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Edição
Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática
Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho
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Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática
Momentos de Inércia de uma Superfície por Integração
• Os Momentos de Segunda Ordem ou
Momentos de Inércia de Superfícies em
relação aos eixos x e y são:
I x   y 2 dA
I y   x 2 dA
• O cálculo das integrais é simplificado
escolhendo-se dA como sendo uma faixa
estreita paralela a um dos eixos coordenados.
• Para uma superfície retangular,
h
I x   y dA   y 2bdy  13 bh 3
2
0
• A fórmula para superfícies retangulares
também pode ser aplicada para faixas
paralelas aos eixos x e y.
dI x  13 y 3dx
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dI y  x 2 dA  x 2 y dx
9- 2
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Momento de Inércia Polar
• O momento de inércia polar é um parâmetro
importante em problemas que tratam da torção
de eixos cilíndricos e da rotação de placas.
J 0   r 2 dA
• O momento de inércia polar pode ser calculado a
partir dos momentos de inércia retangulares,


J 0   r 2 dA   x 2  y 2 dA   x 2 dA   y 2 dA
 I y  Ix
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9- 3
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Raio de Giração de uma Superfície
• Considere-se uma superfície A com momento
de inércia Ix. Imaginemos que a superfície está
concentrada em uma faixa estreira paralela ao
eixo x com Ix equivalente.
Ix 
kx 
k x2 A
Ix
A
kx = raio de giração em relação ao
eixo x.
• De forma similar,
Iy 
k y2 A
ky 
J O  kO2 A kO 
Iy
A
JO
A
kO2  k x2  k y2
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9- 4
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Problema Resolvido 9.1
SOLUÇÃO:
• Escolhemos um faixa diferencial paralela ao eixo x
com área dA.
dI x  y 2dA
dA  l dy
• Usando triângulos semelhantes temos,
Determine o momento de
inércia de um triângulo em
relação à sua base.
l h y

b
h
l b
h y
h
dA  b
h y
dy
h
• Integrando dIx de y = 0 até y = h, obtemos


h y
bh 2
I x   y dA   y b
dy   hy  y 3 dy
h
h0
0
2
h
2
h
b  y3 y 4 
 h  
h 3
4
0
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bh3
I x
12
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Problema Resolvido 9.2
SOLUÇÃO:
• Escolhemos um elemento diferencial anelar de
superfície com área dA,
dA  2 u du
dJ O  u 2dA
r
r
J O   dJ O   u 2 u du   2  u 3du
2
0
0
JO 
a) Determine o momento de inércia
polar centroidal de uma superfície
circular por integração direta.

2
r4
• Devido à simetria da superfície, temos, Ix = Iy,
JO  I x  I y  2I x
b) Usando o resultado da parte a,
determine o momento de inércia
de uma superfície circular em
relação a um diâmetro.
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
2
r 4  2I x
I diâmetro  I x 

4
r4
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Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática
Teorema dos Eixos Paralelos
• Considere o momento de inércia I de uma
superfície A em relação a um eixo AA’
I   y 2 dA
• O eixo BB’ passa pelo centroide da superfície
e é denominado eixo centroidal.
I   y 2 dA    y   d 2 dA
  y  2 dA  2d  y dA  d 2  dA
I  I  Ad 2
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teorma dos eixos paralelos
9- 7
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Teorema dos Eixos Paralelos
• Momento de inércia IT de uma superfície
circular em relação a uma linha tangente ao
círculo:
 
I T  I  Ad 2  14  r 4   r 2 r 2
 54  r 4
• Momento de inércia de um triângulo em relação
a um eixo centroidal:
I AA  I BB  Ad 2
I BB  I AA  Ad
2
1 bh 3
 12
 
2
1
1
 2 bh 3 h
1 bh 3
 36
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Momentos de Inércia de Superfícies Compostas
• O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um
dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das
superfícies componentes A1, A2, A3, ... , em relação ao mesmo eixo.
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Momentos de Inércia de Superfícies Compostas
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Problema Resolvido 9.4
SOLUÇÃO:
• Determinamos a localização do
centroide da seção composta em relação
a um sistema de coordenadas com
origem no centroide C da seção.
A resistência de uma viga em perfil I
360 x 44 é aumentada ao se anexar
uma placa à sua aba superior.
Determine o momento de inércia e o
raio de giração da seção composta em
relação a um eixo paralelo à placa
passando pelo centroide da seção.
• Aplicamos o teorema dos eixos
paralelos para determinar os momentos
de inércia do perfil I e da placa em
relação ao eixo centroidal da seção
composta.
• Calculamos o raio de giração a partir do
momento de inércia da seção composta
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Problema Resolvido 9.4
SOLUÇÃO:
• Determinamos a localização do centroide da seção
composta em relação a um sistema de coordenadas com
origem no centroide C da seção.
A, mm 2
4.218,75
5.730
Seção
Placa
Perfil I
 A  9.948,75
Y  A   yA
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y , mm
yA, mm 3
185,38 782.072
0
0
 yA  782,072
 yA  782.072 mm
Y 
 A 9.948,75 mm
3
2
 78,61 cm
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Problema Resolvido 9.4
• Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar os
momentos de inércia do perfil I e da placa em relação ao
eixo centroidal da seção composta.
I x, perfil I  I x  AY 2  122 106  5.73078,61
2
 157,41106 mm 4
I x,placa  I x  Ad 2  121 22518,75  4.218,75185,38  78,61
3
2
 48,11106 mm 4
I x  I x,perfil I  I x,placa  157,41106  48,11106
I x  205,52 106 mm 4
• Calculamos o raio de giração a partir do momento de
inércia da seção composta
k x 
I x 205,52 106 mm 4

A
9.948,75 mm 2
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k x  143,73 mm
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Problema Resolvido 9.5
SOLUÇÃO:
• Calculamos os momentos de inércia do
retângulo (120 mm x 240 mm) e do
semicírculo em relação ao eixo x.
• O momento de inércia da superfície
sombreada é obtido subtraindo-se o
momento de inércia do semicírculo do
momento de inércia do retângulo.
Determine o momento de inércia
da superfície sombreada em
relação ao eixo x.
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Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática
Problema Resolvido 9.5
SOLUÇÃO:
• Calculamos os momentos de inércia do retângulo e
do semicírculo em relação ao eixo x.
Retângulo:
I x  13 bh3  13 240120  138,2 106 mm 4
Semicírculo:
momento de inércia em relação a AA’,
I AA  18 r 4  18  90  25,76 106 mm 4
4
momento de inércia em relação a x’,
4r 490
a

 38,2 mm
3
3
b  120 - a  81,8 mm
A  12 r 2  12  90
2
 12,72 103 mm 2


I x  I AA  Aa 2  25,76 106 12,72 103

 7,20 106 mm 4
momento de inércia em relação a x,


I x  I x  Ab 2  7,20 106  12,72 103 81,8
2
 92,3 106 mm 4
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Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática
Problema Resolvido 9.5
• O momento de inércia da superfície sombreada é obtido
subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do
momento de inércia do retângulo.
Ix

138,2 106 mm 4

92,3 106 mm 4
I x  45,9 106 mm 4
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Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática
Produto de Inércia
• Produto de Inércia:
I xy   xy dA
• Quando o eixo x, o eixo y, ou ambos são
eixos de simetria, o produto de inércia é
zero.
• Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia:
I xy  I xy  x yA
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