XXIV COMPETIÇÃO MATEMÁTICA DO RIO GRANDE DO NORTE - 2013
PROVA DA SEGUNDA FASE - NÍVEL II - (8a e 9a Séries) - 05/10/2013
1. Mostre que 816 − 9.277 − 911 é divisı́vel por 405.
Resolução:
Observe que 405 = 34 × 5. Assim, temos que mostrar que o número dado é divisı́vel por 34 e
por 5. De fato,
816 − 9.277 − 911 = (34 )6 − (32 ).(33 )7 − (32 )11 = 324 − 323 − 322 = 322 .(32 − 3 − 1) = 322 × 5
Como 322 = 34 × 318 , segue que o número dado é divisı́vel por 34 e por 5, como querı́amos
mostrar.
2. Escrevem-se (em ordem crescente) numa fila a lista dos primeiros 2013 números inteiros positivos
1234567891011 · · · 2010201120122013
que dı́gito aparece menos vezes na lista?
Resolução:
Inicialmente, olhemos para os números de 0 até 999 da seguinte maneira:
000, 001, 002, 003, · · · , 998, 999
Nessa lista existem 1000 números e para escrevê-los usamos 3000 dı́gitos, contadas as repetições,
e cada um desses dı́gitos aparece uma quantidade igual de vezes. Como os dı́gitos são 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, em número de 10, quando se escreve de 000 até 999 usa-se cada dı́gito 300 vezes.
Mas, no inı́cio, para escrever de 000 até 009, usamos 3 + 2 × 9 = 21 zeros, que não aparecem
nos números de 1 a 9 na sequência original. quando escrevemos de 010 a 099 o algarismo 0
aparece em todos os 90 números na primeira posição (o que não ocorre na sequência original
1234567891011 · · · 2010201120122013).
De modo análogo, quando escrevemos os 1000 números de 1000 até 1999 escrevemos sempre um
1 na primeira posição e assim pelo que foi exposto anteiormente, fora a primeira posição que é
sempre ocupada pelo algarismo 1, cada um dos demais algarismos aparece 300 vezes. Portanto,
1
quando escrevemos de 1 até 1999 o algarismo zero é escrito (300 − 21 − 90) + 300 = 489 vezes,
o algarismo 1 é escrito 300 + 1000 + 300 = 1600 vezes e cada um dos demais algarismos
300 + 300 = 600 vezes.
Os números que faltam ser considerados são:
2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013
Para escrever estes números que faltam usamos 26 zeros, 6 dı́gitos 1, 16 dı́gitos 2, 2 dı́gitos
3, 1 dı́gito 4, 1 dı́gito 5, 1 dı́gito 6, 1 dı́gito 7, 1 dı́gito 8 e 1 dı́gito 9. Diante do exposto, a
quantidade de vezes que escrevemos os algarismos são:
Algarismo 0 → 489 + 26 = 515 vezes.
Algarismo 1 → 1600 + 6 = 1606 vezes.
Algarismo 2 → 600 + 16 = 616 vezes.
Algarismo 3 → 600 + 2 = 602 vezes.
Algarismo 4 → 600 + 1 = 601 vezes.
Algarismo 5 → 600 + 1 = 601 vezes.
Algarismo 6 → 600 + 1 = 601 vezes.
Algarismo 7 → 600 + 1 = 601 vezes.
Algarismo 8 → 600 + 1 = 601 vezes.
Algarismo 9 → 600 + 1 = 601 vezes.
Portanto, o dı́gito zero é que foi escrito menos vezes.
3. Na figura abaixo os dois cı́rculos com centros P e Q são tangentes externamente no ponto A.
Sabendo que o segmento BC é tangente a ambos os cı́rculos.
^
Determine a medida do ângulo BAC.
Resolução:
trace os raios PB e QC e o segmento PQ, formando o quadrilátero BCQP. Observe a figura a
seguir:
2
^ = QCB
^ = 90◦
Como o segmento BC é uma tangente comum aos dois cı́rculos, segue que PBC
^ = 2α e
(no ponto de tangência o raio e a reta tangente são perpendiculares). Definindo APB
^
AQC = 2φ, segue que as medidas (em graus) os arcos AB e AC são, respectivamente, 2α e 2φ.
Ora, como as medidas dos arcos AB e AC são, respectivamente, 2α e 2φ, segue que as medidas
^ e ACB
^ são α e φ, respectivamente (a medida em graus de um
dos ângulos semi-inscritos ABC
ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco correspondente). Lembrando que a soma
das medidas dos ângulos internos do quadrilátero BCQP é 360◦ , segue que
90◦ + 2α + 2φ + 90◦ = 360◦ ⇒ 2 (α + φ) = 180◦ ⇒ α + φ = 90◦
Finalmente, no triângulo ABC, tem-se:
^ + α + φ = 180◦ ⇒ BAC
^ = 90◦
BAC
| {z }
=90◦
4. Luı́s e Juan disputam o seguinte jogo: Sobre un tabuleiro de xadrez, 8 × 8, um coloca uma
peça de dominó (não importa a numeração da peça) ocupando duas casas do tabuleiro. Em
seguida o outro jogador coloca outra peça; em seguida o outro e assim sucessivamente. O
primeiro jogador que não puder colocar sua peça perde. Luı́s, educadamente, deixa Juan colocar primeiro... Mas, sempre ganha!.
Qual é a estratégia de Luı́s?
Resolução:
A estratégia de Luis é fazer sua jogada na posição simétrica, em relação ao centro do tabuleiro,
da posição em que seu opositor colocar a peça. Isto é, fazer a mesma jogada que Juan, mas
◦
invertendo o tabuleiro de um ângulo de 180 . Para facilitar o entendimento, enumere as linhas
do tabuleiro de 1 até 8 e as colunas de a até h, veja figura a seguir.
3
Assim, se Juan coloca sua peça na posição a1 − a2; Luı́s faz seu movimento colocando uma
peção na posição h7−h8. Quando Luı́s vai jogar, o tabuleiro está para ele nas mesmas condições
que Juan na jogada anterior, somente com uma peça a mais. Se Juan pudesse colocar essa peça
◦
de tal modo que bloqueie a posição correspondente no tabuleiro de Luis (rodado de 180 ),
ganharia, mas isso só pode acontecer em um tabuleiro de dimensões n × n, com n ı́mpar. Se
n é par (como é o caso do tabuleiro de xadrez, que é 8 × 8) isto e impossı́vel.
Para justificar a estratégia de Luı́s, numeramos as linhas e as colunas de 1 até 8. Chamamos
uma casa de (i, j) se ela se encontra na linha de número i e coluna de número j. Se Juan
joga na posição (i, j); (i, j + 1), Luı́s joga na posição (9 − i, 9 − j); (9 − i, 8 − j). Temos quatro
possibilidades de bloqueio, mas em todas i = 9 − i, 2i = 9, i = 4, 5, não é um número inteiro.
Portanto, sempre que Juan puder jogar, Luı́s também poderá fazer sua jogada, o que significa
dizer que sempre vai ganhar, aplicando sua estratégia.
4