o
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2 Ciclo de Mecânica
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Flexão - solicitação que tende a modificar o eixo geom étrico de uma
peça.
F
Na Estática os corpos são considerados indeformáveis tal
hipótese é necessária afim de se conseguir um resultado
completamente independente das propriedades da matéria de que
são constituídos.
A Resistência dos Materiais, que também faz parte da
Mecânica, entretanto, considera os corpos tais como são na
realidade, isto é, deformáveis e suscetíveis de sofrerem rupturas
quando sob a ação de forças.
Torção - solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma
em relação às outras.
Assim, a Resistência dos Materiais se ocupa em estudar:
1. As mudanças ocasionadas no corpo pela ação de forças externas
e internas;
F
2. As propriedades (dimensões, forma, material) que o fazem capaz
de resistir à ação dessas forças.
SOLICITAÇÕES
Mt
Um sistema de forças pode ser aplicado num corpo de
diferentes maneiras, originando portanto diversos tipos de
solicitações, tais como tração, compressão, cisalhamento, flexão e
torção.
Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a
solicitação é simples .
No caso de dois ou mais tipos agirem
contemporaneamente a solicitação é composta.
Tração - solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de
ação da resultante do sistema de forças.
F
DEFORMAÇÃO
A experiência ensina que a ação de qualquer força sobre
um corpo altera a sua forma, isto é, provoca uma deformação.
Com o aumento da intensidade da força, há um aumento
da deformação.
No ensaio de tração, um fio solicitado pôr uma força de
pequena intensidade sofrerá uma deformação transitória e
retomará seu comprimento inicial quando a força for removida.
F
Reta de ação da força
Compressão - solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da
reta de ação da resultante do sistema de forças.
F
F
deformação
transitória
Reta de ação da força
Cisalhamento - solicitação que tende a deslocar paralelamente em
sentido oposto, duas secções contíguas de uma peça.
Aumentando a intensidade da força, o fio sofrerá uma
deformação permanente.
O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite
de elasticidade
Reta de ação da força
F
deformação
permanente
F
__________________________________________________________________________________________
-1-
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
ALONGAMENTO UNITÁRIO
Alongamento unitário (
F
ε ) é a relação entre o alongamento
total ( ∆l ) e o comprimento inicial ( l ).
Corpo de Prova
lo
l
F
∆l
Aumentando-se a tensão, a deformação também vai
aumentando e os resultados da experiência podem ser mostrados
por um gráfico, marcando em abcissas as deformações
(alongamento unitário) e em ordenadas as tensões.
∆l
lο
ε=
σ
[ cm/cm]
σr
Pode ser expresso também em porcentagem(%).
R
σe
σp
E
P
TENSÃO
Tensão (σ)é a relação entre a força normal (P) e a área (S).
ε
1
A(área)
2
3
(1). zona elástica deformação transitória
(2). zona plástica deformação permanente
σ
(3). zona de ruptura
O gráfico representa o caso típico do aço doce (baixo teor
de carbono).
P
σ=
P
A
2
Até o ponto P, o gráfico é uma reta. Neste trecho é válida
a lei de Hook, que diz:
2
[ Kgf/cm ou Kgf/mm ]
As deformações são diretamente proporcionais às
tensões que as produzem.
σ é a força aplicada em
cada quadradinho de área unitária
O ponto
P
é o limite de elasticidade e a tensão
correspondente é a tensão de proporcionalidade
( σp ).
O trecho PE ainda se verifica a elasticidade mas já não é
pura, pois, tem-se um misto de deformações elásticas e deformações
permanentes.
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Como já foi visto, o ensaio de tração consiste em aplicar
num corpo de prova uma força axial com o objetivo de deformá-lo até
que se produza sua ruptura.
O ensaio é feito com auxílio do extensômetro,
esquematizado ao lado.
De fato, cessando as solicitações, o corpo de prova não
readquire completamente o formato primitivo, mas tenderá a este,
permanecendo parcialmente deformado.
Depois do ponto E a tensão sofre oscilações desordenadas
enquanto o material vai se deformando com grande fluidez. Este
fenômeno é chamado de escoamento e a tensão correspondente
tensão de escoamento (
σ e ).
__________________________________________________________________________________________
-2-
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Convém frisar que o escoamento é característico nos aços
doces e outros materiais.
Ele marca o início das grandes
deformações permanentes.
A tensão admissível fixada deve ser bem inferior à tensão
de ruptura.
Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de
ruptura por um coeficiente (n) chamado fator de segurança.
Continuando o ensaio, nota-se que a curva toma um
aspecto definido até atingir o ponto R, onde se verifica a ruptura do
corpo. Este ponto é o limite de ruptura e a tensão atingida é a
tensão de ruptura (σ r).
Todos os materiais apresentam, com variantes mais ou
menos acentuadas, o mesmo comportamento, e o diagrama terá
sempre aspecto semelhante, apesar de alguns trechos se
confundirem para alguns materiais e se evidenciarem para outros.
σ=
σr
n
A escolha de n requer muito bom senso por parte do
projetista, todavia, numa primeira aproximação, pode-se adotar o
seguinte:
n=x.y.z.w
No aço duro, por exemplo, não se verifica o escoamento
enquanto o chumbo e o estanho são caracterizados por isto.
valores para x ( fator do tipo de material):
DIMENSIONAMENTO
x = 2,0 para materiais comum
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga
No dimensionamento dos elementos de máquinas
admitem-se apenas deformações elásticas. Os cálculos podem ser:
de verificação ou de dimensionamento propriamente dito.
valores para y (fator do tipo de solicitação)
y = 1,0 para carga constante
y = 2,0 para carga intermitente
y = 3,0 para carga alternada
Verificação
No primeiro caso escolhem-se as dimensões e depois
verifica-se se a tensão de trabalho não ultrapassa a tensão
admissível.
valores para z (fator do tipo de carga)
P
σt = ≤ σ
A
onde (
z = 1,0 para carga gradual
z = 1,5 para choque leves
z = 2,0 para choques bruscos
σ ) é tensão admissível [kgf/mm
2
2
ou kgf/cm ]
valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)
w = 1,0 a 1,5 para aços
w = 1,5 a 2,0 para ferro fundido FoFo
Dimensionamento
No segundo caso, o processo é inverso: as dimensões são
calculadas admitindo-se a tensão de trabalho, com critério e
segurança.
Α≥
P
σ
As tensões admissíveis segundo Bach para os aços ao
carbono podem ser obtidas na tabela em anexo no final dessa
apostila.
Nesta
carregamento:
2
tabela
foram
considerados
três
tipos
de
a) carregamento estático:
a carga aplicada se m antém constante (vigas das estruturas).
Na tabela: -Carregamento I
2
(A) é a área da seção transversal da peça [cm ,mm ]
σ
Vejamos agora um exemplo de calculo para uma área de
seção circular:
área:
A=
π .d 2
4
substituindo temos:
π. d 2 P
≥
4
σ
isolando o
tempo
diâmetro temos:
d≥
4.P
π. σ
b) carregamento intermitente:
a carga é aplicada periodicamente (dentes de engrenagens).
Na tabela: -Carregamento II
σ
d
onde (d) é o diâmetro da peça [mm]
tempo
__________________________________________________________________________________________
-3-
o
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2 Ciclo de Mecânica
c) carregamento alternado:
a carga aplicada varia continuamente de sentido (eixos à flexão).
Carregamento III
-
Substituindo nesta fórmula o alongam ento unitário (ε) e a
tensão (σ), tem-se:
σ
∆l =
tempo
P. l ο
A.E
Ε representa a carga capaz de alongar o fio de secção de
área unitária ao dobro de seu comprimento inicial.
Observação:
Os aços distinguem-se em laminados e trefilados: estes
últimos apresentam características técnicas superiores aos
laminados.
As barras, as chapas e os perfis laminados são obtidos a
quente nos laminadores, enquanto os trefilados são obtidos a frio por
meio de fieiras.
DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS
É dado o esquem a de um parafuso submetido a uma carga
de tração e aperto conforme figura abaixo:
A
Podem os trabalhar com as tensões de ruptura (σ r) e
escoamento (σe ) com os seguintes fatores de segurança:
σr
n
σ=
σe
n
do
σ=
(P+Po)
A
α
*Para tensão de ruptura: n = 6,0 a 12,0
d
CORTE “AA”
p
t
*Para tensão de escoamento: n = 2,0 a 6,0
d
do
TRAÇÃO E COMPRESSÃO
No ensaio de tração foi visto que a deformação
(alongamento unitário ε ) é proporcional à tensão σ (lei de Hooke).
Nomenclatura:
Isto é válido para a compressão.
σ
E=
ε
σ = E. ε ∴
[ Kg/cm2 ]
O coeficiente de proporcionalidade ( ε ) é chamado módulo
de elasticidade normal; depende do material e o seu valor é
determinado experimentalmente.
P = Carga Axial (tração) [ kgf ]
Po = Carga de Aperto [ kgf ] Utilizar ⇒ Po = 0,15 . P
d = diâmetro externo da rosca [ mm ]
do = diâmetro interno da rosca [ mm ]
p = passo da rosca [ mm ]
t = profundidade do filete [ mm ]
α = 55o rosca WHITWORTH
O
α = 60 rosca MÉTRICA
Da fórmula da tensão temos:
Este coeficiente de é tirado através da tabela da página.
σ≥
P + Po
A
equação (I)
σ = tensão de tração admissível [ kgf/mm² ]
P
A = área do diâmetro do núcleo [ mm² ] ⇒ Α ≥
equação ( II )
σ
onde:
A
lο
lο
A
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ) e isolando o
diâmetro ( do ) temos:
do ≥
∆l
P
∆l
4. (P + Po )
π. σ
P
__________________________________________________________________________________________
-4-
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2 Ciclo de Mecânica
Pôr esta formula determinamos o diâmetro (do) do núcleo do
parafuso
4-) Calcular a força necessárias para alongar 1 mm um fio de cobre
de comprimento 2m e diâmetro 4mm
* Para determinar o diâmetro da rosca ( d ) consultamos a
TABELA DE ROSCA em anexo através do diâmetro interno (do ) ou
pela formula:
d = do + 2 . t
onde t = profundidade da rosca [ mm ]
Ver Tabela de rosca em Anexo.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
5-) Calcular a tensão de trabalho no elo da corrente em figura.
1-) Calcular o alongamento total de um fio de cobre de comprimento
50 cm e diâmetro 2 mm quando é aplicado uma carga de 20 kgf.
200 kgf
200 kgf
5mm
lo
∆l
P
6-) Calcular a força necessária capaz de romper um arame de aço
ABNT 1030 trefilado e diâmetro 2 mm.
2-) Calcular o encurtamento dos pés da mesa em figura.
Material aço meio carbono e comprimento do tubo 80cm.
4 cm
12,0 tf
5 cm
Seção dos pés
7-) Calcular o diâmetro de um aram e de aço ABNT 1030 trefilado
destinado a manter suspenso um peso de 200 kgf.
Carregamento I
3-) Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1mm foi submetido ao
ensaio de tração e com uma carga de 40kgf obteve um alongamento
total de 0,08cm. Calcular o alongamento unitário, alongamento
percentual, tensão e módulo de elasticidade.
d
P
30 cm
P
1 mm
P
__________________________________________________________________________________________
-5-
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2 Ciclo de Mecânica
12-) Verificar a seção do montantes da prensa em figura, para uma
carga máxima de 3,2 tf. Material: Ferro Fundido
8-) Escolher a corrente destinada a resistir uma carga de 1,0 tf.
Material: Aço ABNT 1040 laminado e fator de segurança n = 3,5
3,5.d
d
1,0 tf
1,0 tf
4
2
1,5.d
P
2
[cm]
9-) A peça em figura foi submetida ao ensaio de compressão e
sofreu ruptura com 32 tf. Calcular a tesão de ruptura a compressão
(σ cr ) .
32 tf
4 cm
13-) Dimensionar os parafusos do suporte como mostra a figura
abaixo.
Material do parafuso:
aço ABNT 1020 laminado
Carregamento I
2 cm
8 cm
3000 kgf
60 cm
2 parafusos
10-) No dispositivo em figura a bucha é de aço ABNT 1010 laminado
e o parafuso de aço ABNT 1030 laminado. Determine o diâmetro
externo da bucha e parafuso para suportar uma carga de aperto de
2,0 tf. ( carregamento I)
Usar para d1 = d + 1 mm
d1
d
P
D
14-)
Dimensionar os diâmetros dos tirantes para o suporte em
figura.
Dados: Carregamento I
material aço ABNT 1020 laminado
Carga P = 500 kgf
4m
11-)
Dimensionar a seção a x b e o diâmetro do parafuso do
esticador na figura abaixo para uma carga estática máxima de 1,5 tf.
Material do Corpo: aço ABNT 1030 laminado
Material do parafuso: aço ABNT 1020 laminado
a
3m
2 tirantes
n = 4,0
b
Q
d
__________________________________________________________________________________________
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2 Ciclo de Mecânica
CISALHAMENTO
EXERCÍCIOS:
No cisalhamento como já foi visto, a peça é solicitada pôr
duas forças proximas, paralelas e de sentidos contrários.
1-) Calcular a força de corte P da chapa em figura.
Dados: espessura s = 4mm
largura
L = 5 cm
Material aço ABNT 1020
P
L
Reta de ação da força
F
s
F
2-) Calcular a força de corte P da chapa em figura.
1030 laminado
A
Dados: Aço
100
20
R. 20
A seção (A) resistente à força cortante (F) é paralela à linha
de ação desta força e quando o limite de resistência é ultrapassado
há um deslizamento desta área.
esp. 2mm
A força que age em cada quadradinho de área unitária da
superfície (A) é a tensão de cisalhamento (τc). Logo:
τc =
3-) Verificar a tensão de cisalhamento no elo da corrente em figura.
Dados: Material Aço ABNT 1020
Laminado
F
A
2
300 kgf
2
[kgf/cm ] ou [kgf/mm ]
300 kgf
φ 5mm
No dimensionamento temos:
τc ≥
F
A
ou
Α≥
F
τc
4-) Dimensionar a articulação esquematizada na figura abaixo.
Material aço ABNT 1040 laminado n = 4,5
e2
F
τc = ≤ τc
A
Na verificação temos:
e1
O dimensionamento de peças submetidas ao cisalhamento
é feito o tomando como base os valores da tensão admissível da
seguinte maneira:
τ
c
= 0 ,7 5 . σ
d
R
600kgf
600kgf
t
__________________________________________________________________________________________
-7-
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Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
6-) Calcular o diâmetro do rebite em figura e as medidas a x b.
Material: chapa de aço ABNT 1010
carregamento I
rebite de aço ABNT 1010
d
tensão admissível
8=
2 mm
200 kgf
σ t = 8 mm 2
200
2.(a − 7)
a -7 =
Α≥
200
2.8
P
σc
∴ a =19,5 mm
200 kgf
8-) No dispositivo de segurança em figura. o arame de aço ABNT
1040 deverá quebrar-se com uma força tangencial de 50 kgf.
Calcular o diâmetro do arame.
Dado: n = 4,5
tração
a
b
Eixo
cisalhamento
d
Resolução
carregamento I
d=
4.P
π.τ c
d≥
τ c = 6,5mm 2
4.200
= 6,3mm
π.6,5
adotando d= 7,0 mm
Seção b (solicitada a cisalhamento)
b
2mm
P=
⇒ 2 áreas cisalhadas
área ⇒ A =s . b
200
= 100kgf
2
tensão de cisalhamento τ c = 5 mm 2
5=
100
2.b
isolando b temos
Α≥
b=
100
= 10mm
2.5
P
τc
Seção a (solicitada a tração)
2mm
d
Área
a
P= 200kgf
Área tracionada A = s.(a - d)
__________________________________________________________________________________________
-8-
o
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2 Ciclo de Mecânica
MOMENTO TORÇOR
Verificação: É fixada a tensão admissível e comparada com a tesão
de trabalho.
Denomina-se momento torçor (Mt) de uma m anivela ao
produto da força (F) pelo raio (R).
τt =
F
Dimensionamento:
No dimensionamento de peças à torção,
admitem-se apenas deformações elásticas. A tensão de trabalho é
fixada pelo fator de segurança ou pela tesão admissível.
Exemplo: diâmetro de um eixo
Mt = F.R
R
Mt
≤ τt
Wt
b
Mt
+
-
Temos o seguinte
τt ≥
Convenção: Mt será positivo se a manivela girar no sentido antihorário e negativo se a manivela girar no sentido horário.
Mt
Wt
(1)
Wt =
π .d 3
16
t1
(2)
substituindo a equação (2) em (1) temos:
O momento torçor pode ser ser obtido também pela
seguinte fórmula:
M t = 71620.
N
n
τt ≥
[ kgf.cm]
Mt
π.d 3o
16
do
isolando do temos:
d
do ≥ 3
N= potência do motor [CV] (cavalo vapor)
n= rotação no eixo [rpm]
16.M t
π. τ t
Observação: nos eixos chavetados somente o núcleo do diâm etro
(do) é o que vai resistir à torção, e o diâmetro (d) é determinado
através da tabela de chaveta segundo norma ABNT e pela formula
abaixo.
MÓDULO DE RESISTÊNCIA A TORÇÃO
O módulo de resistência a torção ( W t) depende
dos vários tipos de seção em que está sendo solicitado para se fazer
um bom dimensionamento de uma determinada peça.
D = do + 2.t1
3
A unidade de ( W t) é: [ cm ]
APLICAÇÃO:
Vejamos agora alguns tipos de seção:
1-) Dimensionar o eixo do motor de 2 CV a 1000 rpm.
Material aço ABNT 1030 laminado carregamento II
d
d
Wt =
h
π .d3
16
Wt = 0,208.h 3
2-) Dimensionar o terminal da manivela em figura.
Material: aço ABNT 1010 laminado carregamento II
Força no manipulo F= 20kgf
TORÇÃO
h
R= 10 cm
Torção é a solicitação que tende a girar uma
seção em relação a outra de uma peça.
A tenção de torção (τt) numa seção (x) qualquer é
dada pela seguinte fórmula:
τt =
Mt
Wt
2
2
[ kgf/mm ou kgf/cm ]
__________________________________________________________________________________________
-9-
o
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2 Ciclo de Mecânica
MOMENTO FLETOR ( Mf )
Mf1 = 0
Mf2 = 10 . 2 = 20 kgf.cm
A seção ( x ) da barra em figura está solicitada parte à
compressão e parte a tração, isto é, as fibras superiores da barra são
comprimidas e as fibras inferiores são tracionadas.
Mf3 = 10 . 5 – 22 . 3 = -16 kgf.cm
P
Mf4 = 0
Linha Neutra
compressão
Observações:
1-) Neste exemplo foi considerado as forças que precedem a seção.
Se forem tomadas as forças que seguem as seções, os momentos
terão os mesmos valores, a menos do sinal.
tração
Denomina-se m omento fletor (Mf) da seção ( x ), a som a
algébrica dos momentos, em relação a ( x ), de todas as forças Pi
que precedem ou seguem a seção.
2-) Notar que, no caso em questão (forças concentradas), o
momento fletor varia linearmente ao longo dos trechos
descarregados. Conclui-se daí que, para traçar o diagrama basta
calcular apenas o momentos fletores nas seções em que são
aplicados as forças e unir os valores por meio de retas.
3-) A seção mais solicitada é aquela que
máximo.
o momento fletor é
Exemplo: momento fletor na seção ( x ):
Problemas Propostos:
+
Convenção: Mf
1-)
P1
P1
100
200
300
kgf
x
c
b
R1
R2
2,5
a
1,5
3,0
2,0
m
Mf = P1.a – R1 . b + P2 . c
Desse modo calcula-se o momento fletor de cada seção do
eixo e com valores obtidos traça-se o diagrama como nos exemplos
que se seguem.
Gráfico de Momento Fletor (Cargas Concentradas)
10 kgf
20 kgf
3
2
2
R1 = 8 kgf
R1 = 22 kgf
Mf2
cm
+
Mf 4
Mf1
-
Mf3
__________________________________________________________________________________________
- 10 -
o
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2 Ciclo de Mecânica
2-)
4-)
200
200
400
kgf
600
kgf
2,5
3,0
2,0
2,0
m
4,0 m
200
MÓDULO DE RESISTÊNCIA A FLEXÃO
3-)
200
4,0
kgf
O módulo de resistência a flexão ( Wf ) dos vários tipos de
seção são obtidos através de tabelas, e apresentarem os alguns mais
usados.
x
m
x
d
2,0
400
h
2,0
b
Wf =
π.d 3
32
Wf =
b.h3
6
3
[ cm ]
__________________________________________________________________________________________
- 11 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Observação - 1: ( Wf ) depende do tipo de seção e da sua posição
relativa, conforme mostra o exemplo abaixo.
A fórmula da tensão é aplicada nas seções críticas, isto é,
nas seções onde pode haver ruptura do material.
P
Exemplo: Calculo do diâmetro de um eixo.
3
b
Temos o seguinte
σf ≥
8
x
(1)
Wf =
π.d3o (2)
32
t1
substituindo a equação (2) em (1) temos:
σf ≥
Wf =
Mf
Wf
b.h3 3.83
=
= 256cm3
6
6
Mf
π.d o3
32
do
isolando do temos:
d
do ≥ 3
32.M f
π.σ f
P
3
8
Aplicação:
x
Wf =
1-) Projetar um eixo para uma polia chavetada. Dados:
Material: Aço ABNT 1040
b.h3 8.33
=
= 36cm3
6
6
200 kgf
d2
d1
d3
Observação – 2: quanto maior for o módulo de resistência a flexão,
maior é a resistência da peça flexionada.
FLEXÃO
4,0
5,0
1,0
cm
5,0
Já foi visto que a flexão é a solicitação que tende a
modificar o eixo geométrico da peça.
P
2-) Dimensionar a seção da viga I em figura
1020
σf
Aço ABNT
1000 kgf
x
A tensão à flexão
Dados:
numa seção (x) qualquer é dada
pela seguinte formula:
σf =
Mf
Wf
2
[ kgf/cm ]
Dimensionamento:
40 cm
No dimensionamento de peças à flexão admitem-se
apenas deformações elásticas. A tensão de trabalho é fixada pelo
fator de segurança ou pela tensão admissível.
σ f ≤ σf
σf =
Mf
≤ σf
Wf
__________________________________________________________________________________________
- 12 -
o
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2 Ciclo de Mecânica
FLAMBAGEM
Denomina-se Flambagem a carga axial que faz com que a peça
venha a perder a sua estabilidade, demonstrada pelo seu
encurvamento na direção do eixo longitudinal com o mostra a figura
ao lado. Ocorre sempre na direção do eixo de menor momento de
inércia transversal.
Pfl
lo
l lf
Momento de Inércia ( Jx ) de Superfície Plana
É a somatória ( Σ ) das variações de área da Superfície
plana pelas respectivas distâncias elevada ao quadrado como mostra
a figura :
CARGA DE FLAMBAGEM ( Euler )
y
Através do estudo do Suíço Leonard Euler ( 1707 – 1783 )
determinou-se a fórmula da Carga Flambagem nas peças carregadas
axialmente.
π .E. J
l 2fl
J x = ∑ y 2 . ∆A
Momento em relação ao eixo y
fl
x
J y = ∑ x 2 . ∆A
J = momento de Inércia, seção transversal da peça ( cm4, mm4 )
E = módulo de resistência do material ( Kgf / cm2 ; Kgf / mm2 )
Pfl = carga de flambagem ( Kgf )
l
4
[cm ]
y
2
Pfl =
∆A
Momento em relação ao eixo x:
x
2
[cm ]
Obs. : quanto maior o momento de inércia de uma peça ( seção
transversal ) maior será sua resistência.
= comprimento livre de flambagem ( cm, mm )
Momento de Inércia de algumas figuras :
COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM
y
Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a
peça apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem
como mostra as figuras abaixo :
y
G
a
G
Jx =
x
x
b
d
Retangular
Circular
b.h3
12
Jx =
h.b 3
12
Jx = Jy =
y
π. ( D4 − d4 )
64
d
Circular Vazada
Jx = Jy =
.d 4
64
x
D
C
__________________________________________________________________________________________
- 13 -
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Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Translação de Eixos : Sejam ( x ) e ( y ) eixos centrais de uma
figura e ( x1 ) e ( y1 ) eixos respectivamente paralelas a ( x ) e ( y ).
As distâncias entre esses eixos são (a) e (b) que podem ser
consideradas como coordenadas de ( G ) . Por definição temos :
y
y
G
J x 1 = J x + b 2 .A
d
x
y1
x
y
a
A
J y1 = J y + a 2 . A
d
b
o1
D 2 + d2
iy = ix =
4
d
iy = ix =
4
x
G
D
x1
Raio de Giração ( i )
Índice de Esbeltez ( λ )
O raio de giração de uma superfície plana em relação a um
eixo de referência, constitui-se em uma distância particular entre a
superfície e o eixo, na qual o produto entre a referida distância
elevada ao quadrado e a área total da superfície, determina o
momento de inércia da superfície em relação ao eixo.
É definido através da relação entre o comprimento de
flambagem ( Lfl ) e o raio de giração mínima da seção transversal da
peça.
λ=
y
A
λ=
l
G
ix
iy
x
Jx
A
iy =
fl = comprimento de flambagem ( m, cm, mm )
Tensão Crítica ( σcr )
Para determinar o raio de geração da superfície é dado
pela seguinte expressão :
ix =
índice de Esbeltez ( adimensional )
imin = raio de giração mínimo ( m, cm, mm )
J y = A. i 2y
J x = A.i 2x
l fl
i min
A tensão Crítica deverá ser menor ou igual a tensão de
proporcionalidade do material. Desta forma, observa-se que o
material deverá estar sempre na região de deformação elástica, pois
o limite de proporcionalidade constitui-se no limite máximo para a
validade da Lei de Hooke.
A tensão crítica é expressa da seguinte forma:
Jy
σ cr
A
π 2 .Ε
=
λ2
σcr = tensão crítica ( Kgf / cm ; Kgf / mm
2
Unidade: [m, cm, mm]
E = módulo de elasticidade do material
λ = índice de esbeltez ( adimensional )
Raio de Giração de Algumas Figuras
y
a. 3
6
iy =
b. 3
6
)
2
2
(Kgf / cm ); Kgf / mm )
Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de
proporcionalidade do material, a fórmula de Euler perde a sua
validade. Para estes casos utiliza-se o estudo de Tetmajer.
G
a
ix =
2
Para o Aço ABNT NB 14
x
λ ≤ 105
⇒
σ fl = 1200 − 0,023. λ 2
b
λ > 105
⇒
σ fl =
10363000
λ2
__________________________________________________________________________________________
- 14 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Curva de Flambagem
É a representação gráfica da função que relaciona a tensão
de flambagem com o índice de esbeltz ( λ ) para cada material.
No que se segue, ( σp ) é a tensão de proporcionalidade e
( σe ) a tensão de escoamento :
σ fl
colunas
colunas
curtas
intermediarias
Material
σp
Aço ABNT
2.050 Kgf/cm
2.100.000 Kgf / cm
21.000 Kgf / mm
2
2
2.100.000 Kgf / cm
2
2
20,5 Kgf/mm
Aço ABNT
2.400 Kgf/cm
1040/1050
24,0 Kgf/mm
Ferro
Fundido
1540 Kgf / cm
σp
Pinho
σe
2
2
1010/1020
colunas
longas
hiperblole de
Euler
λlim
Euler
E ( módulo de
elasticidade )
15,4 Kgf/mm
99 Kgf / cm
21.000 Kgf / mm
2
1.00.0 Kgf / cm
2
1.000 Kgf / mm
2
2
100.000 Kgf / cm
0,99 Kgf/a
100
93
2
10.000 Kgf / mm
2
2
80
2
2
100
ESTRUTURAS METÁLICAS – MÉTODO ( ω )
λ lim
λ
λ fl
O método ω consiste em :
σ fl = ω .
Flambagem Elástica : ( como já foi visto )
Para σ ≤ σp , vale a hipérbole de Euler:
σ c = tensão de compressão admissível (tabela)
P
σ fl = fl
Α
E
σ fl = π . 2
λ
2
Pfl
≤ σc
A
Pfl = P . c
Pfl = carga de flambagem:
c = coeficiente de segurança c = 1,75 a 3,5
onde temos a carga de flambagem :
ω = valor extraído do gráfico abaixo pelo índice de esbeltz ( λ ):
π 2 .E. J
Pfl = σ fl . A =
l 2fl
11
λ ≥ λ limEuler
λ limEuler = π .
E
σp
A carga admissível será :
P=
Pfl
c
Coeficiente de Flamgem [ ω ]
10
* logo a validade das fórmulas acima, conhecida com o fórmula de
Euler, é :
9
8
7
6
5
4
3
2
Unidade: [ kgf ]
1
0
40
80
120
Indíce de Esbeltez [
c = coeficiente de Segurança ; para estruturas metálicas;
160
200
250
λ]
c = 1,7 para λ= 0
c = 3,5 para λ = λlimEuler ou λ > λlimEuler
* Tabela de Valores de λ limEu ler para alguns materiais
__________________________________________________________________________________________
- 15 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Ver em Anexos as tabelas de vigas perfis “I” e “U “com respectivos
dados.
Momento de Inércia de Perfil Composto:
Perfil “U”
y
y1
y1
Exercícios:
1-) Calcular a carga máxima P para a viga representada abaixo:
a
Padrão Americano
Aço 1020 laminado
8”x4” 3 alma
P
x
a
U
a
10 m
Momento de Inércia em [ y ]
2

U 

J y = 2. J y1 + A.  a +  

2 

J y = A t .i 2y
y = eixo que passa entre os perfis
At = área da seção transversal total
Jy = momento de inércia total em [ y ]
J y 1 = momento de inércia de cada seção em [ y
1
]
Perfil Caixão Retangular:
y
Jx =
B. H 3 − b. h 3
12
Jy =
H. B 3 − h.b 3
12
h
A = H.B - h.b
H
Área:
x
b
B
Perfil Caixão Quadrado:
H
Jx = Jy =
y
4
Área:
h
H −h
12
4
x
A = H2 - h 2
H
__________________________________________________________________________________________
- 16 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
2-) Calcular a carga máxima P para uma viga de perfil cilíndrico de
chapa calandrada de 1”de espessura como mostra a figura abaixo.
Aço ABNT 1020 laminado
4-) Calcular o comprimento mínimo para a viga em flambagem.
Considerar valida a formula de Euler.
Aço 1050 laminado
carregamento II
σ C = 12,5kgf/mm 2
P
l
400
y
450
6m
500
P = 25,7tf
x
[ mm ]
350
[ mm ]
400
3-) Calcular a carga necessária para que a viga abaixo não flambe.
y
P
y
y
1
1
x
3,25 m
a
U
a
Material Aço ABNT 1040 laminado
10” x 2 5/8” x6,10mm
U = 50 mm
__________________________________________________________________________________________
- 17 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Tabela de Características Mecânicas dos Aços
CLASSIF.
NORMA
ABNT
AÇOS
1010
1020
1030
1040
1050
lam.
Tref.
lam.
Tref.
lam.
Tref.
lam.
Tref.
lam.
Tref.
σr
33
37
39
43
48
53
53
60
63
70
σe
18
31
21
36
26
45
29
50
35
59
28
20
25
15
20
12
18
12
15
10
95
105
111
121
137
149
149
170
179
197
Along. %
2
HB[kgf/mm ]
2
Tensão Admissível Segundo Bach [kgf/mm ]
σt
σc
σf
τt
I
8,0
10,0
10,0
14,0
13,0
15,5
15,0
21,0
20,0
22,0
II
5,0
6,5
6,5
9,0
8,5
10,0
9,5
13,5
12,5
14,5
III
3,.5
4,5
4,5
6.5
6,0
7,5
7,0
9,0
8,0
10,0
I
8,0
10,0
10,0
14,0
13,0
15,5
15,0
21,0
20,0
22,0
II
5,0
6,5
6,5
9,0
8,5
10,0
9,5
13,5
12,5
14,5
III
3,.5
4,5
4,5
6.5
6,0
7,5
7,0
9,0
8,0
10,0
I
8,5
11,0
11,0
15,0
14,5
17,0
16,5
23,0
22,0
24,0
II
5,5
7,0
7,0
10,0
9,5
11,0
10,5
15,0
14,0
16,0
III
4,0
5,0
5,0
7,0
6,5
8,0
7,5
10,5
9,5
11,51
I
5,0
6,5
6,5
8,5
8,0
10,0
9,5
12,5
11,5
13,5
II
3,0
4,0
4,0
5,5
5,0
6,5
6,0
8,0
7,0
9,0
III
2,0
3,0
3,0
4,0
3,5
5,0
4,5
6,0
5,0
7,0
__________________________________________________________________________________________
- 18 -
o
Tecnologia de Projetos II
σt
2 Ciclo de Mecânica
= tensão admissível de TRAÇÃO
σ c = tensão admissível de COMPRESSÃO
σ f = tensão admissível de FLEXÃO
τ t = tensão admissível de TORÇÃO
Tabela de Módulo de Elasticidade Longitudinal
σr [kgf/cm2]
σe [kgf/cm2]
TIPO DE
MOD. ELASTICIDADE
MATERIAL
[kgf/cm2]
σtr=σfr
σcr
σte=σfe
σcr
Aço Fundido
2.000.000
5040
5040
2736
2736
Aço p/ Estrutura
2.000.000
4320
4320
2520
2520
Aço Doce
2.200.000
4680
5760
3240
4320
Aço meio Carbono
2.000.000
5760
7200
4320
5760
Aço duro
2.000.000
8640
11520
7200
10080
Alumínio fundido
700.000
1080
864
468
396
Alumínio laminado
700.000
1872
-----
936
-----
Cobre em fios
1.200.000
-----
-----
-----
-----
Cobre laminado
1.200.000
2520
2304
720
-----
Concreto
144.000
-----
-----
-----
-----
Duralumínio
750.000
5400
-----
3400
----
Ferro fundido
800.000
1296
5760
432
1440
Ferro Forjado
2.000.000
3600
3600
1944
1944
Propriedade Mecânica - Aço Carbono
σr [kgf/mm2]
σe [kgf/mm2]
laminado
39
21
trefilado
43
36
laminado
48
26
trefilado
53
45
laminado
53
29
trefilado
60
50
laminado
63
35
trefilado
70
59
1070
laminado
70
39
1095
laminado
91
50
SAE
1020
1030
1040
1050
__________________________________________________________________________________________
- 19 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Tabela de Roscas
TABELA DE ROSCAS
ROSCA WHITWORTH GÁS
Para canos(RC)
NB 202 - ABNT
ROSCA WHITHWORTH
NORMAL
(W)
ROSCA MÉTRICA(M)
perfil triangular ISO
NB - 97
o
o
d
diam.
do
núcleo
P
passo
d
diam.
d
mm
do
núcleo
N de
fios/1”
d
diam.
d
mm
do
núcleo
N de
fios/1”
4
3,14
0,7
1/8”
3,17
2,36
40
1/8”
9,73
8,57
28
6
4,77
1
5/32”
3,96
2,95
32
1 /4”
13,15
11,44
19
8
6,46
1,25
3/16”
4,76
3,4
24
3/8”
16,63
14,95
19
10
8,16
1,5
7/32”
5,55
4,2
20
1 /2”
20,95
18,63
14
12
9,83
1,75
1 /4”
6,35
4,72
20
5/8”
22,91
20,58
14
14
11,54
2
5/16”
7,93
6,13
18
3 /4”
26,44
24,11
14
16
13,54
2
3/8”
9,52
7,49
16
7/8”
30,2
27,87
14
18
14,99
2,5
1 /2”
12,7
9,99
12
1”
33,25
30,29
11
20
16,93
2,5
9/16”
14,28
11,57
12
1 1/4”
41,91
38,95
11
22
18,93
2,5
5/8”
15,87
12,91
11
1 1/2”
47,8
44,84
11
24
20,32
3
11/16”
17,46
14,5
11
1 3/4”
53,74
50,79
11
30
25,71
3,5
3 /4”
19,05
16,79
10
2”
59,61
56,65
11
36
31,09
4
13/16”
20,63
17,38
10
2 1/4”
65,71
62,75
11
42
36,48
4,5
7/8”
22,22
18,61
9
2 1/2”
75,18
72,23
11
48
41,87
5
15/16”
23,81
20,19
9
2 3/4”
81,53
78,58
11
56
49,25
5,5
1”
25,4
21,33
8
3”
87,88
84,93
11
60
53,25
5,5
1 1/8”
28,57
23,92
7
3 1/4”
93,98
91,02
11
64
56,64
6
1 1/4”
31,75
27,1
7
3 1/2”
100,33
97,37
11
α
p
do
d
α = 60o Rosca Métrica
α = 55o Rosca Whithworth
__________________________________________________________________________________________
- 20 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Anexos de tabelas de Vigas
Y
Tabela I - Vigas U. Padrão Americano
a
c
* Gabarito usual na mesa
** Diâmetro máximo de rebite na mesa
X
h
X
d
b
Y
TAMANHO
NOMINAL
pol.
mm
3x
1
1/2
4x
1
5/8
76,2 x
38,1
6x2
101,6
x
41,3
152,4
x
50,8
8x
2
1/4
203,2
x
57,2
10 x
2
5/8
254,0
x
66,7
12 x
3
304,8
x
76,2
15 x
3
3/8
381,0
x
85,7
Larg
da
aba
(b)
mm
Esp
da
alma
(d)
mm
35,8
38,0
40,5
40,1
41,8
43,7
48,8
51,7
54,8
57,9
57,4
59,5
61,8
64,2
66,5
66,0
69,6
73,3
77,0
80,8
74,7
77,4
80,5
83,6
86,7
86,4
86,9
89,4
91,9
94,4
96,9
4,32
6,55
9,04
4,57
6,27
8,13
5,08
7,98
11,10
14,20
5,59
7,70
10,0
12,4
14,7
6,10
9,63
13,40
17,10
20,80
7,11
9,83
13,00
16,10
19,20
10,2
10,7
13,2
15,7
18,2
20,7
Furos
Área
cm
2
7,78
9,48
11,40
10,1
11,9
13,7
15,5
19,9
24,7
29,4
21,8
26,1
30,8
35,6
40,3
29,0
37,9
47,4
56,9
66,4
39,1
47,4
56,9
66,4
75,9
64,2
66,4
75,8
85,3
94,8
104,3
Peso
c
Jx
Kg/m
cm
*
a
mm
6,11
7,44
8,93
7,95
8,30
10,80
12,2
15,6
19,4
23,1
17,1
20,5
24,2
27,9
31,6
22,7
29,8
37,2
44,7
52,1
30,7
37,2
44,7
52,1
59,6
50,4
52,1
59,5
67,0
74,4
81,9
1,11
1,11
1,16
1,16
1,15
1,17
1,30
1,27
1,31
1,38
1,45
1,41
1,40
1,44
1,49
1,61
1,54
1,57
1,65
1,76
1,77
1,71
1,71
1,76
1,83
2,00
1,99
1,98
1,99
2,03
2,21
22
22
22
25
25
25
29
29
35
35
35
35
38
38
38
38
38
44
44
44
44
44
44
51
51
51
51
51
57
57
57
**
∅
pol
cm
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
5/8
5/8
5/8
5/8
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
7/8
7/8
7/8
7/8
7/8
1
1
1
1
1
1
68,9
77,2
86,3
159,5
174,4
190,6
546
632
724
815
1.356
1.503
1.667
1.830
1.990
2.800
3.290
3.800
4.310
4.820
5.370
6.010
6.750
7.880
8.210
13.100
13.360
14.510
15.650
16.800
17.950
4
Jy
cm
4
8,2
10,3
12,7
13,1
15,5
18,0
28,8
36,0
43,9
52,4
54,9
63,6
72,9
82,5
92,6
95,1
117,0
139,7
164,2
191,7
161,1
186,1
214,0
242,0
273,0
338,0
347,0
387,0
421,0
460,0
498,0
Wx
cm
3
18,1
20,3
22,7
31,4
34,3
37,5
71,7
82,9
95,0
107,0
133,4
147,9
164,0
180,1
196,2
221,0
259,0
299,0
339,0
379,0
352,0
394,0
443,0
491,0
539
688,0
701,0
762,0
822,0
882,0
942,0
Wy
cm
3
3,32
3,82
4,39
4,61
5,10
5,61
8,16
9,24
10,50
11,90
12,8
14,0
15,3
16,6
17,9
19,0
21,6
24,3
27,1
30,4
28,3
30,9
33,7
36,7
39,8
51,0
51,8
55,2
58,5
62,0
66,5
rx
ry
cm
cm
2,98
2,85
2,75
3,97
3,84
3,73
5,94
5,63
5,42
5,27
7,89
7,60
7,35
7,17
7,02
9,84
9,81
8,95
8,70
8,52
11,70
11,30
10,90
10,60
10,40
14,30
14,20
13,80
13,50
13,30
13,10
1,03
1,04
1,06
1,14
1,14
1,15
1,36
1,34
1,33
1,33
1,59
1,56
1,54
1,52
1,52
1,81
1,76
1,72
1,70
1,70
2,03
1,98
1,94
1,91
1,90
2,30
2,29
2,25
2,22
2,20
2,18
__________________________________________________________________________________________
- 21 -
o
Tecnologia de Projetos II
2 Ciclo de Mecânica
Tabela II - Vigas I. Padrão Americano
y
a
x
* Gabarito usual na mesa
** Diâmetro máximo de rebite na mesa
x
h
d
y
b
TAMANHO
NOMINAL
pol.
3x
2 3/8
4x
2 5/8
5x3
6x
3 3/8
mm
76,2 x
60,3
101,6
x
66,7
127,0
x
76,2
152,4
x
85,7
8x4
203,2
x
101,6
10 x
4 5/8
254,0
x
117,5
12 x
5 1/4
304,8
x
133,4
15 x
5 1/2
381,0
x
139,7
18 x 6
457,2
x
152,4
20 x 7
508,0
x
177,8
Larg
da
mesa
(b)
mm
Esp
da
alma
(d)
mm
Furos
Área
59,2
61,2
63,7
67,6
69,2
71,0
72,9
76,2
79,7
83,4
84,6
87,5
90,6
101,6
103,6
105,9
108,3
118,4
121,8
125,6
129,3
133,4
136,0
139,1
142,2
139,7
140,8
143,3
145,7
152,4
154,6
156,7
158,8
177,8
179,1
181,0
182,9
184,7
4,32
6,38
8,86
4,83
6,43
8,28
10,16
5,33
8,81
12,55
5,84
8,71
11,81
6.66
8,86
11,20
13,51
7,9
11,4
15,1
18,8
11,7
14,4
17,4
20,6
10,4
11,5
14,0
16,5
11,7
13,9
16,0
18,1
15,2
16,6
18,4
20,3
22,2
10,8
12,3
14,2
14,5
16,1
18,0
19,9
18,8
23,2
28,0
23,6
28,0
32,7
34,8
38,9
43,7
48,3
48,1
56,9
66,4
75,9
77,3
85,4
94,8
104,3
80,6
84,7
94,2
103,6
103,7
113,8
123,3
132,8
154,4
161,3
170,7
180,3
189,7
cm
2
Peso
Kg/m
*
a
mm
**
∅
pol.
Jx
cm
8,45
9,68
11,20
11,4
12,7
14,1
15,6
14,8
18,2
22,0
18,5
22,0
25,7
27,3
30,5
34,3
38,0
37,7
44,7
52,1
59,6
60,6
67,0
74,4
81,9
63,3
66,5
73,9
81,4
81,4
89,3
96,3
104,3
121,2
126,6
134,6
141,5
148,9
38
38
38
38
38
38
38
44
44
44
50
50
50
58
58
58
58
70
70
70
70
76
76
76
76
90
90
90
90
90
90
90
90
102
102
102
102
102
3/8
3/8
3/8
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
5/8
5/8
5/8
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
1
1
1
1
1
105,1
112,6
121,8
252
266
283
299
511
570
634
919
1.003
1.095
2.400
2.540
2.700
2.860
5.140
5.610
6.120
6.630
11.330
11.960
12.690
13.430
18.580
19.070
20.220
21.370
33.460
35.220
36.680
38.540
61.640
63.110
65.140
67.190
69.220
4
Jy
cm
4
18,9
21,3
24,4
31,7
34,3
37,6
41,2
50,2
58,6
69,1
75,7
84,9
96,2
155
166
179
194
212
282
348
389
563
603
654
709
598
614
653
696
867
912
957
1.004
1.872
1.922
1.993
2.070
2.140
Wx
cm
3
27,6
29,6
32,0
49,7
52,4
55,6
58,9
80,4
89,8
99,8
120,6
131,7
143,7
236
250
266
282
405
442
482
522
743
785
833
881
975
1.001
1.061
1.122
1.464
1.541
1.613
1.686
2.430
2.480
2.560
2.650
2.730
Wy
cm
3
6,41
6,95
7,67
9,4
9,9
10,6
11,3
13,2
14,7
16,6
17,9
19,4
21,2
30,5
32,0
33,9
35,8
47,7
51,3
55,4
60,1
84,5
88,7
94,0
99,7
85,7
87,3
91,2
95,5
113,7
117,9
122,1
126,5
211
215
220
226
232
rx
ry
cm
cm
3,12
3,02
2,93
4,17
4,06
3,96
3,87
5,21
4,95
4,76
6,24
5,99
5,79
8,30
8,08
7,86
7,69
10,30
9,93
9,60
9,35
12,1
11,8
11,6
11,3
15,2
15,0
14,7
14,4
18,0
17,6
17,3
17,0
20,0
19,8
19,5
19,3
19,1
1,33
1,31
1,31
1,48
1,46
1,45
1,44
1,63
1,59
1,57
1,79
1,74
1,72
2,11
2,07
2,03
2,00
2,42
2,34
2,29
2,26
2,70
2,66
2,63
2,61
2,73
2,70
2,63
2,59
2,89
2,83
2,79
2,75
3,48
3,45
3,42
3,39
3,36
__________________________________________________________________________________________
- 22 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Elementos de Transmissão
Você vai estudar alguns elementos de máquina para transmissão:
correia, correntes, engrenagens, rodas de atrito, roscas, cabos de
aço.
A transmissão pela forma é assim chamada porque a forma dos
elementos transmissores é adequada para encaixamento desses
elementos entre si. Essa maneira de transmissão é a mais usada,
principalmente com os elementos chavetados, eixos-árvore
entalhados e eixos-árvore estriados.
Com esses elementos são m ontados sistemas de transmissão que
transferem potência e movimento a um outro sistema.
Na figura abaixo, a polia condutora transmite energia e movimento à
polia conduzida.
elementos chavetados
eixos-árvore entalhados
Os sistemas de transmissão podem, também, variar as rotações
entre dois eixos. Nesse caso, o sistema de rotação é chamado
variador.
As maneiras de variar a rotação de um eixo podem ser:
• por engrenagens;
• por correias;
• por atrito.
eixos-árvore estriados
Abaixo, temos a ilustração de um variador por engrenagens acionado
por um motor elétrico.
A transmissão por atrito possibilita uma boa centralização das peças
ligadas aos eixos. Entretanto, não possibilita transmissão de grandes
esforços quanto os transmitidos pela forma. Os principais elementos
de transmissão por atrito são os elementos anelares e arruelas
estreladas.
elementos anelares
Seja qual for o tipo de variador, sua função está ligada a eixos.
Esses elementos constituem-se de dois anéis cônicos apertados
entre si e que atuam ao mesmo tempo sobre o eixo e o cubo.
Modos de transmissão
A transmissão de força e movimento pode ser pela forma e por atrito.
- 23 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
arruelas estreladas
As arruelas estreladas possibilitam grande rigor de movimento axial
(dos eixos) e radial (dos raios). As arruelas são apertadas por meio
de parafusos que forçam a arruela contra o eixo e o cubo ao mesmo
tempo.
corrente de buchas
Engrenagens
Também conhecidas como rodas dentadas, as engrenagens são
elementos de máquina usados na transmissão entre eixos. Existem
vários tipos de engrenagem.
Descrição de alguns elementos de transmissão
Apresentamos, a seguir, uma breve descrição dos principais elementos
de máquina de transmissão: correias, correntes, engrenagens, rodas de
atrito, roscas, cabos de aço e acoplamento. Os eixos já foram descritos.
Cada um desses elementos será estudado mais profundamente nas
aulas seguintes.
Correias
São elementos de máquina que transmitem movimento de rotação
entre eixos por intermédio das polias. As correias podem ser
contínuas ou com emendas. As polias são cilíndricas, fabricadas em
diversos materiais. Podem ser fixadas aos eixos por meio de
pressão, de chaveta ou de parafuso.
engrenagens cilíndricas de dentes retos
Rodas de atrito
São elementos de máquinas que transmitem movimento por atrito
entre dois eixos paralelos ou que se cruzam.
Correntes
São elementos de transmissão, geralmente metálicos, constituídos
de uma série de anéis ou elos. Existem vários tipos de corrente e
cada tipo tem uma aplicação específica.
corrente de elos
- 24 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Roscas
Acoplamento
São saliências de perfil constante, em forma de hélice (helicoidal). As
roscas se movimentam de m odo uniforme, externa ou internamente,
ao redor de uma superfície cilíndrica ou cônica. As saliências são
denominadas filetes.
É um conjunto mecânico que transmite movimento entre duas peças.
Existem roscas de transporte ou movimento que transformam o
movimento giratório num movimento longitudinal. Essas roscas são
usadas, normalmente, em tornos e prensas, principalmente quando
são freqüentes as montagens e desmontagens.
rosca que transforma movimento giratório
em movimento longitudinal
Eixos e árvores
Assim como o homem, as máquinas contam com sua “coluna
vertebral” como um dos principais elem entos de sua estrutura física:
eixos e árvores, que podem ter perfis lisos ou compostos, em que
são montadas as engrenagens, polias, rolamentos, volantes,
manípulos etc.
rosca que transforma movimento
longitudinal em movimento giratório
Cabos de aço
São elementos de máquinas feitos de arame trefilado a frio.
Inicialmente, o arame é enrolado de modo a formar pernas. Depois
as pernas são enroladas em espirais em torno de um elemento
central, chamado núcleo ou alma.
Os eixos e as árvores podem ser fixos ou giratórios e sustentam os
elementos de máquina. No caso dos eixos fixos, os elementos
(engrenagens com buchas, polias sobre rolamentos e volantes) é que
giram.
Quando se trata de eixo-árvore giratório, o eixo se movimenta
juntamente com seus elementos ou independentemente deles como,
por exemplo, eixos de afiadores (esmeris), rodas de trole (trilhos),
eixos de máquinas-ferramenta, eixos sobre mancais.
cabos
- 25 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Material de fabricação
Os eixos e árvores são fabricados em aço ou ligas de aço, pois os
materiais metálicos apresentam melhores propriedades m ecânicas
do que os outros materiais. Por isso, são mais adequados para a
fabricação de elementos de transmissão:
• eixos com pequena solicitação mecânica são fabricados em aço
ao carbono;
• eixo-árvore de máquinas e automóveis são fabricados em açoníquel;
• eixo-árvore para altas rotações ou para bombas e turbinas são
fabricados em aço cromo-níquel;
• eixo para vagões são fabricados em aço-manganês.
Quando os eixos e árvores têm finalidades específicas, podem ser
fabricados em cobre, alumínio, latão. Portanto, o material de
fabricação varia de acordo com a função dos eixos e árvores.
Tipos e características de árvores
Conforme sua funções, uma árvore pode ser de engrenagens (em
que são montados mancais e rolamentos) ou de manivelas, que
transforma movimentos circulares em movimentos retilíneos.
Para suporte de forças radiais, usam-se espigas retas, cônicas, de
colar, de manivela e esférica.
Quanto ao tipo, os eixos podem ser roscados, ranhurados, estriados,
maciços, vazados, flexíveis, cônicos, cujas características estão
descritas a seguir.
Eixos maciços
A maioria dos eixos maciços tem seção transversal circular maciça,
com degraus ou apoios para ajuste das peças montadas sobre eles.
A extremidade do eixo é chanfrada para evitar rebarbas. As arestas são
arredondadas para aliviar a concentração de esforços.
Eixos vazados
Normalmente, as máquinas-ferramenta possuem o eixo-árvore vazado
para facilitar a fixação de peças mais longas para a usinagem.
Temos ainda os eixos vazados empregados nos motores de avião, por
serem mais leves.
Para suporte de forças axiais, usam-se espigas de anéis ou de
cabeça.
Eixos cônicos
Os eixos cônicos devem ser ajustados a um componente que possua
um furo de encaixe cônico. A parte que se ajusta tem um formato
cônico e é firmemente presa por uma porca. Uma chaveta é utilizada
para evitar a rotação relativa.
As forças axiais têm direção perpendicular (90º) à seção transversal
do eixo, enquanto as forças radiais têm direção tangente ou paralela
à seção transversal do eixo.
- 26 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
São eixos empregados para transmitir movimento a ferramentas
portáteis (roda de afiar), e adequados a forças não muito grandes e
altas velocidades (cabo de velocímetro).
Eixos roscados
Esse tipo de eixo é composto de rebaixos e furos roscados, o que
permite sua utilização como elem ento de transmissão e também
como eixo prolongador utilizado na fixação de rebolos para
retificação interna e de ferramentas para usinagem de furos.
Dimensionamento de Eixo
Dimensionamento a Flexão Simples
Eixos-árvore ranhurados
Esse tipo de eixo apresenta uma série de ranhuras longitudinais em
torno de sua circunferência. Essas ranhuras engrenam-se com os
sulcos correspondentes de peças que serão montadas no eixo. Os
eixos ranhurados são utilizados para transmitir grande força.
Calculo do eixo:
onde
d = 2,17.3
MF = P . a
Mf
σf
→ momento fletor [ kgf . cm ]
a = distancia da carga em relação a um ponto fixo [ cm ]
P = carga aplicada no eixo [ kgf ]
σf = tensão admissível que depende do material do eixo [ kgf/cm2 ]
σ f = 100 a 300 kgf/cm
σ f = 300 a 600 kgf/cm
Eixos-árvore estriados
Assim como os eixos cônicos, como chavetas, caracterizam-se por
garantir uma boa concentricidade com boa fixação, os eixos-árvore
estriados também são utilizados para evitar rotação relativa em barras
de direção de automóveis, alavancas de máquinas etc.
2
para eixos fixos material DIN St 50.11
2
para eixos livres material DIN St 50.11
Exemplo de calculo:
1-) Dimensione o eixo indicado na figura abaixo: dados P = 2000 kgf
a1 = 5 cm a2 = 10 cm
Eixos-árvore flexíveis
Consistem em uma série de camadas de arame de aço enroladas
alternadamente em sentidos opostos e apertadas fortemente. O
conjunto é protegido por um tubo flexível e a união com o motor é
feita mediante uma braçadeira especial com uma rosca.
- 27 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
2-) Dimensione o eixo indicado na figura abaixo: dados P = 2000 kgf
a = 7 cm
Tipos de polia
Os tipos de polia são determinados pela forma da superfície na qual
a correia se assenta. Elas podem ser planas ou trapezoidais. As
polias planas podem apresentar dois form atos na sua superfície de
contato. Essa superfície pode ser plana ou abaulada.
A polia plana conserva melhor as correias, e a polia com superfície
abaulada guia melhor as correias. As polias apresentam braços a partir
de 200 mm de diâmetro. Abaixo desse valor, a coroa é ligada ao cubo
por meio de discos.
Polias e Correias
Introdução
Às vezes, pequenos problemas de uma empresa podem ser
resolvidos com soluções imediatas, principalmente quando os
recursos estão próximos de nós, sem exigir grandes investimentos.
Por exemplo: com a simples troca de alguns componentes de uma
máquina, onde se pretende melhorar o rendimento do sistema de
transmissão, conseguiremos resolver o problema de atrito, desgaste
e perda de energia. Esses componentes - as polias e as correias,
que são o assunto da aula de hoje.
A polia trapezoidal recebe esse nome porque a superfície na
correia se assenta apresenta a forma de trapézio. As
trapezoidais devem ser providas de canaletes (ou canais)
dimensionadas de acordo com o perfil padrão da correia
utilizada.
Polias
As polias são peças cilíndricas, movimentadas pela rotação do eixo
do motor e pelas correias.
Ver anexo das Dimensões da Polia
Uma polia é constituída de um a coroa ou face, na qual se enrola a
correia. A face é ligada a um cubo de roda mediante disco ou braços.
- 28 -
qual a
polias
e são
a ser
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Essas dimensões são obtidas a partir de consultas em tabelas.
Vamos ver um exemplo que pode explicar como consultar tabela.
Imaginemos que se vai executar um projeto de fabricação de polia,
cujo diâmetro é de 250 mm, perfil padrão da correia C e ângulo do
canal de 34º. Como determinar as demais dimensões da polia?
Com os dados conhecidos, consultamos a tabela e vamos encontrar
essas dimensões:
Perfil padrão da correia: C Diâmetro externo da polia: 250 mm
Ângulo do canal: 34º
T: 15,25 mm
S: 25,5 mm
W: 22,5 mm
Y: 4 mm
Z: 3 mm
H: 22 mm
K: 9,5 mm
U = R: 1,5 mm
X: 8,25 mm
Além das polias para correias planas e trapezoidais, existem as
polias para cabos de aço, para correntes, polias (ou rodas) de atrito,
polias para correias redondas e para correias dentadas. Algumas
vezes, as palavras roda e polia são utilizadas como sinônimos.
No quadro da próxima página, observe, com atenção, alguns
exemplos de polias e, ao lado, a forma como são representadas em
desenho técnico.
Material das polias
Os materiais que se empregam para a construção das polias são
ferro fundido (o mais utilizado), aços, ligas leves e m ateriais
sintéticos. A superfície da polia não deve apresentar porosidade,
pois, do contrário, a correia irá se desgastar rapidamente.
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2 Ciclo de Mecânica
Correias
As correias mais usadas são planas e as trapezoidais. A correia em
“V” ou trapezoidal é inteiriça, fabricada com seção transversal em
forma de trapézio. É feita de borracha revestida de lona e é formada
no seu interior por cordonéis vulcanizados para suportar as forças de
tração.
Outra correia utilizada é a correia dentada, para casos em que não
se pode ter nenhum deslizamento, como no comando de válvulas do
automóvel.
Material das correias
Os materiais empregados para fabricação das correias são couro;
materiais fibrosos e sintéticos (à base de algodão, pêlo de camelo,
viscose, perlon e náilon) e material combinado (couro e sintéticos).
Transmissão
Na transmissão por polias e correias, a polia que transmite
movimento e força é chamada polia motora ou condutora. A polia
que recebe movimento e força é a polia movida ou conduzida. A
maneira como a correia é colocada determina o sentido de rotação
das polias. Assim, temos:
• sentido direto de rotação - a correia fica reta e as polias têm o
mesmo sentido de rotação;
O emprego da correia trapezoidal ou em “V” é preferível ao da correia
plana porque:
• praticamente não apresenta deslizam ento;
• permite o uso de polias bem próximas;
• elimina os ruídos e os choques, típicos das correias emendadas
(planas).
• sentido de rotação inverso - a correia fica cruzada e o sentido
de rotação das polias inverte-se;
Existem vários perfis padronizados de correias trapezoidais.
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2 Ciclo de Mecânica
• transmissão de rotação entre eixos não paralelos.
n1 = número de rotações por minuto (rpm) da polia menor
n2 = número de rotações por minuto (rpm) da polia maior
Na transmissão por correia plana, a relação de transmissão (i) não
deve ser maior do que 6 (seis), e na transmissão por correia
trapezoidal esse valor não deve ser maior do que 10 (dez).
Dimensionamento de Polias e
Correias Trapezoidais
Para ajustar as correias nas polias, mantendo tensão correta, utilizase o esticador de correia.
Critérios Para Escolha do Tipo e Número de
Correias
As correias em “V” são fabricadas na série industrial com 5 perfis
designados por A, B, C, D e E indicados na pagina 15.
Os critérios para a seleção são os seguintes:
1-) Seleção do perfil: depende do (HP) e (rpm) dos motores pelo
gráfico da página ( )
2-) Polias: determinação pelas tabelas da página ( )
3-) Calculo das distância de Centros provisórias: ver formula
página ( )
Já vimos que a forma da polia varia em função do tipo de correia.
4-) Comprimento nominal da correia: tabela da página ( )
Relação de transmissão
Na transmissão por polias e correias, para que o funcionamento seja
perfeito, é necessário obedecer alguns limites em relação ao
diâmetro das polias e o número de voltas pela unidade de tempo.
Para estabelecer esses limites precisamos estudar as relações de
transmissão.
5-) Distancia entre centros recalculada: ver formula página ( )
Costumamos usar a letra i para representar a relação de
transmissão. Ela é a relação entre o número de voltas das polias (n)
numa unidade de tempo e os seus diâmetros.
8-) Fator de Serviço: depende da máquina condutora e máquina
conduzida, tabela da página ( )
6-) Velocidade linear: ver formula página ( )
7-) Capacidade de HP por correia: depende de ( V ) e ( D1 )
9-) Fator de Correção do Arco de Contato: depende da diferença
( D2 – D1 ) e distancia entre centros ( I ) tabela da página ( )
10-) Quantidade de Correias: ver formula página ( )
A correia é dimensionada pela máxima força de tração.
O valor é
determinado experim entalm ente e fornecido pelo fabricante sob
forma de potência.
Correias – V Série Industrial
Distância entre Centro
A velocidade tangencial (V) é a mesma para as duas polias, e é
calculada pela fórmula:
I=
V = π .· D . n
Com o as duas velocidades são iguais, temos:
V1 = V2 →
π · D1 · n1 = π · D2 · n2 ∴
D1 · n1 = D2 · n2 ou
Portanto:
Onde:
i=
L 
(D − D1)2 
−  0,785.(D2 + D1 ) + 2

2 
2.L 
Arco de Contato
α = 180 −
n1 D 2
=
=i
n 2 D1
n1 D 2
=
n2 D1
D1 = diâmetro da polia menor
D2 = diâmetro da polia maior
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60.(D 2 − D1 )
I
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2 Ciclo de Mecânica
Tensão
QuantidadedeCorreias =
O rendimento da transmissão de força e de movimento vai depender
diretamente da posição das engrenagens e do sentido da rotação.
HP do motor . fatordeserviço
HP por correia . fator de arco de contato
Exercício:
Dimensione a correia para um motor de 10CV que e 1760rpm para
reduzir par 800rpm para transportadores de roscas espiral em motor
de corrente continua.
disposições favoráveis e desfavoráveis para transmissões por
corrente com duas engrenagens. Os eixos das engrenagens são
horizontais.
Transmissão
Transmissão por Correntes
A transmissão ocorre por meio do acoplamento dos elos da corrente
com os dentes da engrenagem. A junção desses elementos gera
uma pequena oscilação durante o movimento.
Introdução
Os problemas de uma empresa da área de transporte e cargas fez
com que o encarregado do setor tom asse algumas decisões
referentes à substituição de equipamentos, como componentes do
sistema de movimentação das esteiras transportadoras, e à
manutenção corretiva e preventiva dos órgãos de sustentação e
transferência de carga pesada.
Tomadas as providências e resolvidos os problemas, elaborou-se um
relatório que dava ênfase aos componentes substituídos, que são o
assunto que vamos estudar nesta aula: correntes.
Conceito
As correntes transmitem força e movimento que fazem com que a
rotação do eixo ocorra nos sentidos horário e anti-horário. Para isso,
as engrenagens devem estar num mesmo plano. Os eixos de
sustentação das engrenagens ficam perpendiculares ao plano.
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Algumas situações determinam a utilização de dispositivos especiais
para reduzir essa oscilação, aumentando, conseqüentemente, a
velocidade de transmissão.
Veja alguns casos.
• Grandes choques periódicos - devido à velocidade tangencial,
ocorre intensa oscilação que pode ser reduzida por amortecedores
especiais.
•
corrente simples de rolos
1 - pino;
2 - tala interna e externa;
3 - bucha remachada na tala interna 2;
4 - rolo, com rotação livre sobre a bucha 3.
transmissão de corrente com amortecedor de
oscilações através de guias de borracha
• Grandes distâncias - quando é grande a distância entre os eixos
de transmissão, a corrente fica “com barriga”. Esse problema pode
ser reduzido por meio de apoios ou guias.
corrente dupla e tripla de rolos
O fechamento das correntes de rolo pode ser feito por cupilhas ou
travas elásticas, conforme o caso.
guias para diminuir a barriga devido a grande distância
entre eixos
• Grandes folgas - usa-se um dispositivo chamado esticador ou tensor
quando existe uma folga excessiva na corrente. O esticador ajuda a
melhorar o contato das engrenagens com a corrente.
Essas correntes são utilizadas em casos em que é necessária a
aplicação de grandes esforços para baixa velocidade como, por
exemplo, na movimentação de rolos para esteiras transportadoras.
Corrente de bucha
Essa corrente não tem rolo. Por isso, os pinos e as buchas são feitos
com diâmetros maiores, o que confere mais resistência a esse tipo
de corrente do que à corrente de rolo. Entretanto, a corrente de bucha
se desgasta mais rapidamente e provoca mais ruído.
Tipos de corrente
Correntes de rolo simples, dupla e tripla
Fabricadas em aço temperado, as correntes de rolo são constituídas
de pinos, talas externa e interna, bucha remachada na tala interna.
Os rolos ficam sobre as buchas.
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Corrente de dentes
Nessa corrente, cada pino possui várias talas, colocadas uma ao
lado da outra. Assim, é possível construir correntes bem largas e
resistentes.
Corrente de dente com guia interna e articulações basculantes. Os
dois pinos articulados hachurados estão fixos à torção no grupo de
talas no meio da figura, em cima, e os dois pinos pontilhados fixos à
torção no grupo de talas ao lado, à esquerda.
Corrente de articulação desmontável
Esse tipo de corrente é usado em veículos para trabalho pesado,
como em máquinas agrícolas, com pequena velocidade tangencial.
Seus elos são fundidos na form a de corrente e os pinos são feitos de
aço.
Dimensão das correntes
A dimensão das correntes e engrenagens são indicadas nas Normas
DIN. Essas normas especificam a resistência dos materiais de que é
feito cada um dos elementos: talas, eixos, buchas, rolos etc.
Em Resistência dos Materiais iremos dimensionar e verificar estes
tipos de correntes
Dimensionamento
Veremos um exemplo de dimensionamento de corrente de elo
simples indicado na figura abaixo
Fórmulas para dimensionamento a
tração:
d=
corrente de articulação desmontável
σt =
2.T
π.σ t
tensão admissível a tração [
2
kgf/cm ]
T = força de tração no elo da corrente
[ kgf ]
π = 3,14 aproximadamente
σt ≤
637 kgf/cm
2
se trabalha
2
para casos
raram ente
corrente com pino de aço
σt ≤
510 kgf/cm
comuns
Correntes Gall e de aço redondo
σt ≤
Utilizadas para o transporte de carga, são próprias para velocidade
baixa e grande capacidade de carga.
continuo
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318
kgf/cm
2
para
uso
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Dimensões da corrente
Componentes
O cabo de aço se constitui de alma e perna. A perna se compõe de
vários aram es em torno de um aram e central, conforme a figura ao
lado.
Cabos de Aço
Conceito
Cabos são elementos de transmissão que suportam cargas (força de
tração), deslocando-as nas posições horizontal, inclinada ou vertical.
Os cabos são muito empregados em equipamentos de transporte e
na elevação de cargas, como em elevadores, escavadeiras, pontes
rolantes.
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Vejamos ao lado um esquema de cabo de aço.
cabo de aço
alma
perna
arame central
arame
Distribuição filler
Construção de cabos
Um cabo pode ser construído em uma ou mais operações,
dependendo da quantidade de fios e, especificamente, do núm ero de
fios da perna. Por exemplo: um cabo de aço 6 por 19 significa que
uma perna de 6 fios é enrolada com 12 fios em duas operações,
conforme segue:
As pernas contêm fios de diâmetro pequeno que são utilizados como
enchimento dos vãos dos fios grossos.
Distribuição warrington
Os fios das pernas têm diâmetros diferentes num a mesma camada.
Quando a perna é construída em várias operações, os passos ficam
diferentes no arame usado em cada camada. Essa diferença causa
atrito durante o uso e, conseqüentemente, desgasta os fios.
Tipos de alma de cabos de aço
As almas de cabos de aço podem ser feitas de vários materiais, de
acordo com a aplicação desejada. Existem, portanto, diversos tipos
de alma. Veremos os mais comuns: alm a de fibra, de algodão, de
asbesto, de aço.
Alma de fibra
É o tipo mais utilizado para cargas não muito pesadas. As fibras
podem ser naturais (AF) ou artificiais (AFA).
Passo é a distância entre dois pontos de um fio em torno da alma do
cabo.
Tipos de distribuição dos fios nas pernas
Existem vários tipos de distribuição de fios nas cam adas de cada
perna do cabo. Os principais tipos de distribuição que vamos estudar
são:
• normal;
• seale;
• filler;
• warrington.
Distribuição normal
Os fios dos arames e das pernas são de um só diâmetro.
Distribuição seale
As camadas são alternadas em fios grossos e finos.
cabo com alma de fibra AF (fibra natural)
ou AFA (fibra artificial)
As fibras naturais utilizadas normalmente são o sisal ou o rami. Já a
fibra artificial mais usada é o polipropileno (plástico).
Vantagens das fibras artificiais:
• não se deterioram em contato com agentes agressivos;
• são obtidas em maior quantidade;
• não absorvem umidade.
Desvantagens das fibras artificiais:
• são mais caras;
• são utilizadas somente em cabos especiais.
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Alma de algodão
Tipo de alma que é utilizado em cabos de pequenas dimensões.
Alma de asbesto
Tipo de alma utilizado em cabos especiais, sujeitos a altas
temperaturas.
Alma de aço
A alma de aço pode ser formada por uma perna de cabo (AA) ou por
um cabo de aço independente (AACI), sendo que este último oferece
maior flexibilidade somada à alta resistência à tração.
Iang à d ir eit a
I a ng à es q u er d a
O diâmetro de um cabo de aço corresponde ao diâmetro da
circunferência que o circunscreve.
cabo com alma de aço formada por cabo independente AACI
cabo com alma de aço formada por uma perna AA
Tipos de torção
Os cabos de aço, quando tracionados, apresentam torção das pernas
ao redor da alma. Nas pernas também há torção dos fios ao redor do
fio central. O sentido dessas torções pode variar, obtendo-se as
situações:
Preformação dos cabos de aço
Os cabos de aço são fabricados por um processo especial, de modo
que os arames e as pernas possam ser curvados de forma helicoidal,
sem formar tensões internas.
Torção regular ou em cruz
As principais vantagens dos cabos preformados são:
Os fios de cada perna são torcidos no sentido oposto ao das pernas
ao redor da alma. As torções podem ser à esquerda ou à direita.
Esse tipo de torção confere mais estabilidade ao cabo.
•
manuseio mais fácil e mais seguro;
•
no caso da quebra de um arame, ele continuará curvado;
•
não há necessidade de amarrar as pontas.
regular à direita
regular à esquerda
Torção lang ou em paralelo
Os fios de cada perna são torcidos no mesmo sentido das pernas
que ficam ao redor da alma. As torções podem ser à esquerda ou à
direita. Esse tipo de torção aumenta a resistência ao atrito (abrasão)
e dá mais flexibilidade.
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Fixação do cabo de aço
Os cabos de aço são fixados em sua extremidade por meio de
ganchos ou laços. Os laços são formados pelo trançamento do
próprio cabo. Os ganchos são acrescentados ao cabo.
Dimensionamento
Para dimensionar cabos, calculamos a resistência do material de
fabricação aos esforços a serem suportados por esses cabos. É
necessário verificar o nível de resistência dos materiais à ruptura.
Os tipos, características e resistência à tração dos cabos de aço são
apresentados nos catálogos dos fabricantes.
Vejamos dois exemplos de tabelas de cabos de aço do fabricante
CIMAF.
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Os dentes são um dos elementos mais importantes das engrenagens.
Observe, no detalhe, as partes principais do dente de engrenagem.
Engrenagens
Engrenagens são rodas com dentes padronizados que servem para
transmitir movimento e força entre dois eixos. Muitas vezes, as
engrenagens são usadas para variar o número de rotações e o
sentido da rotação de um eixo para o outro.
Para produzir o movimento de rotação as rodas devem estar
engrenadas. As rodas se engrenam quando os dentes de uma
engrenagem se encaixam nos vãos dos dentes da outra engrenagem.
Observe as partes de uma engrenagem:
As engrenagens trabalham em conjunto. As engrenagens de um
mesmo conjunto podem ter tamanhos diferentes.
Quando um par de engrenagens tem rodas de tamanhos diferentes, a
engrenagem maior chama-se coroa e a menor chama-se pinhão.
Existem diferentes tipos de corpos de engrenagem. Para você
conhecer alguns desses tipos, observe as ilustrações.
corpo em forma de disco
com furo central
corpo em forma de disco
com cubo e furo central
Os materiais mais usados na fabricação de engrenagens são: açoliga fundido, ferro fundido, cromo-níquel, bronze fosforoso, alumínio,
náilon.
Tipos de engrenagem
Existem vários tipos de engrenagem, que são escolhidos de acordo com
sua função. Nesta aula você vai estudar os tipos mais comuns.
corpo com 4 furos,
cubo e furo central
corpo com braços
cubo e furo central
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Engrenagens cilíndricas
Engrenagens cilíndricas têm a forma de cilindro e podem ter dentes
retos ou helicoidais (inclinados). Observe duas engrenagens
cilíndricas com dentes retos:
Engrenagens cônicas
Engrenagens cônicas são aquelas que têm forma de tronco de cone.
As engrenagens cônicas podem ter dentes retos ou helicoidais.
Nesta aula, você ficará conhecendo apenas as engrenagens cônicas
de dentes retos.
engrenagem cônica de dentes retos
Veja a representação de uma engrenagem com dentes helicoidais:
As engrenagens cônicas transmitem rotação entre eixos
concorrentes. Eixos concorrentes são aqueles que vão se encontrar
em um mesmo ponto, quando prolongados.
Observe no desenho como os eixos das duas engrenagens se
encontram no ponto A.
Os dentes helicoidais são paralelos entre si, mas oblíquos em
relação ao eixo da engrenagem.
Já os dentes retos são paralelos entre si e paralelos ao eixo da
engrenagem.
As engrenagens cilíndricas servem para transmitir rotação entre
eixos paralelos, como mostram os exemplos.
Observe alguns exemplos de emprego de engrenagens cônicas com
dentes retos.
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais transmitem
também rotação entre eixos reversos (não paralelos). Elas funcionam
mais suavemente que as engrenagens cilíndricas com dentes retos
e, por isso, o ruído é menor.
A coroa é a engrenagem com maior número de dentes e que
transmite a força motora.Veja a resposta correta.
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Cremalheira
Cremalheira é um a barra provida de dentes, destinada a engrenar
uma roda dentada. Com esse sistema, pode-se transformar
movimento de rotação em movimento retilíneo e vice-versa.
Engrenagens helicoidais
Nas engrenagens helicoidais, os dentes são oblíquos em relação ao
eixo.
Entre as engrenagens helicoidais, a engrenagem para rosca sem-fim
merece atenção especial. Essa engrenagem é usada quando se
deseja uma redução de velocidade na transmissão do movimento.
Conceitos básicos
As engrenagens são representadas, nos desenhos técnicos, de
maneira normalizada. Como regra geral, a engrenagem é
representada como uma peça sólida, sem dentes.
Repare que os dentes da engrenagem helicoidal para rosca sem-fim
são côncavos.
Apenas um elemento da engrenagem, o diâmetro primitivo, é
indicado por meio de uma linha estreita de traços e pontos, como
mostra o desenho.
Côncavos porque são dentes curvos, ou seja, menos elevados no
meio do que nas bordas.
No engrenamento da rosca sem-fim com a engrenagem helicoidal, o
parafuso sem-fim é o pinhão e a engrenagem é a coroa.
Veja um exemplo do emprego de coroa para rosca sem-fim.
Na fabricação de engrenagens, o perfil dos dentes é padronizado. Os
dentes são usinados por ferramentas chamadas fresas. A escolha da
fresa depende da altura da cabeça e do número de dentes da
engrenagem. Por isso, não há interesse em representar os dentes
nos desenhos.
Repare que no engrenamento por coroa e rosca sem-fim, a transmissão
de movimento e força se dá entre eixos não coplanares.
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Representação dos dentes
Quando, excepcionalmente, for necessário representar um ou dois
dentes, eles devem ser desenhados com linha contínua larga.
Na parte em corte da vista lateral, a raiz do dente aparece
representada pela linha contínua larga.
Caso seja necessário representar a raiz do dente da engrenagem em
uma vista sem corte, deve-se usar a linha contínua estreita, como no
desenho seguinte.
Entretanto, nas representações em corte, os dentes atingidos no
sentido longitudinal devem ser desenhados. Nesses casos, os dentes
são representados com omissão de corte, isto é, sem hachura.
Quando, na vista lateral da engrenagem, aparecem representadas
três linhas estreitas paralelas, essas linhas indicam a direção de
inclinação dos dentes helicoidais.
Observe os dentes representados nas vistas laterais, em meio-corte,
das engrenagens a seguir.
engrenagem cilíndrica (helicoidal à direita)
engrenagem cilíndrica de dente reto
engrenagem cônica (helicoidal à esquerda)
engrenagem cônica de dente reto
engrenagem helicoidal côncava (espiral)
Desenho de pares de engrenagens
As mesmas regras para a representação de engrenagens que você
aprendeu até aqui valem para a representação de pares de
engrenagens ou para as representações em desenhos de conjuntos.
engrenagem helicoidal côncava
Analise as vistas de cada engrenagem e veja que, na vista frontal e
na parte não representada em corte da vista lateral, a raiz do dente
não aparece representada.
Quando o engrenamento acontece no mesmo plano, nenhuma das
engrenagens encobre a outra.
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2 Ciclo de Mecânica
Observe no desenho da engrenagem helicoidal côncava e da rosca
sem-fim que todas as linhas normalizadas são representadas.
Note que, nesse exemplo, o pinhão encobre parcialmente a coroa.
Apenas o diâmetro primitivo da coroa é representado integralmente.
O mesmo acontece no engrenamento das engrenagens cilíndricas a
seguir.
Características das engrenagens
Para interpretar desenhos técnicos de engrenagens, é preciso
conhecer bem suas características.
Você já sabe que os dentes constituem parte importante das
engrenagens. Por isso, você vai começar o estudo das engrenagens
pelas características comuns dos dentes.
Analise cuidadosamente o desenho a seguir e veja o significado das
letras sobre as linhas da engrenagem.
engrenam ento de duas engrenagens cilíndricas dentes retos
detalhe da engrenagem: dentes
As características dos dentes da engrenagem são:
e = espessura- é a medida do arco limitada pelo dente, sobre a
circunferência primitiva (determinada pelo diâmetro primitivo);
v = vão- é o vazio que fica entre dois dentes consecutivos
também delimitados por um arco do diâmetro primitivo;
P = passo-é a soma dos arcos da espessura e do vão (P = e + v);
a = cabeça-é a parte do dente que fica entre a circunferência
primitiva e a circunferência externa da engrenagem;
engrenamento de duas engrenagens cilíndricas dentes helicoidais
b = pé - é a parte do dente que fica entre a circunferência primitiva
e a circunferência interna (ou raiz);
Observe que no engrenamento de duas engrenagens cilíndricas de
dentes helicoidais, o sentido do dente de uma deve ser à direita e da
outra, à esquerda.
h = altura - corresponde à soma da altura da cabeça mais a altura
do pé do dente.
Quando uma das engrenagens está localizada em frente da outra, no
desenho técnico, é omitida a parte da engrenagem que está
encoberta.
As duas engrenagens cônicas, representadas a seguir, encontram-se
nessa situação.
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Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Verificando o entendimento
Analise a representação cotada dos dentes de engrenagem a seguir
e responda às questões.
Nas figuras a seguir estão mostrados, em escala natural, alguns
perfis de dentes no sistem a módulo, para se ter idéia das dim ensões
deles.
O sistema módulo é a relação entre o diâmetro primitivo, em
milímetros, e o número de dentes.
a) Qual é a medida do passo da engrenagem?
Resp.:_________________________________________________
b-) O que representa a cota 600?
______________________________________________________
c) Qual a medida da altura do dente?
______________________________________________________
Os desenhos técnicos das engrenagens e de suas características
são feitos por meio de representações convencionais.
Observe, no próximo desenho, as características da engrenagem
cilíndrica com dentes retos.
Verificando o entendimento
Escreva as cotas pedidas.
As características da engrenagem cilíndrica com dentes retos são:
De: diâmetro externo
Dp:
diâmetro primitivo
a) diâmetro externo: ____________________________________
Di:
diâmetro interno
b)diâmetro primitivo: _____________________________________
M:
módulo
c)diâmetro interno: ______________________________________
Z:
número de dentes
d)largura: _____________________________________________
L:
largura da engrenagem
e)módulo:______________________________________________
O módulo corresponde à altura da cabeça do dente (M = a) e serve
de base para calcular as demais dimensões dos dentes.
f)número de dentes: _____________________________________
É com base no módulo e no número de dentes que o fresador
escolhe a ferramenta para usinar os dentes da engrenagem. Mais
tarde, a verificação da peça executada também é feita em função
dessas características.
As demais cotas da engrenagem são o tamanho do furo: 11 e 18, e o
tamanho do rasgo da chaveta: 1,5; 4 e 18. A profundidade do rasgo
da chaveta (1,5 mm) foi determinada pela diferença das cotas: 12,5
mm e 11 mm.
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Agora veja as características de uma engrenagem cilíndrica com
dentes helicoidais.
a)ângulo externo: _______________________________________
b)ângulo primitivo: ______________________________________
c)ângulo interno: _______________________________________
d)ângulo do cone complementar: __________________________
e)largura do dente: _____________________________________
Note que, na cotagem da engrenagem cônica, os diâmetros externo,
primitivo e interno são indicados na base maior do cone da
engrenagem.
Para completar, analise as características da engrenagem helicoidal
para rosca sem-fim.
engrenagem cilíndrica com dentes helicoidais
Na engrenagem cilíndrica com dentes helicoidais, a única
característica nova que aparece indicada no desenho é a, ou seja, o
ângulo de inclinação da hélice.
Além das características que você já conhece, a engrenagem cônica
com dentes retos possui outras que são mostradas no desenho a
seguir.
As características dessa engrenagem, que não se encontram nas
anteriores, são:
Dm:
diâmetro máximo da engrenagem
ach:
ângulo de chanfro
rc:
raio da superfície côncava
engrenagem cilíndrica com dentes helicoidais
Verificando o entendimento
As características da engrenagem cônica são:
ae:
ap:
ai:
ac:
l:
Analise o desenho técnico e complete as frases.
ângulo externo
ângulo primitivo
ângulo interno
ângulo do cone complementar
largura do dente
Tente interpretar o desenho técnico de uma engrenagem cônica.
Verificando o entendimento
Analise o desenho técnico da engrenagem e escreva as cotas
pedidas.
a)
O diâmetro máximo da engrenagem é ___________________
b)
A cota 60º refere-se ao _______________________________
c)
O raio da superfície côncava é _________________________
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2 Ciclo de Mecânica
Observe novamente o desenho da engrenagem e acompanhe a
interpretação das demais características:
diâmetro externo: 130,8 mm
diâmetro primitivo: 124,8 mm
diâmetro interno: 117,8 mm
largura da engrenagem: 24 mm
ângulo da hélice: 16º
módulo: 3
número de dentes: 40
tamanho do furo: 33 mm e 24 mm
tamanho do rasgo da chaveta: 33 mm, 10 mm e 3,3 mm
Conceituação
Como
Características e cálculos de engrenagem com
dentes helicoidais
e
Pc = Mf . π (B)
substituindo as fórmulas A e B em C, temos: cosβ =
Simplificando, temos: cosβ =
Assim,
ou
Engrenagens com dentes helicoidais são usadas em sistemas
mecânicos, como caixas de câmbio e redutores de velocidade, que
exigem alta velocidade e baixo ruído.
Pn = Mn . π (A)
Mn . π
Mf . π
Mn
Mf
Mn = Mf . cosβ
Mf =
Mn
cosβ
O diâmetro primitivo (Dp) da engrenagem helicoidal é calculado pela
divisão do comprimento da circunferência primitiva por π (3, 14).
O comprimento da circunferência primitiva (Cp) é igual ao número de
dentes (Z) multiplicado pelo passo circular (Pc).
Assim, Cp = Z . Pc
Esta engrenagem tem passo normal (Pn) e passo circular (Pc), e a
hélice apresenta um ângulo de inclinação (β).
Logo, o diâmetro primitivo é dado por Dp =
Cp
π
Como Cp = Z . Pc
podemos escrever DP =
Z . Pc
π
Como Pc = Mf . π
temos
DP =
Z . Mf . π
π
Simplificando, temos: Dp = Z . Mf
Como
Mf =
ou Dp = Mf . Z
Mn
cosβ
podemos escrever
Dp =
Mn . Z
cosβ
O diâmetro externo (De) é calculado somando o diâmetro primitivo a
dois módulos normais.
Assim,
De = Dp + 2 . Mn
Para identificar a relação entre o passo normal (Pn), o passo circular
(Pc) e o ângulo de inclinação da hélice (β), você deve proceder da
seguinte forma: retire um triângulo retângulo da última ilustração,
conforme segue.
Neste triângulo, temos
cos β =
Pn
Pc
(C)
Agora que já vimos algumas fórmulas da engrenagem helicoidal,
podemos auxiliar o mecânico da oficina de manutenção. Ele mediu o
diâmetro externo das duas engrenagens (De1 e De2) e a distância
entre os seus centros (d). Depois contou o número de dentes (Z1 e
Z2) das duas engrenagens. Com esses dados vam os calcular o
módulo normal (Mn) da engrenagem quebrada.
O módulo normal (Mn) pode ser deduzido das fórmulas a seguir:
- 46 -
o
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2 Ciclo de Mecânica
Substituindo os valores na fórmula, temos
d=
Com o
T
emos
e
cos β =
De = Dp + 2Mn
2,75 . 28
119,76
77
119,76
De = Dp + 2Mn
cos β =
Dp = De - 2Mn
cos β = 0,64295.
Substituindo Dp em
temos:
d=
Dp1 + Dp2
2
Procurando na tabela o ângulo correspondente a este valor, temos
β = 50º.
Portanto, o ângulo de inclinação da hélice da engrenagem tem 50º.
(De1 - 2Mn) + (De2 - Mn)
2
Tente você também, fazendo os exercícios a seguir.
Isolando o módulo normal Mn, temos:
Exercício 1
Calcular o módulo normal (Mn), o diâmetro primitivo (Dp) e o ângulo
de inclinação da hélice (β) de uma engrenagem helicoidal, sabendo
que o diâmetro externo medido é De1 = 206,54mm e tem 56 dentes,
o diâmetro externo da engrenagem acoplada é De2 = 125,26mm e a
distância entre os centros é d = 160,4mm.
2d = De1 - 2Mn + De2 - 2Mn
2d = De1 + De2 - 4Mn
4Mn = De1 + De2 - 2d
Fórmulas:
Mn = De1 + De2 - 2d (D)
4
Mn = De1 + De2 - 2d
4
Com essa fórmula podemos calcular o módulo normal. Os valores de
De1 (diâmetro externo da engrenagem 1), De2 (diâmetro externo da
engrenagem 2) e d (distância entre os centros) podem ser medidos.
Mn = 26,54 + 125,26 - 2.160,4
4
Mn = ?
Assim,
De1 = 125,26 mm
De2 = 206,54 mm
d = 160,4 mm
Dp = De1 - 2 . Mn
Dp = 206,54 - 2 . Mn
Substituindo os valores de De1, De2 e d na fórmula (D), temos:
Dp = ?
Mn = 125,26 + 206,54 - 2.160,4
4
cosβ =
Mn =
331,8 - 320,8
4
β=?
Mn = 11
4
Exercício 2
Calcular o módulo frontal (Mf), o passo normal (Pn) e o passo circular
(Pc) da engrenagem do exercício anterior.
Mn = 2,75
Conhecendo o módulo normal (Mn) e o número de dentes Z = 28 da
engrenagem quebrada e o diâmetro externo (De1 = 125,26 mm),
podemos calcular o diâmetro primitivo (Dp1) e o ângulo de inclinação
da hélice (β).
Fórmulas conhecidas:
Mf =
Mn
cosβ
Vimos que De = Dp + 2Mn
Pn = Mn . π
Isolando Dp, temos Dp = De - 2Mn
Substituindo os valores De1 = 125,26 mm, Mn = 2,75, da
engrenagem quebrada, temos:
Dp1 = 125,26 - 2 . 2,75
Dp1 = 125,26 - 5,5
Dp1 = 119,76mm
Pc =
O ângulo da inclinação da hélice (β) pode ser encontrado a partir da
fórmula
Dp = Mn . Z (já conhecida)
cosβ
Isolando cos β, temos cosβ =
Mn . Z
Dp
Mn . Z
Dp
- 47 -
Pn
= Mf . π
cosβ
o
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2 Ciclo de Mecânica
Cálculo da altura do pé do dente (b)
A altura do pé do dente (b) depende do ângulo de pressão (θ) da
engrenagem. Veja, a seguir, a localização do ângulo de pressão θ.
onde:
a = altura da cabeça do dente (a = 1 . Mn)
b = altura do pé do dente
Para ângulo de pressão θ = 20º, temos:
h = 1 . Mn + 1,25 . Mn
h = 2,25 . Mn
E para ângulo de pressão θ = 14º30' e 15º, temos:
h = 1 . Mn + 1,17 . Mn
h = 2,17 . Mn
Exemplo 3
Calcular a altura total do dente (h) de uma engrenagem helicoidal de
módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão θ = 20º.
Fórmula:
h = 2,25 . Mn
Substituindo o valor de Mn, temos:
h = 2,25 . 2,75
h = 6,18 mm
Exercício 3
Os ângulos de pressão mais comuns usados na construção de
engrenagens são: 14º30', 15º e 20º.
Para θ = 14º30' e 15º, usa-se a fórmula
Para θ = 20º, usa-se
b = 1,17 . Mn
Calcular uma engrenagem helicoidal com 32 dentes, Mn = 3, ângulo de
inclinação da hélice β = 19º30' e ângulo de pressão θ = 20º.
a) Mf
=
b) Dp
=
c) De
=
d) Pn
=
e) Pc
=
f)
Di
=
g) b
=
h) h
=
Exercício 4
b = 1,25 . Mn
Exemplo 1
Calcular a altura do pé do dente (b) para a engrenagem helicoidal de
módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão θ = 15º.
Utilizando:
b = 1,17 . Mn e substituindo os valores, temos:
b = 1,17 . 2,75
b = 3,21mm
Calcular uma engrenagem helicoidal com 44 dentes, Mn = 3, ângulo
de inclinação da hélice β = 30º e ângulo de pressão θ = 15º.
a) Mf
=
b) Dp
=
c) De
=
d) Pn
=
e) Pc
=
f)
Di
=
g) b
=
h)
h
=
Cálculo para engrenagem cônica
Cálculo do diâmetro interno (Di)
Di = Dp - 2b
ou
Di = Dp - 2,50 . Mn (para θ = 20º)
e
Di = Dp - 2,34 . Mn (para θ = 14º30' ou 15º)
Numa engrenagem cônica, o diâmetro externo (De) pode ser medido,
o número de dentes (Z) pode ser contado e o ângulo primitivo (δ)
pode ser calculado. Na figura a seguir podemos ver a posição dessas
cotas.
Exemplo 2
Calcular o diâmetro interno (Di) para a engrenagem helicoidal de
módulo normal Mn = 2,75, diâmetro primitivo Dp = 201,04mm e
ângulo de pressão θ = 14º30'.
Fórmula:
Di = Dp - 2,34 . Mn
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Di = 201,04 - 2,34 . 2,75
Di = 201,04 - 6,43
Di = 194,61mm
Cálculo da altura total do dente (h)
h=a+b
- 48 -
o
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O diâmetro externo (De) é dado pelo fórmula De = Dp + 2 . M . cos δ,
onde Dp é o diâmetro primitivo e M é o módulo.
O diâmetro primitivo (Dp) é dado por
Dp = M . Z
onde:
Z é o número de dentes
O ângulo δ é dado pela fórmula
tgδ=
Z
Za
γ
ψ
δ
onde:
Z é o número de dentes da engrenagem que será construída;
Za é o número de dentes da engrenagem que será acoplada.
A partir dessas três fórmulas, podemos deduzir a fórmula do módulo
(M) e encontrar o seu valor.
Assim,
De = Dp + 2 . M . cos δ (A)
Com o Dp = M . Z, podemos substituir na fórmula (A)
Logo De = M . Z + 2M . cos δ
-
ângulo da cabeça do dente
ângulo do pé do dente
ângulo primitivo
Os ângulos do dente são calculados pelas fórmulas
tgγ = 2 . senδ (D)
Z
para o ângulo de pressão α = 14º30' ou 15º,
tgψ =
2,33 . senδ (E)
Z
para o ângulo de pressão α = 20º,
Reescrevendo, temos:
De = M (Z + 2 . cos δ) (B)
2,50 . senδ
Z
tgψ =
Isolando o módulo, temos:
M=
De
(C)
Z + 2cosδ
Podemos, então, calcular os ângulos:
γ
- ângulo da cabeça do dente
ψ
- ângulo do pé do dente
Vamos, então, calcular o módulo da engrenagem, sabendo que:
De = 63,88 mm (medido)
Z =
30 (da engrenagem que será construída)
Za = 120 (da engrenagem que será acoplada)
É necessário calcular primeiro o ângulo primitivo (δ) da engrenagem
que será construída.
Assim, tg δ=
Dados:
δ
Z
=
α
=
Aplicando a fórmula (D) abaixo:
Z
Za
Substituindo os valores na fórmula, temos:
tgγ =
tgγ =
120
tg δ = 0,25
Utilizando a calculadora, encontraremos o ângulo aproximado.
δ = 14º2'
Substituindo os valores, temos:
M=
63,88
30 + 1,94
0,48496
30
tgγ = 0,01616 (com a calculadora acha-se o ângulo aproximado)
γ = 56'
Portanto, o ângulo da cabeça do dente γ = 56'
O ângulo do pé do dente (ψ) é calculado aplicando a fórmula (E)
63,88
M=
30 + 2 . cos 14°2'
M=
2 . sen14°2' (o seno de 14º2' é obtido na calculadora)
30
2 . 0,24248
tgγ =
30
tgγ =
Agora podemos calcular o módulo, aplicando a fórmula (C):
De
Z+ 2.cosδ
2 . senδ
Z
Substituindo os valores na fórmula:
tg δ = 30
M=
ângulo primitivo (14º2')
30
14º30' (ângulo de pressão)
tgψ =
2,33 . senδ
Z
Substituindo os valores, temos:
63,88
31,94
tgψ =
2,33 . sen14°2'
30
tgψ =
2,33 . 0,24248
30
M = 2 mm
tgψ =
Vamos definir, agora, os ângulos da cabeça e do pé do dente.
0,56498
30
tgψ = 0,01883 (novamente, com a calculadora, obtém-se o ângulo
aproximado)
ψ = 1º5'
- 49 -
o
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2 Ciclo de Mecânica
b = 1,17 . M (para ângulo de pressão α = 14º30' ou 15º)
Assim, o ângulo do pé do dente ψ é 1º5'.
Mais dois ângulos
engrenagem cônica.
são
necessários
para
a construção
da
Como
então,
M=2
a = 2 mm
b = 1,17 . 2
Logo,
b = 2,34 mm
Como
h=a+b
temos: h = 2 + 2,34
Portanto, h = 4,34 mm
Um deles é o ângulo (ω), que será utilizado para o torneamento da
superfície cônica do material da engrenagem.
Para adquirir mais habilidade, faça os exercícios a seguir.
O ângulo ω é o ângulo de inclinação do carro superior do torno para
realizar o torneamento cônico do material.
O ângulo (ω) é igual à som a do ângulo primitivo (δ) mais o ângulo da
cabeça do dente (γ).
Logo, ω = δ + γ
Substituindo os valores na fórmula, temos:
ω = 14º2' + 56'
ω = 14º58'
Portanto, o ângulo ω é: 14º58'
O outro ângulo (σ) é o ângulo em que o fresador deve inclinar o
cabeçote divisor para fresar a engrenagem cônica.
Exercício 1
Calcular as dimensões para construir uma engrenagem cônica de
módulo 2, número de dentes Z = 120, número de dentes da
engrenagem que será acoplada Za = 30, ângulo de pressão α =
14º30' e ângulo dos eixos a 90º.
Dp =
δ
=
De
=
a
=
b
=
h
=
γ
=
ψ
=
ω
=
σ
=
Exercício 2
Calcular as dimensões de uma engrenagem cônica, módulo 4, com
eixos a 90º, com número de dentes Z = 54, número de dentes da
engrenagem que será acoplada Za = 18 e ângulo de pressão α =
14º30'.
Dp =
δ
=
De
=
γ
=
ψ
=
ω
=
σ
=
a
=
b
=
h
=
Parafuso com Rosca Sem-fim e Cora
A coroa e o parafuso com rosca sem-fim compõem um sistema de
transmissão muito utilizado na mecânica, principalmente nos casos
em que é necessária redução de velocidade ou um aumento de
força, como nos redutores de velocidade, nas talhas e nas pontes
rolantes.
O ângulo (σ) é igual ao ângulo primitivo (δ) menos o ângulo do pé do
dente (ψ).
Assim, σ = δ - ψ
Substituindo os valores na fórmula, temos:
σ = 14º2' - 1º5'
σ = 12º57'
Está faltando ainda calcular a altura total do dente (h).
h=a+b
onde:
a = altura da cabeça do dente
a=M
b = altura do pé do dente
b = 1,25 . M (para ângulo de pressão α = 20º)
- 50 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Portanto, a coroa deverá girar a 60 rpm.
Parafuso com rosca sem-fim
Vamos fazer o exercício, a seguir, para você rever o que foi
explicado.
Esse parafuso pode ter uma ou mais entradas.
Veja, por exemplo, a ilustração de um parafuso com rosca sem-fim
com 4 entradas.
1.
Qual será a rpm da coroa com 80 dentes de um sistema de
transmissão cujo parafuso com rosca sem-fim tem 4 entradas e gira a
3.200 rpm?
Dados:
Fórmula:
Np
Ne
Zc
=
=
=
3.200 rpm
4
80 dentes
Nc = Np . Ne
Zc
Na última ilustração podemos ver que no parafuso com rosca semfim aparece o passo (P) e o avanço (Ph). A relação entre o passo e o
avanço é dado pela fórmula
O número de entradas do parafuso tem influência no sistema de
transmissão.
Se um parafuso com rosca sem-fim tem apenas uma entrada e está
acoplado a uma coroa de 60 dentes, em cada volta dada no parafuso
a coroa vai girar apenas um dente.
Como a coroa tem 60 dentes, será necessário dar 60 voltas no
parafuso para que a coroa gire uma volta. Assim, a rpm da coroa é
60 vezes menor que a do parafuso. Se, por exemplo, o parafuso com
rosca sem-fim está girando a 1.800 rpm, a coroa girará a 1.800 rpm,
divididas por 60, que resultará em 30 rpm.
Suponhamos, agora, que o parafuso com rosca sem-fim tenha duas
entradas e a coroa tenha 60 dentes. Assim, a cada volta dada no
parafuso com rosca sem-fim, a coroa girará dois dentes. Portanto,
será necessário dar 30 voltas no parafuso para que a coroa gire uma
volta.
Ph = Ne . P
onde: Ne = número de entradas
Quando o problema é calcular as dimensões do parafuso com rosca
sem-fim e da coroa a serem fabricados, é preciso calcular o módulo
(M), usando-se a mesma fórmula empregada para cálculo de
engrenagem helicoidal.
A fórmula é a seguinte: M = de + De - 2 . E (A)
4
onde:
de
De
E
=
=
=
diâmetro externo do parafuso
diâmetro externo da coroa
distância entre os centros
Essas dim ensões foram
obtivemos os valores
tomadas medindo-se o conjunto,
Assim, a rpm da coroa é 30 vezes menor que a rpm do parafuso com
rosca sem-fim. Se, por exemplo, o parafuso com rosca sem-fim está
girando a 1.800 rpm, a coroa girará a 1.800 divididas por 30, que
resultará em 60 rpm.
de = 28 mm
De = 104,4 mm
E
= 62,2 mm
A rpm da coroa pode ser expressa pela fórmula
Substituindo os valores na fórmula (A), temos:
M = 28 + 104,4 - 2 . 62,2 = 132,4 - 124,4 =
Np . Ne
NC =
Zc
onde:
Nc
Np
Ne
Zc
=
=
=
=
4
Assim, o módulo do conjunto coroa e parafuso com rosca sem-fim é
2. Agora, com o valor do módulo, é possível calcular as demais
dimensões.
Para facilitar os cálculos, vamos utilizar a nomenclatura seguinte.
Exemplo
Em um sistema de transmissão composto de coroa e parafuso com
rosca sem-fim, o parafuso tem 3 entradas e desenvolve 800 rpm. Qual
será a rpm da coroa, sabendo-se que ela tem 40 dentes?
Aplicando a fórmula
Nc =
Np . Ne
Zc
Coroa
M
=
Zc =
Dp =
De =
D2 =
l
=
R
=
δ
=
a
=
b
=
h
=
β
=
E
=
e substituindo os valores na fórmula, temos:
Nc= 800 . 3 = 2.400
40
40
8
4
M=2
rpm da coroa
rpm do parafuso com rosca sem-fim
número de entradas do parafuso
número de dentes da coroa
Dados disponíveis
Np =
800 rpm
Ne =
3 entradas
Zc =
40 dentes
4
e
Nc = 60 rpm
- 51 -
módulo
número de dentes
diâmetro primitivo
diâmetro externo
diâmetro maior
largura da roda
raio
ângulo dos chanfros da coroa
altura da cabeça do dente
altura do pé do dente
altura total do dente
ângulo da hélice
distância entre eixos da coroa e da rosca sem-fim
o
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2 Ciclo de Mecânica
Dp
Parafuso com rosca sem-fim
de = diâmetro externo
dp = diâmetro primitivo
γ
= ângulo do flanco do filete
=
100,4 mm
O diâmetro primitivo da rosca do parafuso é dado por
dp = de - 2 . M
dp = 28 - 2 . 2
dp = 28 - 4
dp = 24 mm
Fórmulas
O raio R é calculado pela fórmula
De
2
R=E-
Assim, R = 62,2 - 104,4
2
R = 62,2 - 52,2
R = 10 mm
O ângulo dos chanfros (δ) pode ser calculado pela fórmula
dp
de
cos δ =
P=M . π
E=
D2 = De + 2 . R (1 - cos δ)
De + dp
2
DP =
M . Ze
cos β
R =E−
De=Dp + 2 . M
cos δ =
24
28
cos δ = 0,85714
Consultando a tabela de co-seno temos, aproxim adamente: δ = 31º
Calcula-se o diâmetro maior da coroa (D2) pela fórmula
D2 = De + 2 . R . (1 - cos δ)
Dp = De - 2 . M
Assim,
D2
D2
D2
D2
De
2
=
=
=
=
104,4 + 2 . 10 . (1 - 0,85714)
104,4 + 20 . (0,14286)
104,4 + 2,857
107,257 mm
Logo, D2 é, aproximadamente, igual a 107,26mm.
A largura da coroa (l) para o parafuso com rosca sem-fim de uma
entrada é dada por
l
= 2,38 . P + 6
l
= 2,38 . 6,28 + 6
l
= 14,95 + 6
l
= 20,95 mm
Valores de 1
Para parafuso com rosca sem-fim de uma ou duas entradas:
L = 2,38 . P + 6
Para parafuso com rosca sem-fim com mais de duas entradas:
L = 2,15 . P + 5
A altura total do dente (h) é calculada pela fórmula
h=
a+b
para
a=M
a = 2,0 mm
e
b = 1,25 . M (considerando o ângulo de pressão 20º)
b = 1,25 . 2
b = 2,5 mm
Valores de h
h=a + b, sendo
a=M
b = 1,167 . M (para ângulo de pressão 14º30 ou 15º)
b = 1,25 . M (para ângulo de pressão 20º)
h=2,167 . M (para ângulo de pressão 14º30' ou 15º)
Portanto, h = 2,0 + 2,5
h = 4,5 mm
h=2,25 . M (para ângulo de pressão 20º)
cosδ =
dp
de
O ângulo da hélice β é dado por
M. Z
2,0.50
⇒ cosβ =
=
100,4
Dp
γ
= 29º, 30º ou 40º, variando de acordo com o ângulo de
pressão: 14º30', 15º e 20º.
cos β =
Agora, já é possível calcular as demais dimensões da coroa e da
rosca do parafuso.
cos β= 100 = 0,99601
Contando o número de dentes da coroa, temos: Zc = 50
O passo P da coroa e da rosca do parafuso é dado pela fórmula P =
M.π
Logo
P = 2 . 3,14
P = 6,28 mm
100,4
Portanto, procurando o valor mais próximo na tabela de co-seno, β =
5º.
Para você fixar os cálculos vistos nesta aula é importante fazer os
exercícios a seguir. Confira as respostas no gabarito.
O diâmetro primitivo da coroa é calculado por
Dp = De - 2 . M
Dp = 104,4 - 2 . 2
Dp = 104,4 - 4
- 52 -
o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Exercícios
1. Calcular a rpm de uma coroa com 60 dentes, sabendo que o
seu parafuso com rosca sem-fim tem 2 entradas e desenvolve 1.800
rpm.
2. Calcular as dimensões de uma coroa com 80 dentes para
engrenar com um parafuso com rosca sem-fim com os seguintes
dados:
Parafuso com rosca sem-fim com 1 entrada
Módulo: M = 3
Diâmetro primitivo: dp = 22 mm
Diâmetro externo: de = 28 mm
Ângulo da hélice: β = 7º50'
Ângulo de pressão: α = 15º
Dp
De
D2
E
R
l
a
b
h
Cremalheira de dentes perpendiculares
Para calcular a cremalheira de dentes perpendiculares aplicam-se
as fórmulas:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
P=M.π
onde:
h = 2,166 . M
a=1.M
b = 1,166 . M
P é o passo m edido na linha primitiva
M é o módulo que deve ser o mesmo da engrenagem
acoplada
h é a altura total do dente
a é a altura da cabeça do dente
b é a altura do pé do dente
Cremalheira
Para entender melhor essas fórmulas, apresentamos um exemplo.
EXEMPLO 1
A engrenagem e a cremalheira têm a função de transformar um
movim ento rotativo em movimento retilíneo ou vice-versa.
A cremalheira pode ser considerada como uma roda de raio infinito.
Nesse caso, a circunferência da roda pode ser imaginada como um
segmento de reta. Por isso, a circunferência primitiva da engrenagem
é tangente à linha primitiva da cremalheira.
Calcular o passo (P), a altura total do dente (h), a altura da cabeça do
dente (a) e a altura do pé do dente (b) de uma crem alheira de dentes
perpendiculares, sabendo-se que a cremalheira deve trabalhar com
uma engrenagem de módulo 2. Para calcular o passo usamos a
fórmula
P=M.π
Substituindo os valores na fórmula, temos:
P = 2 . 3,14
Logo, P = 6,28 mm
Para achar (h) aplica-se a fórmula
h = 2,166 . M
Substituindo os valores, temos:
h = 2,166 . 2
Portanto, h = 4,33 mm
A altura da cabeça do dente (a) é igual ao módulo.
Portanto, a = 2 mm
E a altura do pé do dente (b) é dado por
b = 1,166 . M
Logo, b = 1,166 . 2
Assim, b = 2,33 mm
Cremalheira de dentes inclinados
Como essa cremalheira deve trabalhar engrenada a uma
engrenagem helicoidal, as dimensões dos dentes da cremalheira
devem ser iguais às da engrenagem. Portanto, os cálculos são
baseados nas fórmulas da engrenagem helicoidal.
Tipos de cremalheira
Há dois tipos de cremalheira: cremalheira de dentes perpendiculares
e cremalheira de dentes inclinados.
As cremalheiras de dentes inclinados acoplam-se a rodas helicoidais
e as de dentes perpendiculares engrenam-se com as rodas de
dentes retos.
Assim, o passo norm al (Pn) é calculado por
Pn = Mn . π
E o passo circular (Pc) é dado por
Pc = Mf . π
onde:
Mn é o módulo normal da engrenagem
Mf é o módulo frontal da engrenagem
O ângulo de inclinação dos dentes (β) é igual ao ângulo da hélice da
engrenagem e pode ser calculado por
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o
Tecnologia Projeto II
cos β=
Pn
Pc
ou cos β=
2 Ciclo de Mecânica
Mn
Mf
A altura total do dente (h) é dada por
h=a+b
onde:
a é a altura da cabeça do dente
b é a altura do pé do dente
A altura da cabeça do dente (a) é igual a um módulo norm al. Assim,
a = 1Mn e a altura do pé do dente (b) depende do ângulo de pressão
(α) da engrenagem.
Para um ângulo de pressão α = 20º, (b) é dado por:
b = 1,25 . Mn.
Para um ângulo de pressão α = 14º30' ou 15º, (b) é dado por:
b = 1,17 . Mn.
Para facilitar a compreensão do cálculo da cremalheira de dentes
inclinados, veja o exemplo.
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o
Tecnologia Projeto II
2 Ciclo de Mecânica
Anexos:
Polias
Dimensões normais das polias de múltiplos canais
Perfil padrão
da correia
Diâmetro externo
da polia
Ângulo
do canal
A
75 a 170
34º
acima de 170
38º
de 130 a 240
34º
acima de 240
38º
de 200 a 350
34º
acima de 350
38º
de 300 a 450
34º
acima de 450
38º
de 485 a 630
34º
acima de 630
38º
B
C
D
E
medidas em milímetros
T
S
W
Y
Z
H
K
U=R
X
9,50
15
13
3
2
13
5
1,0
5
11,5
19
17
3
2
17
6,5
1,0
6,25
4
3
22
9,5
1,5
8,25
6
4,5
28
12,5
1,5
11
8
6
33
16
1,5
13
15,25 25,5 22,5
22
36,5
32
27,25 44,5 38,5
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2 Ciclo de Mecânica
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2 Ciclo de Mecânica
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2 Ciclo de Mecânica
ETE “Cel. Fernando Febeliano da Costa”
TECNOLOGIA
de
PROJETO -II
2o Ciclo de
Técnico Mecânica
Apostila baseada nas anotações de Professores
e do TC 2000 Técnico Distribuição gratuita aos Alunos
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