APC
JEANE ANDREANE PAVELEGINI DE MEDEIROS
MARIA DE LOURDES RODRIGUES PUCCI
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
GEOMETRIAS
POLIEDROS PLATÔNICOS _ SIMETRIA E DUALIDADE.
UFPR
ORIENTADORA: ADRIANA AUGUSTA BENIGNO DOS SANTOS LUZ
1 RECURSOS DE EXPRESSÃO
1.1 PROBLEMATIZAÇÃO DO CONTEÚDO
Você já ouviu falar nos Poliedros Platônicos ou Poliedros de Platão? Sabe
porque eles são assim denominados?
1.2 RELATO
No espaço existem apenas e tão-somente 05 (cinco) poliedros regulares,
também chamados de Poliedros Platônicos.
Mas afinal, qual o fundamento matemático para a existência de apenas
cinco poliedros regulares num universo de infinitas formas?
É sobre a explicação matemática para a existência de apenas cinco
poliedros regulares no espaço e as relações de Simetria e Dualidades nesses
poliedros que vamos trabalhar neste ambiente colaborativo.
1.3 Vamos verificar porque só existem cinco poliedros Platônicos.
Inicialmente é preciso lembrar que um poliedro é considerado regular se é
convexo, ou seja, os ângulos de dois lados formados por duas faces consecutivas é
menor que 180°, se todas as suas faces são formadas por polígonos regulares.
Todos os poliedros que possuem essas características são denominados Poliedros
Platônicos ou Poliedros de Platão, que são os seguintes sólidos:
Imagem disponível em:
http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab4/5serie.html
Tetraedro Regular
Hexaedro Regular
Octaedro Regular
Dodecaedro Regular
Icosaedro regular
Estes
modelos
estão
disponíveis
no
seguinte
endereço
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo1/p
oliedros/cubo.gif
Como visto existem apenas cinco poliedros platônicos. Vamos verificar essa
afirmação utilizando o argumento a seguir:
Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de
suas faces. Para que o poliedro possa ser considerado regular é necessário que o
ângulo formado por suas faces seja menor que 360°.
Analisando
cada caso observamos que:
3 faces ligadas a um vérice:
- Quando as faces do poliedro forem triângulos (ângulo interno 60°), teremos
3x60° = 180°.
-Quando as faces do poliedro forem quadrados (ângulo interno 90°), teremos
3x90° = 270°.
-Quando as faces do poliedro forem pentágonos (ângulo interno 108°),
teremos 3x108° = 324°.
-Quando as faces do poliedro forem hexágonos (ângulo interno 120°),
teremos 3x120° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.
Dessa forma, verificamos para esse caso que as faces dos poliedros
regulares não podem ser formadas por polígono regulares com mais de cinco lados.
4 faces ligadas a um vértice:
- Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 4x60° = 240°.
-Quando as faces do poliedro forem quadrados, termos 4x90° = 360°, o que
contradiz a nossa hipótese.
Assim, verificamos para esse caso que um poliedro regular construído com 4
faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triângulares.
5 faces ligadas ao mesmo vértice:
- Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 5x60° = 300°.
Do mesmo modo que foi verificado no caso anterior, concluímos que não
poderemos ter polígonos com mais de 3 lados, com cinco faces ligadas ao mesmo
vértice.
Atenção para saber mais e resolver um puzzle sobre Poliedros Platônicos
acesse o seguinte endereço:
http://www.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec/criar/poliedros/demo.htm
2 RECURSOS DIDÁTICOS
2.1 SÍTIOS
2.1.1 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geometria.htm
Esse endereço é da página construída pelo Professor Ulysses Sodré, da
Universidade Estadual de Londrina. No sítio é possível encontrar textos e sugestões
de atividades de diversas áreas da Matemática. A leitura é fácil e muito útil.
2.1.2 http://www.cdcc.sc.usp.br/cav/mat.htm. Nesse sítio você encontra textos de
matemática, vídeos, musicas e sugestões de atividades. È indispensável para o
professor de Matemática.
2.1.3
http://matematicanacidadela.blogspot.com/2008/01/filmes-e-matemtica.html.
Um Blog elaborado para apaixonados por matemática. Elaborado por Margarina
Pinto Teixeira, professora de Matemática de Portugal.
2.1.4 http://clube.spm.pt/index.php?orgId=1. Sitio Português elaborado por
integrantes da Sociedade Portuguesa de Matemática. Muito bem feito, fácil de
navegar e bem elaborado. Não deixe de visitar.
2.1.5 http://www.mat.uc.pt/~gazeta/GazetaOnline/online.php. Sítio de Portugal que
traz publicações sobre matemática. Vale a pena conferir.
2.1.6
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo1/p
oliedros/platonico
Este endereço é da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Bastante
interessante. Neste´espaço você encontra outros temas de matemática. A UFRGS
está produzindo excelentes trabalhos sobre Geometria. Sugiro uma busca pelos
caleidociclos.
2.1.7
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_Plat
%C3%B3nicos#Propriedades_m.C3.A9tricas_dos_s.C3.B3lido
Este sítio é de fácil acesso e compreensão e os conceitos matemáticos são muito
bem estruturados. Vale a pena consultá-lo.
2.2 SONS E VÍDEOS
2.2.1 Sugerimos a utilização do vídeo do pato Donald no País da Matemática
disponível em www.youtube.com/watch?v=7S3iW_sbqsA.
2.2.2 Outro vídeo bastante interessante é Donald e a Roda da Walt Disney
Productions, com duração de 13 minutos, produzido em 1960. fita 134.
Sinopse - Uma viagem no tempo, o "Espírito do Progresso", leva-nos ao homem que
inventou a roda. Porém, o filme apresenta-nos nada mais que o Pato Donald,
transformado no inventor anônimo. São mostradas todas as aplicações da roda no
mundo em que vivemos: desde o desenvolvimento dos transportes até os diversos
auxílios que a roda já proporcionou ao homem. Disponível em
http://www.cdcc.sc.usp.br/cav/mat23.htm
2.2.3 Cilindros, Prismas e Pirâmides – área matemática, subárea – Geometria
Espacial. Produtora: Coronet Films. Tempo 08 minutos. Ano de Produção, 1985.
Sinopse.: A partir de planos, estimula-se comparações entre figuras tridimencionais
com objetos e figuras planas,análogas no mundo físico. Representam-se as três
dimensões e os efeitos da perspectiva sobre as formas, de maneira intuitiva, não
verbal. O filme apresenta cilindros, prismas e pirâmides, mostrando, em seqüência,
algumas de suas características estimulando-nos a descobrir essas formas em
cenas
coloridas
e
animadas.
Fita
Número
111,
disponível
em
http://www.cdcc.sc.usp.br/cav/mat23.htm
2.2.4 Aquarela do Toquinho – vídeo disponível em http://www.youtube.com/watch?
v=2-V21HepcgY. Além do vídeo que é belíssimo sugerimos trabalhar a letra em sala
de aula, juntamente com o Professor de Língua Portuguesa e com o Professor de
artes.
Composição: Toquinho / Vinicius de Moraes / G.Morra / M.Fabrizio
Numa folha qualquer
Eu desenho um sol amarelo
E com cinco ou seis retas
É fácil fazer um castelo...
Corro o lápis em torno
Da mão e me dou uma luva
E se faço chover
Com dois riscos
Tenho um guarda-chuva...
Se um pinguinho de tinta
Cai num pedacinho
Azul do papel
Num instante imagino
Uma linda gaivota
A voar no céu...
Vai voando
Contornando a imensa
Curva Norte e Sul
Vou com ela
Viajando Havaí
Pequim ou Istambul
Pinto um barco a vela
Branco navegando
É tanto céu e mar
Num beijo azul...
Entre as nuvens
Vem surgindo um lindo
Avião rosa e grená
Tudo em volta colorindo
Com suas luzes a piscar...
Basta imaginar e ele está
Partindo, sereno e lindo
Se a gente quiser
Ele vai pousar...
Numa folha qualquer
Eu desenho um navio
De partida
Com alguns bons amigos
Bebendo de bem com a vida...
De uma América a outra
Eu consigo passar num segundo
Giro um simples compasso
E num círculo eu faço o mundo...
Um menino caminha
E caminhando chega no muro
E ali logo em frente
A esperar pela gente
O futuro está...
E o futuro é uma astronave
Que tentamos pilotar
Não tem tempo, nem piedade
Nem tem hora de chegar
Sem pedir licença
Muda a nossa vida
E depois convida
A rir ou chorar...
Nessa estrada não nos cabe
Conhecer ou ver o que virá
O fim dela ninguém sabe
Bem ao certo onde vai dar
Vamos todos
Numa linda passarela
De uma aquarela
Que um dia enfim
Descolorirá...
Numa folha qualquer
Eu desenho um sol amarelo
(Que descolorirá!)
E com cinco ou seis retas
É fácil fazer um castelo
(Que descolorirá!)
Giro um simples compasso
Num círculo eu faço
O mundo
(Que descolorirá!)...
2.2.5 Conjugação do Ausente. Vinícius de Moraes
(...)
Não ao rádio ou ao espelho, mas à porta
Que te emoldura, fatigada, e ao
Corredor que pára
Para te andar, adunca, inutilmente
Rápida. Vazia a casa
Raios, no entanto, desse olhar sobejo
Oblíquos cristalizam tua ausência.
Vejo-te em cada prisma, refletindo
Diagonalmente a múltipla esperança
E te amo, te venero, te idolatro
Numa perplexidade de criança.
(...)
2.2.6 Paralelas - Belchior
(...)
E as paralelas dos pneus n'água das ruas
São duas estradas nuas em que foges do que é teu.
No apartamento, oitavo andar, quebro a vidraça e grito
Grito quando o carro passa: Teu infinito, sou eu.
Sou eu, sou eu, sou eu...
(...)
2.2.7 Aquele Abraço – Gilberto Gil
(...)
Meu caminho pelo mundo
Eu mesmo traço
A Bahia já me deu
Graças a Deus!
Régua e compasso
Quem sabe de mim sou eu
É claro!
Aquele Abraço!
(...)
2.3 PROPOSTA DE ATIVIDADE
2.3.1 A relação de Euler nos Poliedros Platônicos
Essa atividade é para alunos das séries finais do Ensino Fundamental e
também para alunos do Ensino Médio. O que vai variar é a profundidade com que os
conteúdos serão explorados.
A partir de planificações construir modelos de sólidos geométricos. Em
seguida classificá-los em regulares e não regulares. Na seqüência contar o número
de faces, vértices e arestas dos modelos, montar uma tabela e verificar a relação
entre arestas, vértices e faces nos poliedros regulares e nos não regulares. A partir
dessa atividade trabalhar a relação de Euler nos Poliedros Platônicos.
SÓLIDO DE
PLATÃO
Faces
Vértices
Arestas
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
dodecaedro
icosaedro
2.4 IMAGENS
Se olharmos ao nosso redor, observaremos diversas formas geométricas,
Tudo tem um formato, uma característica. Alguns artistas retrataram essas formas
em algumas de suas obras, vejamos:
Paul Klee, Piet Mondrian, Joan Miró e Wassily Kandinsky.
Clique nos linkes abaixo para ver exemplos de belíssimas obras de arte que
utilizam as formas geométricas.
Paul Klee, Piet Mondrian, Joan Miró e Wassily Kandinsky
Uma sugestão é procurar o professor de Arte e Educação Artística e
elaborar em conjunto com eles uma atividade que tenha por objetivo estabelecer
semelhanças e diferenças entre as obras dos artistas, principalmente em relação às
formas geométricas. Aceite o desafio.
Sugerimos que você acesse o seguinte endereço eletrônico, lá é possível
encontar muitas informações sobre Geometria e Arte.
Outra
sugestão
é
acessar
o
seguinte
endereço:
http://www.es.cefetcampos.br/poliedros/modules/myalbum/photo.php?lid=71&cid=1
onde estão disponíveis as planificações e as animações dos poliedros platônicos.
3 RECURSOS DE INFORMAÇÃO
3.1 SUGESTÕES DE LEITURAS
Sobre esse tema recomendamos as seguintes leituras
FONSECA, Maria da Conceição F. R., et al. O ensino da geometria na escola
fundamental – três questões para a formação do professor nos ciclos iniciais. 2 ed.
1. reimp., Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
Nesse livro as autoras propõem, analisam e sugerem atividades para o
ensino de Geometria, levando sempre em consideração a realidade dos alunos.
GUEDJ, D. O teorema do papagaio. Tradução Eduardo Brandão. São Paulo: Cia da
Letras, 1999.
O autor trata da beleza da Matemática de uma maneira simples, agradável e
criativa sobre matemática para professores e alunos. O livro faz referências aos
matemáticos mais importantes da História da Matemática. É uma leitura de grande
utilidade.
LUZ, Adriana Augusta B. S. O. O quadrado. Sobre bruxas, professores e lições de
Geometria.
O texto faz parte da Tese de Doutorado da Professora Dra. Adriana Augusta
B. S. da Luz, da Universidade Federal do Paraná e trata com muita propriedade da
desmistificação do ensino de Geometria. Leitura indispensável para quem gosta de
ensinar Geometria. Disponível nos Grupos de Trabalho em Rede dos Professores
Jeane Andreane Pavelegini de Medeiros, Maria de Lourdes Rodrigues Pucci e Nilton
Novaki.
MACHADO, Sílvia Dias Alcântara, et al., Educação matemática: uma introdução.
São Paulo: EDUC, 1999.
Este livro não trata especificamente de Geometria, no entanto é um livro que
serve de apoio para quem gosta de ensinar Matemática e procura fundamentação
teórica para desenvolver seu trabalho.
3.2 NOTÍCIAS
3.2.1 A construção de uma Câmara para guardar sementes que servirão em caso de
desastre ambiental. Você poderá utilizar a notícia para trabalhar: formas
Geométricas, volume, meio ambiente
http://www.terra.com.br/noticias/infograficos/camaraarticadesementes/
3.2.2 Ecópole. Texto publicado na revista Super Interessante que veicula a seguinte
notícia: “A cidade mais ecológica do mundo vai sair do papel. E sabe onde? Num
dos países mais poluídos, a China.” SUPER INTERESSANTE, agosto, 2007, edição
242. São Paulo: Abril. Texto muito bom para trabalhar matemática de forma
interdisciplinar. È possível explorar formas geométricas, tratamento da informação,
meio ambiente, artes, língua portuguesa, Geografia e história.
3.3 DESTAQUES
O poeta paranaense Paulo Leminski nascido em Curitiba em 1944 e falecido
em 1989 exercia um grande domínio sobre as palavras e em seu Poema.
Paulo Leminski é sem sombra de dúvida um grande nome da literatura
brasileira e que desde os dezoito anos usou a liberdade de linguagem para escrever
poemas, poesias e Haicais.
Escolhi um poema onde o poeta relaciona o olhar dentro de um diamante e
seu olho com mil faces. Não é difícil explorar a poesia e visualizar a geometria.
Amor Bastante
quando eu vi você
tive uma idéia brilhante
foi como se eu olhasse
de dentro de um diamante
e meu olho ganhasse
mil faces num só instante
(...)
Paulo Leminski
Se você quiser saber mais sobre o Paulo Leminski acesse os seguintes
endereços:
http://www.revista.agulha.nom.br/pl.html#dist
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paulo_Leminski
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paulo_Leminski
Sugestão: Você pode trabalhar com o professor de Ciências e Química
sobre a forma do diamante que possui estrutura poliédrica. Ainda, em Geografia
sobre minerais e rochas.
3.4 PARANÁ
3.4.1 SILO DESABA EM PARANAGUÁ.
Disponível
em
http://ultimosegundo.ig.com.br/brasil/2007/11/05/silo_de_42_metros_de_altura_desa
ba_em_paranagu225_pr_1070556.html. Com essa notícia é possível explorar o uso
das formas geométricas para a construção de Silos, bem como estudar a
capacidade de armazenamento das construções que foram elaboradas a partir de
modelos de sólidos geométricos.
3.4.2 A CATEDRAL DE MARINGÁ
A Catedral Basílica Menor de Nossa Senhora da Glória, ou mais conhecida
como a Catedral de Maringá, é o décimo monumento mais alto do mundo e o
segundo da América do Sul. Sua altura é de 114m+10m da cruz, totalizando assim
124m de altura. É um projeto moderno e arrojado feito pelo arquiteto José Augusto
Belluci. A Catedral é toda contornada por espelho de água com fontes luminosas e
chafarizes que jorram a água à 5m de altura. Monumento belo e imponente que
demonstra
a
fé
do
povo
Maringaense.
(fonte:
http://projetomaringa.blogspot.com/2007/09/catedral-de-maring.html)
A Catredal de Maringá é um ótimo exemplo de arquitetura que utiliza as
formas geométricas. Explorar esse tema em sala de aula além de valorizar o Estado
do Paraná auxilia a compreender o quanto as formas geométricas estão presentes
em nosso dia-a-dia.
4 RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO
4.1 INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR
disponível http://www.desgeo.cjb.net/
Na investigação disciplinar sugerimos, que após o estudo dos Poliedros
Regulares e Relação de Euler nos Poliedros Regulares, que os Professores
trabalhem com o caleidociclo e verifiquem se a relação de Euler permanece a
mesma para todos os poliedros.
Imagem
disponível
em
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/imagens/caleidocicl
os1b.jpg
Para
saber
mais
sobre
os
caleidociclos
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html#caleidociclos.
acesse:
Outro aspecto que pode e deve ser explorado após a construção e análise
dos Poliedros Platônicos é a questão da simetria e da dualidade.
Em qualquer sólido platônico se unirmos os pontos centrais de faces
adjacentes, obtemos um novo sólido geométrico. Estes dois sólidos são chamados
de duais. A seguir temos exemplos de dualidade.
Imagens disponíveis em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_Plat%C3%B3nicos.
Dos modelos verifica-se que o tetraedro é dual de si próprio, o cubo e
octaedro são duais, bem como o dodecaedro e o icosaedro.
Dessa forma o desafio proposto é comparar o octaedro e o cubo (hexaedro),
contar o número de faces, de vértices e de arestas de cada um dos sólidos. Fazer o
mesmo procedimento com o dodecaedro e o icosaedro. Finalmente conte as faces e
os vértices do tetraedro. E então qual a conclusão?
Disponível e http://www.prof2000.pt/users/lujoin/Escher.gif
Um outro tema que pode ser investigado é a simetria nos poliedros
regulares. Sugerimos que seja estudado o conceito de simetria e verificado como ela
ocorre nos poliedros.
Fonte: Artigo apresentado no Gráphica 2007. POLIEDROS PLATÔNICOS:
DUALIDADE SIMÉTRICA. Ana Magda Alencar Correia e Bruno Leite Ferreira.
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco, Depto. de Expressão Gráfica.
4.2 PERPESCTIVA INTERDISCIPLINAR
4.2.1 GEOMETRIA E ARTE
OS POLIEDROS PLATÔNICOS E A ARTE
Ao longo da história do ser humano os poliedros têm estado diretamente
relacionados com o mundo da arte. Um dos pontos altos dessa ligação foi o
Renascimento. Para alguns artistas renascentistas os poliedros forneciam modelos
que os desafiavam a demonstrar o seu conhecimento sobre a perspectiva, para
outros, os poliedros eram símbolos de uma profunda verdade filosófica e religiosa.
Por exemplo a associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e os
elementos, fogo, terra, ar água (e o universo) foram muito importantes no
Renascimento.
- a terra, o elemento mais imóvel, Platão associa ao cubo, o único poliedro
com faces quadradas, e deste fato, o mais apto a garantir estabilidade;
- o fogo ele atribui ao tetraedro, que é o poliedro mais "pontudo", com
arestas mais cortantes, com menor número de bases, portanto, o de menor
mobilidade;
- a água e o ar, que são de mobilidade crescente e intermediária entre a
terra e o fogo, ele atribui respectivamente o octaedro e o icosaedro.
No entanto, com o tempo, surge o quinto e último poliedro: o dodecaedro.
Platão explicita suas idéias sobre o quinto elemento: o éter, que segundo ele seria a
"alma do mundo".
Imagem
disponível
em
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo1/p
oliedros/platonicos.html
Ao longo da história do ser humano os poliedros têm estado diretamente
relacionados com o mundo da arte. Um dos pontos altos dessa ligação foi o
Renascimento. Para alguns artistas renascentistas os poliedros forneciam modelos
que os desafiavam a demonstrar o seu conhecimento sobre a perspectiva, para
outros, os poliedros eram símbolos de uma profunda verdade filosófica e religiosa.
Por exemplo: a associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e
os elementos, fogo, terra, ar água (e o universo) foram muito importantes no
Renascimento.
Nessa época surgiu uma fundação matemática para artistas racionalistas
compreenderem os seus símbolos e explorarem a questão da perspectiva. A ciência
do renascimento explorou fundações matemáticas e visuais para compreender o
mundo físico, astronomia, anatomia.
No entanto, para outros artistas, os poliedros transmitiam inspiração ao
mesmo tempo em que se afiguravam como um armazém de formas com diversas
simetrias que serviam de fonte de inspiração para desenhar e representar nas suas
obras.
Isso ocorreu em especial no séc. XX, período em que se apresenta uma
maior liberdade na utilização de materiais e os antigos conceitos das regras de
representação da escultura, já praticamente são inexistentes.1
Diversos artistas podem ser estudados, desde Vitrúvio até Escher, que
expressam a sua arte através da geometria. Sendo M.C. Escher o melhor exemplo.
4.2.2 GEOMETRIA, CIÊNCIAS E GEOGRAFIA.
A associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e os
elementos, fogo, terra, ar água (e o universo) pode ser utilizada nas aulas de
Ciências e Geografia ao trabalhar meio ambiente, educação e conservação
patrimonial.
4.3 CONTEXTUALIZAÇÃO
Explorando as embalagens em forma de poliedros.
Essa atividade é para alunos para as séries finais do Ensino Fundamental.
As embalagens que acondicionam o leite chamado longa vida têm a forma
de blocos retangulares e contém 1 litro de leite. Consiga uma delas e calcule seu
volume em centímetros cúbicos. Lembrando que um litro equivale a 1000 (mil)
centímetros cúbicos, verifique se um litro de leite enche completamente a
embalagem, ou se sobra espaço no seu interior.
5 RECURSOS DE INTERAÇÃO
5.1 DIMENSÃO HISTÓRICA
1
Saiba mais consultando o sitio http://joanario.no.sapo.pt/poliedros.htm#a%20arte
Para trabalhar a história da Geometria sugerimos sejam acessados os
seguintes endereços eletrônicos.
http://www.desgeo.cjb.net/
http://www.somatematica.com.br/geometria.php
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm16/historia.htm
http://educacao.uol.com.br/matematica/historia-geometria.jhtm
A sugestão de trabalho é agendar um horário no laboratório de informática
da escola, listar os endereços para que os alunos possam acessa-los e após fazer
uma leitura em grupo e comparar os diferentes textos para avaliar as semelhanças e
diferenças, bem como fazer uma escala com os principais marcos de evolução da
Geometria.