CINEMÁTICA ESCALAR
Prof. Calil
Setor 1202
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV) – aulas 07 e 08
A classificação de um movimento é feita em função do que acontece com o seu ritmo, ou seja,
de como varia o valor da sua velocidade. Só será possível estudar o movimento de um corpo,
quando conhecermos sua posição e sua velocidade no instante inicial (S0 e V0), e o que acontece com o
valor da velocidade. No Movimento Uniformemente Variado, o valor absoluto da velocidade
varia, obedecendo a uma regra de variação, indicada por um valor constante e diferente de zero,
denominado aceleração escalar ou tangencial, e que deverá ser previamente conhecida.
Resumindo, o MUV é executado pelo corpo cujo valor da velocidade varia, mas varia
aumentando ou diminuindo seu valor de forma constante, diferente de zero . Este é o movimento
dos corpos que caem ou são lançados verticalmente nas proximidades do nosso planeta. Os corpos
que são abandonados de uma certa altura ou são lançados verticalmente para cima, variam o valor da
sua velocidade em aproximadamente 10m/s cada 1 segundo, pois a aceleração da gravidade tem o
valor próximo de 10 m/s2.
Se um corpo executar o MUV, temos que determinar em que posição S ele estará e qual será
o valor da sua velocidade V, num determinado instante T.
DETERMINAÇÃO DO VALOR DA VELOCIDADE V NUM INSTANTE T
1- Fisicamente
a) Saber o valor da velocidade no instante t = 0. É a Velocidade Inicial = v0
b) Saber como muda o valor da velocidade em cada instante. Isso é dado pelo valor da
aceleração escalar = a
c) Se o valor da velocidade em cada 1 instante varia a, em T instantes irá variar X,
passando então a valer:
Vinstante T = V0 + X
2- Algebricamente
É obter a Equação da velocidade instantânea:
Vinstante = V0 + a.T
na qual Vo (velocidade inicial) e a (aceleração escalar) são valores conhecidos.
GRÁFICO DA VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO
O gráfico do valor da velocidade em cada instante no MUV é uma reta inclinada em relação ao
eixo dos tempos. As propriedades deste gráfico já foram estudadas e são:
V
1- A área entre a reta que representa a variação do
valor da velocidade e o eixo dos tempos, indica o valor do
deslocamento S.
2- A tangente do ângulo formado entre a reta que
representa a variação do valor da velocidade e o eixo dos
tempos, indica o valor da aceleração escalar a.
Vf
tg = aceleração
Vo
α
área = ΔS = deslocamento
0
T
T
DETERMINAÇÃO DA POSIÇÃO S NUM INSTANTE T
Vamos considerar o gráfico da velocidade
em cada instante. Neste gráfico, a área é
V
o valor do deslocamento S. A área é de
um trapézio, ou seja: S = { (B + b)h }  2
S = {(V + V0). T}  2
Como: V = V0 + a.T, e S = S – S0 vem:
S – S0 = { ( V0 + a.T + V0 ). T }  2 
S - So = { ( 2V0 + a.T).T }  2 
V
B
V0
b
0
S
h
T
t
S - S0 = ( 2V0.T + a.T )  2 
S - S0 = 2V0.T/2 + a.T2/2  S – S0 = V0.T + a.T2/2, e finalmente:
2
S = S0 + V0.T + a.T2
2
Se a questão fornece a equação da posição do ponto que executa o Movimento
Uniformemente Variado, podemos determinar os valores da posição inicial So, da velocidade inicial
Vo, da aceleração a, e também classificar o movimento. Exemplificando:
Seja dada a função horária do MUV: S = 5 + 12 T – 2 T2 (I), no Sistema Internacional (SI). Esta
equação na sua forma literal é dada por: S = S0 + V0 T + a/2 (T2) (II). Como às letras correspondem
os números, comparando-se as equações (I) e (II), e recordando a aula 04 (Fundamentos), obtemos:
S0 = 5m ; Vo = 12 m/s ; a/2 = - 2  a = - 4 m/s2. Concluímos que o corpo sai da
posição inicial 5m, com velocidade + 12 m/s, realizando movimento progressivo (V +),
com aceleração de – 4 m/s2. É um MUV progressivo ( V+) e retardado ( V + e a -).
Pode-se prever que se a velocidade inicial diminui 4 m/s em cada 1 s, ele irá parar daqui a
3 s. Substituindo-se este tempo na equação dada, obtém-se a posição S na qual ele irá
parar.
GRÁFICO DA POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO
Seja um ponto material que no instante t = 0 s, está na posição inicial S0 = 2m, com a
velocidade inicial V0 = 4m/s, e aceleração constante a = - 2m/s2. A função horária do movimento deste
ponto é: S = S0 + V0.T + (a.T2)/2  S = 2 + 4.T + (-2.T2)/2  S = 2 + 4.T – T2 (SI)
Sendo uma equação do 2º grau, sua representação S (m)
velocidade zero
gráficoa será uma parábola. Se a concavidade
está voltada para cima, então a aceleração é positiva. Se estiver voltada para baixo, a aceleração é
negativa. Destacamos duas informações importantes sobre este gráfico:
So
0
t
2t
T(s)
a) Se o corpo inicia um movimento progressivo ou retrógrado retardado, o ponto de inflexão da parábola ( quando a
curva inverte seu sentido), indica o instante em que a velocidade é nula, e também o valor máximo da posição
alcançada pelo corpo.
b) Como a parábola é simétrica, o tempo gasto para ponto que parte de uma posição So avançar ou retroceder até
parar, é igual ao que ele gasta para retroceder ou avançar até a mesma posição.O intervalo de tempo de 0 a t
segundos é igual ao intervalo de tempo de t a 2t segundos.
c) No caso da função horária representada pelo gráfico, temos: S0 = 2m, t = 2s pois V0 = 4m/s, e a aceleração vale
– 2 m/s2.
VELOCIDADE MÉDIA NUM INTERVALO DE TEMPO ΔT
No gráfico da velocidade, a área é numericamente igual ao
valor do deslocamento. Temos:
(V + Vo)
ΔS
V + Vo
Área = ΔS =
.Δt
ou
=
2
Δt
2
V
V
Sendo ΔS / Δt = VMédia = VM, resulta a propriedade:
Vo
0
t
T
Área = Δ
Quando um móvel executa MUV, entre dois instantes
do seu movimento, a velocidade média pode ser
calculada pela média aritmética das velocidades entre
esses dois instantes.
Exemplo: Unifesp(caderno de exercícios página 26):
Em um teste, um automóvel é colocado em movimento
retilíneo uniformemente acelerado a partir do repouso até
atingir a velocidade máxima.Um técnico constrói o gráfico
onde se registra a posição X do veículo em função de sua
velocidade V. Através do gráfico, pode-se afirmar a
aceleração do veículo é:
a)1,5 m/s2; b) 2,0 m/s2; c) 2,5 m?s2; d) 3,0 m/s2; e) 3,5 m/s2.
X (m)
9
0
6
V
Solução: Quando Xo = 0m, Vo= 0m/s.
X=S=Posição; V = velocidade
Quando XF = 9m, VF = 6 m/s.
Então nesse intervalo, temos: ΔS = 9 m para ΔV = 6 m/s. Aplicando a propriedade da VM no MUV:
VM = ΔS / Δt = (VF – Vo) /2
9 / Δt = (6 – 0) / 2 18 = 6.Δt e então o tempo Δt decorrido para a
velocidade variar de 0 m/s até 6 m/s, foi de 3s. Se o valor da velocidade variou 6m/s em 3s, em 1
segundo varia 2 m/s. Daí, a aceleração escalar média tem por valor: 2 m/s2.