ISSN 2317-3297
Ferramenta numérica para o cálculo de propriedades geométricas:
Aplicações em engenharia civil
Ruan M. O. de Freitas, Eric M. F. Bezerra, Jonathas I. F. de Oliveira, Raimundo G. de
Amorim Neto
UFERSA - Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas,
DCAT - Campus Leste
59.625-900, Mossoró, RN
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected],
Flaviana M. de S. Amorim
Faculdade de Ciências e Tecnologia Mater Christi
59611-030, Mossoró, RN
E-mail: [email protected]
Palavras-chave: modelagem matemática, propriedades geométricas, engenharia civil
Resumo: No âmbito da engenharia civil é fundamental o conhecimento preciso de propriedades
geométricas de seções de peças ou áreas para construção. Este trabalho busca apresentar uma a
metodologia simples para o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para ser aplicada em
problemas de engenharia, especialmente àqueles ligados a estruturação de peças como vigas, eixos,
lajes e pilares. Fez-se o uso, para tanto, das potencialidades previamente contidas no MatLab. Com o
uso das ferramentas desenvolvidas percebe-se o ganho em escala e precisão, uma vez que o programa
desenvolvido se mostrou simples e com resultados similares aos resultados manuais e de outro
software de engenharia, que demandariam um grande custo no tocante ao tempo.
1 Introdução
O estudo das propriedades geométricas é fundamental para o campo de trabalho da mecânica para
engenharia. A determinação destas com auxílio de programas computacionais são de extrema
importância, fundamentalmente nos cálculos ligados à análise de estruturas. Com o uso de
programação obtêm-se resultados rápidos e precisos nos cálculos que servem de base para o estudo
estrutural, como é o caso para os cálculos de tensões em vigas ou demais peças, a exemplo da deflexão
em vigas, conforme se ilustra na Figura 1.
Segundo [5] existe um grande número de propriedades que representam a forma e a disposição de
uma superfície plana em relação a um sistema de referencial. Essas propriedades são de usos
corriqueiros na engenharia, em que uma variedade de descrições quantitativas de superfícies é
necessária para o estudo da mesma. No estudo de flexão das vigas, de acordo com [1] o centroide da
área (uma das propriedade geométricas) de seção transversal de uma viga tem um papel importante na
determinação de tensões na viga.
Na Figura 1 exemplifica o conceito de momento de inércia (uma das importantes propriedades),
mostrando duas vigas de iguais dimensões, porém de orientações diferentes no qual está apoiando uma
laje retangular. Entre as duas vigas observa-se que a viga na orientação P1 se encontra numa melhor
orientação, pois é nessa posição que o perfil tem maior rigidez a flexão em torno do eixo x, podendo
ser verificado pela expressão do momento de inércia para uma seção retangular.
Figura 1: Estrutura de uma laje apoiada por duas vigas iguais e em diferentes orientações.
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2 Metodologia
A metodologia consistiu no desenvolvimento de uma ferramenta computacional para o cálculo das
propriedades geométricas, mais comumente utilizadas nos problemas clássicos de engenharia civil, em
especial àqueles ligados as estruturas das edificações. Para tanto se utilizou do pacote matemático
MatLab, neste optou-se pela aplicação direta das fórmulas obtidas por suas definições e em alguns
casos através da decomposição das áreas das seções.
Os valores das variáveis são determinados pelos dados de entrada fornecidos pelo usuário do
programa. Por meio das funções ‘get’ recebem-se as entradas das variáveis e através da função ‘set’
exibem-se os resultados obtidos do programa. Para as aplicações nas fórmulas são necessárias às
conversões dos valores ‘string’ (das entradas do programa) em valores numéricos, usa-se para tanto, a
função ‘str2num’, e as transformações dos valores numéricos em valores ‘string’ para a exibição dos
resultados na interface gráfica do programa, se dá através da função ‘num2str’.
Para o cálculo do momento de inércia, por exemplo, em relação ao eixo x, utiliza-se um elemento
diferencial de área horizontal bdy localizada a uma distancia y do eixo do centroide x’. Análogo é
utilizado para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y’ do centroide, ambas são
apresentadas conforme as equações na Figura 2.
Figura 2: Determinação do momento de inércia para uma seção retangular
3 Resultados e Considerações Finais
A aplicação dos códigos desenvolvidos e sua validação são mostradas através de um exemplo de um
triângulo oblíquo (Figura 3-a) que é um dos tipos de seção implementada do programa. Para a
averiguação dos resultados obtidos pelo software, vamos verificar a área e seus centroides a partir de
cada uma de suas fórmulas, mostradas nas equações abaixo, e depois essas e as demais propriedades
geométricas serão comparadas com a resposta de um programa clássico de engenharia, o AutoCAD.
O exemplo de utilização e solução do programa desenvolvido está apresentado na Figura 3.
Figura 3: Exemplo e Solução dado pelo programa.
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Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 1, e esta mostra a comparação dos resultados
obtidos pelo programa desenvolvido, com os resultados calculados manualmente e os fornecidos pelo
AutoCAD. Ficando assim de acordo com os resultados do programa desenvolvido e dos calculados
manualmente.
Propriedades
geométricas
Programa
Desenvolvido
25000,0000
108,3333
83,3333
2083333,3333
2708333,3333
Calculado
Manualmente
25000,0000
108,3333
83,3333
2083332,5000
2708333,3333
Valores do
AutoCAD
25000,0000
108,3333
83,3333
2083332,5000
2708332,5000
86805555,5556
42534722,2222
86805555,5556
42534722,2222
86805555,5556
42534722,2222
8680555,5556
8680555,5556
8680555,5556
58,9256
41,2479
58,9256
41,2479
58,9256
41,2479
Tabela 1: Comparação dos resultados para a seção triangular.
Observa-se que os resultados são acurados, com valores exatos para aproximação de quatro casas
decimais. Em relação ao AutoCAD o programa desenvolvido nesse trabalho mostra uma vantagem no
que diz respeito ao tempo e praticidade já que no programa não há necessidade de desenhar de forma
precisar e nem de adaptar o eixo de origem para os cálculos de algumas propriedades geométricas em
relação ao centroide.
A aplicabilidade do programa é a utilização das propriedades geométricas determinado por ele, com
a finalidade do uso para cálculos estruturais com vigas, eixos e colunas. A versão atual do programa é
na forma de um executável criado na interface gráfica do MatLab que tem disponível para o usuário
nove tipos de seções de área pré-definidas, essas seções são baseadas nos tipos de áreas transversais
das estruturas mais utilizadas na engenharia. A perspectiva para esse projeto é o aprimoramento do
programa com a criação de um código para o cálculo das propriedades geométricas de uma seção de
área qualquer, com o intuito de ser adicionado ao programa como mais uma opção de escolha de seção
de área, e por fim utilizar o programa em outros pacotes que serão parte de um único programa de
estrutura capaz se solucionar as propriedades geométricas, aliados a problemas específicos de
engenharia de estruturas como a determinação de reações de apoio e os esforços internos de uma
treliça e/ou viga.
Referências
[1] A.P. Boresi, “Estática”, Thomson, São Paulo, 2003.
[2] F.P. Beer, “Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática.”, Makron Books, São Paulo, 1994.
[3] S. J. Chapman, “Programação em MatLab para Engenheiros”, Thompson, São Paulo, 2006.
[4] R.C. Hibbeler, “Estática: Mecânica para Engenharia”, Pearson, São Paulo, 2011.
[5] I. H. Shames, “Estática: Mecânica Para Engenharia”, Prentice Hall, São Paulo, 2002.
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