Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
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ARTIGOS COMPLETOS ...................................................................................................................2
RESUMOS SIMPLES .......................................................................................................................27
RELATOS DE EXPERIÊNCIAS......................................................................................................31
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ARTIGOS COMPLETOS
ASSOCIAÇÕES ENTRE ESTRUTURAS ALGÉBRICAS ...........................................................3
INTRODUÇÃO AOS GRUPOS LINEARES ...............................................................................12
PONTO FIXO DE BANACH........................................................................................................20
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ASSOCIAÇÕES ENTRE ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Marcos Fabiano Firbida Eduardo¹, Natália Caroline Lopes da Silva¹, Nickson Moretti
Jorge¹ Antonio Carlos Tamarozzi²
¹Acadêmicos do Curso de Matemática da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
([email protected]). ²Professor Associado da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.
Trabalho financiado pelo programa PIBIC/UFMS.
Resumo
Uma Álgebra de Lie é um Espaço Vetorial L, munido de um produto, isto é, uma aplicação
de L  L a valores em L, com propriedades especiais, mas que tem uma construção
similar à utilizada em estruturas algébricas mais simples, como Grupos, Anéis e Corpos. A
Teoria de Lie tem aplicações relevantes na Matemática, como também tem sido
extensivamente aplicada na Física contemporânea, sendo tema recorrente em muitos
projetos de pesquisa. No desenvolvimento deste trabalho propomos investigar
componentes de uma Álgebra de Lie, como submódulos, ideais e subalgebras de Lie, o
que propicia a capacidade de estabelecer conexões entre as principais estruturas
algébricas, generalizar conceitos e resultados e compreender particularidades.
Palavras-chave: Módulo; Álgebra; Álgebra de Lie.
Introdução e justificativa
A Teoria de Lie teve sua origem por volta de 1870, com Sophus Lie, motivado a
partir da idéia de se estudar Equações Diferenciais sob o mesmo enfoque adotado por
Evariste Galois com relação às Equações Algébricas.
As teorias de Álgebras e Grupos de Lie e suas representações, ou, simplesmente,
Teoria de Lie, têm sido extensivamente aplicadas na Matemática e Física teórica
contemporâneas, como, por exemplo, na análise de Equações Diferenciais e na Física de
altas energias. O estudo desta teoria é, portanto, muito relevante e, por isso, tem sido
tema recorrente em projetos de pesquisa e trabalhos de pós-graduação.
Em geral, os cursos de Matemática das universidades brasileiras possuem uma
grade curricular, na qual, os conteúdos de Álgebra são distribuídos entre duas disciplinas
de Álgebra Abstrata e uma disciplina de Álgebra Linear. Enquanto que a Álgebra Abstrata
explora as estruturas algébricas de Grupos, Anéis e Corpos, a Álgebra Linear se ocupa
dos Espaços Vetoriais, operadores lineares e de suas representações. Mesmo em cursos
de Bacharelado, salvo raras exceções, a limitação da carga-horária impõe que os
conteúdos da Álgebra Abstrata e da Álgebra Linear sejam abordados de maneira
estanque, sem apresentar e explorar as inter-relações entre eles. Apenas para citar um
exemplo, uma breve consulta na bibliografia comumente utilizada nas disciplinas de
Álgebra Linear revela que os livros definem um Espaço Vetorial sem mencionar que, na
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verdade, trata-se de uma estrutura algébrica de Grupo aditivo com uma operação externa,
via escalares em outra estrutura algébrica: um Corpo. Perdem-se, portanto, oportunidades
de simplificar abordagens, investigar relações e explorar aplicações advindas de
conteúdos anteriormente estudados.
Metodologia
Para a construção deste trabalho, partimos inicialmente do estudo isolado das
principais estruturas algébricas: grupo, anel, corpo, módulo, espaço vetorial, álgebra e
álgebras de Lie. Esta abordagem, embora clássica e encontrada na maioria das
referências bibliográficas disponíveis na área de álgebra, permite estudar com
profundidade as particularidades de cada estrutura.
Por outro lado, o desenvolvimento teórico conjunto, além de simplificar definições,
constrói uma rede de associações entre as estruturas algébricas com impacto relevante
para o estabelecimento de conexões e generalização de conceitos.
Ao longo do trabalho, identificamos e exploramos técnicas de importância comum
entre as estruturas algébricas desenvolvidas, em particular, definições de subestruturas,
homomorfismos e quocientes.
Resultados e Discussões
Estruturas Algébricas
A estrutura de Grupo é fundamental na Álgebra Abstrata, sendo que outras estruturas
algébricas importantes podem ser descritas a partir da mesma. Dado G um conjunto não
vazio e uma operação  : G  G  G , dizemos que G é um grupo se  satisfaz as seguintes
condições:
i) Associatividade, isto é,
a  (b  c)  (a  b)  c, a, b, c  G
ii) Existe um elemento neutro, isto é,
 e  G tal que a  e  a  e  a, a  G
iii) Todo elemento possui um elemento inverso, isto é,
a  G,  b  G tal que a  b  b  a  e
Dizemos que o grupo G é abeliano ou comutativo se valer:
iv) Comutatividade, isto é,
a  b  b  a, a, b  G
Consideremos um grupo abeliano G. Se definirmos em G uma nova operação, que
admite as propriedades associativa e distributiva em relação à operação do grupo,
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obteremos assim uma nova estrutura, denominada anel.
Formalmente, dado (G, ) um
grupo abeliano, no qual pode ser definido uma outra operação  , diremos que G é um anel
se a operação  verifica as seguintes propriedades:
i)
Associatividade, isto é,
a  (b  c)  (a  b)  c, a, b, c  G
ii) A operação  é distributiva em relação à operação +, isto é,  a,b,c  G
a(b+c)  a.b+ac e
(b+c)  a  ba +ca
Por uma questão de simplicidade de representação e linguagem, as operações + e 
são chamadas adição e multiplicação, respectivamente e utilizaremos ab para denotar a  b .
Assim, todo anel é um grupo relativo à operação de adição.
Ainda no caso acima, consideremos 0 o elemento neutro aditivo de G. Se o conjunto
G \{0} formar um grupo abeliano, e valer a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição, teremos uma nova estrutura, à qual chamamos corpo.
Agora, sejam V um conjunto não vazio e K um corpo. Suponhamos que possam
estar definidas as seguintes operações:  :V  V  V , que associa a cada par de vetores
(u, v)  V um vetor u  v  V chamado soma de u e v , e  : K  V  V que associa a cada
elemento k  K e a cada vetor v  V o vetor k  v  V . Denominaremos V como um
espaço vetorial sobre o corpo K se, para quaisquer a, b  K e u, v V , forem satisfeitas
as propriedades:
i) (V , ) é um grupo abeliano
ii) a(b  v)  (ab)  v
iii) (a  b)  v  a  v  b  v
iv) a  (u  v)  a  u  a  v
v) 1  v  v
Os elementos do corpo K são chamados escalares enquanto os elementos de V
são chamados vetores.
A estrutura de Módulo é uma generalização de Espaço vetorial, onde restringimos
os escaleres a um anel. Assim, dado R um anel qualquer, um conjunto não vazio M é
dito R  módulo ou módulo sobre R , se M é um grupo abeliano em relação a operação
de adição, onde é satisfeito:
i) r (a  b)  ra  rb,  r  R, a, b  M
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ii) r ( sa)  (rs )a,  r , s  R, a  M
iii) (r  s )a  ra  sa,  r , s  R, a  M
Se R possuir elemento unidade 1 e 1  m  m para qualquer elemento m  M , então
M é denominado um R  módulo unitário.
Notemos que se R for um corpo, um R  módulo unitário é um R  espaço vetorial.
Exemplos:
1 – Todo grupo abeliano A é um módulo sobre o anel dos inteiros.
De fato, basta observarmos que, para quaisquer z  Ժ, a  A, zg  g  g    g ,
se z  0 enquanto que zg  ( g )  ( g )    ( g ) , se z  0 .
2 – Todo anel R é um R  módulo sobre si mesmo.
De fato, na definição de módulo dada acima, devemos ter que  r , m  R, rm  R
satisfazendo as três propriedades dadas. Mas estas condições decorrem imediatamente
do fato de R ser uma anel.
Álgebras
Seja V um K  espaço vetorial. Existem espaços vetoriais sobre um corpo K, nos
quais a multiplicação de vetores pode ser também realizada. Isto ocorre, particularmente
quando V for também um anel.
Uma álgebra sobre um corpo é um espaço vetorial V com uma operação binária de
multiplicação de vetores, que satisfaz:
i) ( x  y ) z  xz  yz e x( y  z )  xy  xz , para quaisquer x, y, z  V
ii) (ax)(by )  (ab)( xy ) , para quaisquer a, b  K , x, y  V .
Quando a propriedade associativa da multiplicação na álgebra V for satisfeita,
teremos uma álgebra associativa. Ou seja, diz-se que V é uma álgebra associativa, se
para quaisquer x, y, z  V valer que x( yz )  ( xy ) z . Quando a álgebra é associativa,
podemos sem ambigüidade denotar produtos triplos como x(yz) e (xy)z simplesmente por
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xyz. Uma álgebra V é dita ser uma álgebra comutativa ou uma álgebra abeliana se para
todos x, y  V, tivermos xy  yx.
Exemplos e observações:
3 – Seja V  Mn(R) , o espaço das matrizes quadradas de ordem n com entradas
reais. Então V é uma álgebra associativa sobre o corpo K , onde a operação de
multiplicação é a multiplicação usual de matrizes. Notemos que este é um exemplo de
álgebra associativa, mas não comutativa.
4 – Note que se ocorrer de V ser uma álgebra associativa sobre um corpo K ,
temos então que V com suas operações de soma e multiplicação de vetores formam um
anel. Logo, pelo fato de V ser um anel, do exemplo 2 segue que podemos fazer de V ,
um V  módulo sobre si mesmo.
5 – Pode ser provado que em uma álgebra V, o produto por escalares comuta com
o produto da álgebra e é distributivo em relação a ele, ou seja: para todos x, y em V e a
em K vale a(xy)(ax)yx(ay).
Álgebras de Lie
Agora vamos definir e explorar as propriedades de uma classe especial de
álgebras, a chamada Álgebra de Lie, que tem definição baseada no conceito de colchete
de Lie.
Uma álgebra de Lie é um K  espaço vetorial L munido de uma operação binária
L  L  L , tal que ( x, y )  [ x, y ] , chamada colchete de Lie, que goza das seguintes
propriedades:
i) o colchete de Lie é bilinear, isto é, [ax  by, z ]  a[ x, z ]  b[ y, z ]
e
[ z , ax  by ]  a[ z , x]  b[ z , y ] , para quaisquer escalares a, b  K e quaisquer x, y, z  L ;
ii) o colchete de Lie é anti-simétrico, isto é, [ x, x]  0 para qualquer x  L ;
iii) A identidade de Jacob, [ x,[ y, z ]]  [ y,[ z, x]]  [ z ,[ x, y ]]  0 é satisfeita para
quaisquer x, y, z  L .
O colchete de Lie, em geral, não é associativo.
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Se x1 , x2 , , xn  L então o produto [ x1 , x2 , , xn ] de n fatores é definido, para n  2
como: [ x1 , x2 , , xn ]  [[ x1 , x2 , , xn 1 ], xn ] .
Assim, a identidade de Jacobi pode ser escrita como [ x, y, z ]  [ y, z , x]  [ z , x, y ]  0
Uma estrutura algébrica bem conhecida é o chamado Anel de Lie, que fundamenta
quase toda o ramo da álgebra conhecido como Teoria de Lie. Um anel de Lie nada mais é
que uma estrutura algébrica com as mesmas propriedades de uma álgebra de Lie, sendo
que os escalares estão no anel dos inteiros.
Observemos que a propriedade [x,x]  0,  x  L, identifica a anti-simetria em
uma á Lie L, porque:
0  [ x  y , x  y ]  [ x , x  y ]  [ y , x  y ]  [ x , x ]  [ x, y ]  [ y , x ]  [ y , y ] .
E da igualdade acima resulta facilmente que, [ x, y ]  [ y, x] . Reciprocamente, se
[ x, y ]  [ y, x] , para quaisquer x, y  L , temos que [ x, y ]  [ y, x]  0 , para quaisquer x e y .
Em particular, se x  y , temos que 2[ x, x]  0 , de onde concluímos que [ x, x]  0 .
Exemplos:
6 – O espaços das matrizes quadradas reais M n ( ) é uma álgebra de Lie com o
colchete definido por: [ A, B]  AB  BA .
De fato, dados a, b 
e A, B, C  M n ( ) temos
i) [aA  bB, C ]  (aA  bB)C  C (aA  bB)  aAC  bBC  aCA  bCB 
 a ( AC  CA)  b( BC  CB)  a[ A, C ]  b[ B, C ] .
Analogamente, mostra-se que [C , aA  bB]  a[C , A]  b[C , B] . Logo o colchete é bilinear;
ii) [ A, A]  AA  AA  0 , portanto o colchete é anti-simétrico;
iii) [ A, [ B, C ]]  [ B,[C , A]]  [C ,[ A, B]] 
 A[ B, C ]  [ B, C ] A  B[C , A]  [C , A]B  C[ A, B]  [ A, B]C 
 A( BC  CB )  ( BC  CB ) A  B (CA  AC )  (CA  AC ) B  C ( AB  BA)  ( AB  BA)C 
 ABC  ACB  BCA  CBA  BCA  BAC  CAB  ACB  CAB  CBA  ABC  BAC  0 .
Ou seja, o colchete satisfaz a identidade de Jacob.
7 – Seja V um espaço vetorial qualquer. Defina: [ x, y ]  0 , para quaisquer x, y  V .
É imediato verificar que V , munido deste colchete de Lie, é uma álgebra de Lie. As
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álgebras de Lie com colchete definido desta forma recebem o nome de álgebras de Lie
abelianas.
Seja V uma álgebra de Lie com colchete [, ] e W um subespaço vetorial de V .
Diz-se que W é uma subálgebra de Lie de V se, e somente se, para quaisquer x, y  W
tem-se que [ x, y ]  W . Assim, toda subálgebra de Lie de uma álgebra de Lie também é
uma álgebra de Lie.
Sejam L uma Álgebra de Lie e U, V subespaços de L. Veremos como podemos
obter dois novos subespaços de L :
i)
Definimos [U ,V ] como sendo o subespaço de L gerado por todos os
produtos [u, v] com u  U , v  V , isto é
[U , V ]  [u , v] | u  U , v  V
ii)
Escrevemos U  V  {u  v | u  U , v  V } e temos que U  V
é um R -
subespaço de L , e valem U  V  V  U e (U  V )  W  U  (V  W ) .
Das definições, temos as propriedades a seguir:
a) [U ,V ]  [V ,U ] . De fato, [U , V ]  [u , v] | u  U , v  V   [u , v] | u  U , v  V  [V , U ].
b) Se U  V , então [U , W ]  [V ,W ] .
De fato, seja x  [U ,W ] . Então x  [u, w] , com u  U , w  W . Como U  V temos que
u  U  u  V . Logo x  [u , w]  [V , W ] .
c) [U  V ,W ]  [U ,W ]  [V , W ] e [U ,V  W ]  [U ,V ]  [U ,W ] .
Segue imediatamente da propriedade (i) da definição de álgebra de Lie.
O produto [U,V] acima definido pode ser estendido para um n úmero (finito)
qualquer se subespaços:
Definição: Sejam L uma R -álgebra de Lie e U1 , ,U n R -subespaços de L . Definimos
[U1 , ,U n ] como sendo o R -subespaços gerado por todos os produtos [u1 , , un ] com
ui  U i , i  1, , n
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Verifica-se facilmente, por indução sobre n, que [U1 , , U n ]  [[U1 , , U n 1 ], U n ] para
todo n  2 .
Homomorfismo
Um outro conceito comumente explorado nas estruturas algébricas é o conceito de
homomorfismo. Os homomorfismos em Espaços vetoriais são conhecidos como
transformações lineares, no entanto, para uma Álgebra, a transformação linear deve
também agir na operação produto subjacente, para ser considerado um homomorfismo.
Em particular, para álgebras de Lie, temos a seguinte definição
Definição: Se L1 e L2 são R -álgebras de Lie, um homomorfismo de Lie de L1 em
L2 é um homomorfismo de R -módulos  : L1  L2 tal que [ x, y ]  [ x  , y  ] , para
quaisquer x, y  L1 .
Um automorfismo de uma álgebra de Lie é um isomorfismo dessa álgebra sobre si
mesma. O produto de dois homomorfismos é um homomorfismo e os automorfismos de
uma álgebra de Lie formam um grupo, denotado por Aut ( L) .
Definição: Seja L uma álgebra de Lie e I um K -subespaço vetorial de L .
Dizemos que I é um ideal da álgebra de Lie L , se [ I , L]  I .
Notação: I  K L
Facilmente podemos verificar que o núcleo de um homomorfismo é um ideal. De
fato, se  : L1  L2 é um homomorfismo e v  Nuc( ) , então v   0 . Daí, dados u  L1 e
v  Ker ( ) , [u , v]  [u  , v  ]  [u  , 0]  0 , logo [u , v]  Nuc( ) .
Conclusão
A apresentação das estruturas algébricas mais comuns da literatura matemática
pode ser feita de maneira construtiva e gradativa. Assim procedendo, as relações
estabelecidas em cada passo da construção reforçam a aprendizagem dos conceitos
anteriores, permitindo obter extensões substanciais.
Uma álgebra de Le é uma estrutura algébrica que contempla simultaneamente as
estruturas de grupo, anel, espaço vetorial e álgebra. A exploração de conceitos como
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subálgebras,
idéias,
homomorfismos
e
quocientes,
podem
ser
transportados
imediatamente como generalizações simples das estruturas anteriores.
Referências
1. GARCIA, A.; LEAQUIM, I. Álgebra, um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, Impa,
1999.
2. GILMORE, R. Grupos de Lie, Álgebras de Lie, e algumas Aplicações, Rio de Janeiro,
Editora Cengage Learning, 2008.
3. LOURENÇO, Mary & COELHO, Flavio Ulhoa, Um Curso de Álgebra Linear, 2ª Edição,
São Paulo, Edusp, 2005.
4. KOSTRIKIN, A. Introduction to Algebra, Berlin, Springer-Verlag, 1986.
5. SAN MARTIN, L.B., Álgebras de Lie, 1ª.Edição, Editora: UNICAMP, Campinas, 1999.
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INTRODUÇÃO AOS GRUPOS LINEARES
Pâmela Catarina de Sousa Brandão1, Antonio Carlos Tamarozzi2, Eugenia Brunilda
Opazo Uribe2
1
Aluna do Curso de Matemática – CPTL/UFMS, bolsista do Grupo PET Conexões de Saberes –
Matemática/CPTL/UFMS; e-mail: [email protected]
2
Professores do Curso de Matemática – CPTL/UFMS
Resumo
O trabalho apresenta um desenvolvimento teórico da teoria de grupos, objetivando definir
e explorar propriedades de casos importantes desta estrutura, que são frequentemente
utilizados em aplicações dentro e fora da Matemática. São apresentados exemplos
importantes de grupos, como por exemplo, Grupo das permutações de grau n, Grupo
Simétrico de grau n e alguns dos chamados grupos clássicos como Grupo Linear Geral,
Grupo Linear Especial, Grupo Ortogonal e Grupo Ortogonal Especial. Para esta finalidade,
foram explorados técnicas básicas da teoria dos grupos relacionadas a homomorfismos e
isomorfismos, grupos cíclicos, classes laterais e Teorema de Lagrange.
Palavras Chave: Teoria de Grupos, Grupos Lineares, Subgrupos Normais
Introdução
Segundo Eves (2004) o primeiro matemático a usar a palavra “grupo” em seu
sentido técnico foi Galois (1811-1832), as pesquisas nesta área foram levadas adiante por
matemáticos como Cauchy (1789-1857) e Cayley (1821 – 1895). O conceito de grupo é
uma das idéias centrais da Matemática e a Teoria de Grupos é um campo de pesquisas
muito produtivo em Matemática. A Teoria dos Grupos faz parte da chamada Álgebra
Abstrata e é uma das áreas da Matemática que possuem muitas aplicações em várias
ciências, como é o caso da física e da química.
O objetivo do presente trabalho é apresentar um estudo introdutório da teoria de
grupos, dando uma ênfase especial a conceitos iniciais e exemplos importantes, e em
seguida, estudar grupos cíclicos, classes laterais e Teorema de Lagrange, subgrupos
normais e grupos quocientes. Os Subgrupos Normais correspondem a um tipo especial
de subgrupos, com impactos importantes na estrutura do grupo. Por exemplo, no caso do
grupo quociente de G por N (G/N) é fundamental que N seja um subgrupo normal para
que este quociente seja de fato um grupo. A utilização de grupos quocientes, por sua vez,
é uma técnica imprescindível no desenvolvimento de vários problemas dentro e fora da
Matemática, além de constituírem ferramentas importantes para a descrição de muitas
aplicações. O trabalho é finalizado com uma pequena introdução ao estudo dos
chamados Grupos Clássicos.
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Metodologia
O trabalho realizado foi baseado num estudo detalhado de conceitos fundamentais
com uma ênfase especial de exemplos importantes de grupos, tais como os Grupos de
Permutações e Grupo Simétrico de Grau n, permitindo assim o desenvolvimento de
conceitos mais avançados de maneira a introduzir o estudo dos chamados Grupos
Clássicos.
Seja G um conjunto não vazio G no qual está definida uma operação fechada
*:G G 
 G de tal maneira que a cada par ( x, y )  G  G associa o elemento x  y  G ,
satisfazendo os seguintes axiomas:
(i)
(a * b) * c  a *(b * c) , quaisquer que sejam a, b, c  G ;
(ii)
Existe um elemento e  G tal que a * e  e * a  a , qualquer que seja a  G ;
(iii) Para todo a  G existe um elemento a  G tal que a * a  a * a  e . O
elemento a   G é chamado de simétrico de a.
Nestas condições dizemos que (G,*) é um grupo. Se a operação * for comutativa, isto é,
a * b  b * a , quaisquer que sejam a, b  G , diremos que o grupo é comutativo ou abeliano,
em homenagem ao matemático norueguês Niels Abel (1802-1829).
Um exemplo importante de grupo é formado considerando as permutações dos
elementos de um conjunto. Entenderemos por permutação uma bijeção de um conjunto
nele mesmo. Assim, se E indica um conjunto não vazio, denotaremos por S ( E ) o
conjunto das permutações dos elementos de E , isto é, S ( E )  { f / f : A 
 B, bijeção } .
Temos que a composição de aplicações é uma operação sobre S ( E ) , pois a composta de
duas bijeções é uma bijeção. A operação de composição de aplicações é associativa,
existe o elemento neutro que é aplicação identidade iE : E  E , já que
iE  f  f e
f  iE  f . Para cada permutação f existe a permutação inversa denotada por f 1 , e
como f  f 1  f 1  f  iE temos que f 1 é o
inverso de f para a composição de
aplicações. Portanto, ( S ( E),) é um grupo, denominado grupo das permutações sobre E .
Como a composição de aplicações não é comutativa, temos que o grupo das
permutações ( S ( E ), ) , em geral, é não comutativo.
Podemos considerar também um caso particular importante de grupo de
permutações, trata-se do caso em que E  {1, 2, , n} para n  1 . Para este caso usa-se a
notação Sn ao invés da notação S ( E ) introduzida no exemplo anterior para indicar o
conjunto das permutações sobre E . O grupo ( Sn , ) é denominado Grupo Simétrico de
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Grau n . Observemos que este grupo tem ordem n ! , já que esse é o número de
permutações que se podem construir com n elementos. Existe uma notação especial
para os elementos do conjunto Sn , a saber, se f  Sn e f (1)  i1 , f (2)  i2 ,  , f (n)  in ,
então escreveremos
1 2  n 
f 
.
 i1 i2  in 
Considerando os casos particulares para n  2 e n  3 , podemos construir as tábuas da
operação de composição de permutações para S2 e S3 . Temos que S2 é o conjunto das
permutações do conjunto E  {1, 2 } , assim ele terá 2! elementos, especificamente o

 1 2 
1 2 
conjunto S2 será dado por S 2   f 0  
  , assim fazendo a composição de
 , f1  
 2 1 
1 2 

permutações obtemos a tábua para S2 ,

f0
f1
f0
f0
f1
f1
f1
f0
que sistematiza as composições possíveis para os elementos deste conjunto e nos
mostra também, devido á simetria da tábua, que este grupo é comutativo. O conjunto S3
das permutações do conjunto E  {1, 2, 3} , terá 3! = 6 elementos e será dado por

1 2 3 
1 2 3 
1 2 3 
, f1  
, f 2  
,
S 3   f 0  
1 2 3 
 2 3 1
3 1 2

1 2 3 
1 2 3 
1 2 3  
, g 2  
, g 3  
 .
g1  
1 3 2 
 3 2 1
 2 1 3 
Assim fazendo a composição de permutações obtemos a tábua para S3 ,

f0
f1
f2
g1
f0
f0
f1
f2
g1
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f1
f1
f2
f0
g2
f2
f2
f0
f1
g3
g1
g1
g3
g2
f0
g2
g2
g1
g3
f1
g3
g3
g2
g1
f2
15
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
g2
g3
g2
g3
g3
g1
g1
g2
f2
f1
f0
f2
f1
f0
Observando que a tábua não é simétrica em relação à diagonal principal, podemos
afirmar que o grupo não é abeliano.
Seja (G,) um grupo. Diremos que um subconjunto não vazio H  G é um
subgrupo de G se,
i) H é fechado para a operação *, isto é, se a, b  H então a  b  H .
ii) ( H ,) também é grupo (  indica a restrição da operação de G aos elementos de H).
Outros conceitos importantes são os de subgrupo gerado por um elemento do
grupo e Grupo Cíclico. Para isto consideremos um grupo (G,) , um elemento a  G e o
elemento neutro e  G . Definimos as potências de G da seguinte forma
a0  e
a n  a n 1  a, se n  Z , n  1
a n  a 1  , se n  Z , n  0 .
n
Denotamos por [a] o conjunto de todas as potências do elemento a, ou seja, [a]
 {a n / n  Z } . Este conjunto é um subgrupo de G, denominado Subgrupo Gerado por a.
Um grupo (G,) é chamado cíclico se G  [a] , para algum a  G .
1 2 3 
 ,
Considerando o grupo S 3 , podemos obter o subgrupo gerado por f1  
 2 3 1
1 2 3 
 ,
pois f10  
1 2 3 
1 2 3 
 ,
f11  
 2 3 1
1 2 3  1 2 3  1 2 3 
  f 2
  
  
f12  
 2 3 1  2 3 1  3 1 2 
1 2 3  1 2 3  1 2 3 
  f 0 ,
  
  
f13  f12  f 1  
 3 1 2   2 3 1 1 2 3 
e
f14  f13  f 1  f1 , etc. Logo, obtemos
que [ f1 ]  { f 0 , f1 , f 2 } .
Um dos problemas estudados em álgebra é o de determinar os subgrupos de um
grupo dado G. Uma forma de resolver o problema é determinar todos os subconjuntos de
G que contenham o elemento neutro e verificar se satisfazem as condições de subgrupo,
mas ela não é prática. Quando o grupo em questão é finito temos um resultado fornecido
pelo Teorema de Lagrange que ajuda a resolver este problema mais facilmente. Para
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
16
estudar o Teorema de Lagrange introduziremos primeiro o conceito de classes laterais e
suas propriedades que permitem a demonstração do Teorema.
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado a  G , chamamos de uma classe
lateral (à esquerda) ao conjunto aH  {a  h / h  H } . Observando que se e for o elemento
neutro do grupo G, então eH  H e que podemos definir a classe lateral a direita de
maneira análoga Ha  {h  a / h  H } .
O Teorema de Lagrange afirma que se G um grupo finito e H um subgrupo de G,
então, a ordem de H divide a ordem de G. Observemos que a recíproca do Teorema de
Lagrange é falsa, isto é, não é verdade que se um inteiro m dividir | G | então G terá um
subgrupo H de G com | H | = m.
Ao estudarmos as classes laterais vimos que existem elementos a  G tais que
aH  Ha , mas existem o mesmo número de classes laterais à esquerda e à direita,
mesmo que não sejam iguais. Um caso especial será quando elas coincidem, isto é
quando tivermos aH  Ha , para todo a  G . Este caso é muito importante porque permite
definir uma operação no conjunto das classes laterais, o que fará deste conjunto um
grupo.
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Definimos o conjunto das classes
laterais à esquerda com respeito a H e o denotamos G / H  {aH / a  G} , o objetivo nesta
parte do trabalho é definir uma operação no conjunto das classes laterais G / H de
maneira a torná-lo um grupo. Pode-se provar que isto só é possível de ser feito se
tivermos aH  Ha , para todo a  G , isto é, se H é um subgrupo normal de G.
Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G, definimos a seguinte operação
no conjunto das classes laterais G / N  { aN / a  G}
aN  bN  (ab)  N , para todo aN , bN  G / N ,
esta operação está bem definida, isto é, independe da escolha dos representantes a e b
das classes laterais aN e bN. Portanto, se N é um subgrupo normal, temos que o conjunto
das classes laterais G / N é grupo com a operação de multiplicação assim definida.
Chamamos este grupo de Grupo Quociente de G módulo N. Observemos que eN  N é o
elemento neutro do grupo e (aN ) 1  a 1 N é o elemento inverso de um elemento aN .
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
17
Resultados e Discussão
Com as definições e exemplos apresentados foi possível formar uma base de
conhecimentos que permite estudar alguns exemplos importantes como os denominados
Grupos Clássicos, esta denominação é empregada para alguns grupos de matrizes, ou de
classes de matrizes, em que a operação do grupo provêm do produto matricial. Cada
matriz-elemento de um grupo assim deve ser invertível, e logo seu determinante não se
anula. O primeiro grupo clássico é o grupo GLn ( A) , denominado Grupo Linear Geral
formado pelo conjunto das matrizes n  n cujo determinante é diferente de zero e os
coeficientes em um anel comutativo A qualquer.
Para este estudo consideraremos o caso particular
GLn ( R)  GL(n)  { A  M n ( R) / det A  0} ,
chamado de grupo linear real de grau n, que é formado pelo conjunto das matrizes n  n
cujo determinante é diferente de zero e os coeficientes em R. Como a multiplicação de
matrizes não é comutativa, temos uma família de grupos não comutativos infinitos
GL(2), GL(3),... Um subgrupo importante de GLn ( R) é o denominado Grupo Linear
Especial, formado pelas matrizes de determinante 1, assim,
SLn ( R )  SL(n)  { A  GLn ( R) / det A  1} .
Observemos que se A e B  GL(n) são matrizes ortogonais, ou seja, matrizes para
as quais, A t A  I n ou ainda se A t  A 1 , então,
( AB 1 ) t AB 1  ( B 1 ) t A t AB 1  ( B 1 ) t B 1  I n .
O que significa que a matriz AB 1 é ortogonal e, portanto o conjunto de todas as matrizes
ortogonais O(n) é um subgrupo de GL(n) . Este subgrupo é chamado de Grupo Ortogonal
e é dado por
O(n)  { A  GL(n) / A t A  I n } .
Podemos considerar ainda o conjunto de todas as matrizes de O(n) cujo
determinante é igual a 1,
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
SO(n)  { A  O(n) / det A  1} ,
este conjunto munido da operação de multiplicação de matrizes forma um subgrupo de
O(n) , denominado Grupo Ortogonal Especial.
Observando que se f : G 
 L é um homomorfismo de grupos, então o Núcleo
de f denominado Ker ( f ) é um subgrupo normal de G e o conjunto quociente G / N tem
 R  {0} definida por
estrutura de grupo. A aplicação f : GLn ( R) 
f ( A)  det A é um
homomorfismo, cujo núcleo é
Ker ( f ) = { A  GLn ( R) / det A  1} = SLn ( R) ,
portanto, temos que SLn ( R) é um subgrupo normal de GLn ( R) e o conjunto quociente
GLn ( R) / SLn ( R) é um grupo.
Conclusões
Neste trabalho foi realizado um estudo da teoria de grupos, fazendo uma
introdução de conceitos e resultados elementares, dando ênfase a exemplos importantes,
como por exemplo, os Grupos de Permutações e Grupo Simétrico de Grau n, o que
permitiu dar ao aluno uma visão geral da teoria. Foi realizado também, um estudo de
subgrupos normais e grupos quocientes, bem como uma pequena introdução ao estudo
dos chamados Grupos Clássicos, em particular, Grupo Linear Geral, Grupo Linear
Especial, Grupo Ortogonal e Grupo Ortogonal Especial. Para esta finalidade foi
necessária uma revisão de toda a teoria ligada a homomorfismos e isomorfismos, grupos
cíclicos, classes laterais e Teorema de Lagrange.
As técnicas utilizadas no trabalho permitem o desenvolvimento do Grupo Linear
Projetivo e do Grupo Linear Especial Projetivo, que constituem a continuidade natural da
investigação deste trabalho.
Referências
[1] A. GONÇALVES, Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, Impa (1979).
[2] P. HILTON e Y-C.WU, Curso de Álgebra Moderna, Editorial Reverté (1977).
[3] T.W. HUNGERFORD, Algebra, Grad. Text. Match. 73, Springer-Verlag (1974).
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
19
[4] A. HEFEZ, Curso de álgebra, Impa, Rio de Janeiro (1996)
[5] A. GARCIA & L. LEQUAIN , Álgebra, um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, Impa
(1999).
[6] A. NUSSBAUM. Teoria de Grupos Aplicada para Químicos, Físicos e Ingenieros.
Editorial Reverte S.A. (1974).
[7] I. N. HERSTEIN. Tópicos de Álgebra. Editora da Universidade de São Paulo. (1970)
[8] H. H. DOMINGUES, G. I. Iezzi. Álgebra Moderna. Editora Atual. (2003)
[9] J. M. F. BASSALO. Teoria de Grupos. Livraria da Física. (2008)
http://www.mat.ufmg.br/~anacris/Grupos.pdf A.C.VIEIRA, S.M.ALVES. Grupos. (2009).
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
Ponto Fixo de Banach
Fernando Pereira de Souza, Antonio Carlos Tamarozzi, Osmar Rogério Reis Severiano
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Três Lagoas – MS. E-mail:[email protected]
Resumo
A Análise Funcional é uma área bastante estudada por suas aplicações em diversos
ramos da ciência, e principalmente em várias áreas da Matemática. Neste trabalho,
estudamos com detalhes O Teorema do Ponto Fixo de Banach, um resultado sobre
espaços métricos com muitas aplicações, particularmente para se demonstrar a existência
de soluções de equações diferenciais integrais. Muitas aplicações ocorrem em espaços
normados e não se restringem as transformações lineares. Para demonstrarmos esse
teorema estudamos alguns conceitos de espaços métricos tais como: métricas, normas,
sequências de Cauchy, sequências convergentes, operadores lineares, operadores
lineares contínuos e limitados, funcionais lineares, espaços métricos completos, espaços
de Banach, bem como, alguns de seus exemplos mais utilizados.
Palavras-Chave: Análise Funcional, Ponto Fixo de Banach, Espaços Métricos Completos.
Definições e Exemplos
Muitos problemas em Matemática se reduzem a encontrar pontos fixo de alguma
aplicação. Assim torna-se importante dar condições que garantam a existência de pontos
fixos. Para compreendermos a necessidade de tais condições são necessárias algumas
definições e resultados da teoria dos espaços métricos.
Definição 1: Uma métrica num conjunto M é uma função d : M ×M → R; que associa a
cada par ordenado de elementos x, y
M um número real d(x, y) de modo que sejam
M:
satisfeitas as seguintes condições para quaisquer x, y
d1) d(x, x) = 0;
d2) Se x ≠ y então d(x, y) > 0;
d3) d(x, y) = d(y, x);
d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para quaisquer x, y, z
M.
Um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em M.
Definição 2: Seja a um ponto de um espaço métrico M. Dado um número real
definimos:
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,
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
A bola aberta de centro a e raio
;
A bola fechada de centro a e raio
;
A esfera de centro a e raio
Esses são os conceitos básicos na teoria dos espaços métricos, no entanto, são
responsáveis por quase toda linguagem e resultados que iremos estabelecer. As
próximas definições, referem-se : a continuidade, fatos topológicos, limites,funções
uniformente contínuas, sequências de Cauchy e espaços métricos completos.
As consequências de cada assunto apresentado irão garantir as hipóteses feitas
no Teorema do Ponto Fixo de Banach, veremos ainda o que acontece quando
enfraquecermos suas hipóteses.
Definição 3: Sejam M, N espaços métricos. Diz-se que a aplicação
contínua no ponto a
M quando, para todo
que se
dado, é possível encontrar
. Diz-se que
contínua em todo ponto a
M.
= {1, 2, 3,...}, e que a cada n
Usaremos a notação (
, definida no
faz corresponder o elemento
.
) para indicar uma sequência.
Definição 5: Dizemos que um ponto a
para todo número
tal
é contínua quando ela é
Definição 4: Uma sequência num conjunto M é uma aplicação
conjunto
é
dado, pode-se obter
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
M é limite de uma sequência (
tal que
֜
) quando,
22
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
O conceito de continuidade pode ser expresso mediante a limites de sequências como
mostra o seguinte resultado.
Proposição 1: Sejam M, N espaços métricos. A fim de que a aplicação
contínua no ponto a
M é necessário e suficiente que
seja
em M implique f
→ f(a)
em N:
Há diferentes maneiras de se definir o que se entende quando se diz que “uma
converge para a aplicação
sequência de aplicações
”. As mais
naturais são; convergência simples e a convergência uniforme.
Definição 6: Diz-se que a sequência
aplicação
limite
x
converge simplesmente em X para a
quando, para cada x
em M. Ou seja, para cada x
X,
, existe
Definição
7:
Diremos
X, a sequência
X, tem-se
(dependendo de x e
que
a
sequência
uniformemente em X; para a aplicação
dado, for possível obter
tem
. Isto significa que, dados
) tal que
de
.
aplicações
converge
quando, para todo número real
tal que
,
Espaços Métricos Completos
O conceito de espaços métricos completos está diretamente relacionado com
sequências de Cauchy. Uma sequência
sequência de Cauchy quando, para todo
֜
num espaço métrico M chama-se uma
dado, existe
tal que m, n >
. Intuitivamente, os termos de uma sequência de Cauchy vão se tornando
cada vez mais próximos uns dos outros, à medida que cresce o índice n.
Definição 8: Diremos que um espaço métrico M é completo se toda sequência de
Cauchy em M for convergente.
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
Exemplo 1: (R, | |) é completo, no entanto os racionais com a métrica usual induzida por
R não é completo.
Uma observação que deve ser feita é que os espaços métricos completos não garantem
somente uma das condições da hipótese do teorema do ponto fixo, mas também nos
permite demonstrar um dos resultados mais férteis da teoria dos espaços métricos, em
que podemos garantir que a interseção de um número inumerável de conjuntos abertos e
densos num espaço métrico M é denso em M, sempre que M for completo.
Teorema do Ponto Fixo de Banach
Definição 9: Um espaço vetorial completo chama-se um espaço de Banach.
é um espaço de Banach.
Exemplo 2:
Definição 10: Seja M um conjunto. Um ponto fixo de uma aplicação
elemento
é um
M satisfazendo A (
Definição 11: Sejam (X, d) e (Y, D) espaços métricos. Uma aplicação
contração se existe uma constante
D(A( ξ );A( η ))
de modo que, para todos
é uma
ξ , η
X,
d(ξ , η).
Teorema (Ponto Fixo de Banach): Seja R um subconjunto fechado do espaço métrico
completo (X, d). Se a aplicação
é uma contração, e então A possui um, e
somente um, ponto fixo em R.
Demonstração: Se
ou seja,
e
são pontos fixos de A em R, então
; como
segue que
e a contração A não
possui pontos fixos distintos em R.
Para mostrar que existe um ponto fixo basta mostrar que, dado
(
é de Cauchy, já que toda contração é contínua.
Usando indução obtém-se
e, de forma geral,
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a sequência
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
.
Assim para todos
Como
para
, segue que
é sequência de Cauchy em R, e a A possui
um ponto fixo na região fechada R.
Corolário 1: Usando a notação do Teorema anterior, com
a sequência
então para qualquer
uma contração,
converge ao único ponto fixo ζ
de A e com erro (e “velocidade de convergência n-ésimo iterado estimado por
Demonstração: Basta tomar
na expressão
e usar a continuidade da métrica.
Corolário 2: Sejam R um conjunto fechado do espaço métrico completo (X,d) e
Se existe
de maneira que
é uma contação, então A possui um,
e somente um, ponto fixo em R.Além disso, para todo
converge a esse ponto fixo.
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a sequência
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
Exemplo 3: Seja
uma função dada na regiça
que satisfaz a
condição de Lipschitz
Sendo L > 0. Se
a equação integral não linear de Fredholm
Possui uma única solução
se L(b-a) < 1.
Exemplo 4: [ Teorema de Picard ]: Dada a função
contínua em
e satisfazendo a condição de Lipschitz
L
>
0.
Para
todo
(t,ξ),
(t,η)
,
denote
por
. O problema de Cauchy
possui uma única diferenciável
, sendo o intervalo
com
1/L, b).
Dos exemplos apresentados vemos que algumas das aplicações do Teorema do
Ponto Fixo de Banach estão relacionadas com: equações integrais de Fredholm,
equações afins em espaços de Banach e equações diferenciais ordinárias em R.
Geralmente, a dificuldade em aplicar esse teorema é encontrar espaços ou normas em
que o operador de interesse seja uma contração.
Conclusão
Os Espaços métricos garantem o aparato teórico e estrutural, de onde decorrem
motivações e generalizações importantes para o desenvolvimento da Topologia e Análise
Funcional. Contudo, a exploração de seus conceitos, assegura, por si só, a obtenção de
resultados de impacto na Matemática. O Teorema do Ponto Fixo é um resultado bem
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
conhecido na área de Análise Funcional, cujo desenvolvimento requer tão somente
recursos e técnicas de Espaços Métricos.
Referências
ARMSTRONG, M. A., Topologia Básica. Rio de Janeiro: Editora Reverté, 1987.
DOMINGUES, H. H., Espaços métricos e introdução à topologia, Atual Editora, 1982.
LIMA, E. L., Espaço Métrico 13ª Edição, Projeto Euclides, SBM, Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2003.
LIMA, E. L., Grupo Fundamental e espaços de recobrimento. 2ª Edição. Rio de Janeiro:
SBM - Coleção Projeto Euclides, 1999.
LIPSCHUTZ, S., General Topology. New York: McGraw-Hill, 1973.
MUNKRES, J., Topology: a first course, Prentice Hall, 1975.
KREYSZIG, E., Introductory functional analysis with applications, John-Wiley & Sons,
1968.
KUHLKAMP, N., Introdução à Topologia Geral. 2ª Edição. Florianópolis: Editora UFSC,
2002.
OLIVEIRA, CÉSAR R. de, Introdução à análise funcional:Rio de Janeiro,Impa 2010.
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
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RESUMOS SIMPLES
ESTUDO ANALÍTICO E NUMÉRICO DO MODELO DE CRESCIMENTO
POPULACIONAL .....................................................................................................................28
POLIEDROS E LEITURAS INSTRUCIONAIS ......................................................................29
USO DO ARDUINO PARA PROJETOS DE AUTOMAÇÃO RESIDENCIAL.....................30
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UNIVERSIDADE DO OESTE PAULISTA - UNOESTE
CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
COMUNICAÇÃO
ORAL
ESTUDO ANALÍTICO E NUMÉRICO DO MODELO DE CRESCIMENTO POPULACIONAL
ALENCAR, JANAINA KAWATA DE (Aluno de curso de graduação - UNOESTE)
SANO, DAYENE MIRALHA DE CARVALHO (Professor - UNOESTE)
Muitos fenômenos reais nas áreas das ciências, engenharias, economia, e outras, são modelados por equações
diferenciais. Existem diversos modelos que resolvem problemas reais, dentre eles o ‘modelo de crescimento
populacional’. Desde décadas passadas, têm-se feito estudos sobre a estimativa deste crescimento, pois, a
partir dos resultados é possível determinar planos econômicos, industriais, educacionais e tantas outras onde
envolve a população em geral. O objetivo do trabalho foi estudar analiticamente e numericamente os modelos de
Crescimento Populacional e obter comparações entre os modelos e métodos numéricos. Foi realizado um
estudo bibliográfico sobre as equações diferenciais ordinárias e sobre modelos de Crescimento Populacional, o
modelo de Malthus e o modelo de Verhulst. Além disso, foram estudados métodos numéricos para resolver
numericamente esses modelos, que foram implementados no software Matlab, a fim de se comparar as soluções
numéricas com as soluções analíticas. Os resultados obtidos mostram que o modelo de melhor projeção foi o de
Verhulst. Também foram comparados dados reais, obtidos da literatura, com dados numéricos que mostram
resultados bem próximos. Também foram comparados dados reais, obtidos da literatura, com dados numéricos
que mostram resultados bem próximos. Portanto, de maneira geral, através desses modelos pode-se ter uma
estimativa de quanto a população irá crescer a longo prazo e desta forma, o universo estudado poderá se
preparar para suportar o crescimento populacional de uma forma organizada.
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
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UNIVERSIDADE DO OESTE PAULISTA - UNOESTE
CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
COMUNICAÇÃO
ORAL
POLIEDROS E LEITURAS INSTRUCIONAIS
SOUSA, ROSÂNGELA DE (Aluno de programa de Pós-Graduação - UNOESTE)
FARINA NETO, MIGUEL (Aluno de programa de Pós-Graduação - UNOESTE)
A atividade denominada Poliedros e Leituras Instrucionais surgiu da necessidade de realizar um aprendizado
diferenciado no ensino da matemática em alunos do 8ª Ano da Escola Pública EE Alfredo Marcondes Cabral,
mais especificamente na geometria das dobraduras, partindo dos conceitos prévios já obtido pelos educandos,
do qual teriam que montar os poliedros geométricos, partindo de leituras de textos instrucionais, relacionados a
montagem das dobraduras dos poliedros. O trabalho teve como objetivo principal, desmistificar a matemática,
contextualizando a leitura com aprendizado matemático, pois além da leitura instrucional, o aprender fazendo é
muito importante para o resgate de conceitos geométricos em relação à geometria das dobraduras para
conseguir êxito na construção de sólidos geométricos, seguindo o passo a passo instrucional, além da
interpretação textual. O material utilizado foi texto explicativo do passo a passo na construção dos poliedros,
enfatizando a dobradura como seu principal eixo, folhas de sulfite e lápis colorido e cola, a metodologia
empregada foi o protagonismo juvenil, onde os próprios alunos ficaram responsáveis por sua aprendizagem,
levando-os à pesquisar, ler, instrumentalizar e agir, para obter êxito na montagem dos poliedros. O resultado
final foi excelente, pois o desafio de construção de um poliedro, foi o motivador para que não houvesse a
desistência, bem como os próprios alunos entenderam que a resolução e solução de problemas, só caberiam a
eles resolverem de maneira investigativa. Uma discussão interessante em relação ao ensino da matemática foi a
diversidade de atividades que motivam os alunos a aprenderem mais e melhor, desafiando o educador a quebrar
barreiras que a matemática só é ensinada de maneira tradicional, não limitando a aprendizagem em lousa e giz.
Esse tipo de atividade foi um desafio tanto para alunos quanto para o educador, pois o professor através de
atitudes demonstradas durante a atividade, consegue avaliar, a metodologia empregada, a aprendizagem dos
alunos, quais conceitos assimilaram mais, quais conceitos ainda precisam ser trabalhados, quais dificuldades
ainda permanecem e qual foi o resultado final.
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CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
COMUNICAÇÃO
ORAL
USO DO ARDUINO PARA PROJETOS DE AUTOMAÇÃO RESIDENCIAL.
HERNANDES, JOÃO FELIPE MAGRO (Aluno de curso de graduação - UNOESTE)
FERRARI, DIONE JONATHAN (Professor - UNOESTE)
A automação residencial não deve ser vista somente sob a concepção de luxo ou excentricidade, disponível a
poucos com mais recursos financeiros. Como qualquer novidade, a automação residencial, inicialmente, é
percebida pelo cliente como um símbolo de status e modernidade. No momento seguinte, o conforto e a
conveniência por ela proporcionados passam a ser decisivos. E, por fim, ela se tornará uma necessidade e um
fator de economia (AURESIDE, 2000a). Uma residência com essas características, além de ser confortável,
pode oferecer um melhor desempenho e confiabilidade dos sistemas existentes e, em muitos casos,
proporcionar também benefícios a pessoas com necessidades especiais, bem como a diminuição dos custos de
manutenção agilidade de operação e segurança aos seus residentes. Propor um sistema de automação
residencial de baixo custo, baseando seu projeto em conceitos já difundidos nas industrias, como: •
Microcontrolador Arduino, sensores e atuadores discretos, de fácil aquisição junto ao mercado; • Dispositivos
celulares para interface de monitoramento e configuração do sistema de automação residencial. • Pesquisa
bibliográfica, referente ao assunto proposto, em livros, revistas, Internet e fabricantes. • Seleção do material que
será utilizado para o desenvolvimento do trabalho. • Estudo sobre as tecnologias envolvidas em projetos com
uso do Arduino. • Elaboração e entrega do anteprojeto. • Conhecer as características, do Arduino que será
utilizado. • Apresentação de benefícios, problemas e soluções encontradas no Arduino utilizado. • Pesquisa
quanto às implementações semelhantes. • Desenvolvimento do programa em linguagem de programação de
C/C++. O uso da automação residencial pode contribuir para uma diminuição do consumo de energia elétrica e
água potável, havendo assim um controle mais racional destes insumos cada vez mais escassos nos dias de
hoje, gerando economia nas faturas mensais, sem que tais modificações afetem o conforto dos residentes. Outro
ponto muito importante a ser considerado, devido à elevação dos índices de criminalidade, é o investimento em
sistemas de alarme e movimentadores de portão, que cada vez mais tem pesado no custo das residências, além
de sistema de detecção de vazamentos de Gás Liquefeito de Petróleo (GLP) e de fumaça, o que também
garante mais tranqüilidade aos moradores. A automação gera uma série de economias ao longo do tempo, o
que compensa o investimento inicial do projeto, tanto que hoje, a grande maioria dos edifícios são ao menos
preparados para receber novas tecnologias, o que lhes confere maior vida útil (AURESIDE, 2000b). A motivação
para este trabalho é explorar estas oportunidades de execução de um sistema de automação residencial de
baixo custo, propondo as vantagens e reduzindo os problemas acima descritos.
Colloquium Exactarum, vol. 3, n. Especial, jul–dez, 2011
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 17 a 20 de outubro, 2011
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RELATOS DE EXPERIÊNCIAS
APRENDIZAGEM, PET, MATEMÁTICA: DA TEORIA À PRÁTICA ................................32
INVESTINDO EM NOVOS TALENTOS DA REDE DE EDUCAÇÃO PÚBLICA PARA
INCLUSÃO SOCIAL E DESENVOLVIMENTO DA CULTURA CIENTÍFICA EM TRÊS
LAGOAS - MATO GROSSO DO SUL ....................................................................................33
MATEMÁGICA - A MAGIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA ..........................................34
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UNIVERSIDADE DO OESTE PAULISTA - UNOESTE
CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
COMUNICAÇÃO
ORAL
APRENDIZAGEM, PET, MATEMÁTICA: DA TEORIA À PRÁTICA
FERREIRA, LIVIA DE OLIVEIRA (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO
GROSSO DO SUL - UFMS)
O projeto de extensão tem como objetivo assistir alunos do 1º ano do Ensino Médio de classes menos
favorecidas oriundos do meio rural(assentamentos e regiões ribeirinhas) e bairros da periferia, com dificuldades
na disciplina de Matemática. O projeto de cunho social da Universidade desenvolvido por alunos do Programa
de Educação Tutorial (PET) em parceria com a Escola Estadual Afonso Pena, justifica-se pela preocupação em
relação à deficiência na aprendizagem, principalmente na disciplina de Matemática, dos alunos de classes
sociais menos favorecidas, oriundos da área rural e dos bairros periféricos. Conforme pesquisas, os pais são
assalariados e não têm condições de onerar com aulas particulares, ou seja, reforço escolar para os filhos. Os
alunos do curso de Licenciatura em Matemática, os quais são participantes do Programa PET; proporcionam
atendimento aos alunos que estão cursando o 1º Ano do Ensino Médio. O Projeto foi iniciativa da
UFMS(Campus de Três Lagoas/MS) em parceria com a Escola Estadual Afonso Pena através do Programa
PET(Programa de Educação Tutorial) – Conexão dos Saberes dando continuidade ao trabalho desenvolvido em
2010, por alunos de Projetos de Extensão desenvolvidos por bolsistas da modalidade permanência. Este
trabalho de cunho social está beneficiando tanto os alunos que estão sendo atendidos quanto os que estão
prestando serviço, referindo-se aos petianos. Haja vista a oportunidade de recuperação dos alunos com
dificuldades, bem como os alunos graduandos que estão colocando em prática os conhecimentos adquiridos em
sala de aula, por outro lado, vivenciando o trabalho direto com alunos da educação básica. A professora regente
repassa os conteúdos a serem revisados, os petianos planejam estes conteúdos com atividades de fixação a
serem resolvidos em sala. A metodologia prevê, quando possível, aulas na Sala se Tecnologia e a
contextualização dos conteúdos para a prática diária. Em sala, as aulas são expositivas oportunizando aos
participantes tirar dúvidas, trabalhar em equipe e individual. A avaliação do projeto é contínua e processual, pois
acontece pela verificação da aprendizagem dos alunos, por meio da observação quanto ao domínio e retenção
dos assuntos abordados por intermédio das atividades propostas nas aulas de reforço.
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ORAL
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UNIVERSIDADE DO OESTE PAULISTA - UNOESTE
CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
INVESTINDO EM NOVOS TALENTOS DA REDE DE EDUCAÇÃO PÚBLICA PARA INCLUSÃO SOCIAL
E DESENVOLVIMENTO DA CULTURA CIENTÍFICA EM TRÊS LAGOAS - MATO GROSSO DO SUL
SOUZA, FERNANDO PEREIRA DE (Professor - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS)
TAMAROZZI, ANTONIO CARLOS (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO
GROSSO DO SUL - UFMS)
ROMANINI, EDIVALDO (Professor - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL - UFMS)
URIBE, EUGENIA BRUNILDA OPAZO (Professor - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS)
MODESTO, SONIA ANGELINA GARCIA (Professor - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
- UFMS)
SANTOS, ANA CARLA LELIS DE SOUZA DOS (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE
MATO GROSSO DO SUL - UFMS)
LUZ, FLÁVIO CAMILO (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO
SUL - UFMS)
O projeto "Investindo em Novos Talentos da Rede de Educação Pública para Inclusão Social e Desenvolvimento
da Cultura Científica em Três Lagoas - Mato Grosso do Sul" visa promover a inclusão social e difusão do
conhecimento científico da Matemática por meio de atividades extracurriculares visando o aprimoramento, a
atualização e a transformação da realidade de alunos e professores das escolas da educação básica do
município de Três Lagoas – MS. Este projeto será desenvolvido durante o ano de 2011 e é vinculado ao
programa institucional "Interciências: Ações da UFMS para Ciências, Computação e Matemática na Educação
Básica" financiado pela CAPES. Entre as atividades oferecidas pelo projeto podemos destacar mini-cursos e
oficinas para professores de Matemática de escolas públicas de Três Lagoas, ministradas por professores do
Curso de Matemática do Campus de Três Lagoas da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul e de
professores convidados de outras instituições de ensino, como por exemplo, o Professor João César Guirado
que ministrou a oficina "Enfoques Metodológicos para o Ensino de Funções", o Professor Ademir Pereira Júnior
que ministrou o minicurso "Cálculo Mental e Registros em Portfólios", os Professores Osmar Jesus Macedo e
Edivaldo Romanini que ministraram o minicurso "Introdução ao Geogebra", as professoras Eugenia Brunilda
Opazo Uribe e Sonia Angelina Garcia Modesto que ministraram o minicurso "Oficina Pedagógica: Mágica e
Jogos no Ensino de Matemática" e o professor Valdeni Soliani Franco que ministrou a palestra "Matemática
Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática: interações e interseções". O projeto oferece também
atividades para alunos de escolas públicas de Três Lagoas, em período contrário ao das aulas. Durante o
primeiro semestre de 2011 foram realizados encontros nos quais os alunos tiveram a oportunidade de revisar os
conceitos de Matemática necessários para a resolução de problemas vinculados à Olimpíada Brasileira de
Matemática das escolas públicas - OBMEP. No segundo semestre os alunos participaram de um minicurso de
Matemática Básica, uma preparação para o ENEM além de conhecer a Exposição Interativa de Matemática da
UEM o MATEMATIVA. O projeto Novos talentos proporcionou uma integração entre os professores da rede
pública, alunos da rede pública, acadêmicos do curso de licenciatura em Matemática e professores da UFMS,
estreitando laços de responsabilidade com o ensino da Matemática.
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CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MATEMÁTICA
COMUNICAÇÃO
ORAL
MATEMÁGICA - A MAGIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
CRUZ, WAGNER PINHEIRO DA (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO
GROSSO DO SUL - UFMS)
MOREIRA JÚNIOR, JOAQUIM RIBEIRO (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO
GROSSO DO SUL - UFMS)
FERREIRA, LIVIA DE OLIVEIRA (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO
GROSSO DO SUL - UFMS)
BRANDÃO, PÂMELA CATARINA DE SOUZA (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE
MATO GROSSO DO SUL - UFMS)
JORGE, NICKSON MORETTI (Aluno de curso de graduação - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
DO SUL - UFMS)
MODESTO, SONIA ANGELINA GARCIA (Professor - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
- UFMS)
URIBE, EUGENIA BRUNILDA OPAZO (Professor - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS)
O ensino de matemática na atualidade passa por inúmeras dificuldades, relatadas por professores de ensino
básico e superior através de textos em jornais e revistas, bem como através de encontros e congressos de
Matemática e Educação Matemática. O projeto de extensão Matemágica foi desenvolvido com objetivo de
apresentar alternativas de ensino de matemática para o Ensino Básico por meio de truques e mágicas, de
natureza aritmética e geométrica; buscando a divulgação e a desmistificação da Matemática. Nas atividades
desenvolvidas no projeto, os acadêmicos envolvidos fizeram apresentações em escolas de Ensino Fundamental
e Médio que iniciou-se em 2009 , continuou em 2010, e para o ano de 2011 já esgotou-se as datas possíveis. No
período 2009-2010 foi realizado um total de 72 apresentações, no ano de 2011 dez apresentações em Escolas
Estaduais, Municipais e Particulares. Os resultados obtidos até o momento são muito positivos, nas escolas em
que foram realizadas as apresentações, houve uma excelente avaliação por parte dos professores e
coordenadores das escolas visitadas. Os professores da disciplina Matemática constataram, um maior interesse
dos alunos em desenvolver as atividades em sala de aula e, conseqüentemente, um melhor aprendizado na
disciplina. Os alunos do Curso de Licenciatura em Matemática do Campus de Três Lagoas (CPTL) demonstram
muito interesse de participar do projeto e esta participação os torna mais desinibidos e mais preocupados em
desenvolver novas atividades para melhorar a prática docente. Foi elaborado um blog do projeto, que dispõe os
objetivos deste trabalho, fotos das apresentações como uma forma de divulgar o projeto com a comunidade em
geral. Desse modo, sempre que possível deve-se relacionar o conteúdo de matemática com a prática e com
jogos e brincadeiras diversas, e assim, torna-se agradável estudá-la. Todos os alunos podem e devem
compreender e usar diariamente as idéias matemáticas, pois tal habilidade não deve ser propriedade apenas de
uma minoria que tenha mais afinidade com o raciocínio lógico-matemático. A matemática está presente nas
atividades humanas em maior ou menor complexidade. Ao perceber isso, o aluno compreende o mundo a sua
volta e pode atuar nele. A todos, sem distinção, deve ser dada à oportunidade de compreensão e atuação como
cidadão. .
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