Estudo de um reactor de acoplamento inductivo com um
sistema de feixe iónico:
Modelização e caracterização experimental
José António Jorge Barbosa Cerejeira da Cruz
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Física Tecnológica
Júri
Presidente: Prof.
Orientador: Prof. Luís Paulo da Mota Capitão Lemos Alves
Orientador: Prof. Susana Isabel Pinheiro Cardoso de Freitas
Vogais:
Outubro 2007
Agradecimentos
1
2
Resumo
Neste trabalho será modelado o canhão de assistência da Nordiko-3000. Esta modelação será distribuída por dois módulos de cálculo. No primeiro será calculada a distribuição de campos eletromagnéticos de rádio-frequência e a potência acoplada ao plasma. No segundo módulo, usando a
distribuição de campos calculada no primeiro e o campo de carga espaço, calculado de forma autoconsistente, serão calculadas as distribuições de densidade e fluxo das espécies carregadas. ...
Palavras-chave:
ICP
3
4
Conteúdo
1 Introdução
12
1.1 O estado de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2 Os plasmas artificiais e a indústria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.1 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.2 As fontes de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3 O dominio das radiofrequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3 Descargas RF de acoplamento inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.1 Princípio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.2 Corpo do plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.3 As baínhas de carga do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4 Objectivos e contexto do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2 Dispositivo Experimental
2.1 Sistema de Ion Beam no INESC-MN
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.1 Canhões Iónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.1 Junções de efeito de túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3 Diagnósticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 Modelização do Dispositivo
3.1 Introdução
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.1 Modelização de Descargas em Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.2 Modelos fluído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.3 Estrutura modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2 Módulo Electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.2 Equação do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.3 Potência acoplada ao plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.4 Condições fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.5 Esquema de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.6 Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.3 Módulo de transporte de partículas carregadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.3.2 Equações de transporte para os electrões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
47
3.3.3 Equações de transporte para os iões
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3.4 Parâmetros de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3.5 Equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3.6 Condições Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.3.7 Esquema de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.8 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4 Caracterização Experimental do Plasma
59
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2 Caracterização do Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.3 Deposição de Filmes Finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3.1 Influência das condições de plasma na taxa de deposição . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3.2 Influência das condições de deposição na cristalização de MgO . . . . . . . . . .
66
5 Comentários Finais
69
A Discretização das equações do módulo electromagnético
72
A.1 Grelha numérica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Discretização da equação de campo eléctrico Eθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
A.3 Discretização da condição fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
A.2
B Discretização das equações do módulo de transporte de partículas carregadas
B.1 Equações de continuidade
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
B.2 Resolução das equações de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
B.3 Coeficientes de transporte electrónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
C Equação de Poisson
81
6
Lista de Tabelas
1.1 Bandas radiofrequências mais utilizadas nos processos de plasma . . . . . . . . . . . . .
15
3.1 Potência acoplada ao plasma em função da corrente RF aplicada à antena . . . . . . . .
45
4.1 Condições de trabalho do canhão de assistência. Os valores entre parentesis são os
valores de setpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2 Condições do neutralizador do canhão de assistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.3 Condições de trabalho do canhão de assistência. Os valores entre parentesis são os
valores de setpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4 Condições de trabalho do canhão de assistência usadas para o feixe 1 da figura 4.9. . . .
66
4.5 Condições de trabalho do canhão de assistência usadas para o feixe 2 da figura 4.9. . . .
66
7
8
Lista de Figuras
1.1 Classificação dos plasmas artificiais e naturais num diagrama de densidade-temperatura
[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2 Estrutura de uma descarga ICP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3 Perfis de densidades electrónica e iónica num reactor ICP, onde se nota a separação de
carga nas baínhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1 Interior da câmara da N3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2 Interior da câmara da N3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3 figura ou esquema de um ICP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4 Esquema do reactor ICP com canhão iónico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5 Sistema de extracção iónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6 Exterior da assist gun - grelhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.7 Exterior da assist gun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.8 Esquema dos processos típicos para fabricar um filme com estruturas micrométricas. . .
23
2.9 Efeito de túnel através de uma camada fina. Onda de electrões através de uma barreira de túnel. A onda propaga-se aproximando-se da barreira pela esquerda. Quando o
potencial da barreira é superior ao do electrão, a onda dentro da barreira torna-se evanescente e a sua amplitude decresce exponencialmente através da barreira. Se a barreira
for suficientemente fina a onda evanescente não desaparece totalmente e reaparece do
outro lado da barreira e continua a sua propagação. [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.10 Esquema de uma MTJ em que se pode ver as magnetizações M1 e M2 dos dois electrodos. 26
2.11 TMR de uma junção de efeito de túnel depositado na N3600. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.12 Imagem SEM de um junção de efeito de túnel CoFeB/MgO/CoFeB [9]. . . . . . . . . .
27
2.13 Derivação da equação de Bragg 2dsinθ = nλ, em que d é os espaço entre planos atómicos e 2πn é a diferença de fase entre refleções de planos sucessivos. . . . . . . . . . . .
29
2.14 Difraktometer D5000 da Siemens. (a) Vista geral. (b) Pormenor a zona de difracção. A
amostra é colocada no suporte do centro da figura e a radiação é enviada e lida pelos
dois braços laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.15 Gráfico de um pico de cristalização de MgO na estrutura (002). . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1 Esquema do canhão de assistência da Nordiko 3000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.3 Esquema de metade do canhão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4 Esquema de cálculo do módulo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5 Gráfico da distribuição de densidade electrónica obtida no módulo de transporte. . . . . .
39
3.2 Antena RF
9
3.6 Gráfico da distribuição de campo eléctrico Eθ em V /cm para uma corrente aplicada de
1.2A e para uma densidade de 1.9 × 1011 cm−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.7 Gráfico da distribuição de campo magnético Br (esquerda) e Bz (direita) em T eslapara
uma corrente aplicada de 1.2A e para uma densidade de 1.9 × 1011 cm−3 . . . . . . . . . .
40
3.8 Gráficos do campo electromagnético para as correntes de 1, 1.5, 2 e 4A. . . . . . . . . .
41
3.9 Gráfico do campo electromagnético em z para as correntes de 1, 2, 3 e 4A e para a
posição radial do quarto anel da espira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.10 Gráfico do campo electromagnético máximo em função da corrente da antena rf. . . . . .
42
10
3.11 Gráficos do campo electromagnético para as densidades elecrónicas de 0 (vácuo), 10 cm
11
1.9 × 10 cm
−3
11
e 5.0 × 10 cm
−3
−3
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
43
3.12 Gráfico do campo electromagnético em z para as densidades elecrónicas de 0 (vácuo),
1010 cm−3 , 1.9 × 1011 cm−3 e 5.0 × 1011 cm−3 e para a posição radial do quarto anel da espira. 44
3.13 Gráfico da potência acoplada ao plasma em função da corrente RF aplicada à antena I=1-10A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.14 Esquema de cálculo do módulo de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.15 Gráfico da distribuição de densidade electrónica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.17 Gráfico da distribuição de potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.16 Gráfico da distribuição de densidade iónica.
3.18 Gráfico da distribuição de campos eléctricos de carga de espaço: (a) campo radial Er ,
(b) campo axialEz .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.19 (a) Gráfico da distribuição de eléctrico de carga de espaço radial para z = 0.5H; (a)
Gráfico da distribuição de eléctrico de carga de espaço axial para r = 0.
. . . . . . . . .
56
3.20 Gráfico da distribuição de energia electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.21 Gráfico da distribuição de fluxos electrónicos: (a) radial Γe,r e (b) azimutal Γe,z . . . . . . .
57
3.22 Gráfico da distribuição de fluxos iónicos: (a) radial Γp,r e (b) azimutal Γp,z .
. . . . . . . .
58
3.23 Gráfico da distribuição de fluxo electrónico azimutal Γcross . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.24 Perfil radial de Γz,p − Γz,e na grelha de extracção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.1 Corrente I + em função da tensão V + para diferentes potências (60, 65, 70, 75, 80 e 90W )
59
4.2 Corrente I
+
+
em função da potencia para diferentes tensões aplicadas (V /V
−
= 100/ −
100V , 200/ − 100V , 300/ − 100V , 400/ − 100V , 500/ − 100V ) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Corrente I
+
em função do fluxo de argon, para a potência de 60W . . . . . . . . . . . . .
+
4.4 Potência de feixe I (V
+
(V /V
−
+
60
60
−
− V ) em função da potência para diferentes tensões aplicadas
= 100/ − 100V , 200/ − 100V , 300/ − 100V , 400/ − 100V , 500/ − 100V ) . . . . .
61
4.5 Taxa de deposição em função da tensão V + , para um fluxo de 6sccm e apra potências
de 60, 65 e 70W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
+
4.6 Taxa de deposição em função da tensão V , para um fluxo de 8sccm e apra potências
de 60, 65 e 70W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
+
4.7 Taxa de deposição em função da corrente I , para um fluxo de 6sccm e apra potências
de 60, 65 e 70W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
+
4.8 Taxa de deposição em função da corrente I , para um fluxo de 8sccm e apra potências
de 60, 65 e 70W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.9 Espaço de fases do canhão de assitência. As linhas a azul são as de perfil de feixe igual
e as linhas vermelhas são as de potência de feixe igual. Os quadrados representam as
condições usadas para a deposição assistida de MgO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
64
4.10 Taxa de deposição em função da potência de feixe, para o perfil 1 da figura 4.9. . . . . .
65
4.11 Taxa de deposição em função da potência de feixe, para o perfil 2 da figura 4.9. . . . . .
65
4.12 Perfil de difracção raio-X de uma amostra depositada sem o canhão de asistência. . . . .
66
4.13 Perfil de difracção raio-X de uma amostra depositada com o canhão de asistência, para
uma potência de 65W , tensões V + = 150 e V − = −100V e um fluxo de 7sccm de Ar. . .
◦
+
4.14 Intensidade dos picos de raio-X (CP S/A ) em função da potência do feixe (I (V
+
67
−
− V )). 67
4.15 Percentagem do numero de picos de cristalização em função da tensão na grelha V + ,
mantendo a grelha V − a um potencial de −100V .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Capítulo 1
Introdução
1.1
O estado de plasma
Foi o físico inglês Sir William Crooks em 1879 que, ao estudar as propriedades particulares dos gases
rarefeitos excitados por descargas eléctricas em tubos de vidro, sugeriu a existência de um quarto
estado da matéria para explicar os fenómones observados
1
. Nesta época este estado não era ainda
designado pela palavra plasma. É ao químico americano, Irving Langmuir (Prémio Nobel de Química
1932) a trabalhar na General Electric, a quem se deve a utilização em 1928 da palavra plasma [1] para
descrever os gases ionizados em descargas eléctricas. Irving Langmuir juntamente com o seu colega
Levy Tonks, observou que essas descargas, brilhavam e ondulavam como uma substância gelatinosa, e
o modo como elas transportavam os seus constituintes (electrões, iões...) fizeram-lhe lembrar Langmuir
o transporte de células pelo plasma sanguíneo. O termo plasma provém do grego “substância modular”
, nome dado pelo fisiologista checo Johannes Purkinje (1787-1869) ao líquido amarelado no qual estão
suspensas as células do sangue (glóbulos vermelhos, brancos e plaquetas).
Em física, um plasma é um gás parcial ou totalmente ionizado, constituído por um conjunto electricamente neutro de electrões, iões, átomos e moléculas. Define-se o grau de ionização de um plasma
por α =
ni
ni +ng
com ni a densidade de espécies carregadas positivamente e ng a densidade do gás.
Este coeficiente varia entre 10−6 para os plasmas muito fracamente ionizados e 1 para os plasmas
totalmente ionizados. Fala-se de plasma quando as partículas carregadas têm um comportamento
colectivo. É preciso para isso que elas sejam em número suficiente, de maneira a que o movimento
de cada uma seja afectado pelo campo eléctrico criado pelas suas patículas vizinhas. Embora o ar
à pressão atmosférica esteja parcialmente ionizado (devido à radiação cósmica ou à radioactividade
natural da terra), o ar não é um plasma porque a densidade das partículas carregadas é de tal modo
fraco que se podem considerar como isoladas umas em relação às outras.
No universo, 99% da matéria encontra-se sob a forma de plasma, desde um espaço interestelar
muito difuso até ao interior mais denso das estrelas. Mas à superfície da Terra os plasmas naturais
(auroras boreais, luminescência eléctrica devido a trovoadas,...) são raros.
Os diversos tipos de plasmas podem ser classificados segundo a sua densidade e temperatura
electrónicas uma vez esses dois parâmetros determinam, em grande parte, as suas propriedades. Os
plasmas clássicos cobrem uma larga gama de densidades electrónicas, entre 1 a mais de 1025 electrões
por centímetro cúbico, para temperaturas electrónicas que vão de algumas centenas de electrões-volts
(1 eV ≡ 11600 K) a mais de 1 MeV (1.16 × 1010 K).
1 Designa-se
por estado de plasma o quarto estado da matéria, depois dos estados sólido, líquido e gasoso.
12
O diagrama da figura 1.1 recapitula os diferentes tipos de plasmas, classificados segundo a sua
densidade electrónica ( em cm−3 ) e a sua temperatura (em eV).
Figura 1.1: Classificação dos plasmas artificiais e naturais num diagrama de densidade-temperatura
[2].
Distinguem-se igualmente os plasmas em equilíbrio termodinâmico e fora do equilíbrio. Nos plasmas
em equilíbrio termodinâmico, as temperaturas das espécies neutras, iónicas e electrónicas são iguais.
Nos plasmas fora do equilíbrio, as temperaturas das diversas espécies são diferentes. Em geral os
electrões têm uma temperatura elevada (alguns eV), enquanto que os iões e os neutros mantêm-se a
temperaturas relativamente baixas (proximas da temperatura ambiente).
1.2
1.2.1
Os plasmas artificiais e a indústria
Classificação
Os plasmas artificiais são actualmente utilizados num grande número de aplicações e de procedimentos
industriais porque permitem obter reacções quer em fase gasosa, quer em superfícies que seriam
dificilmente realizáveis através de outros processos. A utilização dos processos assistidos por plasma
representa actualmente um mercado de vários milhares de euros em crescimento regular.
Para passar ao estado de plasma, é preciso fornecer ao gás uma quantidade de energia suficiente
para ionizar os seus átomos e moléculas. A produção de energia pode ser feita sob forma térmica
13
(aquecimento), luminosa (laser) ou eléctrica (por aplicação de um campo eléctrico).
Entre os plasmas artificiais podemos distinguir três categorias:
• Os plasmas quentes estudados no quadro de aplicações civis de produção de energia por fusão
termonuclear (por exemplo, fusão por confinamento magnético nos tokamaks), de aplicações militares de modo a reproduzir as explosões termonucleares (fusão por confinamento inercial), ou
como fonte intensa de radiação X (Z-pinch). Eles são totalmente ionizados (α = 1) e as espécies
carregadas estão a temperaturas muito elevadas da ordem dos MeV.
• Os plasmas térmicos, tipicamente produzidos a alta pressão (à pressão atmosférica) em equilíbrio termodinâmico (temperaturas da ordem do electrão-volt). Os seus principais domínios de
aplicação são a metalurgia (soldadura e corte por tocha de plasma), o revestimento de superfícies por projecção térmica, o tratamento de resíduos por tocha de plasma ou a iluminação de forte
intensidade (lâmpada eléctrica de arco).
• Os plasmas frios, fora do equilíbrio termodinâmico, para os quais a temperatura electrónica é da
ordem de alguns electrões-volt (por oposição aos plasmas quentes), e em que os iões e as espécies neutras estão à temperatura ambiente. Estes plasmas são fracamente ionizados (α ' 10−6 )
e podem existir tanto a alta como a baixa pressão. Nestas últimas condições têm numerosas aplicações em procedimentos para o tratamento de superfícies (polimerização, implantação iónica,
depósito, gravura seca,...), em procedimentos de fabricação em microelectrónica (circuitos integrados, memórias, microprocessadores) e no fabrico dos ecrans planos, dos painéis solares ou
dos transistores
2
. Enfim, os plasmas frios são igualmente utilizados em iluminação (lâmpadas
e tubos fluorescentes, anúncios luminosos), e em despoluição (fabricação de ozono a partir do
oxigénio do ar, tratamento de efluentes gasosos).
Os plasmas estudados no âmbito desta tese são os plasmas frios a baixa pressão (da ordem dos
10
−4
Torr ) fora do equilíbrio, com uma temperatura electrónica típica de alguns eV para uma densidade
electrónica de cerca de 1011
1.2.2
As fontes de plasma
Os plasmas são constituidos por cargas eléctricas em movimento num gás. Um meio cómodo para os
criar artificialmente é através de aceleração de electrões mediante a aplicação de um campo eléctrico
num gás a baixa pressão, de modo a dar-lhes a energia suficiente para que eles possam ionizar os
átomos ou moléculas neutros.
Existem em numerosas fontes de plasma [3] [4] a baixa pressão, que se destinguem pelo método de
aplicação do campo eléctrico e pela frequência RF de excitação que vai do contínuo até ao domínio das
micro-ondas. Na lista que segue, apresentam-se os reactores a plasma mais correntes indicamdo-se a
frequência RF geralmente utilizada por cada uma das fontes:
• descarga DC de corrente contínua (contínuo ou 50Hz);
• descarga RF de acoplamento capacitivo (designado pela sigla CCP – capacitively coupled plasma
13, 56 MHz);
• descarga RF de acoplamento indutivo (designado pela sigla ICP – inductively coupled plasma
13, 56 MHz);
2 Designa-se
por vezes estas tecnologias pelo termo macroelectrónica.
14
• reactor helicon (13, 56 MHz);
• descarga ECR de ressonância ciclotrónica electrónica (2, 45 GHz);
• descarga micro-ondas de cavidade ressonante (2, 45 GHz);
• descarga micro-ondas de onda de superfície (2, 45 GHz).
De entre todos estes reactores, distinguem-se os denominados de “baixa densidade” e os de “alta
densidade”, consoante permitem produzir plasmas cujas densidades electrónicas são inferiores ou superiores a 1010 cm−3 , respectivamente. As descargas DC e as descargas capacitivas estão geralmente
assiciadas a reactores de baixa densidade. Os restantes são reactores de alta densidade [5].
1.2.3
O dominio das radiofrequências
O dominio do espectro electromagnético das radiofrequências (RF) é muito vasto (0 − 300 GHz) e
está subdividido em 10 bandas. As três bandas RF mais utilizadas no processamento a plasma estão
indicadas na tabela 1.1.
frequências
3 − 30 MHz
30 − 300 MHz
300 MHz − 3 GHz
λ0
10 − 100 m
1 − 10 m
10 cm − 1 m
nome
alta frequência (HF)
muito alta frequência (VHF)
ultra alta frequência (UHF)
Tabela 1.1: Bandas radiofrequências mais utilizadas nos processos de plasma
Neste contínuo de frequências, as mais utilizadas nos processos plasmas são 13.56 MHz (HF ) e
2.45 GHz no domínio das micro-ondas. Trata-se de frequências ditas ISM (Industrial, Scientific and
Medical frequencies), que podem ser utilizadas livremente (gratuitamente e sem necessidade de autorização) para aplicações industriais, científicas e médicas. Como estas frequências estão situadas
em bandas autorizadas para as telecomunicações a largura de banda e a intensidade de emissão dos
sinais devem ser inferiores a certos limites. A situação das bandas ISM no espectro RF não é uniformemente regrada no mundo e varia segundo o país. A lista (não exaustiva) das frequências ISM entre
3 MHz e 3 GHz é a seguinte:
• 6.78 MHz ± 15 kHz
• 13.56 MHz ± 7 kHz
• 27.12 MHz ± 163 kHz
• 40.68 MHz ± 20 kHz
• 434 MHz ± 900 kHz
• 869 MHz ± 1 MHz
• 915 MHz ± 13 MHz
• 2.45 GHz ± 50 MHz
15
1.3
1.3.1
Descargas RF de acoplamento inductivo
Princípio
As descargas de acoplamento inductivo (ICP, Inductively Coupled Plasma) são assim chamadas porque
o campo eléctrico RF é induzido no plasma por uma antena exterior. Os reactores ICP têm a grande
vantagem de não ter eléctrodos internos (contrariamente aos reactores de acoplamento capacitivo), o
que faz com que sejam reactores bastante utilizados.
Na sua forma mais simples, um reactor ICP é formado por numa antena de uma ou mais voltas
arrefecida a água, enrolada em torno de um cilindro cerâmico onde se forma o plasma. A antena cria
um campo magnético RF dentro da câmara, que gera um campo eléctrico de indução dado pela lei de
Faraday: ∇ × E = −dB/dt.
O campo magnético é perpendicular à antena e o campo eléctrico é paralelo, no caso de a antena
ser totalmente planar. Se o eixo do reactor estiver orientado segundo direcção z das coordenadas
cilíndricas, então o campo eléctrico terá a direcção azimutal. Este tipo de reactor é uma fonte de alta
densidade, que produz densidades electrónicas na ordem de 1010 − 1012 cm−3 [6].
Figura 1.2: Estrutura de uma descarga ICP
1.3.2
Corpo do plasma
O plasma é constituído por um conjunto de cargas, iões e electrões, que se movimental de modo
aleatório segundo todas as direcções.
Supondo que os electrões e os iões têm
q uma distribuição de velocidades maxwelliana, então as suas
velocidades médias são dadas por ve,i ∝
eTe,i
me,i ,
onde Te e Ti são as temperaturas electrónica e iónica e
me e mi as massas das duas partículas, respectivamente, e onde e é a carga elementar do electrão. As
densidades iónica ni e electrónica ne são praticamente iguais (devido à condição de quasineutralidade
ne ' ni ). No entanto, os electrões são mais móveis que os iões devido a terem uma inércia menor
(me <<mi ), pelo que a energia do campo RF é transferida preferencialmente para os electrões sob a
16
Figura 1.3: Perfis de densidades electrónica e iónica num reactor ICP, onde se nota a separação de
carga nas baínhas.
forma de energia cinética. Deste modo Te >>Ti (plasma de nao-equilíbrio) e consequentemente ve >>
vi .
1.3.3
As baínhas de carga do espaço
Na presença das paredes do reactor os electrões, muito rápidos, são rapidamente perdidos. A neutralidade eléctrica do corpo do plasma só é então mantida se o potencial médio do centro do plasma
for superior ao potencial da parede, a fim de reter os electrões. Forma-se assim uma interface plasmaparede (uma zona de carga de espaço positiva designada por baínha), na qual se estabelece um campo
eléctrico, dirigido para a parede, que confina os electrões e acelera os iões positivos para as superfícies. A neutralidade eléctrica só é violada nas baínhas, onde se encontra a maior parte da queda de
potencial entre o centro do plasma e as paredes.
1.4
Objectivos e contexto do trabalho
Pretende-se com este trabalho aquirir conhecimentos ao nível do plasma gerado num reactor ICP com
um sistema de feixe iónico. O trabalho será dividido em duas partes: uma experimental e outra de
simulação.
No trabalho experimental pretende-se caracterizar sistema o plasma-feixe iónico, utilizado para processos de deposição, gravura e oxidação. Será também estudada a influência dos parâmetros do
plasma no crescimento e na estrutura dos materiais.
O trabalho experimental será complementado com o desenvolvimento de um modelo numérico para
a descrição do plasma no interior do canhão. Devido à geometria do sistema, que apresenta uma simetria azimutal, o código a desenvolver será bidimensional. Pretende-se, com esta simulação, calcular a
distribuição do campo electromagnético de excitação, gerado por uma antena exterior, e as distribuições
das densidades e fluxos de partículas carregadas, da energia média e do potencial de plasma.
17
Capítulo 2
Dispositivo Experimental
2.1
Sistema de Ion Beam no INESC-MN
Um dos sistemas de Ion Beam do INESC-MN é a Nordiko Model 3000 Series Ion Beam. O sistema
é totalmente automatizado e está equipado com dois canhões iónicos de rádio-frequência (patente
Nordiko) (de deposição e de assistência/etch), uma mesa rotativa para substratos de seis polegadas e
seis alvos diferentes.
Figura 2.1: Interior da câmara da N3000
O sistema está montado numa configuração em “Z”(figura 2.2), em que os canhões, a mesa e o alvo
estão no mesmo plano. Na figura 2.1 pode-se ver o interior da máquina. Esta fotografia foi tirada por
ocasião de uma reparação. Pode-se ver a posição relativa dos canhões de deposição (direita em baixo)
e de assistência (esquerda em cima). Os alvos (esquerda em baixo) não estão na posição correcta,
visto que a porta está aberta e os suportes dos alvos estão aí seguros. É também possível ver a mesa
de suporte das bolachas (direita em cima), esta mesa é rotativa permitindo que durante o processo o
substrato rode de modo a eliminar problemas de uniformidade azimutais. A mesa também possui um
shuter que protege o susbtrato da incidência do feixe, quando este não apresenta as características
pretendidas.
18
Figura 2.2: Interior da câmara da N3000
A configuração em “Z”da máquina justifica-se pelos processos para os quais esta foi concebida. Em
frente à amostra encontra-se o canhão de assistência. Este canhão cria um feixe iónico (Ar ou Ar +
O2 ) dirigido para a amostra e que pode ser utilizado para gravura, deposição assistida e oxidação de
filmes (estes processos serão descritos mais à frente). Por baixo da amostra encontra-se o canhão de
deposição e que como o próprio nome indica tem a função de depositar filmes finos, gerando igualmente
um feixe de iões (Ar ou Xe). Este feixe embate no alvo que se encontra em frente ao canhão e que é
constituído pelo material a depositar. Os iões ao embaterem no alvo vão arrancar material deste, o qual
se vai dirigir para a amostra onde será depositado. Esta deposição pode ser auxiliada pelo canhão de
assistência quer para energizar a superfície (feixe de Ar) quer para oxidar o material depositado (feixe
de Ar − O2 ).
A IBD (Ion Beam Deposition) tem um software que permite o controlo da máquina. Este recebe a
instrução do utilizador e gera os sinais necessários para o controlo das válvulas, controladores de fluxo,
geradores de potência, etc. Não é necessário qualquer conhecimento de programação para iniciar uma
sequência de processo, pois o software é user friendly.
As condições de processo podem ser visualizadas numa janela do programa de controlo em tempo
real. Isto permite observar, durante o processo, a estabilidade das condições de plasma e também
monotorizar se a sequência de processos decorre como foi definida.
2.1.1
Canhões Iónicos
O sistema incorpora dois canhões iónicos (ICP) de rádio-frequência (Nordiko patent), ambos equipados
por um sistema de três grelhas aceleradoras.
A figura 2.4 mostra um esquema do reactor. O canhão pode ser separado em duas zonas distintas.
A zona fora da câmara de processamento que é constituida pela antena RF em espiral e pelo circuito
de acoplamento (condensadores e bobinas de capacidades e inductâncias variáveis de modo a que a
potência acoplada seja máxima e a potência reflectida seja mínima); e a zona de dentro da câmara de
processamento, que é o canhão propriamente dito, um cilindro metálico que na base junto à antena
tem uma janela dielétrica (transparente aos campos gerados na antena) e na outra base um sistema
de grelhas. As dimensões do canhão de assistência, que é o que vai ser modelado, são de 97.5mm de
19
Figura 2.3: figura ou esquema de um ICP
raio e 100mm de altura.
A janela dieléctrica é o que separa o interior do reactor do esterior e da antena RF, que está colocada
a uns milímetros desta. A janela tem que ser suficientemente resistente para suportar gradientes de
pressão elevados (∼ 10−7 T orr no interior e pressão atmosférica ∼ 760T orr no exterior). A janela de
cerâmica está colocada junto à antena visto que esta é transparente aos campos electromagnéticos
que esta produz. Assim os campos produzidos pela antena RF vão atravessar a janela induzindo
campos no interior do reactor criando e mantendo o plasma. A janela utilizada é de alumina - Al2 O3
branca com 5mm de espessura.
Na outra base do reactor encontram-se as grelhas de aceleração. A função destas grelhas é a
extracção de iões do plasma e posterior aceleração por forma a criar um feixe de iões. Note-se que
embora o reactor seja cilindrico, estão bem separadas as zonas de criação e de extracção iónica. O
plasma é criado junto à janela dieléctrica, onde os campos induzidos pela antena são elevados, no
extremo oposto do reactor onde os campos electromagnéticos já são residuais é colocado o sistema
de grelhas aceleradoras que extraem os iões criados junto à janela. Os iões criados junto à janela
espalham-se por todo o reactor por deriva e difusão. O sistema de extração é constituido por três
grelhas, a primeira grelha está ligada electricamente ao corpo do canhão, a segunda e terceira estão
isoladas da primeira e uma da outra. Este sistema de grelhas é usado para aceleração dos iões,
tipicamente para gravura, aplicam-se à primeira grelha um potencial de V + = 500V , à segunda V − =
−200V estando a terceira ligada à terra.
Note-se que como o plasma se polariza sempre positivamente em relação às suas fronteiras, se a
20
Figura 2.4: Esquema do reactor ICP com canhão iónico
primeira grelha e o corpo do cilindro estiverem a 500V (os dois estão ligados electricamente) o plasma
terá um potencial superior a 500V . Isto garante que de certeza vão haver iões a atravessar a primeira
grelha. Estando no espaço entre a primeira e a segunda grelhas os iões vão sentir um potencial de
V + − V − = 500V − (−200V ) = 700V e vão ser tremendamente acelerados em direcção à segunda
grelha. Entre a segunda e terceira grelhas os iões sofrem uma desaceleração, devido ao potencial
(entre grelhas) de −200V , que é inferior à aceleração que tinham ganho anteriormente. Assim, os iões
vão passar a última grelha com uma velocidade ainda elevada e a partir daqui as grelhas deixam de os
influenciar, visto que a última grelha tem um potencial nulo. Consegue-se assim criar um feixe de iões
em direcção ao alvo ou à amostra.
Figura 2.5: Sistema de extracção iónica
As três grelhas de extracção auto-alinhadas fornecem elevadas densidades de energia, contaminações mínimas, tempo de vida das grelhas máximo, estabilidade térmica e uniformidade máximas.
A razão da utilização de três grelhas em vez de duas, visto que se conseguiriam obter as mesmas
acelerações com um sistema de apenas duas grelhas , é estritamente devido à óptica dos iões. Existe
21
também no INESC uma máquina que em vez de usar um sistema de três grelhas usa um de quatro
grelhas para extracção iónica (uma polarizada positivamente, duas negativamente e a quarta ligada à
terra). A razão deste número de grelhas é também exclusivamente devido à óptica do feixe iónico.
Os canhões estão montados na câmara horizontalmente e são fabricados em aço inoxidável e arrefecidos a água. A figura 2.7 mostra o lado exterior da assist gun em que se podem ver as ligações da
água, gás e tensões.
Figura 2.6: Exterior da assist gun - grelhas
Figura 2.7: Exterior da assist gun
Na figura 3.2 pode-se ver o pormenor com a antena RF (só está visível porque se removeu a fonte
de rádio frequência). A antena é uma espiral plana de seis voltas e meia, com um raio de 52.5mm
na qual passa uma corrente de rádio-frequência a 13.56Hz. A antena é feita com um tubo de cobre
enrolado, no qual circula água para arrefecimento.
O reactor de facto não é constituído por um cilindro, mas por dois, um dentro do outro. O cilindro
interior está ligado à grelha V + , em “contacto”com o plasma, enquanto o cilindro exterior está ligado à
última grelha e à terra. Caso este cilindro não estivesse a envolver o primeiro, o corpo do reactor estaria
a um potencial semelhante ao da primeira grelha (de 0 a 500V ).
22
Entre os dois cilindros passa o cabo que liga à segunda grelha e estão colocados diversos magnetos para criar um campo de confinamento (400 − 800G), este campo é máximo junto às paredes caindo
para zero no centro. A introdução deste campo de confinamento permite o aumento da densidade
electrónica, visto que os electrões ficam mais confinados. Assim, é possível manter densidades electrónicas elevadas mesmo a pressões muito baixas. A pressão de trabalho típica destes reactores é de
10−4 T orr.
2.2
Aplicações
Figura 2.8: Esquema dos processos típicos para fabricar um filme com estruturas micrométricas.
Na fabricação de circuitos integrados, uma grande parte dos processos de fabricação é assistida a
plasma. A figura 2.8 mostra os passos típicos para fabricar um filme de metal com estruturas submicrométricas em substratos de 6 polegadas de diametro. Em (a) o filme é depositado; em (b) uma camada
de fotoresiste é depositada sobre o filme; em (c) o resiste é exposto selectivamente à luz consoante
a estrutura a fabricar; e em (d) o resiste é revelado, removendo as regiões expostas à luz e deixando
a máscara de fotoresiste. Em (e) a forma da máscara é transferida para o filme por um processo de
gravura; a máscara protege o filme, por baixo dela, de ser removido. Em (f), o resiste que sobra é
removido. Nestes seis processos, o processamento a plasma é normalmente usado para a deposição
do filme (a) e para a gravura (e), e pode ser também usado para o revelamento e remoção do resiste.
Deposição de filmes finos
A deposição de filmes finos é uma técnica para depósito de finas camadas de um material sobre um
substrato ou sobre camadas depositadas previamente. O termo “fino” é relativo, mas a maior parte das
técnicas permitem obter camadas com um controlo de espessura de algumas dezenas de nanometros
e algumas permitem a deposição de apenas algumas camadas atómicas.
23
Esta técnica é utilizada na industria principalmente na óptica (para revestimentos reflectores e antireflectores), e na electrónica (os circuitos integrados são fabricados utilizando esta técnica).
Deposição por feixe iónico
A deposição por feixe iónico é um processo em que se deposita um material com o auxilio de um
feixe iónico. O feixe é direccionado para um alvo do material que se quer depositar; os iões do feixe
ao embaterem no alvo vão arrancar os átomos deste que vão dirigir-se balisticamente para serem
depositados no substrato. Esta técnica permite depositar metais e isoladores, no entanto, para os
isoladores é necessário neutralizar o feixe de iões antes de este embater no alvo de modo a não ficar
carregado. A neutralização é feita direccionando um feixe de electrões, criado por um neutralizador,
para o feixe de iões.
Esta técnica permite depositar materiais a uma taxa de deposição razoável, com um bom controlo
de espessura e uma boa uniformidade em grandes áreas.
Gravura
A técnica de gravura (ecthing) é um processo em que se arranca o material do filme através de
um bombardeamento iónico. O feixe é direccionado para a amostra que ser quer gravar. A amostra
foi previamente coberta por um fotoresiste nas zonas que se querem proteger. Os iões do feixe ao
embaterem na amostra vão arrancar os átomos desta até o material ser removido. A utilização desta
técnica permite definir as estruturas dos circuitos integrados
Deposição assistida por feixe iónico
A deposição assistida por feixe iónico é uma técnica que combina uma técnica de deposição com um
bombardeamento do substrato com iões energéticos. Para além de permitir um controlo independente
de parâmetros como a energia iónica, temperatura e taxa de deposição, esta técnica é útil para criar
uma transição gradual entre o substrato e o filme depositado, e por depositar com menos tensões
internas do que com outras técnicas. Estas duas propriedades podem resultar em filmes com maior
aderência ao substrato. A experiência mostra que com esta técnica podem-se fazer crescer filmes
com determinadas estruturas atómicas. Por exemplo, para a deposição de MgO (óxido de magnésio)
em junções de efeito de túnel interessa que este cresça na estrutura 001 e para tal pode ser usada a
deposição assistida por feixe iónico.
Este conjunto de técnicas podem ser aplicadas na Nordiko 3000, para fabricar diversos circuitos. Os
dispositivos mais importantes produzidos são as junções de efeito de túnel.
2.2.1
Junções de efeito de túnel
As junções de efeito de túnel (MTJs, Magnetic Tunnel Junctions) aparecem num contexto de crescente
procura de maiores capacidades de armazenamento nos discos rígidos. A pesquisa avançada durante
a última década resultou no desenvolvimento nas junções baseadas em barreiras de AIOx e TiOx , que
exibem uma grande magnetoresistência à temperatura ambiente. Ao começar a sua comercialização
em várias aplicações, surgiu um novo tipo de junção de efeito de túnel com uma barreira de túnel
cristalina MgO, a qual demonstra uma magnetoresistência bastante mais elevada.
24
Princípio físico
Quando dois eléctrodos condutores são separados por uma fina camada dialéctrica com uma espessura
que varia de poucos angstroms a poucos nanómetros, os electrões podem passar por efeito de túnel
a camada dialéctrica que resulta em condução eléctrica. Como se pode ver na figura 2.9, o efeito de
túnel surge da onda natural de electrões, que resulta em condução eléctrica da junção pelo estado
evanescente da função de onda dentro da barreira de túnel.
A transmissão evanescente de electrões através da barreira de túnel provoca uma dependência
exponencial da corrente de túnel com a espessura da barreira, como nos é dado pela expressão de
Simmons [11].
I (V ) = f (tb )
V
φ−
2
e
√
− 1.025 φ− V2 tb
√
V
− 1.025 φ+ V2 tb
e
− φ+
2
(2.1)
Onde I é a corrente de túnel, φ e V são o potencial da barreira e a tensão de aplicada à barreira
em volts, respectivamente, e tb é a espessura da barreira em angstroms. Medindo a curva de I − V da
barreira de túnel e ajustando com a relação, φ e V podem ser obtidos simultaneamente.
Figura 2.9: Efeito de túnel através de uma camada fina. Onda de electrões através de uma barreira de
túnel. A onda propaga-se aproximando-se da barreira pela esquerda. Quando o potencial da barreira
é superior ao do electrão, a onda dentro da barreira torna-se evanescente e a sua amplitude decresce
exponencialmente através da barreira. Se a barreira for suficientemente fina a onda evanescente não
desaparece totalmente e reaparece do outro lado da barreira e continua a sua propagação. [9]
Nas junções de efeito de túnel os dois eléctrodos são materiais ferromagnécticos. Num material
ferromagnético a corrente eléctrica consiste em duas correntes parciais, cada uma com electrões spinup ou spin-down. No efeito de túnel o spin conserva-se e a conductância depende das magnetizações
M1 e M2 dos dois electrodos pararelas ou antiparalelas. A razão de magnetoresistência (TMR, tunneling
magnetoresistance) é definida como:
T M R ratio =
RAP − RP
.
RP
em que RAP e RP são as resistências os estados antiparalelos e paralelos, respectivamente.
25
(2.2)
Figura 2.10: Esquema de uma MTJ em que se pode ver as magnetizações M1 e M2 dos dois electrodos.
Figura 2.11: TMR de uma junção de efeito de túnel depositado na N3600.
Julliere [12] foi o primeiro a demonstrar experimentalmente o efeito da magnetorresistência, em
1975, medindo uma TMR de 14% na junção Fe/Ge/Co a 4K. Duas décadas depois, estudos experimentais descobrem que as MTJs com uma barreira de túnel amorfa AlOx exibem rácios TMR significativos à temperatura ambiente, com valores acima dos 15%, obtidos para junções de túnel Co/AlO x /Co
[13]. Na última década, a pesquisa aplicada sobre as barreiras de óxido de alumínio, permitiu um
crescimento estável do rácio TMR, pela descoberta de eléctrodos com factores de polarização de spin
mais elevados e melhorando a qualidade da barreira através da introdução de novos procedimentos
no processamento de materiais. Em 2004, foi atingido um rácio TMR de 70% ao ser usada uma
junção CoF eB/AlOx /CoF eB feita com a técnica de sputtering e uma composição de alvo CoF eB
de Co60 F e20 B20 .
Em 2001, uma série de cálculos teoricos previam rácios TMR extremamente altos para junções
de F e/M gO/F e. O estudo argumentava que uma coincidência das redes entre o plano bcc (001)
de F e e o plano (001) do M gO [14] [15], resulta numa dependência do spin dos estados evanescentes da barreira e os estados electrónicos nos electrodos do Fe. Consequentemente, o processo
de túnel poderia tornar-se altamente dependente do spin. A pesquisa em junções continuou até hoje,
com os resultados mais recentes a reportarem magnetoresistências acima dos 400%, em junções de
26
Co(001)/M gO(001)/Co(001).
MTJs com barreiras de camadas amorfas
Um dos maiores estudos aplicados sobre camadas amorfas de barreira de túnel é o óxido de alumínio
◦
devido à sua adaptação à formação de uma barreira fina (∼ 10A ) e densa, acampanhada pela sua
energia de ligação com o oxigénio relativamente elevada (> 3eV ). Usando diversas técnicas de deposição, tais como o sputtering e deposição por feixe iónico, a barreira de túnel pode formar-se através
do depósito de uma fina camada Al seguida de oxidação.
MTJs com barreira de camadas cristalinas MgO
Figura 2.12: Imagem SEM de um junção de efeito de túnel CoFeB/MgO/CoFeB [9].
Como referido anteriormente, alcançar uma elevada magnetoresistência com junções de MgO requer a correcta orientação cristalina dos eléctrodos ferromagnéticos, os quais podem ser bcc Co, bcc
27
F e ou uma liga dos dois, a coincidência das redes nas interfaces entre os eléctrodos e a barreira de
túnel. Contudo, mostrou-se difícil o crescimento bcc Co ou bcc F e com textura (001) directamente pela
deposição sem um substrato de um cristal único ( o seu uso limitaria imenso as aplicações comerciais).
O desenvolvimento das junções de túnel CoF eB/M gO/CoF eB pela Anelva [16] fornece uma solução
prática para ultrapassar esta dificuldade. Nesta técnica, são depositadas as multicamadas (CoF e)80 B20
/M gO/(CoF e)80 B20 usando uma técnica de deposição convencional. Num conteúdo de B 20%, a camada de filme (CoF e)80 B20 as-deposited (como depositada, sem o annealing) é amorfa. Uma fina
camada de M gO que tenha crescido no cimo de uma camada amorfa (CoF e)80 B20 pode prontamente
atingir uma textura bem-orientada (001). Fazendo o annealing a uma temperatura de ∼ 360o C induz-se
a cristalização da duas camadas de (CoF e)80 B20 , que ocorre nas duas interfaces M gO (figura 2.12).
Usando este método, conseguem-se atingir magnetoresistências bem acima dos 350%.
Uma das aplicações comerciais das MTJs são as cabeças de leitura de discos rígidos [17]. Em
Setembro de 2004, a Seagate Technology lançou o seu primeiro produto deste género com cabeças
de leitura feitas de M T Js − T iOx (Momentus II; 120 GB, 2.5” drive). Rapidamente, outras empresas
de componentes de discos rígidos começaram a comercializar as suas próprias cabeças de leitura com
junções. Hoje em dia, já existem muitos productos com cabeças de leitura com AlOx ou T iOx .
Outra aplicação tecnológica importante é o uso das MTJs como elementos de memória em MRAMs
(magnetoresistive random access memory) [18]. Num computador, as memórias que directamente
fornecem os bits de dados ao microprocessador são aparelhos semicondutores conhecidos por SRAM
(static random access memory) e DRAM (dynamic random access memory). São rápidos mas precisam
de energia para manter os bits armazenados. Quando se desliga o PC a informação armazenada na
memória dos aparelhos desaparece. A única memória de arquivo num computador actualmente é o
disco rígido. O seu tempo de acesso, contudo, é seis vezes mais lento que o SRAM. Um novo tipo
de memória, baseado no efeito magnetoresistivo e denominado de MRAM, foi desenvolvido durante a
última década. A MRAM é capaz de ter velocidades como a SRAM, a densidade da DRAM e é não
volátil como os discos rígidos. A MRAM pode ser a memória ideal e tem o potencial de substituir os
dispositivos actuais.
A pesquisa em junções de efeito de túnel e o seu desenvolvimento, fez progressos substanciais
na última década, alimentada pelas duas importantes correntes aplicações comerciais: cabeças de
leitura de discos rígidos e MRAMs. Este progresso permitiu rápidos avanços tecnológicos em ambas
as aplicações. Com a pesquisa avançada e o esforço de desenvolvimento que se está a presenciar,
provavelmente em breve ocorrerá a introdução de junções de MgO em produtos comerciais. À medida que a tecnologia das MTJs se torne mais madura, pode-se esperar a comercialização de mais
aplicações num futuro próximo.
2.3
Diagnósticos
Os únicos diagnósticos directos que se tem sobre o plasma são os fornecidos pelo sofware que controla
a máquina. É possível visualizar em tempo real o valor da potência acoplada e tensões aplicadas às
grelhas, tal como o fluxo de gás. Estes valores são impostos pelo utilizador. Para além destes dados é
ainda possível medir a pressão de trabalho na câmara, e as correntes nas duas primeiras grelhas (V +
e V − ). Estes dois últimos valores são importantes para o diagnóstico do feixe. Ao valor da corrente
na grelha polarizada positivamente V + dá-se o nome de “corrente de feixe ”, e é com esta corrente
que se classifica o feixe relativamente à sua intensidade, os valores típicos são de algumas dezenas
28
de miliamperes. O valor da corrente da segunda grelha é o que “mede”a focagem do feixe. Se o feixe
estiver bem “focado”o valor da corrente será baixo ∼ 1mA, caso o feixe esteja “desfocado ”este valor
será maior, podendo nalguns casos assemelhar-se ao valor da primeira grelha. Procura-se trabalhar
em condições em que o feixe esteja focado.
Os diagnósticos directos são complementados por diagnósticos indirectos. Estes diagnósticos
centram-se no estudo do filme processado.
A determinação da taxa de gravura ou de deposição pode ser feita pela medição da espessura dos
materiais. Para saber a taxa de deposição, basta medir a espessura do filme depositado e dividi-la
pelo tempo de deposição. Quanto à taxa de gravura é necessário fazer uma medição prévia do filme e
compará-la com a espessura depois de feita a gravura. Fazendo a diferença e dividindo pelo tempo do
processo obtém-se a taxa de gravura. As espessuras são medidas utilizando um perfilómetro Dektak
3030ST. Outra análise que se pode fazer ao material é sobre a sua estrutura. É importante saber a
forma como o material cresce durante a deposição e se apresenta uma estrutura cristalina ou não.
Difracção de Raio-X
Figura 2.13: Derivação da equação de Bragg 2dsinθ = nλ, em que d é os espaço entre planos atómicos
e 2πn é a diferença de fase entre refleções de planos sucessivos.
A estrutura de um cristal pode ser estudada através da difracção de fotões, neutrões e electrões. A
difracção depende da estrutura do cristal e do comprimento de onda. A comprimentos de onda ópticos
◦
de 5000A a sobreposição das ondas dispersadas elásticamente pelos átomos de um cristal resulta na
refracção óptica. Quando o comprimento de onda da medição é comparável ou menor que a constante
de rede, os feixes difratados apresentam direcções bem diferentes do feixe incidente.
W. L. Bragg apresentou um explicação simples para os feixes difractados num cristal. Supondo que
as ondas incidentes são reflectidas especularmente dos planos paralelos no cristal, com cada plano a
reflectir apenas uma pequena parte da radiação. Na reflecção especular o ângulo de incidência é igual
ao ângulo de reflecção. Os feixes refractados encontram-se quando as refleções dos planos interferem
constructivamente.
Considere-se planos paralelos numa rede espaçados por uma distância d. A diferença de caminhos
dos raios reflectidos em planos adjacentes é de 2dsinθ. Interferência construtiva de radiação de planos
sucessivos ocorre quando a diferença de caminho é um número inteiro de n comprimentos de onda λ,
assim
29
2dsinθ = nλ
(2.3)
Esta é a lei de Bragg. A reflecção de Bragg só ocorre para comprimentos de onda λ 6 2d. É por
esta razão que se usam raios-X em vez de luz visível.
No entanto, a reflecção de cada plano é especular, para apenas certos valores de θ é que as reflecções de todos os planos paralelos se somam em fase dando um forte feixe reflectido. Se cada plano
reflectir 10−3 a 10−5 da radiação incidente, então 103 a 105 planos podem contribuir para a formação do
feixe reflectido de Bragg num cristal perfeito.
Figura 2.14: Difraktometer D5000 da Siemens. (a) Vista geral. (b) Pormenor a zona de difracção. A
amostra é colocada no suporte do centro da figura e a radiação é enviada e lida pelos dois braços
laterais.
Os difractómetros de raio-X são ferramentas importantes para estudar a cristalização ou não cristalização de um material. Se o material não estiver cristalizado, apenas se regista ruído no difractómetro,
caso contrário obervam-se picos bem definidos para determinados valores de θ, que correspondem à
orientação dos planos cristalinos [19].
Figura 2.15: Gráfico de um pico de cristalização de MgO na estrutura (002).
30
Capítulo 3
Modelização do Dispositivo
3.1
3.1.1
Introdução
Modelização de Descargas em Gases
A modelização de descargas em gases assume actuamente um papel importante no desenvolvimento
e optimização de equipamentos que utilizem processos assistidos a plasma.
Informação sobre a estrutura do reactor, as suas dimensões óptimas e a localização de bombas,
sensores de pressão e substratos podem ser obtidos através de simulações físicas. Respostas rápidas
relativamente aos efeitos da pressão, potência e fluxo de gás podem ser obtidos usando modelos de
baixa dimensão (0D e 1D). Para estudar as taxas de deposição ou ecthing, distribuições espaciais de
partículas, potenciais de baínha e outras características mais complexas, já são necessários modelos
multi-dimensionais (2D e 3D).
Nas descargas ICP, utilizadas para deposição e gravura, existe um número significativo de parâmetros, tais como a potência aplicada, distribuição de campo electromagnético e de partículas carregadas,
uniformidade da deposição e gravura. No caso do reactor estudado a uniformidade do feixe iónico, que
só podem ser correctamente tratadas usando simulações multi-dimensionais.
O desenvolvimento de um modelo baseia-se no acoplamento da potência aplicada e o plasma.
Uma descrição auto-consistente do plasma deve considerar a taxa de criação e transporte de partículas
carregadas sobre a distribuição de campos electromagnéticos resultantes de uma fonte externa (antena,
electrodo, etc) e dos campos internos de carga de espaço.
Existem três tipos de modelos usados para descrever as descargas em gases: modelos estatísticos,
modelos fluído e modelos híbridos. Neste trabalho utiliza-se um modelo do tipo fluído.
3.1.2
Modelos fluído
O modelo fluído é um modelo em que o transporte de partículas carregadas é descrito usando os valores médios sobre a função de distribuição de um conjunto de quantidades macroscópicas (densidade,
velocidade, energia, etc).
A cinética dos electrões e dos iões num gás fracamente ionizado pode ser definida pela equação
de Boltzmann. Esta equação é uma equação de continuidade no espaço de fases, que determina a
função de distribuição f (r, w, t), em cada ponto (r, w) no instante t, sobre o efeito de forças externas e
processos colisionais com as moléculas de gás.
A solução da equação de Boltzmann multi-dimensional e dependente do tempo, tornou-se numa
tarefa numérica extremamente dura, que produz uma descrição cinética com bastante detalhe, por
31
vezes desnecessário.
Alternativamente, pode-se assumir que as principais características do plasma são bem descritas
em termos médios de algumas grandezas: densidade, velocidade média, energia média, etc. Assim, as
equações de Boltzmann para as partículas podem ser substituidas por equações médias características
– momentos da equação de Boltzmann – que são uma série infinita de equações hidrodinâmicas. Esta
substituição envolve duas hipoteses.
A primeira diz respeito à truncatura da série infinita de equações hidrodinâmicas, assumindo que três
momentos para os electrões (equações de balanço, momento e energia) e dois para os iões (massa e
momento) são suficientes para obter uma descrição razoável.
A segunda hipotese diz respeito ao fecho do sistema de equações e requer outras aproximações.
Nos modelos de plasma a baixa temperatura é recorrente o uso da aproximação das pequenas anisotropias
que assume que a velocidade térmica das partículas domina sobre a velocidade de deriva, introduzindo
assim uma relação adicional nos fluxos do plasma. Para além disso, o sistema de momentos da
equação de Boltzmann contém integrais sobre a função de distribuição das partículas, a qual é desconhecida, e podem ser interpretados como parâmetros de transporte das partículas e coeficientes
de criação e destruição. Então, para calcular estes integrais é necessário fazer algumas assunções
sobre a função de distribuição das partículas, que é particularmente delicado para os electrões. Em
descargas rf, os electrões não estão em equilíbrio termodinâmico local devido à inificiência de trocas
de energia entre os electrões (leves) e os neutros (pesados), o que implica que a função de distribuição
dos electrões vai sofrer desvios em relação à sua forma Maxweliana no equilíbrio.
Os modelos fluído devem incluir as equações de continuidade e de momento para os electrões e
iões, a equação de energia média electrónica e a equação de Poisson e deve resolvê-las de forma
auto-conssistente.
Existem, no entanto, no que respeita a condições de fecho do problema, duas aproximações diferentes no cálculo da função de distribuição dos electrões: a aproximação de campo local e a aproximação de energia média local.
A primeira assume que tanto os parâmetros de transporte electrónicos, como os coeficientes de
reacção electrónicos, calculados numa posição r num dado instante de tempo t, são função exclusiva
do campo eléctrico reduzido local E(r, t)/N (E é a intensidade de campo eléctrico e N é a densidade
do gás). Por outras palavras, assume-se que a função de distribuição dos electrões em (r, t) é a mesma
que existiria num campo eléctrico reduzido uniforme e este equilíbrio com o campo eléctrico local implica que a energia ganha pelos electrões do campo eléctrico é compensada localmente por perdas de
energia em colisões. No entanto, esta aproximação normalmente falha nas regiões de baínha (onde
os electrões não estão em equilíbrio com o campo eléctrico), originando um aumento excessivo dos
parâmetros de transporte nestas regiões. Usualmente, este problema resolve-se impomdo parâmetros
de transporte constantes nas zonas de baínha.
Quanto à aproximação de energia média local, esta considera que os parâmetros de transporte e
os coeficientes de recombinação electrónicos são função exclusiva da energia média local, calculada
na equação de balanço de energia no modelo fluído. Na prática, os coeficientes eléctrónicos são
obtidos da função de distribuição (calculada resolvendo a equação de Boltzmann homogénea), que
é agora considerada como função da energia média electrónica, em cada ponto. Embora inexacta,
esta aproximação permite eliminar variações não físicas nos parâmetros de transporte obtidos com a
aproximação anterior.
A principal vantagem nos modelos fluído é a sua rápida convergência. Com tempos de execução
de algumas horas (em computadores pessoais) fornecem resultados fidedignos, fazendo deste tipo de
32
simulação a mais comum no estudo de plasmas para processamento de materiais.
3.1.3
Estrutura modular
Neste trabalho será modelado o canhão de assistência da Nordiko 3000. Este canhão cilindrico possui
um corpo metálico com um sistema de grelhas aceleradoras de iões e uma janela dieléctrica, junto
à qual está posicionada uma antena RF em espiral plana que induz um campo electromagnético no
plasma, quando percorrida por uma corrente rf. Devido à geometria do reactor o modelo a desenvolver
será um modelo 2D com simetria azimutal. A modelação será distribuída por dois módulos de cálculo:
o módulo electromagnético e o módulo de transporte de partículas carregadas.
Figura 3.1: Esquema do canhão de assistência da Nordiko 3000
No módulo electromagnético serão calculadas a distribuição de campos electromagnéticos e a
potência acoplada ao plasma, para uma dada densidade electrónica e uma dada corrente de rádiofrequência aplicada à antena. Serão resolvidas as equações de Maxwell, usando condições fronteira
de Dirichlet, as quais impõem o campo eléctrico na fronteira do plasma (plasma-dielétrico e plasmametal).
No módulo de transporte de partículas carregadas serão calculadas as distribuições de densidade e
fluxo das espécies carregadas, usando a distribuição de campos calculada no módulo electromagnético
e o campo de carga de espaço, calculado de forma auto-consistente.
Este módulo utiliza as equações de fluído obtidas através dos momentos da equação de Boltzmann
na aproximação de pequenas anisotropias.
O transporte electrónico é descrito usando as equações de continuidade, transferência de momento
e de conservação de energia média. Os parâmetros de transporte (PTe) e os coeficientes cinéticos
são calculados resolvendo a equação de Boltzmann homogénea e estacionária. O fecho do sistema de
equações é feito usando a aproximação da energia média local.
Para o transporte iónico utilizam-se as equações de continuidade e de transferência de momento.
Os parâmetros de transporte e os coeficientes são obtidos da literatura e considera-se que os iões
têm uma distribuição Maxwelliana e estão em equilíbrio térmico com os neutros do gás para fechar o
sistema de equações.
As equações de fluído são resolvidas de modo acoplado à equação de Poisson, que calcula a
distribuição de potencial e de campo de carga de espaço, de modo a resolver o problema de forma
33
auto-consistente.
3.2
3.2.1
Módulo Electromagnético
Introdução
O campo electromagnético, responsável pela excitação e manutenção do plasma, é induzido por uma
antena de rádio-frequência (RF). Neste reactor a antena tem a forma de espiral plana (com seis voltas
e meia), pela qual passa um corrente I a 13.56Hz, produzindo um campo magnético oscilante no tempo
que induz um campo eléctrico azimutal Eθ .
A função deste módulo é a de calcular a distribuição de campos eléctrico Eθ e magnético B, para
uma corrente RF imposta e um dado perfil de densidade.
No modelo despreza-se a espessura da antena, o que implica que os campos magnéticos só têm
componentes radial e axial e o campo eléctrico produzido por estes só tem componente azimutal.
Figura 3.2: Antena RF
A antena em espiral pode ser aproximada por um conjunto de espiras circulares concêntricas, igualmente espaçadas. O número de espiras será igual ao número de voltas. Como o número de voltas não
é inteiro (6, 5) optou-se por usar 6 espiras. Para garantir que as seis espiras circulares são uma boa
aproximação a uma espiral de seis voltas e meia, calculou-se o “perímetro ”da espiral (comprimento
se esta estivesse esticada) e normalizou-se o raio das espiras circulares de modo a que a soma dos
perímetros destas seja igual ao “perímetro ”da espiral.
3.2.2
Equação do campo
Das equações de Maxwell pode-se chegar à equação de ondas.
∂2E
∂J
J − µ0
= 0.
(3.1)
2
∂t
∂t
Despreza-se a corrente eléctrica no vazio face a corrente de condução e assume-se que os campos
∇2 E − µ0 ε0
∼
são puramente sinusoidais com frequência ω(rad/s). Usa-se a notação complexa X = Xeiωt em que
∼
X é a grandeza electromagnética com X = Xeiθ (X é a amplitude complexa e θ a respectiva fase). A
34
densidade de corrente total J resulta da contribuição da soma da densidade de corrente da antena Jant
e a densidade de corrente no plasma Jind = σE (em que σ é a conductividade do plasma), induzida
pelo campo eléctrico no plasma: J = Jant + Jind .
Devido à simetria do problema o campo eléctrico só tem componente azimutal (E = Eθ ), obtém-se:
Eθ (r, z)
∂Eθ (r, z)
∂ 2 Eθ
1 ∂
−
= iωµ0 [σ (r, z) Eθ (r, z) + Jant (r, z)] .
r
+
2
r ∂t
∂r
∂z
r2
(3.2)
Neste modelo considerou-se que a antena não tem dimensão. Sendo a antena constituida por seis
aneis concêntricos, num modelo 2D ficamos apenas com seis pontos de corrente.
O valor de Eθ obtém-se da solução da equação 3.2 sobre todo o volume do plasma. Sabendo Eθ e
→
usando a equação de Maxwell: ∇ × E = − ∂B
∂t , pode-se calcular o campo magnético B :
3.2.3
i ∂Eθ (r, z)
ω
∂z
i ∂
[rEθ (r, z)]
ωr ∂z
Br (r, z)
= −
(3.3)
Bz (r, z)
=
(3.4)
Potência acoplada ao plasma
O plasma no canhão ICP é induzido por uma antenna pela qual passa uma corrente de rádio-frequência.
No entanto, o parâmetro que o utilizador controla é o da potência. Assim, é necessário calcular a
potência acoplada ao plasma - potência gerada pela distribuição de campos eléctrico e magnético.
O teorema de Poynting na sua fórmula integral escreve-se como
Z
I
Z
d
WEM dV = S.ndA + J.EdV
dt
V
(3.5)
V
em que WEM é a densidade de energia electromagnética, S é o vector de Poynting e J é a densidade
de corrente.
R
Se se considerar que estamos num meio com conductividade nula (sem plasma) J.EdV = 0, a
V
R
d
expressão acima fica simplificada. Sabendo que a potência é dada por P = dt
WEM dV fica-se com:
V
P =
d
dt
Z
I
WEM dV =
(3.6)
S.ndA.
V
Assim, fica-se com duas expressões para calcular a potência gerada pela antena.
P
=
d
dt
ZR
Z
WEM dV = 2πω
P
= S.ndA =
dr
0
V
2π
µ0
ZH
2
dz
|B|
ε0 |E| +
µ0
2
!
(3.7)
0
ZR
(Eθ Br rdr)|z=0
(3.8)
0
No cálculo do integral de superfície foi apenas considerado o dieléctrico, pois nas superfícies metálicas (parede e grelha) o campo Eθ é nulo, anulando os termos do integral.
Note-se que se tem duas maneiras de calcular a potência: uma através de um integral dos campos
electromagnéticos sobre todo o volume; e outra usando um integral sobre a superfície a que se reduz ao
35
dieléctrico, pois Eθ anula-se nas outras superfícies. Ao exigir que estes dois resultados sejam idênticos,
está-se a dizer que os campos em todo o plasma estão relacionados apenas com os campos sobre a
superfície do dieléctrico. Isto pode ser uma ferramenta poderosa para testar o método numérico.
3.2.4
Condições fronteira
A equação que descreve o campo eléctrico no reactor vai ser resolvida num domínio de integração
específico. De modo a definir correctamente este problema matemático têm-se de impôr condições
fronteira. Note-se que uma simulação correcta do dispositivo depende fortemente das condições fronteira definidas.
Figura 3.3: Esquema de metade do canhão
A figura 3.3 mostra esquema do modelo a duas dimensões (2D) do reactor. A zona central representa o interior do reactor cilindrico, que é a zona que vamos calcular na simulação. Nos limites do
esquema temos dois tipos de fronteira:
• As fronteiras físicas (r,0), (r,H) e (R,z) que representam a janela dieléctrica, a grelha V + e a parede
metálica lateral, respectivamente;
• A fronteira interna que representa o eixo de simetria do reactor.
No eixo de simetria o campo eléctrico Eθ é nulo, como qualquer quantidade azimutal. As restantes
fronteiras dividem-se em dois tipos: metálica e dielétrica. Nas froteiras metálicas (parede lateral e
grelha) devido à sua natureza não podemos ter campo eléctrico, assim Eθ é nulo. Na janela dieléctrica
existe uma transição plasma-dieléctrico. Aqui calcula-se o campo Eθ produzido por anéis de corrente
circulares (incluindo a contribuição da antena RF e as correntes induzidas no plasma). A dedução do
campo eléctrico gerado por um anel de corrente pode ser acompanhada na referência [23].


! ZR ZH
1/2
0 1/2
6
∼
µ0 ω  X
Rcw
r
E θ (r, 0) =
−iIRF
G [k (Rcw , 0)] +
J θ (r0 , z 0 )
G [k (r0 , z 0 )] drdz 
2π w=1
r
r
∼
r´=0z=0
(3.9)
Em que Rcw é o raio dos diferentes anéis da antena e
2 − k 2 K (k) − 2E (k)
G (k) =
k
"
#
rr0
0 0
k (r , z ) = 2
2
(r + r0 ) + z 02
36
(3.10)
(3.11)
com K e E integrais elípticos de 1a e 2a espécie, respectivamente.
A equação 3.9 divide-se em dois termos. O primeiro é o termo correspondente à contribuição da
antena para o campo eléctrico, este termo é proporcional à corrente de excitação RF e é um somatório
das correntes geradas pelos seis anéis da antena. O segundo termo é proporcional à densidade de
∼
corrente no plasma J θ e é o integral das correntes polares geradas no plasma. Imagine-se que no
plasma os electrões no seu movimento azimutal geram infinitos anéis de corrente, cada um destes
∼
anéis, com uma densidade de corrente J θ , vai contribuir para o campo eléctrico na janela dieléctrica.
Sintetizando, as condições fronteira para o campo eléctrico são:
∼
E θ (0, z)
=
0;
(3.12)
=
0;
(3.13)
=
0;
(3.14)
=
equação 3.9.
(3.15)
∼
E θ (R, z)
∼
E θ (r, H)
∼
E θ (r, 0)
Nas condições fronteira existe um ponto sensível, o ponto de intercepção entre o dieléctrico e o
metal do corpo do canhão (1, 0). No dieléctrico o valor de campo eléctrico é diferente de zero, enquanto
que no metal o campo é nulo. Esta transição pode provocar um salto no campo eléctrico que terá
influência no campo magnético. Para minimizar este salto definiu-se o ponto (1, 0) como um ponto de
transição entre os dois materiais. Assim a condição fronteira será metade da condição fronteira do
metal somada a metade da condição fronteira do dieléctrico:
Eθ (1, 0) =
3.2.5
1
1 metal
E
(1, 0) + Eθdieléctrico (1, 0) .
2 θ
2
(3.16)
Esquema de cálculo
A equação complexa do campo eléctrico (3.2) pode ser decomposta nas suas partes real e imaginária, no entanto a parte real da equação depende da parte imaginária do campo eléctrico e vice
versa. Optou-se então por adoptar uma estratégia de resolução iterativa deste conjunto de equações.
Resolvem-se separadamente as equações real e imaginária, a solução da equação real vai entrar na
equação imaginária como termo fonte desta e de igual forma a solução da equação imaginária vai entrar como termo fonte da equação real. O processo repete-se até que se obtenha convergência. A
solução da equação de campo é obtida contendo informações da condição fronteira, esta por sua vez
é calculada usando valores do campo eléctrico no volume.
A condição fronteira (3.9), por sua vez, também pode ser separada nas suas partes real e imaginária
e terá uma resolução semelhante à equação de campo no volume, resolvendo as equações real e
imaginária de forma separada, introduzindo os resultados de uma como termo fonte da outra até se
obter convergência.
Pode-se separar o problema em dois blocos: o bloco de cálculo do campo eléctrico no volume e o
bloco de cálculo do campo na fronteira. Cada um destes blocos necessita dos resultados um do outro,
para resolução do campo eléctrico no volume é necessária a informação da fronteira, e por sua vez
para a resolução do campo na fronteira é necessário o valor do campo no volume do plasma. A solução
do problema é obtida iterando os dois blocos de cálculo até se atingir a convergência. Por sua vez,
cada um dos blocos também é resolvido num sistema iterativo.
Resumindo, a resolução da equação de campo Eθ no volume é feita iterando as partes real e imaginária da equação, obtida a convergência os resultados deste módulo entram como termo fonte na
37
Figura 3.4: Esquema de cálculo do módulo electromagnético
resolução da equação de campo Eθ na fronteira. Aqui, resolve-se o sistema de equações real e
imaginária de forma idêntica à resolução no volume até se obter convergência neste módulo. Estes
resultados entram como termo fonte na resolução da equação de volume e o processo repete-se até
se obter a convergência global.
Uma vez atingida a convergência é calculada a distribuição de campo magnético induzido pela
antena (equação 3.3) e a potência acoplada ao plasma (equação 3.7). Os resultados são escritos em
ficheiros de dados. A equações deste módulo de cálculo descritizadas encontram-se em anexo.
38
Figura 3.5: Gráfico da distribuição de densidade electrónica obtida no módulo de transporte.
Figura 3.6: Gráfico da distribuição de campo eléctrico Eθ em V /cm para uma corrente aplicada de 1.2A
e para uma densidade de 1.9 × 1011 cm−3 .
3.2.6
Resultados e discussão
São aqui apresentados os resultados do módulo electromagnético resolvido usando os valores de densidade calculados no módulo de transporte de partículas carregadas. O perfil de densidade (figura 3.5)
tem o seu máximo no centro do eixo de simetria, 1.9 × 1011 cm−3 , caindo para as paredes. O modelo foi
tewtado, calculando as distribuições de campo electromagnético para diversos valores de corrente RF
de excitação e de densidade electrónica.
39
Figura 3.7: Gráfico da distribuição de campo magnético Br (esquerda) e Bz (direita) em T eslapara uma
corrente aplicada de 1.2A e para uma densidade de 1.9 × 1011 cm−3 .
Distribuição de campo electromagnético
O módulo eletromagnético foi resolvido para a distribuição de densidade electrónica da figura 3.5 e
para uma corrente RF de 1.2A. Os resultados são apresentados nas figuras 3.6 e 3.7, onde se podem
observar as distribuições de campos eléctrico e magnético radial e axial. Note-se que só é representada
metade do reactor, devido à sua simetria. O eixo de simetria é o eixo dos zz e está posicionado
horizontalmente em baixo, também na horizontal, mas em cima encontra-se a fronteira com a parede
lateral do reactor. Os lados verticais são a janela dieléctrica (esquerda) e a grelha de extracção (direita).
Antes de analisar os gráficos recorde-se as condições fronteira do problema. No eixo de simetria,
parede lateral e grelha foi imposto campo eléctrico nulo, enquanto que na janela dieléctrica é resolvida
a equação 3.9.
Analisando o gráfico da distribuição do campo eléctrico (figura 3.6) é possível observar que este tem
o seu máximo junto à janela dieléctrica, onde está localizada a antena, caindo para zero nas restantes
fronteiras. Note-se que na zona onde o campo é máximo se distinguem seis pontos (cinco mais nítidos,
outro menos) onde o campo é mais elevado junto à janela dielétrica. Estes pontos de campo elevado
devem-se aos seis anéis da antena que está colocada junto à janela. O campo eléctrico compreende
valores entre os 0, nas fronteiras metálicas, e os 2V /cm, na janela cerâmica, junto do quarto anel da
antena onde atinge o seu máximo devido à sobreposição das contribuições dos restantes anéis.
Quanto às distribuições de campo magnético (figura 3.7), estas apresentam, tal como o campo eléctrico, distribuições bastante não uniformes. O campo magnético radial, que depende da derivada axial
do campo eléctrico, apresenta os seus máximos também junto à antena, na janela dieléctrica, caindo
ao longo do reactor. Ao contrário do campo eléctrico, aqui os picos do campo magnético apresentam
intensidades idênticas, de ∼ 3.3 × 10−4 T . O campo magnético axial, que depende da derivada radial
do campo eléctrico, em vez dos picos junto aos anéis da antena, apresenta dois picos por anel, um
40
positivo seguido de outro negativo. Isto deve-se a que como o campo depende da derivada do campo
Eθ , quando o campo Eθ em r cresce Bz é positivo; quando Eθ é máximo, Bz é nulo e quando Eθ cai,
Bz é negativo. Note-se também que o campo Bz cresce com a aproximação ao eixo de simetria, sendo
máximo junto ao anel interior da antena e positivo no eixo de simetria.
Podem-se observar, tanto no gráfico do campo magnético radial como no axial, que existe um pico
de campo no canto de intercepção entre o dieléctrico e o metal do corpo do canhão. Este pico deve-se à
passagem de uma zona em que existe campo eléctrico (dieléctrico), embora que baixo, para uma zona
onde o campo é nulo (metal). Esta queda brusca para zero provoca m aumento do valor do campo
magnético, já que este é cálculado pela derivada do campo eléctrico (equação 3.3). Esta queda foi
atenuada, introduzindo nas condições fronteira, no ponto (1, 0), um ponto de transição meio-metálico
meio-dieléctrico, ou seja, nesse ponto considerou-se que o campo eléctrico era dado por:
Eθ (1, 0) =
1 metal
1
E
(1, 0) + Eθdieléctrico (1, 0) .
2 θ
2
(3.17)
Para estes valores de corrente e densidade obteve-se uma potência acoplada de 60.1W com um
erro de 2%. Este valor é importante visto que uma das potências de trabalho típicas do canhão é de
60W .
Dependência do campo electromagnético com a corrente da antena rf
Figura 3.8: Gráficos do campo electromagnético para as correntes de 1, 1.5, 2 e 4A.
Nesta secção estuda-se a dependência do campo electromagnético com a corrente da antena rf. A
distribuição de campo é calculada para o perfil de densidade apresentado na figura 3.5 e para valores
de corrente entre 1 e 10A.
41
Figura 3.9: Gráfico do campo electromagnético em z para as correntes de 1, 2, 3 e 4A e para a posição
radial do quarto anel da espira.
Figura 3.10: Gráfico do campo electromagnético máximo em função da corrente da antena rf.
Na figura 3.8 apresentam-se as distribuições de campo eléctrico Eθ obtidas para as correntes de 1,
1.5, 2 e 4A, observa-se que com o aumento da corrente o valor do campo eléctrico também aumenta.
Para ilustrar melhor este aumento é representado o campo eléctrico para as diferentes correntes ao
longo do eixo dos zz, para a distância radial r onde o campo atinge o seu máximo, junto ao quarto anel
de antena (figura 3.9). Observa-se também que a relação do campo eléctrico com a corrente é linear
(3.10).
Dependência do campo electromagnético com a densidade elecrónica
Nesta secção estuda-se a dependência do campo electromagnético com a densidade electrónica. O
valor de corrente é fixado em 1.2A e é calculada a distribuição de campos para densidades de perfil
semelhante ao da figura 3.5, mas com valores máximos diferentes.
Deste modo é representada a distribuição da campo eléctrico para o caso de densidade nula (vazio),
1010 cm−3 , 1.9 × 1011 cm−3 e 5.0 × 1011 cm−3 (figura 3.11).
Observa-se que com o aumento da densidade que o valor do campo eléctrico junto à janela apresenta valores semelhantes para diferentes correntes. No entanto, ao longo do reactor, com o aumento
da densidade, o valor de campo diminui. Isto significa que para densidades maiores o campo penetra
menos no plasma.
Na figura 3.12 apresenta-se o perfil axial do campo para as mesmas densidades. Para qualquer
densidade o valor de campo em z = 0 (janela) é igual, com o distanciamento da janela o campo é mais
42
Figura 3.11: Gráficos do campo electromagnético para as densidades elecrónicas de 0 (vácuo),
1010 cm−3 , 1.9 × 1011 cm−3 e 5.0 × 1011 cm−3 .
forte para densidades menores.
43
Figura 3.12: Gráfico do campo electromagnético em z para as densidades elecrónicas de 0 (vácuo),
1010 cm−3 , 1.9 × 1011 cm−3 e 5.0 × 1011 cm−3 e para a posição radial do quarto anel da espira.
Figura 3.13: Gráfico da potência acoplada ao plasma em função da corrente RF aplicada à antena I=1-10A
Dependência da potência acoplada com a corrente da antena rf
Nesta secção estuda-se a variação da potência acoplada com a corrente na antena. A potência foi
calculada para valores de corrente entre 1 e 10A.
Na tabela 3.1 encontram-se os valores de potência calculados pelos integrais de volume (PV ) e de
superfície (PS ) (equação 3.7); a média destes dois valores e o erro relativo.
O erro relativo dos valores de potência cálculados pelos dois métodos mantêm-se aproximadamente
constante com o aumento da potência 1.9%. Este erro pode ser interpretado como um parâmetro de
controlo do método numérico. O módulo electromagnético calcula as distribuições de campo elétrico
tanto na fronteira como no volume do plasma, depois deste cálculo calcula a distribuição de campo
magnético derivando o campo Eθ . No fim desta sequência de cálculos, cada um com o seu erro,
calcula-se, com base nos campos eléctrico e magnético, o valor da potência de duas maneiras distintas,
uma das quais tendo em conta apenas o valor do campo numa fronteira do reactor (janela). A diferença
destes dois valores é de apenas de 2%, o que permite verificar o teorema de Poynting no intervalo de
integração do problema.
Espera-se que a potência P tenha uma relação quadrática com a corrente Irf : P ∝ I 2 . Observado
o gráfico 3.13 pode-se confirmar esta relação. Os valores típicos de trabalho do canhão de assistência
são de 60 − 120W de potência, que se situam entre os valores de corrente de 1.0 − 2.0A, daí se ter dado
44
I(A)
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
PS (W)
41.4
50.0
59.5
69.9
81.1
93.0
105.9
119.5
134, 0
149.3
165.4
372.2
661.6
1033.8
1488.8
2026.5
2646.9
3350.0
4135.8
PV (W)
42.1
51.0
60.7
71.2
82.6
94.8
107.9
121.8
136.5
152.1
168.6
379.3
674.2
1053.5
1517.1
2064.9
2697.0
3413.4
4214.0
Pmédia (W)
41.8
50.5
60.1
70.1
81.9
93.9
106.9
120.7
135.25
150.7
167.0
375.7
668.0
1043.7
1503.0
2045.7
2671.9
3381.7
4174.9
Erro(%)
1.7%
2.0%
2.0%
1.8%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
1.9%
Tabela 3.1: Potência acoplada ao plasma em função da corrente RF aplicada à antena
mais enfase a este intervalo na tabela 3.1.
3.3
3.3.1
Módulo de transporte de partículas carregadas
Introdução
De modo a descrever o transporte de partículas carregadas no reactor ICP, nesta tese opta-se por uma
descrição do tipo fluído. Resolvem-se as equações de transporte, sobre a presença de um campo
eléctrico de excitação (calculado no módulo electromagnético), de forma acoplada com a equação de
Poisson e a equação de energia média electrónica.
Num plasma constituído por diversas populações, o conhecimento da função de distribuição de cada
espécie é determinante para a correcta avaliação das propriedades macroscópicas.
Como os diferentes constituintes dos plasmas fracamente ionizados (electrões, iões e neutros) têm
diferentes influências nas propriedades do plasma, a análise destas populações é essencial numa
modelização de uma descarga. Neste caso a descrição do sistema requer a resolução da equação de
Boltzmann para cada espécie, tendo em conta os diferentes comportamentos destas.
Os electrões, sendo os mais leves, recebem mais energia do campo no intervalo entre colisões.
Como a transferência de energia entre electrões e neutros é bastante ineficiente (devido à diferença
de massas), e as colisões electrão-ião são relativamente raras em plasmas fracamente ionizados, a
energia dos electrões vai ser elevada comparativamente à dos iões e dos neutros. Na presença de
forças externas e gradientes espaciais, o movimento das partículas adquire uma componente de deriva
e a sua distribuição torna-se anisotrópica. Este efeito é particularmente importante para os electrões
que têm uma massa baixa e portanto altas mobilidades e altos coeficientes de difusão. Para além
disso, os electrões têm um papel fundamental na manutenção da descarga, são responsáveis pela
fragmentação, dissociação e ionização do gás de neutros.
45
Em gases fracamente ionizados pode-se considerar que os iões estão em equilíbrio com os neutros,
esta aproximação permite usar uma maxwelliana à temperatura do gás como função de distribuição
dos iões.
Momentos da equação de Boltzmann
Os momentos da equação de Boltzmann obtêm-se multiplicando a equação de Boltzmann por uma
função qualquer A(r, w, t), assim para A = w0 = 1 fica-se com a equação de conservação partículas,
para A = mw1 tira-se a equação de conservação de momento e para A = 12 mw2 obtém-se a equação
de conservação da energia. De seguida apresentam-se as leis de conservação fundamentais obtidas
deste modo.
Equação de continuidade (A = 1)
∂n
δn
+ ∇. (nv) =
(3.18)
∂t
δt
O termo δn/δt corresponde aos processos de criação e destruição de partículas em processos
cinéticos tais como ionização e recombinação, e pode ser escrita como δn/δt = nν, em que ν é a
frequência de ionização.
Equação de conservação da quantidade de movimento (A = mw)
δ (nmv)
∂ (nv)
+ m∇. (nvv) = nX−∇p−∇π +
(3.19)
∂t
δt
Os termos do lado esquerdo da equação estão associados à aceleração hidrodinâmica e os termos
m
do lado direito da equação correspondem à soma das forças que actuam nas partículas por unidades
de volume: as forças externas nX, as forças devido à pressão cinética −∇p, e as forças de fricção
resultantes das colisões de partículas
δ(nmv)
.
δt
Este último termo, para gases fracamente ionizados, é
dominado por colisões entre partículas carregadas e neutros, podendo ser escrito como
δ (nmv)
' −mnvν c
δt
(3.20)
onde ν c é a frequência média total de colisão entre espécies carregadas e neutros, para a transferência
de quantidade de movimento.
Equação de conservação da energia média (A = 12 mw2 )
∂ (nε)
δ (nε)
= −∇.Q + nv.X+
(3.21)
∂t
δt
Esta equação mostra que a variação de energia cinética total é devida ao transporte de energia pelo
movimento das partículas ∇.Q, ao aquecimento sob o efeitos de forças externas nv.X, e à transferência
de energia em colisões δ (nε) /δt.
Nesta tese optou-se por uma descrição estacionária do problema, baseada no facto de a frequência
de oscilação do campo aplicado ser maior que a frequência de colisão média electrão-neutro < νc >
(< νc >∼ 0.3)
46
3.3.2
Equações de transporte para os electrões
Equação de continuidade
Da equação 3.18 pode-se escrever a equação de contínuidades para os electrões
1 ∂ (rΓr,e ) ∂Γz,e
+
= Se
r
∂r
∂z
(3.22)
em que Γe,q = ne ve,q (q = r, z) é o fluxo das partículas e Se = nνI é a taxa líquida de criação de
electrões.
Equação de transferência de momento
Considerando que, (de acordo com o modelo) a parte anisotrópica da função de distribuição é estacionária nas direcções do campo de carga de espaço e dependente do tempo na direcção do campo
de excitação Eθ , pode-se escrever:
E (r, z, t)
B (r, z, t)
=
=
Er (r, z)er + Ez (r, z)ez + Eθ (r, z)eiωt eθ
Br (r, z)e
iωt
er + Bz (r, z)e
iωt
(3.23)
(3.24)
ez
Das equações 3.23 e 3.19, desprezando os termos em B 2 obtêm-se as equações para o fluxo
electrónico.
Γp,e
Γθ,e
1
∂ (De ne )
∼(2)
− µe Ep − Im µhf,e Eθ Bq ne
(3.25)
= −
∂p
2
(2)
(2)
∼
∼
∼
∼
∂ Dhf,e B r ne
∂ Dhf,e B z ne
∼
∼
∼
∼
∼(2)
+−
− µhf,e E θ − µhf,e Er B z − Ez B r
ne (3.26)
= −
∂r
∂z
(p = r, z; q = z, r)
(3.27)
Em que µe e De são os coeficientes de mobilidade e difusão associados ao transporte num campo
∼(2)
∼
∼ (2)
DC, µhf,e é a mobilidade associada ao transporte num campo AC, µhf,e e Dhf,e são os coeficientes de
mobilidade e difusão associados ao transporte na presença de um campo magnético.
Equação de conservação da energia média
A equação de balanço de energia média obtém-se da equação 3.28
∂ (nε)
δ (nε)
= −∇.Q + nv.X+
(3.28)
∂t
δt
em que −Sε é a dissipação de energia em colisões (elásticas e inelásticas). O termo ∇.Γε corresponde à divergência do fluxo de energia. O fluxo pode ser separado nas suas componentes em r, z e
θ:
Γp,ε
Γθ,ε
∂ (Dε ne ε)
1
∼(2)
= −
− µε Ep − Im µhf,ε Eθ Bq ne ε
(3.29)
∂p
2
(2)
(2)
∼
∼
∼
∼
∂ Dhf,ε B z ne ε
∂ Dhf,ε B r ne ε
∼
∼
∼
∼(2)
∼
= −
+−
− µhf,ε E θ − µhf,ε Er B z − Ez B r
ne(3.30)
ε
∂r
∂z
47
∼(2)
∼
∼ (2)
em que µε , Dε , µhf,ε , µhf,ε e Dhf,ε são os coeficientes de difusão e mobilidade de primeira e segunda
ordens.
O termo Γe .E pode ser escrito separando as diferentes componentes do produto interno:
em que ΓDD
e ΓDD
r
z
1
∼
E.Γe = Er ΓDD
+ Ez ΓDD
+ Eθ .Γcross − Re[µhf,ε ]Eθ2 ne
(3.31)
r
z
2
estão na forma deriva difusão (DD) na presença de um campo de carga de espaço
DC.
ΓDD
=−
p
∂ (De ne )
− µe Ep ne
∂p
(3.32)
O fluxo Γcross é o fluxo polar gerado pelo campo magnético (Br , Bz )
Γcross
1 ∂
=
2 ∂r
(2) (2) ∼
∼
∼
∼
1 ∂
∼(2)
Im Dhf,e Bz ne +
Im Dhf,e Br ne + Im µhf,e Er B z − Ez B r ne (3.33)
2 ∂z
∼
O último termo da equação − 12 Re[µhf,ε ]Eθ2 ne representa o aquecimento de Joule devido ao campo
de excitação Eθ .
3.3.3
Equações de transporte para os iões
As equações de transporte dos iões vão ter uma estrutura semelhante à dos electrões. No entanto,
vão notar-se algumas diferenças importantes. Os iões devido à sua inércia não conseguem responder
a rápidas oscilações do campo eléctrico de rádio-frequência. Assim, vão receber pouca energia do
campo eléctrico. Para além disso, a tranferência de energia entre electrões e iões é bastante ineficiente
devido à diferença entre as suas massas. Por estas duas razões explica-se porque a energia dos iões
é bastante inferior à dos electrões, sendo semelhante à dos neutros. Assim, neste modelo descreve-se
o transporte dos iões considerando apenas os dois primeiros momentos da equação de Boltzmann,
correspondente às equações de continuidade e de transferência de momento.
Equação de continuidade
1 ∂ (rΓr,p ) ∂Γz,p
+
= Se
(3.34)
r
∂r
∂z
Nesta expressão (3.34), semelhante à equação de continuidade dos electrões, Γp,q = ni vi,q (q =
r, z) é o fluxo iónico e Se = nνI é a taxa líquida de ionização, em que νI é a frequência de criação dos
iões.
Equação de transferência de momento
∂ (np vp )
enp
1
= −∇r,z (np vp vp ) +
E − νci−n np vp −
∇r,z
∂t
mp
mp
(3.35)
Em que νci−n é a frequência média de colisão para a transferência de momento ião-neutro. A
equação foi obtida a partir da equação 3.19 desprezando a contribução do campo magnético B e mantendo o termo de inércia (que tinha sido desprezado para os electrões) que vai ter uma contribuição
significativa nas baínhas (onde as velocidades iónicas e os gradientes de densidade são maiores) que
no centro do plasma. Comparando a frequência giro iónica com a frequência de colisão ião-neutro 1 eBr,z
N mp
<<
ν ci−n
N
- pode-se desprezar a contribuição do campo magnético, justificando a aproximação
feita.
48
A equação anterior pode ser decomposta pelo desenvolvimento do termo de inércia ∇r,z (np vp vp )
usando a equação 3.34.
f
Γp,q = (µp N ) np Eef
p,q −
Dp N ∂np
N ∂q
(3.36)
∂vi,q
∂
∂
e
ef f
= − vp,r
+ vp,z
vp,q − νp vp,q +
Eq − Ep,q
∂t
∂r
∂z
mp
(3.37)
f
Em que µp e Dp são os coeficientes reduzidos de mobilidade e difusão, respectivamente, Eef
p,q é a
componente q (r, z) do campo efectivo. Introduzindo este campo efectivo a equação de fluxo fica na
mesma forma de deriva difusão usada nos electrões.
O lado esquerdo da equação 3.37 pode ser aproximado usando a equação 3.36 e considerando
pequenas variações no tempo dos coeficientes de difusão e mobilidade, ficando
f
∂ Eef
Dp N ∂
1 ∂np
∂vi,q
p,q /N
' (µp N )
−
∂t
∂t
N ∂t rp ∂q
(3.38)
ou, ignorando as variações no tempo do gradiente de densidade
f
∂ Eef
∂vi,q
p,q /N
' (µp N )
.
(3.39)
∂t
∂t
Assim, das equações 3.37 e 3.39 obtém-se a equação que descreve a evolução temporal do campo
efectivo
f
∂ Eef
1
∂
∂
νp
p,q /N
=−
vp,r
+ vp,z
vp,q −
vp,q + νci−n
∂t
µp N
∂r
∂z
µp N
3.3.4
ef f
Ep,q
Eq
−
N
N
!
(3.40)
Parâmetros de transporte
Nesta secção apresentam-se os coeficientes de transporte reduzidos [22] utilizados nas equações de
transporte (3.22 a 3.33). As equações são escritas recorrendo à função de distribuição de energia
electrónica f (u), escrita no espaço das energias u.
• Mobilidade (µe N ) e coeficiente de difusão (De N ) electrónicos
(µe N )ne = −
1
3
2e
me
1/2 Z∞
u ∂f
du
σc ∂u
(3.41)
u
f du
σc
(3.42)
0
1
(De N )ne =
3
2e
me
1/2 Z∞
0
• Mobilidade electrónica hf (e
µhf N )
1
(e
µhf N )ne = −
3
2e
me
1/2 Z∞
1
∂f
u3/2 du
(νc /N ) + i (ω/N )
∂u
(3.43)
0
Em que νc = N σc ω é a frequência de colisão electrão-neutro para a transferência de movimento
e σc a correspondente secção eficaz.
49
(2)
e (2) N 2 ) electrónicos hf de segunda ordem
• Mobilidade (e
µhf N 2 ) e coeficiente de difusão (D
hf
(2)
(e
µhf N 2 )ne
1
=−
3
e (2) N 2 )ne = 1
(D
hf
3
e2
m2e
e2
m2e
Z∞
1
∂f
u3/2 du
(νc /N ) [(νc /N ) + i (ω/N )]
∂u
(3.44)
1
u3/2 f du
(νc /N ) [(νc /N ) + i (ω/N )]
(3.45)
0
Z∞
0
• Mobilidade (µε N ) e coeficiente de difusão (Dε N ) electrónicos para o transporte de energia
1
(µε N ) (ne ε) = −
3
2e
me
1/2 Z∞
u2 ∂f
du
σc ∂u
(3.46)
u2
f du
σc
(3.47)
0
1
(Dε N ) (ne ε) =
3
2e
me
1/2 Z∞
0
• Mobilidade electrónica hf (e
µhf,ε N ) para o transporte de energia
1
(e
µhf,ε N ) (ne ε) = −
3
2e
me
1/2 Z∞
1
∂f
u5/2 du
(νc /N ) + i (ω/N )
∂u
(3.48)
0
(2)
e (2) N 2 ) electrónicos hf de segunda ordem
• Mobilidade (e
µhf,ε N 2 ) e coeficiente de difusão (D
hf,ε
para o transporte de energia
(2)
(e
µhf,ε N 2 ) (ne ε)
1
=−
3
e (2) N 2 ) (ne ε) = 1
(D
hf,ε
3
3.3.5
e2
m2e
e2
m2e
Z∞
∂f
1
u5/2 du
(νc /N ) [(νc /N ) + i (ω/N )]
∂u
(3.49)
1
u5/2 f du
(νc /N ) [(νc /N ) + i (ω/N )]
(3.50)
0
Z∞
0
Equação de Poisson
A definição de plasma diz que este respeita a condição de quasi-neutralidade ni ' ne , mas numa
situação real isto não se verifica, pelo menos em todo o reactor. Numa descarga o plasma tem fronteiras
– as paredes – que vão modificar as suas propriedades. Os electrões, mais móveis, tendem a polarizar
negativamente as paredes criando junto a estas, zonas de separação de carga (baínhas). Assim, o
plasma de uma descarga no centro é quase-neutro e junto às paredes esta condição já não se verifica.
Esta separação cria um campo eléctrico que aponta para a parede de modo a confinar os electrões no
plasma e a acelerar os iões para a fronteira. Na presença de campos magnéticos estáticos pode-se
escrever
∂B
=0
∂t
então pode dizer-se que o campo eléctrico tem um potencial associado
∇×E=−
E = −∇V
50
(3.51)
(3.52)
O campo eléctrico também pode ser relacionado com a densidade de carga ρ, pela equação de
Poisson
ρ
(3.53)
ε
Substituindo as equações 3.52 em 3.53 e sabendo que ρ = e (np − ne ) para um plasma com apenas
∇.E =
um tipo de iões, a equação de Poisson fica
e
1 ∂
∂V
∂2V
= − (np − ne )
r
+
r ∂r
∂r
∂z 2
ε0
(3.54)
em que ε0 é a permitividade no vácuo.
Acoplando a equação de Poisson às equações de transporte de partículas carregadas, a solução
do problema fica determinada de forma auto-consistente.
3.3.6
Condições Fronteira
O modelo físico é constituído pelas equações de transporte e pela equação de Poisson. As primeiras
são as equações de continuídade e de fluxo para os electrões, energia electrónica e iões que constituem
seis equações diferenciais de primeira ordem. A equação de Poisson é uma equação diferencial de
segunda ordem. Este conjunto de equações requer 8 (6+2) condições fronteira para ser resolvido.
No eixo do reactor, impõe-se as condições de simetria de Von Newman. Estas condições são
garantidas se as derivadas no eixo da densidade de partículas, energia e potencial forem nulas [ref].
∂ne
∂np
∂ (ne ε)
∂V
=
=
=
∂r |r=0
∂r |r=0
∂r |r=0
∂r
=0
|r=0
(3.55)
Para as restantes fronteiras do reactor (dieléctrico, metal e grelha metálica) optou-se por usar
condições fronteiras de Dirichlet para as componentes perpendiculares dos fluxos de partículas e energia. Note-se que as componentes paralelas dos fluxos são nulas visto que não há transporte de
partículas ou energia nas paredes.
Γ⊥,e
=
Γ⊥,ε
=
Γ⊥,p
=
1
ne hvi
2
1
ne hvui
2
1
ef f
np vth,p + γp µp np E⊥,p
4
(3.56)
(3.57)
(3.58)
Em hvi e hvui são os valores médios de v e vu sobre a função de distribuição electrónica, vth,p é a
velocidade térmica dos iões e γp é definido como
(
γp =
1
ef f
se E⊥,p
está dirigido para a parede
0
caso contrário
(3.59)
No dieléctrico e no corpo de reactor (parede metálica lateral) impõe-se a condição de corrente nula
(dado que estas não estão ligadas à terra), ou seja, o fluxo iónico deve ser igual ao electrónico, assim
Γ⊥,p = Γ⊥,e , substituindo pelas equações 3.56 e 3.58 fica
51
1
1
ef f
ne hvi = np vth,p + γp µp np E⊥,p
(3.60)
2
4
A equação 3.60 terá que ser verificada no dieléctrico e na parede lateral do reactor de modo a
garantir correntes nulas nas paredes.
Na grelha de extração o problema complica-se. A grelha é constituída por metal e buracos. No
metal terá que ser respeitada a condição de corrente nula, visto que a grelha está ligada ao corpo do
reactor. Nos buracos da grelha esta condição já não pode ser imposta, os fluxos de electrões e iões
não necessitam de ser iguais. Deste modo, o fluxo de electrões no buracos da grelha vai ser igualmente
dado pela equação 3.56 e o fluxo dos iões pela equação 3.58, a diferença é que neste caso não se
impõe a igualdade de fluxos. Se definirmos a transparência da grelha α como a razão da soma das
áreas do buracos Aburacos pela área total da grelha Agrelha :
α=
Aburacos
,
Agrelha
(3.61)
o fluxo iónico na grelha pode-se escrever como:
Γz,p
Γ0z,p
(1 − α) Γz,e + αΓ0z,p ;
1
=
np vth,p + µp np Ez .
4
=
(3.62)
(3.63)
em que (1 − α) é a fracção da área metálica na grelha. Assim, o fluxo na grelha é dado por um termo
correspondente à parte metálica (1 − α) Γz,e , que impõe corrente nula e outro termo correspondente
aos buracos da grelha αΓ0z,p em que o fluxo iónico não depende directamente do fluxo electrónico.
A condições 3.56 e 3.57 foram obtidas considerando fronteiras totalmente absorventes, ou seja,
fluxo reflectido na parede nulo, e usando o desenvolvimento a dois termos da equação de Boltzmann
considerando a aproximação de pequenas anisotropias. Nesta aproximação, os fluxos de difusão e de
deriva do electrão quase que se compensam, gerando fluxos globais baixos que são uma mistura dos
dois efeitos.
Para os iões é possível separar o movimento entre movimentos térmico e de deriva. A equação
3.58 inclui um termo de fluxo térmico 14 np vth,p para uma distribuição isotrópica, e um termo de fluxo de
ef f
deriva γp µp np E⊥,p
, que depende do sentido e do módulo do campo efectivo dos iões.
Nas fronteiras físicas do problema (dielétrico, parede lateral e grelha) o potencial deve satisfazer
V =0
(3.64)
No caso de superfícies longas, o potencial ao longo delas poderá variar, neste problema assume-se
que as paredes são equipotenciais, ou seja, não existe fluxo de corrente ao longo delas.
A grelha e a parede metálica estão ligadas electricamente entre si e não estão ligadas à terra,
portanto estão a um potencial flutuante (quando não se aplica qualquer tensão). O dieléctrico está em
contacto físico apenas com a parede lateral, portanto pode-se considerar que a parede e o dieléctrico
estão ao mesmo potencial. Assim, considerando que não há correntes ao longo do dieléctrico e do
metal, e sabendo que o potencial se define a menos de uma constante pode-se dizer que o potencial
nas paredes do reactor é igual em todas elas e igual a zero.
3.3.7
Esquema de cálculo
As equações de transporte de partículas carregadas acopladas à equação de energia e à equação
de Poisson formam um sistema de equações parciais diferenciais sujeitas a determinadas equações
52
fronteira. Da resolução deste sistema de equações resulta uma descrição espacial das densidades de
partículas carregadas, da energia média electrónica e do campo eléctrico de carga de espaço Er,z .
A resolução do problema inicia-se com condições iniciais impostas e evolui em intervalos de tempo
discretos ∆t até à solução final estacionária. As condições iniciais correspondem aos perfis de densidade (electrónica e iónica), à energia média electrónica (2eV em todo o reactor) e a um perfil de potencial. Do módulo electromagnético provêm o campo eléctrico de excitação Eθ e o campo magnético
(que foram calculados para o perfil de densidade electrónica inicial). Os fluxos e o campo eléctrico de
carga de espaço são iniciados a zero.
Figura 3.14: Esquema de cálculo do módulo de transporte
O módulo de tranporte usa um método de avanço das equações no tempo, as diferentes equações
são resolvidas sucessivamente, como indicado na figura 3.14. A figura 3.14 mostra também as principais quantidades físicas calculadas em cada módulo de equações do modelo. Note-se que a equação
de Boltzmann homogénea e estacionária é apenas resolvida uma vez, de modo a construir uma tabela
de parâmetros de transporte (de energia e electrónicos) e termos de colisão em função da energia
média. Os valores da tabela são guardados e são acedidos no início de cada iteração, de modo a ter
os parâmetros sempre actualizados com a energia média electrónica.
O processo iterativo inicia-se usando os valores das densidades de partículas carregadas para
resolver a equação de Poisson e calcular a distribuição de campo eléctrico de carga de espaço na
descarga. Este campo eléctrico juntamente com os campos provenientes do módulo electromagnético
são usados para calcular as novas densidades de partículas carregadas e respectivos fluxos. Também
são resolvidas as equações de energia média electrónica e de fluxo de energia. Para a resolução
da equação dos iões é necessário um passo prévio em que se calcula o campo efectivo. Os novos
valores de densidade voltam a ser introduzidos na equação de Poisson e o processo repete-se até à
convergência.
Rever.....
De modo a forçar a convergência para uma solução estacionária, resolve-se a equação estacionária
de continuidade e impõe-se o valor de densidade electrónica obtido, e a densidade iónica também é
normalizada de igual forma. Esta rotina não estava inicialmente prevista e introduziu-se com o objectivo
de forçar a uma convergência, sem esta o problema tendia para o valor de densidade nula.
53
3.3.8
Resultados e Discussão
Figura 3.15: Gráfico da distribuição de densidade electrónica.
Figura 3.16: Gráfico da distribuição de densidade iónica.
Nesta secção são apresentados os resultados do módulo de transporte de partículas carregadas.
O modelo foi resolvido com as distribuições de campo electromagnético resultantes do módulo anterior,
para uma corrente RF de 1.2A.
Neste modelo não se considerou a campo magnético estático do reactor, que tem a função de
confinar os electrões no canhão. Para manter densidades electrónicas elevadas na ausência deste
campo, resolveu-se fazer as simulações para pressões mais elevadas, deste modo considera-se uma
pressão de gás de p = 500mT orr. Sabe-se que p = N Kb Tg , com N e Tg a densidade e temperatura do
gás, respectivamente, e Kb a constante de Boltzmann. Aumentando a pressão do gás p, a densidade
do gás N também aumenta.
Nesta primeira versão do código, também se desprezou as espessuras da janela e da antena e
substituiu-se o sistema de grelhas aceleradoras por uma única grelha ligada à terra (V = 0) e com uma
54
Figura 3.17: Gráfico da distribuição de potencial.
Figura 3.18: Gráfico da distribuição de campos eléctricos de carga de espaço: (a) campo radial Er , (b)
campo axialEz .
transparência α = 50%.
Na figura 3.15 está representado o perfil de densidade electrónica. O seu máximo está localizado
no centro do eixo de simetria, ou seja, no meio do reactor; e o valor de densidade cai para as diferentes
paredes. Podia-se esperar que existissem mais electrões na zona onde estes são criados, junto à janela
dieléctrica, no entanto o gráfico da densidade apresenta um perfil bastante simétrico. O que quer dizer
que embora os electrões sejam criados junto à janela, estes tendem a deslocar-se para o centro do
reactor por difusão.
A distribuição de densidade iónica (figura 3.16) apresenta um perfil parecido ao da densidade electronica, mas com uma diferença. Junto às paredes observa-se que a densidade iónica apresenta valores superiores à electrónica. Esta facto deve-se à criação de baínhas de carga de espaço.
A distribuição de potencial no reactor é apresentada na figura 3.17. Analisando o perfil de potencial
comprova-se que o plasma se polariza sempre positivamente em relação às suas fronteiras. Aqui o
potencial das fronteiras foi fixado a 0V , atingindo o seu máximo no centro do reactor (∼ 11V ).
Pela distribuição de potencial foram calculados os campos eléctricos de carga de espaço radial
55
Figura 3.19: (a) Gráfico da distribuição de eléctrico de carga de espaço radial para z = 0.5H; (a) Gráfico
da distribuição de eléctrico de carga de espaço axial para r = 0.
(figura 3.18 (a)) e axial (figura 3.18 (b)).
O campo radial é nulo no eixo de simetria (condição fronteira) mantendo valores muito baixos (e
positivos) ao longo do reactor. Na zona de baínha, r & 0.9R (figura 3.19 (a)) o valor do campo aumenta
bastante atingindo o seu máximo na parede do reactor. Note-se que o campo radial é sempre positivo,
isto deve-se ao facto de o campo de carga de espaço ser criado quando os electrões fogem para
a parede, deixando para trás os iões. Esta diferença de cargas cria um campo direccionado para a
parede (positivo) para confinar os electrões e acelerar os iões para a parede.
O campo axial tem um comportamento semelhante, é nulo para z = 0.5H (meio do reactor) e
mantém-se pequeno na maior parte do reactor 0.1H . z . 0.9H. Nas zonas de baínha o campo cresce
para valores positivos nas grelha e para valores negativos na janela. A diferença de sinais justifica-se
pela necessidade de o campo estar dirigido para as paredes.
O cálculo foi iniciado para um perfil de energia plano de 2eV em todo o reactor. O perfil obtido (figura
3.20) é constante em quase todo reactor, tendo o valor de ∼ 1.8eV . Junto dos cantos dieléctrico-parede
lateral (1, 0) e grelha-parede lateral (1, H) o valor de energia cai ligeiramente para os ∼ 1.73eV . Esta
queda deve-se ao descréscimo das partículas nestes cantos.
De modo a termos noção do movimento das partículas do reactor apresentam-se nas figuras 3.21
a 3.23 os fluxos dos electrões e os iões nas suas diversas componentes.
Note-se que os fluxos radiais dos electrões e dos iões apresentam distribuições parecidas. No
entanto, os iões menos móveis tem um fluxo radial mais direccionado, tendo um máximo de fluxo em
z = 0.5H junto à parede. Os electrões têm um fluxo radial com três zonas de máximos: junto à parede
lateral, para a qual os electrões se dirigem e junto das duas fronteiras restantes (janela dieléctrica e
grelha metálica).
Quanto aos fluxos axiais as duas partículas carregadas apresentam fluxos semelhantes, ambos
direccionados para as fronteiras (grelha e dieléctrico).
Chame-se ainda a atenção para as semelhanças entre os fluxos das partículas e o campo de carga
56
Figura 3.20: Gráfico da distribuição de energia electrónica .
Figura 3.21: Gráfico da distribuição de fluxos electrónicos: (a) radial Γe,r e (b) azimutal Γe,z .
de espaço, particularmente junto às fronteiras onde o campo eléctrico é bastante elevado e torna-se no
termo mais importante no cálculo dos fluxos (equações 3.24 e 3.35).
Na figura 3.23 está representado o fluxo polar electrónico, que é gerado pelo campo magnético
criado pela antena rf. Uma corrente atavessa as espiras induzindo este fluxo electrónico no plasma,
que apresenta os seus valores máximos junto à janela dieléctrica. Conseguem-se destinguir seis picos
de fluxo criados pelos seis anéis da antena. Este fluxo está bem localizado, mesmo por cima da
antena, caindo rapidamente ao longo do reactor quer axial quer radialmente. Pode-se dizer que este
fluxo representa a zona de criação do plasma, que se espalha posteriormente por todo o reactor, sendo
estraído na zona aposta pelas grelhas aceleradoras.
Embora não seja aplicada qualquer tensão à grelha de extracção, vai haver um fluxo de partículas
que a atravessam. Na figura 3.24 está representada a diferença Γz,p − Γz,e na grelha. Este será o
perfil iónico de extracção, que integrado em toda a grelha corresponde a uma corrente de extracção de
5mA. Note-se que a anisotropia deste perfil é um resultado directo das condições fronteira. Resultados
experimentais para potencias acopladas de 60W e sem se aplicar qualquer tensão às grelhas indicam
correntes na primeira grelha de ∼ 4mA, o que é um valor muito próximo do agora obtido na simulação.
57
Figura 3.22: Gráfico da distribuição de fluxos iónicos: (a) radial Γp,r e (b) azimutal Γp,z .
Figura 3.23: Gráfico da distribuição de fluxo electrónico azimutal Γcross .
Figura 3.24: Perfil radial de Γz,p − Γz,e na grelha de extracção.
58
Capítulo 4
Caracterização Experimental do
Plasma
4.1
Introdução
Pretende-se neste capítulo estudar o canhão de assistência da Nordiko 3000.
Em primeiro lugar estuda-se o funcionamento do reactor, tentando estabelecer relações entre as
diversas quantidades impostas e lidas pelo utilizador: PRF , V + , V − , I + e fluxo de gás.
São depositados filmes finos de MgO e estudam-se as suas taxas de deposição, para diversas
condições de funcionamento, e condições de cristalização.
4.2
Caracterização do Plasma
Nesta secção estudam-se as condições de funcionamento do plasma no canhão de assistência. O
utilizador pode definir a potência acoplada ao plasma PRF , as tensões nas grelhas V + e V − e o fluxo
do gás (argon). Variando estas quantidades variam as correntes nas grelhas I + e I − .
Para uma potência acoplada e um fluxo de gás (8sccm) constantes variou-se a tensão na grelha V +
de 0 a 500V , mantendo a tensão V − = −100V . Registou-se a variação da corrente I + com a tensão
V + para diferentes potências (60, 65, 70, 75, 80 e 90W ) e representou-se na figura 4.1.
Figura 4.1: Corrente I + em função da tensão V + para diferentes potências (60, 65, 70, 75, 80 e 90W )
59
Figura 4.2: Corrente I + em função da potencia para diferentes tensões aplicadas (V + /V − = 100/ −
100V , 200/ − 100V , 300/ − 100V , 400/ − 100V , 500/ − 100V )
Figura 4.3: Corrente I + em função do fluxo de argon, para a potência de 60W .
Observa-se que a corrente I + aumenta com a tensão aplicada. Este aumento não é linear, mas
√
respeita uma relação de I + ∝ V + .
Note-se que com o aumento da potência, a corrente I + para a mesma tensão aumenta. Esta relação
pode ser melhor analisada na figura 4.2 em que se representa a corrente I + em função da potência
acoplada ao plasma para as diferentes tensões nas grelhas de aceleração. Verifica-se que a corrente
aumenta linearmente com a potência aplicada.
Pode-se definir a quantidade
Pf eixe ∝ I + V + − V −
(4.1)
que representa a potência do feixe iónico extraído das grelhas. Na figura 4.4 representa-se esta quantidade em função da potência acoplada ao plasma. Verifica-se que a potência do feixe evolui linearmente
com a potência acoplada, portanto pode-se dizer que
Pf eixe ∝ Pantena
(4.2)
Esta relação é representada para diferentes tensões nas grelhas (V + = 100 − 500V , V − = −100V )
e verifica-se que quanto maior é a diferença de tensões V + − V − maior é o declive do gráfico, ou seja,
60
Figura 4.4: Potência de feixe I + (V + − V − ) em função da potência para diferentes tensões aplicadas
(V + /V − = 100/ − 100V , 200/ − 100V , 300/ − 100V , 400/ − 100V , 500/ − 100V )
quantro maiores são as tensões de aceleração, para a mesma variação de potência, maior é o aumento
da corrente I + .
4.3
Deposição de Filmes Finos
A obtenção de junções de efeito de túnel de MgO com elevada magnetoresistência requer uma correcta
orientação da rede cristalina.
A deposição por feixe iónico de MgO utilizando a N3000 resulta normalmente em filmes amorfos.
No entanto, se utilizarmos deposição assistida por feixe iónico, nalgumas condições consegue-se obter
filmes cristalizados.
Na deposição assistida por feixe iónico utilizam-se os dois canhões da N3000. O feixe do canhão de
deposição está dirigido para o alvo que arranca o material deste e deposita-o na amostra. O feixe do
canhão de assistência está dirigido para a amostra e tem a função de fornecer energia aos átomos que
estão a ser depositados. Se for fornecida a energia correcta o material cristaliza na estrutura pretendida,
se for fornecida demasiada energia em vez de se depositar material está-se a arrancá-lo.
4.3.1
Influência das condições de plasma na taxa de deposição
Nesta secção estuda-se a variação da taxa de deposição em função das tensões V + e V − aplicadas
às grelhas e em função da corrente I + para diferentes potências e fluxos.
Nos resultados seguintes apenas se variam as condições do canhão de assistência. O canhão de
deposição funciona sempre nas condições apresentadas na tabela 4.1.
I + (mA)
22.0
I − (mA)
0.9
V + (V )
1175.6 (1200)
V − (V )
−292.3 (−300)
P (W )
128
F luxo(sccm)
1.6
Tabela 4.1: Condições de trabalho do canhão de assistência. Os valores entre parentesis são os valores
de setpoint.
O feixe é neutralizado, de modo a não carregar o alvo e evitar faíscas, pelo neutralizador que trabalha
nas condições da tabela 4.2.
61
I(mA)
56.1
V (V )
262.5
F luxo(sccm)
3.0
Tabela 4.2: Condições do neutralizador do canhão de assistência
Figura 4.5: Taxa de deposição em função da tensão V + , para um fluxo de 6sccm e apra potências de
60, 65 e 70W .
Na figura 4.5 apresenta-se a taxa de deposição de MgO em função da tensão V + . A grelha V −
foi mantida a uma tensão de -100V e utilizaram-se três valores diferentes de potência 60, 65 e 70W ,
para um fluxo de 6sccm de Ar. Na figura 4.6 foram utilizadas as mesmas condições mudando apenas o
fluxo para 8sccm de Ar. Analisando a figura 4.5 observa-se que para qualquer uma das potências, com
o aumento da tensão, a taxa de deposição decresce, como era de esperar. No entanto não decresce
de uma forma muito regular. Seria também de esperar que com o aumento da potência a taxa de
deposição decrescesse, no entanto para a potência de 70W os valores das taxas de deposição são,
nalguns pontos superiores aos obtidos para a potência de 65W .
Nas figuras 4.7 e 4.8, em que em vez da tensão se varia a corrente I + a grelha para as potências
de 60, 65 e 70W , observam-se fenómenos semelhantes. As taxas de deposição decrescem com o
aumento da corrente, para a mesma potência, mas a queda não é muito regular e potências maiores
não significam menores taxas de deposição.
Os resultados anteriores devem-se ao perfil do feixe variar nos diferentes casos, não se podendo
obter uma relação entre as taxas de deposição e as tensões e correntes nas grelhas.
Mantendo a mesma potência e fluxo, variando apenas a tensão, os feixes resultantes vão apresentar
perfis diferentes. O mesmo acontece se se fixar as tensões nas grelhas variando a potência.
De modo a se manter o mesmo perfil de feixe variando as tensões nas grelhas é necessário ajustar
também o valor da potência acoplada ao plasma. A relação entre a tensão nas grelhas e a sua corrente,
que resulta em perfis de feixe idênticos, deve-se à geometria do sistema. Os canhões iónicos na N3000
para manterem o mesmo perfil de iões necessitam que
I + = kp V + − V −
3/2
(4.3)
em que kp é a constante que define o perfil do feixe. Assim, ao variar as tensões nas grelhas, temos de
variar a potência de modo a que I + se mantenha na curva definida pela equação 4.3.
O feixe de iões do canhão de assistência direccionado à amostra vai fornecer energia aos átomos
desta e porventura arrancar alguns. É de esperar que com o aumento de energia dos iões a taxa
62
Figura 4.6: Taxa de deposição em função da tensão V + , para um fluxo de 8sccm e apra potências de
60, 65 e 70W .
Figura 4.7: Taxa de deposição em função da corrente I + , para um fluxo de 6sccm e apra potências de
60, 65 e 70W .
de deposição diminua. Se a energia do feixe de iões for muito elevada, deixa-se de se depositar,
começando-se a arrancar material da amostra.
No caso de deposição assistida pode-se definir a taxa de deposição como sendo inversamente
proporcional à potência de feixe (Pf eixe ). Assim,
◦
Espessura
T axaDep A/s =
∝ Pf eixe
∆t
(4.4)
em que ∆t é o tempo de processo.
Considerando que os iões nas grelhas são apenas influenciados pela tensão aplicada nestas e que
a corrente I + é proporcional à quantidade de iões que são extraídos, pode-se definir
Pf eixe ∝ I + V + − V −
Deste modo pode-se escrever a equação 4.4 como
63
(4.5)
Figura 4.8: Taxa de deposição em função da corrente I + , para um fluxo de 8sccm e apra potências de
60, 65 e 70W .
◦
Espessura
∝ I+ V + − V −
T axaDep A/s =
∆t
(4.6)
Para testar esta relação foram depositadas algumas amostras, usando diferentes condições para
dois perfis de feixes diferentes. Estas condições respeitam a equação 4.3 e se a relação está correcta,
a taxa de deposição deve ser inversamente proporcional a I + (V + − V − ).
Figura 4.9: Espaço de fases do canhão de assitência. As linhas a azul são as de perfil de feixe igual e
as linhas vermelhas são as de potência de feixe igual. Os quadrados representam as condições usadas
para a deposição assistida de MgO.
Na figura 4.9 representam-se as condições estudadas para a deposição. As linhas a azul representam os pontos de perfil de feixe igual e as linhas vermelhas os pontos de potência de feixe igual.
Note-se que para uma potência de feixe constante (curvas a azul) a taxa de deposição varia. Tal
deve-se ao perfil de feixe variar ao longo da curva I + = kp (V + − V − )
3/2
.
Nas figuras 4.10 e 4.11 apresenta-se a variação da taxa de deposição para o perfil dos feixes 1 e 2
em função da potência de feixe (Pf eixe ).
64
Figura 4.10: Taxa de deposição em função da potência de feixe, para o perfil 1 da figura 4.9.
Figura 4.11: Taxa de deposição em função da potência de feixe, para o perfil 2 da figura 4.9.
Analisando as figuras verifica-se a relação linear da taxa de deposição com a potência do feixe.
A introdução da relação 4.3 de perfil de feixe constante permitiu compreender melhor os efeitos da
corrente e das tensões nas grelhas na deposição de filmes.
65
P (W )
65
60
60
60
V + (V )
145.3
96.3
96.3
96.3
V − (V )
−96.5
−96.5
−96.5
−96.5
I + (mA)
24.6
20, 7
20, 1
19, 4
I − (mA)
10.7
10.7
10.1
9.8
F luxo
8
8
7
6
T empo(s)
4000
4000
4000
4000
Esp(A)
262
401
430
430
T Dep(A/s)
0.11
0.105
0.10
0.07
Tabela 4.3: Condições de trabalho do canhão de assistência. Os valores entre parentesis são os valores
de setpoint.
Tabela 4.4: Condições de trabalho do canhão de assistência usadas para o feixe 1 da figura 4.9.
P (W )
70
70
65
60
V + (V )
194
194
194
145.3
V − (V )
−96.5
−96.5
−96.5
−96.5
I + (mA)
28, 1
27, 9
25, 7
22
I − (mA)
2.4
2.5
1.9
7.9
F luxo)
6
8
6
7
T empo(s)
4000
4000
4000
4000
Esp(A)
283
295
305
404
T Dep(A/s)
0.044
0.048
0.058
0.076
Tabela 4.5: Condições de trabalho do canhão de assistência usadas para o feixe 2 da figura 4.9.
4.3.2
Influência das condições de deposição na cristalização de MgO
Para a fabricação de junções é importante que os filmes de MgO cristalizem na estrutura bcc (200).
Os filmes depositados utilizando apenas o canhão de deposição não cristalizam (figura 4.12). Utilizando o canhão de assistência para fornecer energia aos átomos depositados, em certas condições,
o MgO cristaliza na estrutura desejada. O objectivo deste trabalho é descobrir quais. Os filmes são
depositados directamente sobre vidro sem qualquer outra camada.
Figura 4.12: Perfil de difracção raio-X de uma amostra depositada sem o canhão de asistência.
Para verificar se a amostra depositada cristalizou, utilizou-se um difractómetro de raio-X, caso o
cristal esteja orientado na estrutura (200) aparece um pico de intensidade para 2θ = 19.3.
Foram testadas diversas condições de deposição e foram obtidos picos para diferentes condições.
Um exemplo de um pico de cristalização está representado na figura 4.13. Esta amostra foi depositada
para uma potência no canhão de assistência de 65W , tensões V + = 150 e V − = −100V e um fluxo de
7sccm de Ar.
As diferentes condições de deposição e respectivos valores dos picos encontram-se em anexo na
66
Figura 4.13: Perfil de difracção raio-X de uma amostra depositada com o canhão de asistência, para
uma potência de 65W , tensões V + = 150 e V − = −100V e um fluxo de 7sccm de Ar.
Figura 4.14: Intensidade dos picos de raio-X (CP S/A◦ ) em função da potência do feixe (I + (V + − V − )).
tabela ??.
Na figura 4.14 apresentam-se os valores da intensidade do raio-X (contagens por segundo por
angstrom CP S/A◦ ) em função da potência do feixe I + (V + − V − ). O gráfico não é muito conclusivo,
os picos de cristalização situam-se todos numa nuvem entre os 4 e 8W . Fora deste intervalo não
foi encontrado qualquer pico. De todos os picos de cristalização encontrados (17) nenhum foi obtido
para tensões na grelha V + abaixo dos 100V , porque o feixe é pouco intenso. Também não foi obtido
nenhum para tensões V + acima dos 200V Acima destes valores o feixe fica muito intenso arrancando
muito material da amostra. No gráfico da figura 4.15 pode-se ver a distribuição do número de picos
encontrados em função da tensão na grelha V + , onde se pode ver maior parte dos picos ocorre para a
tensão V + = 200V .
67
Figura 4.15: Percentagem do numero de picos de cristalização em função da tensão na grelha V + ,
mantendo a grelha V − a um potencial de −100V .
68
Capítulo 5
Comentários Finais
Intro
69
Bibliografia
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70
[23] J.R. Bowler, Teory of electromagnetic nondestructive evaluation, chapter 1 Magnetic due to electric
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71
Apêndice A
Discretização das equações do
módulo electromagnético
A.1
Grelha numérica
As equações de transporte das partículas carregadas acopladas à equação da energia electrónica e
à equação de Poisson formam um sistema de equações diferenciais parciais sujeitas a determinadas
condições fronteira. A solução deste sistema de equações resulta numa descrição espacial das densidades ne,p (r, z) e fluxos Γe,p (r, z) de partículas, da energia média electrónica ε(r, z), e do campo
eléctrico de carga de espaço E(r, z).
O problema pode ser resolvido usando métodos numéricos discretos. O espaço físico a modelar é
dividido em regiões discretas, limitadas por um grelha de pontos (i, j) chamada grelha numérica (figura
??).
Esquema da grelha (legenda: Esquema da grelha computacional. As fonteiras verticais são a
janela dieléctrica (em z0 = 0) e a grelha de aceleração (em znz = H). As fronteiras horizontais são o
eixo (em r0 = 0) e a parede lateral (em rnr = R).
A grelha é definida por um número finito de pontos (i, j), em que i = 0, nr e j = i, nz . A distância
entre pontos consecutivos é constante em cada direcção, definindo-se as coordenadas (ri , zj ) = (ih, jg)
em que h = ri − ri−1 e h = zj − zj−1 representam os passos da grelha nas direcções radial e axial,
respectivamente. Foi escolhida um grelha de 151 × 101 = 15251 pontos (nr = 150 e nz = 100).
As quantidades que são derivadas das quantidades definidas nos pontos da grelha são calculadas
com as diferenças de dois pontos seguidos, assim estes valores são calculados para pontos intermédios
da grelha. Para estas quantidades ficarem definidas correctamente definem-se os pontos intermédios
da grelha (i + 1/2, j), (i − 1/2, j), (i, j + 1/2), e (i, j − 1/2). As diferentes quantidades são definidas
na grelha consoante o seu significado físico,. As quantidades escalares tais como as densidades de
partículas ne,p , a energia média electrónica ε, o potencial do plasma V e o campo eléctrico de excitação
Eθ são calculadas nos pontos (i, j); as componentes axiais ou radiais das quantidades vectoriais como
o campo eléctrico Er,z , os fluxos Γe,p e o campo magnético Br,z são definidos nos pontos intermédios
(i + 1/2, j) e (i, j + 1/2), respectivamente.
72
A.2
Discretização da equação de campo eléctrico Eθ
Nesta secção serão apresentadas as equações discretizadas do módulo eléctromagnético. A resolução
das equações é feita usando o método das diferenças finitas e uma grelha numéria de malha constante
a 2D.
A equação do campo eléctrico (cf. equação 3.2)
∂ (E)
= iσµ0 ωE
(A.1)
∂z
pode ser discretizada integrando a equação entre ri−1/2 , ri+1/2 e zj−1/2 , zj+1/2 . Definem-se as
∂
∂r
quantidades f =
1 ∂(rE)
r ∂r
∂(E)
∂z
eg=
1 ∂ (rE)
r ∂r
∂
+
∂z
e a equação fica:
∂
∂
f+
g = iσµ0 ωE.
∂r
∂z
Para simplificar integram-se separadamente cada um dos seus termos, assim:
(A.2)
1o termo da equação
ri+1/2 zj+1/2
Z
Z
∂f (r, z)
drdz = fi+1/2,j − fi−1/2,j zj+1/2 − zj−1/2 ;
∂r
(A.3)
ri−1/2 zj−1/2
2o termo da equação
ri+1/2 zj+1/2
Z
Z
∂g(r, z)
drdz = gi,j+1/2 − gi,j−1/2 ri+1/2 − ri−1/2 ;
∂r
(A.4)
ri−1/2 zj−1/2
3o termo da equação
ri+1/2 zj+1/2
Z
Z
iσ(r, z)µ0 ωE(r, z)drdz = iωµ0 σi,j Ei,j ri+1/2 − ri−1/2 zj+1/2 − zj−1/2 .
(A.5)
ri−1/2 zj−1/2
É agora necessário definir fi+1/2,j e fi−1/2,j .
Zri
Zri
fi,j rdr
ri−1
=
1 ∂ (rE)
rdr = ri Ei,j − ri−1 Ei−1,j
r ∂r
(A.6)
ri−1
Zri
Zri
fi,j rdr
' fi−1/2,j
ri−1
rdr = fi−1/2,j
1 2
2
r − ri−1
2 i
(A.7)
ri−1
Juntando as duas equações
fi−1/2,j = 2
ri Ei,j − ri−1 Ei−1,j
.
2
ri2 − ri−1
(A.8)
Analogamente obtém-se:
fi+1/2,j = 2
ri+1 Ei+1,j − ri Ei,j
.
2
ri+1
− ri2
73
(A.9)
De modo idêntico calcula-se gi,j+1/2 e gi,j−1/2 .
Zzj
Zzj
gi,j dz
=
zj−1
∂ (E)
dz = Ei,j − Ei,j−1
∂z
(A.10)
zj−1
Zzj
Zzj
gi,j dz
'
gi,j−1/2
dz = zj − zj−1
(A.11)
zj−1
zj−1
Juntanto
gi,j−1/2 =
Ei,j − Ei,j−1
zj − zj−1
(A.12)
gi,j+1/2 =
Ei,j+1 − Ei,j
.
zj+1 − zj
(A.13)
e
Pode-se agora escrever a equação de campo eléctrico discretizada:
ri+1 Ei+1,j − ri Ei,j ri+1 Ei+1,j − ri Ei,j
zj+1/2 − zj−1/2
−
2
2
2
2
2
ri+1 − ri
ri+1 − ri
Ei,j+1 − Ei,j
Ei,j − Ei,j−1 +
ri+1/2 − ri−1/2
−
zj+1 − zj
zj − zj−1
= iσi,j µ0 ωEi,j ri+1/2 − ri−1/2 zj+1/2 − zj−1/2 .
A.3
(A.14)
Discretização da condição fronteira


! ZR ZH
1/2
0 1/2
6
∼
µ0 ω  X
r
Rcw
E θ (r, 0) =
−iIRF
G [k (Rcw , 0)] +
J θ (r0 , z 0 )
G [k (r0 , z 0 )] drdz 
2π w=1
r
r
∼
r´=0z=0
(A.15)
RR H
R
Para discretizar a equação separa-se o integral
nas suas diferentes componentes: interior e
fonteiras. A discretização é feita em intervalos ri+1/2 − ri−1/2 zj+1/2 − zj−1/2 no volume do plasma.
r´=0z=0
Na fronteira o dominio de integração altera-se para:
• ri−1/2 , ri+1/2 z0 , z1/2 para o dieléctrico i = 1, nr − 1;
• ri−1/2 , ri+1/2 znz −1/2 , znz para a grelha i = 1, nr − 1;
• r0 , r1/2 zj−1/2 , zj+1/2 para o eixo j = 1, nz − 1;
• rnr −1/2 , rnr zj−1/2 , zj+1/2 para a parede lateral j = 1, nz − 1;
• r0 , r1/2 z0 , z1/2 para o canto eixo-dieléctrico (0, 0);
• r0 , r1/2 znz −1/2 , znz para o canto eixo-grelha (0, H);
74
• rnr −1/2 , rnr z0 , z1/2 para o canto parede-dieléctrico (R, 0);
• rnr −1/2 , rnr znz −1/2 , znz para o canto parede-grelha (R, H).
∼
Apresenta-se agora a discretização da condição fronteira do campo eléctrico E θ .
Ei,j
=
!)
1/2
Rcw
−iIRF
Gi,j (Rcw , 0) [ki,j (Rcw , 0)]
ri
w=1
1/2
nX
r −1n
z −1
X
ri0
0
0
0
0
Gi,j (i0 , j 0 ) ri0 +1/2 − ri0 −1/2 zj 0 +1/2 − zj 0 −1/2
+
σi ,j Ei ,j
r
i
0
0
µ0 ω
2π
(
6
X
i =1 j =1
nX
z −1
+
rnr 0
ri
ri0
ri
1/2
σnr ,j 0 Enr ,j 0
j 0 =1
nX
r −1
+
σi0 ,0 Ei0 ,0
i0 =1
nX
r −1
1/2
Gi,j (n, j 0 ) rnr − rnr −1/2 zj 0 +1/2 − zj 0 −1/2
Gi,j (i0 , 0) ri0 +1/2 − ri0 −1/2 z1/2 − z0
1/2
ri0
Gi,j (i0 , nz ) ri+1/2 − ri−1/2 znz − znz −1/2
ri
i0 =1
1/2
rnr
+2σnr ,nz Enr ,nz
Gi,j (nr , nz ) rnr − rnr −1/2 znz − znz −1/2
ri
1/2
rnr
+2σnr ,0 Enr ,0
Gi,j (nr , 0) rnr − rnr −1/2 z1/2 − z0
ri
+
σi0 ,nz Ei0 ,nz
(A.16)
Em que Gi,j (i0 , j 0 ), ki,j (i0 , j 0 ), Ki,j (i0 , j 0 ), e Ei,j (i0 , j 0 ) são definidos por:
Gi,j (i0 , j 0 ) =
h
2 i
2 − ki,j (i0 , j 0 )
Ki,j (i0 , j 0 ) − 2Ei,j (i0 , j 0 )
ki,j (i0 , j 0 )
"
0
ki,j (i , j ) = 2
0
0
Ki,j (i , j ) =
Zπ/2h
2
(A.17)
#1/2
ri , ri0
0
;
2
(ri + ri0 ) + (zj + zj 0 )
;
i−1/2
2
1 − ki,j (i0 , j 0 ) sin2 θ
dθ;
(A.18)
(A.19)
0
Zπ/2h
i1/2
2
Ei,j (i , j ) =
1 − ki,j (i0 , j 0 ) sin2 θ
dθ.
0
0
(A.20)
0
O primeiro termo da equação A.16 corresponde à contribuição dos seis anéis da antena para o
campo. Os restantes termos correspondem ao integral sobre todo o reactor. O segundo termo corresponde ao integral sobre o interior do reactor, o terceiro termo corresponde à parede lateral, o 4o
ao dieléctrico e o 5o à grelha. Os 6o e 7o termos correspondem aos cantos parede-grelha e parededieléctrico, respectivamente.
75
Apêndice B
Discretização das equações do
módulo de transporte de partículas
carregadas
B.1
Equações de continuidade
É usado o algoritmo de Crank-Nicholson para integrar as equações de tranporte no tempo. Para exemplificar o método de integração usa-se a equação de continuidade electrónica integrada entre tk e
tk+1 .
Este algoritmo consiste no seguinte. Primeiro separa-se aa equação nas suas componentes axial
e radial, que são integradas separadamente introduzindo o tempo e
t para distinguir os intervalos de
integração de cada componente. Assim, a integração radial é feita entre tk e e
t, e a integração axial
entre e
t e tk+1 , em que se define ∆t = e
t − tk = tk+1 − e
t. Deste modo, a equação 3.22 pode-se escrever
!
"
et
tk #
k
1 ∂ (rΓer )
1
1 ∂ (rΓer )
1
nete − nte
tk
+
+
=
(Se )i,j
∆t
2
r ∂r
r ∂r
2
i,j
i,j
i,j
!
"
#
tk+1 et
k+1
nte − nete
∂Γez
1
∂Γez
1
tk
+
+
=
(Se )i,j
(B.1)
∆t
2
∂z i,j
∂z i,j
2
i,j
em que a primeira equação corresponde a integração radial e a segunda à integração axial.
Note-se que os fluxos axiais no tempo e
t que aparecem na equação B.1 (baixo) são actualizados
usando os valores de densidade calculados na equação B.1 (cima). Note-se ainda que a soma das
duas equações dá a equação de continuidade original.
Este método também pode ser aplicado às diferentes equações de continuidade: de energia média
e iónica).
Para resolver a equação (radial) (eq. B.1 (cima)) é necessário definir os fluxos nos pontos (i, j).
1 ∂ (rΓer )
r ∂r
et
1 ∂ (rΓer )
r ∂r
tk
e
t
tk
tk
=
=
1 (rΓer )i+1/2,j − (rΓer )i−1/2,j
ri
h
i,j
i,j
e
t
1 (rΓer )i+1/2,j − (rΓer )i−1/2,j
ri
h
76
(B.2)
B.2
Resolução das equações de transporte
A resolução das equações de continuidade é descrita nesta secção. Substuituindo os fluxos (equações
B.2) na equação da continuidade (B.1) e usando o esquema exponencial [20], pode-se chegar às
segintes equações
1
2
3
Ci,j
n
eei−1,j + Ci,j
n
eei,j + Ci,j
n
eei+1,j
k+1
k+1
k+1
2
4
5
Ci,j
ntei,j + Ci,j
ntei,j−1 + Ci,j
ntei,j+1
6
4
5
= Ci,j
− Ci,j
nei,j−1 − Ci,j
nei,j+1
6
1
3
= Ci,j
− Ci,j
n
eei−1,j − Ci,j
n
eei+1,j
(B.3)
k+1
l
em que n
eei,j e ntei,j são as densidades desconhecidas nos tempos e
t e tk+1 , respectivamente, e Ci,j
,l =
1−6 são os coeficientes de transporte. A equação B.3 (cima) é a equação radial e B.3 (baixo) a equação
axial.
Analisando a equação radial, esta pode ser expressa como uma matriz A.X = B. A matriz A é
2
tridiagonal, a diagonal princial contem os coeficientes Ci,j
e as diagonais inferior e superior contêm
3
1
, respectivamente. Assim, a matriz tridiagonal multiplica o vector X das
e Ci,j
os coeficientes Ci,j
6
4
5
densidades n
eei,j . Este resultado igual-se ao vector B dado por Ci,j
− Ci,j
nei,j−1 − Ci,j
nei,j+1 .
A matriz A.X = B é resolvida usando o algoritmo de Thomas, resultando o perfil de densidade
n
eei,j no tempo e
t. Esta solução corresponde apenas à integração da parte radial da equação de continuidade electrónica. A solução completa requer a resolução da parte axial (equação B.3(baixo)) , que
é semelhante à axial, em que resulta outra matriz para resolver.
B.3
Coeficientes de transporte electrónicos
l
Nesta secção apresentam-se os coeficientes de transporte electrónicos Ci,j
nas diferentes regiões do
domínio de integração (interior e fronteiras).
• Interior do canhão (i, j)
l
Nos pontos internos os coeficientes Ci,j
definem-se por:
1
Ci,j
=
2
Ci,j
=
3
Ci,j
=
4
Ci,j
=
5
Ci,j
=
6
Ci,j
=
1 ri−1/2
(zpr)i−1/2,j Dei−1,j exp −(zer)i−1/2,j h ;
(B.4)
h ri
o
1 1 n
ri+1/2 (zpr)i+1/2,j Dei,j exp −(zer)i+1/2,j h + ri−1/2 (zpr)i−1/2,j Dei,j (B.5)
−
h ri
o
1n
−
(zpz)i,j+1/2 Dei,j exp −(zez)i,j+1/2 g + (zpz)i,j−1/2 Dei,j ;
(B.6)
g
1 ri+1/2
(zpr)i+1/2,j Dei+1,j ;
(B.7)
h ri
1
(zpz)i,j−1/2 Dei,j−1 exp −(zez)i,j−1/2 g ;
(B.8)
g
1
(zpz)i,j+1/2 Dei,j+1 ;
(B.9)
g
Sei,j .
(B.10)
Nas expressões acima introduziram-se as seguintes quantidades:
77
Eri+1/2,j
(zer)i+1/2,j
≡
(zpr)i+1/2,j
−1
≡ (zer)i+1/2,j exp −(zer)i+1/2,j h − 1
Ezi,j+1/2
≡
uci,j+1/2
−1
≡ (zez)i,j+1/2 exp −(zez)i,j+1/2 g − 1
uci,j + uci+1,j
=
2
uci,j + uci,j+1
=
2
Dei,j
=
.
µei,j
(zez)i,j+1/2
(zpz)i,j+1/2
uci+1/2,j
uci,j+1/2
uci,j
(B.11)
uci+1/2,j
(B.12)
(B.13)
(B.14)
(B.15)
(B.16)
(B.17)
• Eixo (i = 0, j), j = 1, nz −1
1
é nulo.
No eixo de simetria não existe a componente de densidade n
eei−1,j , portanto Ci,j
1
C0,j
2
C0,j
3
C0,j
4
C0,j
5
C0,j
6
C0,j
=
(B.18)
0
8
r1/2 (zpr)1/2,j De0,j exp −(zer)1/2,j h
h2
o
1n
(zpz)0,j+1/2 De0,j exp −(zez)0,j+1/2 g + (zpz)0,j−1/2 De0,j
−
g
8
=
r1/2 (zpr)1/2,j De1,j
h2
1
(zpz)0,j−1/2 De0,j−1 exp −(zez)0,j−1/2 g
=
g
1
(zpz)0,j+1/2 De0,j+1
=
g
= Se0,j .
= −
(B.19)
(B.20)
(B.21)
(B.22)
(B.23)
(B.24)
• Parede lateral (i = nr , j), j = 1, nz −1
Na parede, de forma idêntica à do eixo, a componente de densidade n
eei+1,j não existe, portanto
3
Ci,j
é nulo. Como condição fronteira fpoi imposto fluxo axial nulo na parede, deste modo os
4
5
coeficientes Ci,j
e Ci,j
anulam-se.
rnr −1/2
Cn1r ,j
=
Cn2r ,j
=
1
v n ,j
2 r
Cn3r ,j
=
0
(B.27)
Cn4r ,j
=
0
(B.28)
Cn5r ,j
=
0
(B.29)
Cn6r ,j
= Senr ,j
(B.30)
h
2
rnr −
h
2
h
4
(zpr)nr −1/2,j Denr −1,j exp −(zer)nr −1/2,j h
rnr
−
rnr − h4
78
rnr −1/2
h
2
rnr −
h
4
n
o
(zpr)nr −1/2,j Denr ,j
(B.25)
(B.26)
• Grelha (i, nz), i = 1, nr −1
5
3
1
por não haver fluxo radial e o coeficiente Ci,j
e Ci,n
Na grelha anulam-se os coeficientes Ci,n
z
z
por não existir a componete nei,j+1 da densidade.
1
Ci,n
z
=
0
(B.31)
2
Ci,n
z
=
1 1
1
(zpz)i,nz −1/2 Dei,nz
v ni,nz −
g/2 2
g/2
(B.32)
3
Ci,n
z
=
0
(B.33)
4
Ci,n
z
=
1
(zpz)i,nz −1/2 Dei,nz −1 exp −(zez)i,nz −1/2 g
g/2
(B.34)
5
Ci,n
z
=
0
(B.35)
6
Ci,n
z
=
Sei,nz
(B.36)
• Dieléctrico (i, 0), i = 1, nr −1
1
3
4
Tal como na grelha o coeficientes Ci,n
e Ci,n
são nulos, tal como o coeficiente Ci,0
.
z
z
1
Ci,0
=
0
(B.37)
2
Ci,0
=
1
1 1
v ni,0 −
(zpz)i,1/2 Dei,0 exp −(zez)i,1/2 g
g/2 2
g/2
(B.38)
3
Ci,0
=
0
(B.39)
4
Ci,0
=
0
(B.40)
5
Ci,0
=
1
(zpz)i,1/2 Dei,1
g/2
(B.41)
6
Ci,0
= Sei,0
(B.42)
• Centro do dielétrico (0, 0)
No centro da grelha deve-se garantir que a derivada da densidade seja nula (condição fronteira),
deste modo iguala-se a densidade no centro à densidade do ponto radial seguinte: n0,0 = n1,0 .
1
Ci,0
=
0
(B.43)
2
Ci,0
=
1
(B.44)
3
Ci,0
=
1
(B.45)
4
Ci,0
=
0
(B.46)
5
Ci,0
=
0
(B.47)
6
Ci,0
=
0
(B.48)
79
• Canto parede-dielétrico (nr , 0)
Nos cantos a densidade é calculada como a média das densidades dos dois pontos mais próximos: nnr ,0 =
nnr−1 ,0 +nnr ,1
.
2
1
Ci,0
=
0.5
(B.49)
2
Ci,0
=
1
(B.50)
3
Ci,0
=
0.5
(B.51)
4
Ci,0
=
0
(B.52)
5
Ci,0
=
0
(B.53)
6
Ci,0
=
0
(B.54)
• Centro do grelha (0, nz )
1
Ci,0
=
0
(B.55)
2
Ci,0
=
1
(B.56)
3
Ci,0
=
1
(B.57)
4
Ci,0
=
0
(B.58)
5
Ci,0
=
0
(B.59)
6
Ci,0
=
0
(B.60)
• Canto parede-grelha (nr , nz )
1
Ci,0
=
0.5
(B.61)
2
Ci,0
=
1
(B.62)
3
Ci,0
=
0.5
(B.63)
4
Ci,0
=
0
(B.64)
5
Ci,0
=
0
(B.65)
6
Ci,0
=
0
(B.66)
80
Apêndice C
Equação de Poisson
O campo eléctrico é calculado resolvendo a equação de Poisson
∇.E =
e
(np − ne )
ε0
(C.1)
sabendo os valores das densidades de partículas ne e np . A formulação semi-implicita da equação de
Poisson pode ser escrita como:
ρ + ∆t(∂ρ/∂t)
ε0
∇.E =
(C.2)
em que ρ = np −ne é a densidade total de carga e ∂ρ/∂t ' ρ/τD , onde τD = ε0 /σ é o tempo de Maxwell
e σ é a conductividade total do plasma.
ρ
∇.E =
ε0
∆t
1+
τD
−1
(C.3)
O lado esquerdo da equação é descritizado como
(∇.E)i,j =
(rEr )i+1/2,j − (rEr )i−1/2,j
ri h
+
Ezi,j+1/2 − Ezi,j−1/2
g
(C.4)
e considerando a definição de campo eléctrico em termos do potencial
Eri+1/2,j
Ezi,j+1/2
Vi+1,j − Vi,j
h
Vi,j+1 − Vi,j
.
= −
g
= −
(C.5)
(C.6)
A equação C.3 pode ser reescrita, depois de agrupar os seus diferentes termos , em
1
2
3
4
5
6
Ci,j
Vi−1,j + Ci,j
Vi,j + Ci,j
Vi+1,j + Ci,j
Vi,j−1 + Ci,j
Vi,j+1 = Ci,j
.
(C.7)
Esta discretização foi feita para um esquema de resolução de cinco pontos, em que cada ponto
de potencial Vi,j depende do potencial no próprio ponto (i, j) e nos quatros pontos que o rodeiam.
Apresentam-se na equação C.8 os coeficientes para o interior do domínio de integração.
81
4
Ci,j
ri−1/2 g 2
ri h2
1 g2
= −2 −
ri+1/2 + ri−1/2
2
ri h
ri+1/2 g 2
=
ri h2
= 1
5
Ci,j
=
1
=
−1
ρ 2
∆t
− g 1+
ε0
τD
1
Ci,j
2
Ci,j
3
Ci,j
6
Ci,j
=
(C.8)
De modo semelhante às equações de transporte, a descretização da equação de Poisson pode ser
resolvida numa matrix A.X = B, em que a matrix X já não é tridiagonal, mas pentagonal. O vector X
6
contém os elementos Vi,j e o vector B contém os coeficientes Ci,j
.
l
são apenas definidos para os pontos interiores, para as fronNote-se que os coeficientes Ci,j
teiras físicas do problema o potencial é imposto pelas condições fronteira. No entanto, os coeficientes
l
l
l
Ci,1
,Ci,nz−1
, e Cnr−1,j
, associados às linhas e colunas segintes ao dieléctrico, grelha e parede lateral,
respectivamente, são calculados de maneira diferente.
• Dielétrico (i, 1), i = 1, nr −1
1
Ci,1
=
2
Ci,1
=
3
Ci,1
=
4
Ci,1
=
ri−1/2 g 2
ri h2
1 g2
−2 −
ri+1/2 + ri−1/2
2
ri h
ri+1/2 g 2
ri h2
1
5
Ci,1
=
0
=
−1
ρ 2
∆t
− g 1+
− Vi,0
ε0
τD i,1
6
Ci,1
(C.9)
• Grelha (i, nz − 1), i = 1, nr −1
4
Ci,n
z −1
ri−1/2 g 2
ri h2
1 g2
ri+1/2 + ri−1/2
= −2 −
2
ri h
ri+1/2 g 2
=
ri h2
= 0
5
Ci,n
z −1
=
6
Ci,n
z −1
= −
1
Ci,n
z −1
2
Ci,n
z −1
3
Ci,n
z −1
=
1
−1
ρ 2
∆t
− Vi,nz
g 1+
ε0
τD i,nz −1
• Parede lateral (i = nr , j), j = 1, nz −1
82
(C.10)
rnr −1/2 g 2
rnr h2
1 g2
−2 −
rnr +1/2 + rnr −1/2
2
rnr h
Cn1r −1,j
=
Cn2r −1,j
=
Cn3r −1,j
=
0
Cn4r −1,j
=
1
Cn5r −1,j
=
1
=
−1
ρ 2
∆t
− g 1+
− Vnr,j
ε0
τD nr −1,j
Cn6r −1,j
(C.11)
• Eixo (i = 0, j), , j = 1, nz −1
l
No eixo de simetria os coeficientes C0,j
são definidos por:
1
C0,j
=
0
4
C0,j
8g 2
r1/2
= −2 −
h3
8g 2
= r1/2
h3
= 1
5
C0,j
=
6
C0,j
−1
ρ 2
∆t
= − g 1+
ε0
τD 0,j
2
C0,j
3
C0,j
1
83
(C.12)