Aula 04: Cinemática: Caso geral de movimento no espaço.
Caso Geral de movimento no espaço
Vamos agora considerar o caso geral de movimento de uma partícula p
movendo-se com relação a um sólido que está em movimento com relação a um
sistema de coordenadas fixo, como mostra a Fig. 8.
Designaremos o sistema de coordenadas fixo por letras maiúsculas XYZ e
vamos fixar um sistema de eixos, xyz, no corpo em movimento, denominando-o,
portanto, de eixos do corpo. Então, o movimento do sólido é composto pelo
movimento da origem dos eixos do corpo, xyz, (translação da origem) e da rotacão,
ω , do sistema xyz, fixo no sólido, ambas, translação e rotação, tomadas em relação a
XYZ. Em geral, o vetor ω pode variar tanto em módulo quanto em direção. Logo, o
movimento geral de uma partícula p, em relação ao sistema XYZ, será igual ao
movimento da partícula em relação aos eixos do corpo (ou ao corpo, como queiram)
mais o movimento do ponto coincidente (ponto do corpo que coincide
momentaneamente com o ponto p) que, em suma, é resultado da translação da origem
&.
móvel mais o movimento do ponto coincidente devido as rotações ω e ω
Para vislumbrar o movimento, suponha que o movimento da partícula p em
relação ao sólido esteja ao longo da curva s, fixa no corpo. Então, esta curva é
também fixa com relação aos eixos do corpo, xyz. Um observador sentado no corpo
veria somente o movimento de p ao longo de s.
Fig. 8 - Caso geral de movimento no espaço em termos dos eixos do corpo, xyz, e
eixos inerciais XYZ.
Suponha que a posição de p relativa aos eixos x, y e z seja representada pelo
vetor
r = xi + yj + zk ,
(29)
onde i, j e k são os vetores unitários ao longo de x, y e z, respectivamente. Esses
vetores (versores) devem ser tratados como variáveis porque suas direções variam.
Derivando a Equação (29) obtém-se
9
dj
dk 
 di
r& = [x&i + y& j + z&k ] +  x + y + z
,
dt
dt 
 dt
(30)
Dado que di / dt = ω × i , dj / dt = ω × j e dk / dt = ω × k , a Equação (30) pode ser reescrita como
r& = [x&i + y& j + z&k ] + ω × ( xi + yj + zk )
= [r& ] + ω × r .
(31)
A Equação (31) pode ser interpretada da seguinte forma: o primeiro termo,
[r& ] , representa a diferenciação mantendo i, j e k constantes. É, então, a velocidade de
p em relação aos eixos rotativos x, y e z, ou, a velocidade que um observador,
estacionado sobre os eixos x, y e z, é capaz de detectar quando a partícula se move ao
longo da curva s. O segundo termo, ω × r , é a velocidade do ponto coincidente em
relação a origem, devido a rotação ω . Finalmente, devemos adicionar, à velocidade
dada pela Equação (31), a velocidade da origem móvel, v O , para obter a velocidade
absoluta de p, ou
v = v O + [r& ] + ω × r .
(32)
Para determinar a aceleração partimos da velocidade r& dada pela Equação
(31), relativa ao sistema móvel, e diferenciamos uma vez mais
&r& = [&x&i + &y&j + &z&k ] + ω × ( x&i + y& j + z&k ) + ω
& × ( xi + yj + zk )
+ ω × [x&i + y& j + z&k ] + ω × ω × ( xi + yj + zk ) .
(33)
Os dois primeiros termos da Equação (33) resultam da diferenciação do
primeiro termo da Equação (31), [x&i + y& j + z&k ] , enquanto a diferenciação do segundo
termo, ω × ( xi + yj + zk ) , fornece os três termos restantes da Equação (33). Podemos
agrupar os termos ficando
&r& = [a ] + ω × ω × r + ω
& × r + 2ω × [v ] ,
(34)
onde [v ] = [r& ] = [x&i + y& j + z&k ] e [a] = [&x&i + &y&j + &z&k ] são a velocidade e aceleração de p
em relação aos eixos do corpo.
Agora podemos adicionar a aceleração a O da origem para obter a aceleração
total, ou seja,
& × r + 2ω × [v ] .
a = a O + [a] + ω × ω × r + ω
(35)
& × r são as acelerações do ponto coincidente e
Os termos ω × ω × r e ω
2ω × [v ] é a aceleração de Coriolis que é direcionada normal ao plano contendo os
vetores ω e [v ] , dado pela regra da mão direita. O termo ω × ω × r é chamado de
aceleração centrípeta e aponta para o eixo instantâneo de rotação.
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As Equações vetoriais (32) e (35) são as definições mais compactas para o
caso geral de movimento no espaço. Todos os casos especiais são deduzidos
diretamente dessas fórmulas.
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