TRIGONOMETRIA
Matemática | Trigonometria
Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
a
b
c
b
c
a
Demonstração:
AQc = AQ(a+b) - 4A T
c² = (a + b)²- 4ab/2
c
a
c
b
a
Matemática | Trigonometria
b
c² = a² + 2ab + b² - 2ab
c² = a² + b²
Triângulo Retângulo
S eno
O posto
H ipotenusa
C osseno
A djacente
H ipotenusa
T angente
O posto
A djacente
A
c
B
c
senα =
a
b
cos α =
a
c
tgα =
b
Matemática | Trigonometria
b
β
α
a
C
b
senβ =
a
c
cos β =
a
b
tg β =
c
Triângulo Retângulo
Tabela Trigonométrica de Valores Notáveis
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
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3
Triângulo Retângulo | Aula 34 | Página 69
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Triângulo Retângulo
Exemplo 3: Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um
ângulo de 60°, uma torre na margem oposta. Quando
ela se afasta 40 m, esse ângulo é de 30°. A largura do
rio é:
a. 5 m
b. 10 m
c. 20 m
d. 20! 3 m
e. n.d.a.
y
30°
40m
60°
x
rio
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Triângulo Retângulo
30°
40m
120°
30°
60°
x
40m
rio
a. 5 m
b. 10 m
c. 20 m
d. 20√3 m
e. n.d.a.
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y
Cos60° =
1
x
=
2 40
x = 20
x
40
Triângulo Retângulo
Exemplo: (UFSC 2012) Um viajante sobe uma trilha com 30º
de inclinação constante a partir da base de uma árvore,
conforme a Figura 2. Após subir 25 m em linha reta e
estando em pé, o viajante verifica que seus olhos estão
no mesmo nível do topo da árvore. Se a altura do
viajante é 1,80 m e seus olhos estão a 10 cm do topo de
sua cabeça, a árvore mede 14,30 m.
x
o
sen30 =
Resolução:
25
1
x
=
⇒ x = 12,5
2 25
1,7m
25m
x
Altura = 12,5 + 1,7 = 14,2m
Incorreto
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Triângulo Retângulo
Exemplo 2: (FAFI) Com base na figura abaixo,
podemos concluir que a área do triângulo ACD vale:
25 2
a)
2
b)24
25 3
c)
2
d)25
y
10
25 2
e)
3
Matemática | Trigonometria
x
Resolução:
x
o
sen30 =
10
1
x
=
2 10
x=5
y
cos30 =
10
3
y
=
2
10
y=5 3
o
x.y 5.5 3 25 3
=
=
A=
2
2
2
Gabarito: c
Triângulo Retângulo
Teorema Angular de Tales
γ
α
β
Si = α + β + γ = 180°
Se = 360°
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Triângulo Retângulo
Ângulos Complementares
α
β
a + β = 90°
senα = cosβ
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Triângulo Retângulo
Relação Fundamental
seno
Ciclo Trigonométrico
α
cosseno
sen²α + cos²α = 1
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Triângulo Retângulo
Ângulos Complementares
Exemplo: Calcule
sen65o
x = log
cos25o
Resolução:
65º + 25º = 90º
Ângulos complementares, logo sen 65º = cos 25º.
sen65o
x = log
sen65o
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x = log1
x=0
S = {0}
Triângulo Retângulo
Perímetro de Triângulos
a
c
b
2P = a + b + c
a+b+c
P=
2
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Triângulo Retângulo
Áreas de Triângulos Retângulos Mais usual a c b.c
A=
2
b Produto dos catetos dividido por dois. Exemplo 6: Calcule a área do triângulos retângulo abaixo. 12 h
5 13 Matemática | Trigonometria
Resolução:
5.12
A=
= 30u.a.
2
ARCOS E ÂNGULOS:
A
O
m (AB) = θ
θ
B
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Ângulo
Central
ARCOS E ÂNGULOS: (SISTEMAS DE UNIDADES)
GRAU
SISTEMA SEXAGESIMAL
(1º = arco equivalente a 1/360 da circunferência)
GRADO
SISTEMA CENTESIMAL
(1 gr = arco equivalente a 1/400 da circunferência)
RADIANO
SISTEMA CIRCULAR
(1 rad. = arco da circunf. do tamanho raio)
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ARCOS E ÂNGULOS: Radianos
m (AB)
= Raio
A
θ = 1Radiano
RAIO
O
C = 2.π.R
θ
C = 2.π.1Radiano
B
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C = 2.π rad.
ARCOS E ÂNGULOS: Radianos (Conversão)
120º EM RAD. ?
180º
120º
π rad.
x rad.
180º. x = 120º . π
x = 120º . π
180º
x = 2π rad.
3
Matemática | Trigonometria
ARCOS E ÂNGULOS: Radianos
Qual arco em graus representa o ângulo que tem
medida mais próxima de 1 radiano é:
180º = 1.π rad.
1 rad. =
1 rad.
Matemática | Trigonometria
180º
π
≅ 57,32º
≅ 3,14
ARCOS E ÂNGULOS:
Conversões
360º -
400gr
-
2πrad
180º -
200gr
-
πrad
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) (UFSC – 2001) 2 ∈ 1º Q.
( V ) (UFSC – 2012) sen 10 > 0.
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ARCOS E ÂNGULOS:
Ângulo
2π rad
α
Arco
2πR
L
2π. L = 2πR . α
L = 2πR . α
2π
L = α. R
(α EM RADIANOS)
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Triângulo Retângulo | Aula 35 | Página 71
Matemática | Trigonometria
ARCOS E ÂNGULOS:
(UFSC) Calcule (apresentando os cálculos) a distância,
em quilômetros, entre A e B, considerando a Terra uma
esfera de raio 6400 km e π igual a 3, tendo em vista a
posição latitudinal dos pontos A e B.
B
90º
l = α. R
l = π/2 . 6400
l = 3/2 . 6400
l = 9600km
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A
ÂNGULOS DO RELÓGIO
360º/12 = 30º
Regra de três
Ponteiro dos minutos
30º
xº
-
60 min
y min
Ponteiro dos horas
ou
30º - 60min - 1h
xº - y min - zh
a = 60.h - 11.min
2
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ÂNGULOS DO RELÓGIO
(ITA) Calcule o menor ângulo formado entre os
ponteiros de um relógio que marca 13:13.
α= 60.h - 11.min
2
Nas horas, colocar 13 ou 1?
R: Indiferente, um fornece
o menor ângulo e o outro
o maior.
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a = 60.1 - 11.13
2
a = - 41,5º
Considere-o positivo,
41,5º.
ÂNGULOS
DO RELÓGIO
(Fuvest-SP) O ângulo agudo formado pelos ponteiros
de um relógio à 1 hora e 12 minutos é:
a) 27°
b) 30°
c) 36°
d) 42°
e) 72°
a = 60.h - 11.min
2
a = 60.1 - 11.60
2
a = -36
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