SISTEMAS LINEARES 2
1. (Fgv 2005) a) Mostre que existem infinitas triplas ordenadas (x,y,z) de números que
satisfazem a equação matricial:
b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y , usando o conceito de matriz inversa:
ý2x + y = a
þ
ÿ5x + 3y = b
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2. (Pucrj 2006) Ache todas as soluções do sistema
ý x+y-z=1
þ
ÿ- x + y + z = 1
Interprete sua resposta geometricamente. Verifique se o sistema tem uma solução do tipo
x = a + 1, y = 2a e z = a.
3. (Ufscar 2005) No dia do pagamento, Rita e Luís compraram, cada um, x CDs e y DVDs em
uma loja (x · 0 e y · 0). Cada CD comprado por Rita custou R$ 20,00, e cada DVD comprado
por ela custou R$ 30,00. Cada CD comprado por Luís custou R$ 15,00, e cada DVD custou P
reais (P · 0). Sabe-se que essa foi a única compra que Rita e Luís fizeram na loja, gastando R$
150,00 e Q reais (Q · 0), respectivamente.
a) Determine o par ordenado (x,y) da solução do problema quando x · y.
b) Se o preço de cada DVD comprado por Luís corresponde a 20% do seu gasto total na loja,
determine P e Q quando a solução do problema é x = y.
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4. (Unesp 2006) Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, D e D‚. Para atender a uma
encomenda, deve enviar 30 caixas iguais contendo um determinado medicamento à drogaria
A e 40 caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento à drogaria B. Os gastos com
transporte, por cada caixa de medicamento, de cada depósito para cada uma das drogarias,
estão indicados na tabela.
Seja x a quantidade de caixas do medicamento, do depósito D•, que deverá ser enviada à
drogaria A e y a quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser enviada à drogaria B.
a) Expressar:
- em função de x, o gasto GÛ com transporte para enviar os medicamentos à drogaria A;
- em função de y, o gasto G½ com transporte para enviar os medicamentos à drogaria B;
- em função de x e y, o gasto total G para atender as duas drogarias.
b) Sabe-se que no depósito D• existem exatamente 40 caixas do medicamento solicitado e que
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o gasto total G para se atender a encomenda deverá ser de R$ 890,00, que é o gasto mínimo
nas condições dadas. Com base nisso, determine, separadamente, as quantidades de caixas
de medicamentos que sairão de cada depósito, D e D‚, para cada drogaria, A e B, e os gastos
GÛ e G½.
5. (Fgv 2005) O sistema linear
ýx + ‘y - 2z = 0
þx + y + z = 0
ÿx - y - z = 0
admite solução não-trivial, se:
a) ‘= -2
b) ‘ · -2
c) ‘ = 2
d) ‘ · 2
e) ‘ Æ IR, sendo IR o conjunto dos números reais.
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6. (Fgv 2005) Sabe-se que o sistema linear
ýx - y = 2
þ
ÿ2x + ay = log½(-a)
nas variáveis x e y, é possível e indeterminado. Nessas condições, Bò é igual a
a) 2 (¥Ë2)
b) Ë2
c) ¥Ë2
d) (Ë2)/2
e) (¥Ë2)/2
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7. (Fuvest 2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu
sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final
desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano
seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de
creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual
à soma dos novos capitais de Maria e João.
Qual era o capital inicial de João?
a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00
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8. (Ita 2006) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por
ý(a - b)x - (a + b)y = 1
þ
ÿ(a + b)x + (a - b)y = 1
Considere as seguintes afirmações:
I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0
ll. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos
III. x£ + y£ = (a£ + b£)¢, se a£ + b£ · 0
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) ll e III
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9. (Ita 2006) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema
linear
ýx + y + 3z = 2
þx + 2y + 5z = 1
ÿ2x + 2y + az = b
é
a) a - b · 2
b) a + b = 10
c) 4a - 6b= O
d) a/b = 3/2
e) a . b = 24
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10. (Puccamp 2005) Nos circuitos de corrente contínua, constituídos por baterias, resistores e
capacitores, diversamente combinados, os valores de tensão e corrente elétricas nos ramos
podem ser calculados de acordo com as Regras de Kirchhoff:
- Quando se percorre uma malha fechada de um circuito, as variações de potencial têm uma
soma algébrica que é igual a zero.
- Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se divide, a soma das correntes que fluem para o
nó é igual à soma das correntes que saem do nó.
(Adaptado de Paul Tipler. Física. v. 3. Rio de Janeiro: LTC. p. 145)
As Leis de Kirchhoff, aplicadas a um determinado circuito com três malhas interiores, resulta
no sistema de três equações lineares seguintes, cujas incógnitas, I, I‚ e Iƒ, são as intensidades
das correntes no circuito.
ý3I + 2I‚ + 3Iƒ = 3
þ8I• - 3I‚ - 2Iƒ = 23
ÿ2I• - 5Iƒ = -1
É verdade que I + Iƒ é igual a
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a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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11. (Puccamp 2005) Se o convidarem para saborear um belo cozido português, certamente a
última coisa que experimentará entre as iguarias do prato será a batata, pois ao ser colocada
na boca sempre parecerá mais quente. ... Mas será que ela está sempre mais quente, uma vez
que todos os componentes do prato foram cozidos juntos e saíram ao mesmo tempo da
panela? Sabemos que, ao entrarem em contato, objetos com temperaturas diferentes tendem
a trocar calor até ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho, não? Uma coisa é
certa: ao comer o cozido a chance de você queimar a boca com a batata é muito maior do que
com o pedaço de carne. Comprove isso no próximo cozido que tiver oportunidade de comer.
(Aníbal Figueiredo. Física - um outro lado - calor e temperatura. São Paulo. FTD, 1997)
De acordo com uma receita da vovó, entre os ingredientes usados no preparo de um belo
cozido português, incluem-se x gramas de batatas, y gramas de cebolas e z gramas de lingüiça
portuguesa, totalizando 1 450 gramas. Sabendo-se que z e x, nesta ordem, estão entre si na
razão 2/3 e que o dobro de y, acrescido de 100, é igual à soma de x e z, é correto afirmar que
compõem essa receita
a) 450 g de cebolas.
b) 480 g de batatas.
c) 480 g de cebolas.
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d) 500 g de lingüiça.
e) 750 g de batatas.
12. (Pucsp 2005) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenços, dois bonés e três camisetas
gasta-se um total de R$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco camisetas, dos
mesmos tipos que os primeiros, custam juntos R$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na
compra de apenas três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, será
a) R$ 72,00
b) R$ 65,00
c) R$ 60,00
d) R$ 57,00
e) R$ 49,00
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13. (Uel 2005) Em uma rodada de um campeonato de futebol de salão, o time "Bola na rede"
ganhou do time "Malukos por bola" por 8 a 0 (oito a zero). O repórter de um jornal foi ao
vestiário do time vencedor e perguntou quantos gols cada jogador havia marcado, anotando os
nomes dos jogadores que fizeram gols. Escreveu em suas anotações:
1) Fizeram gols: Esquerdinha, Teco, Azeitona e Dentinho.
2) Teco fez 2 gols a mais que Esquerdinha.
3) Azeitona fez tantos gols quanto a diferença entre os gols feitos por Teco e Esquerdinha.
Sobre a contagem de gols da partida, considere as afirmativas a seguir.
I. O jogador que marcou mais gols foi Teco.
II. Azeitona e Dentinho marcaram a mesma quantidade de gols.
III. A soma do número de gols feitos por Azeitona e Dentinho é igual ao número de gols feitos
por Teco.
IV. Teco fez três vezes mais gols do que Esquerdinha.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e II.
b) I e III.
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c) III e IV.
d) I, II e IV.
e) II, III e IV.
14. (Uel 2005) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes,
pequeno e médio, gastando R$ 4300,00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$ 50,00 e
cada calça de tamanho médio custou R$ 60,00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio,
respectivamente, ele comprou?
a) 30 e 50
b) 37 e 43
c) 40 e 40
d) 43 e 37
e) 50 e 30
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15. (Ufpr 2006) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e
Cascavel. Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses
três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações:
1Ž motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em
Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km.
2Ž motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para
Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km.
3Ž motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em
Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km.
Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela
transportadora, quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava,
passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava?
a) 824 km
b) 820 km
c) 832 km
d) 798 km
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e) 812 km
16. (Unesp 2005) Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acúmulo
de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, se em todos os dias
do mês ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo
menos um dia atrasado.
Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira
vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se
o número de pontos acumulados for positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for
negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcionário acumulou exatamente 50 pontos
positivos em 30 meses, a quantidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15.
b) 20.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
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17. (Unesp 2006) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em
graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação
9TC = 5TF -160.
Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão
relacionadas pela equação
TK = TC + 273.
A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é:
a) TF = (TK - 113)/5
b) TF = (9TK - 2457)/5
c) TF = (9TK - 2297)/5
d) TF = (9TK - 2657)/5
e) TF = (9TK - 2617)/5
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18. (Unifesp 2006) Considere o sistema de equações
ýx - y = 2
þ
ÿcx + y = 3
onde c é uma constante real. Para que a solução do sistema seja um par ordenado no interior
do primeiro quadrante (x > 0, y > 0) do sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem em
(0, 0), é necessário e suficiente que
a) c · -1.
b) c < -1.
c) c < -1 ou c > 3/2.
d) 3/2 < c.
e) -1 < c < 3/2.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda
percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma
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condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.
19. Certo mês, uma pessoa alugou sua garagem por uma diária fixa de R$ 6,00, para que um
grupo de trabalhadores guardassem suas bicicletas. No mês seguinte, 2 deles deixaram de
usar essa garagem e a cota diária de cada um dos outros aumentou em R$ 0,15. É verdade
que
a) o número inicial de trabalhadores era 10.
b) o número inicial de trabalhadores era 9.
c) o número inicial de trabalhadores era 8.
d) a cota diária inicial era R$ 0,55.
e) a cota diária inicial era R$ 0,50.
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GABARITO
1. a) A partir do enunciado obtemos o sistema linear:
ýx + 2y - z = 0
þ2x - 10z = 0
ÿ-x + y + 7z = 0
Este sistema é homogêneo e, portanto, admite a solução trivial (0,0,0).
Para que um sistema linear homogêneo tenha outras soluções além da trivial, o determinante
da matriz incompleta deve ser nulo.
Calculando este determinante, concluímos que o sistema é possível e indeterminado. Desse
modo, a equação matricial dada possui infinitas soluções.
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b) S = {( 3a - b; -5a + 2b)}
2. S = { (t, 1, t), t Æ R }
As soluções são pontos pertencentes a uma reta.
x = a + 1, y = 2a e z = a não pode ser uma solução, pois a + 1 · a => x · z .
3. a) (6;1)
b) P = R$ 22,50 e Q = R$ 112,50
4. a) GÛ = (360 - 2x) reais
G½ = (600 - y) reais
G = (960 - 2x - y) reais
b)
D•: 30 caixas para A e 10 caixas para B.
D2: nenhuma caixa para A e 30 caixas para B.
GÛ = 300 reais e G½ = 590 reais.
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5. [A]
6. [D]
7. [A]
8. [E]
9. [A]
10. [C]
11. [A]
12. [D]
13. [D]
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14. [E]
15. [B]
16. [C]
17. [C]
18. [E]
19. [A]
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