Grupos e álgebras de Lie
Carlos José Matheus
[email protected]
Sociedade Brasileira de Matemática
Rio de Janeiro - RJ, Brasil
2014
Coordenação Editorial:
Flávia Morgana de O. Jacinto
Editora: SBM
Impresso na Gráfica:
Capa:
Patrocı́nio: Superintendência da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA)
Copyright by Carlos José Matheus
Direitos reservados, 2014 pela SBM.
Catalogação
Matheus, Carlos José
Grupos e álgebras de Lie - Rio de Janeiro, RJ:
SBM, 2014, 45p., 20,5 cm - (Minicurso Colóquio CO 2014 )
ISBN
1.Grupos de Lie.2.Geometria.3.Matemática.
Carlos José Matheus.
III Colóquio de Matemática da Região Norte. (2014. Manaus) Tı́tulo. Série
CDD - 51
Dedico estas notas à minha esposa Ana.
Agradecimentos
Ao Professor Dr. Elon Lages Lima, em cujos livros encontrei a inspiração para este trabalho.
Ao Professor Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy, pelo estı́mulo e pelos bons conselhos.
À inesquecı́vel Profa. Dra. Elza Furtado Gomide.
Prefácio
A teoria matemática iniciada por S. Lie tem seus primeiros profundos resultados no final do século XIX.
No século XX, principalmente a partir dos trabalhos de E. Cartan, C. Chevalley e H. Coxeter, a Teoria
de Lie caminha cada vez mais ao lado da Geometria. Conseqüência dessa feliz união foi o surgimento de
belı́ssimas teorias, em tempos recentes, como a dos espaços simétricos, variedades bandeira, a geometria
das ações isométricas, grupos cristalográficos, grupos de Lie métricos e muitas outras, com aplicações em
diversas áreas de pesquisa.
Historicamente ela decorre da idéia de uma ”versão geométrica” da Teoria de Galois, que trataria
equações diferenciais a partir de uma correspondência entre subespaços (topológicos) de uma variedade
diferenciável (que poderiam ser variedades integrais) e subálgebras de uma álgebra associada à variedade
ambiente, de modo análogo ao da correspondência de Galois, entre subcorpos de um corpo de raı́zes de
equações algébricas e subgrupos de um grupo de automorfismos associado.
Estas notas apresentam tópicos fundamentais da teoria de Lie, enfatizando a relação entre os grupos
de Lie e suas álgebras de Lie. O capı́tulo 1 trata das álgebras de Lie, em uma tentativa de evidenciar a
beleza e elegância dessa teoria algébrica. O capı́tulo 2 trata das variedades diferenciáveis, que vão formar o
background para a apresentação dos grupos de Lie. O capı́tulo 3 trata dos grupos de Lie e de suas relações
com as álgebras de Lie, passando por conceitos fundamentais como o da aplicação exponencial e o da representação adjunta.
Assumimos que o leitor tenha familiaridade com aspectos fundamentais da Teoria de Grupos, da Álgebra
Linear e da Topologia, além de um conhecimento equivalente a quatro semestres de Cálculo Diferencial e
Integral. Seria recomendável (mas não estritatmente necessário) um curso elementar em Geometria Diferencial das Superfı́cies (como em [Carmo](2005)) e noções de Topologia Algébrica, essencialmente a Teoria dos
Espaços de Recobrimento (como em [Lima](1998)).
Conteúdo
1 Álgebras de Lie
1.1 Álgebras de Lie
1.2 Ideais e homomorfismos
1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes
1.4 Álgebras de Lie semisimples
1.5 A forma de Killing
1
1
3
6
9
10
2 Variedades diferenciáveis
2.1 Preliminares
2.2 A forma local das imersões
2.3 Superfı́cies em R3
2.4 O plano tangente
2.5 Subvariedades do espaço Rn
2.6 Variedades diferenciáveis
2.7 O espaço tangente
2.8 Subvariedades
2.9 Fluxos e campos vetoriais
12
12
14
15
18
20
23
26
30
32
3 Grupos de Lie
3.1 Grupos de Lie
3.2 Grupos de Lie conexos
3.3 Subgrupos de Lie
3.4 A exponencial
3.5 A representação adjunta
38
38
40
43
44
46
1
Capı́tulo 1
Álgebras de Lie
Álgebras de Lie
Definição 1 Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial g com um operador bilinear g × g → g dado por
(X, Y ) 7→ [X, Y ] que satisfaz
[Y, X] = −[X, Y ]
e
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0
quaisquer que sejam X,Y ,Z em g.
A primeira das duas condições acima é chamada anti-simetria. A outra é conhecida como a identidade
de Jacobi. As álgebras de Lie que vamos considerar serão todas de dimensão finita, reais ou complexas. O
operador da definição acima é chamado o bracket (ou o colchete de Lie). O vetor [X, Y ] é o bracket dos
vetores X e Y . Observemos que a primeira condição acima é equivalente a
[X, X] = 0 , ∀ X ∈ g.
Exemplo 1 Se g é uma álgebra linear associativa (um espaço vetorial com um produto associativo), definase o bracket [X, Y ] dos vetores X e Y em g por
[X, Y ] = XY − Y X
onde XY indica o produto original da álgebra g. É fácil verificar a identidade de Jacobi (exercı́cio) e a
anti-simetria é imediata. Portanto, com essa definição de bracket, g é uma álgebra de Lie.
Exemplo 2 Se g é a álgebra de todas as matrizes n × n com entradas reais ou complexas, com o produto
usual de matrizes, define-se o bracket de duas matrizes em g conforme o exemplo anterior. A álgebra de Lie
resultante é indicada com gl(n, R) ou gl(n, C).
Exemplo 3 Se V é um espaço vetorial e g é a álgebra de todos os endomorfismos de V (que são as transformações lineares de V em V ) com a operação de composição, define-se o bracket da mesma forma
[l, m] = l ◦ m − m ◦ l
e obtem-se uma álgebra de Lie de endomorfismos de V .
Indicamos com Eij a matriz cuja entrada na linha i e coluna j é 1 e todas as outras entradas são nulas.
Então {Eij / 1 ≤ i, j ≤ n} é uma base para gl(n, R) (com os escalares reais) ou para gl(n, C) (quando se
consideram escalares complexos). Segue-se que a dimensão real de gl(n, R) é n2 , que é a dimensão complexa
de gl(n, C). A dimensão real de gl(n, C) é 2n2 .
Exemplo 4 Uma matriz real n × n X é anti-simétrica se satisfaz
Xt + X = 0
2
onde X t indica a transposta da matriz X e 0 é a matriz nula n × n. Indica-se com so(n) o conjunto das
matrizes reais anti-simétricas n × n. É fácil ver que so(n) é um subespaço vetorial de gl(n, R). Além disso,
se X, Y ∈ so(n), tem-se
[X, Y ]t = (XY − Y X)t = Y t X t − X t Y t = (−Y )(−X) − (−X)(−Y ) = Y X − XY = −[X, Y ]
e segue-se que so(n) é uma álgebra de Lie, contida na
Se n = 3, as matrizes



0 0 0
E23 − E32 =  0 0 1  , E13 − E31 = 
0 −1 0
álgebra gl(n, R), com o mesmo bracket.
0
0
−1

0 1
0 0  e
0 0

E12 − E21
0
=  −1
0

1 0
0 0 
0 0
formam uma base para a álgebra de Lie so(3).
Definição 2 Se g é uma álgebra de Lie, uma subálgebra de Lie de g é um subespaço vetorial s de g que é,
por sua vez, uma álgebra de Lie, com o bracket de g. Equivalentemente: s é um subespaço de g e [X, Y ] ∈ s,
∀ X, Y ∈ s.
O exemplo acima exibe a álgebra de Lie so(n) como subálgebra de gl(n, R).
.
Exercı́cio: a dimensão de so(n) é n(n−1)
2
Sugestão: obtenha-se uma base para so(n) que seja como a base de so(3) no exemplo 4 (observe-se que
3(3−1)
2
= 3).
Exemplo 5 Generalizando o exemplo anterior, se J é uma matriz n × n qualquer, o subespaço das matrizes
X ∈ gl(n, R) que satisfazem
X t J = −JX
0 I
é uma álgebra de Lie, subálgebra de gl(n, R) (verificar). No caso em que J =
(com I = matriz
−I 0
identidade n × n) essa álgebra de Lie é conhecida como a álgebra real simplética e indicada com sp(2n, R).
Exemplo 6 A álgebra de Lie das matrizes complexas n × n de traço nulo
sl(n, C) = {X ∈ gl(n, C) / tr X = 0}
é um exemplo fundamental na Teoria de Lie. Para n = 2, os vetores
1 0
0 1
0
h=
,
e=
e
f=
0 −1
0 0
1
0
0
formam uma base (sobre o corpo dos complexos) para o espaço vetorial sl(2, C) e a estrutura de álgebra de
Lie é dada pelas relações
[h, e] = 2e , [h, f ] = −2f , [e, f ] = h.
Exercı́cio: provar as relações acima para sl(2, C).
Ideais e homomorfismos
Definição 3 Se g é álgebra de Lie, um ideal de g é um subespaço h que satisfaz
[X, Y ] ∈ h ∀ Y ∈ g , ∀ X ∈ h.
3
Observe-se que todo ideal é subálgebra.
Exemplo 7 O centro de uma álgebra de Lie g é o subespaço de g definido por
Zg = {X ∈ g / [X, Y ] = 0 ∀ Y ∈ g}
(Zg é o conjunto dos vetores de g que comutam com todos os elementos de g). É fácil mostrar que Zg é um
ideal, e portanto uma subálgebra.
Se k e h são subconjuntos de uma álgebra de Lie g, indica-se com [k, h] o subespaço gerado pelo conjunto
{[X, Y ]/X ∈ k, Y ∈ h}. Com essa notação tem-se [h, h] ⊆ h, se h for subálgebra e [g, h] ⊆ h, se h for um ideal.
Se g é álgebra de Lie, define-se, para X ∈ g, a transformação adX por
adX (Y ) = [X, Y ] ,
Y ∈ g.
Para cada X ∈ g, adX é um endomorfismo de g e a aplicação ad : g → End(g) dada por ad(X) = adX
satisfaz
ad([X, Y ]) = ad(X)ad(Y ) − ad(Y )ad(X) = [ad(X), ad(Y )] , ∀ X, Y ∈ g.
Exercı́cio: provar a igualdade acima (sugestão: identidade de Jacobi).
Definição 4 Se g e h são álgebras de Lie, um homomorfismo de g em h é uma transformação linear ϕ : g → h
que satisfaz
ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )] , ∀ X, Y ∈ g
Se ϕ tem inversa (se ϕ é biunı́voca e sobre) então ϕ é chamada um isomorfismo. Duas álgebras de Lie são
isomorfas se existe um isomorfismo entre elas. Indica-se com Hom(g, h) o conjunto de todos os homomorfismos de g em h.
Observe-se que duas álgebras de Lie isomorfas são isomorfas como espaços vetoriais e, em particular, têm a
mesma dimensão.
Definição 5 Um endomorfismo ϕ : g → g de uma álgebra de Lie g é uma derivação se satisfaz
ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), Y ] + [X, ϕ(Y )] ,
∀ X, Y ∈ g
Exercı́cio: vimos acima que a aplicação ad : g → End(g) é um homomorfismo. Além disso, para cada X ∈ g,
o endomorfismo adX é uma derivação.
Exercı́cio: o núcleo de um homorfismo ϕ : g → h é definido por
ker(ϕ) = {X ∈ g / ϕ(X) = 0}.
ker(ϕ) é um ideal de g. Se ϕ = ad : g → End(g), então ker(ϕ) = Zg , o centro da álgebra g.
Definição 6 Uma álgebra de Lie g é abeliana se [X, Y ] = 0 ∀ X, Y ∈ g. g é chamada simples se g não é
abeliana e os únicos ideais de g são 0 e a própria g (g não tem ideal não trivial).
Exemplo 8 Toda álgebra de Lie unidimensional é abeliana. Realmente, se g é gerada por X, então, quaisquer que sejam Y, Z ∈ g, existem escalares α, β tais que Y = αX e Z = βX. E logo [Y, Z] = [αX, βX] =
αβ[X, X] = 0. Portanto g é abeliana. Segue-se deste exemplo que se g é álgebra de Lie simples, então
dim g ≥ 2.
4
Exemplo 9 A álgebra de Lie formada pelo espaço R3 com o produto vetorial é um exemplo de álgebra de
Lie simples. Realmente, o produto vetorial é a forma bilinear
[ , ] : R3 × R3 → R3
dada por [X, Y ] = X × Y a partir das condições
i) X × Y é ortogonal ao plano gerado por X e Y
ii) kX × Y k é igual à área do paralelogramo gerado por X e Y
iii) {X, Y, X × Y } é base positiva de R3 (compatı́vel com a orientação canônica de R3 ).
Observe-se que o produto vetorial está bem definido e que se segue das condições acima, por unicidade,
que Y × X = −X × Y (exercı́cio). Se {e1 , e2 , e3 } é a base canônica de R3 (com a métrica dada pelo produto
escalar), as condições acima acarretam
e1 × e2 = e3 ,
e 2 × e3 = e1 e
e3 × e1 = e2
e segue-se da bilinearidade que
X ×Y =
3
X
k=1
xk ek ×
3
X
ys es = (x2 y3 − x3 y2 )e1 + (x3 y1 − x1 y3 )e2 + (x1 y2 − x2 y1 )e3 =
s=1
x
= 2
x3
x
y2 e − 1
y3 1 x3
x
y1 e + 1
y3 2 x2
y1 e .
y2 3
A anticomutatividade está verificada e a identidade de Jacobi é um exercı́cio fácil. Observe-se que
(e1 × e2 ) × e3 + (e2 × e3 ) × e1 + (e3 × e1 ) × e2 =
= e3 × e3 + e1 × e1 + e2 × e2 = 0 + 0 + 0 = 0.
Além disso a álgebra de Lie g definida pelo espaço R3 com o produto vetorial é uma álgebra de Lie simples.
Realmente, se a ⊆ g é um ideal e a 6= 0, tome-se um vetor X̃ ∈ a, X̃ 6= 0, e construa-se a partir de
X̃ uma base ortonormal positiva {X, Y, Z}. Então Z = X × Y = [X, Y ] está em a (pois a é ideal) e
Y = [Z, X] = −[X, Z] também está em a. Segue-se que a = g. Portanto os únicos ideais de g são 0 e g.
Exercı́cio: A álgebra de Lie g no exemplo acima é isomorfa á álgebra de Lie so(3).
Sugestão: o isomorfismo é dado por
e1 7→ E23 − E32 ,
e2 7→ E13 − E31 ,
e3 7→ E12 − E21 .
Lema 1 Se a e b são ideais de uma álgebra de Lie g, então a + b, a ∩ b e [a, b] são também ideais. Em
palavras: a soma, a interseção e o bracket de ideais são ideais.
Prova
Sejam a e b ideais da álgebra de Lie g. Se Z ∈ a + b, então Z = A + B, com A ∈ a, B ∈ b. E logo, para
qualquer X ∈ g, tem-se [A, X] ∈ a e [B, X] ∈ b, visto que a e b são ideais. Portanto
[Z, X] = [A + B, X] = [A, X] + [B, X] ∈ a + b.
Se X ∈ a ∩ b, então, para qualquer Y ∈ g, tem-se [X, Y ] ∈ a (pois X ∈ a) e [X, Y ] ∈ b (pois X ∈ b). E logo
[X, Y ] ∈ a ∩ b.
Finalmente, se X = λ1 [A1 , B1 ] + ... + λn [An , Bn ] ∈ [a, b] e Y ∈ g é qualquer, temos
[X, Y ] = [λ1 [A1 , B1 ] + ... + λn [An , Bn ], Y ] = λ1 [[A1 , B1 ], Y ] + ... + λn [[An , Bn ], Y ].
5
Mas λs [[As , Bs ], Y ] = −λs [[Bs , Y ], As ] − λs [[Y, As ], Bs ] = λs [As , [Bs , Y ]] + λs [[As , Y ], Bs ] ∈ [a, b], s = 1, ..., n.
E logo [X, Y ] ∈ [a, b].
c.q.d.
Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes
Indicamos com g1 o ideal [g, g] da álgebra de Lie g (sabemos, pelo lema acima, que g1 é um ideal). g1
é conhecido como o ideal dos comutadores.
Definição 7 A série dos comutadores para a álgebra de Lie g (também conhecida como a série derivada) é
a cadeia de ideais
g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ...
onde g0 = g, g1 = [g, g], g2 = [g1 , g1 ] e, para cada inteiro positivo k, gk+1 = [gk , gk ].
Uma álgebra de Lie g é solúvel se existe k tal que gk = 0.
Observe-se que toda álgebra de Lie abeliana é solúvel.
Definição 8 A série central descendente para a álgebra de Lie g é a cadeia de ideais
g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ...
onde g0 = g, g1 = g1 = [g, g], g2 = [g1 , g] e, para cada inteiro positivo k, gk+1 = [gk , g].
Uma álgebra de Lie g é nilpotente se existe k tal que gk = 0.
Observemos que toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel (verificar).
Exemplo 10 A álgebra de Lie das matrizes 3 × 3 triangulares superiores, com entradas reais (subálgebra de
gl(3, R)) é um exemplo ”canônico” de álgebra de Lie solúvel. Observe-se que g3 = 0.
Exercı́cio: A álgebra de Lie do exemplo acima não é nilpotente.
Exemplo 11 A álgebra de Lie das matrizes reais 3 × 3 triangulares estritamente superiores (subálgebra da
álgebra do exemplo anterior) é um exemplo importante de álgebra de Lie nilpotente, conhecida como a álgebra
de Heisenberg real tridimensional. Seus elementoe são matrizes da forma


0 a c
 0 0 b .
0 0 0
É costume dizer que é uma álgebra nilpotente em dois passos (observe-se que g2 = 0).
Exemplo 12 Se g é uma álgebra de Lie de dimensão 2, então ou bem g é abeliana ou g tem uma base
{X, Y } que satisfaz [X, Y ] = Y . Fica, portanto, determinada a menos de isomorfismo a estrutura de qualquer álgebra de Lie bidimensional.
Realmente, se {E, F } é uma base qualquer de g, sejam os escalares γ e δ tais que [E, F ] = γE + δF . Se
[E, F ] = 0, então todos os brackets são nulos e g é abeliana (g1 = 0). Caso contrário, sejam Y = [E, F ] =
γE + δF e X = αE + βF um vetor não múltiplo de Y (então αδ − βγ 6= 0 e {X, Y } é uma base de g).
Temos
[X, Y ] = [αE + βF, γE + δF ] = (αδ − βγ)[E, F ] = (αδ − βγ)Y
Se escolhermos α e β tais que αδ − βγ = 1, obteremos
[X, Y ] = Y.
6
Exercı́cio: Se dim g ≤ 2, então g é solúvel.
Definição 9 Se g é álgebra de Lie e a ⊆ g é ideal, o espaço vetorial quociente g/a adquire estrutura de
álgebra de Lie com o bracket definido por
[X + a, Y + a ] = [X, Y ] + a .
g/a é chamada a álgebra de Lie quociente de g por a.
Se X̃ + a = X + a, então X̃ − X ∈ a e, como a é ideal, [X̃ − X, Y ] ∈ a, ∀ Y ∈ g. Equivalentemente:
[X̃, Y ] + a = [X, Y ] + a, ∀ Y ∈ g. E logo
[X̃ + a, Y + a] = [X̃, Y ] + a = [X, Y ] + a = [X + a, Y + a ].
Portanto a estrutura de álgebra de Lie está bem definida em g/a.
Exercı́cio: A projeção π : g → g/a definida por
π(X) = X + a
é um homomorfismo de álgebras de Lie e ker(π) = a. Segue-se que todo ideal é o núcleo de algum homomorfismo.
Exercı́cio: Se g é uma álgebra de Lie solúvel e h ⊆ g é subálgebra, então h também é solúvel.
Exercı́cio: Se ϕ : g → h é homomorfismo de álgebras de Lie, a imagem ϕ(g) de g por ϕ é uma subálgebra de
Lie de h.
Lema 2 Se g é álgebra de Lie solúvel e ϕ : g → h é um homomorfismo de álgebras de Lie, então a álgebra
de Lie ϕ(g), imagem da álgebra de Lie g por ϕ, é solúvel.
Prova
Seja k ∈ N tal que gk = 0. Então
ϕ(g)k = ϕ(gk ) = ϕ(0) = 0
(observa-se que ϕ(g1 ) = ϕ([g, g]) = [ϕ(g), ϕ(g)] = ϕ(g)1 e prova-se o caso geral por indução sobre k).
c.q.d.
Corolário
Se g/a é álgebra quociente de uma álgebra de Lie solúvel g por um ideal a ⊆ g, então g/a é solúvel.
Prova
Seja π : g → g/a a projeção de g sobre g/a, dada por π(X) = X + a, para X ∈ g. Então π é um homomorfismo e logo a imagem g/a = π(g) é solúvel, pelo lema acima.
c.q.d.
Segue-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie solúveis são solúveis. Com um
raciocı́nio similar prova-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie nilpotentes são também
nilpotentes e, em particular, solúveis. O lema a seguir é uma recı́proca para esse fato, que tem grande
utilidade.
Proposição 10 Se a ⊆ g é um ideal solúvel e a álgebra quociente g/a é solúvel, então a álgebra de Lie g é
solúvel.
Prova
Sejam k ∈ N tal que (g/a)k = 0 e r ∈ N tal que ar = 0. Então o homomorfismo projeção π : g → g/a,
X 7→ X + a, satisfaz
π(gk ) = π(g)k = (g/a)k = 0
7
e logo gk ⊆ ker(π) = a. Portanto
gk+r = (gk )r ⊆ ar = 0
e segue-se que g é solúvel.
c.q.d.
Exemplo 13 As álgebras de Lie tridimensionais são todas solúveis ou simples. Realmente, se g é álgebra
de Lie com dim g = 3 e g não é simples, então g tem um ideal não trivial a, cuja dimensão tem que ser 1
ou 2. Em qualquer caso, sabemos que a é um ideal solúvel. Além disso, a dimensão da álgebra quociente
g/a também tem que ser 2 ou 1. Logo g/a é, também, solúvel. Segue-se então da proposição acima que g é
solúvel.
Álgebras de Lie semisimples
Se g tem dimensão finita, a soma de todos os ideais solúveis em g é uma soma finita e, portanto, um
ideal. A proposição abaixo afirma que esse ideal é solúvel.
Proposição 11 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, existe em g um único ideal solúvel que contem
todos os ideais solúveis de g.
Prova
Sejam a e b ideais solúveis em g e seja h = a + b. Então h é um ideal em g e a é um ideal solúvel em h. Além
disso, a interseção a ∩ b é um ideal em b e, como b é solúvel, sabemos que o quociente b/a ∩ b é solúvel.
Segue-se então do teorema do isomorfismo (veja-se [Garcia & Lequain](1985)) que
h/a = (a + b)/a ∼
= b/a ∩ b
é solúvel. E da proposição 1 acima segue-se que a + b = h é solúvel. Por indução, concluimos que a soma de
um número finito de ideais solúveis é um ideal solúvel.
Seja então o ideal r definido por
r=
X
a
a solúvel
PN
Como a dimensão de g é finita, existe N ∈ N tal que r = s=1 as , onde a1 , ..., aN são todos os ideais solúveis
em g. E logo, se a é um ideal solúvel qualquer e X ∈ a, tem-se a = as para algum s ∈ {1, ..., N } e
X ∼ 0 + ... + 0 + X + 0 + ... + 0 ∈ r.
Logo r é um ideal solúvel em g e contem todos os ideais solúveis de g. A unicidade segue da própria construção
de r (se dois ideais em g são ambos solúveis e contem cada um todos os ideais solúveis de g, então um está
contido no outro).
c.q.d.
Definição 12 O ideal r da proposição acima é conhecido como o radical de g (ou o radical solúvel de g, se
o contexto exigir) e é indicado com radg .
Definição 13 Uma álgebra de Lie g é semisimples se radg = 0. Em palavras: se g não tem ideal solúvel
não nulo.
8
Exercı́cio: Se g é semisimples, Zg = 0.
Observe-se que se g é álgebra de Lie solúvel, a álgebra derivada g1 = [g, g] satisfaz g1 6= g. Pois se g1 = g,
teremos g2 = [g1 , g1 ] = [g, g] = g1 = g, g3 = g e, a fortiori, gk = g, ∀ k ∈ N. Ou seja: não existirá k ∈ N
tal que gk = 0. Por outro lado, se g é simples, então g1 = g. Pois se g1 = 0, então g é abeliana e, portanto, não é simples (por definição). E se 0 6= g1 6= g, então g tem um ideal não trivial g1 , e logo não é simples.
Exercı́cio: Álgebras de Lie simples não são solúveis. Álgebras de Lie solúveis não são simples.
Exercı́cio: Toda álgebra de Lie simples é semisimples.
Exercı́cio: Encontrar o centro da álgebra de Lie gl(n, R).
A forma de Killing
Suponha-se que g é álgebra de Lie e dim g = n. Então, para cada X ∈ g fixo, o endomorfismo adX : g → g
é representado por uma matriz n×n em relação a alguma base de g (todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo ao Rn ). Se Y ∈ g, a composição de operadores fornece novamente um endomorfismo adX adY : g → g
que também é representado em relação àquela base de g pela matriz produto da matriz de adX pela matriz de
adY , que também é uma matriz n × n. Como o traço da matriz que representa um endomorfismo em relação
a uma base de um espaço vetorial não depende da base escolhida, fica bem definido o traço do endomorfismo
adX adY : g → g, pela escolha de uma base de g e pelo cálculo do traço da matriz produto das matrizes de
adX e de adY em relação à base escolhida.
Isso define uma forma bilinear sobre g, conhecida como forma de Killing (ou forma de Cartan-Killing),
conforme a definição a seguir.
Definição 14 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, a forma de Killing de g é a forma bilinear simétrica
B : g × g → K (K = R ou C) dada por
B(X, Y ) = tr adX adY .
Um resultado fundamental que relaciona a forma de Killing com a estrutura da álgebra de Lie é o
celebrado critério da semisimplicidade, devido a E. Cartan.
Teorema 15 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, então g é semisimples se e somente se a forma de
Killing B g de g é não degenerada.
Exemplo 14 Sabemos que a álgebra de Lie g = sl(2, C) tem a base ”canônica” {h, e, f }, que define a estrutura de álgebra ([h, e] = 2e, [h, f ] = −2f e [e, f ] = h). Tem-se, portanto, h, e, f ∈ [g, g] = g1 , logo g1 = g
e segue-se que g é simples e, portanto, semisimples.
O cálculo de tr adX adY , com X, Y = h, e, f , fornece a

8
[B] =  0
0
matriz
0
0
4

0
4 
0
que define a forma de Killing
B(X, Y ) = 8x1 y1 + 4x2 y3 + 4x3 y2 .
É fácil ver que B é não degenerada.
9
Exercı́cio: calcular a matriz [B].
Se g é uma álgebra de Lie solúvel de matrizes com entradas complexas, o espaço Cn tem uma base em
relação à qual todas as matrizes de g (vistas como matrizes de operadores lineares sobre Cn ) são triangulares.
O Teorema de Lie generaliza esse fato para qualquer álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente
fechado.
Teorema 16 Se g é uma álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente fechado K, V é um espaço
vetorial não trivial de dimensão finita e π : g → EndV uma representação de g na álgebra dos endomorfismos
de V , então existe uma seqüência de subespaços
V = V0 ⊇ V1 ⊇ ... ⊇ Vm = 0
tal que cada Vi é invariante por π(X) para todo X ∈ g e dim Vi /Vi+1 = 1. Em conseqüência V tem uma
base em relação à qual todas as matrizes de π(X), com X ∈ g, são triangulares.
Se g for uma álgebra de Lie nilpotente, o operador adX : g → g é nilpotente, qualquer que seja X ∈ g
(verificar). Em verdade a álgebra de Lie adg (cujos elementos são adX , com X ∈ g) é nilpotente se e somente
se g é nilpotente. O teorema de Engel generaliza esse fato e fornece uma recı́proca.
Teorema 17 Se V 6= 0 é um espaço vetorial de dimensão finita e g ⊆ EndV é uma álgebra de Lie de
endomorfismos de V , todos nilpotentes, então
i) g é uma álgebra de Lie nilpotente
ii) Existe um vetor w ∈ V , w 6= 0, tal que X(w) = 0 ∀X ∈ g.
iii) V tem uma base em relação à qual X é estritamente triangular, para todo X ∈ g.
Exercı́cio: g é nilpotente se e somente se adg é nilpotente.
Sugestão: Suponha que g3 = 0 e prove que (adg )2 = 0 sse g3 = 0. E aplique-se indução.
Realmente, se [[[X, Y ], Z], W ] = 0 ∀X, Y, Z, W , então ad[[X,Y],Z] = 0 ∀X, Y, Z.
Mas ad[[X,Y],Z] = [[adX , adY ], adZ ].
10
Capı́tulo 2
Variedades diferenciáveis
Preliminares
Os espaços (topológicos) que vamos estudar são localmente modelados pelo espaço Rn , o que diz que
eles se comportam, em torno de cada ponto, topologicamente, como o Rn e a sua geometria difere ”suavemente” da geometria (euclidiana) de Rn . Um exemplo canônico (um exemplo ”visualizável” que traz em si
a idéia central) é o de uma superfı́cie S em R3 , que pode ser pensada como obtida a partir de uma coleção
enumerável de discos abertos, suavemente deformados e ”colados” sem dobras ou pontas. A definição de
variedade diferenciável exige que tais espaços topológicos tenham base enumerável, portanto pensar em uma
coleção enumerável de discos é justificável.
Recordamos algumas definições e resultados do cálculo em Rn que lançam bases sólidas para a teoria
das variedades diferenciáveis.
Definição 18 Se U e W são subespaços topológicos de Rn , um homeomorfismo de U sobre W é uma bijeção
contı́nua ξ : U → W cuja inversa é contı́nua. U e W são ditos homeomorfos se existe um homeomorfismo
entre eles.
Observe-se que uma bijeção pode ser de classe C ∞ sem que sua inversa seja contı́nua (por exemplo,
ξ : [0, 2π) → S1 dada por ξ(t) = (cos t, sen t) (veja-se [Lima](2006)).
Um homeomorfismo preserva a topologia. Em particular, se um dos dois subconjuntos for aberto, o
outro também o será.
Definição 19 Um homeomorfismo de classe C k (com k ≥ 1) é um difeomorfismo de classe C k (ou um
C k -difeomorfismo) se o homeomorfismo inverso tem classe C k . Se ξ : U → W é um difeomorfismo, U e W
são ditos difeomorfos (C k -difeomorfos, se ξ ∈ C k ). Escreve-se ξ : U ∼
= W.
Se um homeomorfismo tem classe C k , o homeomorfismo inverso pode ser apenas contı́nuo. Um exemplo
é o da função
cúbica f : R → R, dada por f (x) = x3 , que é suave e tem inversa contı́nua (dada por
√
−1
3
f (x) = x, para x ∈ R) porém não derivável em x = 0. Em contraste, se um homeomorfismo ξ, de
classe C k , tem inversa derivável, então o homeomorfismo inverso é de classe C k . Ou seja: ξ e ξ −1 são C k difeomorfismos. Isso decorre da regra da cadeia, como veremos adiante. Em particular, um homeomorfismo
suave com inversa derivável é um C ∞ -difeomorfismo.
Definição 20 Se um ponto p ∈ Rn tem uma vizinhança aberta U na qual está definido um difeomorfismo
ξ : U ∼
= W (com W ⊆ Rn aberto), dizemos que ξ é um difeomorfismo em torno de p. Uma aplicação
ξ : M → N entre subespaços (topológicos) de Rn é um difeomorfismo local se cada ponto p ∈ M tem
uma vizinhança aberta U restrita à qual ξ é um difeomorfismo sobre um aberto ξ(U ) ⊆ N . Em sı́mbolos:
ξ|U : U ∼
= ξ(U ).
Exercı́cio: Um homeomorfismo será um difeomorfismo (global) se for um difeomorfismo local.
Um dos pilares fundamentais de todo o cálculo diferencial nos espaços euclidianos (que se generaliza ao
cálculo em variedades diferenciáveis) é o teorema da aplicação inversa, que apresentamos a seguir. A versão
com hipóteses mais fracas utiliza o conceito de aplicação fortemente diferenciável, conforme a definição
abaixo.
11
Definição 21 Uma aplicação f : U → Rn definida em um aberto U ⊆ Rm é fortemente diferenciável no
ponto q ∈ U se existe uma transformação linear T : Rm → Rn tal que
f (x) − f (y) = T (x − y) + ρ(x, y)|x − y| , ∀ x, y ∈ U
onde ρ : U → Rn satisfaz lim ρ(x, y) = 0.
x, y→q
Toda aplicação f : U → Rn fortemente diferenciável em q é derivável em q, com f 0 (q) = T .
Teorema 22 Se a aplicação ξ : U → Rn , definida no aberto U ⊆ Rn é fortemente diferenciável no ponto
q ∈ U e a derivada ξ 0 (q) : Tq U ∼
= Rn → Rn é um isomorfismo, então ξ : U → ξ(U ) é um homeomorfismo e
−1
o homeomorfismo inverso ξ : ξ(U ) → U é fortemente diferenciável no ponto ξ(q).
Uma demonstração cuidadosa do teorema acima está em [Lima](2006). Segue-se da regra da cadeia que
a derivada do homeomorfismo ξ −1 : ξ(U ) → U no ponto ξ(q) é dada por
(ξ −1 ) 0 (ξ(q)) = ξ 0 (q)−1 .
Exercı́cio: provar a igualdade acima.
Se ξ é de classe C 1 em torno de q, a regra da cadeia, combinada com o teorema acima, permite concluir que ξ −1 é de classe C 1 em torno de ξ(q). Realmente a transformação Ψ : Gl(Rn ) → Gl(Rn ), definida
por
Ψ(T ) = T −1
que leva o automorfismo T ∈ Gl(Rn ) no automorfismo inverso T −1 é uma bijeção suave (verificar) e a
derivada (ξ −1 ) 0 da aplicação inversa satisfaz, pelo que vimos acima,
(ξ −1 ) 0 ◦ ξ(q) = Ψ ◦ ξ 0 (q), ∀ q,
e logo (ξ −1 ) 0 = Ψ ◦ ξ 0 ◦ ξ −1 .
Se ξ ∈ C 1 , então (ξ −1 ) 0 ∈ C 0 e logo ξ −1 ∈ C 1 .
O mesmo raciocı́nio permite concluir que se ξ é um homeomorfismo de classe C k e ξ −1 é derivável, então ξ
é um C k -difeomorfismo, para k = 1, ..., ∞.
A forma local das imersões
Definição 23 Uma aplicação ϕ : U ⊆ Rm → Rn é uma imersão se a derivada ϕ0 (q) : Rm → Rn é biunı́voca,
para todo q ∈ U .
Observe-se que se ϕ é imersão então n ≥ m.
Exemplo 15 A inclusão i : Rm → Rn dada por i(x) = (x, w), onde w é um vetor constante em Rn−m , é
um exemplo canônico de imersão.
A forma local das imersões afirma que, localmente, toda imersão é, topologicamente, uma imersão canônica.
Teorema 24 Se ϕ : U → Rn , definida no aberto U ⊆ Rk , é fortemente diferenciável no ponto q ∈ U e a
derivada ϕ0 (q) : Rk → Rn é biunı́voca, existe um homeomorfismo ξ : Z → V × W , de um aberto Z ⊆ Rn ,
Z 3 ϕ(q), sobre um aberto V × W 3 (q, 0) em Rk × Rn−k , fortemente diferenciável no ponto ϕ(q), tal que
ξ ◦ ϕ(x) = (x, 0) , ∀ x ∈ V.
Se ϕ ∈ C k , diminuindo V, W e Z se necessario, obtem-se um C k -difeomorfismo.
12
Prova
Se {w1 , w2 , ..., wn−k } é uma base para o complementar da imagem de ϕ0 (q) em Rn , a aplicação Φ : U ×
Rn−k → Rn definida por
Φ(x, y) = Φ(x1 , ..., xk , y1 , ..., yn−k ) = ϕ(x) +
n−k
X
ys ws
s=1
tem, no ponto (q, 0), a matriz jacobiana
[Φ0 (q, 0)] = [∂1 ϕ(q) ... ∂k ϕ(q) w1 ... wn−k ]
e, como ϕ0 (q) é biunı́voca, o posto de Φ0 (q, 0) é n. E logo Φ0 (q, 0) é um isomorfismo. Pelo teorema da aplicação
inversa, sabemos que existe uma vizinhança Z do ponto Φ(q, 0) onde está definido um homeomorfismo ξ,
fortemente diferenciável em Φ(q, 0), cujo homeomorfismo inverso é a restrição de Φ a uma vizinhança do
ponto (q, 0), que pode ser escolhida da forma V × W , com q ∈ V ⊆ U e 0 ∈ W ⊆ Rn−k (ξ = Φ|−1
V ×W ). E
segue-se que, para todo x ∈ V , temos
ξ(ϕ(x)) = ξ(ϕ(x) + 0) = ξ(Φ(x, 0)) = (x, 0)
c.q.d.
Definição 25 Uma imersão ϕ : U → Rn é chamada um mergulho se ϕ é um homeomorfismo sobre sua
imagem ϕ(U ) (com a topologia induzida de Rn ).
Segue-se da forma local das imersões que toda imersão é localmente um mergulho.
Exemplo 16 A curva γ : (−2, ∞) → R2 dada por γ(t) = (t3 − 4t, t2 − 4) é um exemplo de imersão suave e
biunı́voca que não é um mergulho. Realmente, tem-se kγ(t)k < 1 para t = 2 e lim + kγ(t)k = 0 < 1. Como
t→−2
kγk é uma função contı́nua, existe ε > 0 tal que kγ(t)k < 1 ∀t ∈ (−2, −2 + ε) ∪ (2 − ε, 2 + ε). No entanto,
como kγ(0)k = 4 > 1, vemos que a pré-imagem da bola B2 (de centro (0, 0) e raio 1) por γ não é conexa.
Mas a interseção da imagem de γ com B2 é conexa (pois γ é contı́nua e lim γ(t) = (0, 0) = γ(2)). Portanto
t→−2
a aplicação inversa da imersão γ (definida na imagem de γ) não é contı́nua.
Exercı́cio: provar que a curva γ do exemplo acima é uma imersão biunı́voca.
Exercı́cio: se um mergulho ϕ : U → Rn tem classe C k , então ϕ é um C k -difeomorfismo sobre a sua imagem.
13
Superfı́cies em R3
Definição 26 Uma curva regular em Rn é uma imersão suave γ : I → Rn (não necessariamente biunı́voca),
definida em um intervalo I ⊆ R. A menos que se indique o contrário, o intervalo I será aberto, com 0 ∈ I.
Indicamos com tr γ o conjunto γ(I) = {γ(t) / t ∈ I}, chamado o traço de γ.
Exemplo 17 A curva γ : R → R2 dada por γ(t) = (t3 − 4t, t2 − 4) é uma curva regular (observe que
γ 0 (t) 6= 0, ∀ t ∈ R). Tem-se γ(−2) = γ(2) = 0, logo γ não é biunı́voca. Observemos, no entanto, que tr γ
pode ser obtido colando-se os traços dos mergulhos γ1 : (−∞, 1) → R2 e γ2 : (−1, ∞) → R2 dados por
γ1 (t) = γ(t) ∀ t ∈ (−∞, 1)
e
γ2 (t) = γ(t) ∀ t ∈ (−1, ∞).
Exemplo 18 A imersão γ : R → R3 dada por γ(t) = (et cos t, et sen t, 5t) define uma curva regular em R3 .
A projeção de tr γ no plano xy é uma espiral.
Definição 27 Uma superfı́cie regular parametrizada em Rn é uma imersão suave ψ : U → Rn (não necessariamente biunı́voca), definida em uma região U ⊆ R2 . A menos que se indique o contrário, a região U
será aberta e simplesmente conexa, com (0, 0) ∈ U .
Exemplo 19 A imersão suave ψ : U = R2 → R3 dada por ψ(t, s) = (t, s, t2 + s2 ) é uma superfı́cie regular
parametrizada em R3 , cuja imagem é um parabolóide de revolução (com vértice na origem). A matriz
jacobiana de ψ em um ponto (t, s) ∈ U é dada por


1 0
 0 1 
2t 2s
e, portanto, a derivada de ψ em (t, s) é a transformação ψ 0 (t, s) : (u, w) 7→ (u, w, 2tu + 2sw), evidentemente
biunı́voca, quaisquer que sejam t, s ∈ R.
Exemplo 20 Mais geralmente, o gráfico de qualquer função suave f : U → R, definida em uma região
U ⊆ R2 , é uma superfı́cie regular parametrizada. Pois a aplicação ψ : U → R3 dada por
ψ(t, s) = (t, s, f (t, s))
é suave, tem derivada em cada ponto (t, s) ∈ U dada por
ψ 0 (t, s)(u, w) = (u, w, ft (t, s)u + fs (t, s)w)
(que é, portanto, biunı́voca) e, vista como aplicação de U sobre ψ(U ), tem uma inversa, dada pela restrição
a ψ(U ) da projeção canônica π : R3 → R2 . Como π é suave, temos que ψ é um C ∞ -difeomorfismo. Em
particular, um homeomorfismo.
14
Exercı́cio: Se ψ : (0, 2π) × (0, 2π) → R4 é dada por
ψ(t, s) = (cos t, sen t, cos s, sen s )
então ψ é uma superfı́cie regular parametrizada em R4 , cuja imagem é um toro T 2 = S1 × S1 menos um
equador e um meridiano.
A idéia de superfı́cie regular é a de um subconjunto bidimensional S ⊂ R3 que, em torno de cada ponto,
é uma superfı́cie regular parametrizada, de tal forma que se possam apresentar em S as noções importantes
do cálculo diferencial (como comprimento, ângulo, velocidade, área, etc.) de maneira inequı́voca.
Definição 28 Um subconjunto S no espaço R3 é uma superfı́cie regular se cada ponto de S tem uma
vizinhança aberta W ⊆ R3 cuja interseção com S é imagem de uma imersão suave e biunı́voca ψ : U → R3 ,
definida em uma região U ⊆ R2 .
Como toda imersão é localmente um mergulho, podemos, diminuindo U se necessário, supor que S é
obtida colando-se imagens de superfı́cies regulares parametrizadas. A forma local das imersões permite concluir que cada uma das tais superfı́cies parametrizadas tem inversa contı́nua (pois continuidade é propriedade
local), sendo portanto um homeomorfismo e, em verdade, um difeomorfismo. Segue-se que uma superfı́cie
regular S é localmente difeomorfa ao R2 . A grosso modo podemos pensar em S construı́da com imagens de
discos do plano por aplicações que preservam a topologia.
Exemplo 21 A esfera S2 ⊂ R3 , dada pela equação x2 +y 2 +z 2 = 1, é uma superfı́cie regular. Se (q1 , q2 , q3 ) =
q ∈ R3 , sejam as regiões Ur+ e Ur− , r = 1, 2, 3, definidas por
Ur+ = {q ∈ S2 / qr > 0}
e
Ur− = {q ∈ S2 / qr < 0}.
Então cadaptal região é um gráfico. Por exemplo, U3− é o gráfico da função suave f : B 2 → R, dada por
(x, y) 7→ − 1 − x2 − y 2 , (com B 2 = {x2 + y 2 < 1}) e S2 = ∪3r=1 (Ur+ ∪ Ur− ).
Exemplo 22 A curva α : R → R3 dada por
α(t) = (a sen t cos t, b sen 2 t, k cos t)
2
tem o traço contido na superfı́cie S, dada por xa2 +
e centro na origem). Pode-se escrever α : I → S.
y2
b2
+
z2
k2
= 1 (que é um elipsóide com semi-eixos a, b, k
O plano tangente
Se F (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : U ⊆ R2 → R3 é uma aplicação suave e p = (u0 , v0 ) ∈ U , a
derivada de F no ponto p é a transformação linear F 0 (p) determinada pela matriz


xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
 yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) 
zu (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 )
Se w = (u, v) ∈ R2 , então F 0 (p)w é o vetor em R3 cujas coordenadas na base canônica são xu (u0 , v0 )u +
xv (u0 , v0 )v , yu (u0 , v0 )u + yv (u0 , v0 )v e zu (u0 , v0 )u + zv (u0 , v0 )v.
Exercı́cio: Se α : I → U é uma curva suave, definida em um intervalo I ⊆ R (com 0 ∈ I), que satisfaz
α(0) = p e α0 (0) = w
15
então (F ◦ α)0 (0) = F 0 (p)w.
Observe-se que (F ◦α)0 (0) é independente da escolha da curva suave α (desde que α satisfaça as condições
α(0) = p e α0 (0) = w).
Embora seja um exercı́cio fácil, é muito importante (e freqüentemente útil) saber que F 0 (p)w =
(F ◦ α)0 (0), onde α é qualquer curva suave com α(0) = p e α0 (0) = w.
Mais geralmente, se F : U ⊆ Rm → Rn é uma aplicação cujas funções coordenadas são suaves, a
derivada de F em um ponto q ∈ U é definida pela matriz jacobiana de F em q e, raciocinando como acima,
conclui-se que, para todo w ∈ Rm , F 0 (q)w = β 0 (0), onde β = F ◦ α, com α : I → Rm qualquer curva suave
que satisfaça α(0) = q, α0 (0) = w.
O vetor w pode então ser identificado com a classe das curvas suaves α : I → Rm que satisfazem
α(0) = p e α0 (0) = w.
Se γ : I → R3 for uma curva suave, com I˜ 3 0, γ(0) = α(0) = p e γ 0 (0) = α0 (0) = w, escreveremos
α ∼ γ. Essa é uma relação de equivalência e o vetor w = α0 (0) pode ser identificado com a classe [α].
O espaço tangente a R3 em um ponto q é definido pelo conjunto Tq R3 de todos os vetores em q. Tq R3
é um espaço vetorial, isomorfo ao próprio R3 .
Se S é uma superfı́cie regular em R3 e α : I → S é uma curva suave em S, a velocidade α0 (0) é um vetor
em R3 tangente à superfı́cie S no ponto q = α(0). Considerando somente as curvas suaves que têm seu traço
contido em S, podemos definir o plano Tq S tangente a S em q pela coleção de todos os vetores velocidade
de tais curvas. Um vetor w ∈ R3 está em Tq S se existe uma curva α : I → S tal que α(0) = q, α0 (0) = w.
Observação 1 Se u = α0 (0) e w = β 0 (0) são vetores tangentes à superfı́cie S ⊂ R3 , linearmente independentes, em um ponto q ∈ S, o plano tangente Tq S é o plano normal ao produto vetorial Nq = u × w que
passa por q.
Um vetor w ∈ R3 também pode ser pensado como uma derivação no espaço das funções suaves
f : R3 → R. Realmente, um vetor w com origem em q ∈ R3 satisfaz
(λf + g)0 (q)w = λf 0 (q)w + g 0 (q)w
e
(f g)0 (q)w = g(q)f 0 (q)w + f (q)g 0 (q)w,
16
quaisquer que sejam as funções f, g ∈ C ∞ (R3 ) e o número λ ∈ R (observe-se, por exemplo, que (f g)0 (q)w =
g)
∂f
∂g
= ∂(f
∂w (q) = ∂w (q)g(q) + f (q) ∂w (q)).
Um vetor w = α0 (0) ∈ Tq S, tangente a uma superfı́cie S em um ponto q ∈ S, satisfaz
((λf + g) ◦ α)0 (0) = λ(f ◦ α)0 (0) + (g ◦ α)0 (0)
e
((f g) ◦ α)0 (0) = g(α(0))(f ◦ α)0 (0) + f (α(0))(g ◦ α)0 (0)
onde α é uma curva em S que passa por q. Uma superfı́cie S tem um plano tangente em cada ponto e
esse plano tangente varia suavemente.
Um fato notável é que essa definição de vetor tangente não depende do espaço ambiente R3 em que a
superfı́cie está imersa. Assim como a classe de equivalência de curvas suaves contidas em S que passam pelo
ponto q. Um vetor tangente w é identificado com um elemento do espaço (vetorial) das derivações lineares
sobre as funções reais suaves definidas em S. Em verdade, se duas funções suaves definidas em S coincidem
em uma vizinhança aberta do ponto q, qualquer das tais derivações lineares vai associar o mesmo valor a
ambas e, logo, um vetor tangente a S em q deve ser definido como uma derivação linear sobre um espaço de
classes de equivalência de funções suaves em torno de q.
Por outro lado as definições de superfı́cies e planos tangentes podem ser naturalmente estendidas ao
caso em que a superfı́cie, em vez de ser bidimensional, tem dimensão k em um espaço euclidiano que, em
vez de ser tridimensional, tem dimensão n ≥ k.
Subvariedades do espaço Rn
Uma subvariedade no espaço Rn é a generalização natural da idéia de superfı́cie em R3 . Como a forma
local das imersões é verdadeira em dimensão n, podemos considerar subvariedades regulares parametrizadas,
que são imagens de abertos k-dimensionais por aplicações que preservam a topologia, e proceder como antes.
Definição 29 Um subconjunto M no espaço Rn é uma subvariedade (k-dimensional) de Rn se cada ponto
de M tem uma vizinhança aberta W ⊆ Rn cuja interseção com M é imagem de uma imersão suave e
biunı́voca ψ : U → Rn , definida em uma região U ⊆ Rk .
Exemplo 23 O toro T 2 ∼
= S1 × S1 ⊂ R4 é uma subvariedade de R4 . Se q ∈ T 2 , existem t, s ∈ [0, 2π) tais
que q = (eit , eis ). Pode-se tomar U = (−π, π) × (−π, π) se t = 0 ou s = 0 e U = (0, 2π) × (0, 2π), caso
contrário.
Se ϕ : U → Rn é um mergulho suave, definido em um aberto U ⊆ Rk , segue-se da forma local das
imersões que ϕ é um C ∞ -difeomorfismo sobre ϕ(U ) e o difeomorfismo inverso é dado por ϕ−1 = π ◦ ξ|ϕ(U )
onde ξ : Z → U × W ⊆ Rn é o difeomorfismo construı́do na demonstração do teorema 5 e π : U × W → Rk
é a projeção canônica. Realmente, π ◦ ξ ◦ ϕ(q) = π(q, 0) = q, ∀ q ∈ U .
Uma subvariedade k-dimensional M de Rn é localmente difeomorfa ao Rk . Além disso M tem um
espaço vetorial k-dimensional tangente em cada ponto, que varia suavemente.
Se α : I → M é uma curva suave, o vetor velocidade α0 (0) é um vetor de Rn tangente a M em q = α(0).
O espaço tangente à subvariedade M ⊆ Rn no ponto q é definido por
Tq M = {α0 (0) / α ∈ C ∞ (I, M ), α(0) = q}
17
Um vetor w em um ponto q ∈ Rn pode ser definido (como uma derivação no espaço das funções suaves
f : Rn → R) por
w(f ) = f 0 (q)w =
∂f
(q).
∂w
Tem-se então
w(λf + g) = λw(f ) + w(g)
e
w(f g) = g(q)w(f ) + f (q)w(g).
quaisquer que sejam f, g ∈ C ∞ (Rn ), λ ∈ R.
Se α : I → M é suave e fizermos w = α0 (0), teremos
w(f ) = α0 (0)f = (f ◦ α)0 (0).
Como α(I) ⊂ M , tem-se f ◦ α = f|M ◦ α. Isso sugere que o espaço tangente Tq M possa ser obtido como um
espaço de derivações lineares sobre as restrições à subvariedade M das funções suaves em Rn . Portanto um
vetor tangente a M é uma derivação linear sobre o espaço C ∞ (M ) das funções suaves definidas em M .
Observemos que se f : M → R é a restrição a M de uma função suave definida em um aberto de Rn
que contém M , então a função f ◦ ϕ−1 é suave, qualquer que seja a parametrização ϕ : U ⊆ Rk → M . Isso
fornece uma definição rigorosa de função suave definida em uma subvariedade de Rn .
Suponhamos que a subvariedade M ⊆ Rn seja (globalmente) parametrizada por um mergulho ϕ : U ⊆
R → Rn (então M = ϕ(U ) ⊆ Rn ). Fixemos um ponto q ∈ U . Como ϕ é um difeomorfismo sobre a imagem,
sabemos que a derivada ϕ0 (q) é um isomorfismo de Rk sobre ϕ0 (q)Rk que, portanto, tem dimensão k ≤ n.
Então ϕ0 (q)Rk é um subespaço vetorial k-dimensional de Rn , com base no ponto ϕ(q) ∈ M . Tudo leva a
crer que ϕ0 (q)Rk é o espaço tangente à subvariedade M no ponto ϕ(q). Essa afirmação é verdadeira.
k
Lema 3 Se M = ϕ(U ) ⊆ Rn é imagem de um mergulho ϕ : U → Rn definido em um aberto U ⊆ Rk , então,
para todo q ∈ U , tem-se ϕ0 (q)Rk = Tϕ(q) M , o espaço tangente a M em ϕ(q).
Prova
Se w ∈ ϕ0 (q)Rk , existe u ∈ Rk tal que w = ϕ0 (q)u. Tome-se uma curva suave α : I → U que satisfaça
α(0) = q e α0 (0) = u. Segue-se que
w = ϕ0 (q)u = ϕ0 (α(0))α0 (0) = (ϕ ◦ α)0 (0)
e a curva suave ϕ ◦ α : I → M satisfaz ϕ ◦ α(0) = ϕ(q). Logo w ∈ Tϕ(q) M .
Reciprocamente, se w ∈ Tϕ(q) M então w = β 0 (0), onde β : I → M é uma curva suave tal que β(0) = ϕ(q).
Como ϕ é biunı́voca, para cada t ∈ I existe um único ponto qt ∈ U tal que ϕ(qt ) = β(t). Seja então a curva
α : I → U dada por α(t) = qt . Pelo corolário da forma local das imersões, temos que α é uma curva suave.
Além disso, ϕ ◦ α(t) = ϕ(qt ) = β(t), para todo t ∈ I. E logo β = ϕ ◦ α. Tem-se também α(0) = q (pois
ϕ(α(0)) = β(0) = ϕ(q)) e α0 (0) ∈ Tq Rk ∼
= Rk . Portanto
w = β 0 (0) = (ϕ ◦ α)0 (0) = ϕ0 (q)α0 (0) ∈ ϕ0 (q)Rk .
c.q.d.
Vemos, em particular, que o espaço tangente a uma subvariedade k-dimensional de Rn (em um ponto
qualquer) é um espaço vetorial de dimensão k.
18
Mais geralmente, se ϕ : U → Rn é um mergulho de um aberto U ⊆ Rm em Rn tal que a imagem
ϕ(U ) está mergulhada em uma subvariedade k-dimensional N ⊆ Rn (com m ≤ k ≤ n), o espaço tangente à
subvariedade ϕ(U ) ⊆ N em um ponto ϕ(q)
ϕ0 (q)Rm = {(ϕ ◦ α)0 (0) / α : I → U, α(0) = q}
é um subespaço vetorial do espaço tangente Tϕ(q) N = {β 0 (0) / β : I → N, β(0) = ϕ(q)}.
Observamos, como antes, que as definições acima não dependem dos respectivos ambientes euclidianos.
Observação 2 Se as funções f, g : M → R coincidem em uma vizinhança de um ponto q ∈ M , todos os
vetores tangentes w ∈ Tq M associam o mesmo valor a f e a g. Identificam-se então duas funções que
coincidam em alguma vizinhança aberta de q. A classe de equivalência obtida leva o nome de germe de
funções suaves em q. Um vetor tangente a M no ponto q é, portanto, uma derivação linear definida no
espaço dos germes de funções suaves em q.
Exercı́cio: se o germe [f ] no ponto q ∈ M tem um representante constante em alguma vizinhança de q, então
w([f ]) = 0, ∀w ∈ Tq M .
Se M é subvariedade k-dimensional de Rn , sabemos que todo ponto q ∈ M tem uma vizinhança
difeomorfa a um aberto de Rk (pois M é obtido colando-se imagens de parametrizações). Sejam ϕ : U → M
e ψ : V → M mergulhos suaves, definidos em abertos U, V ⊆ Rk , tais que q ∈ ϕ(U )∩ψ(V ). Indiquemos com ξ
um difeomorfismo (dado pela forma local das imersões) que satisfaz π◦ξ|ϕ(U ) = ϕ−1 e com η um difeomorfismo
tal que π ◦ η|ψ(V ) = ψ −1 . Então a mudança ψ −1 ◦ ϕ = π ◦ η|ψ(V ) ◦ ϕ : ϕ−1 (ϕ(U ) ∩ ψ(V )) → ψ −1 (ϕ(U ) ∩ ψ(V ))
é suave, com inversa
(ψ −1 ◦ ϕ)−1 = ϕ−1 ◦ ψ = π ◦ ξ|ϕ(U ) ◦ ψ : ψ −1 (ϕ(U ) ∩ ψ(V )) → ϕ−1 (ϕ(U ) ∩ ψ(V ))
também suave.
Logo ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (ϕ(U ) ∩ ψ(V )) → ψ −1 (ϕ(U ) ∩ ψ(V )) é um C ∞ -difeomorfismo.
Exercı́cio: Se q ∈ U ∩ V , com U = ϕ(Ũ ), V = ψ(Ṽ ) e ϕ, ψ parametrizações em M como acima, defina
x = ϕ−1 : U ∼
= Ũ e y = ψ −1 : V ∼
= Ṽ e conclua que a mudança
y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) → y(U ∩ V )
é um difeomorfismo.
19
Variedades diferenciáveis
Definição 30 Um espaço topológico E é um espaço de Hausdorff se quaisquer dois pontos distintos em E
têm vizinhanças disjuntas. Diz-se que E tem base enumerável se existe uma coleção enumerável de abertos
em E tal que todo aberto em E é uma união desses abertos básicos. Um espaço de Hausdorff E é localmente
euclidiano se cada ponto em E tem uma vizinhança homeomorfa a um aberto em Rn , para algum n fixo.
Definição 31 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um espaço topológico localmente euclidiano M ,
com base enumerável, em que cada ponto q tem uma vizinhança aberta U ⊆ M na qual está definida uma
aplicação suave x : U → Rn de tal forma que se y : V → Rn é uma das tais aplicações e U ∩ V 6= ∅, a
mudança
y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) → y(U ∩ V )
é suave.
Exercı́cio: Segue-se da definição que as mudanças são difeomorfismos.
As aplicações x : U → Rn são chamadas cartas locais. Se q ∈ U , x é uma carta em torno de q. A
coleção de todos os pares (U, x) que satisfazem a definição acima é chamada uma estrutura diferenciável
para a variedade M .
Mais geralmente, um atlas suave para um espaço localmente euclidiano (com base enumarável) M é uma
coleção A = {(Uλ , xλ ) / λ ∈ Λ} (onde Λ é um conjunto de ı́ndices), com Uλ aberto em M e xλ : Uλ → Rn
suave, para todo λ ∈ Λ, que satisfaz
i) M ⊆ ∪λ∈Λ Uλ
∞
ii) xµ ◦ x−1
λ ∈ C (xλ (U ∩ V ), xµ (U ∩ V )), ∀λ, µ ∈ Λ.
Uma estrutura diferenciável para M é um atlas suave maximal A para M , no sentido de que A contém
qualquer atlas suave para M .
Os abertos Uλ em um atlas suave são chamados vizinhanças parametrizadas. É fácil verificar que se
M for uma subvariedade de Rn e {(Uλ , xλ ) / λ ∈ Λ} for um atlas suave, a inversa x−1
λ : xλ (Uλ ) → Uλ de
qualquer carta local é uma imersão biunı́voca suave.
Exercı́cio: Subvariedades suaves de Rn são variedades diferenciáveis.
Sugestão: faça x = π ◦ ξ|ϕ(V ) , y = π ◦ η|ψ(V ) (onde ξ e η são difeomorfismos dados pela forma local das
imersões).
Exemplo 24 Se Ω ⊆ M é aberto em uma variedade diferenciável M , então Ω é uma variedade diferenciável,
com a mesma dimensão que M . Realmente cada q ∈ Ω está na interseção U ∩ Ω de uma vizinhança
parametrizada U com Ω e essa interseção é aberta em Ω. Além disso se x : U → Rn (supondo dim M = n)
é carta local suave, a restrição de x a U ∩ Ω é carta local para Ω. Finalmente, se q ∈ (Ω ∩ U ) ∩ (Ω ∩ V ) =
Ω ∩ (U ∩ V ), tem-se que y|V ∩Ω ◦ (x|U ∩Ω )−1 = (y ◦ x−1 )|x(U ∩V ∩Ω) : x(U ∩ V ∩ Ω) → y(U ∩ V ∩ Ω) é suave.
Exemplo 25 Um exemplo ”quase trivial” de variedade diferenciável é dado pelo espaço Rn . A coleção A
cujo único elemento é o par (Rn , i), em que i : Rn → Rn é a aplicação identidade, é um atlas suave para
Rn . Uma estrutura diferenciável é obtida acrescentando-se todos os pares (U, x), com U ⊆ Rn aberto, tais
que x : U → x(U ) seja um difeomorfismo.
20
Exercı́cio: Se M é variedade diferenciável e A é um atlas suave para M , uma estrutura diferenciável para
M é obtida acrescentando-se aos pares em A todos os pares da forma (V, y), com V aberto em M , que
satisfaçam
y ◦ x−1 ∈ C ∞ (x(U ∩ V ), y(U ∩ V )) e x ◦ y −1 ∈ C ∞ (y(U ∩ V ), x(U ∩ V ))
qualquer que seja o par (U, x) ∈ A.
Exemplo 26 Se M e N são variedades diferenciáveis, com dim M = m e dim N = n, a variedade produto
M ×N é definida pelo atlas maximal que contém todos os pares da forma (U ×V, x×y), com (U, x) percorrendo
um atlas suave para M e (V, y) percorrendo um atlas suave para N . A carta local x×y : U ×V → Rm ×Rn ∼
=
Rm+n é definida por
x × y (q, p) = (x(q), y(p))
para todo (q, p) ∈ U × V . É fácil verificar que (x × y)−1 = x−1 × y −1 e que o atlas indicado é um atlas
legı́timo, com a topologia produto (verificar). Tem-se dim(M × N ) = m + n.
Exemplo 27 O espaço (métrico) de todas as matrizes reais invertı́veis n × n é uma variedade diferenciável,
de dimensão n2 , que leva o nome de grupo linear geral e se representa com Gl(n, R) (como veremos adiante,
Gl(n, R) é um grupo de Lie). Como uma matriz quadrada é invertı́vel se e somente se o seu determinante é
2
não nulo e o conjunto das matrizes que têm determinante nulo é fechado na álgebra de Lie gl(n, R) ∼
= Rn ,
2
vemos que Gl(n, R) é, a menos de um difeomorfismo, um aberto na variedade Rn e, pelo exemplo 24, é uma
variedade diferenciável, com dim Gl(n, R) = n2 .
Exercı́cio: Toda variedade diferenciável é um espaço de Lindelöf.
Exercı́cio: Toda variedade diferenciável conexa é conexa por caminhos.
Observação 3 É uma conseqüência da forma local das imersões que se ϕ : U → M é uma parametrização
em uma subvariedade M ⊆ Rn , definida em um aberto U ⊆ Rk e ζ : V ⊆ Rm → ϕ(U ) é uma aplicação
suave, a composta ϕ−1 ◦ ζ : V → U é suave (veja-se [Lima](2006)). Pode-se dizer, portanto, que uma função
f : M → R é suave se, para toda parametrização ϕ : U → M , tem-se f ◦ ϕ suave. Realmente, se ψ : V → M
é outra parametrização, com ψ(V ) ∩ ϕ(U ) 6= ∅, então f ◦ ψ = f ◦ ϕ ◦ ϕ−1 ◦ ψ é suave se e somente se f ◦ ϕ
é suave.
Definição 32 Se f : U ⊆ M → R é uma função definida em um aberto U de uma variedade diferenciável
M , dizemos que f é suave se a função
f ◦ x−1 : U ∩ W → R
for suave, qualquer que seja o par (W, x) em um atlas suave para M (se U ∩ W = ∅, então f é trivialmente
suave). Escreve-se f ∈ C ∞ (U ). C ∞ (M ) é o espaço (vetorial) de todas as funções suaves definidas em M .
Definição 33 Se M, N são variedades diferenciáveis, uma aplicação contı́nua ψ : M → N é suave se para
toda função suave g : U → R definida em um aberto U ⊆ N , a função g ◦ ψ : ψ −1 (U ) → R é suave.
Escreve-se ψ ∈ C ∞ (M, N ).
Exercı́cio: Uma aplicação contı́nua ψ : M → N é suave se e somente se y ◦ ψ ◦ x−1 : x(W ) → y(ψ(W )) é
suave, para todo aberto W ⊆ U ∩ ψ −1 (V ), quaisquer que sejam os pares (U, x) em um atlas suave para M
e (V, y) em um atlas suave para N .
Exercı́cio: se M, N, R são variedades diferenciáveis e ψ : M → N e η : N → R são aplicações suaves,
então a aplicação η ◦ ψ : M → R é suave (composta de aplicações suaves é suave).
Exercı́cio: Se ψ : M → N é suave, então, com g : N → R, tem-se g ◦ ψ ◦ x−1 suave ∀ (U, x) se e somente se g ◦ y −1 suave ∀ (V, y).
21
Exercı́cio: ψ ∈ C ∞ (M, N ) se e somente se todo ponto em M tem uma vizinhança U ⊆ M tal que ψ|U
é suave (suavidade é propriedade local).
O espaço tangente
Se M é uma variedade diferenciável e q ∈ M , diremos que duas funções f : U → R e g : V → R,
definidas em vizinhanças abertas de q, tem o mesmo germe em q se elas coincidirem em alguma vizinhança
aberta de q. Em sı́mbolos: se existe W ⊆ U ∩ V , aberto em M , tal que f (q̃) = g(q̃), ∀ q̃ ∈ W . Escreveremos
f ∼ g.
Exercı́cio: A relação ∼ é uma relação de equivalência no conjunto das funções suaves em torno de q.
Definição 34 Se M é variedade diferenciável e f : U → R é uma função suave em torno de q ∈ M , o germe
de f em q é a classe de equivalência (definida pela relação de equivalência ∼ acima) que f representa.
Em palavras: [f ] é a classe de todas as funções suaves que coincidem com f em alguma vizinhança aberta
de q.
Definição 35 Um vetor tangente a uma variedade diferenciável M em um ponto q ∈ M é uma derivação
linear definida no espaço vetorial dos germes de funções suaves em torno de q. O espaço tangente a M em
q é o espaço vetorial de todos os vetores tangentes a M em q, indicado com Tq M .
Exercı́cio: O espaço dos germes de funções suaves em q é uma álgebra linear e o subespaço dos germes de
funções suaves que se anulam em q é um ideal.
Tem-se, portanto, w(λ[f ] + [g]) = λw([f ]) + w([g]) e w([f ][g]) = [g](q)w([f ]) + [f ](q)w([g]), quaisquer
que sejam os germes [f ] e [g] em q, onde se faz [f ](q) = f (q), com f um representante qualquer de [f ].
Observação 4 Se ϕ : Rn ∼
= Rn é um difeomorfismo e f ∈ C ∞ (Rn ), tomando no espaço Tϕ(q) Rn ∼
= Rn a
base
{e1 , ..., en } = {ϕ 0 (q)e1 , ..., ϕ 0 (q)en }
(onde ei = (ei )q , i = 1, ..., n), temos
∂f
(ϕ(q)) = f 0 (ϕ(q))ei = f 0 (ϕ(q))ϕ 0 (q)ei = (f ◦ ϕ)0 (q)ei = ∂i (f ◦ ϕ)(q).
∂ei
Se M k é subvariedade de Rn e ϕ : U ∼
= ϕ(U ) (com U ⊆ Rk aberto) é uma parametrização em torno de
ϕ(q) ∈ M , escolhamos no espaço tangente Tϕ(q) M a base
{e1 , ..., ek } = {ϕ0 (q)e1 , ..., ϕ0 (q)ek }
e suponhamos (diminuindo U se necessário) que ϕ é a restrição a U = M ∩ Ω de um C ∞ -difeomorfismo
ϕ:Ω∼
= ϕ(Ω) ⊆ Rn definido em um aberto Ω ⊆ Rn . E que f ∈ C ∞ (M ) é a restrição a M de uma função
suave f : Rn → R. Então, observando que ei é tangente a M e ei é tangente a U , obtemos
∂f
∂f
(ϕ(q)) =
(ϕ(q)) = ∂i (f ◦ ϕ)(q) = ∂i (f ◦ ϕ|U )(q) = ∂i (f ◦ ϕ)(q).
∂ei
∂ei
Podemos então, chamando de x1 , ..., xk as coordenadas dadas pela parametrização ϕ, definir uma base em
Tϕ(q) M por
∂
∂
(ϕ(q)), ...,
(ϕ(q)) = {ϕ0 (q)e1 , ..., ϕ0 (q)ek } = {e1 , ..., ek }
∂x1
∂xk
22
em que o i-ésimo vetor básico satisfaz
∂
∂f
(ϕ(q))(f ) =
(ϕ(q)) = ∂i (f ◦ ϕ)(q).
∂xi
∂ei
Se tivermos q ∈ M (em vez de q ∈ U ), a igualdade acima se torna
∂
(q)(f ) = ∂i (f ◦ ϕ)(ϕ−1 (q).
∂xi
Se M k é subvariedade de Rn e x : U ∼
= x(U ) é uma carta em torno de q ∈ M , a inversa x−1 : x(U ) → U
−1 0
é um difeomorfismo e sua derivada (x ) (x(q)) = x0 (q)−1 : Rk ∼
= Tq M leva qualquer base de Tx(q) Rk ∼
= Rk
em uma base de Tq M . Vamos indicar com
∂
∂
(q), ...,
(q)
∂x1
∂xk
a base de Tq M imagem da base canônica {e1x(q) , ..., ekx(q) } de Tx(q) Rk . Todo vetor tangente w ∈ Tq M é uma
combinação linear
k
X
∂
w=
(q)
wi
∂x
i
i=1
desses vetores básicos. Aplicando a uma função f , temos
∂
∂f
(q)(f ) =
(q) = ∂i (f ◦ x−1 )(x(q)).
∂xi
∂xi
No caso de uma variedade diferenciável M , na inexistência de uma base natural para Tq M , definimos
os vetores tangentes básicos pela igualdade acima. Se x e y são duas cartas em torno de q, obtemos
k
X ∂xi
∂
∂
(q) =
(q)
(q)
∂yj
∂yj
∂xi
i=1
Exercı́cio: Se M é variedade diferenciável e x : U ∼
= x(U ) é carta local, com q ∈ U , considere a função
xs : U → R dada por xs = πs ◦ x, onde πs : Rk → R é a projeção no s-ésimo eixo, s ∈ {1, ..., k} ((x1 , ..., xk )
são as coordenadas introduzidas pela carta x). Então a base de Tq M construı́da acima satisfaz
∂
(q)(xs ) = δis
∂xi
(delta de Kronecker), quaisquer que sejam i, s ∈ {1, ..., k}.
23
Exercı́cio: Se q ∈ U ⊆ M e w ∈ Tq M então w =
função coordenada associada à carta x.
Pk
i=1
∂
(q), onde xi : U → Rn é a i-ésima
w(xi ) ∂x
i
Se ψ : M → N é suave e α : I → M é uma curva suave, a composta ψ ◦ α é uma curva suave em N e a
imagem do vetor velocidade α0 (0) pela derivada de ψ no ponto q = α(0) ∈ M deve ser o vetor velocidade da
curva ψ ◦ α no ponto ψ(q) (pelo menos é o que ocorre com as subvariedades de Rn ). Queremos, portanto,
definir uma transformação linear ψ 0 (q) : Tq M → Tψ(q) N que leve vetores tangentes a M em q em vetores
tangentes a N em ψ(q). Se w ∈ Tq M , poderemos saber o que é o vetor tangente ψ 0 (q)w ∈ Tψ(q) N se
soubermos o que é ψ 0 (q)w(f ), para f ∈ C ∞ (N ). E como ψ ◦ f ∈ C ∞ (M ), sabemos o que é w(f ◦ ψ).
Definição 36 Se ψ : M → N é uma aplicação suave entre as variedades diferenciáveis M e N , a derivada
ψ 0 (q) : Tq M → Tψ(q) N de ψ no ponto q ∈ M é dada por
ψ 0 (q)w(f ) = w(f ◦ ψ)
quaisquer que sejam o vetor tangente w ∈ Tq M e a função suave f ∈ C ∞ (N ).
Exercı́cio: ψ 0 (q) é linear.
Uma conseqüência da definição acima é a regra da cadeia para as variedades.
Teorema 37 Se ψ : M → N é uma aplicação suave em torno de q ∈ M e η : N → R é uma aplicação suave
em torno de ψ(q) ∈ N , com M, N, R variedades diferenciáveis, então a aplicação composta η ◦ ψ : M → R
é suave em torno de q e
(η ◦ ψ)0 (q) = η 0 (ψ(q))ψ 0 (q).
Prova
Se w ∈ Tq M e f ∈ C ∞ (R), temos
η 0 (ψ(q))ψ 0 (q)w(f ) = ψ 0 (q)w(f ◦ η) = w((f ◦ η) ◦ ψ) = w(f ◦ (η ◦ ψ)) = (η ◦ ψ)0 (q)w(f ).
c.q.d.
Outro fato útil é que as aplicações com derivada nula são constantes nas componentes conexas de uma
variedade.
Lema 4 Se ψ : M → N é suave e ψ 0 (q) = 0 para todo q ∈ M , com M conexa, então ψ é constante em M .
Prova
Sejam p ∈ M um ponto qualquer e W = ψ −1 (ψ(p)) o conjunto dos pontos q ∈ M tais que ψ(q) = ψ(p).
Então W 6= ∅ (pois p ∈ W ) e W = W (pois W é a pré-imagem de um ponto). Se q ∈ W , sejam (U, x) uma
carta para M em torno de q e (V, y) uma carta para N em torno de ψ(q). Qualquer que seja q̃ ∈ U , tem-se
0 = ψ 0 (q̃)
=
X
∂
∂
∂
(q̃) =
ψ 0 (q̃)
(q̃)(yi )
(ψ(q̃)) =
∂xj
∂x
∂y
j
i
i
X ∂(yi ◦ ψ)
X ∂
∂
∂
(q̃)(yi ◦ ψ)
(ψ(q̃)) =
(q̃)
(ψ(q̃))
∂x
∂y
∂x
∂y
j
i
j
i
i
i
para j = 1, ..., dim M .
∂
Como { ∂y
(ψ(q̃))} é uma base de Tψ(q̃) N , obtemos
i
∂(yi ◦ ψ)
(q̃) = 0
∂xj
24
para todo q̃ ∈ U , i = 1, ..., dim N . E como j era qualquer, concluimos que a aplicação
y ◦ ψ ◦ x−1 : x(U ) → y(V )
é constante. Sendo x : U ∼
= x(U ) e y : v ∼
= y(V ) difeomorfismos, temos que ψ é constante em U . Isto é,
ψ(q̃) = ψ(q) = ψ(p) para todo q̃ ∈ U . Em conseqüência, q ∈ W é um ponto interior. Como q ∈ W era
qualquer, vemos que W é aberto em M . Portanto W = M .
c.q.d.
Subvariedades
Definição 38 Se N n é uma variedade diferenciável, uma subvariedade de N é um par (M, ψ), em que M
é uma variedade diferenciável e ψ : M → N é uma imersão biunı́voca.
Se a imersão ψ : M → N não for biunı́voca, dizemos que (M, ψ) é uma subvariedade imersa.
Se a imersão biunı́voca ψ : M → N for um mergulho, diz-se que (M, ψ) é uma subvariedade mergulhada.
Exemplo 28 O par (I, α) com I = (−1, ∞) e α : I → R2 dada por
α(t) = (t3 − t, t2 )
é um exemplo de subvariedade em R2 . Observe-se que não é mergulhada.
Exemplo 29 O par (R2 , ϕ) com ϕ : R2 → R3 dada por
ϕ(t, z) = (t3 − t, t2 , z)
é um exemplo de subvariedade imersa em R3 .
Exemplo 30 O cı́rculo S1 é um exemplo de subvariedade mergulhada em R2 . Observe-se que, em torno
de cada ponto, a inclusão é um mergulho, o que não ocorre no caso do exemplo 28 acima (tome-se o ponto
(0, 1) ∈ R2 ).
Exemplo 31 Um exemplo canônico de subvariedade mergulhada é dado pelo par (M, i), com M = Rk e
i : Rk → Rn (n > k) dada por i(x1 , ..., xk ) = (x1 , ..., xk , 0, ..., 0). Se π : Rn → Rn−k é a projeção nas
últimas n − k coordenadas, tem-se i(M ) = π −1 (0). Observe-se que M é dada pelo sistema de equações
xk+1 = ... = xn = 0.
Definição 39 Se (U, x) é uma carta em uma variedade diferenciável M n e r = (rk+1 , ..., rn ) é um vetor
(fixo) em Rn−k , o conjunto dos pontos q ∈ U que satisfazem
xk+1 (q) = rk+1 , . . . , xn (q) = rn
é uma slice da carta (U, x).
Um resultado importante é que a imagem da restrição de uma imersão a uma vizinhança aberta suficientemente pequena de um ponto é uma slice.
25
O teorema da aplicação inversa tem um enunciado elegante no contexto das variedades.
Teorema 40 Se ψ : M → N é suave e q ∈ M é tal que ψ 0 (q) : Tq M ∼
= Tψ(q) N é um isomorfismo, então o
ponto q tem uma vizinhança aberta U ⊆ M restrita à qual ψ é um difeomorfismo sobre o aberto ψ(U ) ⊆ N .
Em sı́mbolos: ψ|U : U ∼
= ψ(U ) é um difeomorfismo. Observe que se os espaços tangentes Tq M e Tψ(q) N são
isomorfos as variedades M e N têm a mesma dimensão.
A versão geométrica do teorema das funções implı́citas permite identificar muitas subvariedades.
Teorema 41 Se ψ : M m → N n é suave e ψ 0 (q) é sobre para todo q ∈ W = ψ −1 (ψ(q)), então o par
(W, i) (com i : W → M a inclusão) é uma subvariedade mergulhada em M com dimensão m − n. Tem-se
Tq W = ker ψ 0 (q).
Exemplo 32 Sabemos
a esfera Sn é uma subvariedade mergulhada em Rr , ∀r > n. Pois Sn = ψ −1 (1),
P que
2
com ψ(x1 , ..., xn ) = xi .
Exemplo 33 Sabemos (desde o exemplo 27) que o grupo linear geral Gl(n, R), de todas as matrizes in2
vertı́veis n × n, é uma variedade diferenciável (difeomorfa ao espaço Rn ). Uma classe que se destaca entre
as matrizes invertı́veis é a das matrizes cuja inversa coincide com a transposta. Uma matriz X ∈ Gl(n, R)
é chamada ortogonal se X t = X −1 , ou, equivalentemente, se X t X = I, onde I é a matriz identidade n × n.
O espaço das matrizes ortogonais é definido por
O(n) = {X ∈ Gl(n, R) / X t X = I}.
Observe-se que O(n) é um grupo, com a operação de multiplicação de matrizes. Além disso, pode-se verificar
que O(n) é uma variedade diferenciável. Mais precisamente: (O(n), i) é uma subvariedade mergulhada em
Gl(n, R).
f
−1
Realmente, se definirmos a aplicação f : Gl(n, R) → gl(n, R) por f (X) = X t X, vemos que O(n) =
(I). Se pudermos provar que f 0 (X) é sobre, para todo X ∈ O(n), o teorema acima justificará a afirmação.
Observemos, em primeiro lugar, que a imagem da aplicação f está contida no espaço vetorial S das
matrizes simétricas n × n (observe-se que S não é álgebra de Lie e que X t X ∈ S ∀ X ∈ Gl(n, R)). Tome-se
X ∈ O(n) fixa (porém arbitrária) e seja S ∈ S uma matriz simétrica qualquer. Fazendo ξ(X, Y ) = X t Y
obtemos uma aplicação bilinear ξ : gl(n, R) × gl(n, R) → gl(n, R) e vemos que f é a restrição de ξ à diagonal
de Gl(n, R) × Gl(n, R), dada por
f (X) = ξ(X, X) ,
∀ X ∈ Gl(n, R).
A derivada de ξ em um ponto (X, Y ) é dada por ξ 0 (X, Y )(V, W ) = ξ(X, W ) + ξ(V, Y ). Portanto
f 0 (X)V = ξ 0 (X, X)(V, V ) = ξ(X, V ) + ξ(V, X) = X t V + V t X.
E logo, tomando V =
0
XS
2 ,
t
obtemos
t
f (X)V = X V + V X = X
t XS
2
+
XS
2
t
X=
X t XS
StX t
S
S
+
X = + = S.
2
2
2
2
26
Segue-se que f 0 (X) é sobre S e (como X ∈ O(n) era qualquer) I é um valor regular. O teorema se aplica.
O teorema das funções implı́citas permite ainda afirmar que a dimensão da subvariedade O(n) é igual a
n(n + 1)
n(n − 1)
n2 − dim S = n2 −
=
. Observemos, finalmente, que se uma matriz X satisfaz X t X = I,
2
2
então as colunas de X formam uma base ortonormal do espaço Rn . Em particular, a transformação linear
definida por X preserva a norma dos vetores em Rn e deixa invariantes as esferas de centro na origem.
Exercı́cio: justificar as últimas afirmações do exemplo acima.
Exercı́cio: dim S =
n(n+1)
.
2
Exercı́cio: O(n) é uma variedade compacta.
Fluxos e campos vetoriais
Se γ : I → M é uma curva suave em uma variedade diferenciável M , um campo vetorial X ao longo de
γ é uma aplicação que associa a cada t ∈ I um vetor tangente Xγ(t) ∈ Tγ(t) M .
Exemplo 34 O campo velocidade de uma curva suave γ : I → M é um campo vetorial ao longo de γ,
tangente a γ (em particular, tangente a M ).
Um campo vetorial X, definido em um aberto U ⊆ M de uma variedade diferenciável M é uma aplicação
que a cada ponto q ∈ U associa um vetor tangente Xq ∈ Tq M .
Exercı́cio: Se a curva γ : I → M é mergulhada, um campo vetorial ao longo de γ pode ser obtido compondo
com γ um campo vetorial definido em um aberto que contenha o traço de γ (exibir um contra-exemplo
quando a curva não for mergulhada).
Definição 42 Se M é variedade diferenciável, o fibrado tangente de M é a união disjunta
T M = ∪q∈M Tq M
com a topologia induzida pela projeção π : T M → M , dada por π(w) = q se w ∈ Tq M .
Um vetor tangente w está em T M se existe q ∈ M tal que w = wq ∈ Tq M . A pré-imagem π −1 (q) de um
ponto q é chamada a fibra de T M sobre q. Observe que π −1 (q) = Tq M .
Se em cada ponto de um espaço de dimensão n considerarmos todos os vetores em um espaço vetorial
tangente naquele ponto, que também tem dimensão n, teremos 2n graus de liberdade. Realmente, o fibrado
tangente a uma variedade n-dimensional é uma variedade diferenciável cuja dimensão é 2n. Uma vizinhança
parametrizada em torno de um ponto wq ∈ T M pode ser obtida identificando-se wq com o par ordenado
(q, wq ) e tomando-se a pré-imagem π −1 (U ) de uma vizinhança parametrizada U 3 q. Como cada fibra
Tq M é isomorfa ao espaço Rn , uma carta local pode ser construı́da a partir de uma carta local (U, x) de
um atlas em M . E obtem-se um atlas T A = {(T U, x̃) / (U, x) ∈ A} em que T U = π −1 (U ) = ∪q∈U Tq M e
x̃ : π −1 (U ) → U × Rn é dada por
x̃(wq ) = (x ◦ π(wq ), x∗ wq ) = (x(q), x0 (q)wq ).
Exercı́cio: T U ∩ T V = T (U ∩ V ) 6= ∅ sse U ∩ V 6= ∅.
Exercı́cio: Se (T U, x̃) e (T V, ỹ) são cartas de T A tais que U ∩ V 6= ∅, então a aplicação
27
ỹ ◦ x̃−1 : x̃(T (U ∩ V )) → ỹ(T (U ∩ V )) é um C ∞ -difeomorfismo.
Um campo vetorial em uma variedade diferenciável M é, portanto, uma aplicação de M no fibrado
tangente T M .
Definição 43 Se M é variedade diferenciável, um campo vetorial suave definido em um aberto U ⊆ M é
uma aplicação suave X : U → T M tal que Xq = X(q) ∈ Tq M, ∀ q ∈ U . Se α : I → M é uma curva suave,
um campo ao longo de α é uma curva X : I → T M tal que X(t) ∈ Tα(t) M ∀ t ∈ I.
O conjunto dos campos vetoriais suaves em U será denotado com X∞ (U ).
Exercı́cio: X∞ (U ) é um espaço vetorial.
Se X : U → T M é um campo vetorial suave e π : T M → M é a projeção, a composta π ◦ X é a
identidade de U . Em palavras: X é um levantamento de U em T M . Um campo suave ao longo de uma
curva suave α : I → M é uma curva suave em T M .
Se (U, x) é uma carta em M e X : U → T M é um campo vetorial, existem funções λ1 , ..., λn : U → R
tais que
n
X
∂
λi
Xq =
(q)
∂x
i
i=1
para todo q ∈ U . Observe-se que o conjunto
∂
∂
, ...,
∂x1
∂xn
é uma base para o espaço vetorial X∞ (U ) dos campos suaves definidos em U .
Teorema 44 Se (U, x) é uma carta em M e X : U → T M é um campo vetorial, as afirmações abaixo são
equivalentes.
X é suave.
Pn
∂
, com λi ∈ C ∞ (U ), i = 1, ..., n.
X = i=1 λi ∂x
i
∞
X(f ) ∈ C (U ) para toda função f ∈ C ∞ (U ).
28
A terceira afirmação no teorema acima diz que um campo vetorial suave em U é uma aplicação X : C ∞ (U ) →
C ∞ (U ).
O espaço vetorial X∞ (U ) dos campos suaves em um aberto U de uma variedade diferenciável M possui
uma estrutura de álgebra de Lie se definirmos o bracket de dois campos vetoriais suaves X e Y pelo campo
vetorial [X, Y ], que ao ponto q ∈ U associa o vetor tangente [X, Y ]q ∈ Tq M , dado por
[X, Y ]q (f ) = Xq (Y (f )) − Yq (X(f )) , ∀ f ∈ C ∞ (U ).
Se X é um campo vetorial em U , a função X(f ) : U → R é definida por X(f )(q) = Xq (f ). Fazendo o ponto
q percorrer a vizinhança paramentrizada U , vemos que o campo vetorial [X, Y ] é dado por [X, Y ](f ) =
X(Y (f )) − Y (X(f )), para f ∈ C ∞ (U ). Segue-se que o bracket de campos vetoriais suaves é um campo
vetorial suave.
Exercı́cio: Se M é variedade diferenciável e o bracket é definido como acima, tem-se
[Y, X] = −[X, Y ], ∀ X, Y ∈ X∞ (M ).
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀ X, Y, Z ∈ X∞ (M ).
[f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X, ∀ X, Y ∈ X∞ (M ), ∀ f, g ∈ C ∞ (M ).
Definição 45 Se ϕ : M → N é uma aplicação suave de M sobre N , o push forward (ou push out) de um
campo vetorial X ∈ X∞ (M ) pela aplicação ϕ é o campo vetorial ϕ∗ X ∈ X∞ (N ) definido por
ϕ∗ Xϕ(q) = ϕ0 (q)Xq
para q ∈ M . Os campos vetoriais X ∈ X∞ (M ) e Y ∈ X∞ (N ) são ϕ-relacionados se Y = ϕ∗ X.
Observemos que se os campos X, Z ∈ X∞ (M ) forem ϕ-relacionados com os campos Y, W ∈ X∞ (N ),
seus brackets [X, Z] e [Y, W ] também serão ϕ-relacionados. Mais precisamente: se Y = ϕ∗ X e W = ϕ∗ Z
então [Y, W ] = ϕ∗ [X, Z].
Realmente, se ϕ∗ X = Y e f ∈ C ∞ (M ), tem-se
X(f ◦ ϕ)(q) = (f ◦ ϕ)0 (q)Xq = f 0 (ϕ(q))ϕ0 (q)Xq = f 0 (ϕ(q))Yϕ(q) = Yϕ(q) (f ) =
= Y (f )(ϕ(q)) = Y (f ) ◦ ϕ(q)
∀q ∈ M
e logo X(f ◦ ϕ) = Y (f ) ◦ ϕ.
Portanto, se Y = ϕ∗ X e W = ϕ∗ Z, teremos
[Y, W ]ϕ(q) (f ) = Yϕ(q) (W (f )) − Wϕ(q) (Y (f )) = ϕ0 (q)Xq (W (f )) − ϕ0 (q)Zq (Y (f )) =
= Xq (W (f ) ◦ ϕ) − Zq (Y (f ) ◦ ϕ) = Xq (Z(f ◦ ϕ)) − Zq (X(f ◦ ϕ)) = [X, Z]q (f ◦ ϕ) =
= (f ◦ ϕ)0 (q)[X, Z]q = f 0 (ϕ(q))ϕ0 (q)[X, Z]q = ϕ0 (q)[X, Z]q (f ) ∀ f ∈ C ∞ (M )
e logo [Y, W ]ϕ(q) = ϕ0 (q)[X, Z]q ∀q ∈ M . E segue-se que [Y, W ] = ϕ∗ [X, Z].
Definição 46 A órbita (ou curva integral) de um campo vetorial X ∈ X∞ (M ) por um ponto q ∈ M é a
curva suave γq : I → M definida por
γq (0) = q
e
γq0 (t) = Xγ(t) ∀ t ∈ I
onde I é um intervalo maximal de definição de γq , com 0 ∈ I.
29
A existência e unicidade da órbita γq decorre de teoremas clássicos de equações diferenciais (veja-se [Sotomayor](1979)).
Exercı́cio: Suponha que a órbita γq de um campo vetorial X ∈ X∞ (M ) está definida em R, para todo
q ∈ M . Fixe t ∈ R e defina a aplicação φt : M → M por φt (q) = γq (t). Prove que φt é um difeomorfismo.
Definição 47 Um campo vetorial X em uma variedade M é completo se as órbitas de X estão definidas
em R. Isto é, existe γq (t) para todo t ∈ R, para qualquer q ∈ M .
Definição 48 O fluxo de um campo vetorial completo X ∈ X∞ (M ) é a famı́lia a um parâmetro {φt / t ∈ R}
de difeomorfismos associados a X pela correspondência φt (q) = γq (t).
Definição 49 Um ponto q ∈ M é uma singularidade de um campo vetorial X ∈ X∞ (M ) se Xq = 0.
Exercı́cio: Se q ∈ M é singularidade de X ∈ X∞ (M ) e γ : Iq → M é órbita de X tal que γ(0) = q, então
γ(t) ≡ q.
Sugestão: Se η : I → M é definida por η(t) ≡ q, então η é órbita de X (verificar), com γ(0) = q = η(0) e
γ 0 (0) = Xγ(0) = Xq = 0 = η 0 (0). Logo γ = η.
Exemplo 35 Todo campo vetorial contı́nuo definido em uma esfera de dimensão par tem uma singularidade.
A demonstração desse fato utiliza um teorema importante da Topologia, que afirma que em uma esfera de
dimensão par a aplicação antı́poda não é homotópica à identidade (veja-se [Lima](1998)). Supondo que
X não tenha nenhuma singulridade é possı́vel construir uma homotopia entre a antı́poda e a identidade e
concluir que a dimensão não pode ser par ([Lima](2006)).
Todo campo regular é topologicamente um campo trivial. Mais geralmente: se X ∈ X∞ (M ) e o ponto
q ∈ M tem uma vizinhança W tal que Xp 6= 0 ∀p ∈ W , então existe uma carta (U, x) em torno de q, com
U ⊆ W , tal que o campo vetorial x∗ X ∈ X∞ (x(U )) é o campo ”constante” q 7→ (e1 )q .
Teorema 50 Se X ∈ X∞ (M ) e Xq 6= 0, existe uma carta (U, x) em torno de q tal que X|U coincide com o
∂
.
campo coordenado ∂x
1
Para uma demonstração, pode-se tomar uma seção transversal às órbitas de X no ponto q e aplicar o teorema
da aplicação inversa (veja-se [Sotomayor](1979)).
Uma generalização natural da idéia de campo vetorial em uma variedade é a de um campo de k-planos
(ou k-distribuição), com k ∈ {1, ..., dim M }. Assim como um campo de vetores X ∈ X∞ (M ) associa a cada
ponto q ∈ M um vetor tangente Xq ∈ Tq M , pode-se considerar uma aplicação que a cada ponto q ∈ M
associe uma reta tangente a M em q. E mais geralmente, pode-se pensar em uma aplicação que a cada
q ∈ M associe um subespaço k-dimensional do espaço tangente Tq M . No primeiro caso temos um campo
de direções (ou campo de 1-planos) e, no segundo caso, um campo de k-planos, de acordo com a definição
abaixo.
Definição 51 Um campo de k-planos ∆ em uma variedade n-dimensional M (com n ≥ k) é uma escolha
de um subespaço k-dimensional ∆q do espaço tangente Tq M , para cada q ∈ M . ∆ é suave se todo ponto em
M tem uma vizinhança aberta W na qual estão definidos campos vetoriais suaves X1 , ..., Xk que geram ∆
em W (isto é, os vetores tangentes (X1 )q , ..., (Xk )q geram ∆q , para todo q ∈ W ).
Se o espaços tangentes tiverem estrutura de álgebra de Lie, cabe perguntar se os subespaços ∆q são
invariantes pelo bracket. Isso leva á definição que se segue. Diz-se que um campo vetorial X ∈ X∞ (M ) está
em ∆ se Xq ∈ ∆q para todo q ∈ M .
Definição 52 Um campo de k-planos ∆ em uma variedade diferenciável M n é involutivo se o campo vetorial
[X, Y ] estiver em ∆ sempre que os campos X e Y estiverem em ∆.
30
Não é difı́cil ver que se um campo de k-planos ∆ tem uma variedade integral por cada ponto, então ∆
é involutivo. O Teorema de Frobenius fornece a recı́proca.
Teorema 53 Se ∆ é um campo de k-planos suave e involutivo em uma variedade M n , por cada ponto passa
uma variedade integral de ∆. Se q ∈ M , existe uma carta (U, x) em torno de q, com x = (x1 , ..., xn ), tal que
as slices
xk+1 ≡ rk+1 , . . . , xn ≡ rn
rk+1 , ..., rn ∈ R, constantes
são variedades integrais de ∆. E qualquer variedade integral conexa de ∆ contida em U está em uma dessas
slices.
31
Capı́tulo 3
Grupos de Lie
Grupos de Lie
Um grupo de Lie é, intuitivamente, uma variedade diferenciável cujos pontos podem ser ”somados”,
como no Rn (uma variedade com estrutura de grupo ou um grupo com uma estrutura diferenciável). Mais
precisamente:
Definição 54 Um grupo de Lie é uma variedade diferenciável G munida de uma estrutura de grupo tal que
a aplicação
G×G→G
(g, h) 7→ gh−1
é de classe C ∞ .
Exercı́cio: A definição permite concluir que a multiplicação (g, h) 7→ gh e a inversão g 7→ g −1 são suaves.
Sugestão: prova-se primeiro que a inversão é suave.
Exemplo 36 O grupo R (com a soma) é um exemplo trivial de grupo de Lie.
2
Exemplo 37 O grupo Gl(n, R) das matrizes n × n invertı́veis em gl(n, R) ∼
= Rn (com a multiplicação de
matrizes) é um grupo de Lie. Realmente, vimos no exemplo 27 que Gl(n, R) é uma variedade diferenciável.
É imediato verificar que Gl(n, R) é um grupo. Finalmente, a multiplicação e a inversão de matrizes definem
aplicações de classe C ∞ .
Exemplo 38 A variedade diferenciável O(n) do exemplo 33 é um exemplo de grupo de Lie compacto.
Observe-se que O(n) é fechado por ser pré imagem de um ponto (a matriz I) por uma aplicação suave.
E é limitado porque qualquer X ∈ O(n) é uma matriz cujas colunas formam uma base ortonormal de um
espaço euclidiano de dimensão finita. O(n) é chamado o grupo ortogonal.
Exemplo 39 Sabemos que o espaço vetorial de todos os endomorfismos de um espaço vetorial V é uma
álgebra de Lie. Se considerarmos apenas os endomorfismos invertı́veis, que são chamados automorfismos de
V , teremos um grupo de Lie, com a operação de composição de endomorfismos.
Associadas a um cada grupo de Lie estão duas famı́lias de difeomorfismos, que são chamados translações,
de acordo com a definição abaixo.
Definição 55 Se G é grupo de Lie e g ∈ G, a translação à esquerda por g é o difeomorfismo lg , definido
por lg (h) = gh ∀h ∈ G. A translação à direita por g é o difeomorfismo rg : G → G definido por rg (h) = hg.
Definição 56 Um campo vetorial (suave) X : G → T G, definido em um grupo de Lie G, é invariante à
esquerda se (lg )∗ X = X, para todo g ∈ G, onde lg é a translação à esquerda h 7→ gh determinada por g, e
ϕ∗ X é o push forward de X pela aplicação ϕ (definido por (ϕ∗ X)ϕ(q) = ϕ0 (q)Xq ).
32
Exercı́cio: As translações à esquerda e à direita são difeomorfismos de G sobre G.
Exercı́cio: A componente conexa de um grupo de Lie G que contém o elemento neutro de G é um grupo de
Lie (obviamente conexo).
Exercı́cio: As componentes conexas de um grupo de Lie G são duas a duas difeomorfas.
Indicaremos com Lie(G) o espaço vetorial de todos os campos invariantes à esquerda em um grupo de
Lie G. Prova-se que todo campo vetorial invariante à esquerda em um grupo de Lie é suave. Logo Lie(G)
é um subespaço de X∞ (G) e é, portanto, munido de um bracket (herança da álgebra de Lie X∞ (G)), dado
por
[X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f ))
para toda função f ∈ C ∞ (G).
Exercı́cio: Verifique as afirmações abaixo, com g = Lie(G).
i) g é um espaço vetorial.
ii) A aplicação α : X ∈ g 7→ Xe ∈ Te G é um isomorfismo.
iii) O bracket de campos invariantes à esquerda é invariante à esquerda.
iv) g é uma álgebra de Lie.
Exemplo 40 Prova-se ([Knapp](1986)) que a álgebra de Lie dos campos invariantes à esquerda em Gl(n, R)
é isomorfa à álgebra de Lie gl(n, R) de todas as matrizes reais n × n.
Observação 5 Um campo invariante à esquerda fica completamente determinado se se conhece seu valor em
um único ponto. O espaço tangente Te G adquire estrutura de álgebra de Lie (isomorfa a g) se exigirmos que o
isomorfismo X 7→ Xe seja um isomorfismo de álgebras de Lie (definindo [Xe , Ye ] = [X, Y ]e , ∀Xe , Ye ∈ Te G).
Essa é a álgebra de Lie do grupo de Lie G, denotada por Lie(G).
Exercı́cio: Se {X1 , ..., Xn } é uma base para a álgebra dos campos vetoriais invariantes à esquerda em um
grupo de Lie G, prove
Pn que existem escalares λijk , i, j, k = 1, ..., n, tais que
i) [Xi , Xj ] = k=1 λijk Xk , i, j = 1, ..., n.
ii) λP
ijk + λjik = 0, i, j, k = 1, ..., n.
n
iii) r=1 (λijr λrks + λjkr λris + λkir λrjs ) = 0, i, j, k, s = 1, ..., n.
Definição 57 Um homomorfismo entre grupos de Lie G e H é um homomorfismo suave de grupos. Um
isomorfismo entre G e H é um difeomorfismo de G sobre H que é, também, um homomorfismo de grupos.
Hom(G, H) é o espaço dos homomorfismos de G em H.
Exercı́cio: Se ϕ : G → H é homomorfismo e indicarmos com g e h as álgebras de Lie dos grupos de Lie G e
H, a derivada ϕ∗ = ϕ0 (e) : g → h é um homomorfismo de álgebras de Lie.
Definição 58 Uma forma diferencial ω definida em um grupo de Lie G é invariante à esquerda se lg∗ ω = ω,
para todo g ∈ G (onde ϕ∗ ω indica o pull back de ω pela aplicação ϕ).
Exercı́cio: Se a 1-forma ω (definida em G) é invariante à esquerda e X ∈ X∞ (G) é invariante à esquerda,
então a função ω(X) : G → R é constante.
Grupos de Lie conexos
Os homomorfismos definidos em um grupo de Lie conexo podem ser determinados a partir de suas
derivadas.
33
Teorema 59 Se ϕ : G → H e ψ : G → H são homomorfismos, com G grupo de Lie conexo, e ϕ0 (e) = ψ 0 (e),
então ϕ = ψ.
Observe-se que ϕ(e) = ψ(e) e que ϕ0 (e)X = ψ 0 (e)X ∀X ∈ Te G ∼
= g. Pela unicidade de soluções de equações
diferenciais, vemos que as imagens por ϕ e por ψ das órbitas de campos vetoriais em G passando pelo neutro
são as mesmas curvas em H.
Outro fato interessante acerca dos grupos de Lie conexos é que eles são gerados por qualquer vizinhança
(aberta) do neutro.
Teorema 60 Se G é um grupo de Lie conexo e U ⊆ G é uma vizinhança de e, então
n
G = ∪∞
n=1 U
onde U n indica o conjunto de todos os produtos de n elementos em U .
Prova
n
Tome-se V ⊆ U uma vizinhança aberta de e tal que V −1 = V e defina-se W = ∪∞
n=1 V . Então W é um
n
subgrupo de G. Realmente, se g ∈ W , então g ∈ V para algum n, e logo existem g1 , ..., gn ∈ V tais que
g = g1 ...gn . Se h também está em W , então h = h1 ...hk ∈ V k para algum k (com hi ∈ V ) e logo
gh = g1 ...gn h1 ...hk ∈ V n+k ⊆ W.
Além disso, W é aberto. Pois se g ∈ W , o conjunto gV = {gh / h ∈ V } é uma vizinhança aberta de g,
contida em W (observe-se que gV = lg (V ) é a imagem de V por um difeomorfismo).
Afirmamos que W é fechado. Observe-se que G é união disjunta das classes laterais determinadas por W ,
que são todas abertas (difeomorfas a W ) e logo W , por ser o complementar em G da união de todas as
classes laterais diferentes dele próprio, é fechado em G.
Obviamente, W 6= ∅, pois W 3 e. Portanto, como G é conexo, tem-se W = G.
c.q.d.
Os grupos de Lie são localmente conexos por caminhos e semi-localmente 1-conexos. Segue-se da Teoria
dos Espaços de Recobrimento que todo grupo de Lie conexo tem um espaço de recobrimento (universal)
π : G̃ → G, simplesmente conexo, em que a aplicação de recobrimento π é um difeomorfismo local suave.
É possı́vel definir em G̃ uma estrutura de grupo que torna G̃ um grupo de Lie e π : G̃ → G um homomorfismo.
Realmente, defina-se a aplicação α : G̃ × G̃ → G por α(g̃, h̃) = π(g̃)π(h̃)−1 e escolha-se ẽ ∈ π −1 (e).
Os homomorfismos induzidos α∗ : π1 (G̃ × G̃) → π1 (G) e π∗ : π1 (G̃) → π1 (G) satisfazem
α∗ (π1 (G̃ × G̃)) = α∗ (0) = 0 = π∗ (π1 (G̃))
e logo existe um único levantamento α̃ : G̃ × G̃ → G̃ tal que π ◦ α̃ = α e α̃(ẽ, ẽ) = ẽ (note-se que α̃ é suave,
pois α(G̃ × G̃) ⊆ π(G̃)). Definem-se então
h̃−1 = α̃(ẽ, h̃)
e
g̃ h̃ = α̃(g̃, h̃−1 ) = α̃(g̃, α̃(ẽ, h̃))
Observe-se que ẽ−1 = α̃(ẽ, ẽ) = ẽ e que ẽẽ = α̃(ẽ, ẽ−1 ) = α̃(ẽ, ẽ) = ẽ.
Sejam então
i(g̃) = g̃ , β(g̃) = ẽg̃ , γ(g̃) = g̃ẽ ,
∀g̃ ∈ G̃.
Temos
i) π ◦ i(g̃) = π(g̃) ∀g̃ ∈ G̃ e i(ẽ) = ẽ.
ii) π ◦ β(g̃) = π(ẽg̃) = π ◦ α̃(ẽ, α̃(ẽ, g̃)) = α(ẽ, α̃(ẽ, g̃)) = π(ẽ)(π ◦ α̃(ẽ, g̃))−1 = α(ẽ, g̃)−1 =
= (π(ẽ)π(g̃)−1 )−1 = eπ(g̃) = π(g̃) ∀g̃ ∈ G̃ e β(ẽ) = ẽẽ = ẽ.
iii) π ◦ γ(g̃) = π(g̃ẽ) = π ◦ α̃(g̃, ẽ−1 ) = α(g̃, ẽ) = π(g̃)π(ẽ)−1 = π(g̃) ∀g̃ ∈ G̃ e γ(ẽ) = ẽ.
34
E segue-se da unicidade do levantamento que i = β = γ. Portanto g̃ = ẽg̃ = g̃ẽ, ∀g̃ ∈ G̃.
Se fizermos ϕ(g̃) = g̃g̃ −1 , ψ(g̃) = g̃ −1 g̃ e o(g̃) = ẽ, teremos
π ◦ ϕ(g̃) = π ◦ α̃(g̃, α̃(ẽ, α̃(ẽ, g̃))) = π(g̃)α(ẽ, α̃(ẽ, g̃))−1 = π(g̃)(α(ẽ, g̃)−1 )−1 = π(g̃)π(g̃)−1 = e
e, similarmente, π ◦ ψ(g̃) = e = π ◦ o(g̃), ∀g̃ ∈ G̃. Tem-se também ϕ(ẽ) = ψ(ẽ) = o(ẽ) = ẽ e, portanto,
ϕ = ψ = o. Segue-se que g̃g̃ −1 = g̃ −1 g̃ = ẽ, ∀g̃ ∈ G̃.
E se definirmos ξ : G̃ × G̃ × G̃ → G̃ e η : G̃ × G̃ × G̃ → G̃ por
ξ(g̃, h̃, k̃) = (g̃ h̃)k̃
e
η(g̃, h̃, k̃) = g̃(h̃k̃)
obteremos π ◦ ξ(g̃, h̃, k̃) = π ◦ η(g̃, h̃, k̃) = π(g̃)π(h̃)π(k̃). Tem-se também ξ(ẽ, ẽ, ẽ) = η(ẽ, ẽ, ẽ) = ẽ. Portanto
ξ = η e segue-se que (g̃ h̃)k̃ = g̃(h̃k̃), ∀g̃, h̃, k̃ ∈ G̃.
Finalmente, observa-se que
π(g̃ −1 ) = α(ẽ, g̃) = eπ(g̃)−1 = π(g̃)−1
e que
π(g̃ h̃) = α(g̃, α̃(ẽ, h̃)) = π(g̃)π(h̃)
e conclui-se que π ∈ Hom(G̃, G).
Exercı́cio: Justificar as passagens na demonstração acima.
Se o grupo de Lie G for simplesmente conexo, qualquer homomorfismo entre as álgebras Lie(G) e Lie(H)
é a derivada de um homomorfismo de G em H.
Teorema 61 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h. Se G é simplesmente conexo e ψ : g → h
é um homomorfismo, existe um único homomorfismo ϕ : G → H tal que ϕ∗ = ψ.
A idéia da demonstração é obter, via Teorema de Frobenius, uma variedade integral conexa maximal M
passando pelo neutro (e, e) ∈ G × H (que será um subgrupo de Lie de G × H) e provar que a restrição a M
da projeção no primeiro fator
π1|M : M → G
é um isomorfismo de grupos de Lie. O homomorfismo ϕ é então ϕ = π2 ◦ (π1|M )−1 , onde a derivada da
projeção π2 ”leva em conta” o homomorfismo ψ.
Uma conseqüência é que dois grupos de Lie simplesmente conexos são isomorfos se e somente se suas
álgebras de Lie são isomorfas.
Subgrupos de Lie
Definição 0.1 Um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G é uma subvariedade (biunivocamente imersa)
(H, ϕ) em G, que é um subgrupo abstrato de G e tal que a imersão ϕ : H → G é um homomorfismo.
Exemplo 41 O grupo de Lie O(n) é um subgrupo de Lie de Gl(n, R). A inclusão i : O(n) → Gl(n, R) é
um mergulho. Observe-se que O(n) não é conexo. Realmente, toda matriz X em O(n) tem determinante
±1 (pois |X|2 = |X t X| = |I| = 1). Se permutarmos duas colunas em X, o determinante muda de sinal mas
X ”continua” em O(n). Como o determinante é uma função contı́nua e não se anula em O(n), vemos que
35
O(n) tem, pelo menos, duas componentes conexas. A componente que contém a matriz I é indicada com
SO(n) e chamada grupo ortogonal especial. SO(n) é um subgrupo de Lie de O(n).
A álgebra de Lie de O(n), indicada com so(n), é identificada com o espaço tangente TI O(n) (no elemento
neutro I) que, pelo teorema das funções implı́citas, coincide com o núcleo da derivada da função f : X 7→
X t X do exemplo 33. Portanto V ∈ so(n) se e somente se f 0 (I)V = 0. Mas f 0 (I)V = IV t + V I t = V t + V
e, logo, V ∈ so(n) se e somente se V t = −V . so(n) é, portanto, a álgebra de Lie das matrizes n × n
anti-simétricas (do exemplo 4).
É um resultado clássico que a toda subálgebra h da álgebra de Lie de G está associado de maneira
única um subgrupo de Lie conexo H de G cuja álgebra de Lie é h. Para uma demonstração constroi-se um
campo de k-planos a partir da subálgebra h, que é involutivo (pois h é subálgebra), e o Teorema de Frobenius
fornece uma única variedade integral conexa maximal por cada ponto de G. Prova-se então que a variedade
integral que passa pelo neutro é um subgrupo de Lie (veja-se [Warner](1980)).
Uma conseqüência de suma importância é o teorema abaixo.
Teorema 62 Existe uma correspondência biunı́voca entre subgrupos de Lie conexos de um grupo de Lie e
subálgebras da sua álgebra de Lie.
A demonstração de que uma subvariedade de uma variedade diferenciável é mergulhada pode ser muito
difı́cil. No caso de grupos de Lie, uma condição topológica permite identificar os subgrupos de Lie de um
grupo de Lie G que são mergulhados em G.
Teorema 63 Se (H, ϕ) é um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G, então ϕ é um mergulho se e somente
se ϕ(H) é fechado em G (isto é, ϕ(H) = ϕ(H), com a topologia relativa).
Um teorema clássico afirma que um subgrupo fechado de um grupo de Lie adquire estrutura de variedade
com a qual se torna um subgrupo de Lie.
Teorema 64 Se G é um grupo de Lie e H < G é um subgrupo abstrato fechado de G, então existe uma
única estrutura diferenciável em H que o torna um subgrupo de Lie de G.
Pode-se mostrar, por exemplo, que o núcleo de um homomorfismo ϕ : G → H entre grupos de Lie
é um subgrupo de Lie de G cuja álgebra de Lie coincide com o núcleo da derivada ϕ∗ . Em sı́mbolos:
Lie(ker ϕ) = ker ϕ∗ .
Exercı́cio: ker ϕ é um subgrupo fechado de G, ∀ϕ ∈ Hom(G, H).
Analogamente à Teoria de Galois, a Teoria de Lie exibe uma correspondência biunı́voca entre subálgebras
da álgebra de Lie de um grupo de Lie G e subgrupos de Lie conexos de G. Muito mais geralmente, como
consequência do Teorema de Ado, tem-se
36
Teorema 65 Existe uma correspondência biunı́voca entre classes de isomorfismos de álgebras de Lie e
classes de isomorfismos de grupos de Lie simplesmente conexos.
A exponencial
Se g é a álgebra de Lie de um grupo de Lie G (identificada, sempre que conveniente, com o espaço
tangente Te G) e X ∈ g, a aplicação ψ : R → g definida por ψ(t) = tX é um homomorfismo de álgebras de
Lie (verificar). Como R é simplesmente conexa e Lie(R) ' T0 R ' R, sabemos, pelo teorema 16, que existe um
único homomorfismo de grupos ϕ : R → G tal que ϕ0 (0) = ψ. Tem-se então ϕ(0) = e e ϕ0 (0)t = tX, ∀t ∈ R.
Em particular ϕ0 (0)1 = X.
Definição 66 Um homomorfismo de R (com a soma) em um grupo de Lie G é chamado um subgrupo a um
parâmetro de G. Se g = Lie(G), a cada X ∈ g está associado de maneira única um subgrupo a um parâmetro
de G, que indicaremos com expX , cuja derivada em 0 ∈ R é dada por
exp0X (0)t = tX , ∀t ∈ R
Se X ∈ X∞ (G) é invariante à esquerda, a órbita de X pelo neutro e ∈ G é um subgrupo a um parâmetro.
Realmente, sejam t, s ∈ R e γe : R → G a órbita de X que passa por e. Fixemos t inicialmente. As curvas
ξ : R → G e η : R → G definidas por
ξ(s) = γe (t + s)
e
η(s) = γe (t)γe (s) = lγe (t) (γe (s))
são suaves, passam pelo ponto γe (t) e satisfazem
ξ 0 (s) = γe0 (t + s) = Xγe (t+s) = Xξ(s)
e
η 0 (s) = lγ0 e (t) (γe (s))γe0 (s) = lγ0 e (t) (γe (s))Xγe (s) = (lγe (t)∗ X)lγe (t) (γe (s)) = Xγe (t)γe (s) = Xη(s)
para todo s.
A unicidade de soluções de sistemas de equações diferenciais ordinárias permite concluir que ξ(s) = η(s) ∀s.
Então γe (t + s) = γe (t)γe (s) ∀s e, como t era (fixo porém) arbitrário, concluı́mos que γe é um subgrupo a
um parâmetro. Mais que isso: γe = expX (por unicidade).
Se g ∈ G, a órbita γg de X por g é obtida de γe por translação. Pois se fizermos γ(t) = lg ◦ γe (t) =
g expX (t), teremos γ(0) = g e
γ 0 (t) = lg0 (γe (t))γe0 (t) = lg0 (γe (t))Xγe (t) = (lg ∗ X)lg (γe (t)) = Xγ(t)
e segue-se que γ = γg .
Exercı́cio: O fluxo de um campo vetorial invariante à esquerda X em um grupo de Lie G é dado por
φt = rexpX (t)
onde rg é a translação à direita determinada por g ∈ G.
Definição 67 Se g =Lie(G), define-se a aplicação exp : g → G por
exp(X) = expX (1)
A aplicação exponencial é um difeomorfismo local e sua derivada na origem da álgebra é a identidade
(veja-se [Warner](1980)).
37
Observação 6 Se ϕ : G → H é homomorfismo e ϕ∗ = ϕ0 (e) : g → h, o diagrama a seguir é comutativo.
g
↓
G
−→
exp
−→
h
↓ exp
H
Equivalentemente: ϕ(exp (tX)) = exp (t ϕ∗ X), ∀t ∈ R, ∀X ∈ g.
Muitos grupos de Lie podem ser encontrados dentro do grupo linear geral complexo Gl(n, C) (entre eles
o grupo linear geral real) a partir da aplicação exponencial. Observe-se que a imagem pela exponencial de
uma vizinhança de zero em um subespaço da álgebra de Lie de um grupo de Lie é um sério candidato a
gerar um grupo de Lie conexo.
Teorema 68 Se A é um subgrupo abstrato de um grupo de Lie G, a um subespaço da álgebra de Lie g de
G e existem vizinhanças U de 0 em g e V de e em G tais que exp restrita a U é um difeomorfismo sobre V
e tais que
exp(U ∩ a) = V ∩ A
então A é um subgrupo de Lie de G e a sua álgebra de Lie. Em particular, a é subálgebra de g.
A demonstração utiliza que se exp(tX) ∈ ϕ(H) ∀t ∈ I, com I = intervalo aberto (6= ∅), então X ∈ ϕ∗ h
e se X ∈ ϕ∗ h, então exp(tX) ∈ ϕ(H) ∀t ∈ R. E a comutatividade do diagrama acima (observe-se que se
X = ϕ∗ W , com W ∈ h, então exp(tX) = exp(ϕ0 (e)tW ) = ϕ ◦ exp(tW ) ∈ ϕ(H)).
A partir deste teorema prova-se, por exemplo, que U (n), O(n, C), Sl(n, C), Sp(n), Gl(n, R) são todos (a
menos de isomorfismo) subgrupos de Gl(n, C).
A representação adjunta
Se G é um grupo e M é uma variedade diferenciável, uma ação à esquerda de G em M é uma aplicação
φ : G × M → M que satisfaz
φ(e, q) = q
e
φ(g, φ(h, q)) = φ(gh, q)
quaisquer que sejam o ponto q ∈ M e os elementos g, h ∈ G. É comum indicar o ponto φ(g, q) ∈ M por
φg (q) ou γq (g).
A órbita por um ponto q é o conjunto γq = G(q) = {φ(g, q) / g ∈ G}. O espaço das órbitas é o espaço
quociente que se obtém de M identificando pontos na mesma órbita.
38
Exemplo 42 Se G = Z2 e M é a esfera S2 ⊂ R3 , identificando um elemento de G com a aplicação identidade
e o outro com a aplicação antı́poda, obtemos a ação Z2 × S2 → S2 . As órbitas são pares de pontos antı́podas
e o espaço das órbitas é o plano projetivo real RP 2 .
Se fixarmos g ∈ G, obtemos uma transformação de M . O fluxo da ação é a famı́lia das transformações
φg , com g ∈ G.
Exemplo 43 Um sistema dinâmico em uma variedade M é definido pela ação φ : R × M → M do grupo
dos reais com a soma. O fluxo é a famı́lia a um parâmetro dos difeomorfismos φt .
Se G é um grupo de Lie, uma ação suave de G em uma variedade M define uma famı́lia de transformações
suaves de M . G é chamado um grupo de transformações.
Definição 69 Um ponto q ∈ M é um ponto fixo da ação φ : G × M → M se satisfaz φ(g, q) = q ∀g ∈ G.
Isto é, se todos os difeomorfismos φg fixam q.
Exemplo 44 O grupo das rotações do plano Euclidiano (em torno da origem) é definido pela ação SO(2, R)×
R2 → R2 . Suas órbitas definem um centro, cuja única singularidade é a origem. A origem é um ponto fixo
da ação. Observe-se que os raios que partem da origem encontram todas as órbitas ortogonalmente.
Uma representação de uma álgebra de Lie g em um espaço vetorial V é um homomorfismo ρ : g → EndV
de g na álgebra dos endomorfismos de V . Uma representação de um grupo de Lie G é um homomorfismo
suave de G no espaço de automorfismos Gl(V ). Se Φ é representação de G a derivada Φ0 (e) fornece um
homomorfismo da álgebra de Lie de G em EndV.
Representações são um objeto central em Teoria de Lie. Um teorema clássico afirma que toda álgebra
de Lie semisimples complexa pode ser construı́da a partir de representações da álgebra sl(2, C). O teorema
de Ado afirma que toda álgebra de Lie de dimensão finita admite uma representação fiel na álgebra gl(n, R),
para algum n.
Se φ : G × M → M é ação suave à esquerda e q ∈ M , o subgrupo de isotropia de q é definido por
Gq = {g ∈ G / φ(g, q) = q}.
Exercı́cio: Gq um subgrupo de G.
Exemplo 45 Se q é ponto fixo da ação ϕ : G × M → M , o homomorfismo ρ : Gq → Aut(Tq M) definido por
g 7→ ϕ0g (q) é uma representação, conhecida como a representação na isotropia. Observe-se que ϕ0g (q) : Tq M ∼
=
Tϕg (q) M = Tq M e que ρ(gh) = ϕ0gh (q) = (ϕg ◦ ϕh )0 (q) = ϕ0g (ϕh (q))ϕ0h (q) = ϕ0g (q)ϕ0h (q) = ρ(g)ρ(h), ∀g, h ∈
Gq .
Exemplo 46 Os automorfismos internos ag : G → G definidos por ag (h) = ghg −1 , com g ∈ G, definem
uma ação à esquerda G × G → G que tem o neutro como ponto fixo. A aplicação Ad : G → Aut g dada por
Adg = a0g (e) é uma representação.
Observe-se que Adgh = a0gh (e) = (ag ◦ ah )0 (e) = a0g (ah (e))a0h (e) = a0g (e)a0h (e) = Adg Adh , portanto Ad é,
de fato, uma representação de G no espaço Aut g dos automorfismos da álgebra de Lie de G.
Definição 70 A representação Ad acima é a representação adjunta.
Indica-se com ad a derivada da representação adjunta: adX = Ad0 (e)X. O diagrama abaixo é comutativo.
g −→
↓
G −→
Endg
↓ exp
Autg
Um fato importante a respeito da representação adjunta é dado pelo teorema abaixo.
39
Teorema 71 Se G é grupo de Lie e g é a álgebra de Lie de G, então
adX Y = [X, Y] , ∀ X, Y ∈ g
É fácil ver que ad fornece um homomorfismo da álgebra de Lie g na álgebra de Lie das derivações de g
(para cada X ∈ g, tem-se adX [Y, Z] = [adX Y, Z] + [Y, adX Z], quaisquer que sejam Y e Z em g).
O centro de um grupo de Lie G é o conjunto de todos os elementos g ∈ G tais que gh = hg ∀h ∈ G. Se G
é conexo, mostra-se que o centro de G coincide com o núcleo da representação adjunta. Como conseqüência,
o centro de um grupo de Lie conexo G é um subgrupo fechado e a álgebra de Lie do centro de G é o centro
da álgebra de Lie de G.
Outra conseqüência é o resultado abaixo.
Teorema 72 Um grupo de Lie conexo é abeliano se e somente se sua álgebra de Lie é abeliana.
40
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Índice remissivo
Ação à esquerda 46
Álgebra de Lie 1
abeliana 4
de Heisenberg 6
de endomorfismos 1
de matrizes 1
de um grupo de Lie 39
nilpotente 6
quociente 7
semisimples 9
simples 4
simplética 2
solúvel 6
Aplicação
antı́poda 36,47
entre variedades 25
exponencial 45
fortemente diferenciável 13
identidade 24,36
suave 18
Atlas
maximal 24
suave 23
Automorfismo
de um espaço vetorial 38
interno 47
Base enumerável 12,23
Bracket
de campos vetoriais 34
de dois vetores 1
de endomorfismos 1
de matrizes 1
Campo
de k-planos 37
involutivo 37
suave 37
vetorial
ao longo de uma curva 32,34
completo 36
em um aberto 32,34
invariante à esquerda 39
regular 36
(s) vetoriais ϕ-relacionados 35
Carta local 23
Centro
de uma álgebra de Lie 3
de um grupo de Lie 48
Colchete de Lie 1
Curva
em uma variedade 17,20,28
regular 15
Derivação
de álgebra de Lie 4
linear 20,26
Derivada 18,28
Difeomorfismo 12
em torno de um ponto 13
local 13
Endomorfismo 1
Espaço
de Hausdorff 23
localmente euclidiano 23
tangente
ao espaço R3 19
a uma subvariedade de Rn 21
a uma variedade diferenciável 26
a um grupo de Lie 39
Estrutura diferenciável 24
Famı́lia
a um parâmetro 36
de transformações 47
Fibra sobre um ponto 33
Fibrado tangente 33
Fluxo
de uma ação à esquerda 47
de um campo vetorial completo 36
Forma
de Killing 10
diferencial invariante à esquerda 40
local das imersões 14
Função suave
em uma subvariedade de Rn 21
em uma variedade diferenciável 25
Germe
de funções suaves em um ponto 22,26
Grupo
de Lie 38
de automorfismos 38
de matrizes 38
de transformações 47
linear geral 25
ortogonal 38
ortogonal especial 43
Homeomorfismo 12
Homomorfismo
de álgebras de Lie 4
de grupos de Lie 40
Ideal 3
Identidade de Jacobi 1
Imersão 14
Isomorfismo
de álgebras de Lie 4
de grupos de Lie 40
Matriz
anti-simétrica 2
de traço nulo 3
triangular 6,11
estritamente triangular 6,11
ortogonal 31
simétrica 31
Mergulho 15
Núcleo de um homomorfismo 4
Órbita
de uma ação à esquerda 46
de um campo vetorial 35
Plano tangente 19
Ponto fixo
de uma ação à esquerda 47
Pull back 40
Push forward 35
Radical solúvel 9
Regra da cadeia 28
Representação
adjunta 48
de álgebra de Lie 47
de grupo de Lie 47
na isotropia 47
Série
central descendente 6
dos comutadores 6
Singularidade 36
Sistema dinâmico 47
Slice 30
Subálgebra de Lie 2
Subgrupo
a um parâmetro 44
de isotropia 47
de Lie 43
fechado 44
Subvariedade 30
de Rn 20
imersa 30
mergulhada 30
Superfı́cie
regular 17
parametrizada 16
Teorema
da aplicação inversa 13,31
das funções implı́citas 31
de Ado 44,47
de Engel 11
de Frobenius 37
de Lie 11
do fluxo tubular 36
Traço
de uma curva 16
de um endomorfismo 10
Transformação
de uma variedade diferenciável 47
Translação
à direita 39
à esquerda 39
Variedade
diferenciável 23
integral 37
produto 24
Vetor tangente 19,27,26
Vizinhança parametrizada 24