Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO BI E TRIDIMENSIONAL
81. Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue
remar (relativamente à água) é de 3,0 km/h. O rio desce à velocidade de 2,0 km/h. A velocidade
com que o homem caminha em terra é de 5,0 km/h. (a) Ache o trajeto (combinando andar e
remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no
menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta?
(Pág. 70)
Solução.
(a) O trajeto procurado é definido pelo ângulo θ que o remador deve adotar para direcionar o barco
durante a travessia, de forma que a soma dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o
menor possível. Logo, a solução deste item consiste em construir uma função matemática t1 + t2 =
f(θ) e, em seguida, achar o valor de θ onde t1 + t2 tem seu valor mínimo, ou seja, d(t1 + t2)/dθ = 0.
Considere o seguinte esquema para a situação:
v
C
t2 ,d2
B
vA
t1 ,d1
y
l
vHA
θ
vH
φ
x
A
A velocidade do homem em relação à água (vHA) deve fazer um ângulo θ em relação à margem. A
velocidade da água (vA) fará com que o barco percorra a trajetória retilínea AB, que faz um ângulo
φ em relação à margem. O trajeto AB mede d1 e será percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto
B, o homem irá caminhando até C num tempo t2 através de uma distância d2. Seja o esquema
vetorial de velocidades:
vA
vHA
vH
De acordo com o esquema acima:
v H = v A + v HA
(1)
v A = va i
(2)
Mas:
=
v HA vHA cos θ i + vHA sen θ j
(3)
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 4 – Movimento Bi e Tridimensional
Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1):
vH =
(va + vHA cos θ )i + vHA sen θ j
Movimento do ponto A ao ponto B:
r = r0 + vt
r B = r A + v H t1
Considerando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto A, temos:
rB = d 2 i + l j
Logo:
d 2 i + l j =0 + [(v A + vHA cos θ )i + vHA sen θ j]t1
(4)
A equação (4) somente é verdadeira se e somente se:
d=
(v A + vHA cos θ )t1
2
e
l = vHA sen θ t1
(5)
Logo, de acordo com (10):
l
t1 =
vHA sen θ
Mas, de acordo com o esquema principal acima:
l
d2 =
tan φ
(6)
Também podemos dizer que:
v H = v Hx i + v Hy j
Onde:
tan φ =
v Hy
v Hx
=
v HA sen θ
(v A + v HA cosθ )
(7)
Substituindo-se (7) em (6):
d2 =
l (v A + v HA cosθ )
v HA sen θ
(8)
Movimento de B até C:
x = x0 + v x t
0 = d 2 − vt 2
d2
v
Substituindo-se (8) em (9):
t2 =
t2 =
(9)
l (v A + v HA cosθ )
vv HA sen θ
Agora podemos construir a função t1 + t2 = f(θ):
t1 + t 2 =
l (v + v HA cosθ )
l
+ A
v HA sen θ
vv HA sen θ
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Cap. 4 – Movimento Bi e Tridimensional
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t1 + t 2 =
l (v + v A + v HA cosθ )
vv HA sen θ
(10)
O mínimo da função (10) agora pode ser encontrado.
l [(−vHA ) sen 2 θ − (v + v A + vHA cos θ ) cos θ ]
=
0
vvHA
sen 2 θ
d (t1 + t2 )
dθ
(11)
A equação (11) somente é verdadeira se:
− v HA sen 2 θ − (v + v A + v HA cosθ ) cosθ = 0
Logo:
− v HA (sen 2 θ + cos 2 θ ) = (v + v A ) cosθ
cosθ = −
v HA
v + vA
v HA 

 v + vA 

θ = cos −1  −


(3,0 km)
 = 115,3769 o
 [(5,0 km) + (2,0 km)] 
θ = cos −1  −
θ ≈ 115 o
(b) Da equação (10):
(0,500 km)[(5, 0 km/h) + (2, 0 km/h) + (3, 0 km/h) cos115,3769
 o)
t1 + t2 =
(5, 0 km/h)(3, 0 km/h) sen115,3769
o
t1 + t 2 = 0,2108 h
t1 + t 2 ≈ 0,21 h
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Cap. 4 – Movimento Bi e Tridimensional
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