Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna Estudante: ____________________________________________________ Turma: ____________ Sequências A natureza apresenta padrões e regularidades. Dessa forma, muitas teorias matemáticas são desenvolvidas a partir do estudo desses padrões e regularidades. Por exemplo, o estudo de sequências. Em muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão. Em algumas sequências podemos observar um padrão de repetição, tais como: • a sequência dos dias da semana; • a sequência dos meses do ano; • a sequência da fila de um banco; • a sequência dos números naturais; • a sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada. Agora observe a sequência abaixo, descubra seu padrão e continue desenhando: a) Qual é o 12º elemento da sequência? b) Qual é o 23º elemento da sequência? c) E o 54º elemento? d) Como você descreveria a regra de formação desta sequência? Observe a sequência abaixo, descubra seu padrão e continue desenhando: a) Qual é o 12º elemento da sequência? b) Qual é o elemento que ocupa a 18ª posição na sequência? c) E o que ocupa a 21º elemento? d) O que você observa em relação ao losango e às posições ocupadas por ele? e) Como você descreveria a regra de formação desta sequência? 1 Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna Crie uma sequência de figuras diferentes das estudadas até agora. Sente-se com um colega e troque a sua sequência com a dele. Tente descobrir a regra de formação da sequência de seu colega enquanto ele tenta descobrir a regra de formação da sua sequência. AGORA É COM VOCÊ! Também podemos representar uma sequência através do diagrama de Venn como, por exemplo, a sequência das letras do alfabeto e a sequência dos números naturais. Sequência das letras do alfabeto: (a, b, c, d, ... , z) AGORA É COM VOCÊ! Sequência dos números naturais: (1, 2, 3, 4, ...) Crie uma sequência e represente-a utilizando o diagrama de Venn. Definição de sequência: • Chama-se sequência finita toda aplicação f do conjunto • Chama-se sequência infinita toda aplicação f de em em . Progressão Aritmética Observe a sequência (7, __ , 13, __ , 19, __, 25) Note que alguns números estão faltando, complete-a. Qual foi a lógica utilizada por você para completar a sequência? Veja como Pedro completou a mesma sequência. 2 Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna (7 , 10, 13 , 16, 19, 22, 25) Qual foi a lógica que Pedro utilizou para completar a sequência? Depois que Pedro completou a sequência fez a seguinte correspondência: , , . Dessa forma, obtemos o seguinte diagrama de Venn. Qual a relação do índice de a com a posição em que o número ocupa na sequência? É conveniente representar cada termo de uma sequência pela letra a, seguida de um índice que indica a sua ordem. Utilizando a notação de Pedro como se obtém o termo a partir de ? E o termo ? E o termo ? Observe que o número 3 é uma constante que se repete. Essa constante denominamos de razão (r). Assim, se substituirmos o número por temos: Seguindo o mesmo raciocínio como poderíamos representar o número que está na última posição da sequência de uma sequência qualquer? Também podemos escrever a sequência de Pedro (7 , 10, 13 , 16, 19, 22) de outra maneira: 3 Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna Agora, se não soubéssemos o último termo, como seria a representação para este termo? Portanto, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é: Desse modo, chamamos de Progressão Aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula: em que e são números reais dados. Logo, temos que a progressão pode ser representada pela sequência (a1,a2,a3,...,an). Exercícios do livro didático: p. 200 - nº 19, 20 Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e sua classificação: Temos . Temos Então, em uma progressão crescente Progressão crescente . . Então, em uma progressão decrescente Progressão constante ou estacionária Temos Progressão decrescente . Exercícios do livro didático: p. 199 - nº 09, 10 . Propriedades: P1: Três termos consecutivos Em uma P.A., qualquer termo a partir do segundo é a média aritmética entre o seu antecessor e sucessor. Exemplo: Consideremos a P.A. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos: 4 12 8 2 8 16 12 2 20 28 24 2 4 Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna P2: Termo médio Em uma P.A., de número ímpar de termos, o termo do meio é a média aritmética entre o primeiro termo e o último. Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21). O termo médio dessa P.A. é 12. Veja que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último. 3 21 12 2 P3: Termos equidistantes Em uma P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). Exercícios do livro didático: p. 200 - nº 21, 22, 26, 29, 37 Soma dos termos de uma progressão aritmética 5 Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna Note que, ao se efetuar a soma dos pontos equidistantes os valores desta relação sempre serão os mesmos. Assim, pela propriedade 3 temos que: Gauss observou que a soma dos termos seria igual a 101. Além disso, o agrupamento realizado resultaria em 50 parcelas iguais a 101. Desta forma, a soma seria igual a: 101 x 50 = 5050. A ideia consiste em escrever a sequência formada e depois copiá-la de “trás para a frente” em seguida efetuando as operações. 1 100 101 2 99 101 3 98 98 ... 101 3 101 99 2 101 100 1 101 Como os elementos são somados duas vezes, após efetuar o produto 100 x 101 e dividir o resultado por 2 obtém-se 5050, que é a soma geral dos termos da progressão. Mas, o que representa os algarismos 100 e 101? Deste modo, a fórmula utilizada para a soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é: n(a1 an ) Sn 2 Sn: soma dos termos da P.A. n: número de termos a1: primeiro termo an: último termo Exercícios 1) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura ao lado. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira. Qual deve ser o comprimento dessa peça de madeira para o marceneiro construir essa escada? Qual o comprimento de todos os degraus? A sequência formada pelo comprimento dos degraus é uma P.A.? 2) Na P.A. (68, 62, 56, 50, ...), encontre a soma dos seus: DESAFIO!!! (1,0 pto extra) a) Seis primeiros termos. b) Quinze últimos termos, admitindo que a sequência tem 40 termos. 6 Resolva, em uma folha separada, o exercício 47 da página 204. Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna Progressão Aritmética e Função Afim Observe a sequência de figuras abaixo, que define uma progressão aritmética: a) Desenhe as colunas 4 e 5 que representa, respectivamente, os termos a4 e a5. b) Complete a tabela abaixo que relaciona cada coluna com seu respectivo número de bolinhas. Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8 Número de bolinhas c) Represente a coluna e o número de bolinhas através de um diagrama. d) Determine a lei de formação para essa progressão aritmética. e) Construa um gráfico que relaciona cada coluna com seu respectivo número de bolinhas. 7 Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna Teorema: Seja f uma função afim de em , em que a e b são números reais dados e f x n n dada por uma lei de formação . Seja xn n uma P.A de razão r, então é uma P.A. de razão a.r. Será que o resultado acima é válido para o exercício anterior? Vamos aplicar o resultado e verificar o que acontece. 8