TRIGONOMETRIA: CIRCUNFERÊNCIAS
1. (Fgv 2005) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares
de 90° e raio d:
Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF
e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a
a) {[2(Ë3) + ™]/6} d
b) [(3 + ™)/6] d
c) {[4(Ë3) + ™]/12} d
d) [(12 + ™)/24] d
e) {[2(Ë3) + ™]/12} d
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2. (Unesp 2006) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da
roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os
centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo
horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas
circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na
figura.
a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ.
b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior
descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da
roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver
rodado 80 voltas.
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3. (Fuvest 95) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10cm. Considere, a
seguir, um arco A'B' de 60° numa circunferência de raio 5cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se:
a) 11/6.
b) 2.
c) 11/3.
d) 22/3.
e) 11.
4. (Ufpe 96) Três coroas circulares dentadas C, C‚ e Cƒ de raios r=10cm, r‚=2cm e rƒ=5cm
respectivamente estão perfeitamente acopladas como na figura a seguir. Girando-se a coroa
C• de um ângulo de 41° no sentido horário, quantos graus girará a coroa Cƒ?
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5. (Mackenzie 96) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale:
a) 24/7.
b) - 24/7.
c) - 8/3.
d) 8/3.
e) - 4/3.
6. (Uel 97) Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é
a) 1
b) 1/2
c) 0
d) -1/2
e) -1
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7. (Cesgranrio 97) Sendo A = [7 cos(5™ - x) - 3 cos(3™ + x)]/{8 sen [(™/2) - x)]}, com x · (™/2) +
k™, k Æ Z, então:
a) A = -1
b) 2A = 1
c) 2A + 1 = 0
d) 4A + 5 = 0
e) 5A - 4 = 0
8. (Fuvest 99) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo ‘ radianos
é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então ‘ é igual a
a) ™/3
b) 2
c) 1
d) 2™/3
e) ™/2
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9. (Unb 98) O radar é um aparelho que usa o princípio da reflexão de ondas para determinar a
posição de um objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou nuvem. A posição
do objeto é indicada sob a forma de um ponto luminoso que aparece na tela do radar, que
apresenta ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a posição do radar,
conforme ilustra a figura abaixo.
Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detectados pelo radar, o navio A está a
40km do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas informações e desconsiderando as
dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem.
(1) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km.
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(2) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios A e B começarem a se
movimentar no mesmo instante, em linha reta, com velocidades constantes e iguais, o navio A
para o leste e o navio B para o norte, então eles se chocarão.
(3) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movimente sobre um círculo de raio
igual a 30km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40km/h então, em 10min, o
navio B percorrerá um arco correspondente a (40/™)°.
10. (Ufrs 98) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo
entre os ponteiros é
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
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11. (Ufrs 98) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos:
I) sen 1 < sen 3
II) cos 1 < cos 3
III) cos 1 < sen 1
Quais são verdadeiras?
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) São verdadeiras apenas I e II.
e) São verdadeiras I, II e III.
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12. (Ufscar 2002) O valor de x, 0 ´ x ´ ™/2, tal que
4 . (1 - sen£ x) . (sec£ x - 1) = 3 é
a) ™/2.
b) ™/3.
c) ™/4.
d) ™/6.
e) 0.
13. (Ufscar 2000) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que
melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é:
(considere ™=3,14)
a) 37,7 cm.
b) 25,1 cm.
c) 20 cm.
d) 12 cm.
e) 3,14 cm.
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14. (Ufrs 2000) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ™/12 rad, o ponteiro
maior percorre um arco de
a) ™/6 rad.
b) ™/4 rad.
c) ™/3 rad.
d) ™/2 rad.
e) ™ rad.
15. (Ufal 99) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual
a
a) (™/4) - 17
b) (64/15) ™
c) (64/45) ™
d) (16/25) ™
e) (32/45) ™
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16. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo ‘ (figura abaixo) formado pelos
ponteiros de um relógio mede
a) 90°
b) 112° 30'
c) 82° 30'
d) 120°
e) 127° 30'
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17. (Uflavras 2000) A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco
AM é ™/4 rad, as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são:
a) 3™/4 e 5™/4
b) ™ e 3™/2
c) 3™/4 e 2 ™
d) ™/2 e 5™/4
e) 3™/4 e 5™/8
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18. (Ufc 2002) Sabendo que cosš = (Ë3)/2 e que senš = - 1/2, podemos afirmar corretamente
que
cos[(š + (™/2)] + sen[š + (™/2)]
é igual a:
a) 0
b) [-(Ë3)/2] - (1/2)
c) [(Ë3)/2] + (1/2)
d) [(Ë3)/2] - (1/2)
e) [-(Ë3)/2] + (1/2)
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19. (Ufrn 2003) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem
55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da
roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é
a) 5 voltas.
b) 7 voltas.
c) 9 voltas.
d) 11 voltas.
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20. (Mackenzie 2003) Um veículo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade
constante de 10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida,
em graus, do arco percorrido é:
a) 90
b) 115
c) 145
d) 75
e) 170
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21. (Ufscar 2003) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das
idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro åæ mede 10 cm e o comprimento do
menor arco AC é (5™/3) cm.
O setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os
eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo número é
a) 12000
b) 14800
c) 16000
d) 18000
e) 20800
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22. (Uff 2004) A localização de um ponto qualquer na superfície da Terra (considerada como
uma esfera) é feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo uma delas a latitude - que é
o ângulo (em grau) entre o plano que contém a linha do equador e o segmento que une o
centro da esfera ao ponto em questão.
Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no mesmo
meridiano.
Considere que a cidade de Macapá (ponto M) localiza-se bem próximo da linha do equador
(latitude = 0°02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre (ponto P) é de 30°01'59" ao sul e
que o valor do diâmetro da Terra é de 12750 quilômetros. Veja figura a seguir:
Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em quilômetro, entre as
duas cidades é de aproximadamente:
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a) 2300
b) 3300
c) 4600
d) 6600
e) 9000
23. (Ufrs 2004) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida
mais próxima de 1 radiano é
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24. (Uerj 2005) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km.
Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando
por B.
Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x ; y), em que x representa a
longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a
seguir.
Considerando ™ igual a 3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto
ABC é igual a:
a) 11.200
b) 10.800
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c) 8.800
d) 5.600
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25. (Ufg 2005) Deseja-se marcar nas trajetorias circulares concentricas, representadas na
figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos
pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias
iguais até a linha de origem.
Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o
ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo ‘, em graus, será igual a
a) 30
b) 36
c) 45
d) 60
e) 72
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26. (Ufg 2005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada
uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB)
mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do
ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
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27. (Puccamp 2005) Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu:
"Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124
cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé
esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de abertura de suas
pernas era
(Use: ™ = 3,1)
a) -1
b) -(Ë3)/2
c) -(Ë2)/2
d) -1/2
e) 1/2
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28. (Unesp 2005) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio
1 cm, como mostra a figura.
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O
perímetro do "monstro", em cm, é:
a) ™ - 1.
b) ™ + 1.
c) 2™ - 1.
d) 2™.
e) 2™ + 1.
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29. (Ufscar 2005) Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares.
Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas,
sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N+1.
Considerando ™ = 3,14, o arco da fatia N+1, em radiano, é
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
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30. (Ufpr 2006) Maria e seus colegas trabalham em uma empresa localizada em uma praça
circular. Essa praça é circundada por uma calçada e dividida em partes iguais por 12 caminhos
retos que vão da borda ao centro da praça, conforme o esquema abaixo. A empresa fica no
ponto E, há um restaurante no ponto R, uma agência de correio no ponto C e uma lanchonete
no ponto L. Quando saem para almoçar, as pessoas fazem caminhos diferentes: Maria sempre
se desloca pela calçada que circunda a praça; Carmen sempre passa pelo centro da praça, vai
olhar o cardápio do restaurante e, se este não estiver do seu agrado, vai almoçar na
lanchonete, caminhando pela calçada; Sérgio sempre passa pelo centro da praça e pelo
correio, daí seguindo pela calçada para a lanchonete ou para o restaurante. Sabendo que as
pessoas sempre percorrem o menor arco possível quando caminham na calçada que circunda
a praça, avalie afirmativas a seguir:
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I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na lanchonete, ambos percorrem a mesma distância.
II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na lanchonete, quem percorre a menor distância é
Maria.
III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante, Carmen percorre a menor distância.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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31. (Uerj 2006)
No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X,
passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com
velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de
centro O e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando Ë2 = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B,
a distância entre eles será igual a:
a) 0,4 R
b) 0,6 R
c) 0,8 R
d) 1,0 R
3
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4
2
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32. (Uel 2006) Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda
celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo
astro. Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 24 horas no sentido
oeste-leste; o tempo gasto a cada 15° de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da
Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de 75°.
A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília é:
a) 5 horas.
b) 9 horas.
c) 12 horas.
d) 17 horas.
e) 21 horas.
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GABARITO
1. [A]
2. a) PQ = 4Ë3 dm
sen BPQ = (Ë13)/13
b) 90° e 120 voltas
3. [C]
4. 82
5. [A]
6. [E]
7. [C]
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8. [B]
9. F F V
10. [B]
11. [C]
12. [B]
13. [B]
14. [E]
15. [E]
16. [B]
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17. [A]
18. [C]
19. [B]
20. [B]
21. [C]
22. [B]
23. [B]
24. [C]
25. [E]
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26. AB = Ë(1,49 - 1,4 . cos 36°) m
27. [D]
28. [E]
29. [C]
30. [B]
31. [B]
32. [D]
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