Ondas Espirais em Discos
Elípticos
Ronaldo de Souza
uma breve história

Os braços espirais não são estruturas materiais
fixas, caso contrário seriam destruídos pela
rotação diferencial
conexão com a dinâmica

B. Lindblad
A estrutura espiral deve resultar da interação
entre as órbitas das estrelas e a estrutura do
disco
braços espirais e freqüência de
epiciclos

Uma vez organizadas a estrutura de órbitas em
epiciclos, ligeiramente distintas das órbitas
circulares mais prováveis, se mantém estável
a teoria das ondas espirais

Lin & Shu (1965)
A estrutura espiral é uma
onda de densidade, quase
estacionária,
com
uma
perturbação azimutal que se
propaga no disco das
galáxias com uma amplitude
que depende apenas da
distância radial
Deve funcionar para explicar
as espirais do tipo granddesign
como sustentar a estrutura
espiral?

Toomre & Zang (1981)
Mecanismo de amplificação swing

Athanassoula (2003)
As trocas de momentum angular
provocam a evolução de braços e barras
braços e barras em galáxias
S0 ?!

A elevada dispersão interna das
velocidades estelares deveria suprimir
as instabilidades espirais.
mas existem vários destes
casos . . .
Imagem
original
Objeto –
(bojo+disco)
Objeto bojo
BUDDA
Objeto disco
Gadotti & de Souza, 2004
discos de galáxias não
circulares
70
50
triaxial
oblato
60
obs
50
oblato
triaxial
40
f(q)
40
30
30
(b)
20
10
20
0
-10
10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
q
350
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p = 0,93 ± 0,03
300
b
250
oblato
triaxial
χ2 =
3,00 ± 0,04
1,40 ± 0,18
q =
0,33 ± 0,17
0,33 ± 0,14
f(p)
200
150
100
50
0
-50
0,0
0,2
0,4
0,6
p
0,8
1,0
como resultado de halos
triaxiais
Halo
Bojo
A triaxialidade dos atuais
halos pode ter resultado
de um processo de fusão
entre dois halos esféricos
similares
Disco
halos triaxiais no Cenário
LCDM
As simulações N-corpos de alta resolução de Springel et al, 2001, MNRAS, 328, 726,
mostram o grau de subestrutura que devem ocorrer no interior dos halos escuros.
para explicar a elipticidade dos
discos
b = 0.93 +- 0.003
é necessário que o encontro que gerou os seus halos triaxiais
tenha ocorrido com velocidades de colisão da ordem de 91
km/s. Atualmente observa-se que Vrms ~200-300 km/s em
escalas inferiores a 1 Mpc. Portanto a triaxialidade prevista
para os halos das atuais galáxias espirais deve ter sido
gerada quando o redshift era
z ~ 0.7 - 1.2
x  p cos
coordenadas elípticas
cilíndricas
y  ( p 2  d 2 )1 / 2 sin 
zz
Família de elipses
x2
y2
 2
1
2
2
p
p d
e
d
p
Família de hipérboles
x2
y2
 2 2 1
2
2
d cos  d sin 
fatores de escala
ds2   hn2d n2
s
q
h  ps
Transformações dos elementos de
deslocamento
hp 
2
hz  1
1/ 2


d
s  1  2 cos2  
p


2
1/ 2

d 
q  1  2 
p 

2
2
 x 
 y 
 y 
  
  

h  
  n 
  n 
  n 
2
n
2
vetores unitários
ˆj y kˆ z
iˆ x
aˆ 

hn  n hn  n hn  n
q
1
ˆ
ˆ
pˆ  i cos  j sin 
s
s
1
q
ˆ
ˆ
ˆ  i sin   j cos
s
s
kˆ  kˆ
Vetores unitários em um sistema
ortogonal qualquer
pˆ . pˆ  ˆ.ˆ  1
pˆ .ˆ  0
operadores diferenciais
Gradiente
 
aˆ 
aˆ1  aˆ 2 

 3
h1  1 h2  2
h3  3
Divergente

.F 
1
h1h2 h3
 




F1h2 h3 
h1 F21h3 
h1h2 F3 
 2
 3
  1

equação de continuidade –
disco fino


 .V  0
t

q 
1 
 2
spV p  2
sV  0
t
s p p
s p 
Em uma
  ( p )
Vp  0
q
V  V 0 ( p )
s
distribuição elíptica de massa
estacionária e sem movimentos radiais
a velocidade tangencial não é constante
velocidade angular instantânea
s3 p
Rc 
q
Tanto o raio de curvatura como o
centro instantâneo de curvatura
mudam continuamente

qV
s3 p
q4
  4 0
s
... assim como a velocidade angular
instantânea
o movimento de uma estrela
Na aproximação elíptica
fraca d2/p2 <<1
s
qp 2
p 

p
s
2 p 
q dL
a 
 sp  3 z
s
ps dt
Lz  RcV
ap 
p  
 eff
 eff
p
q2
q 4 L2z
 2   10 2
s
2s p
Os epiciclos são órbitas que
se afastam ligeiramente das
órbitas elípticas que
correspondem ao mínimo do
potencial efetivo
aproximação de epiciclos
d 2
k  4  R
dR
2
2
 2
d 2 

k  s    p
dp 

2
d
s 2  1  2 cos2 
p
2
2
... Ao contrário do que ocorre em
Um disco circular
A freqüência de epiciclo
depende tanto da coordenada
radial como da coordenada
tangencial
equação de Euler



V
 V . V    h 
t
Vs2
h
 1
 
Aproximação de uma
Equação de estado
politrópica
P  K
V p
qVp V p
V V p
d 2 sin  cos
q 2 q 
  h 



V
V

V 
p 
3 3
3
t
s p
sp 
s p
s p
s p
V qVp V V V
q
d 2 sin  cos 2
1 
  h 


 3 V pV 
V

p
3 3
t
s p
sp 
s p
s p
sp 
equação de Euler para o disco
não perturbado
q
q 
2
  h
V 
2
s p
s p
V

  h
V



l  ps 
h  
d
2
V  l
dl
Disco estacionário sem
movimentos radiais
p 2  d 2 cos2 
Condição de equilíbrio centrífugo
instantâneo
em um disco elíptico
perturbações de primeira ordem
  0  '
Vp  Vp0  V
Manter apenas os termos de
Primeira ordem na
Expansão das equações
hidrodinâmicas
'
p
V  V 0  V'
  0  '
h  h0  h '
'
 '
q 
s 2  '  0 V
'

p 0V p 

0
t
sp p
q  sp 
V p'
'
s 2  V p
q 

 2V'  
 '  h'
t
q 
s p
V'


'
V'
k 2 ' V V 0
1 

Vp 


 '  h'
t
2
sp 

sp 


desenvolvimento em ondas
periódicas
 '   a e i ( m  t )
V p'  V pa e i ( m  t )
V'  Va e i ( m  t )
 '   a e i ( m  t )
h '  ha e i ( m  t )
Não é possível fazer uma expansão
que seja válida em todo o disco.
Mas é possível examinar esta
expansão nas regiões próximas aos
semi-eixos maior e menor
ondas espirais na região
próxima ao semi-eixo maior
V pa  
Va

i 
d
2m






m





h



h
a
a
a
a 
 
dp
pq


1m
k2 d
 a  ha 
  m q    a  ha  
  pq
2 dp

  k 2  m   m q   

1 q
k
1  q  m 2
p 

1
2
m
k2
2
Quando q=1 estas equações são
As mesmas da teoria de Lin & Shu
ondas espirais na região
próxima ao semi-eixo menor
V pa  

i 
d
2m






m



q


h



h
a
a
a
a 
 
dp
p



1  m  m
k2 d


 a  ha 
Va   
   a  ha  
p q
2

dp


 m

  k 2  m   
  
 q


1  1/ q k
1  1 / q  m 2
p 

1
2
m
k2
2
Quando q=1 estas equações são
As mesmas da teoria de Lin & Shu
o critério de Toomre:
condição de estabilidade
Vs K
Q
1
 G
K maior
 q 1
K menor
portanto, para uma dada dispersão de
velocidades e densidade projetada de massa, a
região ao longo do semi-eixo maior são mais
instáveis do que a região ao longo do semi-eixo
menor
por que NGC 4608 e NGC
5701 praticamente não têm
disco?
Gadotti & de Souza, 2003
Em um disco com Q<1 pode
ser que a instabilidade de
barra se desenvolva e force o
disco a buscar um novo ponto
de equilíbrio com Q>1. Tanto
a dispersão de velocidades
como a freqüência de epiciclo
são
mais
robustas
por
dependerem
do
potencial
gravitacional global. Mas, a
densidade
pode
diminuir,
cedendo material para a
barra, e aumentando o valor
de Q.
é o FIM