Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 04 – Segmentos Orientados e Vetores
Conceitos:
• Um Segmento Orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado Origem
e o segundo Extremidade.
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• Notação:
AB.
• Os segmentos orientados são dotados de: Direção, Comprimento e Sentido.
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• Igualdade: AB = CD ⇔ A ≡ C e B ≡ D. Nota-se que AB ≠ BA.
• Segmentos nulos: Comprimento igual a Zero.
• Segmentos Unitários: Comprimento igual a Um.
• Segmentos opostos: Mesma Direção, mesmo Comprimento e Sentidos Opostos.
• Segmentos Equipolentes: Mesma Direção, mesmo Comprimento e mesmo Sentido.
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• Notação: AB ~ CD
• Propriedades:
a) Dois Segmentos Nulos são Equipolentes por definição;
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b) AB ~ AB - Reflexiva;
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c) AB ~CD ⇒ CD ~ AB - Simétrica;
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d) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF - Transitiva;
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e) Dado AB e o ponto C ∃ ponto D, tal que AB ~ CD - Transporte;
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f) Se AB ~ CD ⇒ AC ~ BD - Paralelogramo;
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g) Se AB ~ CD ⇒ BA ~ DC - Dos Opostos;
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Definimos Vetor determinado por um Segmento Orientado AB, ao conjunto de todos os Segmentos
Orientados Equipolentes a este Segmento Orientado.
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• Notação: V = (B – A ).
• Propriedades:
a) Dois vetores são iguais se os segmentos orientados que
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representam forem Equipolentes ( B-A = C-D ⇔ AB ~ CD );
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b) A – A = 0 ( 0 = Vetor Nulo, representa os segmentos nulos;
c) – (B-A) = A – B ( o vetor (B-A) é o vetor Oposto do vetor (A-B).
d) Se B-A = D-C ⇒ C-A = D-B ( paralelogramo).
Operações com Vetores:
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• Soma de Um vetor a um ponto: A + V = B ∴ V = B-A.
• Propriedades:
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a) A + 0 = A;
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b) (A – V) + V = A;
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c) Se A + V = B + V ⇒ A = B;
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d) Se A + u = A + v ⇒ u = v;
e) A + (B-A) = B.
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• Adição de Vetores: Dados u = B-A e v = C-B , u + v = w = C-A
B
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u= B-A
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w = u + v = C-A
A
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v = C-B
C
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v
B
C
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(u – v)
→
u
→ →
(u + v)
A
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u
D
→
v
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Propriedades:
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a) u + v = v + u : Comutativa;
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b) (u + v) + w = u + (v + w) : Associativa;
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c) u + 0 = u : Elemento Neutro;
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d) u + (-u) = 0 : Elemento oposto;
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e) u – v = u + (- v) : Diferença;
•Direção: a mesma de v
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Produto de um número real por um vetor: k•v = w / w = • w =kv
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mesmo de v se k>0
•Sentido:
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oposto de v se k<0
• Propriedades:
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a) 0 • v = 0
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b) 1 • v = v
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c) a ( b • v ) = (a b) • v
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d) a • ( u + v ) = a • u + a • v
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e) (a + b) • v = a •v + b • v
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.