em meses 6,00 Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Selecione a função financeira NPER – Número Períodos (Figura 2.24). Figura 2.24 – Tela do Excel® com a seleção da função financeira NPER Clique em OK e vai aparecer a janela: “Argumento da função”. Em Taxa, clique na célula da taxa, em Vp, clique no valor do capital, e em vf, clique no valor do montante. Em “Resultado da fórmula”, confira o valor do período. Veja a figura 2.25 a seguir. 70 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 70 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 2.25 – Tela do Excel® com os argumentos da função NPER Selecione OK e vai aparecer o resultado da fórmula. Figura 2.26 – Tela do Excel® com o resultado do período Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 71 71 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Função “C” na HP 12c e as teclas “STO” e “EEX” Você pode calcular taxa de juros (i), Capital (PV), Montante (FV) e Pagamentos periódicos (PMT) para transações financeiras com períodos fracionários. Ao digitar um período fracionário, por exemplo, 2,3 meses, a parte inteira do número indica o número de períodos inteiros e a parte fracionária do número o tamanho do período fracionário como uma fração do período inteiro (no exemplo: 2 meses e 0,3 meses). De acordo com o critério do usuário, os cálculos de taxa de juros (i), capital (PV), Montante (FV) e Pagamentos periódicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o período fracionário. Para escolher uma das duas opções, aperte as seguintes sequências de teclas: Aparece o indicador “C” no visor. Portanto, os juros compostos são calculados para a parte fracionária do período. Não aparece o indicador “C” no visor. Portanto, os juros simples são calculados para a parte fracionária do período. Figura 2.27 – Teclas utilizadas para cálculo de juros simples e compostos para período fracionário Exemplo 2.15: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.850.300,00, aplicado à taxa de 14% a.a., durante 4,5 anos, usando juros compostos e simples para a parte fracionária do período. Solução As sequências a seguir apresentam os resultados para o cálculo do valor futuro com juros simples para o período fracionário e juros compostos para o período fracionário, respectivamente. 72 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 72 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Dados: PV = R$ 1.850.300,00 i = 14% a.a. n = 4,5 anos VF = ? Digite f Resultado REG 1.850.300,00 CHS PV 14 i 4,5 n FV 3.343.838,79 f REG STO EEX 1.850.300,00 CHS PV 14 i 4,5 n FV 3.336.675,56 Desconto composto Valor futuro calculado com juros simples para o período fracionário Valor futuro calculado com juros compostos para o período fracionário O desconto composto, de maneira similar ao Desconto simples, pode ser: Racional – DRC ou Comercial (Bancário) – DCC. Determinação da fórmula do Desconto Racional Composto (DRC): DRC = VN – VL Do cálculo do montante composto, sabemos que: Mn = C∙(1 + i)n Fazendo M = VN e C = VL, teremos: VN = VL∙(1 + i)n Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 73 73 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo: Como: DRC = VN – VL ⇒ (2.11) Determinação da fórmula do Desconto Comercial Composto (DCC): DCC = VN – VL Onde: VL = VN∙(1 – i)n (2.12) Logo: DCC = VN – VN∙(1 – i)n ⇒ DCC = VN∙[1 – (1 – i)n] (2.13) Exemplo 2.16: Determinar o valor do desconto racional composto e o valor líquido de um título de R$ 5.200,00, descontado 2 meses antes do seu vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto composto racional é de 2,8% a.m. 74 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 74 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Solução Dados: VN = R$ 5.200,00 n = 2 meses i = 2,8% a.m. DRC = ? VL = ? Resolvendo na HP 12c A sequência de teclas a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor líquido a receber. Digite Resultado 5.200,00 ENTER 1 ENTER 0,028 + 2 yx 1 – × 1 ENTER 0,028 + 2 yx 279,41 Valor do desconto 4.920,59 Valor Líquido ÷ CHS 5.200,00 + Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Na planilha, insira a fórmula do Desconto Racional Composto na célula D2 e a fórmula para calcular o Valor Líquido da operação, conforme indicado na figura 2.28. Figura 2.28 – Tela do Excel® com o valor do desconto racional composto e o valor líquido Exemplo 2.17: Uma empresa descontou um título de valor nominal R$ 2.800,00 em um banco 2 meses antes de seu vencimento. Se a taxa de desconto composto comercial usada pelo banco foi de 3% a.m., qual foi o valor do desconto? Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 75 75 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução Dados: VN = R$ 2.800,00 n = 2 meses i = 3% a.m. DCC = ? Resolvendo na HP 12c As operações de desconto composto comercial ou bancário podem ser realizadas nos registradores financeiros da HP 12c, conforme sequência apresentada a seguir. Digite Resultado f REG 2.800,00 PV 2 n 3 CHS Negativa a taxa i FV RCL PV Valor líquido –2.634,52 + Valor do desconto 165,48 Resolvendo na planilha de cálculo Excel® Você pode realizar a operação de desconto solicitada usando as orientações da figura 2.29 a seguir. Figura 2.29 – Tela do Excel® com o valor do desconto comercial composto e o valor líquido 76 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 76 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Síntese Nesta unidade, você usou as funções financeiras da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel® para realizar cálculos de juros simples e compostos, descontos simples e compostos, valor presente, taxa de juros, período e montante. Usaremos essas ferramentas para auxiliar no cálculo de taxas equivalentes e de pagamentos periódicos. Atividades de autoavaliação Fazendo uso da calculadora HP 12c (elabore a sequência de passos para chegar ao resultado) e da planilha de cálculo Excel® resolva as questões a seguir. 2.1) Determinar os juros simples resultantes de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 14,75% a.a., por um período de 3 anos. 2.2) Qual o montante gerado por uma aplicação de R$ 2.500,00 ao final de 12 meses se o regime da capitalização é o simples e a taxa de juros foi de 2% a. m (ao mês)? 2.3) Determinar os juros exatos e comerciais de uma aplicação de R$ 10.000,00 realizada no dia 10 de agosto de 2008 com resgate previsto para o dia 20 de dezembro de 2008 a uma taxa de 13,75% ao ano. 2.4) Uma empresa deve pagar uma duplicata com valor de face ou nominal de R$ 1.800,00 em 2 meses. Ela tem a opção de liquidar, hoje, essa duplicata por R$ 1.714,29. Qual é a taxa de juros comerciais simples, mensal, utilizada para realizar essa operação se a empresa resolver liquidar a duplicata hoje? 2.5) Um título de valor nominal R$ 2.890,00 vai ser descontado 45 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 2,8% a.m. (ao mês). Sabendose que o tipo de desconto usado na operação será o bancário ou comercial simples, quais são os valores do desconto e do valor líquido, respectivamente, da operação? Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 77 77 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 2.6) Quero trocar o meu carro daqui a seis meses. Sabendo que precisarei de um montante de R$ 15.000,00, quanto deverei depositar hoje em uma aplicação que rende 1,87% a.m. no regime de juros compostos? 2.7) Um investidor aplicou em uma instituição financeira R$ 12.400,00 a uma taxa de juros compostos de 0,8% a.m. (ao mês) por um período de 1,5 ano. Qual é o montante gerado por essa operação? 2.8) Uma empresa vai realizar uma operação de desconto comercial composto de uma duplicata de valor nominal R$ 8.350,00 em um determinado banco. Sabendo-se que o vencimento da duplicata é em 60 dias e que a taxa de juros de desconto negociada foi de 2,9% a.m. (ao mês), pergunta-se: qual o valor do desconto e o valor líquido, respectivamente, da operação? 2.9) Um investidor aplicou um capital de R$ 5.500,00 por um período de 10 meses em uma caderneta de poupança. Sabendo-se que a taxa média de juros compostos, no período, foi de 0,55% a.m. (ao mês), de quanto foram os juros obtidos pelo investidor? 2.10) Numa operação financeira de desconto comercial simples, um conjunto de duplicatas (ver tabela abaixo) foi descontada a uma taxa de 2,5% ao mês. Determine o valor líquido e o valor do desconto na operação, sabendo-se que nessa operação o banco cobra 0,0082% ao dia de IOF. Tabela 2.3 – Borderô de duplicatas Duplicata A B C D Valor (R$) 1.870,90 2.435,70 3.250,79 1.125,00 Vencimento 38 dias 42 dias 50 dias 65 dias 2.11) Um investidor resgatou a importância de R$ 3.921,45 de uma aplicação financeira em um determinado banco. Sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 3.500,00 a uma taxa de juros compostos de 2,3% a.m. (ao mês), pergunta-se: qual o período necessário que esse capital ficou aplicado para gerar a importância resgatada? 78 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 78 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Saiba mais AGUSTINI, Carlos Alberto Di., ZELMANOVITS, Nei Schilling. Matemática Aplicada a Gestão de Negócios. Rio de Janeiro: FGV, 2005. DUTRA, Maurici José. Matemática Financeira: livro didático. 3. ed. rev. e atual. Palhoça: UnisulVirtual, 2007. LAPPOLI, Abelardo de Lima. Modelagem Financeira com Excel. Rio de Janeiro: Elsevier, 2003. 4ª reimpressão. 361p. LAPPONI, Juan Carlos. Matemática financeira usando Excel: Como medir criação de valor. São Paulo: Lapponi Treinamento, 2002. 256p. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 6.ed. São Paulo: Saraiva, 2003. 412p. Unidade 2 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 79 79 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 80 01/03/12 14:42 UNIDADE 3 Taxas de juros e sequência de capitais Objetivos de aprendizagem Usar a calculadora HP 12c e a planilha de cálculo Excel® para calcular taxas de juros equivalentes. Usar as funções de programação da HP 12c para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalização composto. Calcular taxas acumuladas de inflação, taxa real, taxa equivalente e taxa efetiva com o auxílio das ferramentas HP 12c e a planilha de cálculo Excel®. Calcular e distinguir pagamentos periódicos de sequências uniformes postecipadas e antecipadas e trabalhar com sequências diferidas. Calcular pagamentos adicionais de uma série uniforme. 3 Seções de estudo Seção 1 Taxas de juros Seção 2 Sequências de capitais Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 81 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade, você usará a calculadora HP 12c e a planilha de cálculo Excel® para determinar taxas equivalentes no regime de capitalização simples e composto. Vamos aprender a usar as funções de programação da calculadora com o objetivo de elaborar um algoritmo que possibilite fazer a conversão de taxas de um período de capitalização para outro, como, por exemplo, converter uma taxa mensal para uma taxa anual. Para realizar cálculos de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequência uniforme, vamos explorar as funções “PMT”, “BEG” e “END” da HP 12c e a função financeira “PGTO” da planilha de cálculo Excel®. Por fim, iremos aprender a calcular parcelas em uma série uniforme diferida, bem como aprender a calcular parcelas adicionais. Seção 1 – Taxas de juros No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de várias formas, tais como: taxa equivalente, taxa nominal, taxa efetiva, taxa acumulada, taxa real etc. Esta seção tem como objetivo mostrar como as taxas de juros são informadas no mercado financeiro e como adequá-las às condições padronizadas pela HP 12c e na planilha de cálculo Excel®. Taxas equivalentes A questão que envolve equivalência de taxas é uma situação comum na realização de operações financeiras, especialmente quando os negócios são realizados em períodos fracionados de tempo, diferente do período no qual se encontra expressa a taxa de juros. 82 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 82 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Para exemplificar esse conceito, vamos supor a situação de um investidor que deseja aplicar o seu capital durante três meses, sendo que a entidade financeira oferece uma taxa de juros com período de capitalização anual. Nesse caso, torna-se necessário determinar a taxa de juro equivalente trimestral para a taxa de juro oferecida com período anual. Assim, podemos dizer que duas taxas são consideradas equivalentes ou proporcionais, seja no regime de capitalização simples quanto no regime de capitalização composto, quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem montantes idênticos. Equivalência de taxas no regime de capitalização simples Duas taxas i1 e i2 são ditas proporcionais ou equivalentes, a juros simples, quando, aplicadas a um mesmo capital C por períodos de tempo equivalentes n1 e n2, geram o mesmo montante, ou seja: M1 = M 2. Como M1 = C∙(1 + i1∙n1) e M 2 = C∙(1 + i2∙n2) Teremos: M1 = M 2. C∙(1 + i1∙n1) = C∙(1 + i2∙n2) 1 + i1∙n1 = 1 + i2∙n2 i1∙n1 = i2∙n2 Logo, podemos escrever a proporção Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 83 , ou 83 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina (3.1) Onde: i1 = Taxa 1 i2 = Taxa 2 n1 = Período 1 n2 = Período 2 Observe a seguir uma relação entre as taxas anual e semestral. Chamando: i1 = taxa semestral = is i2 = taxa anual = ia Como um ano tem 2 semestres, podemos fazer: n1 = 2 n2 = 1 Substituindo os dados acima na fórmula (3.1), teremos: Desta forma, podemos escrever algumas relações entre as unidades de taxas mais utilizadas no mercado financeiro para determinar taxas equivalentes no regime de capitalização simples. Veja o quadro a seguir. ia = 2∙is ia = 6∙ib ia = 12∙im ia = 360∙id Quadro 3.1 – Relação entre as unidades de taxas no regime de capitalização simples Legenda: ia = taxa anual; ib = taxa bimestral; im = taxa mensal e id = taxa diária. 84 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 84 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Exemplo 3.1: Qual é a taxa anual equivalente à taxa bimestral de 2% no regime de capitalização simples? Solução Dados: ib = 2% ia = ? ia = 6∙ib ⇒ ia = 6∙2 = 12% a.a. (ao ano) Você sabia? Que podemos usar três notações para representar uma taxa de juros? Podemos representar a taxa de juros na sua forma percentual usando o símbolo % (exemplo, 12%). A segunda maneira de representar a taxa de juros é na forma racional, usando a notação de fração (exemplo 12/100) e, finalmente, podemos representar a taxa de juros na forma decimal, empregando a notação decimal (por exemplo, 0,12). Veja o quadro a seguir. Taxa percentual Usamos o símbolo % Taxa racional Usamos a notação de fração Taxa decimal Usamos a notação decimal Quadro 3.2 – Notação de taxas Na calculadora HP 12c, ao utilizar os registradores financeiros, usamos a taxa percentual. Já na planilha de cálculo Excel®, podese formatar a célula que vamos usar para representar a taxa em qualquer uma das três notações. E nos cálculos algébricos, isto é, para informar a taxa de juros nas equações, a notação mais usual é a taxa decimal. Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 85 85 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 3.2: Faça a representação da taxa 8% nas notações: percentual, racional e decimal. Solução Taxa percentual: 8% Taxa racional: Taxa decimal: 0,08 Regime de capitalização composto Nesse regime, usamos o mesmo raciocínio do regime simples para determinar taxas equivalentes, ou seja: duas taxas i1 e i2 são ditas proporcionais ou equivalentes, a juros compostos, quando, aplicadas a um mesmo capital C por períodos de tempo equivalentes n1 e n2, geram o mesmo montante. Logo: M1 = M 2. Como: M1 = C∙(1 + i1)n1 e M 2 = C∙(1 + i2)n2 Teremos que: C∙(1 + i1)n1 = C∙(1 + i2)n2 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 Como a notação utilizada para a taxa no cálculo algébrico é decimal, multiplicamos o resultado acima por 100%, ou seja: 86 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 86 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira (3.2) Onde: i1 = Taxa 1 i2 = Taxa 2 n1 = Período 1 n2 = Período 2 Vejamos uma relação entre as taxas anual e mensal. Chamando: i1 = taxa mensal = im i2 = taxa anual = ia Como um ano tem 12 meses, podemos escrever: n1 = 12 n2 = 1 Substituindo as dados acima na expressão (3.2), teremos: Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 87 87 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Da mesma forma que fizemos no regime simples, podemos escrever algumas relações entre as unidades de taxas mais utilizadas, no mercado financeiro para determinar taxas equivalentes no regime de capitalização composto. Veja o quadro a seguir. Quadro 3.3 – Relação entre as unidades de taxas no regime de capitalização composto Legenda: ia = taxa anual; ib = taxa bimestral; im = taxa mensal e id = taxa diária. Exemplo 3.2: Qual é a taxa anual equivalente a 12% a.b. (ao bimestre)? E qual é a taxa mensal equivalente a 24% a.a. (ao ano)? Solução Dados: ib = 12% a.b. ia = ? ia = 24% a.a. im = ? 88 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 88 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Realizando os cálculos acima com o auxílio da calculadora HP 12c A sequência de teclas a seguir realiza o cálculo da taxa anual dada a taxa bimestral de 12%. Digite Resultado 1 ENTER 0,12 + 6 yx 1 – 100 × 97,38 Taxa anual A sequência de teclas a seguir realiza o cálculo da taxa mensal dada a taxa anual de 24%. Digite 1 ENTER 0,24 + 12 1x⁄ Resultado yx 1 – 100 × 1,81 Taxa mensal Resolvendo com o auxílio da planilha de cálculo Excel® Na planilha, insira a fórmula conforme indicado na figura 3.1a para calcular a taxa anual. Figura 3.1a – Cálculo da taxa anual equivalente dada a taxa bimestral Para calcular a taxa mensal, insira a fórmula conforme indicado na figura 3.1b. Figura 3.1b – Cálculo da taxa mensal equivalente dada a taxa anual Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 89 89 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Programa para cálculo da taxa equivalente no regime de capitalização composto usando as funções de programação da HP 12c O professor Carlos Shinoda, em seu livro de Matemática Financeira para usuários do Excel® (1998, p. 48), apresenta um programa para calcular a taxa equivalente por meio das funções de programação da calculadora HP 12c. Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP 12c. Teclas Visor da HP Descrição entra no modo de programação limpeza de programas anteriores (continua) 90 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 90 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Teclas Visor da HP Descrição sai do modo de programação Figura 3.2 – Algoritmo para a programação de taxa equivalente Fonte: Shinoda (1998, p. 48). Agora que você programou a HP 12c para o cálculo de taxas equivalentes, resolva o exemplo a seguir usando o programa. Exemplo 3.3: Resolva o exemplo 3.2 usando o programa elaborado. Solução Dados: ib = 12% a.b. ia = ? ia = 24% a.a. im = ? Os passos a seguir calculam a taxa anual, dada a taxa bimestral. Digite Resultado 12 ENTER 2 ENTER 12 R/S 97,38 Taxa anual Clique nas sequências de teclas da calculadora para determinar a taxa mensal, dada a taxa anual. Digite Resultado 24 ENTER 12 ENTER 1 R/S 1,81 Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 91 Taxa mensal 91 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Taxa efetiva e taxa nominal Taxa nominal é a taxa em que a unidade de referência do seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Vejamos um exemplo para ilustrar o que foi dito. Uma determinada pessoa resolve aplicar um capital em uma instituição financeira que oferece taxa de juros de 14% a.a. com capitalização mensal. Logo, a taxa de 14% a.a. é a taxa nominal. Nesse exemplo, a taxa nominal foi utilizada para a formalização da aplicação. Ou seja, como um indicador de rentabilidade. Portanto, para efeito de cálculo financeiro, deve-se usar a taxa efetiva. Você sabia? Segundo o dicionário Aurélio Ferreira (2004, p. 1407), a palavra “nominal” é definida como “Que existe só em nome; que não é real; diz-se do valor declarado de um título de crédito ou de uma ação (em oposição ao valor pelo qual é efetivamente transacionado)”. Já a taxa de juros efetiva é a taxa em que a unidade de referência do seu tempo é igual à unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa efetiva é a taxa cobrada nas transações financeiras. Assim, a taxa de juros efetiva obedece à equivalência entre os capitais que compõem o fluxo total da operação. Ou seja, a soma algébrica dos capitais (entrada e saídas em regime de caixa) de uma operação é sempre igual a zero em qualquer data, quando calculados com a taxa de juros efetiva. Para exemplificar o exposto, vamos citar a operação financeira mais comum entre os brasileiros: a caderneta de poupança. Nessa operação, o poupador tem uma rentabilidade de 6% ao ano, além da variação da TR (taxa referencial). Portanto, como já foi definida anteriormente, a taxa de 6% ao ano é a taxa de juro nominal. 92 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 92 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Como as capitalizações dos juros na caderneta de poupança são mensais, podemos calcular a taxa de juros anual efetiva da seguinte forma: Juros mensais proporcionais = = 0,5% a.m. Taxa efetiva mensal Juros anuais = [(1 + 0,005)12 – 1]×100 = = 6,1677812% = Taxa efetiva anual Portanto, uma taxa de juros nominal de 6% a.a. se transforma em juros efetivos de 6,1677812% a.a. com capitalização mensal. Obs.: Quando uma taxa de juros não especifica o período de capitalização, ela é assumida como uma taxa efetiva e o período de capitalização coincide com o prazo especificado pela taxa. Por exemplo, 12% ao ano é considerada uma taxa efetiva anual, capitalizada anualmente. Ainda, é importante observar que, quando o período de capitalização é especificado sem dizer se a taxa é efetiva ou nominal, ela é entendida como nominal, e o período de capitação é o que vem expresso na taxa. Por exemplo, 12% ao ano, capitalizada mensalmente, é considerada uma taxa nominal anual, capitalizada mensalmente. Diante do exposto, podemos relacionar as taxas nominal e efetiva como segue. i = Taxa nominal if = Taxa efetiva n = Número de capitalizações para o período da taxa nominal in = Taxa por período de capitalização Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 93 93 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo: (3.3) e if = [(1 + in)n – 1]×100% (3.4) Você sabia? Que a Lei no 8.660/93, de 28 de maio de 1993, estabeleceu os novos critérios para a fixação da TR – Taxa Referencial e extinguiu a TRD – Taxa Referência Diária em 1 de maio de 1993? Com a adoção dessa Lei, o art. 11 da Lei no 8.177/91, de 1 de março de 1991, passou a ter a seguinte redação, que deve ser observada a partir daquela data: “É admitida a utilização da Taxa Referencial - TR como base de remuneração de contratos somente quando tenham prazo ou período de repactuação igual ou superior a três meses”. A TR foi criada no Plano Collor II para ser o principal índice brasileiro – uma taxa básica referencial dos juros a serem praticados no mês vigente e que não refletissem a inflação do mês anterior. Apesar de definida pelo governo federal como indexadora dos contratos com prazo superior a 90 (noventa) dias, a TR também corrige os saldos mensais da caderneta de poupança. Fonte: Portal Brasil (2008). Exemplo 3.4: Qual é a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada mensalmente? Dados: i = 24% a.a. n = 12 if = ? 94 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 94 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira A sequência de teclas da HP 12c a seguir realizam os cálculos anteriores. Digite Resultado 0,24 ENTER 12 ÷ 1 + 12 yx 1 – 100 × 26,82 Taxa efetiva anual Na planilha de cálculo Excel®, para determinar a taxa efetiva anual, insira as fórmulas sugeridas na figura 3.3 a seguir. Figura 3.3 – Cálculo da taxa efetiva anual com capitalização mensal Exemplo 3.5: Um investidor aplica um capital de R$ 3.600,00 em uma instituição financeira a uma taxa nominal de juros compostos de 16% a.a. (ao ano). Sabendo que essa taxa é capitalizada mensalmente, pergunta-se: qual o valor do montante gerado por essa aplicação por um período de 18 meses? Dados: i = 16% a.a. n1 = 12 VP = R$ 3.600,00 n = 18 meses = 1,5 ano Cálculo da taxa efetiva e do Valor Futuro. i f = (1 + in ) n −1 i f = [(1 + 0,01333333)12 −1]x100 = 17,23%a.a. VF = VP.(1 + i) n = 3.600,00.(1 + 0,1723)1,5 = R$4.569,24 € Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 95 95 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Realizando os cálculos acima com a calculadora HP 12c Digite Resultado 0,16 ENTER 12 ÷ 1 + 12 yx 1 – 100 × f FIN i 3.600,00 PV 1,5 n FV 4.569,24 Montante Para resolver os cálculos no Excel®, insira as fórmulas indicadas na figura 3.4. Figura 3.4 – Cálculo da taxa efetiva anual com capitalização mensal e do montante Taxa acumulada de juros com taxas variáveis A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente utilizada em situações de correções de contratos, como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. 96 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 96 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas, como, por exemplo: taxas positivas do tipo 5%, 2% etc. e as negativas como –2%, –3,5% etc. Podemos usar taxas negativas para representar perdas salariais, perdas nas bolsas de valores, deflação etc. Matematicamente, o fator de acumulação de taxas pode ser determinado pela seguinte fórmula genérica: i(ac) = [(1 + i1)∙(1 + i2)∙(1 + i3)∙…∙(1 + in) – 1]×100% (3.5) Onde: i(ac) = Taxa acumulada i1; i2; i3; …; in = Taxas variáveis Exemplo 3.6: Observe o gráfico a seguir com os índices de preço ao consumidor (IPCA), no Brasil nos últimos quatro anos e uma projeção para o ano de 2008. Figura 3.5 – Gráfico com a variação mensal do IPCA de 2004 a 2008 (projeção) Fonte: Revista Época (2008). Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 97 97 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Se essa projeção se confirmar, qual é o índice de preço ao consumidor acumulado no período de 2004 a 2008 no Brasil? Solução Dados: i1 = 7,6% a.a. i2 = 5,7% a.a. i3 = 3,1% a.a. i4 = 4,5% a.a. i5 = 6,3% a.a. i(ac) = ? i(ac) = [(1 + 0,076)∙(1 + 0,057)∙(1 + 0,031)∙ (1 + 0,045)∙(1 + 0,036) – 1]×100% = 30,26% Realizando os cálculos com o auxílio da calculadora HP 12c Digite Resultado 1,076 ENTER 1,057 × 1,031 × 1,045 × 1,063 × 1 – 100 × 30,26 Taxa acumulada Agora, vamos resolver o mesmo problema usando a planilha de cálculo Excel®. Para tanto, insira os dados e a fórmula conforme indicado na figura 3.6 a seguir. Figura 3.6 – Cálculo da taxa acumulada Exemplo 3.7: Uma empresa tem uma dívida com um banco que deve ser atualizada monetariamente por 5 meses consecutivos com as seguintes taxa de correção: 1,8%; 2,1%; 0,9%; 1,1% e 1,8% respectivamente. Se a dívida da empresa com o banco é de R$ 15.000,00, qual é o valor da dívida corrigida? 98 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 98 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Solução Dados: i1 = 1,8% a.a. i2 = 2,1% a.a. i3 = 0,9% a.a. i4 = 1,1% a.a. i5 = 1,8% a.a. D = R$ 15.000,00 (dívida) Dcorrigida = ? i(ac) = [(1 + 0,018)∙(1 + 0,021)∙(1 + 0,009)∙ (1 + 0,011)∙(1 + 0,018) – 1]×100% = 7,94% Dcorrigida = 15.000,00×0,794 + 15.000,00 = 16.190,30 Realizando os cálculos com o auxílio da calculadora HP 12c Digite Resultado 1,018 ENTER 1,021 × 1,009 × 1,011 × 1,018 × 1 – 100 × 7,94 Taxa acumulada 15.000,00 ENTER 0,794 × 15.000,00 + 16.190,30 Dívida Realizando os cálculos na planilha de cálculo Excel® Insira as fórmulas conforme indicado na figura 3.7 a seguir. Figura 3.7 – Cálculo da taxa acumulada e da dívida corrigida Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 99 99 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Taxa real de juros A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Ou seja, taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. Se uma determinada aplicação financeira rendeu 8% em um determinado período de tempo, e no mesmo período ocorreu uma inflação de 6%, é correto afirmar que o ganho real dessa aplicação não foi de 8%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 6% no mesmo período de tempo. Desta forma, temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros. Portanto, podemos relacionar a taxa real de juros (ir) com a taxa de inflação (iinf ) da seguinte maneira: Este é o montante gerado pela taxa de juros i: M1 = C∙(1 + i)n Este é o montante gerado pela taxa de inflação iinf: M 2 = C∙(1 + iinf )n A taxa real de juros (ir) será calculada usando a seguinte relação: Como estamos determinando a taxa real para um período, podemos escrever n = 1. Logo: 100 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 100 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Para apresentar o resultado como taxa percentual, vamos multiplicar o resultado da fórmula anterior por 100%, ou seja: (3.6) Onde: i = Taxa de juros iinf = Taxa de inflação ou custo de oportunidade ir = Taxa real de juros Exemplo 3.8: Uma instituição financeira usa em suas aplicações uma taxa de 15% a.a. Se a taxa de inflação do período foi de 12,70% a.a., determinar a taxa real de ganho da aplicação. Solução Dados: i = 15% a.a. iinf = 12,7% a.a. ir = ? Logo, a aplicação proporcionou um ganho real de 2,04% a.a. Realizando os cálculos com o auxílio da calculadora HP 12c Digite Resultado 1,15 ENTER 1,127 ÷ 1 – 100 × Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 101 2,04 Taxa Real 101 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Para resolver o cálculo sugerido na planilha Excel®, insira as fórmulas indicadas na figura 3.8. Figura 3.8 – Cálculo da taxa real Exemplo 3.9: A inflação nos últimos três anos em um determinado país foi respectivamente: 4,5%; 3,8% e 5,2%. Sabendo-se que nesse período o salário de um trabalhador foi reajustado em 13,5%, pergunta-se: no período dos três anos, o trabalhador teve ganhos ou perdas reais em seu salário? Justifique a sua resposta tomando como base o cálculo da taxa real. Solução Dados: i1 = 4,5% a.a. i2 = 3,8% a.a. i3 = 5,2% a.a. i = 13,5% a.a. ir = ? iinf = [(1 + 0,045)∙(1 + 0,038)∙(1 + 0,052) – 1]×100% = 14,11% Como a taxa real foi negativa, significa que o trabalhador teve perdas salariais no período. 102 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 102 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Realizando os cálculos com o auxílio da calculadora HP 12c Digite Resultado 1,045 ENTER 1,038 × 1,052 × 1 – STO 1 1,135 ENTER 1 ENTER RCL 1 + ÷ 1 – 100 × –0,54 Taxa Real Para resolver o cálculo sugerido na planilha Excel®, insira as fórmulas indicadas na figura 3.9. Figura 3.9 – Cálculo da taxa acumulada de inflação e da real Você sabia? Do ponto de vista legal, é interessante observar que o Banco Central do Brasil editou a Resolução nº. 2.878, de 26 de julho de 2001, por meio da qual foram instituídas várias regras que têm por objetivo exigir dos bancos maior transparência em suas operações. Assim, especificamente no que concerne a taxas de juros, devem os bancos explicitar com clareza os critérios de apropriação de juros, de modo a facilitar a compreensão dos encargos a serem assumidos por seus clientes. Na próxima seção, vamos calcular parcelas em uma série uniforme: postecipada, antecipada, diferida e, ainda, calcular parcelas adicionais para uma série uniforme. Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 103 103 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 – Sequência de capitais Nesta seção, você acompanhará as situações em que há mais de um pagamento, ou seja, você estudará as operações envolvendo pagamentos ou recebimentos, periódicos e uniformes. As séries uniformes de pagamentos são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Elas são classificadas em postecipadas e antecipadas. Séries uniformes de pagamentos postecipadas As séries uniformes de pagamentos postecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1. Esse sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada: (0 + n). Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representados na HP 12c pela função “PMT” (do inglês “Payment”) ou a função “PGTO” na planilha de cálculo Excel®, significando pagamento. Veja a seguir o fluxo de caixa. a)Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos Figura 3.10 – Fluxo de caixa para recebimentos de parcelas sem entrada b)Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos Figura 3.11 – Fluxo de caixa para pagamentos de parcelas sem entrada 104 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 104 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira A demonstração do conceito de valor presente (PV), em uma série de pagamento uniforme postecipada, consiste em trazer cada um dos termos para a data focal “zero” e, na sequência, somá-los, obtendo-se o valor presente (PV) da série uniforme de pagamento. Podemos representar matematicamente esse conceito pelas seguintes fórmulas: Se fatoramos PMT, teremos: Observando com mais atenção a expressão acima, podemos verificar a semelhança com uma PG (Progressão Geométrica), em que a razão pode ser representada por: E o primeiro termo, por: Como a soma dos termos de uma PG, a partir do primeiro, é definida por: Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 105 105 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina podemos deduzir a fórmula básica para o cálculo do valor presente (PV), ou seja: (3.7) Onde: PV = Valor Presente PMT = Parcela ou prestação n = Período i = Taxa Portanto, podemos determinar o valor de prestações (PMT) dados: período (n); taxa de juros (i) e o valor do bem a ser comprado (PV) pela da fórmula (3.7), fazendo: Ou (3.8) 106 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 106 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Exemplo 3.10: Uma loja que vende eletrodomésticos anuncia a venda de TVs LCD à vista por R$ 2.580,30. O cliente tem a opção de realizar a compra parcelada com taxa de juros de 3,5% a.m. nas seguintes condições: c)3 vezes iguais sem entrada d)6 vezes iguais sem entrada Pergunta-se: qual o valor das prestações nas duas situações? Solução Dados: PV = R$ 2.580,30 i = 3,5% a.m. n1 = 3 meses n2 = 6 meses PMT1 = ? PMT2 = ? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 107 107 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Usando as funções “BEG” e “END” na HP 12c e a função “PGTO” da planilha de cálculo Excel® Para determinar pagamentos ou prestações uniformes (PMT) usando os registradores financeiros da calculadora HP 12c, é necessário informar se os pagamentos serão antecipados (função BEG) ou postecipados (função END), como ilustrado na figura 3.12. Aciona a função BEGIN que calcula a parcela com pagamento antecipado. Aciona a função END (não aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado. Figura 3.12 – Funções “BEG” e “END” da HP 12c Exemplo 3.11: Determinar o valor das prestações solicitadas no exemplo 3.10 usando as funções financeiras da HP 12c. Solução Dados: PV = R$ 2.580,30 i = 3,5% a.m. n1 = 3 meses n2 = 6 meses PMT1 = ? PMT2 = ? As sequências de teclas da calculadora HP 12c que determinam os valores das parcelas para 3 e 6 pagamentos sem entrada são, respectivamente: 108 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 108 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Sequência para 3 pagamentos Digite f REG Resultado g END 2.580,30 PV 3 n 3,5 i PMT 921,00 Prestação Sequência para 6 pagamentos Digite f REG Resultado g END 2.580,30 PV 6 n 3,5 i PMT 484,24 Prestação Para determinar pagamentos ou parcelas uniformes (PGTO) usando a planilha de cálculo Excel®, devemos acionar a função financeira “PGTO” conforme ilustrado na figura 3.13. Figura 3.13 – Função “PGTO” da planilha de cálculo Excel® Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 109 109 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Dando um clique em OK, abrimos a janela com os argumentos da função “PGTO” necessários para a realização do cálculo, como mostrado na figura 3.14. Figura 3.14 – Tela com os argumentos da função “PGTO” Observe que na figura 3.13 demos destaque para o argumento “Tipo”. Esse argumento é um valor lógico representado por 0 ou 1. Para fazer cálculos de pagamentos uniformes sem entrada, deve ser digitado o valor lógico 0 ou deixar o campo em branco. Isso significa que a compra não tem entrada (postecipada). Já ao digitar o valor lógico 1, significa que a compra tem uma entrada (antecipada). Vejamos um exemplo. Exemplo 3.12: Usar os dados do exemplo 3.10 para determinar o valor das parcelas nas situações propostas com o auxílio da função financeira “PGTO” da planilha de cálculo Excel®. Solução Dados: 110 PV = R$ 2.580,30 i = 3,5% a.m. n1 = 3 meses n2 = 6 meses Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 110 PMT1 = ? PMT2 = ? 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira a)Para determinar o valor das parcelas uniformes, selecione a função financeira “PGTO” e, em seguida, clique em OK para abrir a janela com os argumentos da função. Preencha os argumentos com os dados do problema, como mostrado na figura 3.15, tomando cuidado para inserir o valor lógico 0 no campo do argumento “Tipo”, já que a compra é postecipada, ou seja, sem entrada. Figura 3.15 – Tela com os argumentos da função “PGTO” e o valor da parcela em destaque Clique em OK para proceder ao cálculo do valor da parcela, como ilustrado na figura 3.16. Figura 3.16 – Tela com o valor da parcela em 3 pagamentos postecipados Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 111 111 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina b) Para determinar o valor das parcelas da opção (b), use a mesma sequência anterior, trocando apenas o Nper de 3 para 6. O resultado está apresentado na figura 3.17 a seguir. Figura 3.17 – Tela com o valor da parcela em 6 pagamentos postecipados O quadro 3.4 apresenta diversas fórmulas que relacionam: Valor Presente (PV); Parcelas ou Pagamentos (PMT); Taxa (i); Período (n) e Valor Futuro (FV) para uma série uniforme postecipada. Calcula o valor presente, dados: parcela, taxa e período. Calcula parcela, dados: valor presente, taxa e período. Calcula parcela, dados: valor futuro, taxa e período. Calcula período, dados: valor presente, parcela e taxa. Calcula período, dados: valor futuro, parcela e taxa. Calcula valor futuro, dados: parcela, período e taxa. Quadro 3.4 – Fórmulas que relacionam VP, PMT, FV, n e taxa no regime postecipado 112 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 112 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Séries uniformes de pagamentos antecipadas As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n). Veja a seguir o fluxo de caixa. a)Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos Figura 3.18 – Fluxo de caixa para recebimentos de parcelas com entrada b)Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos Figura 3.19 – Fluxo de caixa para pagamentos de parcelas com entrada A demonstração do conceito de valor presente (PV) em uma série de n pagamentos uniforme antecipada consiste em trazer os com vencimento após um período para a data focal “zero” e, na sequência, somá-los, obtendo-se o valor presente (PV) da série uniforme de pagamento. Podemos entender este conceito pela seguinte fórmula: (3.9) De maneira análoga ao raciocínio empregado quando determinamos o Valor Presente (PV) para a série uniforme sem Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 113 113 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina entrada, identificamos o segundo termo da adição da expressão (3.9) como a soma dos termos de uma Progressão Geométrica de (n – 1) termos, que pode ser representada por: (3.10) Substituindo (3.10) em (3.9), teremos: (3.11) Onde: PV = Valor Presente PMT = Parcela ou prestação n = Período i = Taxa A fórmula (3.11) calcula o Valor Presente (PV) de uma série de pagamentos uniformes com entrada (antecipado) dados: o valor da parcela (PMT), o número de parcelas (n) e a taxa de juros (i). 114 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 114 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Portanto, podemos determinar o valor de prestações (PMT) para uma série uniforme de pagamentos antecipados (com entrada) dados: período (n); taxa de juros (i) e o valor do bem a ser comprado (PV), pela fórmula (3.11), fazendo: (3.12) Onde: PV = Valor Presente PMT = Parcela ou prestação n = Período i = Taxa Exemplo 3.13: Uma geladeira está sendo anunciada por R$ 1.890,00 à vista. O cliente tem a alternativa de realizar a compra desse bem em 3 vezes iguais com entrada. Para essa opção, a loja cobra uma taxa de juros de 3,5% a.m. Determinar o valor das parcelas. Solução Dados: PV = R$ 1.890,00 n=3 i = 3,5% a.m. PMT = ? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 115 115 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Para resolver esse problema usando a calculadora HP 12c, realizamos a seguinte sequência de operações: Digite f REG Resultado g BEG 1.890,00 PV 3 n 3,5 i PMT 651,79 Parcela O procedimento seguido para a resolução do problema por meio da planilha de cálculo Excel® é semelhante ao empregado no exercício 3.12, com a única diferença no valor informado para o argumento “Tipo” da função “PGTO”. No argumento “Tipo” da função “PGTO” você deve digitar o valor lógico 1, que corresponde a uma entrada, como mostrado na figura 3.20. Figura 3.20 – Tela do Excel® com os argumentos da função “PGTO” 116 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 116 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Clicando em OK, o software realiza o cálculo e apresenta como resultado: Figura 3.21 – Tela do Excel® com o valor “PGTO” O quadro, ilustrado a seguir, apresenta fórmulas que relacionam: Valor Presente (PV); Parcelas ou Pagamentos (PMT); Taxa (i); Período (n) e Valor Futuro (FV) para uma série uniforme antecipada. Calcula o valor presente, dados: parcela, taxa e período. Calcula o valor da parcela, dados: valor presente, taxa e período. Calcula o período, dados: valor presente, parcela e taxa. Calcula o valor futuro, dados: parcela, taxa e período. Calcula a parcela, dados: valor futuro, taxa e período. Quadro 3.5 – Fórmulas que relacionam PV, FV, n, PMT e taxa no regime antecipado Exemplo 3.14: Um terreno é anunciado por uma imobiliária em parcelas uniformes e iguais a R$ 2.500,00. Se o valor do terreno à vista é R$ 49.244,56 e a taxa de financiamento é de 1,8% a.m., qual o número de parcelas necessárias para quitá-lo se é dada uma parcela como entrada? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 117 117 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução A sequência a seguir calcula o número de parcelas. Dados: PMT = R$ 2.500,00 PV = R$ 49.244,56 i = 1,8% a.m. n=? A sequência de teclas a seguir calcula o período na HP 12c. Digite f REG Resultado g 2.500,00 CHS BEG 49.244,56 PV 1,8 i PMT n 24 no de parcelas No exemplo acima, o número de pagamentos usando a calculadora HP 12c deu um número inteiro. Cabe, no entanto, ressaltar que podem acontecer situações que, ao se determinar o número de parcelas usando essa ferramenta, o resultado não seja um número inteiro. Nessa situação, a HP 12c arredonda a resposta para o próximo inteiro para cima antes de armazená-la e exibi-la. 118 A calculadora não ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais; ao contrário, ela permite escolher quais valores (se houver) você deseja ajustar. Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 118 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira No exemplo 3.15, vamos determinar o número de parcelas necessárias para quitar o financiamento de um terreno usando a HP 12c e verificar como ela arredonda o resultado. Para resolver a questão com o auxílio do Excel®, vamos usar a função financeira “NPER”. Veja a figura 3.22 a seguir com os argumentos da função. Figura 3.22 – Tela do Excel® com os argumentos da função “NPER” Na sequência, clique em OK e o resultado vai aparecer conforme figura 3.23. Figura 3.23 – Tela do Excel® com o número de parcelas Exemplo 3.15: Você comprou um terreno por R$ 35.000,00 a juros de 10,5% a.a. e pretende fazer pagamentos de R$ 325,00 no fim de cada mês. Quantos pagamentos serão necessários para pagar o terreno e quanto tempo levará? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 119 119 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução A sequência a seguir apresenta o número de pagamentos e o tempo necessário Digite f REG Resultado g 325,00 CHS . END 35.000,00 PV 10,5 g 12 ÷ PMT n 12 ÷ 328 no de parcelas 27,33 Tempo (anos) Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o próximo inteiro, é provável que, apesar de serem necessários 328 pagamentos, somente 327 serão inteiros de R$ 325,00, com o pagamento final sendo menor do que R$ 325,00. Para calcular o valor do pagamento de número 328, realizamos a seguinte sequência de cálculo: Digite 328 n Resultado FV 181,89 RCL PMT –325,00 + –143,11 Valor da parcela 328 Portanto, serão necessários 327 pagamentos de R$ 325,00, mais 1 pagamento de R$ 143,11 para liquidar o financiamento. 120 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 120 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Resolvendo algebricamente: Esse resultado comprova que não serão necessários 328 pagamentos de R$ 325,00. Usando a função “NPER” do Excel® para encontrar o número de períodos: Figura 3.24 – Tela do Excel® com o número de parcelas Observe que o resultado obtido com a função financeira “NPER” do Excel® é o mesmo calculado algebricamente. Portanto, recomendamos que você, ao realizar cálculos de períodos usando as funções financeiras da calculadora HP 12c, verifique sempre se realmente são necessárias as quantidades de parcelas “inteiras” informadas pela ferramenta. Séries uniformes de pagamento diferido Em uma série uniforme de pagamento diferido, o período entre as prestações (PMT) ocorre, no mínimo, a partir do 2o período. Se considerarmos um período (n), o período seguinte será (n + 1), o próximo será (n + 2) e assim sucessivamente. Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 121 121 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos representar uma série uniforme de pagamento diferido pelo fluxo de caixa a seguir: Figura 3.25 – Diagrama de fluxo de caixa de uma série uniforme diferida Para determinar o valor presente (PV) de uma série uniforme diferida, devemos ter informações como: parcela (PMT); carência (c) e a taxa (i) de financiamento. O Valor Presente será calculado pela fórmula: (3.13) Onde: PV = Valor Presente PMT = Parcela n = Período c = Taxa de carência Exemplo 3.16: Uma calculadora financeira encontra-se em promoção e é comercializada em 4 prestações iguais de R$ 120,00. A loja está oferecendo ainda uma carência de 2 meses para o primeiro pagamento. Se a taxa de juros cobrada pela loja é de 3,5% a.m., determine o valor à vista da calculadora. 122 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 122 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Solução Dados: PMT = R$ 120,00 n=4 i = 3,5% a.m. c=2 PV = ? Para resolver o problema usando a calculadora HP 12c, clique na sequência de teclas a seguir. Digite f PV Resultado REG CHS g END 120 CHS FV 0 PMT 1 n PMT 4 n 3,5 i PV 425,86 Valor presente Para determinar o Valor Presente com prazo de carência usando a planilha Excel®, é necessário inserir a fórmula 3.13, conforme indicado na figura 3.26, isso porque o Excel® não possui uma função financeira pronta. Figura 3.26 – Tela do Excel® com o cálculo do valor presente Podemos determinar parcelas (PMT) de uma série uniforme diferida conhecendo uma carência (c); um valor presente (PV); uma taxa de juros (i) e um período (n) usando a fórmula 3.13. Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 123 123 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Vejamos: (3.14) Exemplo 3.17: Uma loja oferta um produto de valor à vista R$ 3.589,90, com uma carência de 3 meses para ser pago em 6 vezes com uma taxa de juros de 3,5% a.m. Pergunta-se: qual é o valor das parcelas? Solução Dados: PV = R$ 3.589,90 c=3 n=6 i = 3,5% a.m. PMT = ? Para resolver o exercício usando a da calculadora HP 12c, clique na sequência de teclas ilustrada a seguir. Digite f FV Resultado REG CHS g END 3.589,90 CHS PV 0 FV 6 n PMT PV 2 n 3,5 i 721,70 Parcela 124 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 124 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Para determinar a parcela usando a planilha Excel®, crie e insira a fórmula 3.14, como indicado na figura 3.27 a seguir. Figura 3.27 – Tela do Excel® com o cálculo do valor presente O quadro 3.6 apresenta fórmulas que relacionam: Valor Presente (PV); Parcelas ou Pagamentos (PMT); Taxa (i); Período (n) e Carência (c) para uma série uniforme diferida. Calcula o valor presente, dados: parcela, carência, taxa e período. Calcula o valor da parcela, dados: valor presente, taxa e período. Calcula o período, dados: valor presente, carência, parcela e taxa. Quadro 3.6 – Fórmulas que relacionam PV, PMT, n, taxa e carência em uma série uniforme diferida Exemplo 3.18: Uma instituição financeira concede um empréstimo a uma determinada empresa no valor de R$ 35.000,00 para ser pago em parcelas iguais no valor de R$ 3.585,00, com uma carência de 3 meses e uma taxa de juros de 2.5% a.m. Pergunta-se: qual a quantidade de parcelas do empréstimo? Solução Dados: PV = R$ 35.000,00 PMT = R$ 3.585,00 i = 2,5% a.m. c=3 n=? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 125 125 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina ⎡ 35.000 ×0,025 ×(1 + 0,025)3−1⎤ ln ⎢1 − ⎥ 3.585,00 ⎣ ⎦ = 12 meses n=− ln(1 + 0,025) Clique na sequência de teclas da calculadora HP 12c a seguir para calcular o número de parcelas. Digite f FV Resultado REG CHS g END 35.000,00 CHS PV 0 FV 3.584,78 PMT PV 2 n 2,5 i n 12,00 no de parcelas Para determinar a parcela usando a planilha Excel®, insira a fórmula conforme indicada na figura 3.28 a seguir. Figura 3.28 – Tela do Excel® com o cálculo da quantidade de parcelas Séries uniformes com parcelas adicionais Neste tópico, você vai estudar uma série uniforme com parcelas adicionais, uma prática muito utilizada, principalmente, por construtoras e/ou incorporadoras na venda de apartamentos e/ou terrenos. A característica principal dessa série é apresentar parcelas adicionais. Vejamos o fluxo de caixa: Figura 3.29 – Fluxo de caixa de uma série uniforme com parcelas adicionais 126 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 126 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Para calcular o valor presente (PV) de uma sequência uniforme postecipada com parcelas adicionais (PA j), dados o número de parcelas (PMT) e uma taxa de juros (i), podemos usar a seguinte fórmula: (3.15) Onde: n = Número de parcelas uniformes PMT = Valor das parcelas PAj = Parcelas adicionais i = Taxa de juros na = Número de parcelas adicionais Exemplo 3.19: Um apartamento está sendo anunciado por uma construtora e incorporadora com as seguintes condições: 24 parcelas mensais e iguais, com a primeira vencendo em 30 dias no valor de R$ 2.500,00, mais 4 parcelas adicionais, iguais e semestrais, também postecipadas no valor de R$ 5.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros negociada é de 1,8% a.m., qual é o valor do apartamento à vista? Solução Dados: n = 24 meses PMT = R$ 2.500,00 na = 4 semestrais i = 1,8% a.m. PA = 5.000,00 PV = ? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 127 127 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Como as parcelas adicionais são iguais, podemos escrever: PA1 = PA 2 = PA Logo: Logo, o valor à vista do apartamento é R$ 63.787,93. Na próxima unidade, vamos abordar o tema Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa e, portanto, aprender a usar as funções de fluxo de caixa da calculadora HP 12c. Desta forma, vamos deixar para resolver os cálculos acima na próxima unidade, utilizando as funções de fluxo de caixa da calculadora. No Excel®, os cálculos podem ser inseridos seguindo as fórmulas apresentadas na figura 3.30 a seguir. Figura 3.30 – Cálculo do valor presente 128 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 128 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Síntese Nesta unidade, você calculou taxas equivalentes, efetiva, real e acumulada usando a HP 12c e a planilha de cálculo Excel®. Usou ainda as funções de programação da calculadora HP 12c e fez cálculos de pagamentos periódicos de uma série uniforme antecipada, postecipada e diferida. Também calculou valor presente de uma série uniforme de pagamentos com parcelas adicionais. Atividades de autoavaliação Nos exercícios propostos a seguir, solicitamos que você apresente um algoritmo (sequência de passos) usando as teclas da calculadora HP 12c e elabore fórmulas e/ou use as funções financeiras do Excel® (quando possível) para apresentar a sua solução. 3.1) A tabela a seguir apresenta taxas com as respectivas unidades na coluna 1. Na coluna 2 você deve informar o valor da taxa equivalente de acordo com a unidade de tempo informada na coluna 3. O regime de capitalização para realizar os cálculos é o composto. Tabela 3.1 – Taxas X Taxas equivalentes Taxas Taxa equivalente Unidade de tempo 2% a.m. a.a. (ao ano) 6% a.s. a.m. (ao mês) 18% a.a. a.s. (ao semestre) 3,5% a.b. a.d. (ao dia) 0,085% a.d. a.a. (ao ano) 3.2) Uma instituição financeira paga uma taxa nominal de juros compostos de 13,75% a.a. para uma aplicação de R$ 6.800,00. Sabendo que essa taxa é capitalizada mensalmente, pergunta-se: qual o valor do montante gerado por essa aplicação por um período de 1 ano? Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 129 129 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 3.3) A tabela a seguir apresenta o IPCA – Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo, que é o índice oficial do Governo Federal para medição das metas inflacionárias. A partir dos dados da tabela, determine o índice acumulado de inflação para o período. Tabela 3.2 – IPCA jan/08 0,54% fev/08 0,49% mar/08 0,48% abr/08 0,55% mai/08 0,79% jun/08 0,74% jul/08 0,53% ago/08 0,28% set/08 0,26% Fonte: Base de dados do Portal Brasil e IBGE (2008). 3.4) Considere a seguinte situação: uma empresa concedeu um reajuste no salário dos seus funcionários correspondente ao mesmo período de tempo da tabela da questão 3.3, ou seja, jan/2008 a set/2008. A taxa percentual de reajuste no salário dos funcionários foi de 5% no período. Os funcionários tiveram perdas ou ganhos reais nos seus salários? Justifique a sua resposta. 3.5) Um determinado produto foi reajustado em: 1,3%; 2,2%, 2,9% e 1,9%, respectivamente, nos últimos 4 meses. Qual a taxa de reajuste acumulada para o produto nos 4 meses? 3.6) Uma geladeira está sendo anunciada em três parcelas iguais sem entrada por uma loja de eletrodomésticos. Sabendo-se que o preço à vista da geladeira é R$ 1.328,30 e que a taxa de juros compostos cobrada pela loja é de 3,5% ao mês, pergunta-se: qual é o valor de cada parcela? 3.7) Um terreno cujo valor à vista é R$ 40.000,00 pode ser financiado em prestações mensais e iguais a R$ 2.361,90. Sabendo-se que a primeira prestação é para 30 dias e que a taxa de juros compostos do financiamento é de 3% ao mês, determine o número de prestações necessárias para liquidar o financiamento. 3.8) Uma calculadora financeira está sendo anunciada em 3 parcelas iguais a R$ 135,00, sendo a primeira para 30 dias. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 2,9% a.m. qual é o preço à vista da calculadora? 3.9) O preço à vista de um microondas é R$ 680,90. Você pode adquiri-lo em 4 parcelas iguais de R$ 189,70, sendo a primeira no ato da compra. Qual é taxa de juros cobrada pela loja na venda parcelada? 130 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 130 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 3.10) Uma loja vende uma máquina de lavar roupas por R$ 1.350,00 à vista. Sabendo que a taxa de juros compostos é de 1,8% a.m. (ao mês), qual o valor das prestações em 5 pagamentos mensais iguais sem entrada? 3.11) Uma revenda de automóveis está anunciando a venda de uma determinada marca de carro no valor de R$ 22.500,00 para ser pago em 36 parcelas iguais com uma carência de 60 dias. Se a taxa de juros é 2,8% a.m, pergunta-se: qual é o valor das parcelas? 3.12) Pretendo comprar uma casa que está sendo anunciada com o seguinte plano para pagamento: 36 parcelas de R$ 1.500,00 cada, com vencimento no final de cada mês, mais 4 parcelas adicionais semestrais de R$ 4.000,00 cada uma, também no final do semestre. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 2% ao mês, pergunta-se: qual é o valor à vista da casa? (obs.: resolva esta questão apenas com o auxílio da planilha de cálculo Excel®). 3.13) Um carro está sendo vendido por R$ 22.500,00 à vista ou em 12 parcelas mensais iguais sem entrada, com uma carência de 90 dias após a compra. Se a taxa de juros é de 3,5% a.m., qual é o valor da parcela? Saiba mais BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP 12c, Microsoft Excel®. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. DUTRA, Maurici José. Matemática Financeira: livro didático – 3 ed. rev. e atual. Palhoça: UnisulVirtual, 2007. HEWLETT-PACKARD. HP-12C Platinum. Manual do usuário e guia de resolução de problemas. Hewlett-Packard Company, 2003. SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuário do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. Unidade 3 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 131 131 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 132 01/03/12 14:42 UNIDADE 4 Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa; amortização de empréstimos – sistemas: PRICE e SAC Objetivos de aprendizagem 4 Usar as funções de fluxo de caixa da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel® para determinar Valor Presente Líquido (VPL). Calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) usando as funções financeiras da HP 12c e da planilha de cálculo Excel®. Usar as funções financeiras da calculadora HP 12c para auxiliar na elaboração de uma planilha de amortização de empréstimos – sistema PRICE. Elaborar planilhas de amortização de empréstimos nos sistemas PRICE e SAC usando o Excel®. Seções de estudo Seção 1 Valor Presente Líquido (VPL) Seção 2 Taxa Interna de Retorno (TIR) Seção 3 Sistemas de amortização: PRICE e SAC Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 133 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade, você usará a calculadora HP 12c para determinar o Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa usando as funções CF0, CFj e NPV e a função IRR para calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR). Usará também a função AMORT da calculadora para auxiliar na elaboração de uma planilha de amortização de empréstimos pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) ou tabela Price. Destacamos que todos os cálculos também serão realizados com o auxílio da planilha de cálculo Excel®. A apropriação desses conhecimentos é de fundamental importância para a sua formação, já que tratam de temas relacionados com o dia a dia de cada um de nós cidadãos. Seção 1 – Valor Presente Líquido (VPL) Valor Presente Líquido (VPL), também chamado de valor atual, tem como finalidade determinar um valor no instante considerado inicial, a partir do fluxo de caixa formado de uma série de receitas e dispêndios. Esse é um método muito utilizado em análise de projetos. Para calcular o VPL de uma série de fluxo de caixa, devemos ter como base uma taxa de juros (ie) conhecida ou estimada. Para se determinar o VPL de um fluxo de caixa, podemos partir da fórmula que calcula o valor futuro (FV) após (n) períodos a uma determinada taxa de juros (ie) de um capital (PV), que é dada por: FV = PV∙(1 + i)n (4.1) Para calcular o valor presente (PV) ou valor atual a partir do valor futuro (FV) (4.1) podemos fazer: FV = PV∙(1 + i)n ⇒ 134 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 134 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira (4.2) Ao analisarmos um fluxo de caixa referente a uma determinada alternativa j, teremos vários valores envolvidos, que podem ser receitas ou despesas. Para determinar o VPL desse fluxo de caixa, fazemos a somatória algébrica de todos os valores envolvidos nos n períodos considerados, reduzidos ao instante inicial ou instante zero, tendo (ie) como a taxa de juros conhecida ou estimada. Portanto, podemos escrever o VPL como sendo: (4.3) Onde: PV = Valor presente ou investimento inicial VPLj = Valor presente líquido de um fluxo de caixa da alternativa j n = número de períodos envolvidos em cada elemento da série de receitas e dispêndios do fluxo de caixa FVn = cada um dos diversos valores envolvidos (receitas ou dispêndios) no fluxo de caixa e que ocorrem em n ie = taxa de juros conhecida ou estimada Vejamos a seguir o fluxo de caixa. Figura 4.1 – Fluxo de caixa com investimento inicial e receitas e dispêndios que ocorrem em n Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 135 135 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina O VPL é calculado somando ao investimento inicial (PV) os valores presentes dos fluxos de caixa futuros projetados. Portanto, se o VPL for: positivo, ou seja, VPL > 0, o valor financeiro do ativo do investidor aumentará, ou seja, o investimento será atrativo em termos financeiros. zero, ou seja, VPL = 0, o valor financeiro do ativo financeiro do investidor não mudará, ou seja, o investidor será indiferente ao investimento. negativo, ou seja, VPL < 0, o valor financeiro do ativo do investidor será reduzido, ou seja, o investimento não será atrativo em termos financeiros. Vejamos um exemplo. Exemplo 4.1: Uma pessoa resolve investir em uma empresa de confecções que necessita de um investimento inicial de R$ 30.000,00. Há uma previsão de receitas e despesas anuais de R$ 22.000,00 e de R$ 15.000,00, respectivamente, nos próximos 6 anos. Considerando uma taxa estimada (ie) de 14% a.a., determinar o Valor Presente Líquido dessa operação para verificar se o investimento é atrativo. Solução Dados: PV = R$ 30.000,00 FVn = R$ 22.000,00 correspondentes às receitas FVn = R$ 15.000,00 correspondentes às despesas ie = 14% a.a. n = 6 anos VPLj = ? Fluxo de caixa 136 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 136 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Podemos usar o fluxo de caixa simplificado a seguir de forma a facilitar os cálculos. Logo: Como VPL < 0, o investimento não é atrativo. Para resolver o exemplo 4.1 com o auxílio da calculadora HP 12c e a planilha de cálculo Excel®, vamos apresentar as funções financeiras que serão utilizadas nessas ferramentas. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 137 137 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Funções de fluxo de caixa da HP 12c A figura 4.2 a seguir apresenta as funções da calculadora HP 12c que você usará, nesta unidade, para realizar cálculo de Valor Presente Líquido (VPL). Armazena o valor inicial do fluxo de caixa. Armazena o valor do fluxo de caixa no período j. Calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa. Seguida de um número, armazena a quantidade de vezes de fluxos de caixa iguais e consecutivos. Figura 4.2 – Teclas para calcular o VPL de um fluxo de caixa Observação! CF0 = Cash flow0 = fluxo de caixa inicial CFj = Cash flowj = fluxo de caixa na j-ésima posição Nj = Numberj = número de fluxos de caixa iguais consecutivos NPV = Net Present Value = Valor Presente Líquido Na HP 12c um máximo de 30 valores de fluxo de caixa (excluindo o investimento inicial PV = CF0) pode ser armazenado. Se houver entre eles fluxos de caixa (CFj) iguais e consecutivos, você informa junto com os valores dos fluxos de caixa o número de vezes (Nj) que cada valor aparece consecutivamente, podendo ser até 99 vezes. 138 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 138 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Resolvendo o exemplo 4.1 usando as funções de fluxo de caixa da HP 12c A sequência de teclas a seguir calcula o VPL: Digite f Resultado REG 30.000,00 CHS 6 g Nj 14 i f g CFo 7.000,00 g NPV CFj –2.779,33 VPL Como VPL < 0, o investimento não é atrativo. Funções de fluxo de caixa da planilha de cálculo Excel® A figura 4.3 a seguir apresenta a função financeira “VPL” da planilha de cálculo Excel®, que retorna o Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa com base em uma taxa estimada (ie) e nos valores das receitas e despesas do fluxo de caixa. Figura 4.3 – Função “VPL” da planilha de cálculo Excel® Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 139 139 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina É importante destacar que tanto na calculadora HP 12c como na planilha de cálculo Excel® as receitas serão representadas por números positivos e as despesas, por números negativos. Agora que apresentamos a função financeira VPL da planilha, vamos resolver o exemplo 4.1. Na figura 4.4 apresentamos o cálculo do VPL para o problema. Observe que o fluxo de caixa inicial é adicionado ao VPL dos fluxos de caixa dos períodos 1, 2, …, 6. Figura 4.4 – Cálculo do VPL Em seguida, clique na tecla OK e o VPL será informado conforme figura 4.5, a seguir. Figura 4.5 – Resultado do VPL 140 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 140 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Observe que o resultado é negativo, portanto, como VPL < 0, o investimento não é atrativo. Exemplo 4.2: Calcular o Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa que teve investimento inicial de R$ 2.200,00 e gerou entradas de caixa consecutivas e mensais de R$ 1.250,00; R$ 820,00 e R$ 480,00 considerando a taxa (ie) de 2,5% ao mês. Solução Dados: PV = 2.200,00 CF1 = R$ 1.250,00 CF2 = R$ 820,00 CF3 = R$ 480,00 i = 2,5% a.m. VPL = ? Fluxo de caixa: Como VPL > 0, o investimento é atrativo. Resolvendo com o auxílio das funções de fluxo de caixa da HP 12c A sequência de teclas a seguir calcula o VPL: Digite f Resultado REG 2.200,00 CHS 820,00 g g CFj 480,00 g CFo 1.250,00 g CFj 2,5 i f CFj NPV 245,73 VPL Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 141 141 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Usando a planilha de cálculo Excel® para resolver a questão Selecione a função financeira VPL e, em seguida, digite os valores do fluxo de caixa com os respectivos sinais (saída: negativo; entrada: positivo). Na sequência, digite a taxa esperada (ie) e calcule o VPL. Veja a figura 4.6 a seguir. Figura 4.6 – Função VPL com os dados do problema Clique em OK e o resultado será apresentado na célula B9. Veja a figura 4.7 a seguir. Figura 4.7 – Função VPL com o resultado 142 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 142 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Exemplo 4.3: Um investidor faz uma aplicação que está representada pelo fluxo de caixa a seguir: Sabendo-se que a taxa esperada (ie) é de 12% a.a., determinar o Valor Presente Líquido do fluxo de caixa. Em seguida, informe se o investimento foi atrativo ou não. Solução Dados: PV = 50.000,00 CF1 = R$ 22.250,00 CF2 = R$ 2.350,00 CF3 = R$ 580,00 VPL j = −50.000 + + CF4 = R$ 4.350,00 CF5 = R$ 35.850,00 i = 12% a.a. VPL = ? 22.250 2.350 − + 1 (1 + 0,12) (1 + 0,12) 2 580 4.350 35.850 − + 3 4 (1 + 0,12) (1 + 0,12) (1 + 0,12)5 VPL j = R$ − 14.016,75 Como VPL < 0, o investimento não é atrativo. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 143 143 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo com o auxílio das funções de fluxo de caixa da HP 12c A sequência de teclas a seguir calcula o VPL: Digite f REG 50.000,00 CHS 2.350,00 CHS g Resultado g g CFo 22.250,00 g CFj 580,00 g CFj 35.850,00 g CFj 12 i CFj CFj 4.350,00 CHS f NPV –14.016,75 VPL Usando a planilha de cálculo Excel® para resolver a questão Selecione a função financeira VPL e, em seguida, digite os valores do fluxo de caixa com os respectivos sinais (saída: negativo; entrada: positivo); na sequência, digite a taxa esperada (ie) e calcule o VPL. Veja a figura 4.8. a seguir. Figura 4.8 – Função VPL com os dados do problema Clique em OK e o resultado será apresentado na célula B9. Veja a figura 4.9 a seguir. 144 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 144 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 4.9 – Função VPL com o resultado Exemplo 4.4: Resolver o exemplo 3.19 da unidade 3 com o auxílio das funções de fluxo de caixa da calculadora HP 12c. Solução Dados: n = 24 meses PMT = R$ 2.500,00 na = 4 semestrais ie = 1,8% a.m. PA = R$ 5.000,00 PV = ? Fluxo de caixa: Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 145 145 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina A sequência de teclas a seguir calcula o Valor Presente (PV): Digite f Resultado REG 0 g CFo 2.500,00 g CFj 5 g Nj 7.500,00 g CFj 2.500,00 g CFj 5 g Nj 7.500,00 g CFj 2.500,00 g CFj 5 g Nj 7.500,00 g CFj 2.500,00 g CFj 5 g Nj 7.500,00 g CFj 1,8 i f NPV 63.787,93 Na próxima seção, vamos usar as funções financeiras da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel® para determinar a Taxa Interna de Retorno (TIR). Seção 2 – Taxa Interna de Retorno (TIR) A Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma técnica muito utilizada na análise de projetos e/ou de investimentos. Quando investimos em um bem ou em uma aplicação financeira ou, ainda, em um empreendimento, temos a expectativa de receber um retorno em relação à quantia investida que corresponda, no mínimo, à taxa mínima de expectativa (ie), que pode ser a taxa de juros que o mercado financeiro oferece. Uma maneira de verificar se a taxa de retorno de um investimento é maior, menor ou igual à taxa de expectativa (ie) é calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR), que pode ser definida como: a taxa de desconto que iguala os fluxos de caixa ao investimento inicial, ou seja, é a taxa que torna o Valor Presente Líquido (VPL) igual a “0” (zero). VPL = 0 Para calcular a TIR, algebricamente, usamos o método de tentativa e erro. Vejamos: 146 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 146 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Da fórmula (4.3) Teremos: (4.4) Logo, encontrar a TIR significa achar (i) que satisfaça a equação (4.4). Os critérios para tomada de decisão são: se a TIR > ie = taxa de expectativa, o projeto é viável; se a TIR = ie = taxa de expectativa, o projeto não oferece ganho em relação à taxa de expectativa; se a TIR < ie = taxa de expectativa, o projeto pode ou deve ser recusado, já que você terá uma taxa melhor ofertada pelo mercado. Vejamos um exemplo. Exemplo 4.5: Um investidor recebe uma proposta para aplicar R$ 20.000,00 em uma instituição financeira com a promessa de receber anualmente R$ 4.592,15, durante 6 anos. Qual a taxa de retorno desse investimento? Se considerarmos uma taxa de expectativa (ie) de 12% a.a., a proposta deve ser aceita? Solução Dados: PV = R$ 20.000,00 CFn = 4.592,15 n=6 TIR = i = ? Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 147 147 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Fluxo de caixa: Como: Teremos: Para encontrar (i), devemos usar o método de tentativa e erro, logo, vamos considerar que a taxa (i) que torna verdadeira a equação acima é 10%. Substituindo 10% na equação acima, teremos: Logo, podemos concluir que a TIR é 10%, já que satisfaz a igualdade na equação acima. 148 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 148 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Como a TIR é menor do que a taxa de expectativa (ie), que é de 12% a.a., podemos concluir que a aplicação deve ser recusada. Como você pôde verificar, calcular a TIR algebricamente para fazer a análise de um investimento ou para decidir se é viável ou não um determinado empreendimento não é um processo fácil, já que teremos que usar o método de tentativa e erro. Logo, vamos apresentar as funções “IRR” (Internal Rate of Return = Taxa Interna de Retorno) da calculadora HP 12c e a função “TIR” da planilha de cálculo Excel®, que facilitam o cálculo da TIR. A figura 4.10 a seguir apresenta a função “IRR” da calculadora HP 12c que calcula a Taxa Interna de Retorno. Calcula a TIR de um fluxo de caixa. Figura 4.10 – Função IRR, para o cálculo da Taxa Interna de Retorno Já a figura 4.11 a seguir apresenta a função financeira “TIR” da planilha de cálculo Excel®, que determina a Taxa Interna de Retorno. Figura 4.11 – Função TIR, para o cálculo da Taxa Interna de Retorno Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 149 149 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Agora que já conhecemos as funções “IRR” e “TIR” da calculadora e da planilha de cálculo, respectivamente, vamos resolver, a seguir, o problema 4.5 usando essas ferramentas. Exemplo 4.6: Resolver, usando as ferramentas HP 12c e planilha de cálculo Excel®, o problema proposto no exemplo 4.5. Solução Dados: PV = R$ 20.000,00 CFn = 4.592,15 n=6 TIR = i = ? Fluxo de caixa: Resolvendo na calculadora HP 12c A sequência de teclas a seguir calcula a TIR: Digite f Resultado REG 20.000,00 CHS 6 g Nj 12,00 i f g IRR CFo 4.592,15 g CFj 10 Taxa interna de retorno 150 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 150 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Resolvendo com o auxilio da função “TIR” do Excel® Digite o valor presente (CF0), os valores do fluxo de caixa e, em seguida, selecione em função financeira: “TIR” e preencha os argumentos da função, conforme indicado na figura 4.12 a seguir. Figura 4.12 – Função TIR, como os dados do fluxo de caixa para o cálculo da Taxa Interna de Retorno Agora, clique em OK e aparecerá a figura 4.13 com o cálculo da TIR. Figura 4.13 – Função TIR com o resultado da Taxa Interna de Retorno Exemplo 4.7: Uma empresa está analisando um projeto de ampliação de uma de suas linhas de produção nas seguintes condições: terá que fazer um investimento inicial de R$ 6.000,00 tendo os seguintes fluxos de caixa para os 3 primeiros anos de funcionamento: receitas consecutivas e anuais de R$ 5.000,00; Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 151 151 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina R$ 6.000,00 e R$ 7.000,00 e despesas consecutivas anuais de R$ 3.000,00; R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00. Sabendo-se que o mercado oferece uma taxa de expectativa (ie) de 10% a.a., pergunta-se: a empresa deve optar pela ampliação da linha de produção ou aplicar os recursos no mercado financeiro? (Use as ferramentas HP 12c e Planilha Excel® para auxiliar na resolução). Solução Dados: CF0 = 6.000,00 Receitas CFr1 = 5.000,00 CFr2 = 6.000,00 CFr3 = 7.000,00 ie = 10% a.a. Despesas CFd1 = 3.000,00 CFd2 = 3.500,00 CFd3 = 4.000,00 TIR = ? Fluxo de caixa: Resolvendo na calculadora HP 12c A sequência de teclas a seguir calcula a TIR: Digite f Resultado REG 6.000,00 CHS 2.500,00 g 10 i f g CFj 3.000,00 g IRR CFo 2.000,00 g CFj CFj 11,22 Taxa interna de retorno 152 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 152 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Resolvendo com o auxilio da função “TIR” do Excel® Digite o valor presente (CF0), os valores do fluxo de caixa e, em seguida, selecione em função financeira: “TIR” e preencha os argumentos da função, conforme indicado na figura 4.14 a seguir. Figura 4.14 Função TIR, com os dados do fluxo de caixa para o cálculo da Taxa Interna de Retorno Agora, clique em OK e aparecerá a figura 4.15 com o cálculo da TIR. Figura 4.15 – Função TIR com o resultado da Taxa Interna de Retorno Como a TIR é maior do que a taxa de expectativa, ou seja: 11,22% > 10,00%, a ampliação da linha de produção é viável. Na próxima seção, vamos apresentar os sistemas de amortização mais utilizados nas operações de financiamentos de bens como: casa, carro, eletrodomésticos etc. Faremos uso das ferramentas HP 12c e da planilha de cálculo Excel® para auxiliar nos cálculos. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 153 153 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 – Sistemas de amortização: PRICE e SAC Nesta seção, vamos apresentar dois sistemas de amortização de empréstimos que são mais utilizados pelas instituições financeiras e pelo comércio de uma forma geral: o Sistema de Amortização Francês (SFA), também conhecido como sistema PRICE, e o Sistema de Amortização Constante (SAC). Sistema de Amortização Francês (SFA) Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em parcelas (PMT) iguais, constituídas da amortização (A) do principal da dívida, adicionada aos juros (J) compensatórios, que variam inversamente ao longo do tempo. Ou seja, à medida que aumenta o valor da parcela de amortização haverá uma queda dos juros compensatórios, em função da redução do saldo devedor (SD). As parcelas iguais (PMT) são calculadas pela fórmula (3.8) da unidade 3, ou seja: Onde: PV = Valor do financiamento i = Taxa de juros do financiamento n = Período do financiamento 154 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 154 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Os juros compensatórios (J) são calculados em função do saldo devedor do período anterior, ou seja: J = SDA∙i∙n (4.5) Onde: J = Juros compensatórios SDA = Saldo devedor do período anterior n = Período (como os juros são calculados mensalmente, vamos usar n igual a 1). Já a amortização (A) é calculada pela diferença entre o valor da parcela (PMT) e dos juros compensatórios (J), ou seja: A = PMT – J (4.6) Para determinar o saldo devedor (SD) após o pagamento de cada parcela, devemos subtrair do saldo devedor anterior (SDA) a parcela de amortização (A), ou seja: SD = SDA – A (4.7) O quadro 4.1 a seguir apresenta um resumo das fórmulas que serão usadas para elaborar uma planilha de amortização de empréstimos pelo sistema PRICE. Saldo devedor (SD) Amortização (A) Juros (J) SD = SDA – A A = PMT – J J = SDA∙i∙n Prestação (PMT) Quadro 4.1 – Fórmulas para a elaboração de uma planilha de amortização de empréstimos pelo sistema PRICE Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 155 155 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Principais características As principais características do SFA são: a prestação (PMT) é constante durante todo o período (n) do financiamento; a parcela de amortização (PA) aumenta a cada período (n); os juros compensatórios (J) diminuem a cada período (n). Você sabia? Que o Sistema de Amortização Francês é também chamado de sistema PRICE por ter sido inventado na França, no século XVII, pelo matemático inglês Richard Price? Exemplo 4.8: Uma instituição financeira libera um empréstimo para uma indústria no valor de R$ 10.000,00 para ser pago pelo Sistema de Amortização Francês (SFA) em 6 meses a uma taxa de 2,5% a.m. Elabore uma planilha de amortização do financiamento contendo: prestação, juros compensatórios mensais, amortização mensal e saldo devedor após cada pagamento. Solução Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 6 meses i = 2,5% a.m. Cálculo da parcela (PMT): 156 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 156 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Os cálculos dos juros compensatórios, da amortização e do saldo devedor serão realizados mês a mês após o pagamento da parcela. Primeiro mês: Cálculo dos juros compensatórios para o primeiro pagamento (J1): J1 = 10.000×0,025×1 = 250,00 Cálculo da parcela de amortização (A1) correspondente ao primeiro pagamento: A1 = PMT –J1 = 1.815,50 – 250,00 = 1.565,50 Cálculo do saldo devedor após o primeiro pagamento (SD1): SD1 = SDA – A1 = 10.000,00 – 1.565,50 = 8.434,50 Segundo mês: Cálculo dos juros compensatórios para o segundo pagamento (J2): J2 = SD1∙i∙n = 8.434,50×0,025×1 = 210,86 Cálculo da parcela de amortização (A 2) correspondente ao segundo pagamento: A 2 = PMT –J2 = 1.815,50 – 210,86 = 1.604,64 Cálculo do saldo devedor após o segundo pagamento (SD2): SD2 = SDA – A 2 = 8.434,50 – 1.604,64 = 6.829,86 Terceiro mês: Cálculo dos juros compensatórios para o terceiro pagamento (J3): J3 = SD2∙i∙n = 6.829,86×0,025×1 = 170,75 Cálculo da parcela de amortização (A3) correspondente ao terceiro pagamento: A3 = PMT –J3 = 1.815,50 – 170,75 = 1.644,75 Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 157 157 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo do saldo devedor após o terceiro pagamento (SD3): SD3 = SDA – A3 = 6.829,86 – 1.644,75 = 5.185,11 Quarto mês: Cálculo dos juros compensatórios para o quarto pagamento (J4): J4 = SD3∙i∙n = 5.185,11×0,025×1 = 129,63 Cálculo da parcela de amortização (A4) correspondente ao quarto pagamento: A4 = PMT –J4 = 1.815,50 – 129,63 = 1.685,87 Cálculo do saldo devedor após o quarto pagamento (SD4): SD4 = SDA – A4 = 5.185,11 – 1.685,87 = 3.499,24 Quinto mês: Cálculo dos juros compensatórios para o quinto pagamento (J5): J5 = SD4∙i∙n = 3.499,24×0,025×1 = 87,84 Cálculo da parcela de amortização (A 5) correspondente ao quinto pagamento: A 5 = PMT –J5 = 1.815,50 – 87,84 = 1.728,02 Cálculo do saldo devedor após o quinto pagamento (SD5): SD5 = SDA – A 5 = 3.499,24 – 1.728,02 = 1.771,22 Sexto mês: Cálculo dos juros compensatórios para o sexto pagamento (J6): J6 = SD5∙i∙n = 1.771,22×0,025×1 = 44,28 158 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 158 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Cálculo da parcela de amortização (A6) correspondente ao sexto pagamento: A6 = PMT –J6 = 1.815,50 – 44,28 = 1.771,22 Cálculo do saldo devedor após o sexto pagamento (SD6): SD6 = SDA – A6 = 1.771,22 – 1.771,22 = 0,00 A planilha a seguir apresenta um resumo dos cálculos. Tabela 4.1 – Planilha de Financiamento Período Saldo Amortização (n) devedor (SD) (PA) Juros (J) Prestação (PMT) 0 R$ 10.000,00 1 R$ 8.434,50 R$ 1.565,50 R$ 250,00 R$ 1.815,50 2 R$ 6.829,86 R$ 1.604,64 R$ 210,86 R$ 1.815,50 3 R$ 5.185,11 R$ 1.644,75 R$ 170,75 R$ 1.815,50 4 R$ 3.499,24 R$ 1.685,87 R$ 129,63 R$ 1.815,50 5 R$ 1.771,22 R$ 1.728,02 R$ 87,48 R$ 1.815,50 6 R$ 0,00 R$ 1.771,22 R$ 44,28 R$ 1.815,50 Podemos elaborar uma planilha de amortização de financiamento com o auxílio das funções financeiras da calculadora HP 12c. A figura 4.16 apresenta a função “AMORT” que será utilizada para calcular os juros compensatórios no Sistema de Amortização Francês (SFA). Calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros. Figura 4.16 – Função “AMORT” da calculadora HP 12c No exemplo a seguir faremos uso das funções financeiras “PV”, “PMT”, “i”, “n” da calculadora HP 12c e da função “AMORT” para auxiliar na elaboração de uma planilha de amortização de empréstimos. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 159 159 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 4.9: Usando os dados do exemplo 4.8 e com auxílio da calculadora HP 12c elabore uma planilha de amortização do financiamento. Solução Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 6 meses i = 2,5% a.m. A sequência de teclas a seguir calcula a parcela, os juros compensatórios, a amortização e o saldo devedor após cada pagamento. Teclas Visor da HP Ação 0,00 Zera os registradores financeiros. 0,00 Configura o modo de vencimento para o final de cada período. 10.000,00 Armazena o valor a ser financiado. 6 6,00 Armazena o período do financiamento. 2,5 2,50 Armazena a taxa do financiamento. 10.000,00 1 –1.815,50 Calcula o valor da parcela. –250,00 Calcula os juros compensatórios após o 1o pagamento. –1.565,50 Calcula a amortização após o 1o pagamento. 8.434,50 1 –210,86 Calcula os juros compensatórios após o 2o pagamento. –1.604,64 Calcula a amortização após o 2o pagamento. 6.829,86 1 160 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 160 Recupera o saldo devedor após o 1o pagamento. –170,75 Recupera o saldo devedor após o 2o pagamento. Calcula os juros compensatórios após o 3o pagamento. (continua) 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Teclas Visor da HP Ação Calcula a amortização após o 3o pagamento. –1.644,75 Recupera o saldo devedor após o 3o pagamento. 5.185,11 1 –129,63 Calcula os juros compensatórios após o 4o pagamento. –1.685,87 Calcula a amortização após o 4o pagamento. Recupera o saldo devedor após o 4o pagamento. 3.499,24 1 1 –87,48 Calcula os juros compensatórios após o 5o pagamento. –1.728,02 Calcula a amortização após o 5o pagamento. 1.771,22 Recupera o saldo devedor após o 5o pagamento. –44,28 Calcula os juros compensatórios após o 6o pagamento. –1.771,22 Calcula a amortização após o 6o pagamento. Recupera o saldo devedor após o 6o pagamento. 0,00 Quadro 4.2 – Cálculos com auxílio da calculadora Podemos apresentar o resumo dos cálculos feitos com a calculadora HP 12c por meio da seguinte planilha de financiamento: Tabela 4.2 – Planilha de Financiamento Período Saldo Amortização (n) devedor (SD) (PA) 0 R$ 10.000,00 1 R$ 8.434,50 R$ 1.565,50 2 R$ 6.829,86 R$ 1.604,64 3 R$ 5.185,11 R$ 1.644,75 4 R$ 3.499,24 R$ 1.685,87 5 R$ 1.771,22 R$ 1.728,02 6 R$ 0,00 R$ 1.771,22 Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 161 Juros (J) R$ 250,00 R$ 210,86 R$ 170,75 R$ 129,63 R$ 87,48 R$ 44,28 Prestação (PMT) R$ 1.815,50 R$ 1.815,50 R$ 1.815,50 R$ 1.815,50 R$ 1.815,50 R$ 1.815,50 161 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos também usar a função financeira “PGTO” da planilha de cálculo Excel® para determinar o valor das parcelas em um financiamento e, em seguida, com o auxílio das fórmulas para o cálculo dos juros compensatórios (J), amortização (A) e saldo devedor (SD), elaborar a planilha de financiamento com muita facilidade e rapidez. No exemplo a seguir, apresentaremos esses recursos. Exemplo 4.10: Usando a função financeira “PGTO” da planilha de cálculo Excel® para calcular o valor das parcelas e as fórmulas (4.5); (4.6) e (4.7) que calculam, respectivamente, juros compensatórios (J), amortização (A) e saldo devedor (SD) após o pagamento da parcela, elaborar uma planilha de financiamento para os dados do exemplo 4.8. Solução Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 6 meses i = 2,5% a.m. Digite os dados do problema nas células B2; B3 e B4 (veja figura 4.17). Na célula A5 digite “Planilha de Financiamento” e, em seguida, selecione as células A5:E5 e use a função para mesclar as células e centralizar o texto. Nas células A6; B6; C6; D6 e E6 digite, respectivamente: Período; Saldo devedor (SD); Amortização (A); Juros (J) e Prestação (PMT). Nas células A7 a A13 digite de 0 a 6, o que corresponde ao período do financiamento. Na célula E8 insira a função “PGTO” e em Argumentos da função selecione: “Taxa” (célula B3); “Nper” (célula B4); “Vp” (célula B2) e em “Tipo” digite “0”. Veja figura 4.17 com os dados do problema e o valor da prestação. 162 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 162 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 4.17 – Planilha com os dados do problema e função “PGTO” com o valor da prestação Agora que você já calculou a prestação, vamos inserir as fórmulas para calcular os juros (J), a amortização (A) e o saldo devedor (SD). Veja a figura 4.18 com os resultados e as respectivas fórmulas. Figura 4.18 – Planilha com os dados do problema e função “PGTO” com o valor da prestação Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 163 163 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Você sabia? Que a planilha de cálculo Excel® atualiza automaticamente as fórmulas de acordo com as colunas e linhas? E que ainda podemos usar o caractere “$” para indicar células fixas? E que para copiar uma fórmula de uma célula podemos utilizar Copy & Paste ou utilizar o mouse pressionando o botão esquerdo e arrastar o pequeno quadrado preto no canto inferior esquerdo da célula selecionada? Veja a figura 4.19 que ilustra a função: Figura 4.19 – Seleção do quadrado pequeno inferior esquerdo de uma célula Na figura 4.18, quando inserimos a fórmula para o cálculo dos juros compensatórios na célula D8, usamos o caractere “$” entre a letra e o número na seleção da célula B3, que corresponde à taxa de juros (i), ou seja, usamos B$3 para fixar o conteúdo da célula B3, pois a taxa será a mesma para o cálculo dos juros em todos os meses do financiamento. Com os cálculos dos Juros Compensatórios (J), da Amortização (A) e do Saldo Devedor (SD) realizados para o primeiro mês, usaremos um outro recurso da planilha de cálculo Excel® que é atualizar automaticamente as fórmulas elaboradas nas células B8, C8, D8 e E8 para as células B9:B13; C9:C13; D9:D13 e E9:E13, respectivamente, para calcular os valores citados anteriormente para o segundo, terceiro, ..., sexto mês. Antes, vamos inserir a fórmula =B8 na célula E9 e arrastar essa fórmula para copiar o valor das parcelas para todos os meses do financiamento, conforme indicado nas figuras 4.20 e 4.21 a seguir. 164 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 164 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 4.20 – Elaboração da fórmula =E8 na célula E9 Figura 4.21 – Seleção da célula E9 e, em seguida, cópia do conteúdo para as células E10:E13 Agora, seguindo o mesmo raciocínio anterior, selecione a célula D8 e copie o conteúdo para as células D9:D13; em seguida, selecione a célula C8 e copie o conteúdo para as células C9:C13 e, finalmente, selecione a célula B8 e copie o conteúdo para as células B9:B13. Veja a figura 4.22 a seguir com os resultados. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 165 165 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 4.22 – Planilha de financiamento completa Sistema de Amortização Constante (SAC) Nesse sistema, as parcelas de amortização (A) serão constantes durante o período do financiamento. As prestações são decrescentes e determinadas pela soma da amortização (A) com os juros compensatórios (J). Portanto, haverá uma queda dos juros compensatórios à medida que as prestações vão sendo pagas e, consequentemente, uma redução no valor das prestações (PMT). No SAC, em primeiro lugar, calcula-se a amortização (A) usando a seguinte fórmula: (4.8) Onde: A = Amortização PV = Valor a ser financiado n = Período no qual o financiamento deve ser pago Em seguida, os juros compensatórios (J) são calculados em função do saldo devedor do período anterior, ou seja: J = SDA∙i∙n (4.5) 166 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 166 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Onde: J = Juros compensatórios SDA = Saldo devedor do período anterior n = Período (como os juros são calculados mensalmente, vamos usar n igual a 1). Já a prestação (PMT) é calculada pela soma da amortização (A) com juros compensatórios (J), ou seja: PMT = A + J (4.9) Para determinar o saldo devedor (SD) após o pagamento de cada parcela, devemos subtrair do saldo devedor anterior (SDA) a parcela de amortização (A), ou seja: SD = SDA – A (4.7) O quadro 4.3 a seguir apresenta um resumo das fórmulas que serão usadas para elaborar uma planilha de financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Saldo devedor (SD) Amortização (A) SD = SDA – A Juros (J) Prestação (PMT) J = SDA∙i∙n PMT = A + J Quadro 4.3 – Fórmulas para a elaboração de uma planilha de financiamento pelo sistema SAC Principais características A parcela de amortização (A) é constante em todo o período do financiamento. Os juros compensatórios (J) diminuem a cada período (n). A prestação (PMT) é decrescente durante o período (n) do financiamento. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 167 167 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 4.11: Usando os mesmos dados do exemplo 4.10, elaborar uma planilha de financiamento pelo Sistema de Amortização Constante. Solução Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 6 meses i = 2,5% a.m. Cálculo da amortização (A): Os cálculos dos juros compensatórios, da prestação (PMT) e do saldo devedor serão realizados mês a mês após o pagamento da prestação. Primeiro mês: Cálculo dos juros compensatórios para o primeiro pagamento (J1): J1 = 10.000×0,025×1 = 250,00 Cálculo da prestação (PMT1) correspondente ao primeiro pagamento: PMT1 = A + J1 = 1.666,67 + 250,00 = 1.916,67 Cálculo do saldo devedor após o primeiro pagamento (SD1): SD1 = SDA – A = 10.000,00 – 1.666,67 = 8.333,33 Segundo mês: Cálculo dos juros compensatórios para o segundo pagamento (J2): J2 = 8.333,33×0,025×1 = 208,33 168 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 168 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Cálculo da prestação (PMT2) correspondente ao segundo pagamento: PMT2 = A + J2 = 1.666,67 + 208,33 = 1.875,00 Cálculo do saldo devedor após o segundo pagamento (SD2): SD2 = SDA – A = 8.333,33 – 1.666,67 = 6.666,67 Terceiro mês: Cálculo dos juros compensatórios para o terceiro pagamento (J3): J3 = 6.666,67×0,025×1 = 166,67 Cálculo da prestação (PMT3) correspondente ao terceiro pagamento: PMT3 = A + J3 = 1.666,67 + 166,67 = 1.833,34 Cálculo do saldo devedor após o terceiro pagamento (SD3): SD3 = SDA – A = 6.666,67 – 1.666,67 = 5.000,00 Quarto mês: Cálculo dos juros compensatórios para o quarto pagamento (J4): J4 = 5.000,00×0,025×1 = 125,00 Cálculo da prestação (PMT4) correspondente ao quarto pagamento: PMT4 = A + J4 = 1.666,67 + 125,00 = 1.791,67 Cálculo do saldo devedor após o quarto pagamento (SD4): SD4 = SDA – A = 5.000,00 – 1.666,67 = 3.333,33 Quinto mês: Cálculo dos juros compensatórios para o quinto pagamento (J5): J5 = 3.333,33×0,025×1 = 83,33 Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 169 169 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo da prestação (PMT5) correspondente ao quinto pagamento: PMT5 = A + J5 = 1.666,67 + 83,33 = 1.750,00 Cálculo do saldo devedor após o quinto pagamento (SD5): SD5 = SDA – A = 3.333,33 – 1.666,67 = 1.666,66 Sexto mês: Cálculo dos juros compensatórios para o sexto pagamento (J6): J6 = 1.666,66×0,025×1 = 41,67 Cálculo da prestação (PMT6) correspondente ao sexto pagamento: PMT6 = A + J6 = 1.666,67 + 41,67 = 1.708,34 Cálculo do saldo devedor após o sexto pagamento (SD6): SD6 = SDA – A = 1.666,67 – 1.666,67 = 0,00 A planilha a seguir apresenta um resumo dos cálculos. Tabela 4.3 – Planilha de Financiamento Período Saldo Amortização (n) devedor (SD) (PA) Juros (J) Prestação (PMT) 0 R$ 10.000,00 1 R$ 8.333,33 R$ 1.666,67 R$ 250,00 R$ 1.916,67 2 R$ 6.666,67 R$ 1.666,67 R$ 208,33 R$ 1.875,00 3 R$ 5.000,00 R$ 1.666,67 R$ 166,67 R$ 1.833,34 4 R$ 3.333,33 R$ 1.666,67 R$ 125,00 R$ 1.791,67 5 R$ 1.666,66 R$ 1.666,67 R$ 83,33 R$ 1.750,00 6 R$ 0,00 R$ 1.666,67 R$ 41,67 R$ 1.708,34 Vamos resolver esse exemplo usando apenas a planilha de cálculo Excel®, que vai nos auxiliar nos cálculos. 170 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 170 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Insira os dados e as fórmulas nas células e complete a planilha de financiamento (siga as mesmas orientações dadas no tópico anterior) conforme indicação na figura 4.23 a seguir. Figura 4.23 – Planilha de financiamento sistema SAC Comparação: SFA × SAC Neste tópico vamos comparar os dois sistemas estudados e saber qual é o mais vantajoso para quem vai fazer um financiamento de um bem. A figura 4.24, a seguir, apresenta um resumo com os Saldos Devedores (SD), Amortizações (A), Juros compensatórios (J) e Prestações (PMT) e o total de juros pagos pelos dois sistemas de amortização estudados. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 171 171 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 4.24 – Planilha de financiamento sistema SAC x PRICE Observando as tabelas apresentadas na figura 4.24, podemos concluir que, nas mesmas condições, no sistema SAC o total dos juros compensatórios (J) são menores do que no sistema PRICE. Portanto, antes de fazer um financiamento, verifique as condições de financiamento com a instituição financeira e solicite uma simulação do pagamento dos juros pelos dois sistemas. Outra observação, na situação apresentada, é que as três primeiras parcelas no sistema SAC são maiores do que as do sistema PRICE. A partir da quarta prestação ocorre o inverso. 172 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 172 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Síntese Nesta unidade, você usou as funções CF0, CFj e NPV e a função IRR, da calculadora HP 12c, para calcular o Valor Presente Líquido e a Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa. Usou, ainda, as funções financeiras e a função AMORT para auxiliar na elaboração de uma planilha de amortização de empréstimos pelo sistema PRICE. Também usou as funções “VPL” e “TIR” da planilha de cálculo Excel® com o mesmo objetivo, ou seja, calcular o Valor Presente Líquido e a Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa. E, finalmente, usou a planilha para elaborar planilhas de financiamento pelos sistemas PRICE e SAC. Atividades de autoavaliação Usando as funções CF0, CFj e NPV de fluxo de caixa da calculadora HP 12c, elabore um algoritmo (sequência de teclas) de resolução para as questões 4.1 a 4.4 a seguir. E, em seguida, use a função “VPL” da planilha de cálculo Excel® para resolver as mesmas questões. 4.1) Uma instituição financeira faz uma proposta a um investidor com as seguintes condições: para um investimento inicial de R$ 10.000,00 ele terá receitas nos 3 primeiros anos, iguais e consecutivas, no valor de R$ 1.500,00. No final do quarto ano o investidor resgata R$ 7.000,00. Considerando que a taxa de expectativa (ie) para o investimento foi de 13,5% ao ano, determinar o Valor Presente Líquido. Em seguida, analise se o investidor deve fazer ou não o investimento. 4.2) Uma empresa decidiu investir em uma linha de produção que necessita de um investimento inicial de R$ 10.000,00. A previsão de receita e de despesas para os 3 primeiros anos é de R$ 12.000,00 e R$ 7.000,00, respectivamente. Pergunta-se: se a taxa de expectativa (ie) é de 10% ao ano, o empresário fez um bom negócio? Use o VPL para fazer a análise. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 173 173 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 4.3) Um determinado projeto necessita de um investimento inicial de R$ 50.000,00 e gera entradas de caixa de R$ 30.000,00 e saídas de R$ 10.000,00 para manutenção, nos 5 primeiros anos. Se a taxa de expectativa (ie) é de 8% ao ano, determinar o Valor Presente Líquido desse investimento. 4.4) Uma determinada empresa fez a compra de uma máquina no valor de R$ 300.000,00 que tem gastos com manutenção anual de R$ 20.000,00. Esse equipamento tem uma vida útil de 5 anos e o valor de revenda (valor residual) de R$ 100.000,00. Considerando uma taxa de expectativa (ie) de 15% a.a., determinar o Valor Presente Líquido (VPL) do fluxo de caixa desse equipamento. 4.5) Use a Taxa Interna de Retorno (TIR) para fazer a análise de viabilidade do seguinte projeto: investimento inicial de R$ 5.000,00 com entradas de caixa anuais de R$ 4.000,00 e despesas anuais R$ 2.000,00 nos próximos 3 anos. Considere a taxa de expectativa (ie) de 12% ao ano. (Usar as funções “IRR” e “TIR” da calculadora HP 12c e planilha de cálculo Excel®, respectivamente, para auxiliar na resolução da questão). 4.6) Uma pessoa recebeu proposta para investir R$ 15.000,00, com a promessa de receber R$ 4.000,00 anualmente, durante 5 anos, bem como receber R$ 10.000,00 no 6º ano a partir do investimento inicial. Pergunta-se: a proposta deve ser aceita considerando ser de 15% a.a., a taxa de expectativa (ie)? Use as funções “IRR” e “TIR” da calculadora HP 12c e planilha de cálculo Excel®, respectivamente, para fazer a análise. 4.7) Usando as funções financeiras e a função “AMORT” da calculadora HP 12c, elabore uma planilha de financiamento para a seguinte situação: uma pessoa faz um financiamento pelo Sistema Francês de Amortização (SFA), de uma TV de 42 polegadas cujo valor à vista é de R$ 3.200,00, em 5 vezes sem entrada, a uma taxa de juros de 3,8% a.m. 4.8) Um carro foi financiado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) em 12 vezes sem entrada. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 20.000,00, a uma taxa de juros de 2,2% ao mês, elaborar uma planilha de financiamento com o auxílio da função “PGTO” do Excel®, e das fórmulas do Quadro 4.1. (Use as dicas dadas no exemplo 4.10 para elaborar a planilha de financiamento). 4.9) Uma determinada pessoa está financiando um terreno em 10 vezes que custa à vista R$ 30.000,00, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) em uma instituição financeira que está cobrando uma taxa de juros de 1,2% ao mês. Sabendo-se que a primeira parcela será paga no final do primeiro mês, elaborar uma planilha de financiamento com o auxílio do Excel®, e das fórmulas do Quadro 4.2. (Use as dicas dadas no exemplo 4.11 para elaborar a planilha de financiamento). 4.10 Determinar o total de juros pagos em um financiamento de 5 meses, pelos sistemas PRICE e SAC, de uma máquina de lavar roupas cujo valor à vista é R$ 1.250,00, a taxa de juros é de 3,9% ao mês e cuja primeira parcela é paga no final do primeiro mês. Agora, responda: em qual dos dois sistemas o total dos juros foi maior? (Dica: na figura 4.24 apresentamos um exemplo com os dois sistemas de amortização). 174 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 174 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Saiba mais BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP 12c, Microsoft Excel®. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. DUTRA, Maurici José. Matemática Financeira: livro didático. 3. ed. rev. e atual. Palhoça: UnisulVirtual, 2007. HEWLETT-PACKARD. HP-12C Platinum. Manual do usuário e guia de resolução de problemas. Hewlett-Packard Company, 2003. HIRSCHELD, Henrique. Engenharia econômica e análise de custos: aplicações práticas para economistas, engenheiros analistas de investimento e administradores. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000. Unidade 4 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 175 175 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 176 01/03/12 14:42 UNIDADE 5 Desenvolvimento de projetos aplicados à Matemática Financeira Objetivos de aprendizagem Tornar as planilhas de cálculo uma plataforma de modelagem poderosa e flexível. Conhecer algumas diretrizes para o projeto, construção e teste de planilhas de cálculo. Aprender a utilizar os comandos para Atingir meta, Proteção de células e planilhas, Validação de dados disponibilizados pela planilha Excel®. 5 Seções de estudo Seção 1 Modelagem de planilhas de cálculo Seção 2 Desenvolvendo modelos de planilha Seção 3 Mais um pouco do desenvolvimento de planilhas Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 177 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nas unidades anteriores, você estudou um conjunto de ferramentas e funções elementares da planilha de cálculo Excel® para realizar cálculos da matemática financeira por meio da elaboração de fórmulas ou usando as funções matemáticas que o software possui. A unidade que ora iniciamos tem o intuito de apresentar alguns recursos muito úteis da planilha, como os comandos para Atingir meta, Proteção de células e planilhas, Validação de dados etc. O emprego desses recursos amplia e torna as planilhas de cálculo uma plataforma de modelagem poderosa e flexível. O estudo de como usar alguns dos recursos das planilhas de cálculo, apresentado através de uma abordagem de desenvolvimento e construção gradual de projetos, é o objeto da conclusão desta unidade. Bons estudos! Seção 1 – Modelagem de planilhas de cálculo Praticamente todos os dias são tomadas decisões cujos efeitos desejados acontecem num determinado ponto no futuro. A identificação de um problema específico e a seleção de uma alternativa ou linha de ação para resolvê-lo, essência da tomada de decisão, são atividades importantes do trabalho cotidiano de todo gestor envolvido com operações financeiras de qualquer natureza. Como você já teve a oportunidade de estudar nas unidades anteriores, a folha de cálculo eletrônica flexibiliza a realização de cálculos diversos, permite a alteração de dados para a obtenção de novos conjuntos de dados e resultados e propicia a análise 178 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 178 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira e apresentação dos resultados de maneira customizada. Enfim, o uso dos mais diversos recursos em uma planilha de cálculo expande e torna esse instrumento poderoso na tomada de decisões e na gestão do dia a dia das mais variadas empresas. Entretanto, para poder usar de maneira eficiente todo o potencial que as planilhas de cálculo oferecem, há necessidade de realizar um planejamento adequado. Planilhas de cálculo construídas sem grandes preocupações com o fluxo lógico dos dados e da sua utilização são, na maioria das vezes, potenciais fontes de erros que podem levar a tomar decisões inadequadas. É relativamente comum, em função da facilidade de uso de uma planilha, começar a entrar com dados e fórmulas para, em pouco tempo, descobrir que o que parecia fácil no início tomou um rumo caótico, repleto de improvisações e repetição de trabalho. Como Powell e Baker (2006, p. 86) afirmam: “Em um curto espaço de tempo enfrentamos uma planilha contendo ‘lógica espaguete’ e, em consequência, temos um motivo para ficarmos preocupados por achar que ela contém erros”. Para que as planilhas de cálculo sejam de fato úteis aos objetivos que se propõem, elas devem obedecer alguns requisitos básicos, tais como: Automação – as planilhas ao serem projetadas e construídas, devem exigir o mínimo de intervenção do usuário quanto à criação e exibição dos resultados, análise de dados, formatação e apresentação de recursos, proteção dos dados quanto às alterações inadvertidas etc. Confiabilidade – as planilhas elaboradas devem atingir os resultados de maneira efetiva e condizentes com os dados inseridos, ou seja, que atendem às exigências dos usuários. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 179 179 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Facilidade – as planilhas devem ser de fácil manuseio de maneira que não demandem requisitos e habilidades especiais para a sua utilização, além de usar tempo e esforço mínimo para atingir os resultados. Seguir algumas diretrizes para o projeto de uma planilha pode ajudar a evitar erros críticos e dores de cabeça futuros. Para a modelagem de planilhas, Powell e Baker (2006) propõem algumas diretrizes organizadas em torno de três fases: projeto, construção e teste. Segundo a abordagem desses autores, para poder construir uma planilha, antes de tudo é necessário projetá-la e, para isso, sugerem 8 dicas de práticas recomendáveis (POWELL e BAKER, 2006, p. 89-95): 1. faça um esquema da planilha de maneira a mostrar o layout físico dos elementos principais e uma indicação aproximada do fluxo dos cálculos; 2. organize a planilha em módulos agrupando itens iguais e separando itens diferentes. Isso significa agrupar e separar dados, variáveis de decisão, resultados e cálculos; 3. comece pequeno e planeje, construa e teste a planilha de maneira gradativa, por partes, evitando construir toda uma planilha complexa de uma vez; 4. isole os parâmetros de entrada colocando os valores numéricos dos parâmetros fundamentais em um local exclusivo, separados dos cálculos; 5. projete baseado na utilização futura antecipando perguntas que poderão ser feitas pelo usuário; 6. conserve a simplicidade, mas ao mesmo tempo permitindo que a planilha faça o que deve ser feito; 180 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 180 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 7. projete com vistas à comunicação, o que significa que as planilhas poderão ser usadas por pessoas que não estão familiarizadas com elas; 8. documente dados e fórmulas de maneira a permitir a fácil manutenção e ampliação das planilhas desenvolvidas. Depois de realizar o planejamento da planilha, o seguinte passo é construí-la. Ainda, segundo Powell e Baker, (2006, p. 99-100), é vital aprender a construir planilhas sem introduzir erros. Na concepção desses autores, para construir planilhas de maneira eficiente e eficaz é necessário, entre outras coisas: 1. seguir o plano delineado na fase de planejamento; 2. construir um módulo de cada vez, em vez de tentar construir toda a planilha num único esforço; 3. antes de apertar a tecla enter, fazer uma previsão do resultado numérico esperado de cada fórmula; 4. copiar e colar fórmulas cuidadosamente, pois esta tarefa é uma grande fonte de erros; 5. usar dados fictícios para forçar o aparecimento de erros. Depois de construída a planilha, no último estágio da criação de um modelo útil de planilha, há necessidade de realizar testes rigorosos que permitam identificar bugs e erros. Esse é o momento de retroceder para corrigir bugs e erros antes de tornar a planilha operacional para o usuário final. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 181 181 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Ainda, segundo a abordagem proposta por Powell e Baker, (2006, p. 101-106), algumas diretrizes podem ser seguidas para orientar a realização dos testes em uma planilha, entre as quais podem ser citadas: 1. a verificação se os resultados numéricos apresentados pela planilha parecem plausíveis, ou seja, se esses resultados parecem estar corretos; 2. a verificação se as fórmulas estão corretas; 3. a realização de testes com dados reais para verificar se o desempenho do modelo é aceitável. Embora a construção de planilhas pareça simples e, por isso, muitas vezes não sigamos um processo de planejamento, desenvolvimento e teste tão rigoroso quanto na construção de um software, é indispensável – se quisermos produzir planilhas que realizem os objetivos para as quais foram projetadas – que comecemos a adotar procedimentos e diretrizes que tornem o seu desenvolvimento mais eficiente e mais efetivo. Com essas considerações em mente, nas seções seguintes estaremos estudando a aplicação de algumas ferramentas da planilha de cálculo, usando para tanto, temas financeiros. Seção 2 – Desenvolvendo modelos de planilha Esta seção objetiva, através da construção gradual e progressiva de um projeto, mostrar o emprego de diversas ferramentas da planilha de cálculo. 182 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 182 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Projeto 1 Joel é um usuário que possui uma conta de energia elétrica com um gasto médio acima de R$ 200,00. Nos atuais tempos de crise econômica, ele está pensando em reduzir alguns gastos, e o valor despendido com a energia elétrica é um dos itens que está na pauta de contenção geral de despesas domésticas. Após realizar uma analise da sua última conta, Joel pretende estabelecer como meta, para gasto mensal com energia elétrica, o valor máximo de R$ 150,00. Para isso, ele terá de controlar o consumo de energia acima da faixa dos 150 kWh, que corresponde ao maior valor mensal pago. Considerando que a conta do último mês apresentou valor total de R$ 204,14 (discriminado como ilustra a figura 5.1), construa um simulador de gastos com energia elétrica e ajude o Joel a determinar a quantidade máxima de kWh que ele deverá consumir para alcançar a meta estabelecida. Figura 5.1 – Gastos discriminados com energia elétrica Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 183 183 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos iniciar o desenvolvimento da modelagem do simulador da fatura de energia elétrica com Excel e ajudar o Joel a resolver o seu dilema. Em primeiro lugar, como recomendado na seção anterior, antes de ceder à tentação de abrir uma planilha e já ir colocando dados e fórmulas, vamos criar um esquema que mostre o layout físico dos elementos principais da planilha e uma indicação aproximada do fluxo dos cálculos. Com as informações contidas na fatura de energia elétrica da Figura 5.1, podemos escrever que: Valor Faturado (Total Preço) = = (quantidade consumida na faixa de 150 kWh × Tarifa em R$/kWh para a faixa) + (quantidade consumida na faixa acima de 150kWh × Tarifa em R$/kWh para a faixa) Total a Pagar = Valor Faturado A Figura 5.2 mostra um esquema de planilha que ilustra quadros para representar as três seções principais do nosso simulador de Fatura de Energia Elétrica. PARÂMETROS CÁLCULOS SAÍDAS Figura 5.2 – Esquema da planilha para o Simulador de Fatura de Energia Elétrica 184 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 184 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Montado o esquema da planilha e identificado o fluxo de cálculo, agora podemos partir para construir o nosso simulador. Para tanto: 1.Acesse a planilha de cálculo Excel no seu computador e, em seguida, abra o menu <Arquivo><Salvar>. 2.Salve a planilha com o nome <Simulador de Fatura de Energia Elétrica>. Antes de continuar é importante apresentar algumas informações. Por padrão, cada pasta (workbook) de cálculo contém três folhas de dados: listadas como Plan1, Plan2 e Plan3. O Excel pode ter ao todo até 256 planilhas dentro de uma mesma pasta. Modifique o nome da primeira folha de Plan1 para SimulaFatura. Para modificar o nome de uma planilha, basta clicar com o botão direito do mouse sobre o nome da planilha (por ex. Plan1) e, na lista de menu, selecionar a opção <Renomear>. Para adicionar novas folhas ou planilhas avulsas a uma pasta ou conjunto de planilhas, selecione a opção <Inserir><Planilha>. Depois desses passos iniciais, vamos construir a planilha de cálculo de forma a deixá-la no formato mostrado na Figura 5.3. Figura 5.3 – Planilha para o Simulador de Fatura de Energia Elétrica Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 185 185 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Como você já estudou na primeira unidade, as ferramentas de formatação permitem que possamos diferenciar os diferentes tipos de informação em uma planilha. Podemos aplicar formatos de textos diferentes para células, sombrear células com uma cor de plano de fundo ou sombrear células com um padrão de cor, bem como elementos distintos — por exemplo, rótulos de colunas e linhas, totais resumidos e dados detalhados. Utilize os seguintes formatos: célula G3 formatada como <número>, sem casa decimal e cor de preenchimento azul-claro; células E10 e E11, formatadas como <número>, sem casa decimal; células F10 e F11, formatadas com <número>, com 6 casas decimais; células G10, G11 e G12, formatadas como <número>, com 2 casas decimais; célula G16, formatada como <moeda> com 2 casas decimais e cor de fundo verde-claro. Formatada a planilha, a seguir registre as fórmulas nas células E11, G10, G11, G12 e G16, como mostradas na Figura 5.4. Figura 5.4 – Fórmulas usadas no Simulador de Fatura de Energia Elétrica 186 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 186 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira As fórmulas são equações que executam cálculos sobre valores na planilha e constituem-se no núcleo de qualquer folha de cálculo. Elas são as responsáveis por todos os cálculos apresentados em uma planilha. A elaboração de uma fórmula no Excel pode ser feita na barra de referências ou digitada diretamente numa célula da planilha. Uma vez construída a planilha, estamos em condições de ajudar o Joel a descobrir o consumo máximo que ele deve ter para poder atender a meta de gasto estipulada para a sua fatura de energia elétrica. Algumas vezes – como no presente projeto – necessitamos realizar simulações alterando valores em células de modo a verificar como essas alterações afetam o resultado de fórmulas na planilha. Quando você conhece o resultado desejado de uma fórmula única, mas não conhece o valor de entrada que a fórmula requer para determinar o resultado, você pode usar o recurso de atingir meta disponível no menu <Ferramentas>, opção <Atingir meta>. Esse recurso, que o Excel disponibiliza, realiza a variação apenas com uma célula específica desde que esta célula faça parte de uma fórmula. Então, vamos usar o comando atingir meta para determinar o consumo máximo do Joel, de modo a atender o objetivo de não ter uma despesa maior do que R$ 150,00. Assim, enquanto está atingindo a meta, o Excel irá varia o valor em uma célula específica até que uma fórmula dependente daquela célula retorne o resultado desejado. Sendo assim, não há necessidade de realizar diversos testes, do tipo tentativa e erro, para buscar uma solução específica para a fórmula. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 187 187 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Para usar o comando meta e alcançar o resultado, siga os seguintes passos: No menu <Ferramentas>, selecione <Atingir meta>. Na caixa de diálogo <Atingir meta> informe os dados solicitados como mostra a Figura 5.5. Em Definir célula registre o endereço da fórmula clicando na célula G16. No campo Para valor digite o valor do resultado desejado para o Valor Futuro, neste caso, o valor R$ 150,00. Em Alternando célula registre o endereço da célula que queremos alterar – neste caso, dê um clique na célula G3 – para que o Valor futuro atinja o valor desejado de R$ 150,00. Figura 5.5 – Tela do Excel® com os argumentos do comando Atingir Meta Depois de completar as informações, clique no botão OK para permitir que o comando Atingir meta procure uma solução, alterando o consumo mensal na célula G3 de forma incremental até que o total a pagar em G16 seja igual a R$ 150,00 (Figura 5.6). 188 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 188 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura. 5.6 – Tela do Excel® com o resultado do comando Atingir Meta É importante ressaltar que, depois de construir um modelo e antes de torná-lo operacional, devemos revisar dados, regras, fórmulas etc. e verificar se os resultados finais obtidos parecem razoáveis. Ainda, é recomendado observar se o modelo construído reage de forma aceitável diante de ações inesperadas do usuário ou diante de um conjunto de dados de entrada diferente do esperado. Por exemplo: será que o modelo dá uma resposta correta se o usuário registrar valores negativos? Valores negativos são esperados? Será que é permitido que o usuário, inadvertidamente, entre com dados nas células onde são realizados os cálculos ou apresentados os resultados e, assim, comprometa o desempenho do modelo? Bom, caro aluno, esses são questionamentos que serão respondidos na próxima seção. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 189 189 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 – Mais um pouco do desenvolvimento de planilhas Como já foi dito na seção anterior, modelos eficientes de planilhas devem levar em consideração ações que usuários, inadvertidamente ou propositalmente, por ventura venham a realizar. Ao desenvolver um modelo, é recomendado que sejam ocultados dos usuários externos, detalhes técnicos que foram empregados para alcançar os resultados, sem, no entanto, desviar a atenção desses usuários para os detalhes dos cálculos. Um modelo eficiente, por exemplo, não deve possibilitar que o usuário registre valores fora de um intervalo esperado ou fora do formato desejado, bem como, não deve comprometer o modelo apagando fórmulas ou registrando dados nas células de cálculos ou de apresentação de resultados. Como será mostrado a seguir, através do desenvolvimento de um segundo projeto, o Excel dispõe do comando Validação de dados que permite que apenas valores válidos sejam usados como entrada e de comandos para proteção de células, de planilhas e de pastas de trabalho que possibilitam, se não eliminar, ao menos reduzir as chances de modificações indesejadas durante o uso. 190 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 190 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Projeto 2 Para desenvolver os objetivos desta seção, vamos usar o exemplo 4.11, já trabalhado na unidade anterior, cujo enunciado diz: Uma instituição financeira libera um empréstimo para uma indústria no valor de R$ 10.000,00 para ser pago pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) em 6 meses a uma taxa de 2,5% a.m. Para complementar esse exercício – além de elaborar a planilha de amortização do financiamento contendo: prestação, juros compensatórios mensais, amortização mensal e saldo devedor – vamos usar o comando para a validação da taxa de juros e os recursos para a proteção das células e da planilha de cálculo. Inicialmente, construa a planilha de acordo com o layout mostrado na figura 5.7. Formate as células da seguinte maneira: para célula E4, use a Categoria Moeda e casas decimais iguais a dois; para a célula E5, escolha a Categoria Porcentagem e duas casas decimais; para formatar o prazo, célula E6, escolha a Categoria Número e duas casas decimais; para as células D14:G20, escolha a Categoria Moeda e casas decimais iguais a dois. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 191 191 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 5.7 – Projeto 2 - planilha de financiamento sistema SAC Complete a construção da planilha, inserindo os dados e as fórmulas nas células, seguindo as mesmas orientações dadas na unidade 4, conforme mostra a figura 5.8 a seguir. Figura 5.8 – Projeto 2 – Dados e fórmulas para planilha de financiamento sistema SAC Antes de apresentar o comando Validação, recomendamos fazer a leitura da nota, apresentada na sequência, que amplia o conceito apresentado na Unidade 4 sobre o uso de referências no Excel®. 192 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 192 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Ao realizar a cópia de uma fórmula (por exemplo: =D14*E16) de uma célula para outra qualquer, o Excel entende que as fórmulas devem ser relativas, ou seja, entende que as referências contidas nas fórmulas copiadas devem ser automaticamente alteradas (por exemplo, =D15*E17, =D16*E18 etc.). Em outras palavras, se a posição da célula que contém a fórmula se alterar, a referência será alterada, isto é, se você copiar a fórmula ao longo de linhas ou colunas, a referência se ajustará automaticamente. Isso acontece porque, em fórmulas comuns, o Excel trabalha com Referências Relativas. Entretanto, quando um determinado endereço deve permanecer absoluto, devemos criar uma fórmula com Referência Absoluta ou mista (uma parte relativa e outra absoluta). O uso do símbolo $ (cifrão) no início de uma referência a torna absoluta. Uma referência absoluta de célula em uma fórmula sempre se refere a uma célula em um local específico. Se a posição da célula que contém a fórmula se alterar, a referência absoluta permanecerá a mesma. Se você copiar a fórmula ao longo de linhas ou colunas, a referência absoluta não se ajustará. O “$” indica o que fixar. Pode-se fixar apenas a coluna (ex. $D14), apenas a linha (ex. D$14) ou ambas (ex. $D$14). Para criar referências absolutas, podemos utilizar a tecla F4. Pressionando uma vez, fixa a linha e a coluna; duas vezes, fixa a linha; três vezes, fixa a coluna. Dito isso, vamos à validação de dados, com a célula correspondente à taxa de juros, para assegurarmos que apenas valores válidos sejam usados como entradas. Para tanto, proceda da seguinte maneira: Dê um clique na célula E5 para selecioná-la, e no menu Dados, escolha a opção Validação. A janela de Validação de Dados contém três guias, como mostra a figura 5.9. Na primeira guia, podemos restringir as entradas que podem ser inseridas em uma célula – por exemplo, permitir que valores possíveis da taxa de juro fiquem no intervalo –1 < i < ∞. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 193 193 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 5.9 – Projeto 2 – caixa de diálogo do comando Validação de dados Para validar a taxa de juros, na guia Configurações – Critérios de Validação, no campo Permitir, selecione a opção Decimal. Em Dados, para atender ao intervalo desejado para a taxa de juros, opte pela alternativa maior que. Em Mínimo, escolha –1 que atende ao limite inferior desejado para a taxa de juros. Finalmente, marque a caixa Ignorar em branco para que seja possível deixar a célula vazia que, por default, corresponde ao valor zero (Figura 5.10). Figura 5.10 – Projeto 2 – caixa de diálogo do comando: Validação de dados > critério de validação Na segunda guia, temos a opção de criar uma mensagem de entrada que aparecerá sempre que o cursor for colocado naquela célula. Crie a mensagem ilustrada na figura 5.11 194 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 194 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Figura 5.11 – Projeto 2 – caixa de diálogo do comando: Validação de dados > Mensagem de entrada Na terceira guia, podemos estabelecer um alerta de erro para quando uma entrada não for válida. Há três tipos de alertas de erro que podem ser empregados: Parar, Aviso e Informações. Nesse nosso projeto, vamos criar um alerta de erro de Parar, como mostra a Figura 5.12. Figura 5.12 – Projeto 2 – caixa de diálogo do comando: Validação de dados > Alerta de erro O segundo objetivo desta atividade é evitar que usuários possam comprometer o modelo, modificando células que não poderiam ser alteradas. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 195 195 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Então, vamos manter desprotegidas as células de entrada de dados e proteger o restante da planilha. Para isso, realize as seguintes operações: Em primeiro lugar, selecione o conjunto de células E4:E6 (entrada de dados) e clique no menu Formatar > Células > Formatar células; Na caixa de diálogo Formatar células, clique na orelha Proteção e retire a marca da caixa Travadas (nota: pode aparecer com o nome Bloqueadas), como mostra a Figura 5.13. Se você marcar a opção Ocultas, quando a planilha for protegida, todas as fórmulas das células que contiverem uma delas permanecerão ocultas, sendo apresentado somente o resultado. Clique OK para concluir. Figura 5.13 – Projeto 2 – caixa de diálogo para a proteção de células Para completar o procedimento, agora vamos proteger a planilha selecionando no menu Ferramentas, a opção Proteger e depois Proteger planilha. Na janela Proteger planilha, como mostra a Figura 5.14, você verá um conjunto de alternativas e, por default, as duas primeiras opções aparecem marcadas. Nesta ocasião, mantenha essas opções inalteradas. Opcionalmente, você pode incluir uma senha para desproteger a planilha. Depois de digitar uma senha e clicar no botão OK, o 196 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 196 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Excel vai solicitar a você para confirmar essa senha. Sugere-se criar senhas fáceis de serem lembradas, pois, uma vez criadas e se forem esquecidas, não será mais possível abrir a planilha. Figura 5.14 – Projeto 2 – permissões e criação de senha para a proteção da planilha Criada a proteção da planilha, ao tentar entrar com um valor nas células protegidas, por exemplo, 1.900 na célula G18, uma caixa de aviso será aberta para alertá-lo da operação não permitida, como mostra a Figura 5.15. Figura 5.15 – Projeto 2 – janela de alerta de célula ou gráfico protegido Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 197 197 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Com esta última operação, concluímos a construção do nosso segundo projeto. Para finalizar, vamos reforçar o que fora dito logo no início desta unidade: o emprego dos diferentes recursos, disponibilizados pelo Excel, amplia e torna as planilhas de cálculo uma plataforma de modelagem poderosa e flexível, desde que a sua construção seja cuidadosamente planejada e executada. Cabe a você, caro aluno, aprofundar e explorar outras ferramentas e recursos disponíveis neste poderoso aplicativo. Boa exploração! Síntese Nesta unidade, apresentamos dois projetos, que foram construídos de maneira gradativa, de forma a ilustrar conceitos básicos para a elaboração de planilhas eficazes e eficientes. Construir modelos que pretendam estar desprovidos de erros é uma tarefa que exige cuidado e esforço, principalmente quando esses modelos servem de base para a tomada de decisões financeiras. Esperamos, com sinceridade, que os conteúdos apresentados sejam um elo de ligação entre a sua prática cotidiana e o eterno desejo de aprender e ampliar as suas fronteiras do conhecimento. Até mais! 198 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 198 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Atividades de autoavaliação Efetue as atividades de autoavaliação e acompanhe as respostas e comentários disponibilizados nas páginas finais deste livro. Para melhor aproveitamento do seu estudo, realize a conferência de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas. Desse modo, o momento da conferência lhe proporcionará novas oportunidades de aprendizagem. 5.1) Mario, prestador de serviços no ramo de pequenos reparos domésticos, nesses últimos três meses, tem visto a suas despesas aumentarem e as receitas diminuírem. Por ser um trabalhador autônomo, o serviço de telefonia celular é essencial para manter contato com seus clientes. Porém, na conjuntura econômica que se encontra, Mario se vê obrigado a realizar cortes drásticos em seus gastos. Um dos principais itens de despesas é o celular e que ele está pensando seriamente em reduzir, dos atuais R$ 136,00, para, no máximo, R$ 71,00. Para alcançar essa meta pretendida, Mario terá que diminuir o tempo gasto nas ligações que lhe custam R$ 0,65 por minuto, visto que possui um plano pós-pago cujo valor de assinatura fixa é de R$ 37,00. Ajude o Mario a determinar a quantidade máxima de minutos que ele poderá usar mensalmente se ele quiser alcançar a meta estabelecida. Considere que a discriminação da conta do último mês é a mostrada no quadro a seguir. Nota Fiscal de Serviços de Telecomunicações “É Bucha S.A” Serviços Mensais Mensalidade plano básico R$ 37,00 Serviços locais horário normal Chamadas locais: minutos tarifados 100 Custo por minuto R$ 0,65 Total serviços locais horário normal R$ 65,00 Impostos Alíquota ICMS 25% Base de Cálculo R$ 136,00 Total impostos R$ 34,00 Total Serviços Mensais R$ 136,00 Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 199 199 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolva o problema de acordo com as seguintes instruções: construa uma planilha que represente da maneira mais fiel o modelo da conta telefônica do Mario; formate as células com valores monetários como <moeda>, a alíquota de ICMS como <porcentagem> e as chamadas locais como <número>, com zero casas decimais; use cor amarela para preencher as células como o nome dos dados e de azul claro as células da entrada dos dados; use o comando Atingir meta para solucionar o problema. 5.2) (Adaptado de TOSI, 2002, p. 124-125). Podemos resolver qualquer problema de equivalência de taxas de juros compostos com o auxílio de uma fórmula geral, ou por meio de uma equação escrita para o Excel, que você poderá utilizar sempre que desejar. Onde: TEQ = taxa equivalente a juros compostos Por exemplo: qual a taxa anual equivalente a 20% ao mês? 360 ⎡ ⎤ TEQ = ⎣⎢(1 + 0, 20) 30 − 1⎦⎥ × 100 = 791,61% ao ano A equação fornecida aplica-se à solução de qualquer problema de taxas equivalentes a juros compostos. Crie, no Excel, a seguinte planilha: formate as células taxa de juros como <porcentagem>, com duas casas decimais e as células de prazos como <número>, com zero casas decimais; 200 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 200 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira use cor amarela para preencher as células como o nome dos dados, de azul claro as células da entrada dos dados e verde claro a apresentação do resultado; a taxa de juros equivalente deve ser calculada automaticamente na célula D7; use o comando Validar dados para permitir que valores possíveis da taxa de juros fornecida fiquem no intervalo –1 < i < ∞. Crie um aviso para alertar o usuário sobre a entrada de valores fora do intervalo; faça a validação dos dados para evitar que o usuário registre um valor negativo no prazo da taxa fornecida e desejada, criando um alerta de erro com a mensagem O prazo deve ser um valor positivo; proteja a planilha de maneira a permitir que somente as células D4, D5 e D6 aceitem a edição de dados; usando a planilha criada, calcule a taxa mensal equivalente a 40% ao ano. Saiba mais LAPPONI, Juan Carlos. Modelagem financeira com Excel e VBA. 6. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008. POWELL, Stephen G.; BAKER, Kenneth R. A arte da modelagem com planilhas: ciência da gestão, engenharia de planilhas e arte de modelagem. Rio de Janeiro: LTC, 2006. xx, 372 p. TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do Microsoft Excel 2000 aplicável às versões 5.0, 7.0 e 97. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2002. 220 p. Unidade 5 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 201 201 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 202 01/03/12 14:42 Para concluir o estudo Na disciplina Informática Aplicada à Matemática Financeira você resgatou os conceitos básicos aplicados à matemática financeira como: juros, taxas, sequências de capitais, sistemas de amortização, taxa interna de retorno, valor presente líquido etc. Resolveu exercícios pela forma algébrica e com o auxílio das funções financeiras da calculadora HP 12c e da planilha de cálculo Excel®. Esperamos que você tenha adquirido habilidades no uso dessas ferramentas que podem auxiliá-lo na resolução de problemas na área financeira, tão frequentes no dia a dia de cada cidadão. Destacamos a importância de adquirir habilidades no uso dessas ferramentas, pois elas estão presentes nos mais diversos meios, como: acadêmico, comercial, bancário e empresarial. Esperamos que os conhecimentos e habilidades adquiridos nessa disciplina possam ser utilizados na sua vida acadêmica e profissional. Professores: José Humberto Dias de Toledo Oscar Ciro Lopez Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 203 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 204 01/03/12 14:42 Sobre os professores conteudistas Jose Humberto Dias de Toledo, M. Sc. Mestre em Educação pela Universidade do Sul de Santa Catarina. Graduado em Licenciatura em Matemática e em Engenharia Civil. Professor das disciplinas Informática Aplicada a Matemática Financeira, Matemática Financeira, no Curso de Matemática – Licenciatura, nesta mesma instituição. Atualmente, ministra as disciplinas Matemática Financeira Aplicada I e II na Pós Graduação em Matemática Financeira Aplicada aos Negócios e Planejamento Financeiro na Pós Graduação em Contabilidade. Oscar Ciro López, Dr. Doutor em engenharia de produção pela Universidade Federal de Santa Catarina. Graduado em Engenharia Civil na mesma instituição. Coordenador do Programa de Educação a Distância Unisul Aberta, na Universidade do Sul de Santa Catarina, de 1998 a 2001. Professor das disciplinas de Gerenciamento de projetos, Informática Aplicada à Educação, Informática aplicada à Matemática Financeira, Engenharia Econômica, Custos e Planejamento de Obras e Gerência de Empreendimentos, tanto nos cursos presenciais como virtuais da Unisul. Atualmente é coordenador do Curso de Engenharia Civil e do Núcleo de Pesquisa em Engenharia Civil da Unisul. Tem diversos trabalhos publicados sobre gestão de sistemas de produção, otimização de projetos e inteligência artificial aplicada a sistemas de engenharia. Orientou diversas dissertações de mestrado e teses de doutorado que abordaram os temas de comércio eletrônico, internet e tecnologia da informação e informática e educação. Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 205 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 206 01/03/12 14:42 Referências AGUSTINI, Carlos Alberto Di., ZELMANOVITS, Nei Schilling. Matemática Aplicada a Gestão de Negócios. Rio de Janeiro: FGV Editora, 2005. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP – 12C, Microsoft Excel®. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. DUTRA, Maurici José. Matemática Financeira: livro didático. 3. ed. rev. e atual. Palhoça: Unisul Virtual, 2007. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo dicionário Aurélio da língua portuguesa. 3. ed. Curitiba: Positivo, 2004. HP-12C Platinum Calculadora financeira: guia do usuário. HewlettPackard Company, mar. 2005. Disponível em: <http://h10032.www1. hp.com/ctg/Manual/bpia5238.pdf>. Acesso em: 30 maio 2011. LAPPOLI, Abelardo de Lima. Modelagem Financeira com Excel. Rio de Janeiro: Elsevier, 2003. 361 p. LAPPONI, Juan Carlos. 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Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 207 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 208 01/03/12 14:42 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Unidade 1 1.1.a) Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 2 ENTER 3 yx 2 ENTER 3 × 2 ÷ – 10 ENTER + 7 Resolvendo na Planilha Excel®: 1.1.b) Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 3 ENTER 3 yx – 2 g ex CHS 4 ENTER 2 g – ln × –37,16 Resolvendo na Planilha Excel®: 1.1.c) Resolvendo na HP 12c: Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 209 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Digite 4 g Resultado √x 12 ENTER 3 × – 44,18 + 10,18 Resolvendo na Planilha Excel®: 1.1.d) Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 0,45 ENTER 2 ENTER 2 CHS yx ÷ + 2 ENTER – 0,6 Resolvendo na Planilha Excel®: 1.2 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 1.687,90 ENTER 1.435,87 + 345,98 – 123,45 – 657,90 – 309,97 – 1.677,57 Resolvendo na Planilha Excel®: 210 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 210 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 1.3 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 1,92 ENTER 2,16 ∆% 28,64 Resolvendo na Planilha Excel®: 1.4 Resolvendo na HP 12c: Digite g Resultado D.MY 15.052008 120 g DATE 12.09.2008 5 Resolvendo na Planilha Excel®: 1.5 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 1.358.980,00 ENTER 389.159,30 %T 28,64 Florianópolis clx 253.455,90 %T 18,65 Curitiba clx 716.364,80 %T 52,71 Porto Alegre Resolvendo na Planilha Excel®: 211 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 211 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 2 2.1 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 5.000,00 CHS 1080 n f PV 14,75 i INT 2.212,50 Resolvendo na Planilha Excel®: 2.2 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 2.500,00 CHS 360 n f PV 24 i INT 600,00 + 3.100,00 Resolvendo na Planilha Excel®: 212 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 212 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 2.3 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 10.000,00 CHS PV 13,75 i 10.082008 ENTER 20.122008 g n f INT 504,17 R g D.MY ∆DYS 132 x y 497,26 Resolvendo na Planilha Excel®: 2.4 Dados: VN = R$ 1.800,00 VL = R$ 1.714,29 n = 2 meses i=? DCS = VN ×i ×n VN � VL = VN ×i ×n i= VN � VL 1.800,00 � 1.714, 29 = = 2,38% VN ×n 1.800,00 � 2 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 1.800,00 ENTER 1.714,29 – 1.800,00 ENTER 2 × ÷ 100 × 2,38 213 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 213 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo na Planilha Excel®: 2.5 Resolvendo na HP 12c: Digite 2.890,00 ENTER 0,028 × 45,00 × 30 ÷ Resultado 121,38 DCS CHS 2.890,00 + 2.768,62 Valor Líquido Resolvendo na Planilha Excel®: 214 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 214 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 2.6 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG 15.000,00 FV 1,87 i 6,00 n Resultado PV –13.421,88 Resolvendo na Planilha Excel®: 215 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 215 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 2.7 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 12.500,00 CHS 18,00 n PV 0,80 i FV 14.427,78 Resolvendo na Planilha Excel®: 2.8 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 8.350,00 CHS PV 2,90 i 2,00 n FV 7.872,72 Valor líquido RCL PV + 477,28 Desconto Resolvendo na Planilha Excel®: 216 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 216 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 2.9 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 5.500,00 CHS PV 0,55 i 10,00 n FV 5.810,10 Montante RCL PV + 477,28 Juros Resolvendo na Planilha Excel®: 2.10 Resolvendo na HP 12c: Cálculo do DCS na HP: f REG 38 ENTER R$ 1.870,90 ∑+ 42 ENTER R$ 2.435,70 ∑+ 50 ENTER R$ 3.250,79 ∑+ 65 ENTER R$ 1.125,00 ∑+ g xw R$ 47,11 Prazo médio 8.682,39 × 0,025 × 30 ÷ R$ 340,89 DCS Cálculo do IOF: Digite 8.341,50 ENTER 47,11 × 0,000082 × Resultado 32,23 Cálculo do Valor líquido: Digite 8.682,39 ENTER 340,89 – 32,22 – Resultado 8.309,28 217 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 217 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Resolvendo na Planilha Excel®: 2.11 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG 3.500,00 CHS Resultado PV 2,30 i 3.920,45 FV n 5,00 Resolvendo na Planilha Excel®: 218 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 218 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Unidade 3 3.1 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 0,02 ENTER 1 + 12 y× 1 – 100 × 26,82 Taxa mensal 0,06 ENTER 1 + 6 Taxa anual 1⁄x y× 1 – 100 × Taxa semestral 0,18 ENTER 1 + 2 0,98 Taxa mensal 1⁄x y× 1 – 100 × Taxa anual 8,63 Taxa semestral y× 1 – 100 × 0,0035 ENTER 1 + 60 1⁄x Taxa bimestral 0,057 Taxa diária 0,00085 ENTER 1 + 360 y× 1 – 100 × Taxa diária 35,78 Taxa anual Fórmulas na planilha de cálculo Excel®: 3.2 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 0,1375 ENTER 12 ÷ 1 + 12 yx 1 – 100 × f FIN i 6.800,00 PV 1 n FV 7.796,23 Montante 219 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 219 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Fórmulas e função financeira na planilha de cálculo Excel® 3.3 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 1,0054 ENTER 1,0049 × 1,0055 × 1,0079 × 1,0074 × 1,0053 × 1,0028 × 1,0026 × 1 – 100 × 4,76 Taxa acumulada Fórmulas na planilha de cálculo Excel®: 220 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 220 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 3.4 Resolvendo na HP 12c: Digite 1,00 ENTER 0,05 + 1 ENTER 0,0476 + 1 – 100 × Resultado ÷ 0,23 Fórmulas na planilha de cálculo Excel®: Justificativa da resposta: os salários tiveram ganho real pois a taxa real foi positiva. 3.5 Resolvendo na HP 12c: Digite Resultado 1,013 ENTER 1,022 × 1,029 × 1,019 × 1 – 100 × 8,56 Taxa acumulada Fórmulas na planilha de cálculo Excel®: 221 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 221 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 3.6 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG 3,5 i Resultado g END 1.328,30 PV 3 n PMT 474,12 Parcela Função financeira PGTO na planilha de cálculo Excel®: 222 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 222 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 3.7 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG Resultado g 2.361,90 CHS END 40.000,00 PV 3 i PMT n 24 No de parcelas Função financeira NPER na planilha de cálculo Excel®: 223 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 223 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 3.8 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 2,9 i g 3 END 135,00 CHS n PMT PV 382,60 Valor à vista Função financeira VP na planilha de cálculo Excel®: 224 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 224 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 3.9 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG Resultado g 189,70 CHS BEG 680,90 PV PMT 4 n i 7,74 Taxa Função financeira TAXA na planilha de cálculo Excel®: 225 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 225 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 3.10 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG 1,80 i Resultado g END 1.350,00 PV 5 n PMT 284,75 Parcela Função financeira PGTO na planilha de cálculo Excel®: 3.11 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG 2,80 i Resultado g FV END 22.500,00 CHS CHS PV 0 FV 36 n PV 1 n PMT 1.336,51 Valor das parcelas Fórmula na planilha de cálculo Excel®: 226 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 226 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 3.12 Fórmula na planilha de cálculo Excel®: 3.13 Resolvendo na HP 12c: Digite f REG 3,50 i Resultado g FV END 22.500,00 CHS CHS PV 2 n PV 0 FV 12,00 n PMT 2.494,23 Valor presente Fórmula na planilha de cálculo Excel®: 227 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 227 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 4.1 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 10.000,00 CHS 3 g Nj 7.000,00 g g CFo 1.500,00 g CFj 13,5 i f NPV CFj –2.270,05 Resolvendo na Planilha Excel®: Como VPL < 0 o investidor não deve fazer o investimento. 228 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 228 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 4.2 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 10.000,00 CHS 3 g Nj 10,00 i f g CFo 5.000,00 g NPV CFj 2.434,26 Resolvendo na Planilha Excel®: Como VPL>0 o empresário fez um bom negócio. 4.3 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 50.000,00 CHS 5 g Nj 8,00 i f g NPV CFo 20.000,00 g CFj 29.854,20 Resolvendo na Planilha Excel®: 229 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 229 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 4.4 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 300.000,00 CHS 4 g Nj 80.000,00 g g CFo 20.000,00 g CFj 15,00 i f NPV CFj –317.325,43 Resolvendo na Planilha Excel®: 4.5 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 5.000,00 CHS 3 g Nj 12 i f g IRR CFo 2.000,00 g CFj 9,70 Resolvendo na Planilha Excel®: Como a TIR < ie é mais vantajoso aplicar no mercado financeiro. 230 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 230 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 4.6 Resolvendo na HP 12c: Digite f Resultado REG 15.000,00 CHS 5 g Nj 10.000,00 g g CFo 4.000,00 g CFj 15 i f IRR CFj 20,74 Resolvendo na Planilha Excel®: Como a TIR > ie a proposta é vantajosa. 4.7 Resolvendo na HP 12c: Teclas Visor da HP Ação 0,00 Zera os registradores financeiros. 0,00 Configura o modo de vencimento para o final de cada período. 3.200,00 Armazena o valor a ser financiado. 5 5,00 Armazena o período do financiamento. 3,8 3,80 Armazena a taxa do financiamento. –714,77 Calcula o valor da parcela. 3.200,00 231 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 231 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina Teclas 1 1 1 1 1 Visor da HP Ação –121,60 Calcula os juros compensatórios após o 1o pagamento. –593,17 Calcula a amortização após o 1o pagamento. 2.606,83 Recupera o saldo devedor após o 1o pagamento. –99,06 Calcula os juros compensatórios após o 2o pagamento. –615,71 Calcula a amortização após o 2o pagamento. 1.991,12 Recupera o saldo devedor após o 2o pagamento. –75,66 Calcula os juros compensatórios após o 3o pagamento. –639,11 Calcula a amortização após o 3o pagamento. 1.352,01 Recupera o saldo devedor após o 3o pagamento. –51,38 Calcula os juros compensatórios após o 4o pagamento. –663,39 Calcula a amortização após o 4o pagamento. 688,62 Recupera o saldo devedor após o 4o pagamento. –26,17 Calcula os juros compensatórios após o 5o pagamento. –688,60 Calcula a amortização após o 5o pagamento. 0,02 Recupera o saldo devedor após o 5o pagamento. 232 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 232 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira 4.8 Resolvendo na Planilha Excel®: 4.9 Resolvendo na Planilha Excel®: 233 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 233 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 4.10 Resolvendo na Planilha Excel®: Pagam-se mais juros pelo sistema PRICE. Unidade 5 5.1 Como vimos na seção 5.2, para poder usar a ferramenta Atingir Meta é necessário acessar o menu Ferramentas e escolher essa opção. Depois disso, em Definir célula, damos um clique em D15; preenchemos com o valor 71 no campo Para valor e no campo Alternando célula, damos um clique na célula D7, como mostrado na figura a seguir. 234 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 234 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Completado o preenchimento dos dados, apertamos o botão OK para, caso haja uma solução, o Excel a encontre, como apresenta a figura seguinte. Observe que a planilha encontrou como solução que o usuário deve reduzir a número de chamadas locais de 100 minutos para 25, se quiser alcançar a meta estabelecida. 235 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 235 01/03/12 14:42 Universidade do Sul de Santa Catarina 5.2 Inicialmente formate a matriz como foi instruído Formatada a planilha, insira a fórmula na célula F6 para calcular a Taxa equivalente. Seguindo o procedimento apresentado na seção 5.3, use o comando Validação de dados para possibilitar somente a entrada de valores percentuais, para a taxa de juros, dentro do intervalo –100% < i < ∞ e crie a mensagem de alerta como mostrado na figura seguinte. 236 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 236 01/03/12 14:42 Informática Aplicada à Matemática Financeira Teste a planilha, calculando a taxa mensal equivalente a 40% ao ano 237 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 237 01/03/12 14:42 Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 238 01/03/12 14:42 Biblioteca Virtual Veja a seguir os serviços oferecidos pela Biblioteca Virtual aos alunos a distância: Pesquisa a publicações on-line <www.unisul.br/textocompleto> Acesso a bases de dados assinadas <www.unisul.br/bdassinadas> Acesso a bases de dados gratuitas selecionadas <www.unisul.br/bdgratuitas > Acesso a jornais e revistas on-line <www.unisul.br/periodicos> Empréstimo de livros <www.unisul.br/emprestimos> Escaneamento de parte de obra* Acesse a página da Biblioteca Virtual da Unisul, disponível no EVA, e explore seus recursos digitais. Qualquer dúvida escreva para: [email protected] * Se você optar por escaneamento de parte do livro, será lhe enviado o sumário da obra para que você possa escolher quais capítulos deseja solicitar a reprodução. Lembrando que para não ferir a Lei dos direitos autorais (Lei 9610/98) pode-se reproduzir até 10% do total de páginas do livro. Informatica_Aplicada_a_Matematica_Financeira.indb 239 01/03/12 14:42 capa_curvas.pdf C M Y CM MY CY CMY K 1 01/03/12 14:37
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