Olá pessoal!
Pensei em escrever este artigo quando estava resolvendo as provas de Raciocínio
Lógico do TCM-RJ. Nas provas para os cargos de Engenheiro e Analista de
Informação, apareceu uma questão muito interessante que envolve o ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio.
A primeira vez que vi a fórmula que resolve problemas deste tipo foi na Revista do
Professor de Matemática (não lembro qual o número).
Sejam
e
os ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às H horas e M
minutos. É possível encontrar um desses ângulos (em graus) pela seguinte fórmula:
|11
60 |
2
Vamos treinar o uso desta fórmula com algumas questões de concursos anteriores e,
em seguida, resolver a questão do concurso do TCM-RJ (realizada em fevereiro de
2011).
(Companhia Docas do Estado de São Paulo 2010/FGV) Em um relógio de ponteiros, o
ponteiro dos minutos dá uma volta completa em 60 minutos. Nesse mesmo período, o
ponteiro das horas gira 30°. O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7
horas e 20 minutos é
(A) 90°
(B) 100°
(C) 110°
(D) 80°
(E) 70°
Resolução
Queremos calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7
horas e 20 minutos. Assim,
e
.
|11
60 |
2
|11 · 20
|220
60 · 7|
2
420|
2
| 200|
2
200
2
°
Letra B
Muito fácil, não?!
(Analista de Sistemas – Camara SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 11: 50 horas?
a) 35 graus
b) 45 graus
c) 55 graus
d) 65 graus
e) 60 graus
1 www.pontodosconcursos.com.br
Resolução
11 e
Neste caso,
|11
50.
60 |
|11 · 50
2
60 · 11|
|550
660|
2
2
| 110|
2
110
2
°
Letra C
(Programador – Câmara Municipal SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 09: 35 horas?
a) 66,6 graus
b) 45,5 graus
c) 80 graus
d) 70 graus
e) 77,5 graus
Resolução
Neste caso,
9e
35.
|11
60 |
|11 · 35
|385
60 · 9|
2
2
540|
2
| 155|
2
155
2
, °
Letra E
(Assessor de Imprensa – Câmara Municipal SJC 2009/FIP) Qual é o valor do menor
ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 14:20 horas?
a) 30 graus
b) 40 graus
c) 50 graus
d) 60 graus
e) 70 graus
Resolução
Lembre-se que o relógio analógico tem a numeração de 1 a 12. Portanto, se o relógio
marca 14:20 horas, então devemos usar
2e
20.
|11
60 |
2
|11 · 20
60 · 2|
2
|220
120|
2
|100|
2
100
2
°
Letra C
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(Assistente Administrativo – UFABC 2006) O menor ângulo formado pelos ponteiros
de um relógio quando este marca 13 horas e 28 minutos é:
a) 124º
b) 138º
c) 144º
d) 140º
e) 114º
Resolução
Novamente devemos nos lembrar que a numeração do relógio analógico vai de 1
a 12. Portanto, devemos utilizar
e
.
|11
60 |
|11 · 28
2
60 · 1|
|308
2
60|
2
|248|
2
248
2
°
Letra A
Agora vamos à questão do concurso do TCM...
(Engenheiro – TCM-RJ 2011/FJG) Os ponteiros de um relógio se superpõem várias
vezes ao dia. O intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas é de
aproximadamente:
(A) 1 h 5 min 27 s
(B) 1 h 6 min 12 s
(C) 1 h 7 min 31 s
(D) 1 h 8 min 24 s
(E) 1 h 12 min 11 s
Resolução
Quando os ponteiros de um relógio se superpõem, o ângulo formado por eles é igual a
zero.
Uma notável superposição ocorre quando os dois ponteiros apontam para o número
12.
Vamos supor, então que o relógio marca exatamente 12 h 00 min. A próxima
superposição acontecerá às 13 horas e M minutos. Como o relógio tem a numeração
de 1 a 12, então devemos utilizar
. Nesta superposição, o ângulo formado é
igual a zero.
Assim,
|11
60 |
2
0
O número 2 que está dividindo o primeiro membro, “passa multiplicando” para o
segundo membro.
|11
|11
60 |
60 |
0·2
0
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O módulo de um número é zero se e somente se o número for igual a zero. Portanto,
11
Como
60
0
11
60
11
60 · 1
1, então:
60
11
Vamos dividir 60 minutos por 11.
60 min
5 min
11
5
Neste início de cálculo já podemos marcar a alternativa A.
Para continuar a divisão, devemos transformar o resto para segundos. Como 1 minuto
é igual a 60 segundos, então 5
5 · 60
300 .
Vamos dividir 300 segundos por 11.
300 s
3s
11
27
Assim, a próxima coincidência será às 13 horas, 5 minutos e 27 segundos
(aproximadamente).
Como a primeira superposição aconteceu às 12 horas, então o intervalo entre duas
superposições consecutivas é de, aproximadamente, 1 hora, 5 minutos e 27
segundos.
Letra A
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gratuitamente.
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Um abraço e até o próximo ponto! Guilherme Neves 5 www.pontodosconcursos.com.br