Docente
Nome do Docente da Turma 2M7: Prof. Lúcia M.J.S.
Dinis
Secção de Mecânica Aplicada, Demegi
Edifício L, Gabinete 309
Rua Roberto Frias, 4200-465, Porto, Portugal
Telefone: 225081593 ou Secretária 225081597
E-mail: [email protected]
http://www.fe.up.pt/~ldinis/
Horário de Atendimento de Alunos: Todos os dias das
10h às 12 h.
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1
Parte 0 da Aula
01. Apresentação e Objectivos da Disciplina
02. Fases de um Projecto
03. Problema Uniaxial. Conceito de Tensão e Deformação
04. Materiais Dúcteis e Materiais Frágeis
05. Condições de Equilíbrio Estático dum Sistema de Forças
06. Programa Geral da Disciplina
07. Avaliação e Bibliografia Recomendada
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2
Sumário e Objectivos
da Aula
Sumário: 0)Apresentação e breve referência aos
objectivos da disciplina, ao conteúdo da disciplina, textos
de apoio e métodos de avaliação. 1) Conceito de Tensão.
Componentes Cartesianas da Tensão, Tensor das Tensões.
Tensão numa faceta com orientação arbitrária.
Objectivos da Aula: Percepção dos objectivos a atingir
para a disciplina Mecânica dos Sólidos.
Saber definir Tensão e construir o Tensor das Tensões e
representa-lo graficamente. Saber determinar as
componentes do Vector Tensão numa faceta com
orientação arbitrária.
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Bicicleta
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CÁLCULO NUMÉRICO
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5
Designação da Disciplina:
Mecânica dos Sólidos
Para efeitos de pesquisa Bibliográfica e informações na
Internet o conteúdo associado a esta disciplina pode
aparecer com outras designações nomeadamente as duas
seguintes: Mecânica dos Materiais e Resistência dos
Materiais.
Com esta designação pretende referir-se a Ciência que
estuda o processo de Deformação dos Sólidos quando
sujeitos a Acções Externas, entendendo-se por
Deformação ( para Leigos) é a mudança de dimensão
e/ou forma de um sólido
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Objectivos Genéricos a
Atingir com a Disciplina
-Apreensão da Linguagem e dos Conceitos Fundamentais que lhe
permitirão entender a actuação do engenheiro no âmbito do projecto no
que diz respeito ao projecto das componentes resistentes.
-Entender porque é que as coisas não caem nem se
desintegram em serviço.
-Apreensão dos Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos com
ênfase no estudo das Peças Lineares isostáticas com vista à determinação
da sua capacidade resistente em serviço. A introdução dos conhecimentos
necessários à posterior aprendizagem da análise e dimensionamento de
Estruturas e Sólidos sujeitos a Acções Externas e ao peso próprio.
Familiarização com as grandezas utilizadas na análise do comportamento
elástico de sólidos e estruturas.
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7
Enquadramento da Disciplina
no Contexto da MIEM
O curso de Mecânica dos Sólidos pode considerar-se o
primeiro passo para aprendizagem de alguns
conceitos base para efeitos da iniciação ao “ Projecto
de Máquinas e Estruturas”.
O Tipo de Problemas mais frequentes no projecto são:
a) Verificação do Dimensionamento.
b) Dimensionamento.
Exemplos de produtos: Automóveis, aviões, Máquinas,
Estruturas Metálicas, Reservatórios, etc
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Dimensionamento e
Verificação de
Dimensionamento
a) Definida a forma de um elemento estrutural, as
solicitações a que o mesmo está sujeito e os materiais
utilizados na construção, verificar a estabilidade desse
elemento. É um problema de verificação de
dimensionamento.
b) Conhecidas as solicitações exteriores e a função a
desempenhar pelo elemento estrutural , definir a
forma e dimensões, bem como as características
mecânicas do Material a utilizar. É um problema de
Dimensionamento.
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Fases de um Projecto
Definição das Necessidades
Escolha da Forma
Escolha dos Materiais
Fixação das Dimensões
Análise Económica
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Exemplos de Aplicação da
Mecânica dos Sólidos(I)
Ponte Metálica
Automóvel
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Exemplos de Aplicação da
Mecânica dos Sólidos(II)
Biomecânica
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Exemplos de Aplicação da
Mecânica dos Sólidos(III)
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Exemplos de Aplicação da
Mecânica dos Sólidos(IV)
Estruturas Voadoras
Estruturas de aviões, avionetas, ultra-leves, etc
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Exemplos de Aplicação da
Mecânica dos Sólidos(V)
Estruturas de navios, barcos, equipamentos flutuantes
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Exemplos de Aplicação da
Mecânica dos Sólidos(VI)
Projecto de Estruturas de Máquinas
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Conceito de Tensão e
Deformação
σ
F
Região
Plástica
Fractura
Região
Elástica
ε
F
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Conceito de Extensão
Barra Traccionada
P
x
P
L0 -Comprimento inicial
L0
P
P
L - Comprimento Final
L
Deformação usual em
Engenharia- Extensão
L − Lo
ε =
Lo
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Deformação natural
L − Lo
ε =
L
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Conceito de Tensão
Problema Axial
Ã
Secção A -A
P
P
a
A
b
Grandezas
P = ∫A σdA
Força
σ = P/A
Tensão
P
σ
σ
Secção A-A
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Secção Inclinada
Problema Uniaxial
y
y´
y´
x´
x´
P´
x
P
x
O
P´´
P´ = P cos α
P´´ = P sen α
A´ = A/cos α
Secção Inclinada
Tensão Normal
Tensão Tangencial
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σ
σ
t
n
=
= −
P′
P cos α
P
=
=
cos2 α
A′
A / cos α
A
P′ ′
Ps enα
p
= −
= −
cos α
A′
A / cos α
A
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s enα
20
Materiais Dúcteis e Frágeis
σ
σ
Material Dúctil
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ε
Material Frágil
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ε
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Condições de Equilíbrio
Estático
G
zF
1
G
F2
G
F3
G
F4
P
G
Fn
G
Fi
G
⎧⎪ ∑ F1 = 0
G
⎨
⎪⎩∑ M P = 0
y
z
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22
Resumo do Conteúdo de
Resistência dos Materiais (I)
1ªParte Elasticidade
Capítulo 0: Introdução. Capítulo 1: Tensor das Tensões.
Conceito de Tensão, Componentes Cartesianas, Equações de
Equilíbrio, Tensões Principais, Mudança de Eixos, Estado
Bidimensional de Tensão e Circulo de Mohr para o caso
Bidimensional. Capítulo 2: Tensor das Deformações.
Conceitos de Deformação, Deformações Principais,
Equações de Compatibilidade e Circulo de Mohr. Capítulo
3: Relações Tensões - Deformações. Lei de Hooke
Generalizada, Constantes Elásticas do Material. Critérios de
Resistência. Critério de von Mises e Critério de Tresca.
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23
Resumo do Conteúdo de
Mecânica dos Sólidos (II)
2ªParte Peças Lineares.
Capítulo 4: Torção de Veios. Veios de secção Circular,
Veios de forma arbitrária, Analogia de Membrana e
Energia de Deformação em Torção.
Capítulo 5: Flexão de Vigas. Esforços. Momentos
Flectores e Esforços Transversos. Distribuição de Tensões
Axiais e de Corte. Tensores das Tensões e Deformações
num ponto da Viga. Capítulo 6: Cálculo da Deformada(
Deflexão) , Métodos Analíticos.
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24
Metodologia de Ensino
Aulas teórico-práticas: exposição da matéria com utilização de
Acetatos e eventualmente do quadro, formulação e resolução de
problemas - tipo no final de cada assunto
A sequência Histórica do conhecimento não é necessariamente
respeitada por se tratarem de conhecimentos que podem ser
considerados clássicos e para estes conhecimentos se privilegiar uma
das sequências lógicas.
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Avaliação
Um Exame Final com consulta de 1 (um Livro) - Escala
0-20 Valores.
Assiduidade e Participação activa nas aulas (Bónus até
20%)
Nota Final: A classificação final máxima, por via exclusiva
da frequência e dos exames escritos, fica limitada a 17
(dezassete) valores, sendo necessária a realização de uma
prova oral suplementar para o aluno poder ter acesso a uma
classificação superior.
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Conhecimentos Prévios
Necessários
Mecânica I: Estática e Geometria das Massas
Análise Matemática: Derivadas, Integrais e Equações
Diferenciais
Álgebra Linear: Operações com Vectores e Matrizes,
Cálculo de Valores Próprios e Vectores Próprios
Programação: Vantagem em Conhecer Matlab e Maple
Análise Numérica
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Bibliografia
Bibliografia Recomendada
- J. F. Silva Gomes, Mecânica dos Sólidos, Editora Inegi
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995.
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989.
- J. W. Dally and William F. Riley, Experimental Stress Analysis, McGraw-Hill, 1991.
- S. P. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw-Hill, 1982.
- C. Wang, "Applied Elasticity", McGraw-Hill, New York, 1953.
- A. C. Ugural e S. K. Fenster, "Advanced Strength and Applied Elasticity", Elsevier North-Holland
Publishing Co., New York, 1977.
- Egor P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, 1990.
-T. J. Lardner and R. R. Archer, Mechanics of Solids, An Introduction, McGraw-Hill, 1994.
-Timoshenko/Gere, Mecânica dos Sólidos, Vol1 e Vol 2, Livros Técnicos e Científicos
- Charles Massonnet, Resistance des Matériaus, Dunod, Paris, 1968.
- F. P. Beer and E. R. Johnston, Jr., Resistência dos Materiais, McGraw-Hill, 1989.
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28
Parte I
1. ANÁLISE DE TENSÕES
1.1. Conceito de Tensão
1.2. Componentes Cartesianas da Tensão
1.3. Tensão numa Faceta com Orientação Arbitrária
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29
Conceito de Tensão
ΔF
σ = lim
ΔA→0 ΔA
Tensão
Componentes da Tensão σ numa faceta
perpendicular a y
z
ΔFx
=
τyx
lim
ΔA 6 0 ΔA
ΔF
y
σyy= lim
ΔA 6 0 ΔA
ΔFz
ΔF
ΔF
O
y
x
ΔA
ΔFx
ΔFy
ΔFz
τyz = lim
ΔA 6 0 ΔA
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30
Tensor das Tensões-1
Plano perpendicular ao Eixo dos yy:
σ yy
Tensão Normal
τ yx; τ yz
Tensões Tangenciais ou de Corte
Plano perpendicular ao Eixo dos xx:
Plano perpendicular ao Eixo dos zz:
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σ yy; τ yx; τ yz
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σ xx; τ xy; τ xz
σ zz; τ zx; τ zy
31
Tensor das Tensões –2
O modo como se representam as tensões é tal que o primeiro índice representa a direcção
da normal ao plano de intercepção e o segundo índice indica a direcção de actuação da
tensão
Convenção de sinais: As tensões são
σ
zz
τ zy
τ zx
τ yz
τ xz
z
σ xx
y
x
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τ xy
τ yx
σ yy
consideradas Positivas se têm o sentido
considerado positivo nas facetas do
paralelepípedo mais próximas do observador e
nas outras facetas são consideradas positivas se
têm o sentido contrário. As Tensões
representadas nas figuras estão a ser
consideradas positivas.
Tensor das Tensões
⎡σxx τxy τxz ⎤
⎡ σ11 σ12 σ13 ⎤
⎢
⎥
σ = σij = ⎢ τyx σyy τyz ⎥ ou σij = ⎢⎢σ21 σ22 σ23⎥⎥
⎢⎣ τzx τzy σzz ⎥⎦
⎢⎣σ31 σ32 σ33⎥⎦
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32
Estado Uni axial de Tensão
σ
σ
Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxyz
⎡σ 0 0⎤
⎢ 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
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ou
⎡0
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
0
σ
0
0⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥⎦
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⎡0 0 0 ⎤
⎢
⎥
ou ⎢0 0 0 ⎥
⎢⎣0 0 σ ⎥⎦
33
Corte Puro
⎡0 0 0 ⎤
⎢
⎥
0
0
τ
yz
⎢
⎥
⎢⎣0 τ zy 0 ⎥⎦
y
O
x
z
y
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x
y
x
⎡ 0 τ xy 0 ⎤
⎢
⎥
0
0
τ
yx
⎢
⎥
⎢⎣ 0
0 0 ⎥⎦
z
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z
⎡ 0 0 τ xz ⎤
⎢0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣ τ zx 0 0 ⎥⎦
34
Estado Plano de Tensão
σ yy
y
τ yx
τ xy σ xx
y
σ yy
τ yx
τ xy
σ xx
x
x
z
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⎡ σ xx
⎢
⎢ τ yx
⎢⎣ 0
τ xy
σ yy
0
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0⎤
0 ⎥⎥ ou
0 ⎥⎦
⎡ σ xx
⎢
⎣ τ yx
τ xy ⎤
⎥
σ yy ⎦
35
Unidades
Unidade
Comprimento
Tempo
Massa
Força
Tensão
S.I.
metro(m)
segundo (s)
Kilograma(Kg)
Newton(N)
Pascal(Pa)
T
G
M
k
1012
109
106
103
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S. Métrico
metro(m)
segundo(s)
Kilograma(Kg)
Kilogramo(Kg)
Kg/m2
m
10−3
μ
10−6
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U.K.
polegada(in)
segundo(s)
Libra Massa (lb)
Libra Peso (lb)
lb/in2
n
p
10−9
10−12
36
Tensões numa Faceta com
Orientação Arbitrária
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1ªAula
37
Equilíbrio Segundo yy
Designando a área ABC por dS e designando as áreas OBC, OAC e
OAB por dS1 , dS2 e dS3 respectivamente, estas áreas podem ser
calculadas a partir da área dS considerando as componentes, {l,m,n},
da normal à faceta ABC, ou seja dS1 = ldS
dS2 = mdS
dS3 = ndS
A equação de Equilíbrio de Forças Segundo yy é
T ydS = σ yymdS + τ xyldS + τ zyndS
Simplificando obtém-se
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T y = τ xyl +σ yym + τ zyn
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38
Tensão numa Faceta com
Orientação Arbitrária
{T } = [ σ ]{n }
Tx = lσ xx + mτ yx + nτzx
T y = lτ xy + m σ yy + n τ zy
ou
Tz = lτ xz + m τ yz + n σ zz
sendo
⎧Tx ⎫
⎪ ⎪
T
=
{ } ⎨Ty ⎬
⎪T ⎪
⎩ z⎭
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⎡σ xx
⎢
[σ] = ⎢ τxy
⎢ τxz
⎣
τ xy
σ yy
τ yz
τ xz ⎤
⎥
τ yz ⎥
σ zz ⎥⎦
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1ªAula
T = σn
⎧l⎫
⎪ ⎪
n = ⎨m ⎬
⎪n ⎪
⎩ ⎭
{}
39
Tensões Normais e
Tangenciais ou Corte
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1ªAula
40
Tensões Normais e
Tangenciais ou Corte
Tensão Normal
Tn = lTx + mTy + nTz = l2σx + m2σy + n2σz + 2lmτxy + 2ln τxz + 2mnτyz
Tensão Tangencial
Tt l s + Tn l = Tx
Tt m s + Tn m = Ty
Tt n s + Tn n = Tz
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Tt =
T 2 − T n2
ls =
Versor da
Tensão
Tangencial
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1ªAula
T x − lT n
Tt
ms =
ns =
Ty − m Tn
Tt
Tz − n Tn
Tt
41
Problema 1
Num plano perpendicular ao eixo dos yy a tensão resultante
é T={0 10 5}MPa. Determine as componentes das tensões
no referido plano.
⎧1 ⎫
JG
⎪ ⎪
τ yx = T.e1 = {0 10 5} ⎨0 ⎬ = 0MPa
⎪0 ⎪
⎩ ⎭
⎧0 ⎫
JG
⎪ ⎪
σ yy = T.e 2 = {0 10 5} ⎨1 ⎬ = 10MPa
⎪0 ⎪
⎩ ⎭
⎧0 ⎫
JG
⎪ ⎪
τ yz = T.e1 = {0 10 5} ⎨0 ⎬ = 5MPa
⎪1 ⎪
⎩ ⎭
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42
Problema 1(cont)
z
τyz
τyx
y
x
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T
σyy
⎧1 ⎫
JG
⎪ ⎪
τ yx = T.e1 = {0 10 5} ⎨0 ⎬ = 0MPa
⎪0 ⎪
⎩ ⎭
⎧0 ⎫
JG
⎪ ⎪
σ yy = T.e 2 = {0 10 5} ⎨1 ⎬ = 10MPa
⎪0 ⎪
⎩ ⎭
⎧0 ⎫
JG
⎪ ⎪
τ yz = T.e1 = {0 10 5} ⎨0 ⎬ = 5MPa
⎪1 ⎪
⎩ ⎭
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43
Problema 2
−30 ⎤
⎢ 20 −20 30 ⎥ MPa
⎢
⎥
⎢⎣ −30 30 10 ⎥⎦
O tensor das tensões num ponto é: ⎡ 10
Desenhe um paralelepípedo
centrado no ponto e sobre cada
20
uma das faces represente as tensões que sobre ela
actuam.
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44
Problema 2
z
10
30
20
10
20
20 30
30 20
y
20
10
x
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10
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1ªAula
45
Problema 3
3. O estado de tensão num ponto de um sólido é definido
pelas seguintes componentes: ⎡80 50 60 ⎤
⎢50 160 −75⎥
⎢
⎥
⎢⎣60 −75 100 ⎥⎦
a) Determine a componente normal e a componente de corte
num plano cuja normal está inclinada de α = 68º e β = 35º
em relação aos eixos dos xx e dos yy respectivamente.
b) Determine os cossenos directores da tensão de corte no
plano considerado.
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46
Problema 3
O Tensor das Tensões é:
O versor da normal:
T=σ.n
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⎡80 50 60 ⎤
σ = ⎢⎢50 160 −75⎥⎥
⎢⎣60 −75 100 ⎥⎦
⎫ ⎧0.37 ⎫
0.37
⎧cos(68º ) ⎫ ⎧
⎪
⎪ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪
⎪
=
cos(35º
)
0.82
⎨
⎬ ⎨
⎬ = ⎨0.82 ⎬
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎩ cos(α) ⎭ ⎪⎩ 1 − (0.37) 2 + (0.82) 2 ⎪⎭ ⎩ 0.43⎭
⎡80 50 60 ⎤ ⎧0.37 ⎫ ⎧ 96.99 ⎫
JG ⎢
⎪
⎪ ⎪
⎪
Τ = ⎢50 160 −75⎥⎥ ⎨0.82 ⎬ = ⎨117.22 ⎬
⎢⎣60 −75 100 ⎥⎦ ⎩⎪ 0.43⎭⎪ ⎩⎪ 4.47 ⎭⎪
Mecânica dos Sólidos
1ªAula
47
Problema 3
G
T n = σ n = T .n = 134.3MPa
T
Tt = σ t =
T − Tn
2
2
= 71.63MPa
ls =
Tx − lTn 96.99 − 0.37 × 134.3
=
= 0.65
Tt
71.63
ms =
ns =
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Ty − mTn
Tt
=
117.22 − 0.82 ×134.3
= 0.10
71.63
Tz − nTn 4.47 − 0.43 × 134.3
=
= −0.75
Tt
71.63
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48
Problema 4
4. No ponto P = {1,1,1} de um corpo material para um
plano de corte a cuja equação é x+y-z-1=0, a tensão
G G
resultante é : T(P, n) = {30,100, −10}
Determine no ponto P, as componentes normal e
tangencial da tensão T.
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Problema 4
O versor da normal a um plano cuja equação é
ax+by+cz+d=0 é:
{a, b, c} consequente o versor da normal ao plano
a 2 + b2 + c2
G
referido no enunciado é: n=
{1,1, −1}
1 ⎫
⎧ 1 1
,−
=⎨ ,
⎬
3⎭
12 + 12 + 12 ⎩ 3 3
⎧ 1 ⎫
⎪
⎪
3
⎪
⎪
JG G
⎪ 1 ⎪ 140
e a tensão normal é: Tn = σ n = T.n = {30,100, −10} ⎨
MPa
⎬=
3
⎪ 3 ⎪
⎪ 1 ⎪
⎪−
⎪
⎩ 3⎭
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Problema 4
A tensão tangencial é:
2
Tt =
T − Tn
2
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2
10 402
⎛
⎞
140
= 900 + 10000 + 100 − ⎜
MPa
⎟ =
3⎠
3
⎝
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Problemas Propostos
Ver em conteúdos Capítulo I e resolver os problemas que
têm a ver com o conteúdo da aula. Os Problemas iniciais.
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