Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Gabarito da 2a Prova de Geometria I - Matemática - Monica
29/05/2015
1a Questão: (4,5 pontos) (solução na folha 1)
1. Na figura abaixo determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento.
Solução
• Repare que os triângulos EOD, CDO e BCO são isósceles com base EO, CD e
BC, respectivamente.
Logo, ED, OD, OC e OB são congruentes e ED = OD = OC = OB = a.
• No triângulo EOD, como ι > κ = λ, então EO > a.
b = 90◦ > α = β, então BC > a.
• No triângulo BCO, como O
• No triângulo ABO, como ζ > η > θ, então AB > AO > a.
• No triângulo CDO, como γ < ² = δ, então DC < a.
Logo, o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento é γ.
2. Seja P um ponto no interior do triângulo ABC. O perı́metro p de ABC é definido
p
como p = AB + BC + CA. Verifique se AP + BP + CP > .
2
Solução
Pela desigualdade triangular,
• AB < AP + P B.
• BC < BP + P C.
• AC < AP + P C.
Logo
p = AB + BC + AC < AP + P B + BP + P C + AP + P C = 2[AP + BP + CP ]
p
e portanto AP + BP + CP > .
2
3. O interior do cı́rculo com centro O e raio r é um conjunto convexo do plano?
Solução Feita em aula.
2a Questão: (5 pontos) (solução na folha 2)
1a parte Aqui é válido usar todos os axiomas e resultados obtidos até o momento.
1. Quanto mede a altura de um triângulo equilátero cujos lados medem um centı́metro
cada?
Solução
Seja ABC um triângulo equilátero cujos lados medem um centı́metro cada.
Seja D o pé da perpendicular baixada do ponto C sobre o segmento AB.
Sabemos que em um triângulo equilátero, a mediana CD é altura do triângulo e
b Logo DB = 1/2.
bissetriz de C.
Como CDB é triângulo retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para
calcular o valor de CD:
µ ¶2
1
2
CD +
= 12 .
2
√
Logo CD = ( 3/2 ) cm.
2. Use o item anterior para provar que se um triângulo retângulo tem ângulos agudos
de 30◦ e 60◦ , então seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.
Solução
b = 30◦
Seja EF G um triângulo retângulo com hipotenusa F G e ângulos agudos G
b
e Fb = 60◦ . Seu menor cateto é EF , oposto ao menor ângulo interno G.
No item anterior, como ABC é um triângulo equilátero, seus ângulos internos
são todos congruentes, medindo 60◦ . Como a mediana CD é também a bissetriz
b o ângulo B CD
b = 30◦ .
de C,
2
b = 30◦ = B CD
b e Fb = 60◦ = B,
b temos que os triângulos EF G
Dos fatos G
e DBC são semelhantes.
FG
EF
=
, isto é, F G = 2EF , o menor cateto mede metade
1
1/2
do comprimento da hipotenusa.
Em particular,
2a parte Aqui não é válido usar os resultados obtidos a partir do axioma das paralelas.
1. Dê uma nova prova de que se um triângulo retângulo tem ângulos agudos de 30◦
e 60◦ , então seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.
Solução
b = 30◦
Seja ABC um triângulo retângulo com hipotenusa BC e ângulos agudos C
b = 60◦ . Seu menor cateto é AB, oposto ao menor ângulo interno C.
b
eB
Seja D ∈ SBA , tal que DA = AB. Ligamos D ao ponto C.
b = 90◦ = C AB(ângulos
b
Como DA = BA (por construção), C AD
suplementares)
e AC = AC (lado comum), por congruência LAL, ADC = ABC.
b = ABC
b = 60◦ , DCA
b = B CA
b = 30◦ , isto é, DCB
b = 60◦ e
Em particular, ADC
o triângulo DBC é equilátero.
Logo
AB =
3
DB
= CB,
2
o menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.
2. Prove que em um triângulo retângulo se seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa, então seus ângulos agudos α e β satisfazem β = 2α.
Solução
Seja ABC um triângulo retângulo com hipotenusa BC e menor cateto AB satBC
isfazendo AB =
. Seja α o ângulo oposto ao cateto AB e β o ângulo oposto
2
ao cateto AC.
Como no item anterior, seja D ∈ SBA , tal que DA = AB. Ligamos D ao ponto C.
b = 90◦ = C AB
b e AC = AC, por congruência LAL,
Como DA = BA, C AD
ADC = ABC.
Em particular DC = BC = 2AB = DB, isto é, o triângulo DBC é equilátero.
b = B CA
b = α, DCB
b = 2α e DCB
b = β, temos β = 2α.
Logo de DCA
3a Questão: (1,5 ponto) (solução na folha 3)
Pode existir um triângulo ABC em que a bissetriz do ângulo  e a bissetriz do ângulo
externo do vértice B sejam paralelas?
Solução
b e SBE a bissetriz de C BD,
b
Seja D ∈ SAB , B entre A e D. Sejam SAF a bissetriz de A
ângulo externo ao vértice B.
Se SAF //SBE então
b
b C BD
A
=
, pois são ângulos correspondentes.
2
2
4
b > A,
b pelo Teorema do ângulo externo.
Absurdo, pois C BD
Portanto não pode existir um triângulo ABC em que a bissetriz do ângulo  e a bissetriz do ângulo externo do vértice B sejam paralelas.
5