FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta informarmos a sua magnitude, ou seja, seu valor algébrico seguido de uma unidade de medida. Por exemplo, a massa, “o peso”, de uma pessoa representa uma grandeza escalar, pois basta expressar seu valor, por exemplo, 60 kg, para ficar bem definida. Outros exemplos: a altura, a temperatura, o comprimento e etc. Por sua vez, as grandezas vetoriais são aquelas que para sua perfeita caracterização, além da magnitude, precisamos informar a sua direção, seu sentido e em alguns casos o ponto de aplicação. Exemplos: velocidade, aceleração, quantidade de movimento, etc. Vetor é o ente matemático que representa as grandezas vetoriais. Geometricamente, representado por um segmento de reta orientado. Características do vetor: 1. módulo: também conhecido como norma, comprimento, intensidade ou magnitude é representado, simbolicamente, por AB ; 2. direção: é dada pelo ângulo, , que o segmento de reta faz com a horizontal do sistema de eixos cartesianos; 3. sentido: a seta indica o sentido de percurso. GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 74 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Dois segmentos orientados de reta que têm a mesma direção, sentido e comprimento são ditos equivalentes. Na figura, os segmentos RS e OP são equivalentes. Para comprovar esta afirmação, podemos usar a fórmula de distância entre dois pontos para calcular os comprimentos destes dois segmentos e comprovar que eles têm o mesmo módulo. De fato, || RS ||= 1 (4)) 2 (6 2) 2 5 e || OP || = (3 0) 2 (4 0) 2 5 Além disso, a declividade da reta que passa pelos pontos (-4,2) e (-1,6) é 4 e 3 é igual à declividade da reta que passa pelos pontos (0,0) e (3,4) e, portanto, as retas suportes dos segmentos são paralelas, o que confirma que estes segmentos têm a mesma direção. Vetor no plano: Um vetor no plano é representado por um par ordenado de números reais. Notação: v ( x, y) , onde ‘x’ e ‘y’ são denominadas as componentes do vetor v. Ex.: u = (2, -4); v = (0, 0); w = (2,7; -4,7), são todos vetores do plano. Como vimos anteriormente, generalizando, para calcularmos o módulo ou a norma de um vetor, utilizamos da seguinte fórmula: GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 75 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães v ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 , onde o vetor v , representado pelas coordenadas de sua origem e de sua extremidade, respectivamente, ( x1 ,y1 ) e ( x2 ,y2 ) . Vetor no espaço: este é representado por uma terna ordenada de números reais. Notação desse vetor no espaço: Notação: v ( x, y, z ) , com ‘x’, ‘y’ e ‘z’ as componentes desse vetor. Ex: u = (1, -5, 7); v(1, 0, 0); w = (2,9; 3,1; 5,2), todos vetores do espaço. O módulo ou a norma de um vetor no espaço é dado por: v ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 , cujas coordenadas de sua origem e extremidade são, respectivamente, ( x1 , y1 , z1 ) e ( x2 , y2 , z2 ) . OBS.: 1ª) Se dois vetores tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, então eles são iguais. 2ª) Se forem representados por segmentos de retas diferentes, mas com o mesmo comprimento, o mesmo sentido e a mesma direção, eles são iguais. Representação de um vetor no plano e no espaço em função de um sistema de coordenadas cartesianas. No plano: a representação do vetor v = (x, y) é feita por um segmento de reta com origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, O(0,0), e a extremidade no ponto P(x,y), conforme figura abaixo. GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 76 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães No espaço: a representação do vetor v = (x, y, z) é feita por um segmento de reta com origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, no ponto O (0, 0, 0), e com extremidade no ponto P (x, y, z), conforme figura abaixo. Vetor nulo: é o vetor de coordenadas 0 (0,0) , no plano e o vetor 0 (0,0,0) , no espaço. Obs.: Os vetores i (1,0) e j (0,1) são denominados vetores canônicos do plano; os vetores i (1, 0, 0), j (0,1, 0), k (0,0,1) são denominados vetores canônicos do espaço. Vetor oposto: Dado o vetor v, existe o vetor - v, que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor v, porém, de sentido oposto. Vetor unitário: Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja, u 1 . OPERAÇÕES COM VETORES Adição de vetores: A soma de dois vetores ‘u’ e ‘v’ é outro vetor, representado por u + v, obtido pela adição de suas componentes correspondentes. Ex.: Se u ( x1 , y1 ) e v ( x2 , y2 ) , vetores do plano, então a soma é o vetor u v ( x1 x2 , y1 y2 ) . GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 77 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Se u ( x1 , y1 , z1 ) e v ( x2 , y2 , z2 ) , vetores do espaço, então a soma é o valor u v ( x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 ) . Multiplicação por escalar: a multiplicação de um vetor ‘v ‘por um escalar por um número real ‘k’ é o vetor kV obtido pela multiplicação de todas as suas coordenadas pela Constant ‘k’. Exemplo: Se v = (x, y), então kv = (kx, ky), no plano; Se v = (x, y, z), então kv = (kx, ky, kz) Propriedades da adição e multiplicação por escalar: P1. (u v) w u (v w) P2. u 0 u P3. u (u ) 0 P4. u v v u P5. k (u v) ku kv P6. (k k `)u ku k `u P7. (kk`)u k (k `u) P8. 1u u Observações: 1ª) A distância entre dois pontos ‘A’ e ‘B’ é igual à norma do vetor AB . 2ª) Um vetor é chamado unitário se ele tiver norma (comprimento) igual a 1. Os vetores canônicos são unitários. É possível encontrar um vetor unitário com a mesma direção e sentido de um vetor dado. Como? Vejamos o exemplo: O vetor v(2, 4, 1) não é unitário, pois v 21 . Para encontrar um vetor unitário com a mesma direção e sentido de v, basta multiplicar v pelo inverso de sua norma: O vetor v ( 2 21 , 4 21 , 1 21) ) é unitário e tem a mesma direção e sentido de v. GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 78 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 01- Represente num sistema de coordenadas cartesianas: a) o vetor do plano v(3, 5); b) o vetor do espaço w(1, 2, 3). 02- Determine as componentes do vetor v AB onde A(3, 4, 7) e B(5, -3, 4) 03- Se u = (3, -2) e v = (5, 1) , calcule u + v. 04- Se u = (5, -3, 7) e v = (0, 5, 1), calcule u + v. 05- Se u = (3, -2), calcule 2u. 06- Se u = (5, -3, 7) e v = (0, 5, 1), calcule 2u + 3v. 07- Dados u = (5, -3, 7) e v= (0, 5, 1), encontre os vetores: a) w = 2v -3u; b) t = (u – 3v)/5. 08- Qual é a norma do vetor v AB , se A(3, -5) e B(-2, 4)? 09- Qual a norma do vetor nulo? 10- Qual a norma dos vetores canônicos do plano e do espaço? GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 79 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães GABARITO 01- a) b) 02- (2,-7,-3) 03- (8,-1) 04- (5,2,8) 05- (6,-4) 06- (10,9,17) 07- a) (-15,19,-19) b) (1, 0809- 0 10- Os vetores canônicos tanto no plano quanto no espaço são vetores unitários, por tanto a norma desses vetores sempre serã0 iguais a 1. GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 80