X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
GEOPLANO CIRCULAR: UM ALIADO NO ENSINO DA TRIGONOMETRIA
Elizabethe Gomes Pinheiro
CIEP 146 – SPA -RJ
[email protected]
Daniele Tinoco Pereira
CIEP 146 – SPA -RJ
[email protected]
Marilene da Silveira Barbosa
CIEP 146 – SPA -RJ
[email protected]
Resumo: Este trabalho surgiu da necessidade observada na aplicação do conteúdo
trigonometria no Ensino Médio e na Graduação. A Geometria é parte importante no
currículo de matemática. Durante algum tempo foi abandonada. Percebemos isso
claramente, na organização dos livros didáticos que traziam a parte de geometria sempre
nos capítulos finais. Às vezes esses conteúdos eram visto de forma rápida apenas no 4º
bimestre através de procedimentos mecânicos. Para uma aprendizagem significativa se
faz necessário criar e recriar materiais apropriados para esse fim. Esse trabalho tem o
objetivo de mostrar como o Geoplano Circular pode ser um recurso facilitador da
aprendizagem de conteúdos significativos de Trigonometria.
Palavras-chave: Geoplano Circular; Geometria; Trigonometria.
Geometria: Qual a sua importância?
A Geometria é um meio de apreensão da nossa relação com o espaço. Os
primeiros conhecimentos geométricos são de origem empírica. As atividades
Geométricas favorecem o desenvolvimento: da percepção espacial, da habilidade de
observação do espaço tridimensional e da elaboração de meios de se comunicar a
respeito desse espaço. Podem prevenir certas dificuldades de aprendizagem, favorecer
uma atitude positiva em relação ao estudo da matemática. O estudo da Geometria é um
forte instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico.
A Geometria ainda está ausente de muitos planejamentos. Quais as razões
dessa omissão? Uma delas é que muitos professores não dominam os conteúdos a
serem ministrados. Considerando que o professor não conhece o suficiente dessa
disciplina ,também não terá conhecimento de sua abrangência, beleza e da importância
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da mesma para a sociedade. A outra causa dessa omissão é a importância exagerada que
é dispensada ao livro didático, onde este é visto como o próprio planejamento.
Como a geometria ainda é vista nos livros? Muitos dele fazem uma abordagem
como um conjunto de definições, propriedades, fórmulas e regras a serem seguidas sem
discussão. Como verdade absoluta, longe de sua bela natureza histórica.
A partir dos anos setenta, iniciou-se em todo o mundo, um movimento a favor do
resgate do Ensino da Geometria, visando ampliar sua participação na formação integral
do aluno. Esse movimento visava, entre outros objetivos, induzir o aluno no
entendimento de aspectos espaciais do mundo físico desenvolvendo sua intuição e seu
raciocínio espaciais.
A aprendizagem da Trigonometria
Alguns conceitos matemáticos são de difícil assimilação, especialmente aqueles
referentes a Geometria. No processo de ensino-apredizagem resume-se a mostrar figuras
e modelos, analisar teoremas e a resolução de problemas-padrão.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o uso de
recursos didáticos, incluindo alguns materiais específicos. No entanto,
na prática, nem sempre há clareza do papel desses recursos no
processo ensino-aprendizagem, bem como da adequação do uso
desses materiais, sobre os quais se projetam algumas expectativas
indevidas.
( PCN,1998,23)
Ensinar especificamente o conteúdo trigonometria não é uma tarefa fácil.
Deparamo-nos com a carência de determinados conceitos geométricos por parte dos
alunos e muitas vezes por parte do professor. Essas dificuldades são antigas. Morey e
Brito afirmam que:
Analisando as dificuldades encontradas pelos professores podemos
afirmar que tais dificuldades estão intimamente relacionadas à
formação escolar das décadas de 70 e 80 caracterizadas, entre outros
aspectos, pelo descaso para com a geometria e a trigonometria, pela
formalização precoce de conceitos geométricos e trigonométricos –
quando esses eram estudados - e pela memorização de procedimentos
sem a compreensão deles (BRITO; MOREY, 2004, p.31).
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Para amenizar algumas dificuldades que surgem no processo de ensinoaprendizagem da trigonometria, apresentamos como proposta a utilização do Geoplano
Circular, que é um modelo matemático que permite traduzir ideias matemáticas. O
geoplano foi introduzido nas salas de aulas pelo professor Calebe Gattegno em 1961,
do Institute os Education London Universite. A partir deste, muitos outros
pesquisadores em Educação Matemática utilizam o geoplano como uma forte
ferramenta para o ensino de Geometria, inclusive para cegos.
Geoplano circular
O Geoplano circular ainda é pouco explorado. O modelo apresentado, bem como
as atividades que aqui serão desenvolvidas foram elaborados especificamente para o
ensino da trigonometria e suas funções.
É de fácil observação que os materiais concretos são alternativas interessantes
para que alunos formulem hipóteses, troquem idéias, façam descobertas, ou seja,
enriqueçam o momento de aprendizagem.
Segue abaixo a relação de algumas atividades propostas .
Geoplano Circular e Trigonometria
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Obs.: Todas as atividades serão realizadas com o auxílio do Geoplano Circular
1) Obtenha o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h 30 min.
2) Localize a menor determinação positiva dos seguintes ângulos:
a) 750º = cor branca
b) 825º = cor amarela
c) 3030º = cor verde
d) 1530º = cor lilás
3) Circunferência Trigonométrica é uma circunferência orientada, de raio
unitário
( r = 1 ) sobre a qual um ponto O é a origem de medida de todos os arcos
nela contados.
Localize na circunferência trigonométrica ( no geoplano circular):
Os eixos do plano cartesiano
Os quadrantes ( sentido anti-horário ) .
Determine cada quadrante.
1º quadrante = cor lilás
2º quadrante = cor branca
3º quadrante = cor verde
4º quadrante = cor amarela
4) O Seno de um ângulo é a ordenada do ponto-extremidade do arco. Os
sinais do seno dos ângulos do 1º e 2º quadrantes são positivos e os do 3º e 4º
quadrantes , negativos.
O cosseno de um ângulo é a abscissa do ponto-extremidade do arco. Os sinais
do cosseno dos ângulos do 1º e 4º quadrantes são positivos e os do 2º e 3º quadrantes,
negativos.
No Geoplano circular fica fácil! Observe-o e determine os sinais de :
a) sen 30º
e) cos 300º
b) sen 105º
f) cos 105º
c) sen 60º
g) cos 60º
d) sen 90º
h) Crie você
5 )Represente na circunferência trigonométrica as extremidades dos arcos:
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a) 45º , 135º , 225º e 315º ( cor lilás )
b) 30º , 150º , 210 º e 330º ( cor branca )
c) 60º , 120º , 240º e 300º ( cor verde )
Observe os arcos que foram representados.
Agora determine os simétricos dos ângulos notáveis:
30º ( cor branca )
45º ( cor lilás )
60º ( cor verde).
6) Comprove que :
a) cos 60º é igual a 0,5
b) sen 60º é maior que 0,5
c) cos 30º é igual ao seno de seu complemento
d) sen 30º é igual ao cosseno de seu complemento
e) sen 90º é igual a 1
f)
cos 90º é igual a zero
g) seno e cosseno de 45º são iguais
h) tangente de 45º é igual a 1
7) Monte o círculo trigonométrico no Geoplano Circular. Com elástico verde
marque o eixo x e com elástico branco marque o eixo y. Observe cada quadrante que foi
formado. Complete as tabelas com os sinais do seno e do cosseno:
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
sen x
cos x
8) Valores notáveis do seno e cosseno:
rad
0
π/2
π
3π/2
2π
Grau
0º
90º
180º
270º
360º
sen x
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cos x
9) No Geoplano Circular ( Círculo trigonométrico ) localize o ângulo de 30° . Logo
após estique o elástico na vertical e na horizontal. Dessa forma você estará localizando
os simétricos do ângulo de 30°. Com o mesmo procedimento, complete os simétricos
dos ângulos notáveis
30º
45º
60º
π/6
π/4
π/3
10) Obtenha os valores de seno e cosseno dos seguintes ângulos.
Primeiro localize o ângulo, com elástico no centro e no ângulo procurado. Se
quiser achar o seno coloque um elástico esticado na horizontal em direção ao eixo y.
Para encontrar o cosseno faça o movimento contrário
a) sen 120º =_____
cos 120º = _____
b) sen 330° = _____
cos 330º = _____
c) sen 135º = _____
cos 135º = _____
d) sen 225º = _____
cos 225º = _____
e) sen 210º = _____
cos 210º =_____
f) sen 780º = ______
cos 780º = _____
11) Simplifique :
sen ( π + α ) . sen (π – α)
sen ( - α )
12) Simplifique :
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3sen 0º + 5cos 180º - 7sen 270º
sen² 90º + cos² 180º
13) Resolva no intervalo 0 ≤ x < 2π
a) sen x = -1
b) sen x = - ½
c) cos x = - ½
d) cos² x = ½
14) Mostre que sen² x + cos ² x = 1
15) Obtenha o valor da expressão :
sen 3x + cos 5x ,
para x = 30º
sen 4x
Demonstre a igualdade :
sen ( π – α ) = sen ( 180°- α ) = sen α
Demonstre a igualdade :
cos ( π – α ) = cos ( 180° - α ) = - cos α
Demonstre a igualdade :
sen ( π + α ) = sen ( 180 ° + α ) = - sen α
Demonstre a igualdade :
sen ( 2π – α ) = sen ( 360° - α ) = sen (-α) = - sen α
Demonstre a igualdade :
cos ( 2π – α ) = cos ( 360° - α ) = cos (-α) = cos α
Referências Bibliográficas
BRITO, A. de J.; MOREY, B. B. Geometria e trigonometria : dificuldades dos
professores de matemática do ensino fundamental. In: John A. Fossa (org).
Presenças Matemáticas. Natal: Edufrn, 2004.
D’AMBRÓSIO , Ubiratan, Educação Matemática: Da Teoria à prática, 10ª Edição,
Campinas, SP: Papirus, 1996.
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PIRES, Celia Maria Carolino, Currículos de Matemática: da organização linear à ideia
de rede, 1ª Edição, São Paulo, SP: FTD, 2000.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco e Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, MatemáticaEnsino Médio, 1ª séire , 5ª Edição, São Paulo: Editora Saraiva,2005.
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