UNIVERSIDADE DO ALGARVE
APONTAMENTOS DE BIOFÍSICA
Curso de Radiologia - Escola Superior de Saúde de Faro
2006/2007 – 1º Semestre
Docente: Carla Silva
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
DA FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
INTRODUÇÃO
A disciplina de Biofísica do curso de Radiologia tem como principal objectivo
aplicar ao corpo humano algumas das noções já adquiridas na disciplina de Física
Aplicada e abordar algumas novas matérias como a Termodinâmica, a Acústica e a
Óptica na mesma perspectiva de compreensão do comportamento dos sistemas
biológicos.
A leitura destes apontamentos permitirá uma primeira abordagem aos temas
discutidos nas aulas, abrindo perspectivas para explorações mais aprofundadas de
cada um deles.
I COMPLEMENTOS DE MECÂNICA
O domínio da Mecânica foi o primeiro da Física a ser aplicado, com êxito, à
compreensão do funcionamento dos sistemas vivos, revelando-se particularmente
eficaz na descrição dos mecanismos do movimento. O desenvolvimento desta área
tem tido particular interesse na recuperação de doentes com dificuldades motoras, no
desempenho dos atletas e na construção de próteses e dispositivos de apoio à
locomoção humana.
1. Corpos em equilíbrio
Como já foi discutido em outras disciplinas, nomeadamente na de Física
Aplicada, o estado de movimento de um corpo depende das forças que actuam sobre
ele. É do conhecimento geral que, se a um corpo não está aplicada nenhuma força,
este se mantém em repouso ou com um movimento rectilíneo e velocidade constante.
No entanto, no nosso quotidiano, é impossível afirmar que um corpo não está sujeito a
forças, uma vez que, basta que possua massa para que seja actuado pela força
gravítica1. Nesta perspectiva, uma das condições para que um corpo esteja em

equilíbrio é que a soma de todas as forças, Fi , aplicadas sobre ele, seja nula
(equação 1). Realce-se que o somatório considerado representa uma soma de vectores,
uma vez que a força é uma grandeza vectorial, ou seja, é caracterizada não apenas por
um valor e uma unidade, mas também por uma direcção, um sentido e um ponto de
aplicação.
 
 Fi  0 .
equação 1
i
Se a condição descrita pela equação 1 é necessária para que um corpo esteja em
equilíbrio, não é menos verdade que não é suficiente. De facto, o ponto de aplicação
das forças é um aspecto importante a ter em conta quando se estuda o equilíbrio dos
corpos. Se atendermos a que o peso de um corpo tem o seu ponto de aplicação no seu
centro de massa, sabemos da nossa experiência diária que este tem que se encontrar
alinhado com a base de sustentação do corpo, para que o corpo se mantenha em
equilíbrio. Enquanto que os corpos na situação das figuras 1 a) e b) se encontram
estáveis (o seu centro de massa encontra-se sobre a base de sustentação), um corpo na
situação da figura 1 c) encontra-se instável (uma vez que desenhando uma linha
vertical que passe pelo seu centro de massa, esta se encontra fora da base de
sustentação).
1
Embora em rigor a força gravítica e o peso de um objecto não sejam exactamente a mesma força (na
verdade o peso é a resultante da soma da força gravítica com uma força de inércia que corresponde ao
facto de todos os corpos à superfície da Terra não se encontrarem num referencial de inércia), neste
texto os dois conceitos irão ser utilizados com o mesmo significado, desprezando-se desse modo a força
de inércia aplicada nos corpos devido à rotação da Terra.
1
Figura 1 - Os objectos a) e b) encontram-se em equilíbrio, embora o objecto b) abandone o estado
de repouso mais facilmente, uma vez que a sua base de sustentação é menor do que a do objecto
a). O objecto c) encontra-se em desequilíbrio, visto que a vertical que passa pelo seu centro de
massa cruza o solo num ponto fora da sua base de sustentação. (Adap. de P. Davidovits, 2001).
A grandeza que permite quantificar a estabilidade de um corpo no que respeita
ao ponto de aplicação das forças a que este está sujeito, ou, dito de uma outra forma,
fornece a maior ou menor tendência para que essas forças lhe confiram um
movimento de rotação, é o momento da força. O momento da força é também uma
grandeza vectorial e o seu módulo é dado por:
L  F .d .sen ,
equação 2
onde: F é o valor da força, d é a distância do ponto de aplicação da força ao ponto de
rotação e  é o ângulo formado pela força e pelo vector que liga o ponto de aplicação
da mesma ao ponto de rotação. Nos diagramas da figura 2 é possível compreender de
que forma é que os momentos das forças que estão aplicadas ao corpo (o seu peso,
representado pela letra P e a reacção do plano sobre o corpo, representado pela letra
R), tendem a impor-lhe um movimento de rotação.
Figura 2 - Representação do peso e da reacção do plano sobre o corpo em duas situações
distintas: o corpo a) tende a rodar no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, enquanto que
o corpo b) tende a rodar no sentido dos ponteiros do relógio. (Adap. de P. Davidovits, 2001).
Deste modo, para que um corpo se mantenha em equilíbrio, deve
acrescentar-se à equação 1, a condição de, também a soma dos momentos das forças
aplicadas ao corpo ser nula (equação 3):

L
i
i

 0.
equação 3
2
1.1 Equilíbrio do corpo humano
Sabe-se que, em média, o centro de massa de um indivíduo se encontra
localizado a uma altura de 56% da sua altura máxima contando a partir das solas dos
pés. Em pé o centro de massa encontra-se, pois, sob a base de sustentação (ver figura
3 a)). Aliás, compreende-se que a estabilidade de um indivíduo aumente quando afasta
as pernas, uma vez que, desta forma, está a aumentar a sua base de sustentação. No
entanto, quando os indivíduos se encontram em marcha, a posição do seu centro de
massa vai-se alterando, sendo necessário mantê-la no alinhamento dos pés, caso
contrário o indivíduo desequilibra-se e cai. O mesmo acontecendo quando outras
forças, para além do peso, se encontram aplicadas nos corpos, como o ilustrado nas
figuras 3 b) e 3 c).
Figura 3 - a) Indivíduo em repouso. O centro de massa encontra-se sobre a sua base de
sustentação. b) Indivíduo que transporta uma mala com a mão esquerda. Neste caso, o centro de
massa do sistema homem + mala tende a desviar-se para o lado esquerdo, pelo que o indivíduo
inclina o corpo ligeiramente para a direita, para que o centro de massa do conjunto continue
sobre a base de sustentação. c) Indivíduo sobre o qual se aplica uma força lateral. A força
aplicada tende a desequilibrar o indivíduo que reage através de forças internas que se opõem à
força aplicada de modo a manter o seu centro de massa sobre a base de sustentação. (Adap. de P.
Davidovits, 2001).
Em situações em que outras forças se encontram aplicadas ao corpo, os
indivíduos tendem a mover-se de forma a reposicionarem o seu centro de massa,
como o ilustrado nas alíneas b) e c) da figura 3, evitando a queda.
2. O mecanismo das alavancas
Uma alavanca é uma máquina simples formada por uma barra rígida que pode
rodar em torno de um ponto fixo, ao qual se chama fulcro. Estas máquinas podem ser
utilizadas tanto para içar volumes de um modo bastante eficiente, como para transferir
um determinado movimento de um ponto para o outro. Se nos concentrarmos na
tarefa de içar um determinado peso, é possível dividir as alavancas em três tipos:
classe 1 (aquela em que o fulcro se encontra entre o peso a levantar e a força exercida
para o fazer – figura 4 a)), classe 2 (aquela em que o peso se encontra entre o fulcro e
a força – figura 4 b)) e a classe 3 (aquela em que a força se encontra entre o fulcro e o
peso – figura 4 c)).
3
Figura 4 - Representação das três classes de alavancas, classificadas segundo a localização
relativa dos pontos de aplicação das forças envolvidas. (Adap. de P. Davidovits, 2001).

Considerando-se que P representa o peso que se pretende içar com o recurso a
uma alavanca, que d1 é a distância entre o ponto em que esse peso está aplicado e o

fulcro e que d2 é a distância entre o ponto de aplicação da força exterior F e o fulcro,
obtém-se a seguinte relação entre as variáveis:
F
Pd1
.
d2
equação 4
Se definirmos amplificação mecânica, m, como o quociente entre a
amplitude do peso e a amplitude da força exterior que exercemos sobre a alavanca
com o objectivo de içar o peso:
m 
P
,
F
equação 5
então, combinando esta definição com a equação 4, facilmente se verifica que:
m 
d2
,
d1
o que implica que, para as alavancas da classe 1 a amplificação mecânica seja maior
do que 1, ou seja, para içar um determinado peso é necessário aplicar uma força
menor do que esse mesmo peso; para as alavancas da classe 2 a amplificação
mecânica possa ser maior ou menor do que 1, dependendo de d2 ser maior ou menor
do que d1; e, por fim, nas alavancas da classe 3 a amplificação mecânica seja sempre
menor do que 1, o que exige que a força aplicada seja maior do que o peso que se
pretende içar. Um ponto interessante para a discussão sobre a utilização de alavancas
nos sistemas biológicos é o reconhecimento de que a grande maioria dos membros dos
animais pode ser representado por alavancas da classe 3. O que coloca a questão de
qual a vantagem de utilizar esta classe, uma vez que, do ponto de vista mecânico, não
parece ser vantajosa.
Na verdade, se atendermos à figura 5, onde, para além da representação de
uma alavanca da classe 1, se encontram indicadas as grandezas: L1 e L2, como sendo
as distâncias percorridas pelos pontos de aplicação do peso e da força,
respectivamente, e v1 e v2 como sendo as velocidades desses mesmos pontos quando
está a ocorrer o movimento, obtemos, através de considerações geométricas:
4
d1 L1

.
d 2 L2
Além disso, atendendo à definição de velocidade, observa-se também que:
d 1 v1

.
d 2 v2
Figura 5 - Relação entre as grandezas L1, L2, v1 e v2 num alavanca de classe 3. (Adap. de P.
Davidovits, 2001).
Destas últimas relações facilmente se conclui que a relação das amplitudes dos
movimentos e a relação das velocidades é inversamente proporcional à amplificação
mecânica. O que implica que, em situações para as quais d1 seja maior do que d2
(como é o caso das alavancas de classe 3), a amplitude do movimento do ponto de
aplicação do peso é maior do que a do ponto de aplicação da força e, além disso, o
movimento nesse ponto é mais rápido, o que pode significar uma enorme vantagem
em determinadas situações.
2.1 O braço como exemplo de alavanca
A título de exemplo discuta-se a aplicação dos conceitos introduzidos
anteriormente ao que se passa quando se eleva um objecto numa mão, através da
acção dos músculos do braço. Como se poderá observar da figura 6 esta situação é
representável por uma alavanca da classe 3.
Figura 6 - Esquemas do que se passa em termos de forças quando um indivíduo iça um peso com
umas das mãos, como representado em a). (Adap. de P. Davidovits, 2001).
5
Na figura 6 b) poder-se-á observar as variáveis importantes na discussão deste
sistema. Nela encontram-se representados a distância da articulação óssea (que
funciona como fulcro) ao ponto de ligação com o músculo (onde está aplicada a força
muscular), o comprimento total do antebraço (que dá informação sobre o ponto de
aplicação do peso do objecto) e do braço que, conjuntamente com o conhecimento do
ângulo entre o braço e o antebraço, permitem a determinação do ângulo θ,
representado na figura 6 c). De facto, por considerações trignométricasi é possível
mostrar que o ângulo θ tem, nas condições descritas na figura 6, o valor 72.7º.

Assim, as incógnitas do problema são: a força realizada pelo músculo, Fm , a

força aplicada na articulação, Fa e o ângulo formado pela direcção da força na
articulação e o antebraço, . Apliquem-se, então, os conhecimentos apresentados
anteriormente, à situação em que o corpo içado tem um peso designado genericamente
por P. Antes de mais, a soma das forças terá que ser igual a zero:

F
i
i



 
 0  Fm  Fa  P  0 .
Ou, considerando, separadamente, as componentes segundo x e segundo y:
Fm cos   Fa cos 
.
Fm sen  Fa sen  P
equação 6
Para além destas equações, é necessário acrescentar a expressão que resulta da soma
dos momentos das forças ter, também, que ser nula (equação 3). Atendendo a que, em

relação ao fulcro, é possível considerar duas forças com momentos opostos ( Fm , que
seria responsável por uma rotação segundo o sentido contrário ao dos ponteiros do

relógio e P , que seria responsável por uma rotação no sentido dos ponteiros do
relógio) é possível escrever, para que haja equilíbrio:
Fm bsen  Pdsen 90º  Fm 
40 P
Fm 
 10.5 P
4  sen 72.6º 
Pd
bsen 
.
As distâncias b e d são as representadas na figura 6 c).
Através dos cálculos fica, então, claro que a força muscular realizada pelo
bíceps necessária para levantar um objecto na mão é cerca de 10 vezes superior ao
peso desse objecto.
Retomando as equações 6, podemos, agora, calcular a força aplicada na
articulação e a direcção dessa força:
10.5P cos 72.6 º   Fa cos 


10.5Psen 72.6º   Fa sen  P
3.14 P  Fa cos 
 ... 

9.02 P  Fa sen
Fa  9.6 P
.

   70.0º
Repare-se, ainda, que nestes cálculos não foi tido em atenção o peso do braço,
que, obviamente, em análises mais detalhadas, terá que ser considerado.
6
2.2 As costas como exemplo de alavanca
Tal como o movimento do antebraço pode ser analisado aproximando-o ao de
uma alavanca, também muitos outros movimentos apoiados nos músculos
esqueléticos aceitam a mesma abordagem. Nesta secção considerar-se-á o que se passa
em termos de forças aplicadas quando um indivíduo se inclina, como mostra a figura
7.
Figura 7 - Esquema do que se passa em termos de forças quando um indivíduo se inclina. (Adap.
de P. Davidovits, 2001).
Neste caso, considera-se que o fulcro da alavanca se encontra localizado na

quinta vértebra lombar. As forças aplicadas são: P1 , peso do tronco que, embora esteja
uniformemente distribuído pelas costas, se pode considerar aplicado no centro de

massa das mesmas (ponto E), ou seja, aproximadamente a meio; P2 , o peso da cabeça
e dos membros anteriores, que está fundamentalmente aplicado no extremo das costas

(ponto B); Fm , a força exercida pelo músculo erector espinal, que se encontra ligado à
coluna vertebral a cerca de dois terços a partir da região mais posterior (representado

pelo ponto D) e F f , a força aplicada sobre o fulcro (ponto A). A partir de medidas
médias é possível assumir que, para uma inclinação de 30º da coluna vertebral (ver
figura 7 b) ) o ângulo entre o músculo e a coluna vertebral é de 12º. Além disso, para
um homem com massa de 70 kg o peso do tronco é tipicamente 320 N e o peso da
cabeça e dos braços é de aproximadamente 160 N.
Similarmente ao exemplo anterior, comece-se por aplicar a expressão do
equilíbrio das forças (equação 1), já subdividida nas suas componentes segundo x e
segundo y.
Fm sen72º  F f cos 
P1  P2  Fm cos 72º  F f sen
.
equação 7
7
Em seguida, aplique-se a expressão referente aos momentos das forças,
considerando d o comprimento das costas:
d
2d
1
2
sen60º  Fm
sen12 º  P1sen60º  P2 sen60º  Fm sen12º
2
3
2
3
.
1
2
160  sen60º 320   sen60º  Fm sen12º  277  0.14 Fm  Fm  1998N
2
3
P1 dsen60º  P2
Retomando as equações 6 e substituindo o valor da força muscular, obtém-se o
valor das restantes variáveis:
1998sen72º  F f cos 


320  160  1998 cos 72º  F f sen 
1900  F f cos 
,

1097  F f sen
dividindo uma equação por outra é possível encontrar o ângulo :
tg 
1097
   30.0º .
1900
e, por fim, substituindo numa das equações, encontra-se o valor da força exercida no
fulcro:
F f  2193N .
Note-se que estes valores são obtidos apenas quando o indivíduo permanece
na posição indicada. Valores superiores para as forças seriam obtidos se o indivíduo
estivesse a segurar num peso suplementar.
3. Elasticidade e Compressão
Uma parte significativa da Mecânica aplicada ao corpo humano diz respeito ao
efeito que as forças têm no movimento do corpo. No entanto, a aplicação de forças
não provoca apenas movimentos, mas pode ser responsável por deformações nos
tecidos: esticando-os, comprimindo-os, dobrando-os ou torcendo-os. Esta área tem
particular interesse uma vez que, se até determinados valores das forças aplicadas, o
corpo tem capacidade de regressar ao estado inicial (a esta propriedade dá-se o nome
de elasticidade), noutras ocasiões, para valores superiores das forças, a deformação
provocada no corpo não é recuperável ou, em casos limites, pode haver ruptura dos
tecidos.
3.1 Distensão e compressão de corpos por acção de uma força
Como já se referiu, os corpos possuem a propriedade de, quando sujeitos a
forças suficientemente pequenas, sofrerem deformações temporárias, regressando à
situação inicial logo que a força cessa. Nesta secção serão abordados alguns conceitos
úteis na descrição deste tipo de fenómeno e também o comportamento dos tecidos
quando sujeitos a forças de maior intensidade que causam danos permanentes e/ou
ruptura. Por simplicidade, iremos apenas referir as deformações associadas à distensão
e compressão de corpos, deixando de parte a análise das deformações por dobragem
ou torção.
8
Comece-se por definir pressão (que poderá ser de compressão ou de distensão,
consoante tenda a diminuir ou aumentar as dimensões do corpo em que está aplicada).
A pressão, P, a que um corpo fica sujeito é definida como a força aplicada a esse
corpo, F, por unidade de área da secção transversal, A (ver figura 8):
P
F
.
A
equação 8
Figura
8
- a)
b)
Deformação
provocada num corpo (representado a cinzento) por acção de forças: a) de distensão e b) de
compressão.
Pode ainda definir-se deformação de um corpo como a razão entre a variação
do seu comprimento, Δl, (que, note-se, pode ser no sentido de aumentar ou diminuir a
sua dimensão) e o seu comprimento, l:

l
.
l
equação 9
Um dado importante no estudo dos efeitos mecânicos provocados num corpo
sujeito a pressões quer de compressão, quer de distensão, é a relação existente entre a
pressão e a deformação, que é geralmente encontrada experimentalmente e é
característica do material em estudo. Na figura 9 a) encontra-se esquematizado esse
comportamento num gráfico que representa a pressão em função da deformação, para
um material dúctil2. Nesse gráfico, são estabelecidos quatro pontos: até ao ponto A a
deformação varia linearmente com a pressão exercida; entre o ponto A e o ponto B o
material, embora sofra uma deformação que ainda é reversível, esta deixa de ser
linearmente proporcional à pressão; entre o ponto B e o ponto C a deformação cresce
muito rapidamente com a pressão e as deformações passam a ser permanentes,
embora, geralmente, não degradem de forma significativa o desempenho do material;
entre o ponto C e o ponto D, as deformações são já muito significativas e no ponto D
(à ordenada do ponto D dá-se o nome de pressão de ruptura) ocorre ruptura do
material. Enquanto que nos materiais dúcteis os pontos C e D se encontram afastados,
nos materiais quebradiços estes dois pontos encontram-se muito juntos, como é, por
exemplo, o tecido ósseo (figura 9 b)). Deve ainda chamar-se a atenção para a
existência de fenómenos de fatiga, ou seja, se o ponto C for frequentemente atingido é
observável um desvio deste ponto para a esquerda, com o consequente desvio do
ponto de ruptura, pelo que o material quebrará mais facilmente, mesmo quando
sujeito a pressões de valores pouco elevados.
2
Um material diz-se dúctil quando é maleável, ou seja, quando é facilmente transformado em fio.
9
a)
b)
Figura 9 - a) Comportamento de um metal dúctil - gráfico da pressão em função da deformação:
até A a deformação varia linearmente com a pressão aplicada, entre A e B a deformação ainda é
reversível, entre B e C as deformações passam a ser permanentes e no ponto D ocorre ruptura do
material. Em b) encontra-se representado um gráfico semelhante, mas referente ao
comportamento de tecido ósseo. É de notar que sendo o osso um material quebradiço o ponto D
encontra-se praticamente sobreposto ao ponto C. Além disso, atendendo a que os pontos A, B e C
correspondem a compressões de igual intensidade às distensões representadas por A, B e C,
verifica-se que o osso se comporta de forma muito distinta quando as forças a que é sujeito são de
compressão ou de distensão. (Adapt. de Kane e Sternheim, 1988).
Pelo facto de a deformação entre a origem dos eixos e o ponto B ser apenas
temporária, considera-se que o material tem, nesta gama, um comportamento elástico.
Além disso, a análise dos gráficos da figura 9 sugere que até ao ponto A o corpo possa
ser caracterizado pelo declive da recta que representa a razão entre a tensão e a
deformação, e ao qual se dá o nome de módulo de Young, Y:
Y
P
.

equação 10
É de notar também que, para cada material, existem dois módulos de Young,
um respeitante às pressões de compressão, outro às pressões de distensão.
3.2 Elasticidade dos tecidos biológicos
De entre os tecidos biológicos, podemos distinguir os tecidos ósseos e os
tecidos moles, os quais têm, como veremos, comportamentos muito distintos no que
respeita à sua elasticidade.
Ao analisar a composição dos tecidos ósseos verifica-se que estes são
maioritariamente constituídos por minerais (70%) e por proteínas (20%), sendo estes
dois componentes os principais responsáveis pelas propriedades elásticas dos ossos. É
interessante observar que estes dois materiais têm comportamentos muito distintos
quando sujeitos a forças de distensão e de compressão. Observe-se o gráfico da figura
10 e a tabela 1, onde está apresentada a dependência da deformação com as pressões
de compressão e de distensão, os módulos de Young e as pressões de ruptura dos
ossos e das suas componentes mineral e proteica.
10
Módulo de Young
(1010 N m-2)
Compressão
osso compacto
componente mineral
componente proteica
1.02
0.64
<0.001
Distensão
osso compacto
componente mineral
componente proteica
2.24
1.66
0.02
Tabela 1 - Módulo de Young do tecido ósseo e das suas componentes em separado, quer para
forças de compressão, quer de distensão. (Adapt. J.B. Marion e W.F. Hornyak, 1985).
tensão
Osso compacto
Componente mineral
Componente proteica
deformação
Figura 10 - Gráfico qualitativo sobre a dependência da deformação sofrida por tecido ósseo
compacto e pelas suas componentes em separado. O lado direito do gráfico corresponde a tensões
de distensão, enquanto que no lado esquerdo está representado o comportamento associado a
tensões de compressão. (Adapt. J.B. Marion e W.F. Hornyak, 1985).
Comece-se por analisar o que se passa ao nível da compressão. Enquanto que a
componente proteica praticamente não oferece resistência a forças de compressão (o
seu reduzido módulo de Young significa que mesmo para pressões muito pequenas a
deformação é muito elevada), a componente mineral oferece maior resistência. Além
disso, enquanto que a componente proteica sofre deformações permanentes quando
sujeita a pressões muito pequenas, a componente mineral apresenta uma pressão de
ruptura mais elevada. O mesmo tipo de comportamento se observa no que respeita a
pressões de distensão, sendo, no entanto, notória uma maior resistência à deformação
tanto na componente proteica, como na mineral, quando comparada com a resistência
oferecida às pressões de compressão. Curioso é verificar-se que as propriedades do
osso no que se refere à resistência a forças de compressão e de distensão, vêm
notoriamente reforçadas, quando as comparamos com as das suas componentes
maioritárias, como se pode comprovar pela análise quer dos seus módulos de Young,
quer pelas suas pressões de ruptura.
11
Quanto aos tecidos moles, facilmente se prevê um comportamento muito
distinto do observado nos ossos no que concerne à sua elasticidade. Na verdade, na
constituição dos tecidos moles encontram-se moléculas extremamente extensíveis, às
quais denominamos elastómeros. Estas moléculas são caracterizadas por
estabelecerem ligações cruzadas que permitem uma conformação mais compacta
quando sujeitas a forças de compressão (ver figura 11 a) ) ou apresentarem-se quase
paralelas umas às outras quando lhes são aplicadas forças de distensão (ver figura 11
b) ). Deste modo, os tecidos moles apresentam módulos de Young que são 4 a 5
ordens de grandeza menores do que os dos ossos3 e, enquanto os ossos apenas
suportam deformações na ordem de 1% do seu comprimento, os tecidos moles
apresentam deformações que podem ser duas a três vezes as suas dimensões, sem
atingir o ponto de ruptura.
Figura 11 - Representação das moléculas constituintes dos tecidos moles responsáveis pela sua
elastecidade: a) quando se encontram comprimidas, b) quando se encontram distendidas. (Adapt.
de J.B. Marion e W.F. Hornyak, 1985).
Forças impulsivas e ruptura dos tecidos ósseos
Como vimos no capítulo anterior, os tecidos biológicos podem ser
caracterizados pela sua elasticidade e pela sua tensão de ruptura que depende,
simultaneamente, da força e da área sobre a qual a mesma é aplicada. Nesta secção
ir-se-á discutir os efeitos de forças que são aplicadas em períodos muito curtos de
tempo e como estes se relacionam com a tensão de ruptura dos tecidos ósseos.
Facilmente se aceita que, durante uma colisão, os corpos ficam sujeitos a
forças geralmente intensas de muito pequena duração - forças impulsivas. Embora o
valor da força em cada instante seja difícil de determinar, facilmente se relaciona o
valor médio da força com a variação da quantidade de movimento, através do teorema
do impulso4:
3.3
I  p  Fmed t  mv f  mvi  Fmed 
mv f  mvi
t
,
equação 11
onde: I - impulso da força aplicada ao corpo;
Δp - variação do momento linear do corpo;
Fmed - força média aplicada ao corpo;
Δt - período durante o qual a força está a ser aplicada;
m - massa do corpo;
vf e vi - velocidades inicial e final do corpo.
3
Os Módulos de Young dos elastómeros são tipicamente na gama entre 105 a 106 N m-2.
Repare-se que, embora a abordagem aqui seja unidireccional, ou seja, assume-se que o movimento é
realizado apenas numa direcção, esta expressão tem, no seu formato mais geral, carácter vectorial, visto
que as grandezas, impulso, momento linear, força e velocidade são grandezas vectoriais.
4
12
Analisando a expressão anterior, facilmente se verifica que, para a mesma
variação de quantidade de movimento, a força média aplicada é muito dependente do
intervalo de tempo. Por este motivo, os efeitos de uma queda são tão distintos quando
a recepção ao solo é feita sobre um material duro (que reduz o intervalo de tempo) ou
num material mole (onde o intervalo de tempo de aplicação da força é
consideravelmente aumentado). A mesma justificação é válida quando se trata de
compreender que os efeitos de uma queda em que o indivíduo flicta as pernas, ao
contactar o chão, sejam muito menores do que quando a queda ocorre sobre os
membros esticados. A chegada ao chão demora, no primeiro caso, significativamente
mais.
Para ilustrar estes conceitos analise-se qual a altura máxima a que um
indivíduo se pode atirar sem que haja ruptura dos ossos das pernas. Para tanto, será,
obviamente, necessário fazer-se algumas aproximações. O tempo estimado de colisão,
Δt, de uma queda num chão de cimento, quando o indivíduo cai com as pernas juntas
não flectidas é de 10-2 s. Além disso, como já foi referido na secção anterior, a pressão
máxima de ruptura dos tecidos ósseos, P, é de 108 N m-2. Se assumirmos ainda que a
queda é totalmente suportada nos calcanhares, então a área, A, sobre a qual a força é
aplicada, é de aproximadamente 2 cm2. E, por fim, considera-se a massa do indivíduo
de 70 kg.
Comece-se por recordar que a velocidade, v, de chegada ao solo a partir de
uma altura h é dada pela expressão:
v  2 gh ,
equação 12
onde g é a aceleração da gravidade. Como, após a queda, a velocidade final do corpo é
nula, a variação do seu momento linear é:
p  mv  m 2 gh ,
e, portanto:
Fmed
2
m 2 gh
p
 PAt  1 .

 PA 
h

t
t
 m  2g
Substituindo valores:
2
 108  2  10 4 10 2 
1

h  
 0.416 m  41.6 cm
70

 2  9.8
É claro que este valor poderá ser drasticamente alterado se as condições forem
outras, pelo que este valor tem apenas carácter indicativo. O tempo da colisão, por
exemplo, poderá ser aumentado para 8 vezes se o indivíduo flectir as pernas, o que
alterará significativamente o resultado. E mesmo a área de impacto é bastante
variável, dependendo do chão e do tipo de queda.
13
i
Num triângulo qualquer de lados a, b e c e ângulos α, β e γ, como mostra a figura:
c
α
b
β
a
γ
Cumprem-se as relações, conhecidas pela Lei dos Cossenos:
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  c 2  a 2  2ca cos 
c 2  b 2  a 2  2ba cos 
Seja a, por exemplo, o comprimento do braço (30 cm), b a distância entre a articulação e o ponto de
contacto do músculo (4 cm) e γ o ângulo entre o braço e o antebraço, usando a 3ª relação, obtém-se, c,
o comprimento do músculo na posição indicada:
c  b 2  a 2  2ba cos   4 2  30 2  2  4  30  cos 100º  30.95 cm .
Em seguida, com base neste resultado, é possível encontrar o ângulo α, que corresponde ao ângulo θ da
figura 6, ou seja, o ângulo formado pelo antebraço e o músculo, através da 1ª relação:
 b2  c 2  a2
b2  c 2  a2
a  b  c  2bc cos   cos  
   arcos 
2bc
2bc

2
2
2
 4 2  30.952  30 2
  arcos
 2  4  30.95

  72.7º




.
14