Estruturas cristalinas - aplicações [6]
¾ Questão 1: Calcule o número de átomos existentes em um
grama de chumbo (Pb), sabendo-se que a sua massa atômica
corresponde a 207,2.
Resolução: como a massa atômica corresponde a um mol de
átomos, de uma regra de três simples tem-se
6,02 . 1023 átomos Pb ⎯→ 207,2 g
X átomos Pb ⎯→ 1 g
6,02 ⋅10 átomos ⋅1g
X=
207,2 g
23
X = 2,90 . 1021 átomos Pb / g Pb
1>
Estruturas cristalinas - aplicações
¾ Questão 2: O óxido de alumínio (Al2O3) tem densidade de
3,8 g/cm3. Quantos átomos existem por cm3 ? E por grama?
Massas atômicas: Al = 27; O = 16.
Resolução: A molécula contém 2 átomos de Al e 3 átomos de
oxigênio. A massa molecular será:
1 mol Al2O3 = 2 mols Al + 3 mols O
massa molecular Al2O3 = 2 . 27 + 3 . 16 = 102 g/mol
A massa de 1 cm3 corresponde a 3,8 g, logo:
(2 + 3) . 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 102 g
X átomos ⎯→ 3,8 g
3,8 ⋅ (2 + 3) ⋅ 6,02 ⋅10
X=
102
23
X = 1,12 . 1023 átomos.cm-3
continua
2>
Estruturas cristalinas - aplicações
¾ Questão 2: O óxido de alumínio (Al2O3) tem densidade de
3,8 g/cm3. Quantos átomos existem por cm3 ? E por grama?
Massas atômicas: Al = 27; O = 16.
Resolução: Para determinarmos a quantidade de átomos
existentes em um grama de alumina, calcula-se a seguinte
proporção
(2 + 3) . 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 102 g
X átomos ⎯→ 1 g
1 ⋅ (2 + 3) ⋅ 6,02 ⋅10
X=
102
23
X = 2,95 . 1022 átomos.g-1
3>
Estruturas cristalinas - aplicações
¾ Questão 3: Sabe-se que o ouro (Au) tem um estrutura cristalina CFC, massa e raio atômico correspondentes a 197,0 e
1,44 Å, respectivamente. Calcule:
(a) o parâmetro de rede da célula unitária (ao);
(b) a densidade teórica do ouro;
(c) o fator de empacotamento da estrutura cristalina;
(d) a densidade atômica linear na direção [110];
(e) a densidade atômica planar no plano (100);
(f) o espaçamento entre os planos cristalinos (200);
c
c
b
b
a
a
4>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução: (a) parâmetro de rede da célula unitária (ao);
Aplicando Pitágoras:
(4 R) = a + a
2
4R
ao
ao
2
o
2
o
4⋅ R
ao =
2
substituindo-se o raio atômico do
ouro obtém-se
plano (100)
ao = 4,07 Å
5>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução: (b) a densidade teórica do ouro;
massa / célula ⋅ unitária
densidade =
volume / célula ⋅ unitária
número de átomos em CFC: 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos
6,02 . 1023 átomos ⎯→ 197 g de ouro
4 átomos ⎯→ M
M = 1,30 . 10-21 g de ouro
O volume da célula unitária será
V = ao3 = (4,07 . 10-8)3 = 6,74 . 10-23 cm3
logo a densidade do ouro é dada por
1,30 ⋅10 −21
-3
d=
d
=
19,28
g.cm
6,74 ⋅10 − 23
6>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução: (c) fator de empacotamento do ouro;
volume(átomos )
FE =
volume(célula ⋅ unitária )
número de átomos em CFC: 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos
⎡4
⎡4
3⎤
3⎤
Vat = 4 ⎢ π ⋅ R ⎥ = 4 ⎢ π ⋅ (1,44) ⎥ = 50,03
⎣3
⎦
⎣3
⎦
O volume da célula unitária será
V = ao3 = (4,07)3 = 67,42
logo
50,03
FE =
67,42
FE = 0,74
7>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução: (d) a densidade atômica linear na direção [101];
A densidade linear é definida em
átomos / unidade de comprimento
c
na direção [101] existem 2 átomos
módulo de [101]:
b
a
L = ao2 + ao2 → L = 2 ⋅ ao
logo a densidade linear em [101] será:
2
DL =
2 ⋅ (4,07.10 −7 )
DL = 3,47 . 106 átomos.mm-1
8>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução: (e) a densidade atômica planar no plano (100);
A densidade planar é definida em
átomos / unidade de área
no plano (100) existem 2 átomos
ao
A = ao2 = (4,07 ⋅10 −7 ) 2
plano (100)
logo a densidade planar em (100) será:
2
DP =
−7 2
(4,07.10 )
DP = 1,20 . 1013 átomos.mm-2
9>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução: (f) espaçamento entre planos (200);
O espaçamento entre planos (hkl) em estruturas cúbicas
pode ser calculado por
d hkl =
ao
h +k +l
2
2
2
aplicando os índices de Miller na fórmula, obtém-se
d hkl =
4,07
22 + 02 + 02
dhkl = 2,03 Å
10>
Estruturas cristalinas - aplicações
¾ Questão 4: O titânio apresenta uma transformação alotrópica a 880°C. Durante o resfriamento o metal muda de uma
estrutura CCC (ao = 3,32Å) para uma outra HC (ao = 3,32Å;
c = 4,683Å). Calcule a variação de volume durante esta
transformação, em cm3 por grama de titânio.
Massa atômica: 47,9
c
c
resfriamento
b
b
a
a
11>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução:
torna-se necessário conhecer o número de átomos ocupados
em cada célula unitária CCC:
1/8 . 8 + 1 = 2 átomos /célula unitária
c
o volume do cubo unitário será
b
a
volume C.U. = (3,32)3 = 36,59 Å3
Vccc = 36,59 Å3
12>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução:
fazendo um procedimento semelhante para a HC:
{1/6 . 6 + 1/2} + 3 = 6 átomos por célula unitária
VHC
c
VHC
b
⎡ 1
a 3⎤
= ⎢6 ⋅ ⋅ a ⋅
⎥ ⋅c
2 ⎦
⎣ 2
⎡ 1
(2,956) 3 ⎤
= ⎢6 ⋅ ⋅ (2,956) ⋅
⎥ ⋅ (4,683)
2
⎣ 2
⎦
a
VHC = 106,31 Å3
13>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução:
para um grama de titânio tem-se
6,02 . 1023 átomos ⎯→ 47,9 g de titânio
X átomos ⎯→ 1 g de titânio
CCC:
X = 1,25 . 1022 átomos / g de titânio
1,25 . 1022 átomos ⎯→ VC
2 átomos ⎯→ 36,59 Å3
VC = 2,28 . 1023 Å3
1,25 . 1022 átomos ⎯→ VH
6 átomos ⎯→ 106,31 Å3
VH = 2,21 . 1023 Å3
convertendo-se em cm3 verifica-se uma contração no volume:
ΔV = 0,228 – 0,221 = 0,007 cm3 / grama de titânio
14>
HC:
Estruturas cristalinas - aplicações
¾ Questão 5: As massas atômicas do cloro e do sódio são
35,45 e 22,99 respectivamente. Sendo a densidade do NaCl
2,16 g.cm-3, calcule o parâmetro de rede da estrutura tipo CFC.
Resolução:
parâmetro de rede: ao = (2R + 2r)
densidade = (massa)/(volume)
15>
Estruturas cristalinas - aplicações
Resolução:
massa Cl: 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos
6,02 . 1023 átomos ⎯→ 35,45 g Cl
4 átomos ⎯→ X
X = 2,35 . 10-22 g de cloro
massa Na: ¼[4 + 4 + 4] + 1 = 4 átomos
6,02 . 1023 átomos ⎯→ 22,99 g Na
4 átomos ⎯→ Y
Y = 1,52 . 10-22 g de sódio
massa NaCl: (1,52 + 2,35).10-22 = 3,87 . 10-22 g de sal
d = m/V → V = m/d → V = (3,87 . 10-22) / 2,16
V = 1,79 . 10-22 cm3 = 179Å3
logo o parâmetro de rede será ao = 3 179 → ao = 5,63Å
16