5. Ondas Estacionárias
1 O que são ondas estacionárias?
Comecemos por pensar numa onda progressiva,
y1 = A sin(kx − ωt),
(1)
que se propaga num dado meio e que encontra uma parede, sendo reectida. A
onda reectida,
y2 ,
vai na direcção oposta, e por isso escreve-se
y2 = A sin(kx + ωt).
(2)
Note-se que ao passar de uma equação para outra o que se fez foi trocar o sinal
de
ω,
que passou a
−ω ,
pois a velocidade é
v = ω/k
e tem sentidos opostos nos
dois casos.
Estas duas ondas vão coexistir no mesmo meio e portanto vão sobrepôr-se.
Pelo princípio da sobreposição sabemos que a onda total é
y = y1 + y2 = A sin(kx − ωt) + A sin(kx + ωt).
Se usarmos o facto de que
sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a,
y = A(sin kx cos ωt − sin ωt cos kx) +
+ A(sin kx cos ωt + sin ωt cos kx) =
= 2A sin kx cos ωt
(3)
temos
(4)
O que quer dizer esta expressão? Deixou de ser uma onda progressiva, porque
o factor conjunto
kx−ωt desapareceu.
Uma forma de tentar perceber a expressão
é fazermos um gráco história ou fotograa. É isso que está feito na gura 1.
A gura 1 apresenta várias fotograas sobrepostas (tiradas nos instantes t=0,
t=T/12, t=T/6, t=T/4, t=T/3, t=5T/12 e t=T/2).
Vericamos que para qualquer destes instantes a sobreposição das duas ondas
(incidente e reectida) dá origem a um padrão estacionário.
Em particular, reconhecemos a existência de pontos para os quais não há
vibração - são os nodos.
Por outro lado existem pontos onde se dá a amplitude máxima de vibração são os antinodos. A gura 2 ilustra este ponto.
1
Figura 1: Uma onda estacionária.
Figura 2: Nodos e antinodos.
2
É muito fácil prever a posição dos nodos e antinodos. Uma vez que y =
2A sin kx cos ωt, os antinodos são dados pela condição de que o seno seja máximo.
Temos então
kx =
Como
k = 2π/λ,
π 3π 5π
, , ,...
2 2 2
(5)
temos que as posições dos antinodos são dadas por
x=
λ 3λ 5λ
, , ,...,
4 4 4
(6)
ou seja, de uma forma geral a posição dos antinodos é dada por
x=
nλ
, n = 1, 3, 5, 7 . . . .
4
(7)
Quanto às posições dos nodos, são dadas pela condição de que o seno seja
nulo. Temos então
kx = 0, π, 2π, 3π, . . .
De novo, como
k = 2π/λ,
(8)
temos que as posições dos nodos são dadas por
x=
λ
3λ
, λ, , 2λ, . . . ,
2
2
(9)
ou seja, de uma forma geral a posição dos nodos é dada por
x=
•
nλ
, n = 0, 1, 2, 3, 4 . . . .
2
A distância entre dois antinodos sucessivos é
λ/2,
(10)
ou seja, metade do com-
primento de onda.
•
A distância entre dois nodos sucessivos também é
λ/2,
ou seja, metade do
comprimento de onda.
•
A distância entre um nodo e um antinodos adjacentes é
λ/4,
ou seja, um
quarto do comprimento de onda.
2 Outra forma de ver as ondas estacionárias
Vamos agora tentar perceber a formação de ondas estacionárias sem recorrer a
matemática, mas relembrando o que já aprendemos sobre reexão de ondas.
A gura 3 mostra o que acontece quando uma onda chega a uma parede e é
reectida.
Quando a onda é reectida, ela é (neste caso) também invertida. O que quer
isto dizer? Consideremos a linha tracejada como o nível de referência da onda.
3
Figura 3: Outra vez uma onda estacionária (retirado do site de Hyperphysics.
Ver em http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html#hph ).
Se a onda continuasse a sua evolução natural depois da reexão ela continuaria
para os valores negativos (já que antes da reexão está nos positivos, acima da
linha de referência). No entanto, como se dá a inversão de fase, a onda volta para
trás, de novo pelos valores positivos.
As duas ondas agora vão sobrepor-se e interferir construtivamente, dando
origem à onda estacionária.
Note-se, a este propósito que a amplitude máxima da onda estacionária é
2A
[ver (4)], precisamente o dobro da amplitude das ondas incidente e reectida. Isto
tem precisamente a ver com o facto de que as ondas interferem construtivamente
e a amplitude resultante é maior do que as amplitudes individuais.
3 Ondas estacionárias em cordas xas nas duas
extremidades
Consideremos uma corda xa nas duas extremidades. Podemos aplicar à vibração
da corda o que já aprendemos sobre ondas estacionárias: se uma onda incidir
inicialmente numa das extremidades, ela será reectida e a sobreposição das duas
ondas forma um padrão estacionário, com nodos e antinodos.
No caso de uma corda com as duas extremidades xas, no entanto, sabemos
de antemão que as duas extremidades vão ser nodos, pois por estarem xas não
podem vibrar.
Assim, as possibilidaes para o padrão estacionário de vibração são os que se
apresentam a seguir, na gura 4.
Da gura vemos que a vibração mais simples tem apenas um antinodo. Se for
4
Figura 4: Harmónicas da vibração de uma corda.
L
o comprimento da corda, vemos que
L
é metade do comprimento de onda da
vibração:
L=
λ
.
2
(11)
No caso do segundo modo de vibração vemos que
L
corresponde exactamente a
um comprimento de onda:
L = λ.
No terceiro modo de vibração temos que em
(12)
L
cabe um comprimento de onda e
ainda sobra outro meio comprimento de onda:
3
L = λ.
2
(13)
É fácil de perceber que a generalização deste resultado é
L=
n
λ,
2
n = 1, 2, 3, 4 . . .
(14)
Este resultado quer dizer que apenas alguns modos de vibração estacionária são
permitidos numa corda com as extremidades xas. Esses modos de vibração têm
necessariamente comprimentos de onda da forma
λn =
isto é, submúltiplos de 2L.
2L
,
n
n = 1, 2, 3, 4 . . .
(15)
Dito de outra forma, uma corda com as exttremi-
dades xas pode vibrar apenas com vibrações que tenham comprimento de onda
submúltiplo de
2L.
5
Podemos ainda traduzir este resultado em termos de frequência. Lembrando
que
f = v/λ e que a velocidade de propagação da onda não depende da frequência,
temos que
fn = n
v
2L
é a frequência do n-ésimo modo de vibração. A
(16)
f1 = v/2L chamamos a frequên-
cia fundamental. Às outras frequências chamamos harmónicas, Por exemplo,
f2 = 2f1 = v/L
é a segunda harmónica. O conjunto das harmónicas e da fre-
quência fundamental constitui uma série harmónica.
4 Ondas estacionárias em colunas de ar
Podem criar-se ondas estacionárias em colunas de ar exactamente da mesma
forma que nas cordas.
O princípio é o mesmo:
a onda incidente é reectida,
a onda reectida interfere construtivamente com a onda incidente e forma-se o
padrão da onda estacionária.
No caso da corda temos a oscilação da própria corda. No caso das colunas de
ar temos o movimento oscilatório das partículas, a que correspondem ondas de
deslocamento e pressão, como vimos no último capítulo.
Podemos partir da analogia com as cordas para perceber o que se passa com
as colunas de ar. No caso das cordas concluímos que as extremidades têm de ser
nodos porque estão xas. No caso das colunas de ar temos dois casos distintos,
ilustrados na gura seguinte: as colunas de ar abertas nas duas extremidades e
as colunas de ar fechadas numa das extremidades.
Figura 5: Colunas de ar abertas e fechadas.
Vejamos então o que podemos dizer sobre as duas extremidades diferentes:
•
extremidade fechada
Se pensarmos em termos das ondas de deslocamento das partículas compreendemos que a extremidade fechada tem de ser um nodo.
6
Porquê?
Porque as moléculas junto à parede não podem oscilar (batem na parede,
não é?).
Portanto o deslocamento das moléculas encostadas à parede é
mesmo zero. Temos de ter então um nodo junto à parede. A extremidade
fechada comporta-se portanto como a extremidade xa de uma corda.
•
extremidade aberta
Neste caso é melhor começar por pensar em termos de ondas de pressão. A
extremidade aberta deve ser um nodo para as ondas de pressão. Porquê?
Porque a extremidade da coluna está à pressão atmosférica, e a pressão
atmosférica é constante, não se altera. Portanto a amplitude de variação
da onda de pressão na extremidade da coluna deve ser nula temos um
1
nodo na onda de pressão .
Lembremo-nos agora que as ondas de deslocamento e pressão estas des-
o
fazadas de 90
(ver gura 7 do capítulo anterior), o que quer dizer que
quando a onda de pressão está np máximo a onda de deslocamento está em
zero, e vice-versa. Isto quer dizer que um nodo da onda de pressão (amplitude de oscilação nula) quer dizer um antinodo da onda de deslocamento
(amplitude de oscilação máxima).
Portanto, enquanto uma extremidade
fechada origina um nodo (da onda de deslocamento), uma extremidade
aberta origina um antinodo (da onda de deslocamento).
O resumo desta análise está feito gracamente na gura 6
Figura 6: Nodos e antinodos da onda de deslocamento em colunas de ar.
Vejamos então quais as ondas que se podem formar nas colunas de ar.
1 Na
realidada não é exactamente assim.
A pressão não se reduz à pressão atmosférica
imediatamente à saída da coluna, mas um pouco depois. Isto quer dizer que podemos descrever
a coluna através de um comprimento efectivo, maior do que o real. No entanto o essencial da
física das ondas estacionárias em colunas de ar consegue-se perceber através da descrição mais
simples que vamos seguir, que assume que o nodo da onda de pressão se situa exactamente na
extremidade aberta
7
4.1
Colunas fechadas numa das extremidades
Comecemos pelas colunas fechadas numa das extremidades. A onda estacionária
mais simples tem um nodo na extermidade fechada e um antinodo na extremidade
aberta, tal como ilustrado na gura 7
Figura 7: Modo fundamental numa coluna com uma extremidade fechada.
Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por apenas quarto de
onda , pois de um mínimo a um máximo vai apenas um quarto de onda. Então,
pare o modo fundamental temos
L=
λ1
⇒ λ1 = 4L.
4
(17)
v
v
=
.
λ1
4L
(18)
Quanto à frequência, ela vale
f1 =
O segundo modo está ilustrado na gura seguinte. Tem mais um nodo e um
antinodo no meio.
a
Figura 8: Segundo modo numa coluna com uma extremidade fechada (3
har-
mónica).
Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por três quartos de
onda , pois mínimo
→ máximo → mínimo → máximo é o percurso correspondente
a três quartos de um ciclo. Então, para o segundo modo temos
L=
3λ3
4
⇒ λ3 = L.
4
3
(19)
f3 =
v
3v
=
= 3f1 .
λ3
4L
(20)
Quanto à frequência, ela vale
8
A última igualdade permire compreender porque é que se usou o subscripto 3 e
não 2: porque efectivamente a frequência do segundo modo é tripla do modo fundamental. Portanto podemos dizer que não há 2
a
harmónica, há só 3
a
harmónica.
Exempliquemos ainda o terceiro modo, a que, como veremos, corresponde a
quinta harmónica. O terceiro modo está ilustrado na gura seguinte:
Figura 9:
a
Terceio modo numa coluna com uma extremidade fechada (5
har-
mónica).
Tem três nodos e três antinodos e corresponde a um período e ainda mais um
quarto de período, ou seja, a 5/4 de período. Tem-se então, naturalmente
5
4
L = λ5 ⇒ λ 5 =
4
5
e
f5 =
(21)
v
5v
=
= 5f1 ,
λ5
4L
(22)
o que mostra que realmemte se trata da quinta harmónica.
Podemos agora fazer a generalização. A gura seguinte mostra globalmente os
primeiros cinco modos de vibração de uma coluna com uma extremidade fechada.
Figura 10: Os primeiros 5 modos numa coluna com uma extremidade fechada
(Note-se que a notação da gura é diferente da notação do texto.
usou-se
λ1 , λ3 , λ5 , . . .,
a que na gura correspondem
9
λ1 , λ2 , λ3 , . . .).
No texto
O comprimento de onda do n-ésimo modo é
λ2n−1 =
4L
, n = 1, 2, 3, 4, . . .
2n − 1
(23)
e a frequência que lhe corresponde é
f2n−1 =
Os valores de
v
λ2n−1
=
(2n − 1)v
= (2n − 1)f1 , n = 1, 2, 3, 4 . . . .
4L
2n−1 correspondem aos ímpares.
(24)
Assim, concluímos que numa col-
una de ar com uma extremidade fechada são possíveis apenas modos de vibração
correspondentes a harmónicas ímpares da frequência fundamental.
4.2
Colunas abertas nas duas extremidades
Vejamos agora o que acontece com as colunas abertas nas duas extremidades.
De acordo com o que vimos atrás temos de ter um antinodo em cada uma das
extremidades.
Assim, o modo mais simples é o que está ilustrado na gura
seguinte:
Figura 11: Modo fundamental numa coluna com as extremidades fechadas.
Temos apenas um nodo no meio da coluna, o suciente para poder passar
de um nodo a outro. Neste caso o comprimento da coluna corresponde a meio
comprimento de onda, pois meio comprimento de onda é o que vai de um máximo
a outro. Temos então
λ1
⇒ λ1 = 2L
2
v
v
f1 =
=
.
λ1
2L
L=
e
(25)
(26)
Vejamos agora o segundo modo, que está ilustrado na gura seguinte.
a
Figura 12: Segundo modo numa coluna com uma extremidade fechada (2
mónica).
10
har-
Este modo tem dois nodos. Vemos que em geral o n-ésimo modo há-de ter n
nodos. Neste caso o comprimento da coluna corresponde a um comprimento de
onda, pois um comprimento de onda é o que vai entre dois máximos sucessivos.
Temos então
L = λ2 ⇒ λ2 = L =
e
f2 =
2L
2
v
v
2v
= =
= 2f1 .
λ2
L
2L
(27)
(28)
O segundo modo corresponde realmente à segunda harmónica.
Podemos agora fazer uma generalização, como no caso da coluna com uma
extremidade fechada.
A gura seguinte mostra globalmente os primeiros cinco
modos de vibração de uma coluna com as extremidades abertas.
Figura 13: Os primeiros 5 modos numa coluna com as extremidades abertas.
O comprimento de onda do n-ésimo modo é
λn =
2L
, n = 1, 2, 3, 4, . . .
n
(29)
e a frequência que lhe corresponde é
fn =
v
nv
=
= nf1 , n = 1, 2, 3, 4 . . . .
λn
2L
(30)
Assim, concluímos que numa coluna de ar com as duas extremidadea abertas são
possíveis todos os modos de vibração correspondentes às harmónicas da frequência
fundamental.
5 Resumo dos modos
A tabela nal apresenta o resumo dos três modos estudados: em cordas e em
colunas
11
Meio
corda
coluna de ar fechada numa extremidade
coluna de ar aberta nas duas extremidades
fn
v
n 2L
v
(2n − 1) 4L
v
n 2L
Tabela 1: Resumo dos três modos
As expressões para uma corda e uma coluna aberta nas duas extremidades
são iguais porque as condições aos extremos são, nos dois casos, do mesmo tipo.
No caso da corda devemos ter nodos aos extremos; no caso da coluna aberta nas
duas extremidades devemos ter dois antinodos. Mas copmo nodos e antinodos
estão separados da mesma distância, a peridicidade que daí advém é igual. Por
isso a expressão geral de
fn
é igual nos dois casos.
12