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CRISTINA MISSEL SILVA
AS DIFICULDADES NA ELABORAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO, NO
ENSINO MÉDIO, EM MATEMÁTICA
Criciúma
2004
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CRISTINA MISSEL SILVA
AS DIFICULDADES NA ELABORAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO, NO
ENSINO MÉDIO, EM MATEMÁTICA
Monografia apresentada à Diretoria de Pós-Graduação da
Universidade do Extremo Sul Catarinense – UNESC, para a
obtenção do título de especialista, em Educação
Matemática.
Orientador: Régis Nunes Medeiros
Criciúma
2004
3
Dedico esta monografia as pessoas que me acompanharam nessa árdua
caminhada, mas extremamente gratificante:
Aos meus pais, responsáveis por todas as coisas boas de minha vida,
pelo exemplo de virtude, seriedade e honestidade, que me ensinaram os
princípios e valores com que tracei minha vida, na busca dos meus ideais e
sonhos, a Cristiane e Maurício, meus irmãos que muito me incentivou nessa
caminhada.
Ao Emerson, um grande companheiro que esteve sempre ao meu lado.
A Deus que, em todos os momentos de nossa vida está presente.
Enfim, agradeço a todos que, de alguma forma, contribuíram par a
realização deste trabalho.
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RESUMO
Esta pesquisa relata um estudo desenvolvido ao Programa de Pós
Graduação da Universidade do Extremo Sul Catarinense (UNESC), com o objetivo
de identificar as dificuldades enfrentadas pelos alunos na conceitualização de função
na Primeira Série do Ensino Médio.
Apresenta-se considerações relacionadas à história da origem do conceito
das funções entre diversos autores e suas aplicações.Também fez-se um estudo
através de uma pesquisa com três professores do Ensino Médio de diferentes
escolas do Município de Santo Antônio da Patrulha no Rio Grande do Sul.
Através desta pesquisa podemos diagnosticar diferentes dificuldades
percebidas pelos professores no momento de conceitualizar funções com seus
alunos e também perceber algumas atitudes que se deveria seguir no momento de
ensinar tal conteúdo.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................6
1.
OBJETIVOS.........................................................................................................8
2.
REFERENCIAL TEÓRICO ................................................................................10
2.1
2.2
2.3
3.
HISTÓRIA DAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS .............................................10
O CONCEITO DE FUNÇÃO NO BRASIL ...................................................16
REFLEXÕES SOBRE O ENSINO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ............20
METODOLOGIA ................................................................................................22
3.1
HISTÓRIA DAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS .............................................22
3.2
UM BREVE RELATO SOBRE OS PROFESSORES E AS ESCOLAS EM
QUE ATUAM .........................................................................................................24
4. A DIFUCULDADE EM CONCEITUALIZAR FUNÇÕES (AS ANÁLISES
FEITAS) ....................................................................................................................26
5. UMA VISÃO DOS ENTREVISTADOS SOBRE FUNÇÕES ATRAVÉS DOS
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCNS) .........................................34
CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................37
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .........................................................................40
ANEXO .....................................................................................................................41
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INTRODUÇÃO
Muitos dos conceitos matemáticos que se ensinamos estão explícita ou
implicitamente presentes em diversas situações do dia-a-dia, como por exemplo
funções. Os gráficos de vários tipos e as tabelas que se vêem diariamente nos
jornais, revistas e noticiários da televisão e que desde cedo fazem parte da vida dos
alunos, são na realidade formas de representação de diversas funções.
Pode-se perceber que o conceito de função tem sido motivo de
preocupação de muitos professores, por sentirem a grande dificuldade que os
alunos enfrentam em se apropriar desse conceito.
No ensino atual e nos livros didáticos mais usados o assunto função é
apresentado destacando-se duas características:
• O conceito de função como expressão analítica;
• A introdução do conceito como conjunto de pares ordenados e como caso
particular de relações.
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A primeira dessas características reflete a tendência de alguns grandes
matemáticos durante o processo histórico da definição de função. A segunda reflete
o último estágio desse processo, com definição de Peano (Sierpinska,1992).
A partir de uma visão de educadores de Matemática da 1ª Série do Ensino
Médio foi feita uma análise das dificuldades percebidas por esses educadores na
conceitualização de função. Foram analisadas as formas como cada professor
apresenta esse conceito em sala de aula, a maneira como desenvolvem esse
conteúdo, a utilização de simbologias e também as diferentes dificuldades que cada
educador focaliza em seus educando com relação ao conteúdo funções.
Tendo como base a experiência de educadores, o trabalho pretende dar
subsídios aos professores da 1ª Série do Ensino Médio para perceberem as
dificuldades de seus alunos no trabalho com funções e questionar-se sobre essas
dificuldades, fazendo uma relação com seus trabalhos e educandos, questionandose se as causas apresentadas também condizem com as situações enfrentadas por
si. Sendo assim, o professor também será instigado a rever a sua forma de ensinar o
conceito de função.
A partir do que foi analisado pretende-se despertar nos educadores a
forma como poderiam possibilitar uma aula, aos seus alunos, de forma que esses
utilizem o conceito de função de maneira significativa, revendo suas posições diante
desse assunto.
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1. OBJETIVOS
No decorrer dos anos, percebe-se que os temas nos quais nossos
alunos encontram maiores dificuldades no ensino da Matemática são sempre os
mesmos.
Pergunta-se, muitas vezes, se existe alguma forma diferente de
apresentar os conceitos matemáticos sem perder de vista o formal; se haveria um
meio de tornar o ensino da Matemática mais leve, mais aplicado, porém sem
imediatismo.
Pesquisar sobre as dificuldades na elaboração do conceito de função no
Ensino Médio, em Matemática é o objetivo desta pesquisa.
Na busca em compreender os problemas, de conceitualização de função
enfrentados por alunos leva-se a:
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• Pesquisar sobre os obstáculos epistemológicos na apropriação no
conceito de funções a partir do referencial teórico;
• Verificar a prática pedagógica dos professores no trabalho com
funções em sala de aula;
• Pesquisar sobre os problemas apresentados pelos alunos na
elaboração do conceito de função, percebidos pelos professores.
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2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 HISTÓRIA DAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS
A idéia de função, percorreu muitos séculos desde as suas primeiras
noções intuitivas, e chegou à sua elaboração mais recente apenas no século XX..
Não parece existir consenso entre os diversos autores, a respeito da
origem do conceito de função.
Alguns deles consideram que os babilônios já possuíam um “instinto de
funcionalidade” (YOUSCHKEVITCH, 1976, apud MACHADO, 1998).
Pode-se encontrar uma idéia mais geral de função, desde 2000 a.C.
onde os gregos faziam a conexão entre a Matemática e a Astronomia.
11
Segundo BOYER (1974), na França há indícios de idéias primárias de
funções anteriores a 1361, quando Nicole Oresme descreveu graficamente um corpo
movendo-se com aceleração uniforme.
Para
YOUSCHKEVITCH
(1976),
há
três
fases
principais
do
desenvolvimento da noção de função:
1)
A Antigüidade, na qual o estudo de casos de dependência entre
duas quantidades ainda não havia isolado as noções de variável e de função;
2)
A Idade Média, onde as noções eram expressas sob uma forma
geométrica e mecânica, mas em que ainda prevaleciam, em cada caso concreto, a
descrições verbais ou gráficas;
3)
O período Moderno, a partir do século XVII, quando Jean
Bernoulli (1667-1748), definiu função de uma grandeza variável a uma quantidade
composta de qualquer maneira dessa grandeza variável e de constantes. Para ele,
portanto, a função era a expressão analítica e desse ponto de vista prevaleceu
durante muito tempo e impregna ainda a linguagem de hoje. Galileu Galilei (1564–
1642), contribuiu para a evolução da idéia de função, ao introduzir o tratamento
quantitativo nas suas representações gráficas. Nessa época, o aprimoramento dos
instrumentos de medida propiciaram a busca de resultados inspirados na
experiência e na observação.
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Já Descartes (1596-1650) utilizou-se de equações em x e y para
introduzir uma relação de dependência entre quantidades variáveis, de modo a
permitir o cálculo de valores de uma delas, a partir dos valores da outra.
Entretanto, foi a partir dos trabalhos de Newton (1642-1727) e Leibniz
(1646-1716) que surgiram as primeiras contribuições efetivas para o delineamento
desse conceito.
A teoria de Newton restringia-se a “imagens geométricas de uma função
real de variável real” (CARAÇA, 1952).
Newton tentou definir o limite de uma função, falando em “quantidades” e
“taxas de quantidades” (BOYER, 1974), termos que são bastante imprecisos e
distantes da noção de limite que conhecemos hoje.
Foi Leibniz, na década de 70 do século XVI, quem usou o termo
“função”, para se referir a “certos segmentos de reta cujos comprimentos dependiam
de retas relacionadas á curvas”, logo depois, o termo foi usado para se referir a
quantidades dependentes ou a expressões (ITÔ, 1987).
Essas primeiras definições tinham um certo encantamento pela álgebra,
como se vê pela definição de Bernoulli: “Função de uma quantidade variável é uma
quantidade composta de alguma maneira desta variável e de quantidades
constantes”.
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(SIERPINSKA, 1992, p. 45) Cita outra definição interessante de
Leonardo Euler (1707-1783), discípulo de Jean Bernoulli: “Uma função de uma
quantidade variável é uma expressão analítica, composta de alguma maneira desta
mesma quantidade e de números ou quantidades constantes”.
Entretanto, a definição dada por Leonard Euler não explicita o que é uma
“expressão analítica”.
Para BOYER (1974), a imprecisão da definição de Euler fez com que
D’Alembert tentasse melhorar os estudos e aperfeiçoar o conceito de limite, que só
foi bem resolvida no século XIX.
SIERPINSKA (1992, p. 45-46) elenca outras definições interessantes
sobre funções que mostram a evolução histórica desse conceito matemático. O
matemático francês Jean Louis Langrange (1736-1823) definiu funções de uma ou
de várias quantidades como:
Chama-se função de uma, ou de várias quantidades, toda expressão
de cálculo na qual estas quantidades entram de uma maneira quaisquer,
misturadas ou não com outras quantidades, que se vêem como valores
dados e invariáveis, de modo que as quantidades da função podem receber
todos os valores possíveis. Assim nas funções considera-se somente as
quantidades que sejam variáveis, sem consideração às constantes que
podem estar aí misturadas.
Augustun Cauchy (1789-1857) a quem se atribui muito rigor ao cálculo e
estudo de funções, afirma que:
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Chamam-se funções de uma ou mais variáveis quantidades variáveis
às quantidades que se apresentam, no cálculo, como resultado de
operações feitas sobre uma ou várias outras quantidades constantes ou
variáveis.
Em 1837, Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) propôs a seguinte
definição geral de função, que foi amplamente aceita até meados do século XX:
Se uma variável y está relacionada a uma variável x de modo que, a
se atribuir qualquer valor numérico a x, existe uma regra de acordo com a
qual um único valor de y é determinado, então y é dito ser uma função da
variável independente x. (SIERPINSCKA, 1992, p. 46).
Com
publicações
de
Bourbaki-(pseudônimo
de
um
grupo
de
matemáticos), esta é a definição de função usada atualmente nos meios
matemáticos e científicos e, que foi proposta na primeira metade do século XX em
1939.
Embora Gauss (1777-1855) o tivesse acompanhado em termos de rigor
nos seus trabalhos, a definição de Cauchy também não pareceu precisa, pois não
esclarece qual seria a natureza dessas operações feitas sobre as variáveis.
Percebe-se que essa foi uma época de grande entusiasmo pelo cálculo,
porém não suficiente para que se extinguissem por completo as confusões sobre
15
seus princípios básicos, havendo ainda muitos caminhos a serem percorridos a partir
das noções intuitivas de cada pensador.
Uma função é uma tripla ordenada (X, Y, f), onde X e Y são conjuntos e f
é um subconjunto de X (Y, tal que, se (x,y) (f, e (x,y’) (f, então y = y’), segundo
SIERPINSKA, (1992, p.30).
Nessa concepção o conceito de função é definido de uma maneira
simbólica, formal e quase sem usar palavras da língua materna. Com a eliminação
dos problemas lógicos que envolviam a construção do conjunto dos números reais,
hoje é possível elaborar funções muito mais abrangentes. Por exemplo, aquelas
usadas no sentido de “aplicações”, definidas em conjuntos quaisquer, ou em
estruturas da Álgebra, onde os domínios e imagens são “grupos”, “corpos”, “anéis”,
etc.
O conceito ganhou assim em generalidade porque se libertou da
eventual forma de estabelecer a correspondência das variáveis, mas essa mesma
generalidade o obrigou a afastar-se das condições de que nasceu.
A grande questão que incomodava os estudiosos era: qual é a função
mais geral y(x)? O que equivale a perguntar qual é a correspondência mais geral
possível entre duas grandezas variáveis?
Pensa-se então que, se escolhe uma lei determinada para a
correspondência significa que, imediatamente particulariza-se essa lei, de forma que
16
se chega à conclusão seguinte: a correspondência x → y mais geral é aquela em
que os valores das variáveis dependentes são dadas ao acaso.
Gonseth, citado por CARAÇA, (1978, p.50) reconhecendo essa verdade
fundamental diz: “lei e acaso são noções conjugadas que só adquiram todos os seu
sentido quando tomadas uma em relação à outra. Nem uma nem outra tem
existência autônoma – a sua contradição mútua faz parte do seu sentido”.
A partir daí outros matemáticos procuraram atualizar melhor o conceito,
relacionando da melhor forma possível a relação função versus cotidiano.
Percebe-se, então, que a análise histórica vem nos auxiliar a
compreender que a criação da Matemática não se dá num momento único. Há
diferentes fatores que influenciam essa criação, todos dependendo dos problemas
de cada época da sociedade. O mesmo acontece nas salas de aula. Na elaboração
das idéias matemáticas, depende dos problemas levantados pelos alunos e pelos
professores, assim como da linguagem matemática, com as quais essas idéias são
abordadas.
2.2 O CONCEITO DE FUNÇÃO NO BRASIL
Em agosto de 1925, Euclides Roxo é nomeado para o cargo de Diretor
do Externato Pedro II. Nessa época, acumulava uma série de predicados. Esses
elementos de seu currículo, somados à sua nova condição de diretor, são
17
fundamentais para explicar sua iniciativa de propor à Congregação do Colégio Pedro
II, em 14 de novembro de 1927, uma alteração radical no ensino de matemática.
Roxo mencionava a discussão internacional sobre modernização do ensino da
disciplina que a Alemanha expôs à Comissão Internacional, por ocasião do IV
Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Roma, em 1908 (Tavares,
2002:, p.102-104).
Em 15 de janeiro de 1929, é oficializado o aceite da proposta
modernizadora encabeçada por Roxo. Apesar do Colégio Pedro II ser referência
para o ensino secundário do país, as modificações trazidas pelo Decreto deveriam
ser seguidas obrigatoriamente no Pedro II (Miorim, 1998, p.92).
Roxo escreve artigos que buscam justificar a nova orientação para o
ensino de matemática. Num deles destaca “o conceito de função como idéia axial do
ensino”.
“Só se pode saber um pouco o que são as matemáticas, só se pode
suspeitar a sua extensão extraordinária, a natureza dos problemas que elas
estabelecem e resolvem, quando se sabe o que é uma função (...)”.
Dentre outras coisas, no dizer de Rocha (2001, p.104): “a idéia era
familiarizar, desde cedo, o aluno com a noção de função, por meio de sua
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representação gráfica e analítica, e dela fazer o ponto central do ensino, de maneira
a possibilitar a conexão entre as diversas partes da matemática”.
Assim, o conceito de função passa a fazer parte da matemática escolar
nos programas advindos da Reforma “Francisco Campos”. Por força de um regime
de exceção, Euclides Roxo elaborou praticamente sozinho, o que deveria ser objeto
de ensino para todo o Brasil. A presença do conceito de função nos programas de
matemática, desde o primeiro ciclo, embrião do que viria se tornar o ginásio, é
garantido por uma política educacional autoritária.
Passaram-se décadas e o tema “funções” continua fazendo parte do
currículo do Ensino Médio da matemática, com relevante importância. Tanto é
verdade que, até mesmo nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), projeto de
reforma do Ensino Médio, que parte diretamente do Ministério da Educação, por
intermédio da Secretária de Educação Média e Tecnológica, este assunto é
mencionado, por ter conexão interna à própria Matemática.
Segundo o PCN, não basta rever-se a forma ou metodologia de ensino,
se mantiver o conhecimento matemático restrito à informação, com as definições e
os exemplos, assim como exercícios de aplicação ou fixação. Pois se os conceitos
são apresentados de forma fragmentada, mesmo que de forma completa e
aprofundada, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação para as
idéias isoladas e desconectadas umas das outras.
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O currículo a ser elaborado deve corresponder a uma boa seleção, deve
contemplar aspectos dos conteúdos e práticas que precisam ser enfatizados. O
critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o
potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e
entre diferentes formas de pensamento matemático, ou, ainda, a relevância cultural
do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentre ou fora da Matemática,
como a sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência.
Um exemplo disso pode ser observado com relação às funções. O
ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele
possui. Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito
às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões
aritméticas e progressões geométricas, nada mais são do que particulares funções.
As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são
propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de
polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções
polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente.
Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função
desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura,
interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto
do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como, a Física, Geografia ou
Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira
certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e,
nesse sentido, através de uma variedade de situações-problema de Matemática e de
20
outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus
conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e
investigação em Matemática.
Conforme o que rege o PCN observa-se que o assunto funções, de fato,
foi bem “aceito” no ensino, observando-se a sua importância desde quando Euclides
Roxo o introduziu nos programas de matemática.
2.3 REFLEXÕES SOBRE O ENSINO DO CONCEITO DE FUNÇÕES
A partir dos resultados obtidos em uma pesquisa com professores do
Ensino Médio (ZUFFI, 1999), vê-se que, ao fazerem uso da linguagem matemática
para expressar suas próprias concepções sobre o conceito de função, esses
professores apresentaram visões diferenciadas, quando solicitados a fornecer
definições formais e quando se reportavam às definições informalmente. Cada uma
dessas visões identificou-se com um momento histórico diferente para o conceito.
No caso formal, as definições foram elaboradas de maneira a atingir as
mais recentes propostas históricas de definição de função, muito próximas à de
Dirichlet ou de Bourbaki, enquanto que, no tratamento informal, ou com exemplos e
resoluções de problemas, as idéias propostas para as funções estavam muito mais
próximas da definição de Euler.
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Foi visto que obstáculos epistemológicos que ocorriam com alunos,
apontados por SIERPINSKA (1992), também surgiram com os professores
investigados. É comum que estes pensem nas funções somente em termos de
equações e elementos desconhecidos a serem extraídos delas. Outro obstáculo
evidenciou-se quando esses professores mostraram dificuldades em determinar
quais eram as variáveis dependentes e independentes, para alguns casos
propostos.
A transposição didática (CHEVALLARD, 1991) para o conceito de função
pareceu ocorrer de maneira oblíqua, de modo que é essencialmente a definição
formal de Dirichlet, proposta no final do século passado, que chegou à sala de aula
do ensino médio hoje, quando esses professores se reportam aos seus aspectos
mais formais. Ao mesmo tempo, perderam-se as conceituações históricas
intermediárias, mas algumas dessas, ainda que sem o conhecimento do professor,
refletem-se nos exemplos apresentados e nas imagens conceituais (VINNER, 1991)
formadas a partir desses exemplos, como foi o caso da definição de Euler.
Esse passeio pela gênese histórica do conceito de função mostra o
quanto sua elaboração foi complexa. Os conhecimentos históricos podem, então,
colaborar com professores para uma reflexão mais profunda sobre as idéias
matemáticas. Particularmente com relação às funções, eles podem auxiliar o
professor na distinção entre suas concepções pessoais no assunto, entre as
diversas formalizações matemáticas, propostas ao longo dos séculos, e sobre como
isso se relaciona ao aprendizado de seus alunos.
22
3. METODOLOGIA
3.1 HISTÓRIA DAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS
O tema funções oferece uma vasta gama de possibilidades de
representação simbólica (como diagramas, tabelas, gráficos, expressões algébricas
e outros), sendo também muito rico na sua definição e conceitos periféricos.
Hoje, a análise da maneira como duas grandezas se relacionam
matematicamente é a síntese do estudo de funções.
Entretanto, sabe-se que dificilmente duas grandezas podem ser isoladas
do contexto de outras que também as influenciam, e que nem sempre a relação
matemática entre elas é simples e de fácil compreensão por parte dos alunos.
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Desse modo pretende-se ter um maior conhecimento, através das
concepções e práticas de educadores, sobre as dificuldades que os mesmos
percebem nos alunos, ao ensinar a função.
A pesquisa, caracterizada como descritiva ou de campo, procedeu-se
com uma coleta de dados, através da aplicação de um questionário a três
professores de Matemática do Ensino Médio, com questões semi-abertas, sendo
idêntico para cada um dos professores. Os professores alvo da investigação
trabalham em diferentes escolas do município de Santo Antônio da Patrulha, no Rio
Grande do Sul. Dois dos professores trabalham na rede pública de ensino e o
terceiro atua na rede particular de ensino.
Para dar início à pesquisa, foi feito um termo de consentimento livre e
esclarecido (Anexo 1), para cada professor participante da mesma, que foi aos
mesmo tempo no momento da entrega do questionário.
O termo de consentimento deixa claro para os participantes da pesquisa
sobre o título da mesma, quais seus objetivos, o procedimento do trabalho, sendo
que o mesmo poderá solicitar informações e tendo liberdade para retirar seu
consentimento de participação na pesquisa a qualquer momento. Ficando a
pesquisadora certa que as informações serão de caráter confidencial, sendo
reproduzidas sem identificação da fonte.
Conforme a responsabilidade que o pesquisador firmou com os
pesquisados, no decorrer do desenvolvimento dessa pesquisa os nomes dos
24
professores serão trocados, os mesmos serão mencionados como professores(as)
Flavio, Carla e Laura, para manter suas privacidades.
3.2 UM BREVE RELATO SOBRE OS PROFESSORES E AS ESCOLAS EM
QUE ATUAM
A professora Carla é formada em licenciatura em Matemática há três
anos, porém a mesma já trabalha na área há pelo menos cinco anos. Carla trabalha
numa escola da rede pública de ensino. A escola atende alunos provenientes de
nível sócio-econômico médio baixo e funciona com dois períodos diurno de Ensino
Fundamental séries finais e Ensino Médio e um período noturno de Ensino Médio.
A professora Laura é formada há vinte e dois anos em Matemática e
desde então trabalha na área. A mesma sempre trabalhou em escolas da rede
pública e particular, porém atualmente trabalha somente numa escola sendo a
mesma de rede particular.
A escola na qual a professora Laura trabalha atende alunos provenientes
de nível sócio econômico médio baixo e médio. Essa escola atende sua clientela em
três períodos (manhã, tarde e noite). No período da manhã atende-se Educação
Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. No período da tarde atende-se a
Educação Infantil e o Ensino Médio (curso de Magistério). O período da noite é
voltado somente para o Ensino Médio (curso de magistério).
25
O professor Flávio é formado em Matemática, desde 2001, a partir daí o
mesmo começou a trabalhar em escolas da rede pública de ensino. A escola à qual
Flávio presta serviços é formada por uma grande população de nível sócioeconômico baixo. A escola funciona em três turnos, sendo que no turno da manhã
atende ao Ensino Fundamental séries finais, à tarde atende aos alunos da Educação
Infantil e Fundamental séries iniciais e à noite atende aos alunos do Ensino Médio.
Tendo os questionários prontos foi feito um levantamento prévio sobre
as situações enfrentadas pelos professores, e então fez-se uma análise das
respostas e posteriormente escreveu-se sobre a idéia principal da pesquisa.
26
4. A DIFUCULDADE EM CONCEITUALIZAR FUNÇÕES (AS ANÁLISES
FEITAS)
Interpretando inicialmente as respostas dadas ao questionário, vemos
que o conceito de função é introduzido pelos professores Carla e Laura dando
preferência para a definição formal de função, que parte de conjuntos e elementos:
“Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma relação que associa a
cada elemento de A um, e só um, elemento de B.” Porém, no momento da
conceitualização de função, o professor Flávio faz uso da problematização de uma
situação real.
Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo
da instrução matemática. Certamente outros objetivos da matemática
devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo de competência em
resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e
algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é
importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos
matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das
situações-problema. (HATFIELD, apud DANTE, 1995:8)
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Dando continuidade a análise dos questionários, percebe-se que no
desenvolvimento do conteúdo de função a professora Carla utiliza-se somente de
lista de exercícios didáticos, enquanto os demais professores preocupam-se em
utilizar a aplicação de modelos matemáticos. Esses professores têm a preocupação
de utilizar problemas que condizem com situações reais, sendo que a professora
Laura utiliza-se dos mesmos na representação gráfica no plano cartesiano.
É importante saber que há alguns professores que se preocupam em
trabalhar funções através da resolução de problemas. Pois nem sempre, ou melhor,
quase sempre é dada pouca ênfase ao uso de funções na resolução de problemas,
sendo que deveria ser um dos aspectos fundamentais na formação dos estudantes.
Estudos mostram que na abordagem de conceitos por resolução de
problemas, caracteriza-se um problema como uma situação nova, o que imprime a
necessidade de inventar, de criar, de conjecturar, de elaborar estratégias e produzir
significados.
Na utilização de problemas os professores Laura e Flávio dão ênfase à
representação simbólica, convergindo suas atitudes em alguns pontos e divergindo
em outros. Os pontos nos quais os mesmos convergem, dando maior importâncias,
são na relação entre as variáveis e as equações. Porém os pensamentos são
divergentes quando Laura dá maior importância aos diagramas e gráficos, e Flávio
prioriza as tabelas e depois os gráficos.
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Quando é colocada a afirmativa “Repetir corretamente uma definição
formal de função significa conhecimento sobre a mesma.”, nenhuns dos professores
pesquisados concordaram com tal afirmação, pois para Laura: “A repetição não
exprime aprendizagem.” Carla diz: “O aluno pode decorar a definição e não saber o
que ela significa.”
Como expõe (Fagundes, 1996 p. 26); “Quando falamos de sistemas de
representação, não nos estamos referindo à reprodução de símbolos e de signos
gráficos. Estamos considerando sistemas de significação na assimilação do
aprendiz. Estamos considerando o desenvolvimento de seus sistemas lógicos, sobre
as regras e os conteúdos, para agir e interagir em seu ambiente sociocultural e para
expandir a construção continuada de novos sistemas de significações.”
Os professores parecem estar preocupados com que seus alunos
tenham uma aprendizagem significativa, sabendo identificar uma situação e também
exemplificá-la.
Segundo o professor Flávio, “a imagem conceitual ou as aplicações
fazem com que o conceito seja entendido e não decorado”. Entende-se que o
professor deve estimular o aluno, por intermédio de atividades significativas
permitindo ao mesmo uma atitude de investigação, possibilitando-o a enxergar a
função em situações reais. Em relação ao processo de aquisição do conceito de
função por um indivíduo, segundo Bergeron e Herscovics (1982), esse processo se
dá em quatro níveis: compreensão intuitiva, matematização inicial, abstração e
formalização.
29
Na elaboração do conceito de função é importante: analisar fenômenos;
observar
e
descrever
regularidades;
interpretar
independências;
fazer
generalizações para só então chegar à formalização. O professor deve desenvolver
essas etapas a partir da exploração de atividades que se relacionam com a vivência
do aluno. Assim, ao final desse processo, ele terá construído o conceito de função
sem a utilização de regras e fórmulas desvinculadas da realidade situadas num
mundo irreal de coisas prontas e sem sentido.
O aluno, que forma um conceito a partir de situações em que, o
professor o estimula a relacioná-la com a realidade, formará o seu próprio conceito a
respeito de tal conteúdo. Talvez essa forma de conceber o conhecimento não
permita ao aluno armazenar e mecanizar algumas informações por apenas um
determinado tempo, mas, sim, chegar a uma aprendizagem com compreensão.
Então, ao pensar no ensino de função deve-se deixar de lado os
exemplos mais abstratos ou que não fazem parte de uma Matemática utilitária .
Assim, essa tendência pode estar contribuindo para a construção de significados
que de certa forma negam os conceitos fundamentais.
Também deve-se querer que os conhecimentos escolares contribuam
para a formação do cidadão e se incorporem como ferramentas, como recursos aos
quais os alunos recorram para resolver com êxito diferentes tipos de problemas que
lhes apresentem nas mais variadas situações, e não apenas em determinado
30
momento de uma aula. A aprendizagem deve desenvolver-se num processo de
negociação de significados.
Os professores Carla e Flávio pensam que quando um aluno não
consegue formar um conceito de função, esse fato se deve à: falta de significado ao
objeto “função”. Mais uma vez percebe-se que, no ensino de funções, deve haver
sempre algo real para que o aluno possa fazer as relações necessárias no momento
da formalização do conceito de função.
Em contraposição a Carla e Flávio, segundo Laura o “não formar o
conceito” passa por uma falha do professor no momento de apresentar-lhe tal
conteúdo.
Carla e Laura citam a falta de pré-requisitos, que são questões que
falam da falha do professor. Concordando com que Laura cita anteriormente sobre a
falha do professor. Quais são os pré-requisitos básicos?
Os professores foram unânimes em responder que “seus alunos se
encontram sem domínio da Matemática básica. ”Para Flávio a falta de domínio vem
da falta de motivação e de significado às questões propostas pelos professores.
Segundo Laura “essa regra serve só para exceções, mas para a minoria que vem
com essa falta de domínio, relaciono o aprofundamento dos conteúdos básicos
matemáticos”.Já para Carla muitos alunos não “vêem matemática com bons olhos” e
não tem facilidades para entender o raciocínio lógico-matemático. Por isso, muitas
vezes, não sabem operar com números inteiros, não multiplicam corretamente
31
(tabuada), o que faz com que os conteúdos não tenham significado para eles e que
não vejam relação entre os conteúdos já trabalhados e os novos.”
Conforme indica Pozo (1998, p.9): “... ensinar os alunos a resolver
problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de
habituá-los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou
que precisam responder, ao invés de esperar uma resposta já elaborada por outros
e transmitida pelo livro-texto ou pelo professor.”
Os professores devem motivar seus alunos a explorarem, das mais
variadas formas, o conteúdo de função. Devem incentiva-los a procurar saber sobre
cada representação simbólica, fazendo relações entre as mesmas.
O professor deverá apresentar algumas idéias de desenvolvimento de
estudo de funções a partir da exploração do princípio histórico, da representação
gráfica (visualização), da intuição e do pensamento analítico.
O educador deve explorar a representação gráfica e a intuição, pois a
capacidade de analisar e interpretar gráficos é muito importante em qualquer
domínio científico (Medicina, Biologia, Física, Química, etc).
Para os professores entrevistados o aluno saber construir, analisar e
interpretar um gráfico, não quer dizer que o mesmo não terá problemas para a
conceitualização de função. Carla diz: “penso que o conceito de função deve ir além
do gráfico.”
32
Nessa visão, espera-se que os estudantes possam criar uma imagem
mental de um conceito matemático, processando-o interiormente diferentes
representações mentais de um determinado conceito, através de diagramas,
gráficos, símbolos, frases, etc.
Como se está falando em gráfico não se pode deixar de falar na falta de
percepção que os alunos têm em relacionar à mudança dos coeficientes de uma
expressão ao gráfico que representa a mesma. Para a professora Carla isso ocorre
porque o aluno não faz o relacionamento da expressão com o gráfico.
Acredito que a falta de motivação, em certos momentos, por parte do
professor, muitas vezes faz com que o aluno fique desligado e sem curiosidade
pelas atividades propostas pelo mesmo. Desse modo o aluno as desenvolve
mecanicamente sem perceber as mudanças que ocorrem ou poderiam ocorrer, no
momento da resolução dessas propostas, tendo falhas nas análises de gráficos
como cita a professora Laura, quando a atividade é relacionada com eles.
Ao contrário de Laura e Carla, o professor Flávio não concorda com a
incapacidade dos alunos em relação à mudança do gráfico. Flávio diz que “estamos
generalizando os alunos, nessa questão, uma vez entendidos, e aplicado, o assunto
não terá problema.”
Pensa-se que, se o aluno resolve as atividades sem concentração, olhe
com certeza, não terá a devida observação nas mudanças ocorridas no decorrer
33
delas. Mas, acredita-se que, se o aluno está trabalhando de uma forma motivada
quando tenha compreendido o raciocínio lógico da atividade, perceberá claramente
todas as alterações ocorridas fazendo uma relação entre as mesmas.
Pode-se perceber, então, que cada professor tem o seu ponto de vista,
sendo que esses às vezes, divergem ou convergem, mas de uma coisa se sabe:
deve-se trabalhar na construção do conhecimento matemático, e ao mesmo tempo,
motivar os alunos no enfrentamento de suas dificuldades na Matemática, pois como
diz Piaget, 1976: “O conhecimento é construído pelo educando desde que
incentivado em condições que propiciem tais conquistas.”
34
5. UMA VISÃO DOS ENTREVISTADOS SOBRE FUNÇÕES ATRAVÉS DOS
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCNs)
Os PCNs vêm sendo muito discutidos e há uma série de ações do
governo para colocá-los em prática. Quanto aos conteúdos, os PCNs propõem a
retirada de alguns, a redução de outros e a introdução de conteúdos mais
significativos para o aluno, no momento atual.
Os PCNs, do Ensino Médio, dizem que: “o ensino isolado de funções
não permite a exploração do caráter integrador que este tema possui.” Em relação à
afirmativa, questiona-se os pesquisados: “se o professor trabalhar funções de uma
forma integrada, o aluno adquirirá habilidades para lidar com o conceito de função
em situações diversas?”
Os educadores concordam com a questão, pois Flávio diz que “o aluno
terá uma sistematização no raciocínio sobre funções e assim terá liberdade de
criação para desenvolver e aplicar seus conhecimentos.”
35
Carla diz que “o aluno, ao trabalhar de forma integrada, realiza conexões
entre a Matemática e outras ciências, podendo assim lidar com esses conceitos,
aplicando-os em outras situações.”
Os parâmetros têm como objetivo que os educandos percebam as
aplicações da Matemática em variadas situações, o que ecoa a idéia de um ensino
contextualizado; propõem que os educandos desenvolvam habilidades de análise e
julgamento, de resolução de problema de comunicação e representação, que
corresponde a uma visão da aprendizagem como “construção de competência”; os
apresentam também, como finalidade do ensino, a compreensão da Matemática, a
confiança no seu uso e certa satisfação pessoal com ela, o que reflete, entre outras
idéias, a ética da identidade e a promoção da autonomia.
Assim, podemos dizer que o PCN veio para auxiliar os educandos na
apropriação dos conceitos. Do ponto de vista do professor Flávio “o mundo se
moderniza e as tecnologias estão aí, como que vamos trabalhar como antes? O
PCN é o meio de modernizar o ensino, nesse caso está acontecendo, tomara que
seja sempre assim, um passo à frente dos acontecimentos.”
Pesquisas mostram que o estudo das funções foi introduzido há muitos
anos e, desde então, a idéia era familiarizar os alunos, por meio de representação
gráfica e analítica, de maneira a possibilitar a conexão com as diversas partes da
matemática. Então, percebe-se que sempre foi dada grande relevância ao estudo
das funções.
36
Para Flávio “o ensino da matemática não pode ser estanque,
determinado pelo conteúdo A ou B e, sim, uma libertação do raciocínio, não se pode
dizer que a matemática é uma decodificação de números e, sim, uma compreensão
do sentido das coisas, um processamento de atos, causas e conseqüências. Sabese que isso é uma constante na vida do aluno, portanto, como diz o PCN, a “função”
deve ter um caráter integrador, não só com as partes da matemática, como também
com todas as outras disciplinas. Eis aí o maravilhoso desafio.”
Entende-se que é função do professor ser o grande colaborador e
mediador desse processo. Reconhece-se que a prática pedagógica deve ser
geradora de novos conhecimentos. Que a imposição precoce e a apresentação
exclusiva do formalismo queimam etapas necessárias na estrutura do pensamento
do aluno e tentam veicular uma Matemática destituída de sua história.
37
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao iniciar esta pesquisa percebeu-se que o assunto FUNÇÕES é
bastante amplo é extremamente útil em muitas situações matemáticas.
Conforme o que sugerem os PCNs, percebe-se que funções é um
conteúdo muito “rico”, podendo ser trabalhados de diversas formas em diferentes
situações. Mas então, por que esse conteúdo é considerado de difícil compreensão
por parte dos alunos?
As funções têm o potencial de fazer conexões entre outros conceitos da
Matemática, podendo se fazer aplicações na área ou fora da mesma, ou seja,
utilizarmos em situações distintas. A função é um tema fácil de se fazer um estudo
de forma integrada, para então, o aluno fazer a sistematização do assunto.
De acordo com o que foi pesquisado, percebe-se que os alunos têm
dificuldades no conteúdo de funções devido à falta de significado com que este é
passado para os mesmos. O educador, muitas vezes, utiliza somente as definições
38
didáticas dos livros sem a preocupação de realizar atividades com significado, onde
os alunos possam fazer relações entre a definição, para posteriormente construir o
seu próprio conceito.
Conforme algumas análises, vê-se que a conceitualização de função é
compreendida e melhor interiorizada quando o professor utiliza a aplicação de
problemas quando se faz a relação com situações reais de seus alunos. Com a
utilização de problemas, envolvendo situações reais, os alunos verão um significado
nos estudos, fazendo relações com conhecimentos já interiorizados. Trabalhando-se
com a utilização de problemas, espera-se que os alunos tenham uma motivação
maior na resolução das atividades, pois no momento que estiver executando as
resoluções eles estarão compreendendo o sentido da mesma?
De acordo com a pesquisa, os alunos enfrentam dificuldades na
conceitualização de função e na resolução das atividades propostas, devido à falta
de pré-requisitos básicos de Matemática vindos de séries anteriores.
Mas, também pode-se questionar sobre as atitudes do professor frente
ao ensino de funções. Pergunta-se: será que os alunos têm “falhas” na
conceitualização de função, somente por causas próprias ou essas podem ser
relacionadas com o professor da disciplina? Será que os professores estão
realmente preparados para ensinar? Será que os professores têm realmente a
compreensão do conceito que está ensinando?
39
Realmente há uma série de fatores que podem influenciar na
aprendizagem do aluno. Esses fatores podem ser desde falta de conhecimento do
aluno, desmotivação de ambas as partes (aluno/professor) e falta de aptidão do
professor.
Espero que este trabalho sirva de reflexão para os professores
repensarem suas práticas pedagógicas em sala de aula. Deve-se ensinar a
Matemática, com seus símbolos, normas linguagens e procedimentos de uma forma
útil e agradável.
Pensa-se também em cada aula e durante o ano letivo, não esquecendo
que conhecimentos, atitudes e habilidades, desenvolvidas pelos alunos fazem parte
do cotidiano e de suas vidas futuras.
Para GÖMEZ (1998), “o aluno é um ativo processador da informação
que assimila, e o professor, um mero instigador deste processo dialético por meio do
qual se transformam os pensamentos e as crenças do estudante. Para provocar
esse processo dialético de transformação, o docente deve conhecer o estado atual
de desenvolvimento do aluno, quais são as suas preocupações, interesses e
possibilidades de compreensão. O novo material de aprendizagem somente
provocará a transformação das crenças e pensamentos do aluno quando conseguir
mobilizar os esquemas já existentes de seu pensamento”. (p.69)
40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOVER, C.D. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blucher, 1971.
Brasil Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares
Nacionais. Ensino Médio/Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e
Tecnológica – Brasília. MEC; SEMTEC, 2002.360p
CARAÇA, B. I. Conceitos Fundamentais da Matemática.Lisboa, Sá da
Costa,1978.
CARVALHO, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões Numéricos e Funções. São
Paulo: Moderna,1974.
Encontro Nacional de Educação Matemática. São Leopoldo, julho,1998. Anais do
VI Encontro Nacional de Educação Matemática – São Leopoldo: [s.n], 1998. 2 vol.
GÓMES, Pérez A. e SACRISTÁN, Gimeno J. Compreender e Transformar o
Ensino. 4 ED. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
Metodologia de Ensino de Matemática. Maria Auxiliadora. Maroneze de
Abreu...[et.al]. – Florianópolis: UFSC/LED, 2002.104p
SMOLE, Kátia Stocco. Aprendizagem significativa, o lugar do conhecimento e
da inteligência. Páginas Abertas – Revista –Psicopedagogia.
VALENTE, Wagner. Educação Matemática e Política: A escolarização do conceito
de função no Brasil. Educação Matemática em Revista, ano 9, nº 12, junho,2002.
ZUFFI, Edna. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de
função. Educação Matemática em Revista, ano8, nº9/10, abril,2001.
41
ANEXO
42
Questões:
1. Você introduz o conceito de função como:
a) relação entre duas grandezas.
b) conjuntos fazendo a relação de A em B.
c) problema de uma situação real.
d) regra de associação.
e) metáforas “se entra laranja sai suco, se entra tijolo, sai pó”.
f) outros: ________________________________________
2. Quando você desenvolve o conteúdo de função, em sala de aula,
você utiliza:
a) lista de exercícios didáticos.
b) problemas de aplicação, que não condizem com a
realidade dos alunos.
c) aplicação de modelos matemáticos para a representação
de situações reais.
d) outros: ________________________________________.
3. Caso você trabalhe com problemas de aplicação, no conteúdo de
funções, o que você explora em grau de maior importância,
(Numerar de 1 a 7 conforme o grau de importância):
a) variáveis ( )
e) tabelas ( )
b) relação entre variáveis ( )
f) equações ( )
c) diagrama ( )
g) outros: _________ ( )
d) gráficos ( )
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4. “Repetir corretamente uma definição formal de função significa ter
conhecimento sobre a mesma”. Você concorda com esta
afirmativa?
a) sim
b) não
c) Porque? ______________________________________.
5. ”Para que um conceito seja compreendido não basta a definição
conceitual, é necessário que o sujeito tenha imagem conceitual e
vice-versa”. Você concorda com esta afirmativa.
a) sim
b) não
c) Porque? ___________________________.
6. Quando um aluno não consegue formar um conceito de função
você atribui isto a:
a) falta de compreensão do conceito.
b) falta de subsídios para tal.
c) falta de significado ao objeto “função”.
d) limites pessoais do aluno.
e) falha do professor no momento de apresentar-lhe tal
conceito
f) outros: ________________________________________.
44
7. Quando o aluno enfrenta certas dificuldades em resolver os
exercícios ou problemas propostos você atribui este fato a:
a) falta de pré-requisitos.
b) Não sabe interpretar.
c) falta de motivação.
d) falta de estudo em casa.
e) outros: _____________________________________.
8. Como este aluno chega com relação a alguns pré-requisitos
básicos?
a) com domínio.
b) sem domínio. Na sua opinião, de onde vem esta falta de
domínio?________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
9. Você acha que se o aluno souber construir, analisar e interpretar
um gráfico, ele não terá problemas para conceituar função?
a) sim
b) não
c) Porque?________________________________________
_______________________________________________
45
10. Os alunos não são capazes de relacionar mudanças no gráfico
com mudanças nos coeficientes da expressão, e vice-versa. Você
atribui esta situação a:
a) falta de prática na construção de gráficos.
b) falhas na análise de gráficos.
c) falta de relacionamento da expressão ao gráfico.
d) outros. ________________________________________
11. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), do Ensino Médio
diz que: “o ensino isolado de funções não permite a exploração do
caráter integrador que este tema possui”.
Você acha que se o professor trabalhar funções de uma forma
integrada, o aluno adquirirá habilidades para lidar com o conceito
de função em situações diversas?
a) sim
b) não
c) porque?________________________________________
12. Com relação à questão anterior, será que o PCN veio para auxiliar
na apropriação dos conceitos?
a) sim
b) não
c) porque?________________________________________
46
13. No Brasil, por volta de 1929, o estudo das funções foi introduzido
por Euclides Roxo. A idéia era familiarizar desde cedo o aluno
com a noção de função, por meio de sua representação gráfica e
analítica, e dela fazer o ponto central do ensino, de maneira a
possibilitar a conexão entre as diversas partes da matemática.
Você
acha
que
os
professores
que
deram
início
ao
desenvolvimento deste trabalho conseguiram fazer uma conexão
entre as diversas partes da matemática como era previsto? E
hoje, é feita alguma conexão?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
____________________________________________________