ISSN 2317-3297
Métodos numéricos para aproximação de raízes de funções
Rosane Rayanne Jota Ribeiro*
Matheus da Silva Menezes
[email protected]
[email protected]
Ivan Mezzomo
[email protected]
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
59015-000, Campus Angicos, RN
www.ufersa.edu.br
Palavras-chave: Raízes de funções, funções transcendentais, Método da Bissecção, Método da Falsa
Posição, Método de Newton, Método da Secante
Resumo: O presente artigo aborda à utilização de métodos numéricos para aproximação de raízes de
funções polinomiais e transcendentais quando não dispomos de um método direto para encontrá-las ou
esta obtenção é tida como difícil. Após isolarmos o intervalo que contém uma única raiz, utilizamos
métodos numéricos para refiná-la, até a aproximação desejada. Será feita uma explanação geral sobre
a problemática abordada, aspectos básicos que possibilitarão uma compreensão geral sobre os
métodos, bem como uma aplicação em exemplos da literatura, comparando os resultados entre si. Ao
final proporcionamos uma pequena discussão sobre os fatos relevantes de cada método.
1. Introdução
Em muitos problemas científicos e de engenharias, temos a necessidade de encontrar
matematicamente soluções para o qual uma função f(x) obtenha valor igual a zero, sendo estas soluções
denominadas de raízes da equação ou zeros da função [2]. De acordo com [3] existem métodos para se
calcular analiticamente raízes de funções polinomiais de grau até 4. Apesar disto, existe uma ampla
gama de funções de grau superior a quatro e as funções transcendentes, que não possibilitam a
utilização de métodos diretos para o calculo de suas raízes. Para estes casos, segundo [3] devemos
utilizar métodos que encontrem uma solução aproximada, que são processos iterativos, que buscam
convergir para a raiz [4]. Segundo [2] embora estes métodos não disponibilizem raízes exatas, as
mesmas poderão ser calculadas com a precisão que o problema necessite, finalizando o procedimento
quando as condições impostas pela função forem atendidas. Para [7] identificar as circunstâncias em
que o método converge é fundamental para escolhê-lo. De acordo com [3] para as equações
caracterizadas como transcendentes, geralmente há dificuldade para determinar o intervalo que possui
raiz única tendo em vista que não existem teoremas que instituam padrões para que satisfaça essa
condição (funções não algébricas são denominadas transcendentes) [5]. Segundo [3] na pratica usa-se o
conhecimento a cerca da função para delimitar o intervalo em que a raiz se encontra, observando o
comportamento da curva e produzindo o tabelamento da função para busca pontos que forneçam
resultado menor que zero quando efetuado o produto de um f(a) e f(b) quaisquer, pois no intervalo
compreendido entre a e b haverá pelo menos uma raiz.
A metodologia para encontrar raízes de funções, segundo [3], divide-se em duas fases
 Fase 1: Localização do intervalo que contém a raiz, ou isolamento da raiz;
 Fase 2: Refinamento do resultado, que consiste em melhorar sucessivamente a
aproximação inicial até que seja atingida a precisão desejada.
O teorema matemático que dá suporte a utilização dos métodos em um intervalo que contém uma
única raiz é o seguinte:
Teorema de Bolzano ou Anulamento: Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]. Se
f(a) e f(b) possuírem sinais contrário, então existirá pelo menos um c em [a,b], tal que f(c) = 0.
Obviamente, se a f(a) e f(b) possuírem sinais contrários, então: f(a). f(b) < 0.
2. Métodos Numéricos para obtenção de Zeros de funções:
Inicialmente, devemos analisar a função através de análise de tabelamento e gráfico, identificando
assim os intervalos que contém pelo menos uma raiz pela mudança do sinal de f(x). Após isolarmos as
raízes em um intervalo que garanta a unicidade da mesma, utilizamos métodos numéricos iterativos
* Bolsista de Iniciação Científica UFERSA
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para refiná-la, que têm como idéia principal partir de uma aproximação inicial, efetuando em seguida de
uma metodologia que promove iterações em busca da convergência para a raiz. Os métodos utilizados
neste estudo são os seguintes:

Bissecção:. é uma técnica iterativa que incide em encurtar a amplitude do intervalo que
contém a raiz até que se atinja a exatidão necessária, empregando a divisão sucessiva de
[a,b] ao meio [6]. A cada iteração, a raiz aproximada é dada por:

Falsa Posição: consiste localizar uma raiz aproximada por meio da média aritmética
ponderada entre a e b, utilizando como pesos | f(b) | e |f(a)|, respectivamente [RUGGIERO;
LOPES]. Logo a raiz aproximada é dada por:

Newton: este método tenta acelerar a convergência, adotando como função de iteração a
equação

no qual
, obtendo como função de iteração.
(veja [6]).
Secante: uma das desvantagens do método de Newton o fato de ser necessário obter a f’(x) e
calcular seu valor numérico a cada iteração [4]. Contudo, esta desvantagem pode ser
eliminada [4] substituir a derivada
pelo quociente das diferenças, chegando a uma
função de aproximação da raiz
3. Experimentos Computacionais
Para exemplificar a execução dos métodos numéricos, utilizamos os problemas descritos e analisados
em [3]. Os métodos foram implementados em SciLab, Versão 5.3.2., e rodados em um ambiente
Microsoft Windows 7, em um computador com processador Intel Core 2 Duo e 4 Gb de memória RAM.
, a mesma tolerância
Para todos os métodos foram utilizado o mesmo critério de parada:
e número máximo de iterações de 500. Para o método de Newton adotou-se como raiz
inicial (x0) o ponto médio do intervalo.
Os problemas considerados e os resultados encontrados foram os seguintes:
Tabela 1 – Problemas e Resultados Considerados
Raiz
Métodos
# Iter
Tempo (s)
Bissecção
1,492879
38
1,79
Falsa Posição
1,492879
78
4,64
Newton
1,492879
3
0,20
Secante
-1,300384
9
0,39
Bissecção
2,000122
13
0,61
Falsa Posição
1,823557
500
30,48
Newton
2,000170
20
1,33
Secante
2,000178
29
1,34
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Bissecção
-0,929560
42
2,02
Falsa Posição
0,698715
500
29,73
Newton
-0,929560
10
0,47
Secante
-0,929560
21
0,97
Bissecção
4,323240
34
2,27
Falsa Posição
4,323240
9
0,56
Newton
4,323240
5
0,33
Secante
4,323240
6
0,27
4. Resultados e Discussão
Ao observar os resultados dos exemplos apresentados anteriormente vemos que a maioria dos métodos
apresentou as soluções desejadas, porém com desempenhos diferentes pelo fato dos mesmos possuírem
atributos peculiares que os diferem no procedimento realizado para o calculo da raiz aproximada. A
técnica da bissecção mostrou-se ser eficiente no que diz respeito ao objetivo principal, entretanto, a
atualização da raiz sempre dividindo o intervalo ao meio é custoso computacionalmente, demandando
um tempo maior para convergir, apesar de ter convergência garantida caso obedeça aos critérios préestabelecidos. O método da falsa posição encontrou os resultados buscados apenas em dois exemplos,
enquanto nos outros atingiu o numero máximo de iterações. Apesar de ter convergência garantida, a
velocidade de convergência é comprometida nos casos em que a assíntota do gráfico é grande. O
método de Newton apresentou resultados após poucas iterações, com a precisão esperada e com
rapidez. Embora seja realizado calculado da derivada da função para que o método seja implantado o
mesmo ainda mostra velocidade na execução, apesar de sua convergência não ser garantida.
Finalmente, o método da secante assim como o método de Newton executou com rapidez e realizou
poucas iterações, contudo no exemplo f1(x) o método convergiu para uma raiz fora do intervalo.
Referências
[1] R. Burian, A. C de Lima; A. H. Junior. “Fundamentos de Informática”, Cálculo Numérico. LTC,
Rio de janeiro, 2011.
[2] L. C. Barroso, M. M. A. Barroso; F.F.F. Campos; M. L. B. Carvalho; M. L. Maria. “Cálculo
Numérico com Aplicações”. HARBRA, São Paulo, 1987.
[3] F.F. Campos. “Algoritmos Numéricos”. LTC, Rio de Janeiro, 2010.
[4] N.B. Franco. “Cálculo Numérico” Pearson, São Paulo, 2006.
[5] J. Hass, M.D. Weir, F.R. Giordanno. “Cálculo 1: George B. Thomas”. Pearson, São Paulo , 2010
[6] M. A. G Ruggiero; V. L. R. Lopes. “Cálculo numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais”. 2.
ed. Makron Books, São Paulo, 1996.
[7] D. Sperandio; J. T. Mendes; L. H. M. Silva. “Cálculo Numérico: Características Matemáticas e
Computacionais dos Métodos Numéricos”. Pearson Prentice Hall, São Paulo:, 2003.
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