PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Daniel Guimarães Silva
O ENSINO DA MATEMÁTICA COM MODELAGEM DE FENÔMENOS FÍSICOS
– Desenvolvimento de atividades no Laboratório de Matemática e Física com
alunos do Ensino Médio Técnico do IFNMG, campus Pirapora –
Belo Horizonte
2013
2
Daniel Guimarães Silva
O ENSINO DA MATEMÁTICA COM MODELAGEM DE FENÔMENOS FÍSICOS
– Desenvolvimento de atividades no Laboratório de Matemática e Física com
alunos do Ensino Médio Técnico do IFNMG, campus Pirapora –
Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Ensino de Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2013
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
S586e
Silva, Daniel Guimarães
O ensino da matemática com modelagem de fenômenos físicos:
desenvolvimento de atividades no laboratório de matemática e física com
alunos do ensino médio técnico do IFNMG, campus Pirapora / Daniel
Guimarães Silva. Belo Horizonte, 2013.
159f.: il.
Orientador: João Bosco Laudares
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Física – Estudo e ensino. 3. Ensino
médio. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III.
Título.
CDU: 51
4
Daniel Guimarães Silva
O ENSINO DA MATEMÁTICA COM MODELAGEM DE FENÔMENOS FÍSICOS
– Desenvolvimento de atividades no Laboratório de Matemática e Física com
alunos do Ensino Médio Técnico do IFNMG, campus Pirapora –
Dissertação apresentada à banca examinadora
do Programa de Pós-graduação da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais –
Campus Coração Eucarístico - Belo Horizonte,
como parte dos requisitos para obtenção do
Título de Mestre em Ensino de Matemática.
COMISSÃO EXAMINADORA
__________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares - Orientador
PUC Minas
__________________________________________________
Prof. Dr. Lev Vertchenko
PUC Minas
__________________________________________________
Prof. Dr. Dionísio Burak
Universidade Estadual do Centro-Oeste
Belo Horizonte, 20 de setembro de 2013.
5
Aos meus pais,
que mesmo diante de tantas dificuldades, não
mediram esforços para proporcionar, a mim e
aos meus irmãos, a melhor educação possível.
6
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, que é presença constante em minha vida, protegendome e proporcionando-me tantas conquistas.
Aos meus pais, Rogério e Madalena, exemplos de trabalho, esforço,
dedicação, superação e êxito.
Aos meus irmãos Caroline e Rogerinho, sempre presentes.
A minha avó Joana e a minha tia Nedina, sinais de amor e carinho em minha
vida.
Aos meus primos Ana Paula, Renato e Danielle, aos meus padrinhos Antônio
Augusto e Neidinha, ao meu tio Zé e ao meu avô Waldivino, sempre próximos e
torcendo por minhas conquistas.
A minha avó Carmelina, a minha madrinha Geralda e a todos os outros
familiares paternos, que também estimam meu sucesso.
Aos meus familiares, Adriana, Quitéria e Vinícius, não apenas por
proporcionarem minha hospedagem em Belo Horizonte, quando necessário para
desenvolver meus trabalhos de Mestrado, mas por terem se mostrado novos e
queridos amigos.
Aos meus companheiros Adadson, Analice, Ana Paula, Carla, Daniela,
Kennedy, Vinícius de Morais e Vinícius de Sá, que me concedem inúmeros
momentos de alegria e descontração.
Ao estimado professor João Bosco Laudares, por ter me orientado com
tamanha sabedoria, paciência e dedicação.
A todos os professores do Mestrado, em especial, Dimas Felipe de Miranda,
Eliane Scheid Gazire e Maria Clara Rezende Frota, importantes para a
concretização desta pesquisa.
A todos os meus professores de Matemática do Ensino Básico, em particular,
Wagner e Igna, por contribuírem com essa minha paixão em estudar Matemática.
Aos meus colegas de Mestrado, especialmente Christiano, Eduardo e Giarola,
companheiros nessa jornada de estudos.
Aos meus colegas do Instituto Federal do Norte de Minas Gerais (IFNMG),
campus Pirapora, que contribuíram de alguma maneira para a realização deste
trabalho.
7
Ao professor de Física Walter, também colega do IFNMG, pela imensa
contribuição na construção das atividades desta Dissertação.
8
RESUMO
Nesta Dissertação são apresentados resultados de uma Pesquisa em Ensino de
Ciências e Matemática com Modelagem Matemática como alternativa pedagógica
para o estudo da Matemática integrado à Física, utilizando as Tecnologias de
Informação e Comunicação (TICs). Nesse contexto, buscou-se a significação de
conteúdos matemáticos pela associação com a Física. Objetivou-se, também, no
trabalho com a Modelagem, fazer o aluno despertar sua capacidade para construir
seu
próprio
conhecimento,
convidando-o
a
experimentar
o
processo
de
desenvolvimento e testar os resultados encontrados, incentivando sua autonomia.
Foram elaboradas quatro atividades cujos principais conteúdos matemáticos
estudados foram as Funções Quadráticas, Exponenciais e Trigonométricas no
contexto de alguns fenômenos físicos desenvolvidos em laboratório, em um trabalho
integrado à Física. As atividades foram desenvolvidas com um grupo de alunos da
terceira série do Ensino Médio integrado aos cursos técnicos de Informática e
Administração do Instituto Federal do Norte de Minas Gerais, campus Pirapora. Foi
utilizado, em todas as atividades, o software GeoGebra e, em algumas, o Excel e o
CidepeLab, que é específico para uso de determinados equipamentos do
laboratório. Optou-se por uma pesquisa qualitativa, priorizando não apenas a análise
final dos resultados obtidos, mas principalmente a análise dos procedimentos
empregados pelos alunos e a eficácia desse tipo de trabalho para o ens ino de
Matemática. A partir da análise qualitativa dos dados, foi possível verificar que as
atividades de Modelagem Matemática, com a utilização das TICs integrando outra
área de conhecimento, a Física, foram eficazes e motivadoras para o ensino e a
aprendizagem de Matemática. O produto é o conjunto das atividades modeladas
apresentadas num Caderno.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Matemática e Física; Tecnologias de
Informação e Comunicação (TICs).
9
ABSTRACT
This dissertation presents the results of a search in the Mathematics and Science
teaching with Mathematical modeling as a pedagogical alternative for the integrated
study of mathematics to physics, using the Information Technologies and
Communication (ITCs). In this context, we sought the meaning of mathematical
contents by association with Physics. The objective was also, when working with
the modeling, make the students awaken their ability to build to construct their own
knowledge,
invited them to experience the developing process
and testing the
found results, encouraging their autonomy. We prepared four activities whose main
studied mathematical contents were
Quadratic, Exponential and Trigonometric
functions in the context of some physical phenomena developed into the laboratory
in an integrated work to physics. The activities were developed with a group of
students from the third grade of the integrated high school with the Technicians
Computer and Management courses from Instituto Federal do Norte de Minas
Gerais campus Pirapora. It was used in all the activities, the GeoGebra software
and, in some of them, Excel and CidepeLab, which is specific to the use of certain
equipment in the lab. We chose to a qualitative research, focusing not just the final
results analysis, but mainly the used procedures analysis by the students and the
effectiveness of this type of work for mathematics teaching . From the qualitative data
analysis, it was possible to notice that the mathematical modeling activities with the
use of ITCs by integrating other area of knowledge, The Physics, were effective
and motivating for the mathematics teaching and learning . The product is a set of
modeled activities presented in a notebook.
Keywords:
Mathematical
Modeling,
Technologies and Communication (ITCs).
Mathematics
and
Physics,
Information
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 - Esquema do processo de Modelagem Matemática ................................. 22
Figura 02 - A situação inicial e a situação final na Modelagem Matemática ............. 23
Figura 03 - Dinâmica das fases da Modelagem Matemática ..................................... 26
Figura 04 - Fases da Modelagem Matemática ............................................................ 27
Figura 05 - Esquema apresentado aos alunos sobre processo de Modelagem
Matemática no contexto das atividades a serem desenvolvidas ............................... 54
Figura 06 - Equipamentos utilizados na atividade 1 ................................................... 65
Figura 07 - Equipamentos utilizados na atividade 2 ................................................... 71
Figura 08 - Esquema elétrico do circuito RC da atividade 4 ...................................... 75
Figura 09 - Equipamentos da atividade 4 .................................................................... 88
Figura 10 - Alunos do terceiro ano do Ensino Médio, ano 2013, do IFNMG – campus
Pirapora desenvolvendo atividades de Modelagem Matemática no Laboratório de
Física ............................................................................................................................ 97
Figura 11 - Relato sobre a meta da atividade 1 da dupla 2 ........................................ 99
Figura 12 - Gráfico da atividade 1 obtido no software CidepeLab pela dupla 4 ...... 100
Figura 13 - Obtenção da fórmula que modela o experimento da atividade 1 pela
dupla 3 ........................................................................................................................ 101
Figura 14 - Gráfico da atividade 1 obtido no GeoGebra pela dupla 3, a partir da
fórmula obtida manualmente ..................................................................................... 101
Figura 15 - Gráfico da atividade 1 obtido no Excel pela dupla 3 .............................. 102
Figura 16 - Gráficos obtidos no GeoGebra da atividade 1 pelo Excel e pelos três
pontos selecionados pela dupla 3 ............................................................................. 103
Figura 17 - Questões respondidas pela dupla 1 na atividade 1 ............................... 104
Figura 18 - Obtenção da fórmula que modela o experimento da atividade 2 pela
dupla 3 ........................................................................................................................ 105
Figura 19 - Procedimento de validação realizado pela dupla 3 na atividade 2 ....... 106
Figura 20 - Questões respondidas pela dupla 3 na atividade 2 ............................... 107
Figura 21 - Fórmula geral, condições de existência, de decrescimento e crescimento
da Função Exponencial descritos pela dupla 2......................................................... 108
11
Figura 22 - Obtenção da fórmula que modela o experimento da primeira etapa da
atividade 3 pela dupla 2 ............................................................................................. 109
Figura 23 - Gráfico da primeira etapa da atividade 3 obtido no GeoGebra pela dupla
2, a partir da fórmula obtida manualmente................................................................ 109
Figura 24 - Resolução manual do sistema de equações para obtenção da fórmula
que modela o experimento da segunda etapa da atividade 3 pela dupla 3............. 111
Figura 25 - Resolução pelo GeoGebra da equação polinomial para obtenção da
solução do sistema de equações da segunda etapa da atividade 3 pela dupla 3 .. 112
Figura 26 - Gráfico da segunda etapa da atividade 3 obtido no GeoGebra pela dupla
3, a partir da fórmula obtida manualmente................................................................ 112
Figura 27 - Questão respondida pela dupla 2 na atividade 4 ................................... 115
Figura 28 - Cálculos para obtenção da fórmula que modela o experimento da
atividade 4 pela dupla 4 ............................................................................................. 116
Figura 29 - Gráfico da atividade 4 obtido no GeoGebra pela dupla 4, a partir da
fórmula obtida ............................................................................................................. 117
12
LISTA DE QUADROS
Quadro 01 - Livros didáticos de Matemática analisados ............................................ 42
Quadro 02 - Livro didático de Física analisado ........................................................... 47
Quadro 03 - Explicação das fases da Modelagem Matemática ................................. 54
Quadro 04 - Explicação sobre o funcionamento dos principais equipamentos do
laboratório ..................................................................................................................... 55
Quadro 05 – Experimentação realizada com equipamentos do laboratório, com os
softwares CidepeLab e Excel ...................................................................................... 56
Quadro 06 - Esquema básico de organização das atividades ................................... 61
Quadro 07 - Conceitos físicos relacionados à aceleração e ao movimento retilíneo
uniformemente variado ................................................................................................ 63
Quadro 08 - Recursos necessários para desenvolver a atividade 1 e algumas
considerações .............................................................................................................. 63
Quadro 09 - Procedimentos do experimento da atividade 1 ...................................... 64
Quadro 10 - Etapa de matematização e resolução da atividade 1 ............................ 66
Quadro 11 - Etapa de interpretação e resolução da atividade 1 e solução final ....... 67
Quadro 12 - Conceitos físicos relacionados à queda livre ......................................... 69
Quadro 13 - Componentes e procedimentos do experimento da atividade 2 ........... 69
Quadro 14 - Etapas da atividade 2 .............................................................................. 71
Quadro 15 - Conceitos físicos relacionados ao circuito RC ....................................... 73
Quadro 16 - Componentes do circuito RC e considerações sobre a atividade 3 ...... 74
Quadro 17 - Procedimentos da atividade 3 ................................................................. 75
Quadro 18 - Início da etapa de matematização e resolução da descarga do capacitor
da atividade 3 ............................................................................................................... 78
Quadro 19 - Continuação da etapa de matematização e resolução da atividade 3:
comentários relacionados ao número irracional e ...................................................... 79
Quadro 20 - Continuação da etapa de matematização e resolução da descarga do
capacitor da atividade 3 ............................................................................................... 81
Quadro 21 - Etapa de interpretação e resolução da descarga do capacitor da
atividade 3 .................................................................................................................... 82
13
Quadro 22 - Etapa de matematização e resolução da carga do capacitor da atividade
3 .................................................................................................................................... 83
Quadro 23 - Etapa de interpretação e validação da carga do capacitor da atividade 3
...................................................................................................................................... 84
Quadro 24 - Definição sobre Movimento Harmônico .................................................. 86
Quadro 25 - Recursos necessários para desenvolver a atividade 4 e algumas
observações ................................................................................................................. 86
Quadro 26 - Procedimentos do experimento da atividade 4 ...................................... 87
Quadro 27 - Etapa de matematização e resolução da atividade 4 ............................ 90
Quadro 28 - Etapa de interpretação dos resultados e validação da atividade 4 ....... 92
14
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15
2 INTEGRAÇÃO ENTRE MODELAGEM, TECNOLOGIAS E FÍSICA NO ENSINO
DA MATEMÁTICA ....................................................................................................... 20
2.1 Modelagem Matemática ..................................................................................... 20
2.1.1 Breve histórico da Modelagem Matemática no Brasil ................................. 20
2.1.2 Conceituações sobre a Modelagem Matemática ........................................ 20
2.1.3 Fases da Modelagem Matemática............................................................... 22
2.1.4 Modelagem no ensino da Matemática......................................................... 27
2.2 Tecnologias de Informação e Comunicação ..................................................... 31
2.2.1 As TICs no Ensino Básico ........................................................................... 31
2.2.2 As TICs no ensino por meio da Modelagem Matemática ........................... 34
2.3 O ensino da Matemática integrado à Física ...................................................... 36
3 PCNEM E ANÁLISE DO TEMA EM ESTUDO DE LIVROS DIDÁTICOS............. 39
3.1 Os PCNEM e o Ensino da Matemática por meio da Modelagem de Fenômenos
Físicos ....................................................................................................................... 39
3.2 Análise do tema estudado em alguns livros didáticos ...................................... 42
4 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES ........................................................................ 49
4.1 Introdução ........................................................................................................... 49
4.2 O software GeoGebra ........................................................................................ 51
4.3 O software Excel ................................................................................................. 52
4.4 Os equipamentos do laboratório e o software CidepeLab ................................ 52
4.5 Introdução às atividades..................................................................................... 53
4.6 Características das atividades ........................................................................... 60
4.7 Apresentação das atividades ............................................................................. 62
5 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES E RESULTADOS ALCANÇADOS.................... 94
5.1 Introdução ........................................................................................................... 94
5.2 Análise qualitativa da pesquisa .......................................................................... 94
5.3 Sujeitos e ambiente da pesquisa ....................................................................... 96
5.4 Aplicação das atividades .................................................................................... 96
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 118
REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 122
APÊNDICE (Produto da Dissertação) .................................................................... 126
15
1 INTRODUÇÃO
Na perspectiva de uma educação básica que, além de formar profissionais
para atuarem no mercado de trabalho, contribua para a formação geral de um
cidadão, com capacidades e interesses distintos, permitindo associaç ões entre
conteúdos escolares e a prática, o ensino da Matemática no nível médio pode ser
desenvolvido objetivando uma constante interação entre o abstrato e o mundo físico,
com o conteúdo aplicável e útil às diversas áreas do conhecimento. Uma
possibilidade para o desenvolvimento desse tipo de ensino é a utilização de
atividades que envolvam a Modelagem Matemática.
Diversos problemas de outras áreas do conhecimento são resolvidos
utilizando a Modelagem Matemática, pois se trata da união entre a Matemátic a
abstrata e a realidade. Assim, “genericamente, pode-se dizer que Matemática e
realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é um meio de fazê-los
interagir.” Ela proporciona um trabalho prático, voltado a um ensino que tem sentido
para o aluno. (BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 13).
Essa característica também está em acordo com os Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), que apontam a necessidade desse ensino
ligado ao mundo contemporâneo, onde o conhecimento escolar tenha significado,
mediante a contextualização e interdisciplinaridade.
Um
importante
meio
para
atingir
os
objetivos
contextualizada na atualidade é utilizar as Tecnologias
dessa
educação
de Informação e
Comunicação (TICs) como um instrumento metodológico. “O conhecimento s e dá
fundamentalmente no processo de interação, de comunicação. A informação é o
primeiro passo para conhecer. As tecnologias nos ajudam a ampliar a nossa
comunicação”. (MORAN, 2010, p. 24-27) As TICs podem ser classificadas como um
elo entre os conceitos tratados na escola com diversos outros meios externos e,
também, responsáveis pela ligação entre áreas, facilitando, por exemplo, a aplicação
de outras disciplinas na Matemática.
Pensando nessa perspectiva de educação contextualizada e com tecnologia,
buscou-se desenvolver, na pesquisa apresentada nesta Dissertação, atividades
envolvendo Modelagem Matemática de Fenômenos Físicos, que foram realizadas no
laboratório de Física e Matemática. Foi feita uma interface entre os experimentos e o
16
computador por meio de sensores e conexões, um ambiente computacional
transportou os dados dos experimentos, convergindo-os para o formato de gráficos e
tabelas, que foram exportados para outros softwares para que as inferências
matemáticas fossem feitas.
A proposta desse tipo de atividade surgiu por meio da minha trajetória
acadêmica. Desde minha formação básica, recebi muitas influências de uma
educação tradicional, tecnicista, sem foco em aplicações e contextualizações. Nas
primeiras séries do Ensino Fundamental, tive um ensino de Matemática voltado para
o desenvolvimento de algoritmos das operações básicas, sem preocupação com
aplicações e sem estímulos relacionados ao raciocínio e a criatividade. Essa
metodologia de um ensino puramente teórico, desvinculado da prática e dos
recursos tecnológicos foi se estendendo até o Ensino Médio, que foi praticamente
todo baseado na resolução de questões de vestibulares.
Logo quando completei o Ensino Médio, comecei a graduação de Licenciatura
em Matemática e, após quatro anos, já lecionava nos Ensinos Fundamental e Médio.
Assim como meus antigos professores, passei a ser um transmissor de
conhecimentos, era considerado um bom profissional, mas não tinha maturidade
para refletir sobre minha ação, que estava totalmente atrelada ao estilo de formação
que tive em minha educação básica.
Em 2010, passei a ser professor efetivo do Instituto Federal do Norte de
Minas, campus Pirapora. Com um ensino focado não apenas na transmissão de
conhecimentos, passei por uma crise de identidade profissional. Não conseguia
encontrar sentido na minha função de professor de Matemática. Qual o objetivo de
trabalhar diversos conteúdos, corrigir tantos exercícios, se grande parte dos alunos
não demonstrava interesse no que era trabalhado? Para muitos desses estudantes,
a Matemática é vista como algo totalmente fora da realidade, sem sentido e
aplicação. Por que, então, não ensinar a Matemática relacionando conteúdo e
aplicação? As mudanças acontecem gradativamente e o professor pode inovar,
trabalhar com tecnologias, buscar recursos que justifiquem o que é ensinado.
Diante disso, pretendeu-se fazer uma revisão bibliográfica, objetivando a
construção de sequências didáticas de atividades interligadas à Física e utilizando
TICs, que visam a um trabalho nos moldes de um ensino investigativo, prático e
atual.
17
De acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2012), o desenvolvimento da
Modelagem Matemática nas aulas de Matemática na educação básica, pode
favorecer: a ativação de aspectos motivacionais e relações com a vida fora da
escola ou com as aplicações da Matemática; a viabilização ou a solicitação do uso
do computador nas aulas de Matemática; a realização de trabalhos cooperativos; o
desenvolvimento do conhecimento crítico e reflexivo; o uso de diferentes registros de
representação; a ocorrência de aprendizagem significativa. Todos esses fatores
estão interligados aos objetivos da educação básica propostos pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), que não visam apenas ao
aprendizado do conteúdo, mas também ao desenvolvimento de outras habilidades
envolvidas no processo de ensino-aprendizagem.
Nos dias atuais, existe uma crescente busca pela “matematização” das
ciências, para que estas possam ser mais precisas, explicativas e capazes de fazer
previsões de eventos futuros. Além disso, quase todas as áreas requerem alguma
competência em Matemática, especialmente a Física, que é uma das ciências que
mais necessita da Matemática como uma linguagem para expressar suas leis e
desenvolver seus fundamentos, de modo a aumentar o seu poder de previsão. Essa
dependência entre as duas áreas é mútua, uma vez que parte dos conceitos da
Matemática encontram sua inspiração e desenvolvimento dentro da Física, como
conceitos relacionados a derivadas parciais, que segundo Poincaré, citado por
Karam (2007), foram desenvolvidos a partir de estudos sobre calor e eletricidade.
Com a utilização de tecnologias, o trabalho entre a Física e a Matemática
ganha agilidade, precisão e oferece um ambiente atrativo para o aluno desenvolver
seus conhecimentos, raciocínios e capacidades de percepção. Embasado nessas
ideias, surge o seguinte questionamento:
Como atividades de Modelagem Matemática de Fenômenos Físicos utilizando
TICs podem contribuir para o ensino-aprendizagem significativo da Matemática no
Ensino Médio?
Nessa perspectiva, os objetivos dessa pesquisa são:
18
Objetivo Geral
Proporcionar uma aprendizagem significativa da Matemática integrada à
Física com base no desenvolvimento de atividades que envolvam Modelagem
Matemática de Fenômenos Físicos utilizando TICs no Laboratório de Física e
Matemática.
Objetivos Específicos
 Construir
experimentos
físicos
em
laboratório,
verificando
suas
características e as grandezas envolvidas;
 Selecionar o conteúdo matemático a ser trabalhado com as situações
físicas;
 Identificar como os PCNEM e livros de Matemática e Física apresentam os
conteúdos abordados neste trabalho e a modelagem;
 Identificar softwares matemáticos para implementação dos modelos e
obtenção de gráfico e tabelas;
 Selecionar instrumentação do laboratório para a aprendizagem pela
Modelagem Matemática.
 Formular problemas que associem conteúdos matemáticos a práticas da
Física para serem trabalhados no ensino de Matemática do nível médio.
Esta Dissertação é constituída por quatro capítulos, além da introdução,
considerações finais, referências e apêndices.
Na introdução, apresenta-se o tema e a justificativa por sua escolha, os
objetivos da pesquisa, a pergunta de pesquisa e a apresentação dos capítulos.
O capítulo 2 é destinado à discussão teórica relacionada ao tema da
pesquisa. Assim, são descritos conceitos sobre Modelagem Matemática, em
especial as contribuições desse tipo de aprendizagem na prática educativa,
Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) e interação entre Matemática e
Física no ensino.
No capítulo 3 é feita uma descrição sobre conceitos retratados nos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) e suas relações com
este trabalho. É feita, também, a análise de dois livros didáticos de Matemática e um
19
de Física na parte correspondente aos conteúdos relacionados às atividades
apresentadas nesta dissertação.
As atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas nesta pesquisa são
explicitadas no capítulo 4.
O capítulo 5 mostra relatos de como as atividades foram aplicadas, algumas
respostas dos alunos e os resultados alcançados.
20
2 INTEGRAÇÃO ENTRE MODELAGEM, TECNOLOGIAS E FÍSICA NO ENSINO
DA MATEMÁTICA
2.1 Modelagem Matemática
2.1.1 Breve histórico da Modelagem Matemática no Brasil
Segundo Burak (2004), o trabalho com a Modelagem Matemática começou a
ser desenvolvido no Brasil por um grupo de professores da Biomatemática da
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP na década de 1980, coordenados
pelo Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi do Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica – IMECC, que desenvolvia estudos relacionados a modelos
de crescimentos cancerígenos.
No eixo da educação, Burak (2004) informa que os estudos relacionados à
Modelagem Matemática no Brasil iniciaram em 1983, na Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras de Guarapuava – FAFIG, hoje Universidade Estadual do CentroOeste – UNICENTRO, com os cursos de especialização para professores.
Nos níveis fundamental e médio, a utilização da Modelagem como alternativa
de ensino da Matemática surgiu em 1985, como proposta de trabalho de uma
dissertação da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho – UNESP,
campus Rio Claro, a ser desenvolvida na quinta série do Ensino Fundamental
(BURAK, 2005).
2.1.2 Conceituações sobre a Modelagem Matemática
Bassanezi (2011, p. 16) afirma que “a modelagem matemátic a consiste na
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”. Almeida, Silva e Vertuan
(2012, p. 15) destacam que
uma atividade de modelagem matemática tem em uma situação
problemática a sua origem e tem como característica essencial a
possibilidade de abarcar a cotidianidade ou a relação com os aspectos
21
externos à Matemática, caracterizando-se como um conjunto de
procedimentos mediante o qual se definem estratégias de ação do sujeito
em relação a um problema.
Blum, citado por Sant’Ana (2007, p. 149), descreve como o ponto de partida
para a Modelagem Matemática uma situação do mundo real, que é caracterizada
como realidade ou tudo que advém da natureza, sociedade ou cultura, incluindo as
disciplinas escolares e excetuando a Matemática. Essa associação entre diversos
conhecimentos e a Matemática por Modelagem se dá por meio do processo de
construção do modelo matemático, que é definido por Bassanezi (2011, p. 20) como
“um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam, de alguma
forma, o objeto estudado”. Segundo Franchi (2007, p.181), “um modelo matemático
pode ser explicado como uma representação abstrata de uma parte do mundo real,
através de estruturas e conceitos matemáticos”. Assim, a compreensão e
interpretação de um fenômeno em estudo podem ser facilitadas com o modelo
matemático, que, de acordo com Biembengut e Hein (2009), pode ser expresso em
diversas estruturas e conceitos, como, por exemplo, em fórmulas e gráficos que se
aproximam da realidade.
Um modelo pode ser formulado em termos familiares, utilizando-se
expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações
geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais, etc.
Por outro lado, quando se propõe um modelo, ele é proveniente de
aproximações realizadas para se poder entender melhor um fenômeno e
nem sempre tais aproximações condizem com a realidade. Seja como for,
um modelo matemático retrata, ainda que em uma visão simplificada,
aspectos da situação pesquisada (BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 12).
Nessa perspectiva da possibilidade de um modelo matemático expressar
situações da realidade, Bassanezi (2011, p. 24) define, ainda, Modelagem
Matemática como “um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de
modelos matemáticos”. Bean (2001) destaca, inclusive, a obtenção do modelo
matemático como objetivo de uma atividade de Modelagem Matemática, que
representa possíveis características do objeto estudado.
A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as
características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a
ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em
termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e aproximações significam
que o modelo criado por esse processo é sempre aberto à crítica e ao
aperfeiçoamento (BEAN, 2001, p. 53).
22
Complementando essas últimas características sobre Modelagem Matemática
descritas por Bassanezi (2011) e Bean (2001), Biembengut e Hein (2011) se
posicionam, também, sobre o processo de intuição e criatividade implícitos no
processo de obtenção do modelo e de seleção dos conteúdos matemáticos a serem
utilizados.
Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um
modelo. Este sobe certa óptica, pode ser considerado um processo artístico,
visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento de
matemática, o modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e
criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo
matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as
variáveis envolvidas. (BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 12).
Biembengut e Hein (2011) relatam, ainda, sobre prováveis aplicações e
teorias que podem ser obtidas ao serem formuladas as expressões para o problema
estudado. Além disso, destacam a ideia sobre a Modelagem Matemática como um
meio de interação entre Matemática e realidade, apresentando o esquema seguinte.
Figura 01 - Esquema do processo de Modelagem Matemática
Fonte: BIEMBENGUT; HEIN,2011, p. 13
2.1.3 Fases da Modelagem Matemática
Como descrito no tópico anterior, uma atividade de Modelagem Matemática
tem em uma situação problemática a sua origem. A identificação dessa situação é o
ponto de partida do trabalho com a Modelagem Matemática, que tem como meta a
aquisição de uma solução final. Entre esses dois extremos, há um conjunto de
procedimentos a serem desenvolvidos.
23
[...] uma atividade de Modelagem Matemática pode ser descrita em termos
de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que
representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de
procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para
a situação final (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 12).
Almeida, Silva e Vertuan (2002) também ilustram essa característica,
conforme o diagrama seguinte.
Figura 02 - A situação inicial e a situação final na Modelagem Matemática
Fonte: ALMEIDA, SILVA; VERTUAN, 2012, p. 12
Desde os processos referidos à situação real a ser estudada até a obtenção e
validação de uma situação final, os autores relacionados ao estudo da Modelagem
Matemática apresentam etapas consideradas fundamentais para esse tipo de
atividade.
Serão expostas as etapas descritas por Bassanezi (2011), Biembengut e Hein
(2011) e Almeida, Silva e Vertuan (2012).
Bassanezi (2011) aponta as fases de experimentação, abstração, resolução,
validação e modificação. Segundo o autor, os dados relacionados ao experimento
são alcançados na experimentação. Ele ressalta a importância de técnicas de
pesquisa para seleção de dados que contribuirão para obtenção de um modelo
adequado para o fenômeno estudado.
1. Experimentação – É uma atividade essencialmente laboratorial onde se
processa a obtenção dos dados. Os métodos experimentais, que quase
sempre são ditados pela própria natureza do experimento e objetivo da
pesquisa. (...) Muitas vezes, novas técnicas de pesquisa empírica exercem
pressão sobre o foco do interesse da teoria e permitem uma melhor seleção
das variáveis essenciais envolvidas no fenômeno. (BASSANEZI, 2011, p.
26-27).
Bassanezi (2011) subdivide a fase de abstração, que é onde começa a
formulação dos modelos matemáticos, em quatro outras etapas. Ele descreve que,
inicialmente, deve haver a seleção das variáveis, em que seus conceitos
24
relacionados ao contexto estudado devem ser claramente definidos; explica,
também, que, nessa etapa, deve ocorrer a problematização, enfatizando que a
formulação de um problema deve ser mais específica, indicando exatamente o que
se pretende resolver. Após especificação dos objetivos, na formulação de hipóteses,
o autor ressalta que elas dirigem a investigação, permitindo ao pesquisador deduzir
manifestações específicas; por fim, nessa fase de abstração é indicada a subfase de
simplificação, que ao voltar no problema original, busca-se restringir as informações
a um nível que não desfigure o problema original, resultando num problema
matemático tratável.
2. Abstração – É o procedimento que deve levar à formulação dos modelos
matemáticos. Nesta fase, procura-se estabelecer: (a) seleção das variáveis;
(...) (b) problematização ou formulação aos problemas teóricos numa
linguagem própria da área em que se está trabalhando (...); (c) formulação
de hipóteses (...); (d) simplificação (...). (BASSANEZI, 2011, p. 27-29).
O autor destaca a concretização da mudança de linguagem natural para a
matemática na fase de resolução. Frisando na especificidade da linguagem
matemática em traduzir diferentes situações da linguagem natural, que podem ser
expressas em alguns tipos de equações ou outras representações que podem ser
mais ou menos complexas, muitas vezes, necessitando de auxílios computacionais
para se obter alguma solução. Assim, é indicado que essa fase é específica do
matemático.
3. Resolução – O modelo matemático é obtido quando se substitui a
linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente
(...). A resolução de modelos é uma atividade própria do matemático,
podendo se completamente desvinculada da realidade modelada.
(BASSANEZI, 2011, p. 29-30).
Na fase de validação, Bassanezi (2011) descreve que nela é verificada a
aceitação do modelo proposto com o grau de aproximação entre os dados reais e os
encontrados por meio da Modelagem, destacando que o modelo deve prever, no
mínimo, os fatos que o originaram, alegando que um bom modelo é aquele que tem
capacidade de previsão de novos fatos ou relações insuspeitas. Os modelos obtidos
podem estar em desacordo com o problema original, que, segundo o autor, pode
acontecer devido a simplificações mal idealizadas, devido a alguma hipótese falsa
25
utilizada, por coleta de dados incorretos ou insuficientes, por algum erro matemático
ou demais acontecimentos, por isso, ele propõe a fase de modificação.
4. Validação – É o processo de aceitação ou não do modelo proposto –
Nesta etapa, os modelos, juntamente com às hipóteses que lhes são
atribuídas devem ser testados em confronto com os dados empíricos,
comparando suas soluções e previsões com os valores obtidos no sistema
real – O grau de aproximação desejado destas previsões será o fator
preponderante para sua validação. (...) A interpretação dos resultados
obtidos através dos modelos pode ser feita com o uso de gráficos das
soluções que facilita avaliar as previsões ou mesmo sugerir um
aperfeiçoamento dos modelos.
5. Modificação – Alguns fatores ligados ao problema original podem
provocar a rejeição ou aceitação dos modelos. Quando os modelos são
obtidos considerando simplificações e idealizações da realidade, suas
soluções geralmente não conduzem às previsões corretas e definitivas (...).
(BASSANEZI, 2011, p. 30).
Biembengut e Hein (2011) descrevem de maneira mais sucinta as fases de
uma atividade de Modelagem Matemática, entretanto, têm a mesma essência em
relação às cinco etapas apresentadas por Bassanezi (2011). São apresentadas tr ês
etapas: interação, matematização e modelo matemático, cada uma subdividida em
outras duas. Os autores descrevem que a interação se inicia ao ser delineada a
situação-problema e vai se concretizando à medida que acontece a familiarização
com o tema a ser analisado, essa etapa se ramifica em reconhecimento da situaçãoproblema e familiarização com o assunto a ser modelado. Os autores esclarecem
que a ordem em que as duas subfases acontecem pode se inverter, além de se
tornarem mais claras, enquanto vão se concretizando as outras fases.
Na fase de matematização, que é subdividida em formulação do problema e
resolução, em consonância com Bassanezi (2011), acontece a tradução da situaçãoproblema para a linguagem matemática. Os autores citam a importância da intuição,
criatividade e experiência acumulada para o desenvolvimento desse processo, pois
nessa etapa é que acontece a classificação das informações, das variáveis
utilizadas e demais fatores e hipóteses importantes para que, formulada a situaçãoproblema, na segunda etapa dessa fase, seja feita sua resolução com o ferramental
matemático que se dispõe.
Por fim, tem-se a fase modelo matemático, que consiste na avaliação do
modelo para verificação do nível de aproximação em relação à situação-problema,
caracterizando, desse modo, as subetapas apresentadas de interpretação da
situação (modelo) e validação do modelo (verificação de sua adequabilidade).
26
a) Interação
- reconhecimento da situação-problema;
- familiarização com o assunto a ser modelado  referencial teórico.
b) Matematização
- formulação do problema  hipótese;
- resolução do problema em termos do modelo.
c) Modelo matemático
- interpretação da solução;
- validação do modelo  avaliação. (BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 13).
Essas fases são descritas, também, pelos autores, conforme o esquema
seguinte, indicando as inter-relações entre as etapas e subetapas, sendo
indispensável a retomada de qualquer fase, de acordo com a necessidade da
dinâmica do trabalho desenvolvido.
Figura 03 - Dinâmica das fases da Modelagem Matemática
Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 15
Almeida, Silva e Vertuan (2012) apresentam quatro etapas bastante
semelhantes às descritas por Biembengut e Hein (2011). Inteiração, matematização,
resolução, interpretação de resultados e validação.
Os autores, inicialmente, relatam sobre o termo “inteiração”, que remete a “ato
de inteirar-se”, “informar-se sobre”, “tornar ciente de” e descrevem que, no contexto
da Modelagem Matemática, essa etapa representa o primeiro contato com a
situação-problema que se pretende estudar. Uma vez definido o tema dessa etapa,
informações são estudadas, objetivando a familiarização com o assunto para o
desenvolvimento de todo o trabalho.
27
Assim, com os conhecimentos necessários sobre o assunto abordado na
matematização é feita a formulação do problema por meio da linguagem
matemática, levantando hipóteses essenciais à efetivação da fase seguinte.
Na etapa de resolução, Almeida, Silva e Vertuan (2012) também a
caracterizam pela busca da construção de um modelo matemático, com a finalidade
de descrever a situação, permitir a análise dos aspectos relevantes, responder às
perguntas formuladas sobre o problema e, em alguns casos, viabilizar a realização
de previsões.
Além disso, os autores, em consonância com os demais apresentados, citam
a quarta e última fase como sendo interpretação dos resultados e validação,
retratadas em um processo avaliativo realizado pelos envolvidos na atividade,
resultando na validação da representação matemática associada ao problema,
considerando tanto os procedimentos matemáticos, quanto a adequação da
representação para a situação. O esquema seguinte ilustra as fases apresentadas
pelos autores.
Figura 04 - Fases da Modelagem Matemática
Fonte: ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 15
Como mencionado anteriormente, os autores ressaltam que essas fases não
são estáticas, a qualquer momento pode ser oportuno voltar a um aspecto não
observado ou antecipar alguma situação, na última fase, por exemplo, caso a
conclusão adquirida não seja adequada, faz-se necessário o retorno às outras
etapas.
2.1.4 Modelagem no ensino da Matemática
Embasado por pesquisas feitas sobre o levantamento de produção de
dissertação e teses relacionadas à utilização da Modelagem Matemática no campo
da Educação Matemática, Barbosa (2007b) destaca o crescente interesse pelo
28
assunto nas últimas décadas. O autor relata a presença do tema nos eventos e
publicações, estimulando o interesse de professores e pesquisadores nos diversos
níveis de ensino.
No nível médio, o ensino através da Modelagem possibilita o tratamento da
Matemática em três aspectos: na Matemática como ciência, com características
próprias;
na
Matemática formativa,
que contribui
no desenvolvimento
de
capacidades pessoais dos alunos e na Matemática como instrumento, com técnicas
e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento. A partir dessa
última característica, o ensino apresentado mostra-se atraente e em conformidade
com os outros dois aspectos apontados. Barbosa (2001, p. 14) aponta que:
um modelo matemático não é formulado com um fim em si mesmo, mas
para resolver um problema. Sendo assim, a partir do modelo matemático,
elabora-se um problema que será, se possível, resolvido pelas teorias
matemáticas conhecidas. A solução é trazida de volta para a situação real
para ser interpretada. Se possível, pode-se “validar” com os dados
empíricos. Procura-se verificar o significado e a acuidade da solução obtida
na situação-problema.
Sendo assim, as três características apresentadas estão implícitas no
processo de obtenção de um modelo matemático, pois, ao se buscar um problema
qualquer para ser trabalhado e resolvido pela Matemática, o estudante estará
utilizando essa ciência como instrumento, que com suas características, definições e
propriedades específicas poderá despertar o aspecto formativo do aluno envolvido
no processo de Modelagem Matemática, desenvolvendo nele capacidades de
criatividade e intuição para interpretar, relacionar e resolver a situação proposta
através do conteúdo matemático.
Na perspectiva das contribuições para um ensino-aprendizagem eficiente e
motivador, a utilização da Modelagem Matemática, na ótica de autores relacionados
ao campo de educação matemática, também é favorável.
Biembengut e Hein (2011) retratam o ensino da Matemática como algo que
vai além da simples resolução de questões matemáticas, que, em muitos casos não
são significativas para o aluno. Por isso, defendem que:
a modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar
no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece ao
mesmo tempo que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso
porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por
29
meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso
crítico (BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 18).
Burak e Barbieri (2005) mostram que além da interatividade proporcionada
nesse tipo de ensino, ocorrem contribuições para o desenvolvimento do pensamento
lógico-matemático dos alunos, enriquecendo o processo de ensino-aprendizagem.
O ensino de Matemática pode se tornar extremamente interativo com a
utilização da Modelagem Matemática, revelando uma nova concepção da
disciplina, sobretudo no que se refere ao próprio crescimento cognitivo do
aluno, em que os conteúdos matemáticos contribuem para o
desenvolvimento do raciocínio lógico, indicando seu nível de colaboração na
formação intelectual, social e pessoal (BURAK; BARBIERI, 2005, p. 8).
A Modelagem como método de ensino, segundo Almeida e Brito (2005, p.
487), ”tem sido apontada por diversos educadores matemáticos como uma
alternativa pedagógica que visa relacionar Matemática escolar com questões extramatemáticas de interesse dos alunos”.
Barbosa (2007a, p. 161), por sua vez, defende que “a modelagem é um
ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e
investigar, por meio da Matemática, situações com referência na realidade”. Nesse
sentido, com a motivação encontrada nas aplicações dos conteúdos matemáticos, o
aluno vai se tornando sujeito ativo na busca por conhecimentos indispensáveis à
resolução de uma situação real.
Outros autores também expressam como aspecto positivo a possível
associação entre situações do mundo real e a Matemática que esse tipo de trabalho
permite. Meyer, Caldeira e Malheiros (2011, p. 27) descrevem a importância de o
aluno ser capaz de concatenar o mundo real com o universo matemático abstrato e
que uma maneira de se obter essa associação é por meio da Modelagem. Desse
modo, “o primeiro passo a ser dado para se trabalhar com Modelagem é reconhecer
a existência de um problema real, no sentido de ser significativo para os alunos e
suas comunidades”.
Essas situações do mundo real, como já relatadas, com embasamento em
Sant’Ana (2007), estão associadas a qualquer outra área do conhecimento. Nessa
perspectiva, Biembengut e Hein (2011) citam a aproximação da Matemática com
outra área como um dos objetivos do processo de ensino-aprendizagem, utilizando a
30
Modelagem em qualquer nível escolar. Além desse objetivo, os autores destacam
outros cinco.
- aproximar uma área do conhecimento da Matemática;
- enfatizar a importância da Matemática para a formação do aluno;
- despertar o interesse pela Matemática ante a aplicabilidade;
- melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;
- desenvolver a habilidade para resolver problemas; e
- estimular a criatividade. (BIEMBENGUT; HEIN, 2011, p. 18-19).
A criatividade e habilidades desenvolvidas pelos alunos acontecem, inclusive,
pela característica, já apontada, desse tipo de atividade de estímulo à pesquisa, em
que são mais autônomos em relação a uma outra simples atividade matemática de
resolução de exercícios, por exemplo, pois eles são centro do processo ensinoaprendizagem. Meyer, Caldeira e Malheiros (2011, p. 25) apontam que, em
Modelagem, “o sujeito do processo cognitivo é o aprendedor, é o aluno. Cada
pessoa constrói o seu conhecimento, o sujeito atribui significados pelos próprios
meios”.
Portanto, em acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2012), o professor, nesse
processo, é uma espécie de orientador, não no sentido de estar alheio a sua
postura, pois ele deve ser indicador de caminhos quando necessário, não
oferecendo respostas acabadas a possíveis dúvidas, mas sugerindo procedimentos
e não fazendo do aluno um simples seguidor de exemplos.
Nas atividades com Modelagem Matemática, o professor consciente de sua
função educativa estará fazendo com que o ensino se torne mais
abrangente, envolvente e interdisciplinar, assumindo uma nova condição em
relação ao processo de ensino deixando de ser um mero transmissor para
se tornar orientador na construção de um conhecimento com reais
significados. O aluno, aprende participando, tomando atitudes diante dos
fatos, vivenciando sentimentos e escolhendo procedimentos para atingir
seus objetivos. Dessa forma tende a assimilar com maior profundidade os
conteúdos matemáticos. (BURAK; BARBIERI, 2005, p. 8).
Diante disso, Abreu (2011, p. 59) afirma que:
O aluno deve ser convidado a participar em seu processo de aprendizagem,
e não a ser simplesmente um sujeito apático em um ambiente onde só o
professor possui o direito à voz. Em trabalhos com a Modelagem, o aluno,
deve ser convidado a se integrar, e pesquisar, inserido ao ambiente de
aprendizagem que a Modelagem Matemática proporciona.
31
Portanto, o ensino da Matemática pautado na Modelagem não contempla
apenas o vínculo da Matemática com a prática ou outras áreas do conhecimento,
mas contribui, também, para a formação de um aluno crítico, participativo e
pesquisador, além de exigir dele o domínio dos conceitos matemáticos.
Com base nessas características, buscou-se uma pesquisa que contribua
para o aperfeiçoamento da Modelagem Matemática como método de ensino de
Matemática.
2.2 Tecnologias de Informação e Comunicação
Em consonância com Kenski (2008), o conceito sobre Tecnologias de
Informação e Comunicação (TICs) neste trabalho está associado a qualquer meio
facilitador dos processos de propagação e interação de informação e comunicação,
considerando o crescente avanço tecnológico nas últimas décadas, com a
disseminação de inúmeros recursos, como televisão, computadores associados às
redes digitais e diversas outras mídias.
No contexto da educação, assim como relatado por Barros (2012), as TICs
são intituladas como qualquer artefato auxiliador no processo de automação e
comunicação de conhecimentos relacionados ao ensino e à pesquisa científica,
desde meios e equipamentos mais simples, como internet, computador ou
calculadora, até qualquer outro meio ou equipamento de maior sofisticação.
2.2.1 As TICs no Ensino Básico
Com a rápida evolução de processos e produtos tecnológicos diferenciados e
sofisticados na sociedade, como relatado por Kenski (2008), é um desafio, no âmbito
da educação básica, atingir formas diferenciadas de ensinar e aprender que
atendam a extrema velocidade de disseminação de informações e comunicações
proporcionada por esse crescente avanço. Na concepção de Borba e Penteado
(2001), pode-se buscar uma sintonia entre o ensino nas escolas e as TICs. Os
autores entendem que “uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades de
mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma ressonância
32
entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento”. (BORBA;
PENTEADO, 2001, p. 43).
Os estudantes têm cada vez mais vínculo com variados recursos
tecnológicos, aumentando a possibilidade dos métodos de aprendizagem serem
apoiados pelas TICs.
O século XX entrou para a história com a inegável marca de um século no
qual houve um desenvolvimento acelerado da tecnologia eletrônica,
especialmente da informática e, por consequência, dos computadores. A
partir da entrada do século XXI, esses equipamentos têm exercido um papel
fundamental na formação de profissionais das mais diversas áreas. Essa
realidade gera para a educação básica a demanda de inserir essas
tecnologias em seus projetos pedagógicos e ambientes físicos.
(FOLLADOR, 2007, p. 35).
Apesar do crescimento exacerbado da informática em diversos segmentos, na
escola isso acontece de forma bastante restrita. Segundo Masetto (2010, p. 133),
“em educação escolar, por muito tempo – e eu diria mesmo, até hoje –, não se
valorizou adequadamente o uso de tecnologia visando tornar o processo de ensinoaprendizagem mais eficiente e mais eficaz”. Não significa que o professor deva
utilizar tais recursos indiscriminadamente, pois, para Moran (2010, p. 32), “cada
docente pode encontrar sua forma mais adequada de integrar as várias tecnologias
e os muitos procedimentos metodológicos”. De acordo com o conteúdo trabalhado
no Ensino Médio e os objetivos almejados, é verificada a possibilidade do uso de um
recurso tecnológico adequado que contribua para um processo de aprendizagem
significativo e estimulante.
As novas tecnologias de comunicação (TICs), sobretudo a televisão e o
computador, movimentaram a educação e provocaram novas mediações
entre a abordagem do professor, a compreensão do aluno e o conteúdo
veiculado. A imagem, o som e o movimento oferecem informações mais
realistas em relação ao que está sendo ensinado. Quando bem utilizadas,
provocam a alteração dos comportamentos de professores e alunos,
levando-os ao melhor conhecimento e maior aprofundamento do conteúdo
estudado. (KENSKI, 2008, p. 45).
Apesar dos inúmeros benefícios no processo de ensino-aprendizagem, as
Tecnologias de Informação e Comunicação são apenas recursos didáticos que o
professor deve utilizar como ferramenta de apoio, elas não devem ser encaradas
como protagonistas na aprendizagem dos alunos, não são solução para os diversos
problemas existentes na Educação Básica. Conforme Masetto (2010, p. 139):
33
[...] a tecnologia apresenta-se como meio, como instrumento para colaborar
no desenvolvimento do processo de aprendizagem. A tecnologia reveste-se
de um valor relativo e dependente desse processo. Ela tem sua importância
apenas como um instrumento significativo para favorecer a aprendizagem
de alguém. Não é a tecnologia que vai resolver ou solucionar o problema
educacional do Brasil. Poderá colaborar, no entanto, se for usada
adequadamente, para o desenvolvimento educacional de nossos
estudantes.
É o professor o mediador de todo o processo de ensino-aprendizagem e as
TICs são valiosas ferramentas de apoio, criadoras de condições de aprendizagem.
Mas, para que o docente atinja os objetivos relacionados ao conteúdo a ser
aprendido, usando como um meio as tecnologias, faz-se necessário um
planejamento mais rigoroso, atento à eficácia dos recursos utilizados quanto ao
processo de ensino-aprendizagem e aos diversos meios tecnológicos e às
constantes mudanças existentes nesse segmento.
Um dos fatores primordiais para a obtenção do sucesso na utilização da
Informática na educação é a capacitação do professor perante essa nova
realidade educacional. O professor deverá ser capacitado de tal forma que
perceba como deve efetuar a integração da tecnologia com a sua proposta
de ensino. O professor deve estar aberto a mudanças, principalmente em
relação a adquirir uma nova postura: a de facilitador e coordenador de
processos de ensino-aprendizagem; ele precisa aprender a aprender, a lidar
com as rápidas mudanças, ser dinâmico e flexível. (SANTIAGO, 2006, p.
82-83)
Então, além da exigência de um trabalho mais rigoroso, a utilização adequada
das TICs como auxiliadoras na aprendizagem requer, muitas vezes, postura de
orientação, permitindo a autonomia do aluno no desenvolvimento de atividades.
Moran (2010, p. 30) afirma que “o professor é um pesquisador em serviço. Aprende
com a prática e a pesquisa e ensina a partir do que aprende. Realiza-se
aprendendo-pesquisando-ensinando-aprendendo. O seu papel é fundamentalmente
o de um orientador/mediador”. Laudares e Miranda (2007) também fazem
considerações sobre essa nova postura do professor num ambiente informatizado
de aprendizagem.
[...] A ação docente não permanece mais no centro do processo do
ensinar/aprender. O professor é impelido a converter-se em mediador, a
mostrar aos alunos os caminhos para atingir a autonomia em relação ao
conhecimento. Assim, ambiente e professor integrados são constituintes de
um espaço escolar adequado ao desenvolvimento da didática, na
34
perspectiva de mais formação e não apenas informação. (LAUDARES,
MIRANDA, 2007, p. 74)
Ponte (2000) ressalta que, com o uso das TICs, professor e aluno passam a
ser parceiros de um mesmo processo de construção do conhecimento, aumentando
a responsabilidade dos professores, fazendo com que eles não sejam apenas
(re)transmissores de conhecimentos, constituindo, assim, uma grande evolução
educativa.
No ensino da Matemática, além das calculadoras de diversos modelos, um
importante e eficiente meio tecnológico auxiliador na aprendizagem é o computador,
que permite a manipulação de diversos softwares matemáticos e a associação com
outras mídias e recursos.
O computador pode ser considerado como principal instrumento das TICs,
devido à pluralidade de utilização de informações que podemos manipular.
O computador é uma máquina que promove relações interativas,
disponibiliza simultaneamente várias mídias como: televisão, rádio, blu-ray,
máquina fotográfica, projetor multimídia, aparelho de som, entre outros.
(BARROS, 2012, p. 40).
Borba (2001, p. 34) explana que “as novas mídias, como computadores com
softwares gráficos e as calculadoras gráficas, consentem que o aluno experimente
bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de biologia ou de
física”. Tem-se, então, um aluno ativo, participativo no processo de ensinoaprendizagem, que utiliza a tecnologia como meio de pesquisa e aprimoramento de
um assunto abordado.
Dessa maneira, as características apresentadas estão em acordo com
atividades de ensino pautadas na Modelagem Matemática, que também tem o
professor como orientador de um aluno totalmente participativo no processo.
2.2.2 As TICs no ensino por meio da Modelagem Matemática
Num trabalho de ensino por meio da Modelagem Matemática, uma situação
real, ao ser matematizada, torna-se mais simples, atrativa, ilustrativa e precisa ao
serem utilizadas as Tecnologias de Informação e Comunicação.
35
A modelagem pode e já foi bastante praticada no Brasil e em outros países
sem o uso da mídia informática. Entretanto, a sinergia é imensa entre uma
proposta que enfatiza a pesquisa por parte dos alunos e uma mídia que
facilita tal empreitada. Softwares de geometria dinâmica como o
Geometricks (2000) ou o Cabri, softwares de funções como os presentes
nas calculadoras gráficas ou softwares que permitem o trabalho com
funções, tabelas e estatística como o Excel, se tornam importantes aliados
em investigações abertas como as empreendidas em uma abordagem
ligada à modelagem. (BORBA; PENTEADO, 2001, p. 44).
Meyer, Caldeira e Malheiros (2011), com embasamento em exemplos
apresentados por outros autores, destacam as TICs como atrizes, ao se fazer
Modelagem.
Com o aumento da presença das TICs no cotidiano escolar, as
possibilidades de experimentação e investigação de determinadas situações
podem ser otimizadas, viabilizando a realização de simulações e previsões.
(MEYER; CALDEIRA; MALHEIROS, 2011, p. 116).
Os recursos computacionais aperfeiçoam o trabalho de Modelagem.
Trabalhar com um número de dados e variáveis expressivos se torna mais fácil com
a Informática, uma vez que os softwares matemáticos são eficientes na construção
de gráficos e fórmulas, agilizam o trabalho e fazem estimativas mais precisas em
relação ao trabalho manual. Jacobini, citado por Meyer, Caldeira e Malheiros (2011,
p. 117), relata que, “ao se trabalhar com um volume grande de dados, além de um
número considerável de variáveis, recursos informáticos são necessários para o
processo de construção e simulação de modelos”.
O trabalho conjunto da Informática com a Modelagem trouxe novas
possibilidades para a Modelagem. Muitas das dificuldades do processo de
Modelagem ficaram superadas pela facilidade de coleta e tratamento dos
dados e pela manipulação das representações (matrizes, planilhas, gráficos
ou equações) através da utilização de softwares e da Internet. O modelo
pode ser construído com mais liberdade, sem o receio de que o tratamento
matemático possa ser demasiadamente complicado, ou difícil de ser
abordado naquela etapa de escolaridade. (FRANCHI, 2007, p. 185).
Jacobini, agora mencionado por Diniz (2007), destaca que há muitas
informações quantitativas em projetos de Modelagem, em que os alunos podem
fazer simulações e construir diversos gráficos, sendo o Excel um software
adequado, devido a sua facilidade de uso e disponibilidade. Por iss o, foi utilizado em
duas das atividades desenvolvidas neste trabalho, as quais serão expostas no
capítulo 3. Outro software utilizado em todas as atividades que serão relatadas nesta
36
Dissertação, adequado para o trabalho com gráficos, é o GeoGebra, que é dinâmico
e se mostra apropriado para o Ensino Básico. Silva (2011), portanto, destaca os
benefícios da utilização desse tipo de software no nível de ensino em questão.
O uso de softwares dinâmicos pode melhorar a compreensão de conceitos,
uma vez que relacionam propriedades numéricas, algébricas e geométricas
do mesmo conteúdo, de forma versátil, conferindo aos alunos a
possibilidade de ligarem habilidades visuais a numéricas. (SILVA, 2011, p.
42).
Berry e Houston, citados por Diniz (2007), retratam um tipo de simulação em
uma atividade de Modelagem Matemática de algo que pode ser construído. O autor
cita o exemplo de um avião, em que se pode investigar, via simulação, várias
situações que podem ocorrer durante o voo. Exemplo semelhante aos tipos de
atividades a serem relatadas no capítulo 3, nas quais constam experimentos da
Física construídos em laboratório, de maneira que se investigam situações através
da Matemática.
A internet é outro recurso computacional que aperfeiçoa o trabalho de
Modelagem. Conforme Meyer, Caldeira e Malheiros (2011, p.116), “a sua utilizaç ão
pode facilitar a realização de pesquisas”, o acesso à informação é rápido, atualizado
e permite uma comunicação facilitada com sujeitos ligados ao assunto explorado.
Franchi (2007, p. 185-186) destaca que “a utilização da informática pode também
facilitar a comunicação entre as pessoas envolvidas no processo de construção do
modelo, possibilitando um constante diálogo em momentos não presenciais”.
Desse modo, as TICs são importantes meios para construção e simulação de
modelos. Araújo (2002, p. 43-44) sugere que há “uma certa harmonia na parceria
entre Modelagem Matemática e tecnologias informáticas. Parece haver uma
solicitação natural pelo uso de computadores e/ou calculadoras quando se está
desenvolvendo algum trabalho de Modelagem Matemática”. Então, num contexto
social atual, um trabalho de Modelagem se mostra qualitativo com a utilização das
TICs, sendo praticamente indispensável seu uso nos parâmetros atuais de
desenvolvimento da tecnologia.
2.3 O ensino da Matemática integrado à Física
37
A Matemática é dotada de uma estrutura própria, entretanto, não é
independente de outras ciências. Tanto a Matemática encontra suporte e motivação
em áreas diversas, como Física, Química, Biologia e Estatística, quanto inúmeras
outras ciências respaldam-se em conceitos matemáticos.
O reconhecimento de uma teoria científica passou a ter como condição
necessária o fato de poder ser expressa em uma linguagem matemática. A
própria matemática teve uma evolução substancial, em decorrência da
demanda das diversas áreas de pesquisa por novas teorias matemáticas.
(BASSANEZI, 2011, p.19).
A Física e a Matemática são influenciadas mutuamente. Uma encontra na
outra inspiração para o desenvolvimento de muitas de suas teorias. Sobre isso,
Karam (2007) relata que “o matemático depende tanto da Física como o inverso”. De
acordo com Machado (2001, p. 50), “a Física nos entulha de exemplos de conceitos
e teorias matemáticas que surgiram como respostas a questões formuladas pela
experiência e não como fruto de mera especulação intelectual”.
A importância da Física para a Matemática não se restringe apenas à
possibilidade de aplicação de conceitos e teorias, algumas estruturas matemáticas
são desenvolvidas a partir de conhecimentos físicos. Poincaré, citado por Karam
(2007), afirma que, sem algumas teorias físicas, não seriam conhecidos alguns
conceitos matemáticos. Ele descreve como exemplos a relação no desenvolvimento
das equações e derivadas parciais com conceitos sobre calor e eletricidade e
destaca, ainda, sobre a teoria das equações e derivadas parciais de segunda ordem
que desenvolveu pela Física e para a Física.
[...] os físicos não auxiliam os matemáticos apenas fornecendo-os
problemas, mas também na solução destes através da sugestão de
raciocínios e demonstrações baseados em imagens e analogias físicas.
Muitas vezes, é só através dessas imagens e analogias que os matemáticos
conseguem construir um melhor entendimento sobre objetos extremamente
abstratos como, por exemplo, as funções de variáveis complexas. (KARAM,
2007, p. 6).
A importância da Matemática para a Física também é aparente, esta última
ciência encontra na Matemática uma formalização de seus conceitos, pois muitas de
suas teorias são expressas pela Matemática e são demonstradas com as operações
matemáticas. Robilotta, citado por Campos (2000, p. 52), pontua que “os
conhecimentos da Física englobam fenômenos e teorias, sendo estas últimas
38
baseadas em conceitos e leis, e estruturadas por meio da Matemática”. Pietrocola
(2002) destaca os aspectos positivos do estudo de conceitos científicos relacionados
à Física, utilizado a Matemática como linguagem, que é universal.
[...] a Matemática, enquanto linguagem, empresta sua própria estruturação
ao pensamento científico para compor os modelos físicos sobre o mundo.
Estas são em última instância, estruturas conceituais que se relacionam ao
mundo, mediadas pela experimentação. A escolha da Matemática enquanto
veiculo estruturador da ciência reside, entre outras coisas, nas suas
características de precisão, universalidade e principalmente lógica
dedutiva (possibilidade de previsibilidade). (PIETROCOLA, 2002, p. 101 102. Grifos do autor da citação).
A ideia da Matemática num contexto estruturante de conhecimentos da Física
pode ser estendida para o ensino a partir do entendimento dos conceitos físicos por
parte dos alunos. Campos (2000, p. 54) alega que, “ao estabelecer relações
operatórias entre os conceitos físicos, a Matemática cumpre uma função
estruturadora do conhecimento, emprestando forma às teorias”. O estudante utiliza o
conhecimento aprendido na Física, traduzindo-o em linguagem matemática, tirando
conclusões sobre o que é estudado. Diante disso, Karam (2007) descreve que:
[...] dentro desta perspectiva de ações integradas facilitadoras que
pensamos que seja desejável uma abordagem interdisciplinar para o ensino
de Matemática e Física, com os objetos matemáticos ganhando significado
a partir de exemplos concretos de fenômenos físicos e estes fenômenos
sendo modelizados pela linguagem matemática. (KARAM, 2007, p. 7).
Nesse contexto, a metodologia de ensino de Matemática com a Modelagem
Matemática de Fenômenos Físicos mostra-se propícia. Assim, Campos (2000)
destaca o desenvolvimento de propostas metodológicas para introduzir os alunos na
prática de Modelagem Matemática, que torna possível a resolução de problemas
práticos, expressa regularidades, transformações e permanências entre grandezas
físicas.
39
3 PCNEM E ANÁLISE DO TEMA EM ESTUDO DE LIVROS DIDÁTICOS
3.1 Os PCNEM e o ensino da Matemática por meio da Modelagem de
Fenômenos Físicos
Com base na nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação – Lei 9.394/96,
tem-se os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), que
indicam um novo foco para esse último nível de Ensino Básico no Brasil. A partir da
década de 90, buscou-se a formação emancipatória do aluno em detrimento à
formação de características tecnicistas presentes em décadas anteriores.
Nessa nova concepção, os PCNEM indicam uma tendência da formação
geral, em oposição à formação específica. Apresentam como características do
Ensino Médio as capacidades de pesquisar, buscar informações, analisá-las e
selecioná-las. Destacam como primordial o desenvolvimento da capacidade de
aprender, criar e formular, ao invés da simples resolução de um exercício de
memorização.
Todas essas características surgem com a necessidade de uma educação
atenta às mudanças estruturais da sociedade, que concomitantemente com o
desenvolvimento contínuo de novas tecnologias, tem-se a alteração do modo de
organização do trabalho e das relações sociais.
Assim, com base no surgimento de novas tecnologias, na consolidação de um
estado democrático, nas mudanças na produção de bens, serviços e conhecimentos
e com referência nos princípios definidos pela LDB, o Ministério da Educação, num
trabalho conjunto com educadores de todo o país, propõe com os PCNEM um
ensino apoiado em competências básicas para a inserção dos alunos na vida adulta.
Em contrapartida a um ensino descontextualizado, baseado no acúmulo de
informações, é almejada a busca de significados ao conhecimento escolar, mediante
a contextualização e interdisciplinaridade, valorizando o raciocínio e a capacidade de
aprender. (BRASIL, 2000a).
O ensino de Ciências e Matemática, que é iniciado no nível fundamental,
além dos conceitos e informações a serem aprofundados e complementados, as
40
habilidades e competências também são desenvolvidas com maior plenitude no
Ensino Médio, devido à maturidade adquirida pelo estudante em sua vida escolar.
Os PCNEM propõem uma abordagem de ensino de Biologia, Física, Química e
Matemática com procedimentos e conceitos científicos, os quais devem ser
trabalhados, quando possível, envolvendo a articulação interdisciplinar desses
saberes, contemplando os conteúdos tecnológicos e práticos já presentes junto a
cada disciplina. Com isso, forma-se a área das Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias, em que o desenvolvimento dos instrumentos matemáticos de
expressão e raciocínio é preocupação de todos os professores envolvidos nessa
área, já que os elementos matemáticos no Ensino Médio são necessários para a
construção de conceitos das outras ciências nesse nível de ensino e estão
presentes em outras situações internas e externas ao ambiente escolar.
Nessa ideologia de necessidade de alguma competência em Matemática a
outras áreas do conhecimento e de um Ensino Médio que contribui para a promoção
e desenvolvimento das capacidades exigidas na vida social e profissional dos
alunos, com diferentes motivações, interesses e habilidades, os PCNEM retratam a
Matemática, nesse nível de ensino, com valor formativo e instrumental.
Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de
processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e
alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no
aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de
investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e
enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e
científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o
desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais.
(BRASIL, 2000b, p. 40).
Esse aspecto, descrito no capítulo anterior, está de acordo com a
característica de um ensino por meio da Modelagem Matemática, em que o
estudante é o centro do processo e é convidado a desenvolver todo o trabalho de
maneira autônoma. Através do seu próprio raciocínio e da pesquisa, ele deve
interagir sobre o assunto estudado, buscando um modelo matemático para obtenção
de uma solução e de conclusões sobre o problema apresentado ou sobre outras
situações.
A definição de Modelagem Matemática, também apresentada no primeiro
capítulo, em citações de alguns autores, está associada à transformação de uma
41
situação relacionada a uma área de conhecimento qualquer para a Matemática, a
fim de se obter conclusões sobre o assunto abordado, caracterizando, assim, o
aspecto instrumental proporcionado à Matemática com esse tipo de atividade.
No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino Médio,
ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias
para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a
atividade profissional. Não se trata de os alunos possuírem muitas e
sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a
segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as
adequadamente no momento oportuno. (BRASIL, 2000b, p. 40).
Para aplicar essas técnicas e estratégias da Matemática, importantes para
obter conclusões sobre um determinado assunto através da Modelagem, assim
como apontado pelos PCNEM, do estudante se requer conhecimento sobre
definições e propriedades específicas da Matemática, salientando, além do aspecto
formativo e instrumental, uma abordagem dessa disciplina como ciência, com suas
características estruturais próprias, que podem ser importantes para validar e dar
sentido a outros conhecimentos.
Os PCNEM também fazem uma reflexão específica entre relação Matemática
e tecnologia, ressaltando o computador como o instrumento mais relevante nesse
processo de ensino, o qual deve favorecer o desenvolvimento de habilidades e
procedimentos úteis para orientação do sujeito num mundo de conhecimento em
constante movimento.
Na
ideologia
apresentada
pela
busca
da
contextualização
e
interdisciplinaridade, o conteúdo matemático “Função”, trabalhado nas atividades a
serem relatadas no capítulo seguinte, é destacado pelos Parâmetros Curriculares
como exemplo de um tema com caráter integrador a outras ciências.
Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função
desempenha também papel importante para descrever e estudar através da
leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos
fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento,
como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de
Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o
conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma
variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno
pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos
sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação
em Matemática. (BRASIL, 2000b, p. 43-44).
42
Uma abordagem totalmente associada às características da atividade 4 deste
trabalho, que os PCNEM destacam, é relacionada à Função Trigonométrica, a qual
pode ser trabalhada na construção de modelos que correspondam a fenômenos
periódicos, propondo um projeto que envolva a Física, proporcionando uma
oportunidade de aprendizagem significativa.
3.2 Análise do tema estudado em alguns livros didáticos
O livro didático é um importante recurso no processo de ensino-aprendizagem
da Matemática no Ensino Médio. Ele é útil como fonte de estudos para os alunos e
como apoio às atividades propostas pelos professores, em que são apresentadas
definições, propriedades, demonstrações e exercícios.
Foram analisadas duas obras de Matemática integrantes do Programa
Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), que fazem parte do
cadastro de sugestões de livros a serem adotados por instituições públicas de
ensino.
Quadro 01 - Livros didáticos de Matemática analisados
Livro
1
Título do Livro
Matemática
Volume(s)
1e2
Autores
Gelson Iezzzi
Ciência e
Osvaldo Dolce
Aplicações
Davi Degenszajn
Editora
Ano
Saraiva
2010
Ática
2009
Roberto Périco
Nilze de Almeida
2
Matemática
Único
Luiz Roberto Dante
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
O conteúdo matemático analisado em cada livro é Função, especificamente
as trabalhadas nas atividades a serem descritas no capítulo seguinte desta
Dissertação, tendo sido retratadas as Funções Quadrática, Exponencial e
Trigonométrica.
43
Os livros de Matemática foram analisados nos seguintes aspectos: introdução
do conteúdo, abordagem metodológica adotada e exercícios propostos.
Livro 1: Matemática Ciência e Aplicações – Volumes 1 e 2
Nesse livro, que é adotado na instituição em que a pesquisa foi des envolvida,
o conteúdo Função é introduzido no volume 1 como uma noção intuitiva, através de
quatro exemplos práticos de relação entre duas grandezas, como tempo e
temperatura, dispostas em forma de tabela.
Após alguns exercícios relacionados a situações básicas, que indicam relação
entre duas grandezas, a noção de Função é abordada como relação entre dois
conjuntos. São descritos exemplos teóricos e, em seguida, é apresentada a
definição formal de Função. Depois, é feita a abordagem do conteúdo no contexto
das fórmulas. A partir daí são apresentados os conceitos de domínio, contradomínio
e conjunto imagem de uma Função. A abordagem gráfica é feita, inicialmente, no
contexto informal com dados estatísticos, para depois ser trabalhada a construção
de gráfico de Funções quaisquer a partir de elementos do domínio. No final do
capítulo, são apresentados conceitos, como sinal de uma Função, crescimento e
decrescimento, máximos e mínimos, simetrias e é finalizado com um conjunto de
exercícios teóricos e práticos para serem resolvidos utilizando, como mídia, lápis e
papel.
Após o capítulo que aborda o conceito de Função Afim, tem-se o capítulo
sobre Função Quadrática, que é introduzido por um exemplo sobre a quantidade de
jogos realizados a partir do número de times participantes em um campeonato de
futebol, em que todas as equipes jogam entre si, duas vezes. São apresentas duas
situações numéricas e o próprio livro generaliza os casos, apresentando as
fórmulas y  x   x  1 e y  x 2  x , as quais associam a quantidade y de jogos
realizados, a partir da variável x, que indica o número de times participantes do
campeonato. Assim, baseando-se na segunda fórmula, é apresentado o conceito de
Função Quadrática, para depois ser apresentada a definição formal e alguns
exemplos. São descritos dois exemplos resolvidos de construção de gráfico desse
tipo de Função mediante elementos do conjunto domínio e, após exercícios teóricos
propostos, são apresentados os conceitos sobre raízes de uma Função Quadrática,
44
coordenadas do vértice de uma parábola e conjunto imagem desse tipo de Função.
Cada tópico é seguido por uma lista de exercícios teóricos e contextualizados para
serem resolvidos pelo estudante no caderno dado.
Em outro capítulo do volume 1 desse livro, é abordada a Função Exponencial,
que também é introduzida por um exercício resolvido, o qual apresenta uma situação
indicando que a área coberta pelas algas marinhas em uma dada região cresce 75%
a cada ano em relação à superfície coberta no ano anterior. É estimada em
aproximadamente 4000 m 2 a área atual coberta pelas algas. Então, são feitos
questionamentos sobre a área coberta depois de 2,3 e x anos. Apresenta-se a
fórmula y  1, 7 5 x  4 0 0 0 , indicando uma ilustração sobre a Função Exponencial.
Após o exemplo, é feita uma revisão sobre os tipos de potência e suas propriedades,
para só então expressar a definição formal de Função Exponencial com suas
condições de existência. Assim como no capítulo de Função Quadrática, são
apresentados exercícios teóricos resolvidos vinculados à construção do gráfico
desse tipo de Função a partir de elementos quaisquer do conjunto domínio. É feita
uma explicação relacionada ao número irracional e, indicando sua importância em
exemplos arrolados à Função Exponencial e Logarítmica e, em seguida, são
apresentadas as propriedades de crescimento e decrescimento de uma Função
Exponencial. São apresentados exemplos de outras Funções semelhantes às
Exponenciais, cujo gráfico apresenta tendências semelhantes, como as Funções do
tipo y  3  2 x ; y  5 x  2 ou y  2 x  1  3 . Também um conjunto de exercícios
teóricos e contextualizados é proposto para ser resolvido no caderno.
A Função Trigonométrica é abordada apenas no volume 2 dessa coleção.
Após conceitos sobre as razões trigonométricas e outros relacionados à
circunferência trigonométrica serem trabalhados, é apresentada a ideia de Função
Periódica em situações reais vinculadas ao tempo, como os dias da semana, que se
repetem a cada sete dias. Em seguida, são expostos alguns exemplos numéricos e
uma definição formal sobre Função Periódica. São estudadas as Funções
Trigonométricas Seno, Cosseno e Tangente. As metodologias utilizadas são
semelhantes, conceitos e exemplos envolvendo crescimento e decrescimento,
período, domínio e conjunto imagem dessas Funções e de outras com tendências
semelhantes são apresentadas, como as Funções Múltiplas da Trigonométrica. Em
45
cada tópico são propostos exercícios teóricos, sendo que em cada parte onde são
abordadas as Funções Seno e Cosseno há um exercício contextualizado.
Livro 2: Matemática – Volume único
O conceito de Função, nesse livro, é trabalhado de modo semelhante ao do
livro anterior. Inicialmente, explora-se a noção intuitiva de Função através de
exercícios práticos resolvidos e propostos, seguida da noção de conjuntos, conceitos
de domínio, contradomínio e conjunto imagem, do trabalho com fórmulas e, por
último, a análise gráfica, que também é retratada com dados estatístic os, para
depois ser explorada a construção do gráfico de uma Função por meio de elementos
do conjunto domínio. Cada conceito é seguido de exercícios um pouco mais
contextualizados que os do outro livro.
A Função Quadrática é introduzida por um exemplo que questiona sobre a
maior área retangular possível de se cercar ao redor de uma quadra de basquete
com 200m de tela. A área do terreno a ser cercado é dada pela fórmula
f
 x   100  x  x
 100 x  x
2
 x
2
 100 x , o ponto de partida para se definir esse
tipo de Função. São apresentadas outras situações práticas, relacionadas à
geometria. Nos primeiros exercícios propostos desse capítulo, existem três
abrangendo a Física, sendo que um deles é sobre um corpo em queda livre, mesmo
assunto do experimento da segunda atividade deste trabalho, e outro no contexto da
eletricidade, envolvendo circuitos elétricos, mesmo da terceira atividade desta
Dissertação. O gráfico da Função Quadrática é trabalhado, a princípio, pela
definição geométrica de parábola, não por construção de gráfico a partir de
elementos do conjunto domínio, como no outro livro. Em seguida, são trabalhados
conceitos vinculados ao deslocamento vertical e horizontal, para só então ser
estudado o vértice da parábola com valores de máximo ou de mínimo, onde é
resolvido o exemplo proposto no início do capítulo.
O conceito de Função Exponencial é iniciado por um exemplo sobre o
crescimento da população de bactérias, seguido por uma revisão de potenciação.
Após a definição formal e propriedades, são estabelecidos exercícios teóricos
resolvidos e propostos. Em outra parte do capítulo, é feito um aprofundamento sobre
aplicações dessa Função em conceitos associados à Progressão Geométrica,
46
Matemática Financeira e Radioatividade, em que são apresentados exemplos e
exercícios.
Após conceitos de Trigonometria na circunferência, o livro faz abordagem
apenas das Funções Trigonométricas Seno e Cosseno. É apresentada, inicialmente,
a definição dessas Funções e, logo depois, é feita a construção do gráfico mediante
pontos notáveis do conjunto domínio. Em seguida, conceitos de conjunto imagem e
período são apresentados de forma simples. As Funções definidas como Senoides,
derivadas da Função Seno ou Cosseno, são trabalhadas gradativamente. É
apresentada a alteração gráfica nas Funções Seno e Cosseno ao serem
multiplicadas ou adicionadas por uma constante e, por conseguinte, descreve-se a
fórmula geral de uma Senoide do tipo y  a  b  sen  cx  d  , explicitando as
alterações ocorridas no período ao multiplicar a variável independente por uma
constante. Depois, é feita uma comparação entre esse tipo de Função e a variação
da altitude do mar em relação ao tempo. O mesmo conceito físico da quarta
atividade desse trabalho, movimento harmônico simples, também é exposto no livro
como uma aplicação dessas funções matemáticas. Ao serem descritas definições e
propriedades desse movimento, um exemplo resolvido é apresentado, associando
os conceitos do Movimento Harmônico Simples aos da Função Cosseno. Finalizado
o capítulo, são propostos exercícios relacionados a esse movimento e a outras
situações práticas.
Portanto, com a análise dessas obras, percebe-se que os conteúdos Função
Quadrática, Exponencial e Trigonométrica têm abordagem semelhante quanto à
organização metodológica, os tópicos são introduzidos por um exemplo resolvido
contextualizado, seguido de explicações, definições formais, exemplos e exercícios
teóricos e relacionados a alguma situação prática. O segundo livro, entretanto, é
mais contextualizado, permeado por uma das propostas desse trabalho, que é
associar Física à Matemática, fazendo, inclusive, inferências a assuntos físicos
trabalhados nas atividades desta Dissertação. As TICs, como alguns softwares
matemáticos, ainda não são utilizadas como recurso nas atividades propostas pelos
capítulos observados, e a Modelagem Matemática não se apresenta como proposta
direta no ensino desses conteúdos.
47
Além das duas obras de Matemática, foi analisada uma coleção de Física,
também integrante do PNLEM, quanto ao tema em estudo na pesquisa em
realização.
Quadro 02 - Livro didático de Física analisado
Título do Livro
Física ensino
Volumes
1, 2 e 3
Autores
Antônio Máximo
médio
Editora
Ano
Scipione
2006
Beatriz Alvarenga
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
A observação foi feita no intuito de verificar uma possível abordagem
matemática nos conteúdos que foram tratados nos experimentos físicos realizados
nas atividades deste trabalho. Os conteúdos observados foram Movimento Retilíneo
Uniformemente Variado, Queda Livre, Movimento Harmônico Simples e conceitos
relacionados à Eletricidade.
O tópico Movimento Retilíneo Uniformemente Variado é abordado no volume
1 e abordado sob o conceito de aceleração, seguido por comentários relacionados e
um exemplo resolvido. O conceito sobre Movimento Retilíneo com aceleração
constante é apresentado por um exemplo relacionado à observação da velocidade a
cada segundo de um carro e, assim, intuitivamente, é deduzida a fórmula
v  v 0  a t , que associa a velocidade v de um objeto em função do tempo t, sendo v 0
a velocidade inicial do objeto e a aceleração. Uma abordagem matemática surge
com a apresentação do gráfico obtido a partir dessa fórmula num intervalo fechado
qualquer e, a partir da área compreendida sob o segmento de reta formado, é
deduzida a fórmula d  v 0t 
1
2
2
at , a qual define a distância d percorrida por um
objeto uniformemente acelerado em função do tempo. O livro informa que o gráfico
dessa fórmula não é retilíneo como o último, mas que forma uma parábola
apresentando uma ilustração. São propostos exercícios relacionados aos conceitos
e às fórmulas apresentadas.
No mesmo capítulo, o tópico sobre Queda Livre é trabalhado após sucinta
explicação do aumento da aceleração de um objeto ao ser abandonado de certa
altura, caracterizando, assim, um movimento acelerado. Com considerações
48
relacionadas à teoria de Aristóteles e Galileu, o conceito de Queda Livre,
desprezando a resistência do ar, é apresentado como sendo um movimento apenas
com ação da aceleração constante da gravidade, que equivale a aproximadamente
9,8 m/s2. Ademais, as mesmas fórmulas utilizadas no tópico anterior são repassadas
e seguidas de um exemplo resolvido e exercícios de fixação.
O conteúdo Movimento Harmônico Simples é apresentado no volume 2 dessa
obra a partir de uma associação entre um corpo e uma mola numa superfície
horizontal sem atrito. Com compressão e, em seguida, o abandono da mola, iniciase o movimento de oscilação do corpo, denominado Harmônico Simples. Outros
exemplos desse tipo de movimento são apresentados, como o pêndulo de um
relógio em movimento. Conceitos físicos sobre amplitude, frequência e período são
descritos, bem como a fórmula de cálculo do período do Movimento Harmônico
Simples. Não é feita associação direta desses conceitos com o conteúdo trabalhado
na Matemática do Ensino Médio em Funções Periódicas.
Numa das atividades a serem apresentadas nesta Dissertação, é trabalhado o
circuito elétrico RC, que resulta da associação em série de um resistor com um
capacitor. Os conceitos relacionados à Eletricidade são expressos no volume 3
desse livro. Todavia, não é feita uma abordagem específica desse tipo de circuito
nos conteúdos apresentados, apenas num exercício, ele é expresso de maneira
sucinta. As características desse circuito são mais trabalhadas em livros do Ensino
Superior, porém, os conceitos sobre circuito elétrico, resistor e capacitor são
bastante trabalhados.
O trabalho com gráficos e procedimentos algébricos está em todo instante
presente nas explicações e exercícios do livro, mas os conteúdos específicos do
Ensino Médio, como Função, não são abordados abertamente em alguns casos. Em
alguns conteúdos, como nos dois primeiros apontados, essa abordagem é mais
simples de ser feita que em outros casos, como no último apresentado.
49
4 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES
4.1 Introdução
Buscando um ensino em que os alunos desenvolvam suas capacidades,
trabalhando os conceitos da Matemática vinculados a outros contextos externos a
essa ciência, foram elaboradas atividades sobre Funções Quadrática, Exponencial e
Trigonométrica para o Ensino Médio, aliadas ao contexto da Física. De acordo com
os PCNEM, a Matemática no Ensino Médio deve ser vista pelo aluno como um
conjunto de técnicas e estratégias a serem aplicadas em outras áreas do
conhecimento, partindo de um experimento físico. Diante disso, as funções
matemáticas citadas serão estudadas considerando-se definições, conceitos,
propriedades, bem como as representações algébrica, tabular e gráfica. Além das
Funções Quadrática, Exponencial e Trigonométrica, serão estudados os conteúdos
Sistemas Lineares, Equações Exponenciais, Logaritmo e Equações Polinomiais.
Cada atividade é introduzida por uma situação da Física, que
é
experimentada em laboratório, e a conexão entre tal situação e a Matemática ocorre
pelo processo de Modelagem Matemática, que não é trabalhado em nível de
estratégias e conceitos matemáticos externos ao Ensino Básico. O intuito desse
trabalho no ensino é a possibilidade de uma alternativa para despertar o interesse
do aluno por alguns tópicos matemáticos e proporcionar a aplicação de tais
conceitos, além de iniciar o ato de modelar matematicamente algumas situações, as
quais se estendem a outros níveis de ensino.
Para
elaboração
das
atividades,
utilizou-se,
principalmente,
o
livro
Modelagem Matemática na Educação Básica, de Lourdes Almeida, Karina Silva e
Rodolfo Vertuan. As atividades descritas na segunda parte do livro serviram de
motivação para criar outras com moldes semelhantes, contudo, empregando o
contexto de Fenômenos Físicos desenvolvidos em laboratório, foram usadas as
mesmas fases de Modelagem Matemática descritas na primeira parte do livro. As
fases apresentadas, os conceitos e algumas atividades dos livros Modelagem
Matemática no Ensino, de Maria Salett Biembengut e Nelson Hein e Ensino-
50
Aprendizagem com Modelagem Matemática de Rodney Carlos Bassanezi, também
serviram de apoio para a construção do trabalho.
No decorrer de todas as atividades são utilizadas as TICs, que são
importantes para cada etapa, contribuem para o enriquecimento do trabalho e,
principalmente, para uma aprendizagem motivadora e significativa. O próprio
experimento físico requer o uso das tecnologias, tanto para ser aplicado, quanto
para captar os dados por meio do software CidepeLab, desenvolvido pela própria
empresa construtora do laboratório.
Com os dados coletados, os softwares GeoGebra e Excel proporcionam uma
análise mais precisa do assunto estudado. Os gráficos elaborados com auxílio do
GeoGebra, além de facilitar e agilizar o trabalho, possibilitam aos alunos fazer testes
e cálculos sobre alguns questionamentos. As fórmulas e gráficos encontrados por
meio do Excel são importantes para se comparar com os gráficos obtidos pelos
alunos, com a finalidade de validar algumas situações.
No intuito de os estudantes se familiarizarem com o tipo de alguns
equipamentos utilizados nas atividades e com o software CidepeLab, é feito, antes
do início das atividades, um experimento simples, descrito em seguida.
O trabalho de pesquisa que originou esta Dissertação consiste num conjunto
de quatro atividades, cujo principal objeto de estudo são algumas funções
matemáticas, as quais são trabalhadas dentro do contexto de Fenômenos Físicos,
executados no laboratório de Física.
A primeira atividade tem como principal objetivo o estudo da Função
Quadrática com a Modelagem Matemática do movimento de um corpo com
aceleração constante. A segunda, o estudo da Função Quadrática com a
Modelagem Matemática do movimento de um corpo em queda livre. A terceira, por
sua vez, tem por finalidade principal estudar a Função Exponencial, modelando
matematicamente a carga presente em um capacitor, que está conectado a um
resistor num circuito elétrico em função do tempo. A quarta atividade objetiva o
estudo das Funções Trigonométricas Seno ou Cosseno, fazendo a Modelagem
Matemática de um movimento harmônico simples de um corpo.
Em todas as atividades são utilizadas as etapas de Modelagem descritas por
Almeida, Silva e Vertuan (2012): inteiração, matematização, resolução, interpretação
de resultados e validação. Nesse tipo de trabalho, o que é claramente predefinido é
51
a etapa inicial, a situação problema, no caso, o experimento físico. As etapas
seguintes, tais como os procedimentos de resolução e as possíveis soluções, não
são apontadas aos alunos. A investigação sobre os métodos matemáticos que
devem ser utilizados para atingir uma conclusão e as interpretações sobre o que foi
atingido são feitas pelo discente, o professor surge apenas como mediador do
processo de investigação, intervindo moderadamente apenas quando necessário.
Assim, busca-se um trabalho que valoriza a criatividade do aluno/pesquisador, que,
para obter algum resultado, precisará raciocinar mais que para uma atividade
qualquer. O professor é apenas mediador de todo o processo, o que proporciona o
incentivo à autonomia do discente.
A seguir, são feitas descrições sobre os equipamentos do laboratório e sobre
os softwares GeoGebra, Excel e CidepeLab.
4.2 O software GeoGebra
Como a proposta de ensino se baseia nas funções matemáticas que estão
associadas à representação gráfica, viu-se a necessidade da utilização de um
software para tal representação, pois garante agilidade, precisão e permite recursos
que são limitados em relação ao trabalho gráfico manual. O GeoGebra foi o
escolhido por apresentar recursos diversificados em acordo com os objetivos das
atividades, por ser de fácil manuseio, de livre acesso e, também, pelo fato de os
alunos já saberem manuseá-lo.
Trata-se de um software de Matemática Dinâmica gratuito para todos os
níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, gráficos e cálculo. Ele foi
desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg, para educação
matemática nas escolas. Permite realizar construções tanto com pontos, vetores,
segmentos, retas, seções cônicas, quanto com Funções que podem se modificar
posteriormente de forma dinâmica. Equações e coordenadas podem estar
interligadas diretamente pelo GeoGebra, assim, o software tem a capacidade de
trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos; permite achar
derivadas e integrais de Funções e oferece comandos, como raízes e extremos.
52
O GeoGebra será utilizado em todas as atividades, seu trabalho dar-se-á com
a associação entre a forma gráfica e algébrica de Funções. Os recursos explorados
surgirão da necessidade do aluno explicitar claramente as etapas realizadas.
4.3 O software Excel
O Microsoft Office Excel é um programa de planilha eletrônica escrito e
produzido pela Microsoft para computadores que utilizam o sistema operacional
Microsoft Windows. Dentre seus diversos recursos, inclui ferramentas de cálculo e
de construção de gráficos.
Esse software será empregado em duas atividades, os dados obtidos pelo
experimento, organizados em forma de tabela pelo programa CidepeLab, serão
exportados para o Excel, com o objetivo de traçar um gráfico com sua fórmula, que
ajuste à tendência dos dados, com o fim de comparação e validação dos gráficos e
fórmulas obtidos pelo GeoGebra e manualmente.
4.4 Os equipamentos do laboratório e o software CidepeLab
Os equipamentos do laboratório de Física da Instituição na qual foram
desenvolvidas as atividades desta pesquisa foram adquiridos da empresa fabricante
de instrumentos educacionais, o Centro Industrial de Equipamentos de Ensino e
Pesquisa (CIDEPE).
Em três atividades foi empregado o sensor de posição, que ao iniciar a
observação do movimento em um determinado instante, obtém a distância entre um
objeto e o sensor numa variação de 0,4 a 1,5 metros em função do tempo gasto pelo
objeto ao se deslocar do momento inicial até o observado. Os dados alcançados
para uma interface são trabalhados no computador por meio do software CidepeLab,
desenvolvido pela empresa.
Criado para ambientes Windows, o software recolhe e armazena os dados,
permitindo que sejam analisados em tabelas e gráficos. Ele comanda toda a
aquisição de dados realizada pelo sensor de posição, desde as configurações
53
necessárias para iniciação do experimento até o armazenamento dos dados obtidos,
que podem ser exportados para outros ambientes, como o Excel. A interface, que
faz a interligação entre o sensor e o computador, pode ser conectada pela entrada
USB.
Em uma atividade não foi utilizado o programa CidepeLab, pois se trata de um
circuito elétrico que também faz parte dos equipamentos do laboratório produzidos
pela empresa. Os dados dessa atividade, com o auxílio de um cronômetro, foram
coletados através de uma tabela manuscrita.
4.5 Introdução às atividades
O Caderno de Atividades, disponível no Apêndice, inicia-se com uma
explanação básica sobre a Matemática, informando que além de ser uma ciência,
com suas características
estruturais
específicas, também tem um caráter
instrumental. Por isso, deve ser vista como um conjunto de técnicas e estratégias
para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, no caso do contexto a ser
estudado, a Física por exemplo.
É descrito que a palavra Matemática, do grego Mathema, está associada aos
termos ciência, conhecimento e aprendizagem. Matemática é a ciência do raciocínio
lógico e abstrato, que, além de estudar quantidades, medidas, espaços, estruturas e
variações, tem o objetivo de procurar por padrões, formular conjecturas,
estabelecendo novos resultados. Assim, outras ciências, como a Física, fazem uso
da Matemática como linguagem, estruturando seus conceitos, fazendo previsões e
conclusões.
Nesse sentido, tem-se a Matemática como uma linguagem que permite
modelar, expressar conceitos de outras ciências. A Modelagem Matemática é um
processo utilizado para fazer essa ligação entre Matemática e outras ciências. É
uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de
tendências. Consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade
ou de outras áreas em problemas matemáticos, os quais serão interpretados e
solucionados.
54
É apresentado o seguinte diagrama, inspirado no livro Modelagem
Matemática na Educação Básica, de Almeida, Silva e Vertuan (2012), com a
intenção de ilustrar o processo de Modelagem Matemática nas atividades a serem
trabalhadas.
Figura 05 - Esquema apresentado aos alunos sobre processo de Modelagem
Matemática no contexto das atividades a serem desenvolvidas
Fonte: Adaptado de ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 12
Como já relatado, uma atividade de Modelagem Matemática requer algumas
etapas, as quais são necessárias para estruturação e obtenção de conclusões sobre
a situação a ser estudada, no caso, Fenômenos Físicos. Foram apresentadas as
fases descritas por Almeida, Silva e Vertuan (2012): inteiração, matematização,
resolução e interpretação dos resultados e validação. Foi exposto o seguinte quadro,
explicando cada uma das fases.
Quadro 03 - Explicação das fases da Modelagem Matemática
1
Inteiração
Nesta fase, informações são estudadas, objetivando a familiarização com o
tema para o desenvolvimento de todo o trabalho.
2
Matematização
Nela é feita a formulação do problema por meio da linguagem matemática,
levantando hipóteses necessárias para a efetivação da fase seguinte.
3
Resolução
Busca-se a construção de um modelo matemático para a solução do
problema.
4
Interpretação de resultados e validação
É feita uma avaliação sobre o modelo construído, verificando sua eficácia
em relação ao que foi proposto inicialmente.
Fonte: Adaptado de ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 15-16
55
Nessa introdução às atividades, é esclarecido o principal objetivo, que é o
estudo do conteúdo matemático: Função. São apresentados os principais
equipamentos do laboratório.
Quadro 04 - Explicação sobre o funcionamento dos principais equipamentos
do laboratório
Sensor de posição
Obtém a distância entre ele e um objeto em função do tempo,
operando numa faixa de 0,4 a 1,5m. Possui um cabo para se
interligar à interface.
Interface
Coleta os dados obtidos pelo sensor de posição, extraindoos para o computador. Conecta-se ao computador via cabo
USB.
Computador
Os dados recebidos pelo sensor e captados pela interface são
trabalhados
no
computador
por
um
software
denominado
CidepeLab. Nele, as informações são organizadas em forma de
tabela ou gráfico, cujos dados podem ser exportados para outros ambientes,
como o Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
O experimento, que é descrito antes das atividades, intenta familiarizar o
aluno quanto ao funcionamento dos equipamentos. Ele consiste em posicionar um
livro alinhado ao sensor de posição distante 40 centímetros dele e, ao se ligar a
interface durante um período de 15 segundos, o livro deve ser afastado lentamente,
a uma velocidade praticamente constante.
É explicado, nessa introdução, como o experimento é salvo e como seus
dados são representados na tabela e no gráfico presente no CidepeLab. O gráfico
do software é estático, serve apenas para visualizar o movimento descrito pelo
objeto, os dados não são transmissíveis para outros ambientes, diferentemente da
tabela, cujos dados podem ser exportados para outros ambientes.
56
Então, nessa etapa, fez-se a transferência dos dados presentes na tabela do
CidepeLab para o Excel, onde devem ser selecionados apenas os dados
expressivos, verificando no gráfico obtido pelo CidepeLab as distorções adquiridas
do início ao final do movimento. Com os pontos selecionados nesse experimento,
pede-se que seja criado um gráfico com uma curva e fórmula, que representa a
tendência dos pontos que ilustram a posição em que o livro se encontra em função
do tempo.
Por tentar simular um movimento com velocidade constante, aceleração nula,
o gráfico é próximo de um segmento de reta, caracterizando uma Função Afim.
O quadro a seguir descreve todas as etapas desenvolvidas nesse
experimento.
Quadro 05 – Experimentação realizada com equipamentos do laboratório, com
os softwares CidepeLab e Excel
Equipamentos necessários
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
 01 interface;
 01 computador.
Conexão dos equipamentos
1
2
3
Encaixe o sensor de posição na haste.
Interligue o cabo do sensor de posição em qualquer uma das 4 entradas
frontais da interface.
Interligue a interface ao computador pelo cabo USB (a entrada de cabo
USB da interface encontra-se na parte traseira).
Ligue a interface a uma tomada, observando a tensão da tomada e a
permitida pelo equipamento. O conjunto de equipamentos deve ficar
semelhante à figura abaixo:
4
57
Configuração do software CidepeLab
Abra o programa CidepeLab, que possui o seguinte ambiente:
Menu
principal
1
Janela de
configuração
Janela de
ferramentas
Área de
Trabalho
Para iniciar o experimento, deve-se habilitar o sensor de posição. Para
isso, clique no comando Controle de Sensores, presente no menu
principal, e perceberá que existem duas opções: Habilita Sensor e
Desabilita Sensor. Verifique se a opção Habilita Sensor é a que está
2
marcada e observe a lista de sensores disponíveis, como Luminosidade,
Posição, Força, Pressão etc. Clique em Posição e, em seguida, na opção
Habilita Sensor e você perceberá que a palavra Posição se encontra no
espaço direito da janela, ou seja, o sensor já está instalado, portanto,
clique na opção Fechar.
Clique agora no comando Configurar, também presente no menu principal,
3
clicando em seguida na opção Equipamentos. Aparecerá uma janela com
3 seções.
4
Na seção Interface, verifique se o modelo marcado é o LAB200.
Na seção Sensores, verifique se o modelo posição, que habilitamos
anteriormente, encontra-se ativo e na seção Conexões de Sensores.
Clique na palavra Posição, presente na lista de sensores analógicos e, em
5
seguida, selecione o canal 1, 2, 3 ou 4 presente na tabela do lado direito
da janela, de acordo com o número da entrada frontal da interface que o
sensor de posição foi conectado. Depois de selecionado o canal, clique em
Adicionar. Verifique se a palavra Posição encontra-se na tabela no canal
que foi selecionado.
6
7
Feche a janela.
Para captar algum movimento pelo sensor de posição, deve-se usar a
ferramenta Osciloscópio, presente na janela de ferramentas. Para ativar
58
essa ferramenta, arraste a palavra Osciloscópio para a área de trabalho,
mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse. Observe que uma
janela foi aberta.
O sensor de posição no osciloscópio deve ser habilitado, para isso, clique
no símbolo “+”, à esquerda da palavra Sensores, presente na janela de
8
configuração. Aparecerá a palavra Posição, arraste-a para a janela do
osciloscópio que foi aberta. Com isso, o sensor de posição estará
habilitado para uso no programa CidepeLab.
Para verificar ou modificar as propriedades do sensor de posição, clique no
9
quarto ícone (Propriedades), presente na parte superior da janela do
osciloscópio. Clicando nele, aparecerá uma nova janela: Parâmetros do
Osciloscópio.
10
Clique no espaço destinado ao Nome e altere o título sem Nome para
Atividade Teste.
Em Parâmetros de Aquisição, marque 15s (segundos) em Tempo Total e
11
10ms (milésimos de segundos) em Amostragem. Significa que o
experimento terá duração de 10s e que os dados serão coletados a cada 5
milésimos de segundo.
E na opção Escala do Sensor, aparecerá o valor mínimo e o valor máximo
12 que o sensor de posição irá captar no movimento. Como os alcances
mínimo e máximo do sensor são 0,4 e 1,5m, esses dados serão mantidos.
13 Feche a Janela.
Realização do experimento
1
2
Ligue a interface através do interruptor presente na sua parte traseira.
Pegue um objeto qualquer, um livro, por exemplo, posicione alinhado ao
sensor de posição a uma distância de 0,4m aproximadamente.
Afaste o livro do sensor de presença lentamente, a uma velocidade
3
praticamente constante. Para que o sensor capte esse movimento, é
necessário habilitar o osciloscópio, clicando no primeiro ícone de sua
janela.
4
5
Salve o experimento clicando no quinto ícone da janela do osciloscópio.
Clicando no símbolo “+”, à esquerda da palavra Curvas, presente na janela
de configuração, aparecerá o nome do experimento que você salvou:
59
“Atividade Teste”.
Exportação dos dados do experimento para a tabela ou gráfico
1
2
Para visualizar a tabela e o gráfico, arraste as palavras Gráfico e Tabela,
presentes na janela de ferramentas, para a área de trabalho.
Arraste o nome do experimento feito, Atividade Teste, para o gráfico e
depois para a tabela, obtendo os dados captados.
Transferência dos dados da tabela para o Excel
Os dados presentes na tabela podem ser copiados para outros ambientes,
como o Excel. Vamos selecionar apenas os dados expressivos. Para tanto,
1
devem ser observadas as distorções discrepantes por meio do gráfico,
provavelmente no início ou final do movimento. Ou seja, selecione na
tabela apenas a partir dos valores que, no gráfico, se mostram confiáveis,
até um valor que você acha importante ser observado.
2
Clique no quinto ícone presente na parte superior da janela da tabela.
3
Abra o programa Excel e cole os dados normalmente.
Crie um gráfico através do Excel, clicando em: Inserir – Dispersão.
Clique com o botão direito do mouse em cima do gráfico e selecione
Adicionar Linha de Tendência, provavelmente o formato de seu gráfico
4
ficou semelhante a uma reta. Portanto, selecione o item Linear, que vai
indicar uma reta de tendência dos pontos. Para mostrar a equação dessa
reta, marque a opção Exibir Equação no Gráfico na parte inferior da janela.
Feche a janela.
5
Foi obtida, então, a equação de uma reta que indica aproximadamente a
posição indicada por um corpo em função do tempo.
Figuras da representação dos experimentos no CidepeLab e Excel
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
60
Cada
etapa
desenvolvida,
desde
a
apresentação
e
conexão
dos
equipamentos, até o manuseio dos dados pelo Excel, é explicada cautelosamente,
almejando esclarecer ao máximo o funcionamento geral dos recursos.
4.6 Características das atividades
Como relatado, as atividades visam, principalmente, ao estudo de algumas
funções matemáticas, envolvendo suas representações algébrica, gráfica e tabular.
Outros conteúdos matemáticos também são estudados no decorrer da proposta,
pois são indispensáveis ao desenvolvimento dos problemas. Com a utilização de
recursos tecnológicos, serão feitas tais abordagens a partir de experimentos físicos,
os quais serão modelados matematicamente.
A metodologia de aplicação das atividades baseou-se nas fases citadas por
Almeida, Silva e Vertuan (2012): inteiração, matematização, resolução, interpretação
de resultados e validação, que, estruturadas, resultaram, basicamente, na seguinte
configuração.
1) Leitura do que será feito na atividade;
2) Inteiração;
2.1) Recordação dos conceitos físicos associados aos problemas;
2.2) Instruções referentes à atividade a ser desenvolvida;
2.3) Realização do experimento físico;
2.4) Verbalização da meta almejada;
3) Matematização e resolução;
3.1) Identificação do tipo de função a ser estudada;
3.2) Indicação das variáveis dependente e independente e seus significados no
contexto do problema;
3.3) Seleção de pontos do problema para se alcançar o modelo matemático;
3.4) Obtenção da fórmula matemática que modela a situação estudada;
3.5) Obtenção do gráfico da fórmula alcançada por meio do GeoGebra;
4) Interpretação e validação
61
4.1) Verificação da precisão da fórmula e do gráfico adquiridos;
4.2) Retorno ao processo de obtenção da fórmula e do gráfico que modelam a
situação, se necessário;
4.3) Análise do resultado matemático adquirido no contexto do experimento
físico;
5) Descrição de uma situação final alcançada (conclusão).
Espera-se, inicialmente, através dessas atividades de Modelagem, além de
estudar o conteúdo matemático, basicamente contemplar as características gerais
desse tipo de método de ensino citadas por Biembengut e Hein (2011).
 Incentivo à pesquisa.
 Promoção de habilidade em formular e resolver problemas.
 Aplicação do conteúdo matemático.
 Desenvolvimento da criatividade.
A metodologia das atividades foi esquematizada tencionando uma boa
apreensão dos alunos em relação à proposta. Para tanto, buscou-se elaborar
atividades visualmente atrativas, com ilustrações, clareza nos enunciados e
organizada analiticamente. Assim, os enunciados que englobam as etapas citadas
foram organizados em forma de tabela, num padrão representado no esquema
seguinte.
Quadro 06 - Esquema básico de organização das atividades
Título da Atividade
Objetivo
Metodologia
Situação inicial
Inteiração
Recordando na Física
62
Componentes do laboratório necessários para a experimentação
Softwares utilizados
Observações necessárias
Procedimentos do experimento
Meta da atividade
Matematização e resolução
Interpretação e validação
Situação final
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
4.7 Apresentação das atividades
Atividade 1
Um carro de laboratório, que simula uma aceleração constante, é colocado
em movimento, caracterizando um movimento retilíneo de um corpo com aceleração
constante. A atividade tem, assim, essa situação inicial. No decorrer de seu
desenvolvimento, será feita uma análise matemática sobre seu movimento,
considerando a posição do objeto em função do tempo, almejando o estudo da
Função Quadrática.
Na etapa de inteiração, antes da realização do experimento, são descritos
alguns conceitos físicos relacionados ao contexto da situação, acarretando na
familiarização com o contexto estudado. São apresentados conceitos extraídos do
63
livro Física Ensino Médio, de Máximo e Alvarenga (2005), relacionados à Aceleração
e Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
Quadro 07 - Conceitos físicos relacionados à aceleração e ao movimento
retilíneo uniformemente variado
O conceito de aceleração está sempre relacionado a uma mudança na
velocidade. Se o movimento de um corpo for variado, o valor da velocidade v1 no
instante t1 será diferente do valor de uma outra velocidade v2 num instante
qualquer t2. Isto é, durante o intervalo de tempo Δt = t2 – t1, a velocidade sofreu
uma variação Δv = v2 – v1.
Um movimento em que a variação da velocidade em cada intervalo igual de
tempo Δt é constante, ou seja, no qual a aceleração é constante, é denominado
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
Fonte: MÁXIMO; ALVARENGA, 2005, p. 49-50
´
Em
seguida,
são
apresentados
os
recursos
necessários
para
experimentação, juntamente com algumas observações.
Quadro 08 - Recursos necessários para desenvolver a atividade 1 e algumas
considerações
Os componentes necessários para essa experimentação serão
 01 computador;
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
 01 interface;
 01 carro de retropropulsão.
Serão utilizados os softwares
 CidepeLab;
 Excel;
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
explicitados;
necessários
e
comentários
importantes
devem
ser
a
64
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra e Excel devem ser salvas como
“Atividade 1”;

No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas
decimais.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Só após esse processo inicial de ambientação à proposta estabelecida é que
a prática é realmente realizada. Como houve um reconhecimento inicial, descrito no
tópico 3.8 deste capítulo sobre os equipamentos do laboratório e o software
CidepeLab, é desnecessário relatar os procedimentos relacionados à configuração,
restringindo, assim, apenas à descrição das etapas associadas à situação física. O
carro será posicionado a quarenta centímetros do sensor de posição e a análise dos
dados será feita durante dez segundos. O quadro subsequente indica os
procedimentos do experimento dessa atividade.
Quadro 09 - Procedimentos do experimento da atividade 1
Procedimentos do experimento
1
2
Posicione o carro de retropropulsão alinhado ao sensor de presença,
distante 30cm dele.
Salve a atividade a ser feita como “Atividade 1” no software CidepeLab.
Inicie a análise dos dados, regulando a aquisição de dados na janela do
3
osciloscópio, de maneira que os dados sejam captados a cada 100ms em
um tempo de 10s.
4
5
Exporte os dados para a tabela.
Verbalize a meta dessa atividade.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
65
Figura 06 - Equipamentos utilizados na atividade 1
Fonte: Fotos do autor desta Dissertação
Com a familiarização sobre o problema, a experiência concretizada e a
definição da meta da atividade, é proposto o início da transformação do objeto em
estudo de linguagem natural para linguagem matemática. Essa transformação é
exigida do aluno, é ele quem deve fazer a associação entre o contexto físico
estudado e o conteúdo Função Quadrática, relembrando que é a Função adequada
para vincular a posição de um objeto em função do tempo de um corpo com
aceleração constante no movimento retilíneo.
É a partir dessa transição que são trabalhados os conceitos matemáticos. Em
relação ao problema, são exigidas as variáveis dependente e independente e o
significado delas no contexto da questão.
Em relação ao conteúdo de Função Quadrática, são trabalhados a definição
desse tipo de Função e os cálculos para obter uma fórmula a partir de três pontos
quaisquer do problema, surgindo a necessidade da resolução de um sistema linear
de ordem três.
Vale ressaltar que a escolha de apenas três, dentre dezenas de pontos pode
configurar na obtenção de uma fórmula totalmente em desacordo com o movimento
estudado. Entretanto a escolha de mais pontos, objetivando uma fórmula mais
precisa, necessita de conceitos matemáticos além dos almejados para esse
trabalho. Assim, os alunos são orientados a serem criteriosos nessa escolha, que
pode não ser adequada.
Além da forma algébrica adquirida através dos cálculos, é pedida a
representação gráfica da Função. Nesse sentido, configura-se, então, a etapa de
matematização e resolução.
66
Quadro 10 - Etapa de matematização e resolução da atividade 1
Matematização e resolução
Sabendo que está sendo observado o movimento de um corpo com
aceleração constante, responda, com base em seus conhecimentos de
1
Física, qual tipo de função matemática melhor representa o deslocamento do
objeto em relação ao tempo.
2
Escreva a fórmula geral desse tipo de Função.
Defina as variáveis dependente e independente e indique o que cada uma
3
representa no problema.
Variável independente:
Variável dependente:
Quantos pontos do experimento são suficientes para obter os coeficientes da
4
fórmula geral descrita no item 2?
5
Gere o gráfico do experimento no programa CidepeLab.
Observando o gráfico obtido e os dados da tabela, selecione esses pontos do
6
experimento. Faça essa escolha cuidadosamente, não utilizando pontos que
fujam do padrão do movimento.
Utilize cálculos manuais para obtenção da fórmula desejada.
7
8
9
Escreva a lei da Função obtida.
Trace seu Gráfico no GeoGebra.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
O gráfico adquirido no GeoGebra, que representa a Função obtida, será
utilizado para avaliar o processo realizado, interpretando a validade do modelo
alcançado.
67
Os dados reais do problema apresentado no software CidepeLab serão
exportados para o Excel, onde será criado o gráfico e uma fórmula polinomial de
ordem 2, que indica a tendência dos pontos selecionados.
A fórmula adquirida pelo Excel deve ser descrita no GeoGebra, a fim de
compará-la ao gráfico da Função obtida com os cálculos realizados no tópico
matematização e resolução.
Deve-se considerar que são utilizados apenas três pontos de uma quantidade
expressiva dentre os apresentados pelo experimento, portanto, será difícil que
ambos os gráficos sejam praticamente coincidentes, necessitando-se, assim, de
uma interpretação cautelosa, considerando o intervalo em que acontece o
movimento e intervalos futuros.
Com esse fato, é sugerida a retomada das etapas de matematização e
resolução, objetivando minuciosidade na escolha dos três pontos e uma possível
fórmula mais precisa. Para agilizar o processo, é sugerido que seja utilizado o
GeoGebra para a resolução do sistema linear.
Ao final da atividade, são propostas três questões básicas relacionadas à
Física, que propiciam a aplicação da fórmula obtida no contexto do problema físico.
É destinado um espaço para a situação final, onde o aluno irá descrever a conclusão
alcançada com a realização da proposta estabelecida.
Quadro 11 - Etapa de interpretação e resolução da atividade 1 e solução final
Interpretação e validação
Observando o gráfico obtido no CidepeLab, desconsidere os pontos iniciais
1
e finais que fogem do padrão e exporte da tabela do CidepeLab para o
Excel todos os outros pontos gerados no experimento.
2
Gere no Excel o gráfico de tendência dos pontos e sua equação.
3
Obtenha no GeoGebra o gráfico da fórmula adquirida no Excel.
Compare os dois gráficos no intervalo em que acontece a experimentação.
4
5
Eles
demonstram uma tendência semelhante? Comente sobre os
resultados alcançados.
Retomando os processos de matematização e resolução
5.1 Faça o mesmo processo, a partir do item 6, utilizando outros pontos e
68
verificando a possibilidade de obtenção de um gráfico mais próximo do
elaborado no Excel no intervalo desejado.
Sugestões:
 Para agilizar o trabalho, utilize o software GeoGebra para os
cálculos do item 7, em que se tem um sistema linear de três
incógnitas e três equações.
 Elimine uma das três incógnitas somando as equações duas a
duas, chegando a um sistema de ordem dois. Resolva-o no
GeoGebra.
Descreva abaixo os pontos selecionados e a fórmula obtida por cada
5.2 conjunto de pontos.
6
Escreva abaixo a fórmula cujo gráfico é mais preciso no intervalo desejado.
Questões a serem respondidas
Através da última fórmula do item anterior, informe a aceleração do
7.1 objeto.
7
7.2
Qual distância o objeto percorreria no intervalo de 1 hora?
Obtenha a velocidade média do objeto, a partir do instante inicial, se
7.3 ele tivesse percorrido uma distância em um intervalo de 2min.
Situação final
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Assim, na atividade 1 são trabalhados:
 Conceito de movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante;
 Verbalização do problema físico;
 Associação entre o problema físico e o conteúdo matemático;
 Definição de Função Quadrática;
 Identificação de variáveis;
69
 Obtenção da lei de uma Função Quadrática a partir de três pontos;
 Sistemas Lineares de ordem 3;
 Visualização e interpretação de gráficos;
 Associação do resultado matemático obtido às questões da Física.
Atividade 2
Uma bola de plástico será pendurada numa haste e desprendida em um
instante, no intuito de analisar o movimento desse corpo em queda livre.
Analogamente à atividade anterior, será feita uma análise matemática sobre esse
movimento, considerando a posição do objeto em função do tempo.
Com a situação inicial apresentada, o processo de inteiração inicia com
considerações relacionadas à queda livre, retiradas do livro Fundamentos de Física,
volume 1 de Halliday e Resnick (2008).
Quadro 12 - Conceitos físicos relacionados à queda livre
Se um objeto for arremessado para cima ou para baixo e se, de alguma forma,
puder ser eliminado o efeito do ar sobre o movimento, pode ser observado que o
objeto sofre uma aceleração constante para baixo, conhecida como aceleraç ão
em queda livre, cujo módulo é representado pela letra g. O valor dessa
aceleração não depende das características do objeto, como massa, densidade e
forma; ela é a mesma para todos os objetos.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK, 2008, p. 27
Na etapa de inteiração, configura-se, também, a descrição dos componentes
utilizados, algumas observações e o procedimento prático. O procedimento consta
no desprendimento da bola de plástico da haste, configurando o movimento do
corpo em queda livre, a fim de captar sua posição em relação ao sensor de
presença, encaixado na base da haste. Ao final dos procedimentos, é pedido que a
meta da atividade seja verbalizada.
Quadro 13 - Componentes e procedimentos do experimento da atividade 2
Componentes necessários para a experimentação
 01 computador;
70
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
 01 interface;
 01 cabeçote superior acoplado com 01 retenção eletromagnética;
 01 corpo de prova esférico (bola de plástico com ponto de metal).
Softwares utilizados
 CidepeLab;
 Excel;
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
necessários
e
comentários
importantes
devem
ser
explicitados;
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra e Excel devem ser salvas como
“Atividade 2”.
 No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas
decimais.
Procedimentos do experimento
1
2
3
4
Posicione o cabeçote eletromagnético ao cesto da haste, para que a bola
caia exatamente nele. Veja figura abaixo.
Alinhe o sensor de posição ao cesto encaixado na haste. O conjunto de
equipamentos deve ficar semelhante à figura abaixo.
Salve a atividade a ser feita como “Atividade 2” no software CidepeLab.
Ligue o sensor de posição e regule a aquisição de dados do osciloscópio
para captar os dados a cada 25ms em um tempo de 3s.
5
Ative o osciloscópio e solte o objeto (bola de plástico).
6
Exporte os dados para a tabela.
7
Verbalize a meta dessa atividade.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
71
Figura 07 - Equipamentos utilizados na atividade 2
Fonte: Fotos do autor desta Dissertação
A etapa de matematização e resolução dessa atividade é bastante
semelhante a da atividade 1, pois a Função cuja lei indica a posição do objeto em
queda livre em função do tempo também é a Quadrática. É papel do aluno
identificar, por meio dos seus conhecimentos em Física, essa relação.
A solução do sistema linear de ordem 3, utilizado para obtenção da lei da
Função Quadrática, pode ser obtida com o auxílio do GeoGebra, como sugerido na
atividade anterior.
A seguir, são descritos os procedimentos citados juntamente com duas
questões correspondentes ao contexto de Queda Livre. Uma delas é relacionada à
obtenção da aceleração gravitacional do ambiente a partir da fórmula alcançada,
que deve ser próxima de 9,8 m/s 2 (metros por segundo ao quadrado).
Quadro 14 - Etapas da atividade 2
Matematização e resolução
Tomando como base seus conhecimentos em Física, qual tipo de função
1
2
matemática melhor representa, em relação ao tempo, a posição de um
objeto em queda livre?
Utilize o mesmo processo da atividade anterior para obter a fórmula que
modela a situação do experimento.
72
Orientações:
 Descreva detalhadamente todas as etapas seguidas.
 Utilize o GeoGebra para os cálculos, quando necessário.
3
4
Escreva a lei dessa Função.
Trace seu gráfico no GeoGebra.
Interpretação e validação
Faça a análise da fórmula obtida, avaliando sua validade em relação ao
1
problema de queda livre.
Retome os processos de matematização e resolução, se necessário
2
3
Escreva abaixo a fórmula cujo gráfico é mais preciso no intervalo desejado.
Questões a serem respondidas
Qual o valor da aceleração gravitacional local, de acordo com a
7.1 fórmula obtida?
7
A partir da equação que modela o fenômeno, em que instante a bola
7.2 tocaria o solo?
Situação final
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Na atividade 2 são trabalhados:
 Movimento de um corpo em queda livre;
 Verbalização do problema físico;
 Associação entre o problema físico e conteúdo matemático;
 Obtenção da lei de uma Função Quadrática a partir de três pontos;
73
 Sistemas Lineares de ordem 3;
 Visualização e interpretação de gráficos;
 Associação do resultado matemático obtido às questões da Física.
Atividade 3
Um capacitor, dispositivo utilizado para armazenar energia elétrica, será
interligado a um resistor e a uma fonte de tensão num circuito elétrico denominado
circuito RC. Através do circuito RC, com o capacitor inicialmente descarregado,
será feita uma análise matemática sobre a diferença de potencial presente no
capacitor ao carregá-lo e ao descarregá-lo.
Assim, a situação inicial configura-se no carregamento e descarregamento de
um capacitor num circuito RC. Para esclarecimentos sobre esse tipo de circuito, é
apresentado aos estudantes uma breve explicação sobre esse contexto, retirada do
livro Fundamentos de Física, volume 3 de Halliday e Resnick (2008).
Quadro 15 - Conceitos físicos relacionados ao circuito RC
O Capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia elétrica. Uma forma
de carregar um capacitor é colocá-lo em um circuito elétrico com uma bateria.
Circuito elétrico é um caminho fechado que pode ser percorrido por uma corrente
elétrica.
Um circuito RC em série é formado por um capacitor, uma fonte ideal e uma
resistência R.
Quando a chave S é colocada na posição a, o capacitor é carregado. Mais tarde,
quando a chave é colocada na posição b, o capacitor
é descarregado através do resistor.
No momento em que o circuito é completado, cargas
começam a se mover (surgem correntes) no circuito.
Essas correntes acumulam uma carga q cada vez maior nas placas do capacitor
e estabelecem uma diferença de potencial VC (= q/C) entre as placas do
capacitor.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK, 2008, p. 111-112, 128
74
Nesta atividade não é utilizado o ambiente CidepeLab, apenas o software
GeoGebra. Os componentes utilizados no circuito são citados, assim como algumas
observações.
Quadro 16 - Componentes do circuito RC e considerações sobre a atividade 3
Componentes necessários para a atividade
 01 quadro eletroeletrônico;
 01 resistor de 150kΩ;
 01 capacitor de 1000µF;
 01 chave liga-desliga;
 01 chave de desvio;
 04 cabos vermelhos flexíveis com pinos de pressão para derivação;
 03 cabos pretos flexíveis com pinos de pressão para derivação;
 01 fonte de tensão (tipo EQ030C, EQ030F);
 01 cronômetro;
 01 multímetro;
 01 computador;
 01 calculadora científica.
Software utilizado
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
necessários
e
comentários
importantes
devem
ser
explicitados;
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra devem ser salvas como
“Atividade 3”.

No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas
decimais.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
O circuito da atividade consta das interligações na seguinte ordem: uma fonte
de tensão (quadro eletroeletrônico), uma chave liga-desliga, uma chave de desvio,
um resistor, um capacitor que completa o circuito conectado à chave de desvio e à
fonte de tensão. A diferença de potencial presente no capacitor (VC ) é medida pelo
75
voltímetro conectado ao capacitor. A figura abaixo apresenta o esquema elétrico do
circuito RC mencionado.
Figura 08 - Esquema elétrico do circuito RC da atividade 4
Fonte: Adaptado de RAMOS, 2011, p. 101
A chave de desvio, inicialmente, estará numa posição (I-II) que, ao ser ativada
a chave liga-desliga, ligará o circuito, proporcionando o carregamento do capacitor.
Quando a chave de desvio for acionada em outra posição (I-III), desligará o circuito,
ocasionando o descarregamento do capacitor.
A diferença de potencial mostrada no multímetro, presente no capacitor (VC),
deve ser anotada a cada instante de 15 segundos, a partir do tempo inicial (zero).
Imediatamente após o tempo de 300 segundos, a chave de desvio deve ser ativada
na posição I-III, proporcionando o desligamento da fonte de tensão ao circuito, para
que o capacitor comece a ser descarregado, a observação deve continuar no
instante seguinte, ou seja, no tempo 315 segundos.
A montagem do circuito fica a cargo do aluno, todos os passos para a
montagem, bem como os procedimentos adotados ao se ligar o circuito, são
descritos detalhadamente.
Quadro 17 - Procedimentos da atividade 3
Procedimentos do experimento
1
Encaixe no quadro eletrônico o resistor e o capacitor, conforme a figura
abaixo.
76
Resistor
Entre os bornes D1 e E1.
Capacitor
Entre os Bornes F1 e F2.
As conexões com os outros equipamentos devem ser feitas através dos
cabos flexíveis, de acordo com a seguinte imagem.
2
Chave liga-desliga
Borne 2 da chave interligado ao borne positivo da fonte.
Chave de desvio
Borne I da chave no borne C1 do painel.
Borne III da chave no borne E2 do painel e ao borne negativo da fonte.
Voltímetro
Conexão vermelha no borne G1 do painel.
Conexão preta no borne G2 do painel.
A figura abaixo mostra o esquema elétrico do circuito RC.
3
O multímetro (ligado na função voltímetro, para medir a diferença de
potencial) está conectado de modo a medir a diferença de potencial nos
terminais do capacitor.
4
Verifique se o capacitor está totalmente descarregado antes de iniciar o
experimento.
77
5
6
Coloque a chave de desvio na posição I-II, a chave liga-desliga na posição
neutra (posição 1) e ajuste a fonte para 10 VCC.
Para realizar a carga do capacitor, o cronômetro deve ser disparado ao
mesmo tempo em que a chave liga-desliga.
Para observar os dados, serão necessários dois alunos. Um deve observar o
7
tempo no cronômetro a cada 15 segundos e informar ao outro, para que ele
anote na tabela apresentada a diferença de potencial presente no capacitor
(VC), mostrada no multímetro naquele instante.
Após o tempo de 300 segundos, o aluno que estiver anotando os dados deve
8
rapidamente acionar a chave de desvio para a posição I-III, para que o
capacitor comece a ser descarregado. A observação deve continuar no
instante seguinte, ou seja, no tempo 315 segundos.
Ligue o circuito juntamente com o cronômetro e anote os dados na tabela
seguinte.
t (s)
9
VC (V)
Carga
t (s)
0
300
15
315
30
330
45
345
60
360
75
375
90
390
105
405
120
420
135
435
150
450
165
465
180
480
195
495
210
510
225
525
VC (V)
Descarga
78
240
540
255
555
270
570
285
585
300
600
Verbalize a meta dessa atividade.
10
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação com dados extraídos de RAMOS, 2011
Por se tratar de leis de Funções diferentes, as etapas seguintes são feitas
separadamente para carga e descarga do capacitor. Por serem mais simples, os
processos matemáticos para aquisição da fórmula da função matemática que
modela a descarga do capacitor são feitos primeiramente.
Os vinte e um pontos obtidos e descritos na tabela com a descarga do
capacitor são digitados no GeoGebra. De acordo com a tendência desses pontos,
são questionados se a Função que os contém é Crescente ou Decrescente e qual
tipo de Função apresenta um gráfico que descreve uma tendência semelhante.
Espera-se que o estudante aponte a Função Exponencial que é, de fato, a
Função a ser trabalhada. São explorados, inicialmente, conceitos gerais desse tipo
de Função, como definição, lei e condições de existência, além das condições
conceituais de Função Crescente e Decrescente na fórmula geral. O quadro
seguinte configura o início da etapa de matematização e resolução da atividade.
Quadro 18 - Início da etapa de matematização e resolução da descarga do
capacitor da atividade 3
Matematização e resolução
Primeiro será feita a análise do processo de descarga do capacitor.
Descarga do capacitor
1
Descreva todos os 21 pontos adquiridos com a descarga do capacitor no
GeoGebra.
A Função que contém esses pontos é Crescente ou Decrescente?
2
Justifique.
79
Dentre
3
as
Funções
Afim, Quadrática, Exponencial, Logarítmica e
Trigonométrica, qual tipo descreve melhor a tendência desses pontos?
Escreva a definição do tipo de Função citada no item anterior (fórmula geral
4
e condições de existência).
Pela fórmula geral apresentada acima, qual a condição para que a Função
5
seja Crescente ou Decrescente?
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
A Função a ser estudada apresenta em sua lei o número irracional e (número
de Neper), então, ainda na etapa de matematização e resolução são expostas
explicações relacionadas ao número, tais como sua origem e aplicações.
Quadro 19 - Continuação da etapa de matematização e resolução da atividade
3: comentários relacionados ao número irracional e
A Função desejada é originada a partir de uma Função cuja base é o
número irracional e.
Atribui-se a John Napier (1550-1617) a descoberta do número de Neper. É

1
um número irracional obtido através do valor da expressão  1  
n 

n
para
valores muito grandes de n, sendo e = 2,7182818284590452353602874...
Esse número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço
6
Leonhard
Euler
(1707-1783),
um
dos
primeiros
a
estudar
suas
propriedades. Ele é importante em quase todas as áreas do conhecimento:
Economia, Engenharia, Biologia, Sociologia.
A Função Exponencial ex , cuja base é o número de Neper, modela
fenômenos de importância vital nos mais variados campos da ciência:
físico-químicas,
biológicas,
econômicas,
agronômicas,
geográficas,
médicas, sociais.
O número e é um número irracional, mas de uma categoria diferente de
2 , por exemplo. Enquanto
2 pode ser raiz de um polinômio, o número e
80
não pode ser raiz de polinômios de coeficientes inteiros: diz-se um número
irracional transcendente.
Pelas suas propriedades particulares, o número e tem sido usado como
base de logaritmos privilegiados em Matemática Superior, embora a base
10 seja a mais usada em aplicações práticas. A base de logaritmos
inventada por Neper, que era muito complicada, fazia intervir o número e,
pelo que este continua a chamar-se “número de Neper” e os logaritmos de
base e logaritmos “neperianos” ou “naturais”.
Assim, podemos escrever: lo g 1 0 x  lo g x e lo g e x  ln x .
Fonte: ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 121
Desse
modo,
após
questionamentos
gerais
relacionados
à
Função
Exponencial, o processo de matematização vai se associando diretamente ao
contexto do problema. É descrito que a lei da Função desejada não é puramente do
tipo apresentado na fórmula geral de Função Exponencial. Tem-se uma constante
multiplicada à base da Função Exponencial e outra multiplicada à variável
independente da fórmula geral, obtendo, assim, uma Função do tipo y  a e b x , com
gráfico semelhante ao das curvas exponenciais.
Após a indicação da fórmula com as duas constantes quaisquer e a base e,
são requisitados dos alunos a descrição das variáveis dependente e independente e
seus significados no contexto do problema.
Devem ser selecionados pontos necessários para aquisição da fórmula que
modela o problema. Como a última fórmula geral apresentada, além das variáveis
dependente e independente, contém as duas constantes multiplicadas à fórmula,
são importantes apenas dois pontos dentre os vinte e um para obtenção do valor
das duas incógnitas, utilizando conceitos do Ensino Médio.
Os cálculos necessários se resumem a um sistema composto por duas
equações exponenciais. Além da resolução do sistema pelo método de substituição,
são trabalhadas propriedades de potência e logaritmo. É necessária a utilização da
calculadora científica.
Então, deve ser apresentada a fórmula obtida e o gráfico da Função no
GeoGebra, configurando, assim, a etapa de matematização e resolução.
81
Quadro 20 - Continuação da etapa de matematização e resolução da descarga
do capacitor da atividade 3
A fórmula da Função que contempla a situação da descarga do capacitor
não é puramente a do tipo descrita no item 4. É a fórmula do tipo do item 4,
com base e, multiplicada por uma constante a e tendo sua variável
7
independente multiplicada por uma constante b.
Escreva, então, com as constantes a e b, a fórmula que representa a
Função desejada.
Distinga as variáveis dependente e independente e o significado de cada
8
uma no problema.
Variável independente:
Variável dependente:
Dentre os 21 pontos digitados no GeoGebra, selecione a quantidade
necessária para adquirir o valor dos coeficientes a e b. Lembre-se de que
9
essa escolha deve ser criteriosa.
Através de cálculos manuais e com o auxílio da calculadora científica,
obtenha os valores de a e b.
Observações:
 A calculadora científica possui as teclas “e” e “ln”, que representam
10
respectivamente o número irracional de Neper e o logaritmo de base e.
 Procure não fazer arredondamentos.
Escreva a lei da Função obtida.
11
12
Trace seu gráfico no GeoGebra.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
O gráfico traçado no GeoGebra deve seguir a tendência dos vinte e um
pontos obtidos pela experimentação, caso contrário, a etapa anterior deve ser
82
retomada. A análise dessa observação configura-se, então, como a etapa de
interpretação e validação da descarga do capacitor.
Quadro 21 - Etapa de interpretação e resolução da descarga do capacitor da
atividade 3
Interpretação e validação
O gráfico obtido contempla a tendência dos 21 pontos? Se necessário,
procure selecionar outros pontos, objetivando encontrar uma fórmula cujo
1
gráfico seja mais preciso, refazendo o item 10 do tópico de matematização
e resolução.
Faça comentários sobre a fórmula e o gráfico obtidos no contexto do
2
problema (descarga de um capacitor).
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Após a finalização da análise da descarga do capacitor, as etapas de
matematização e resolução são retomadas para aquisição de uma fórmula que
modela a situação de carga presente no capacitor em função do tempo.
Assim como anteriormente, os vinte e um pontos alcançados devem ser
digitados no GeoGebra, e é questionado se a Função que os contém é Crescente ou
Decrescente.
A lei da Função que modela o fenômeno também é derivada da Função
Exponencial. Porém, como as constantes introduzidas à fórmula da Função
Exponencial
modificam
consideravelmente
o
comportamento
da
curva,
é
apresentada a fórmula geral para a situação: y  a  1  e b x   a  a e b x .
Diante disso, devem ser escolhidos os pontos necessários para aquisição dos
valores de a e b. Obtêm-se um sistema composto por duas equações exponenciais,
que além das operações de potenciação e multiplicação, tem-se uma subtração, que
dificulta os cálculos relacionados às propriedades de potência.
É proposto ao aluno que a incógnita a seja isolada, a fim de se adquirir uma
equação fracionária em função de b. Nessa equação, as potências de base e devem
83
apresentar mesmo expoente, no intuito de fazer uma troca entre elas e uma
incógnita qualquer, alcançando-se, então, uma equação polinomial de grau maior
que dois. Como a resolução dessa equação é trabalhosa, sugere-se que seja
resolvida por meio do GeoGebra. Com os valores encontrados, trocando as
incógnitas novamente, é possível encontrar os valores de a e b. São trabalhados
Equações Fracionárias e Logaritmo. É necessária a utilização da calculadora
científica.
A fórmula obtida deve ser descrita e o gráfico da Função deve ser
apresentado no GeoGebra.
Quadro 22 - Etapa de matematização e resolução da carga do capacitor da
atividade 3
Matematização e resolução
Carga do capacitor
1
Descreva todos os 21 pontos obtidos através da carga do capacitor no
GeoGebra.
A Função que contém esses pontos é Crescente ou Decrescente?
2
Justifique.
A fórmula que descreve a carga do capacitor em função do tempo é do tipo

y  a 1 e
3
bx
  a  ae
bx
. Sendo a e b constantes e y a variável
dependente que representa a carga presente no capacitor em função da
variável independente x que indica o tempo.
Dentre os 21 pontos digitados no GeoGebra, selecione a quantidade
4
necessária para identificar o valor dos coeficientes a e b. Lembre-se de que
essa escolha deve ser criteriosa.
Através de cálculos manuais e com o auxílio da calculadora científica e do
GeoGebra, apresente os valores de a e b.
5
Sugestões:
 Isole a incógnita a nas equações e obtenha uma equação fracionária
em função de b.
84
 Note que os denominadores de ambos os membros da equação
apresentam uma subtração entre um número real e uma potência de
base e com expoentes diferentes. Faça com que essas duas potências
de base e fiquem iguais, decompondo seus expoentes de maneira que
se tenha potências iguais.
4
3
Por exemplo: e 8 b   e 2 b  e e 6 b   e 2 b  .
 Faça uma substituição da potência por uma incógnita qualquer,
chegando, assim, a uma equação polinomial.
Por exemplo: substitua e 2 b por x , obtendo: e 8 b  x 4 e e 6 b  x 3 .
 Resolva a equação polinomial com o auxílio do GeoGebra (para não
atrapalhar o problema, abra uma outra janela).
 Volte na substituição feita, apresentando os valores de a e b.
6
Escreva a lei da Função obtida.
7
Trace seu gráfico no GeoGebra.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Além de verificar no GeoGebra se o gráfico elaborado contempla os pontos
do problema, é solicitado, na etapa de interpretação e validação, que se faça
comentários relacionados às mudanças ocorridas no gráfico da Função Exponencial
y e
x
com a introdução das incógnitas uma a uma, até se chegar à Função com
fórmula do tipo y  a  a e b x . Assim como nas outras atividades, uma situação final
sobre a atividade desenvolvida deve ser descrita.
Quadro 23 - Etapa de interpretação e validação da carga do capacitor da
atividade 3
Interpretação e validação
1
O gráfico obtido contempla a tendência dos 21 pontos? Se necessário,
procure selecionar outros pontos, objetivando encontrar uma fórmula cujo
85
gráfico seja mais preciso, refazendo o item 5 do tópico de matematização e
resolução.
Faça comentários sobre os impactos ocorridos no gráfico da Função
Exponencial de fórmula y  e x até ela se tornar a Função que modela o
problema. Se necessário, explique fazendo esboços de gráficos a cada
2
transformação.
Faça comentários sobre a fórmula e o gráfico obtidos no contexto do
3
problema (carga de um capacitor).
Situação final
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Assim, na atividade 3 são trabalhados:
 Conceito de circuito elétrico composto por uma fonte, um capacitor e uma
resistência (circuito RC);
 Verbalização do problema físico;
 Associação entre o problema físico e conteúdo matemático;
 Definição de Função Exponencial;
 Crescimento e decrescimento da Função Exponencial;
 Identificação de variáveis;
 Obtenção da lei de Funções derivadas da Exponencial, a partir de dois
pontos;
 Resolução de Sistema de Equações Exponenciais com duas incógnitas;
 Propriedades de potência;
 Definição e propriedades de Logaritmo;
 Visualização e interpretação de gráficos;
86
 Equações Fracionárias;
 Resolução de equações polinomiais por meio do GeoGebra;
 Associação do resultado matemático alcançado às questões da Física.
Atividade 4
Uma bola de isopor será girada por um aparelho de rotação, que mantém a
velocidade do giro constante. Será analisada a distância que o objeto se encontra do
sensor de posição em função do tempo.
Como a velocidade em que a bola é girada se mantém constante, a distância
em que ela se encontra do sensor de posição é a mesma a cada intervalo de tempo
constante. Esse tipo de movimento denomina-se Movimento Harmônico Simples de
um corpo.
Sendo assim, é apresentada uma sucinta definição sobre esse movimento do
livro Fundamentos de Física, volume 2 de Halliday e Resnick (2009).
Quadro 24 - Definição sobre Movimento Harmônico
Recordando na Física
Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento
periódico ou movimento harmônico.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK, 2009, p. 88
´
A etapa de inteiração continua com a descrição dos componentes e softwares
a serem utilizados, tais como algumas observações e procedimentos que devem ser
realizados ao se fazer a prática.
Quadro 25 - Recursos necessários para desenvolver a atividade 4 e algumas
observações
Componentes necessários para a experimentação
 01 computador;
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
87
 01 interface;
 01 aparelho para rotação;
 01 corpo de prova esférico (bola de isopor).
Softwares utilizados
 CidepeLab;
 GeoGebra.
Observações
 Os cálculos
necessários
e comentários importantes
devem
ser
explicitados;

Todas as etapas realizadas no GeoGebra devem ser salvas.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
O experimento consta em encaixar o sensor de posição à esquerda do
aparelho de rotação, distante cinquenta centímetros um do outro. A configuração no
software CidepeLab deve ser feita de maneira que os dados sejam captados a cada
milésimo de segundo durante um tempo de quinze segundos.
Com essas etapas e a descrição das metas da atividade, é configurada a
inteiração sobre o fenômeno físico em estudo. Abaixo, seguem os procedimentos
relatados.
Quadro 26 - Procedimentos do experimento da atividade 4
Procedimentos do experimento
1
2
3
4
5
6
7
Encaixe a bola de isopor no aparelho de rotação, deixando-a mais à
esquerda possível do aparelho.
Posicione o sensor de posição à esquerda do aparelho de rotação alinhado
à bola de isopor, distante 50cm dele.
Interligue o sensor de posição à interface e a interface ao computador.
Ao se ligar o aparelho de rotação, obter-se-á a distância que a bola se
encontra do sensor de presença em função do tempo.
Regule o aparelho de rotação na velocidade seis.
Regule a aquisição de dados na janela do osciloscópio, de maneira que os
dados sejam captados a cada 100ms, durante um tempo de 15s.
Ligue o aparelho de rotação e, em seguida, o osciloscópio no software
88
CidepeLab. Inicie a análise dos dados.
8
9
Exporte os dados para a tabela.
Com a experimentação feita, escreva a meta dessa atividade.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Figura 09 - Equipamentos da atividade 4
Fonte: Fotos do autor desta Dissertação
O trabalho com o conteúdo matemático se inicia com a análise dos dados da
tabela do CidepeLab. É pedido para o estudante descrever o que acontece com a
posição da bola, à medida que se aumenta o tempo. O objetivo é que ele associe
esse movimento periódico às Funções Seno ou Cosseno.
Tal como nas atividades anteriores, as definições sobre as variáveis
dependente e independente devem ser explicitadas e pontos do experimento devem
ser selecionados. Mas a quantidade de pontos que serão utilizados para se alcançar
a lei da Função é especificada, e não deduzida pelo aluno.
É estabelecida a seleção de seis pontos, três máximos e três mínimos. Como
o sensor de posição não é totalmente preciso no intervalo de tempo em que são
captadas as posições, provavelmente será necessário fazer algumas aproximações
nos valores do ponto, a fim de padronizar o movimento ao tipo de Função
estabelecida. Esses cuidados em seleção de pontos e de possíveis aproximações
são descritos aos alunos.
Após a escolha dos seis pontos, eles devem ser traçados no GeoGebra e,
com isso, o processo para obtenção da lei da junção que modela a situação é
iniciado, concomitantemente aos questionamentos relacionados ao conteúdo
matemático.
89
Primeiramente, é questionado o conjunto imagem da Função que contempla
os seis pontos. Então, a lei matemática do tipo de Função dita inicialmente deve ser
escrita, Função Seno ou Função Cosseno (y = sen x ou y = cos x). O gráfico de uma
dessas Funções deve ser traçado no GeoGebra e, então, é questionado seu
conjunto imagem.
É descrito o significado de amplitude desse tipo de Função e, assim,
pergunta-se qual a amplitude da Função cuja lei foi digitada no GeoGebra. Em
seguida, com a sugestão de se fazer testes numéricos no GeoGebra, indaga-se,
também, qual seria a amplitude de uma outra Função obtida ao multiplicar a fórmula
da Função Seno ou Cosseno por uma constante c e qual seria também seu conjunto
imagem.
Nesse instante, começa-se, de fato, a construção da lei da Função desejada.
Serão feitas alterações na fórmula da Função Seno ou Cosseno descrita pelos
alunos. Cada alteração será registrada no GeoGebra, objetivando modelar a Função
Trigonométrica inicial aos pontos estabelecidos inicialmente.
Pede-se que, apenas multiplicando a lei da Função Seno ou Cosseno por
uma constante positiva, seja apresentada a lei de uma outra, com mesma amplitude
da Função que contém os seis pontos. Sendo assim, o aluno deverá pensar sobre o
número que satisfaz a condição estabelecida.
É questionado e exigido dele o procedimento que deve ser feito na última
fórmula, para que seu gráfico atinja a mesma altura da Função que contempla os
seis pontos do problema. Diante disso, são feitas indagações sobre o período de
uma Função Trigonométrica. O período, que permanece o mesmo da Função Seno
e Cosseno, deve ser alterado pelo aluno, tornando-se o mesmo da situação
estudada.
Provavelmente, o gráfico elaborado ainda não contemplará os seis pontos do
problema, por isso, ele deve passar por um deslocamento horizontal. É apresentada
ao estudante a necessidade da adição de uma constante k à última fórmula obtida.
Após fazer esse acréscimo, o valor de k deve ser adquirido em substituição a um
dos seis pontos do experimento nessa fórmula.
Então, deve ser descrita a lei dessa última Função, que possivelmente terá
seu gráfico contemplando os pontos obtidos com a experimentação. A seguir, temse a etapa de matematização e resolução dessa atividade, as quais foram relatadas.
90
Quadro 27 - Etapa de matematização e resolução da atividade 4
Matematização e resolução
Analise os dados da tabela e descreva o que acontece com a posição da
1
2
bola em relação ao sensor de presença, à medida que se aumenta o
tempo.
Qual tipo de função matemática pode representar essa situação?
Faça as seguintes definições sobre a Função que será estudada.
3
Variável independente:
Variável dependente:
Para fazer o trabalho de Modelagem Matemática, serão selecionados
alguns pontos importantes que descrevem a tendência do movimento.
Essa escolha é criteriosa, portanto, deve-se tomar cuidado para não utilizar
pontos atípicos, que fogem do padrão esperado. Para que o modelo seja o
mais preciso possível, provavelmente, será necessário fazer algumas
4
aproximações nos valores dos pontos, senão, será impossível padronizar o
movimento no tipo de Função desejada.
Portanto, selecione 3 pontos máximos e 3 pontos mínimos. Não há
necessidade de que esses pontos sejam exatamente os da tabela. Faça
ajustes (aproximações de valores), para que eles pertençam ao modelo de
Função estudada.
5
6
Trace os 6 pontos no GeoGebra.
Qual o conjunto imagem da Função que contempla esses pontos?
Deve-se, então, procurar a lei de uma Função cujo gráfico siga o
comportamento dos pontos assinalados. Para fazer isso, partiremos da
7
função básica citada no item 2.
Escreva a lei matemática (fórmula) do tipo de Função citada no item 2.
91
8
9
Trace o gráfico dessa Função no GeoGebra.
Qual seu conjunto imagem?
Chama-se de amplitude desse tipo de Função a metade da diferença entre
10 os pontos máximo e mínimo. Então, qual a amplitude dessa Função?
Se a lei da Função for multiplicada por uma constante “c”, qual será a
11
12
amplitude da Função gerada? (Caso necessário, faça testes com números
quaisquer no GeoGebra).
E seu conjunto imagem?
Apenas multiplicando a lei da Função do item 7 por uma constante positiva,
13
obtenha a lei de uma Função com mesma amplitude da Função desejada
(Função que contempla os 6 pontos selecionados).
14 Trace o gráfico dessa nova Função no GeoGebra.
O que deve ser feito com a lei dessa nova Função para que ela atinja a
15
16
mesma altura da Função desejada? Escreva a fórmula dessa nova Função
e trace o seu gráfico no GeoGebra.
Qual o período dessa Função?
O que deve ser feito na lei dessa Função para modificar seu período?
17 Descreva como acontece esse processo.
18
Qual o período da Função desejada?
Como ficaria a lei de uma outra Função com o mesmo período da Função
19
desejada, aplicando o processo descrito no item 17 na lei da Função do
item 13?
20 Trace no GeoGebra o gráfico dessa outra Função.
92
Caso o gráfico ainda não contemple os 6 pontos almejados, deve haver um
deslocamento horizontal. Ou seja, uma constante “k” deve ser adicionada
21
na fórmula do item 19. Acrescente essa constante “k” no local adequado na
lei dessa Função e descreva como se procede a alteração (confirme sua
resposta fazendo testes no GeoGebra).
Obtenha o valor de “k” substituindo um dos 6 pontos do experimento na
22 fórmula do item anterior.
23 Escreva a lei dessa Função.
24 Trace seu gráfico no GeoGebra.
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação, com base em ALMEIDA; SILVA; VERTUAN,
2012, p. 54-66
É estabelecida a validação da fórmula, verificando se o valor da posição da
bola de isopor obtido em um dado instante é próximo de um valor apresentado na
tabela do software CidepeLab. Assim como nas outras atividades, é destinado um
espaço para que o aluno apresente uma conclusão da atividade desenvolvida, uma
situação final.
Quadro 28 - Etapa de interpretação dos resultados e validação da atividade 4
Interpretação dos resultados e validação
Verifique a validade da fórmula obtida para outros casos. Faça um teste
com alguns valores utilizando a fórmula e comparando o resultado com os
1
dados reais presentes na tabela construída com o experimento.
Situação final
Fonte: Elaborado pelo autor desta Dissertação
Portanto, na atividade 4 são trabalhados:
 Conceito de Movimento Harmônico Simples de um corpo;
93
 Verbalização do problema físico;
 Associação entre o problema físico e o conteúdo matemático;
 Função Trigonométrica Seno ou Cosseno;
 Identificação de variáveis;
 Amplitude, imagem e período da Função Seno ou Cosseno;
 Deslocamento horizontal e vertical da Função Seno ou Cosseno;
 Equação Trigonométrica;
 Visualização e interpretação de gráficos;
 Associação do resultado matemático obtido às questões da Física.
94
5 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES E RESULTADOS ALCANÇADOS
5.1 Introdução
Para verificar as contribuições das atividades de Matemática utilizando
Modelagem de Fenômenos Físicos no processo de ensino-aprendizagem, foram
analisadas as etapas desenvolvidas pelos estudantes e suas expectativas no
decorrer do trabalho, sem priorizar quantidade de erros e acertos. Para tanto, optouse como metodologia de pesquisa a qualitativa.
5.2 Análise Qualitativa da Pesquisa
Bogdan e Biklen, citados por Lüdke e André (1986, p. 13), descrevem que “a
pesquisa qualitativa envolve a obtenção de dados descritivos, adquiridos no contato
direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o
produto e se preocupa em relatar a perspectiva dos participantes”. Sendo assim, não
é objetivo da pesquisa que os alunos acertem totalmente as atividades propostas,
elaborando gráficos e fórmulas estritamente fiéis à situação física estudada. O
propósito principal não está associado ao resultado final alcançado, mas sim à
observação dos meios utilizados para se chegar a uma solução, verificando como
essas estratégias atuam no processo de ensino do conteúdo matemático estudado.
Lüdke e André (1986) apresentam cinco características básicas que
configuram o conceito de pesquisa qualitativa segundo Bogdan e Biklen (1982).
(1) A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte direta de
dados e o pesquisador como seu principal instrumento, supõe o contato
direto e prolongado do pesquisador com o ambiente e a situação que está
sendo investigada, via de regra através do trabalho intensivo de campo; (2)
Os dados coletados são predominantemente descritivos, o material obtido
nessas pesquisas é rico em descrições de pessoas, situações,
acontecimentos; (3) A preocupação com o processo é muito maior do que
com o produto; (4) O “significado” que as pessoas dão às coisas e à sua
vida são focos de atenção especial pelo pesquisador, há sempre uma
tentativa de capturar a perspectiva dos participantes; (5) A análise dos
dados tende a seguir um processo indutivo, os pesquisadores não se
95
preocupam em buscar evidências que comprovem hipóteses definidas antes
do início dos estudos (LÜDKE E ANDRÉ 1986, p. 11).
Durante todo o desenvolvimento da pesquisa, buscou-se trabalhar seguindo
essas características. Para se ter uma coleta de dados de forma natural, sem
manipulação intencional do pesquisador, nenhum aluno foi indicado a participar das
atividades nem foi oferecida qualquer gratificação aos sujeitos da pesquisa. Fez-se
uma seleção espontânea, de maneira que qualquer aluno, independente de seu
rendimento nas aulas regulares, pudesse participar. Verificou-se que, dentre os
selecionados, havia alunos com desempenho escolar diversificado.
Os dados coletados por meio da observação de toda a pesquisa foram
descritos num “Diário de Bordo”, relatando os métodos utilizados pelos alunos, os
questionamentos discutidos, as expectativas em relação à situação almejada,
motivação e especulações dos estudantes ao longo de todo o desenvolvimento das
atividades. Fiorentini e Lorenzato (2006) discorrem sobre esse tipo de instrumento
de coleta de informações.
Um dos instrumentos mais ricos de coleta de informações durante o
trabalho de campo é o diário de bordo. É nele que o pesquisador registra
observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários,
descreve episódios ou retrata diálogos. Quanto mais próximo do momento
da observação for feito o registro, maior será a acuidade da informação
(FIORENTINI e LORENZATO, 2006, p. 118).
Como destacado, o interesse da pesquisa está em estudar os processos
desenvolvidos pelos estudantes ao fazer as atividades e suas diferentes
interpretações e avaliações em relação ao que foi proposto, aspectos ligados à
terceira e quarta características apresentas por Lüdke e André (1986).
Apesar de existirem hipóteses sobre os resultados do trabalho, tais focos
são, inicialmente, amplos, vão se especificando no desenvolvimento do estudo,
confirmando ou não as ideias iniciais e se tornando diretos e específicos no final do
trabalho, como citado por Lüdke e André (1986) na quinta característica.
Portanto, seguindo os procedimentos de pesquisa qualitativa descritos,
objetiva-se verificar a eficácia de atividades de Modelagem Matemática de
Fenômenos Físicos com o uso das TICs para o ensino de Matemática no nível
médio.
96
5.3 Sujeitos e ambiente da pesquisa
As atividades foram desenvolvidas num grupo de oito alunos da terceira série
do Ensino Médio, integrado aos cursos técnicos de Informática e Administração do
Instituto Federal do Norte de Minas Gerais, campus Pirapora, no mês de abril do ano
2013. O pesquisador é professor dos estudantes desde a primeira série do Ensino
Médio. A seleção dos alunos foi espontânea, foi disponibilizada uma lista nas
turmas, em que os interessados em participar da pesquisa voluntariamente deveriam
assinar. Não foi feita nenhuma motivação relacionada à pontuação nas aulas
regulares ou a qualquer outra gratificação. Dentre o grupo, havia alunos com regular,
bom ou ótimo desempenho escolar nas aulas de Matemática e um aluno com
desempenho ruim.
Os alunos se organizaram em duplas para desenvolverem todas as
atividades, as quais aconteceram no Laboratório de Física da instituição. O ambiente
foi preparado de maneira que se sentissem confortáveis e motivados. Cada dupla
tinha à disposição um notebook, para utilização dos softwares CidepeLab,
GeoGebra e Excel, uma calculadora científica e todos os alunos receberam um
Caderno de Atividades (Apêndice da Dissertação) contento as questões a serem
desenvolvidas, além de seus materiais pessoais. Os equipamentos para realizar as
experimentações físicas eram únicos, necessitando, assim, de um revezamento
entre as duplas.
Havia à disposição do professor/pesquisador data-show, quadro e pincel para
a introdução e motivação do conjunto de atividades, e para possíveis explicações.
Após a explanação inicial, o professor se acomodou em uma mesa próxima às
duplas, de modo que, em seu Caderno de Bordo, eram descritos os comentários,
questionamentos e demais informações relevantes sobre o desenvolvimento das
atividades.
5.4 Aplicação das atividades
97
O desenvolvimento do trabalho envolvendo a Modelagem Matemática de
alguns Fenômenos Físicos aconteceu nos dias 10, 11, 17, 18, 24 e 25 de abril do
ano 2013, sendo que cada encontro teve duração de aproximadamente 2 horas. Não
foi previsto o dia de término das atividades, apenas que elas iriam ser desenvolvidas
nas quartas e quintas-feiras no período da tarde, turno em que não havia aulas
regulares. Todos os oito alunos que iniciaram as atividades concluíram o trabalho
proposto.
Figura 10 - Alunos do terceiro ano do Ensino Médio, ano 2013, do IFNMG –
campus Pirapora desenvolvendo atividades de Modelagem Matemática no
Laboratório de Física
Fonte: Fotos do autor desta Dissertação
Apesar de toda proposta de ensino ter sido desenvolvida em duplas, cada
aluno deveria fazer seu registro manuscrito no Caderno de Atividades. Os dados do
experimento, os gráficos, fórmulas e tabelas obtidos por meio do CidepeLab,
GeoGebra e Excel eram analisados por dupla e salvos em pasta de arquivos,
organizados de acordo com o número da atividade realizada e entregues ao
professor via pen-drive.
Como havia apenas um equipamento por experimento, cada dupla realizava
separadamente a experiência e, após a coleta dos dados, continuava o
desenvolvimento das atividades, destinando o equipamento à outra dupla.
Os alunos eram orientados a explicitar ao máximo os cálculos e descrições
sobre as etapas desenvolvidas. Os diversos recursos do GeoGebra deveriam ser
98
usados proveitosamente, de maneira que os processos realizados ficassem
esclarecidos para o professor. Por exemplo, num arquivo que apresentasse mais de
um gráfico, que eles fossem diferenciados por cores e nomeados. Não houve
problemas quanto ao uso de tais recursos, pois os alunos já fizeram outras
atividades utilizando o software.
No primeiro encontro aconteceu, basicamente, a ambientação do laboratório,
pois os alunos ainda não o conheciam, e a motivação inicial feita pelo professor
sobre as atividades a serem desenvolvidas. Com o auxílio do data-show, foi
explicado o processo e as fases de Modelagem Matemática no contexto das
atividades e apresentados os equipamentos do Laboratório de Física que iriam ser
utilizados. Os alunos se mostraram bastante interessados, já que nunca haviam tido
aulas de Matemática em laboratório.
Ainda no primeiro encontro, houve o momento de experimentação com os
equipamentos. A experiência, que constava em captar a posição de um livro em
relação ao sensor de presença em função do tempo, à medida que ele ia sendo
afastado a uma velocidade praticamente constante, foi realizada inicialmente pelo
professor, que ia relatando e apresentando todos os comandos. Em seguida, cada
dupla pôde realizar o mesmo experimento, obtendo assim, o primeiro contato direto.
Esse procedimento permitiu, também, que cada dupla configurasse o software
CidepeLab em seu computador, ajudou bastante a relembrar alguns comandos do
Excel e a tirar algumas dúvidas do CidepeLab.
Foi dito, além disso, que o software GeoGebra ia ser utilizado em todas as
atividades. Mesmo com todos os alunos sabendo utilizá-lo, pois já fizeram uso em
outras ocasiões nas aulas de Matemática, foram relembradas suas principais
atribuições.
A receptividade do grupo em relação à proposta foi muito positiva, não
tiveram dificuldades em fazer a experimentação, seguiram muito bem as etapas
estabelecidas e gostaram bastante do fato de captar um movimento por meio da
interface e trabalhar com os dados alcançados no computador.
99
Atividade 1: Análise do movimento retilíneo de um corpo com aceleração
constante
O desenvolvimento da primeira atividade aconteceu somente no segundo
encontro. A princípio, foi descrito apenas que se tratava da análise matemática
sobre o movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante, considerando a
posição do objeto em função do tempo. Não estabelecendo, assim, o tipo de Função
a ser estudada, a qual deveria ser apresentada posteriormente pelo aluno.
Ao se fazer o experimento, o carro de retropropulsão foi colocado num plano
inclinado, com o objetivo de aumentar sua aceleração, a qual estava muito baixa,
devido, provavelmente, ao desgaste de sua bateria. Ainda na etapa de inteiração,
após a familiarização dos alunos com o problema e a realização do experimento, na
verbalização da meta da atividade, todas as duplas escreveram que o objetivo
estava associado à obtenção da uma Lei de Função para a situação. Veja resposta
da dupla 2.
Figura 11 - Relato sobre a meta da atividade 1 da dupla 2
Fonte: Dados da pesquisa
Ao iniciar a etapa de matematização e resolução, as quatro duplas também
souberam destacar a Função Quadrática como a indicada para representar o
deslocamento do objeto em função do tempo para o movimento em estudo. No
entanto, um integrante da dupla 1 disse que a Função adequada deveria ser a Afim,
sendo corrigido pelo outro integrante da dupla. As duplas 2 e 3 associaram a Função
Quadrática à situação através dos conhecimentos em Física, as demais equipes
fizeram a associação pelo formato do gráfico obtido pelo software CidepeLab.
100
Figura 12 - Gráfico da atividade 1 obtido no software CidepeLab pela dupla 4
Fonte: Dados da pesquisa
Todas as duplas escreveram corretamente a fórmula geral da Função
Quadrática y  ax 2  bx  c ,  a  0  . As equipes 2 e 4 não tiveram problema em
distinguir as variáveis dependente e independente, assim como os seus significados
no contexto da questão. Foi necessária uma pequena intervenção do professor para
que as outras duas duplas definissem como variável x a que representa o tempo, e a
dependente, variável y, que representa a posição do objeto.
.
Para chegar aos valores dos coeficientes a, b e c da fórmula geral
apresentada, a dupla 1 selecionou apenas dois pontos do experimento, sendo que,
ao tentar fazer os cálculos, perceberam que, por se tratar de três incógnitas, tais
pontos seriam insuficientes, fazendo, então, a escolha de um outro ponto. As demais
duplas selecionaram normalmente os três pontos e todas conseguiram descobrir o
valor das incógnitas, resolvendo o sistema linear obtido.
101
Figura 13 - Obtenção da fórmula que modela o experimento da atividade 1 pela
dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
Com a fórmula encontrada, as duplas representaram o gráfico da Função no
GeoGebra.
Figura 14 - Gráfico da atividade 1 obtido no GeoGebra pela dupla 3, a partir da
fórmula obtida manualmente
Fonte: Dados da pesquisa
102
Para iniciar a etapa de interpretação e validação, cada dupla exportou os
pontos encontrados no experimento pelo CidepeLab para o Excel, apresentando, por
meio desse programa, um gráfico com uma fórmula correspondente. Não houve
objeção quanto a esse procedimento.
Figura 15 - Gráfico da atividade 1 obtido no Excel pela dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
Assim, as duplas descreveram a fórmula obtida pelo Excel no GeoGebra na
mesma seção do gráfico elaborado a partir dos três pontos selecionados pelo
experimento. As duplas 2 e 3 apresentaram gráficos semelhantes na primeira
tentativa.
A figura seguinte mostra os dois gráficos elaborados pela dupla 3, que fez a
observação do experimento no intervalo compreendido entre um segundo e meio e
cinco segundos.
103
Figura 16 - Gráficos obtidos no GeoGebra da atividade 1 pelo Excel e pelos
três pontos selecionados pela dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
A fase de retomada do processo de matematização e resolução foi
importante, principalmente para as duplas 1 e 4, que só conseguiram obter gráficos
com mesma tendência nesse momento. Ambas as duplas não haviam cometido
erros de cálculo, apenas selecionaram pontos que proporcionaram uma distorção
considerável entre os gráficos.
Para que os alunos respondessem às três questões relacionadas à Física, o
professor teve que relembrar a fórmula S  S 0  V 0t 
1
2
2
at , que relaciona a posição
do objeto (S) em função do tempo (t) no movimento retilíneo uniformemente
acelerado.
104
Figura 17 - Questões respondidas pela dupla 1 na atividade 1
Fonte: Dados da pesquisa
Assim, a aceleração do objeto foi encontrada multiplicando por 2 o
coeficiente a  0,089 do termo x 2 da fórmula. A distância que o objeto percorreria
no intervalo de uma hora foi encontrada substituindo a variável x por 3600 segundos,
que indica o tempo de uma hora. E a velocidade média do objeto, a partir do instante
zero, foi identificada através da fórmula V m 
s
t
.  s : Variação da distância
percorrida;  t : variação do tempo.
Todas as duplas responderam corretamente as duas primeiras questões e
apenas a dupla 1 acertou a última, sendo que as demais não utilizaram o tempo
estipulado na questão de 2 minutos, que equivale a uma variação de 120 segundos,
a partir do instante zero.
Mesmo as duplas não tendo respondido corretamente, sem intervenção,
todas as perguntas, que não era objetivo primordial da pesquisa, as características
destacadas por Biembengut e Hein (2011), como o estímulo ao interesse por tópicos
matemáticos e o incentivo à pesquisa, foram bastante nítidas. Os alunos relataram
que estudar Função na prática é menos cansativo e mais interessante, porém, um
pouco mais difícil, porque as perguntas eram mais amplas e a resposta final não é
única.
105
Atividade 2: Análise do movimento de um corpo em queda livre
As etapas relacionadas ao conteúdo matemático nessa atividade são
basicamente as mesmas da anterior, sendo assim, os estudantes desenvolveram a
proposta estabelecida com menos intermédio do professor.
Após discussões, todas as duplas responderam que a função matemátic a
cuja fórmula indica a posição de um objeto em queda livre em função do tempo é a
Quadrática, associando, assim, juntamente com o professor, o experimento ao da
atividade anterior, relembrando que a fórmula geral que indica a posição do objeto
em função do tempo é a mesma, nesse caso, a aceleração é unicamente a
gravidade do ambiente.
Para facilitar a resolução do sistema para aquisição da fórmula que modela o
problema, três duplas reduziram o sistema linear de ordem três para um de ordem
dois, resolvendo-o pelo GeoGebra. Segue o processo realizado pela dupla 4, que
não utilizou o GeoGebra.
Figura 18 - Obtenção da fórmula que modela o experimento da atividade 2 pela
dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
106
Para validar a fórmula encontrada, a dupla 1 se lembrou de verificar na
fórmula se a aceleração obtida condizia, aproximadamente, com a aceleração da
gravidade (aproximadamente 9,8 m/s 2). Assim, as três outras duplas fizeram o
procedimento sugerido pela dupla 1, não necessitando fazer o mesmo procedimento
da atividade 1, que é obter uma fórmula no Excel com os pontos do CidepeLab, a
fim de comparar esse gráfico com o definido pela fórmula encontrada. Apenas a
dupla 3 apresentou uma fórmula que indicava a gravidade próxima de 9,8 m/s 2.
Segue a resposta dessa dupla para validação da fórmula.
Figura 19 - Procedimento de validação realizado pela dupla 3 na atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
A dupla 1, ao refazer a etapa de matematização, também obteve um valor
próximo para a gravidade, 8,78 m/s2. As duplas 2 e 4 encontraram valores iguais a
7,2 e 6,61 m/s2, respectivamente.
As duas questões relacionadas à Física foram respondidas sem nenhum
problema. Seguem as respostas apresentadas pela dupla 3.
107
Figura 20 - Questões respondidas pela dupla 3 na atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
Apesar de metade das duplas não terem conseguido apresentar um valor
próximo para a aceleração da gravidade, o desenvolvimento da atividade foi
bastante proveitoso, pois as etapas de Modelagem foram claramente trabalhadas,
assim como os conteúdos matemáticos, de maneira atrativa para os alunos.
Atividade 3: Análise da carga e descarga de um capacitor
Para que os alunos entendessem de maneira clara o funcionamento do
circuito e os procedimentos que deveriam ser adotados para estabelecer a diferença
de potencial presente no capacitor ao carregá-lo e descarregá-lo, foi necessária uma
revisão sobre as explicações e os procedimentos descritos no início da atividade.
Diferentemente das outras três atividades, nessa não foi utilizado o
CidepeLab, os pontos obtidos ao realizar o experimento foram anotados numa
tabela apresentada no Caderno de Atividades. Apenas uma dupla precisou anotar os
dados pela segunda vez, pois ao desativar a alimentação de tensão, descarregaram
o capacitor no momento errado.
Ao iniciar a etapa de matematização para a descarga do capacitor, quando
os alunos descreveram os vinte e um pontos no GeoGebra, todas as equipes
responderam correto que o tipo de Função cujo gráfico poderia descrever a
tendência dos pontos é a Exponencial. Relataram, inclusive, que essa Função é
Decrescente, devido aos valores da variável dependente decrescerem, à medida
que os valores da variável independente aumentam.
108
Apenas a dupla 2 escreveu exatas a fórmula geral e as condições de
existência e de decrescimento e crescimento da Função Exponencial sem auxílio do
professor.
Figura 21 - Fórmula geral, condições de existência, de decrescimento e
crescimento da Função Exponencial descritos pela dupla 2
Fonte: Dados da pesquisa
Todos os alunos descreveram, no contexto do problema, a variável x como
independente, representando o tempo, e a variável y como dependente, indicando a
diferença de potencial presente no capacitor. Não houve dificuldades na seleção dos
dois pontos para a construção da fórmula, porém, as duplas1 e 4 necessitaram de
ajuda do professor para resolver o sistema de equações exponenciais.
Os estudantes resolveram o sistema pelo método de substituição. Segue a
resolução da dupla 2.
109
Figura 22 - Obtenção da fórmula que modela o experimento da primeira etapa
da atividade 3 pela dupla 2
Fonte: Dados da pesquisa
As quatro equipes encontraram uma fórmula cujo gráfico contemplava os
vinte e um pontos descritos.
Figura 23 - Gráfico da primeira etapa da atividade 3 obtido no GeoGebra pela
dupla 2, a partir da fórmula obtida manualmente
Fonte: Dados da pesquisa
110
Ao iniciar a segunda etapa da atividade na fase de matematização e
resolução para o processo de descarga do capacitor, não houve dificuldades na
descrição de uma Função Decrescente que contemplasse os 21 pontos indicados.
Após a apresentação da fórmula do tipo y  a  1  e b x  , que modela o
fenômeno estudado, as duplas 1, 2 e 4 não entenderam claramente as sugestões
apresentadas para aquisição dos coeficientes a e b após a seleção de dois pontos.
Diante
disso,
fez-se
necessária
a
intervenção
do
professor,
explicando
detalhadamente as etapas apresentadas.
A equipe 3, após um tempo considerável de, aproximadamente, vinte
minutos, conseguiu desenvolver o sistema de equações apenas até a etapa de
substituição das variáveis. Não conseguiu, sem auxílio do professor, desenvolver o
método proposto de resolução da equação polinomial obtida na substituição pelo
GeoGebra. Com isso, foi necessário expressar a sugestão de anular o segundo
membro da equação, para que no GeoGebra fosse descrito o gráfico da Função
Polinomial de mesma fórmula que a equação, assim, a dupla percebeu que, para
encontrar a solução da equação, bastava obter os pontos de interseção entre o
gráfico e o eixo das abscissas. A seguir, a resolução do sistema de equações pela
dupla 3, sendo que parte da resolução foi desenvolvida manualmente e a parte da
equação polinomial de grau 10 utilizou-se o GeoGebra.
111
Figura 24 - Resolução manual do sistema de equações para obtenção da
fórmula que modela o experimento da segunda etapa da atividade 3 pela dupla
3
Fonte: Dados da pesquisa
112
Figura 25 - Resolução pelo GeoGebra da equação polinomial para obtenção da
solução do sistema de equações da segunda etapa da atividade 3 pela dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 26 - Gráfico da segunda etapa da atividade 3 obtido no GeoGebra pela
dupla 3, a partir da fórmula obtida manualmente
Fonte: Dados da pesquisa
Todas as outras duplas, com auxílio, também conseguiram encontrar, na
primeira tentativa, a lei de uma Função cujo gráfico contemplasse os 21 pontos
descritos no GeoGebra.
113
Os comentários sobre o gráfico obtido no contexto da Matemática foram
feitos com o professor, sendo que, juntamente com as duplas, foi discutido que pelo
fato do coeficiente do termo independente ser negativo e a base e da Função
Exponencial ser maior que zero, a Função se torna decrescente. No entanto, como o
número que é multiplicado pelo número irracional e também é negativo, a Função
torna-se novamente crescente e o coeficiente positivo, que é adicionado à Função,
faz com que parte do seu gráfico contemple o eixo das ordenadas em sua parte
positiva, no primeiro quadrante do plano cartesiano.
Os alunos relataram que, com o tempo, a carga do capacitor tende a
estabilizar tanto no carregamento quanto no descarregamento. Apesar de mais
trabalhosa, foi a atividade 3 que os alunos mais acharam interessante.
Atividade 4: Análise do movimento harmônico simples de um corpo
No último encontro, aconteceu o desenvolvimento da quarta atividade, em
que o experimento foi realizado, assim como nas duas primeiras atividades, com o
software CidepeLab. Como os alunos já estavam bastante habituados com o estilo
dos procedimentos adotados, não houve dificuldades no trabalho com o software
nem no início da etapa de matematização e resolução.
Todas as equipes responderam correto que os tipos de funções matemáticas
que podem indicar a posição do objeto em relação ao tempo são as Trigonométricas
Seno ou Cosseno. Indicaram com exatidão, também, a variável independente x
como tempo e a independente y como posição.
Antes de os alunos selecionarem os seis pontos do experimento, 3 pontos
de máximo e 3 de mínimo, o professor ressaltou que, para conseguir padronizar o
movimento no tipo de Função indicada, a partir da escolha dos dois primeiros
pontos, seriam necessárias aproximações de valores nos pontos seguintes, para
que, assim, os pontos de máximo tivessem mesma altura, bem como os pontos de
mínimo, além de estarem equidistantes um do outro.
Os estudantes responderam com exatidão o conjunto imagem da Função a
ser obtida, que contempla os seis pontos, como sendo o intervalo fechado entre os
pontos de mínimo e máximo. Três duplas indicaram a lei da Função Cosseno
114
(y = cos x) como sendo a fórmula básica a ser trabalhada, e uma dupla indicou a lei
da Função Seno (y = sen x).
Após traçarem no GeoGebra o gráfico dessa última Função indicada, não
houve objeção em indicar o intervalo fechado   1,1 como o conjunto imagem da
Função Seno ou Cosseno. Apenas uma dupla teve incerteza em expressar a
amplitude dessas Funções, sendo que as demais responderam corretamente como
sendo o valor um.
Como sugerido na atividade, através de testes numéricos feitos no
GeoGebra, as duplas responderam com exatidão que a fórmula da Função Seno ou
Cosseno, ao ser multiplicada por uma constante positiva c, irá gerar uma outra
Função com amplitude c e conjunto imagem  c , c  .
Duas duplas tiveram dificuldades em indicar a lei de uma outra Função com
mesma amplitude da Função desejada, multiplicando a fórmula da Função Seno ou
Cosseno por uma constante positiva. Assim, auxiliadas pelo professor, indicaram a
lei dessa Função multiplicando a última fórmula obtida pela amplitude da Função
que contempla os seis pontos indicados, que é calculada pela metade da diferença
entre os pontos de máximo e mínimo. As outras duas duplas fizeram esse trabalho
sem auxílio.
Após traçarem o gráfico dessa última Função no GeoGebra, todas as duplas
responderam de maneira correta que, para que essa Função atinja mesma altura da
Função que contempla os seis pontos indicados, bastava adicionar à fórmula dessa
última Função uma constante positiva. Apenas uma dupla encontrou dificuldades
para identificar o valor dessa constante no contexto do problema.
Após discutirem entre si, os integrantes de cada dupla responderam certo,
cada dupla de sua maneira, como sendo 2  o período dessa última Função e que,
para modificá-lo, a variável independente x deveria ser multiplicada por uma
constante. Veja resposta da dupla 2.
115
Figura 27 - Questão respondida pela dupla 2 na atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Apenas a dupla 1 não respondeu corretamente, sem auxílio, o período da
Função desejada. Após dicas do professor, todas as equipes encontraram o valor
exato de uma constante positiva que, ao ser multiplicada pela variável independente
x na última fórmula encontrada, gera a lei de uma nova Função com mesmo período
da Função desejada. Os alunos tiveram certa dificuldade em identificar o valor dessa
constante, por isso, fizeram bastantes testes no GeoGebra.
Assim, com essa nova fórmula, eles foram orientados a adicionar a ela uma
constante k, para que houvesse um deslocamento horizontal, a fim de que fosse
estabelecida a lei de uma Função cujo gráfico contemplasse os seis pontos
indicados inicialmente. Todas as equipes adicionaram a constante k no local
adequado da fórmula. Através da dica de substituir um dos seis pontos nessa última
fórmula e, com o auxílio da calculadora científica, obtiveram um valor adequado para
a constante k, gerando a lei de uma Função que, de fato, modela a situação
estudada. Seguem os cálculos desenvolvidos pela dupla 4 e o gráfico elaborado no
GeoGebra.
116
Figura 28 - Cálculos para obtenção da fórmula que modela o experimento da
atividade 4 pela dupla 4
Fonte: Dados da pesquisa
117
Figura 29 - Gráfico da atividade 4 obtido no GeoGebra pela dupla 4, a partir da
fórmula obtida
Fonte: Dados da pesquisa
Na verificação da fórmula no contexto do problema, ao substituir valores
reais, que representam o tempo na variável independente x, foram encontrados
números que indicam a posição do objeto, relativamente próximos aos indicados na
tabela do CidepeLab.
118
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na presente pesquisa, procurou-se elaborar e desenvolver atividades de
Modelagem Matemática de Fenômenos Físicos, utilizando as TICs como recurso
educacional que contribua num processo de ensino-aprendizagem significativo da
Matemática no nível médio.
O tema surgiu a partir de motivações pessoais do autor em proporcionar um
ensino interessante e aplicável a outra área do conhecimento, em que o aluno
encontre sentido no que é estudado, no caso deste trabalho, algumas funções
matemáticas. A Física foi selecionada por ser uma das ciências que mais encontra
influência mútua com a Matemática, além do fato de a instituição de ensino em que
a pesquisa foi realizada possuir um Laboratório de Física e Matemática equipado,
que nem sempre é utilizado pelos professores da área.
Para fazer essa interação entre as duas disciplinas, foi pensada como
metodologia
a
Modelagem
Matemática,
que
proporciona
essa
associação
naturalmente. Com embasamento teórico em autores como Bassanezi (2011), Burak
e Barbieri (2005), Barbosa (2001), Biembengut e Hein (2011) e Almeida, Silva e
Vertuan (2012), buscou-se investigar como se procedia essa interação, sendo que
para analisar como esse trabalho poderia ser elaborado, estudou-se, principalmente,
as atividades apresentadas por Biembengut e Hein (2011) e Almeida, Silva e
Vertuan (2012), que estão relacionadas a esse tema no nível básico de ensino e
Ensino Médio Técnico. A
esquematização
das
atividades
descritas
nesta
Dissertação foi inspirada nas apresentadas por esses últimos autores, que também
fazem uma abordagem sobre Função na maioria dos problemas apresentados.
Assim, as fases destacadas nesta obra, inteiração, matematização, resolução,
interpretação de resultados e validação foram utilizadas em todas as atividades, que,
além de caracterizá-las como sendo de Modelagem Matemática, facilitou o
entendimento da proposta estabelecida por parte dos alunos. A organização das
atividades em forma de tabela se mostrou atrativa, contribuindo, também, para
clareza da proposta.
Na consolidação da metodologia a ser desenvolvida, num aprofundamento
teórico, autores como Borba e Penteado (2001), Meyer, Caldeira e Malheiros (2011),
Fanchi (2007), dentre outros, destacam a grande sinergia entre um trabalho de
119
Modelagem Matemática com as TICs. Além de facilitar e aprimorar o trabalho de
modelagem, os softwares matemáticos e outras tecnologias utilizadas concretizaram
uma proposta de ensino dinâmica, que contribui para melhor compreensão de
conceitos e auxilia nos processos de investigação e experimentação.
Portanto, baseando-se nessas três perspectivas, buscou-se os seguintes
objetivos específicos, que foram consideravelmente alcançados.
 Selecionar
experimentos
físicos
em
laboratório,
verificando
suas
características e as grandezas envolvidas;
 Selecionar o conteúdo matemático a ser trabalhado com as situações
físicas;
 Identificar softwares matemáticos para implementação dos modelos e
obtenção de gráfico e tabelas;
 Formular problemas que associam conteúdos matemáticos a práticas da
Física para serem trabalhados no ensino de Matemática no nível médio.
Os experimentos físicos foram selecionados com base na possibilidade de
estudo do conteúdo matemático proposto inicialmente, Função. Então, a partir da
seleção do experimento, o tipo específico de Função a ser trabalhada e os demais
conteúdos implícitos ao desenvolver as atividades eram delimitados.
Por ser dinâmico e de fácil manuseio, além dos estudantes já terem
conhecimento, o software GeoGebra foi selecionado para ser utilizado em todas as
atividades. Em duas, também com o intuito de construção gráfica, foi utilizado o
Excel, para conferência com o gráfico obtido pelos alunos no GeoGebra.
A formulação dos problemas foi desenvolvida, principalmente, com o objetivo
de estudo das definições, conceitos e procedimentos matemáticos. Nas duas
primeiras atividades, os procedimentos para obtenção da Função Quadrática foram
baseados na última atividade proposta por Biembengut e Hein (2011), que tratava da
seleção de alguns pontos, que, por Sistema Linear, era encontrada a fórmula
almejada. O experimento físico utilizado na terceira atividade surgiu como sugestão
do professor de Física da instituição, que, embasado por Halliday e Resnick (2008),
propôs o estudo da Função Exponencial. Os procedimentos matemáticos
necessários para alcançar a Função Exponencial almejada perpassaram pelos
conteúdos de Sistema de Equações Exponenciais e Logaritmo, além de necessitar
da resolução de uma equação polinomial, cuja resposta foi conveniente obter pelo
120
GeoGebra. E a última atividade, elaborada a partir do terceiro problema proposto por
Almeida, Silva e Vertuan (2012), apresentou vários conceitos da Função
Trigonométrica Seno ou Cosseno, como imagem, período, amplitude, deslocamento
vertical e horizontal do gráfico.
Assim, as atividades apresentadas mostram que, com um único experimento
físico, pode-se trabalhar com vários conceitos matemáticos, tanto relacionados à
Função, como a conceitos externos a esse tema, além de permitir a utilização das
TICs em praticamente todos os processos desenvolvidos.
Outro objetivo específico proposto nesta pesquisa foi relacionado à análise
dos PCNEM e de livros didáticos de Matemática e Física, quanto à abordagem
desse tipo de atividade. Os conteúdos Função Quadrática, Exponencial e
Trigonométrica são apresentados com metodologia semelhante nas obras de
Matemática, não apresentando associação direta com a Modelagem Matemática e
as tecnologias utilizadas nesta pesquisa. Os livros de Física exploram pouco essas
Funções nos conteúdos relacionados às atividades.
Com a análise dos PCNEM, identificou-se características semelhantes às
apresentadas pelos autores estudiosos da Modelagem Matemática no ensino e em
acordo com as análises dos resultados alcançados com a aplicação das atividades,
que, além de proporcionar a contextualização e interdisciplinaridade, trazendo
significado ao conhecimento escolar estudado, promoveu o incentivo à pesquisa, já
que o aluno não tinha um conteúdo pré-estabelecido a ser estudado. Todas as
etapas, desde a realização do experimento e a descrição do conteúdo a ser utilizado
até a solução final, foram desenvolvidas pelo estudante-pesquisador, sujeito da
pesquisa.
Assim, verificou-se que as atividades elaboradas, de fato, posicionaram o
aluno no centro do processo de ensino-aprendizagem, é dele a atribuição de buscar
informações para resolver os problemas, tendo o professor como orientador,
interferindo apenas quando necessário.
Naturalmente, essas características não se concretizaram durante todo o
desenvolvimento da pesquisa, principalmente na primeira atividade, em que os
alunos não estavam habituados a esse tipo de proposta. Houve a necessidade de
uma explicação praticamente contínua do docente durante o desenvolvimento das
etapas, não permitindo, ainda, sua descentralização no processo. Ademais, nem
121
todos os alunos tinham domínio razoável sobre os conteúdos trabalhados, por isso,
algumas equipes precisaram de interferências e explicações nos processos
desenvolvidos
com
mais
frequência
que
outras.
Mesmo
diante
dessas
considerações, a proposta de desenvolvimento de autonomia e raciocínio sobressaiu
em relação à defasagem de conteúdo de alguns alunos.
Nem todos os grupos apresentaram modelos e conclusões fiéis à situação
física proposta, contudo, tal situação não descaracterizou os anseios desta pesquisa
qualitativa, que, em conformidade com Lüdke e André (1986), estão associados não
somente ao resultado final, mas à observação dos métodos utilizados para se obter
uma solução, isto é, ao processo de sua construção.
Assim, com a Modelagem de problemas físicos, almejou-se a concretização
de uma proposta eficaz e motivadora de ensino-aprendizagem em Matemática,
dando, desse modo, significado a alguns conceitos matemáticos, permitindo ao
aluno oportunidades de desenvolver capacidades de interpretação, autonomia,
enfatizando a aprendizagem do conteúdo matemático.
122
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126
APÊNDICE
PRODUTO DA DISSERTAÇÃO
1
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
Área de Concentração: Matemática
Caderno de Atividades de Matemática Utilizando Modelagem de Fenômenos
Físicos
Mestrando: Daniel Guimarães Silva
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte – MG
2013
2
Apresentação
Este caderno de atividades foi elaborado com o objetivo de servir como
material de apoio ao estudo das Funções Quadrática, Exponencial e Trigonométrica
Seno ou Cosseno no contexto de alguns Fenômenos Físicos desenvolvidos em
laboratório.
Ele foi criado no intuito de fornecer uma alternativa de ensino dos conteúdos
matemáticos citados, de forma contextualizada e motivadora, por meio da
Modelagem Matemática de Fenômenos Físicos, destinado aos alunos da terceira
série do Ensino Médio integrado aos cursos técnicos de Informática e Administração
do Instituto Federal do Norte de Minas Gerais, campus Pirapora.
Neste material são apresentadas uma introdução relacionada ao processo de
Modelagem Matemática, seguida de uma ambientação dos principais equipamentos
do laboratório, além de um conjunto de quatro atividades de Matemática. As duas
primeiras têm como principal objeto de estudo a Função Quadrática, sendo a
primeira com a Modelagem do movimento de um corpo com aceleração constante, e
a segunda com a Modelagem do movimento de um corpo em queda livre. A terceira
está no contexto do estudo da Função Exponencial, modelando matematicamente a
carga presente em um capacitor em função do tempo, que está conectado a um
resistor num circuito elétrico. A quarta atividade objetiva o estudo das Funções
Trigonométricas Seno ou Cosseno, fazendo a Modelagem Matemática de um
movimento harmônico simples de um corpo. Além das Funções citadas, são
estudados os conteúdos Sistemas Lineares, Equações Exponenciais, Logaritmo e
Equações Polinomiais.
São utilizados os softwares GeoGebra, Excel e o CidepeLab, que é específico
para uso de determinados equipamentos do laboratório.
3
SUMÁRIO
Introdução ..................................................................................................................... 4
Principais equipamentos do Laboratório ................................................................. 5
Experimentação ............................................................................................................ 6
Atividades sobre Função envolvendo Modelagem de Fenômenos Físicos ...... 10
Atividade 1................................................................................................................. 10
Atividade 2................................................................................................................. 15
Atividade 3................................................................................................................. 19
Atividade 4................................................................................................................. 29
4
Prezado aluno, este conjunto de atividades é parte integrante de um projeto
de pesquisa de Mestrado cujo objetivo é trabalhar o ensino de algumas funções
matemáticas utilizando a Física como motivação.
Para fazer essa interação entre Matemática e Física, será utilizado um
processo denominado Modelagem Matemática.
Introdução
A palavra Matemática, do grego Mathema, está associada aos termos ciência,
conhecimento e aprendizagem. Matemática é a ciência do raciocínio lógico e
abstrato, que, além de estudar quantidades, medidas, espaços, estruturas e
variações, tem o objetivo de procurar por padrões, formular conjecturas,
estabelecendo novos resultados. Assim, outras ciências, como a Física, utilizam a
Matemática como linguagem, estruturando seus conceitos, fazendo previsões e
conclusões.
A Modelagem Matemática é um processo utilizado para a obtenção e
validação de Modelos Matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com
a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na
arte de transformar situações da realidade ou de outras áreas em problemas
matemáticos, que são interpretados para a solução de tais situações.
Portanto, serão selecionados alguns fenômenos físicos, os quais serão
trabalhados matematicamente e, assim, conclusões serão feitas sobre o resultado
alcançado.
Situação Inicial
Matemática
Problema Físico
Situação Final
Modelagem
Conclusões Obtidas sobre o
Problema Físico
Uma atividade de Modelagem Matemática envolve algumas fases, que são
necessárias para configuração, estruturação e para obter as conclusões sobre a
situação estudada. Serão trabalhadas as seguintes fases:
5
1
Inteiração
Nesta fase, informações são estudadas, objetivando a familiarização com o
tema para o desenvolvimento de todo o trabalho.
2
Matematização
Nela é feita a formulação do problema por meio da linguagem matemática,
levantando hipóteses necessárias para a efetivação da fase seguinte.
3
Resolução
Busca-se a construção de um modelo matemático para a solução do
problema.
4
Interpretação de resultados e validação
É feita uma avaliação sobre o modelo construído, verificando sua eficácia
em relação ao que foi proposto inicialmente.
Como mencionando inicialmente, será feito um trabalho com o objetivo de
estudar o conteúdo matemático Função, portanto, todas as análises matemáticas
serão sobre esse conteúdo. Uma das maneiras de representação de uma Função
são as fórmulas e gráficos, os quais serão utilizados neste trabalho. Dessa forma,
em todas as atividades temos o objetivo de encontrar uma fórmula e um gráfico que
representem a situação estudada.
Principais Equipamentos do Laboratório
Sensor de posição
Obtém a distância entre ele e um objeto em função do tempo,
operando numa faixa de 0,4 a 1,5m. Possui um cabo para se
interligar à interface.
Interface
Coleta os dados obtidos pelo sensor de posição, extraindoos para o computador. Conecta-se ao computador via cabo
USB.
Computador
6
Os dados recebidos pelo sensor e captados pela interface são
trabalhados
no
computador
por
um
software
denominado
CidepeLab. Nele, as informações são organizadas em forma de
tabela ou gráfico, cujos dados podem ser exportados para outros ambientes,
como o Excel.
Experimentação
O trabalho com o software CidepeLab e com os equipamentos é bastante
simples, vamos fazer uma demonstração de como eles funcionam através de uma
experimentação.
Equipamentos necessários
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
 01 interface;
 01 computador.
Conexão dos equipamentos
1
2
3
Encaixe o sensor de posição na haste.
Interligue o cabo do sensor de posição em qualquer uma das 4 entradas frontais
da interface.
Interligue a interface ao computador pelo cabo USB (a entrada de cabo USB da
interface encontra-se na parte traseira).
Ligue a interface a uma tomada, observando a tensão da tomada e a permitida
pelo equipamento. O conjunto de equipamentos deve ficar semelhante à figura
abaixo:
4
7
Configuração do software CidepeLab
Abra o programa CidepeLab, que possui o seguinte ambiente:
Menu
principal
Janela de
configuração
1
Janela de
ferramentas
Área de
Trabalho
Para iniciar o experimento, deve-se habilitar o sensor de posição. Para isso,
clique no comando Controle de Sensores, presente no menu principal, e
perceberá que existem duas opções: Habilita Sensor e Desabilita Sensor.
2
Verifique se a opção Habilita Sensor é a que está marcada e observe a lista de
sensores disponíveis, como Luminosidade, Posição, Força, Pressão etc. Clique
em Posição e, em seguida, na opção Habilita Sensor e você perceberá que a
palavra Posição se encontra no espaço direito da janela, ou seja, o sensor já
está instalado, portanto, clique na opção Fechar.
Clique agora no comando Configurar, também presente no menu principal,
3
clicando em seguida na opção Equipamentos. Aparecerá uma janela com 3
seções.
4
Na seção Interface, verifique se o modelo marcado é o LAB200.
Na seção Sensores, verifique se o modelo posição, que habilitamos
anteriormente, encontra-se ativo e na seção Conexões de Sensores. Clique na
palavra Posição, presente na lista de sensores analógicos e, em seguida,
5
selecione o canal 1, 2, 3 ou 4 presente na tabela do lado direito da janela, de
acordo com o número da entrada frontal da interface que o sensor de posição
foi conectado. Depois de selecionado o canal, clique em Adicionar. Verifique se
a palavra Posição encontra-se na tabela no canal que foi selecionado.
6
Feche a janela.
Para captar algum movimento pelo sensor de posição, deve-se usar a
7
ferramenta Osciloscópio, presente na janela de ferramentas. Para ativar essa
ferramenta, arraste a palavra Osciloscópio para a área de trabalho, mantendo
pressionado o botão esquerdo do mouse. Observe que uma janela foi aberta.
8
O sensor de posição no osciloscópio deve ser habilitado, para isso, clique no
símbolo “+”, à esquerda da palavra Sensores, presente na janela de
8
configuração. Aparecerá a palavra Posição, arraste-a para a janela do
osciloscópio que foi aberta. Com isso, o sensor de posição estará habilitado
para uso no programa CidepeLab.
Para verificar ou modificar as propriedades do sensor de posição, clique no
9
quarto ícone (Propriedades), presente na parte superior da janela do
osciloscópio. Clicando nele, aparecerá uma nova janela: Parâmetros do
Osciloscópio.
10
Clique no espaço destinado ao Nome e altere o título semNome para Atividade
Teste.
Em Parâmetros de Aquisição, marque 15s (segundos) em Tempo Total e 10ms
11
(milésimos de segundos) em Amostragem. Significa que o experimento terá
duração de 10s e que os dados serão coletados a cada 5 milésimos de
segundo.
E na opção Escala do Sensor, aparecerá o valor mínimo e o valor máximo que o
12 sensor de posição irá captar no movimento. Como os alcances mínimo e
máximo do sensor são 0,4 e 1,5m, esses dados serão mantidos.
13 Feche a Janela.
Realização do experimento.
1
2
Ligue a interface através do interruptor presente na sua parte traseira.
Pegue um objeto qualquer, um livro, por exemplo, posicione alinhado ao sensor
de posição a uma distância de 0,4m aproximadamente.
Afaste o livro do sensor de presença lentamente, a uma velocidade
3
praticamente constante. Para que o sensor capte esse movimento, é necessário
habilitar o osciloscópio, clicando no primeiro ícone e sua janela.
4
Salve o experimento clicando no quinto ícone da janela do osciloscópio.
Clicando no símbolo “+”, à esquerda da palavra Curvas, presente na janela de
5
configuração, aparecerá o nome do experimento que você salvou: “Atividade
Teste”.
Exportação dos dados do experimento para a tabela ou gráfico
1
Para visualizar a tabela e o gráfico, arraste as palavras Gráfico e Tabela,
presentes na janela de ferramentas, para a área de trabalho.
9
2
Arraste o nome do experimento feito, Atividade Teste, para o gráfico e depois
para a tabela, obtendo os dados captados.
Transferência dos dados da tabela para o Excel
Os dados presentes na tabela podem ser copiados para outros ambientes,
como o Excel. Vamos selecionar apenas os dados expressivos. Para tanto,
1
devem ser observadas as distorções discrepantes por meio do gráfico,
provavelmente no início ou final do movimento. Ou seja, selecione na tabela
apenas a partir dos valores que, no gráfico, se mostram confiáveis, até um valor
que você acha importante ser observado.
2
Clique no quinto ícone presente na parte superior da janela da tabela.
3
Abra o programa Excel e cole os dados normalmente.
Crie um gráfico através do Excel, clicando em: Inserir – Dispersão.
Clique com o botão direito do mouse em cima do gráfico e selecione Adicionar
4
Linha de Tendência, provavelmente o formato de seu gráfico ficou semelhante a
uma reta. Portanto, selecione o item Linear, que vai indicar uma reta de
tendência dos pontos. Para mostrar a equação dessa reta, marque a opção
Exibir Equação no Gráfico na parte inferior da janela. Feche a janela.
5
Foi obtida, então, a equação de uma reta que indica aproximadamente a
posição indicada por um corpo em função do tempo.
Figuras da representação dos experimentos no CidepeLab e Excel
10
Atividades sobre Função envolvendo Modelagem de Fenômenos Físicos
Atividade 1
Análise do movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante
Objetivo
Estudar Função através do movimento retilíneo de um corpo com aceleração
constante.
Metodologia
Seja um corpo (carro com aceleração constante), será feita uma análise
matemática sobre seu movimento, considerando a posição do objeto em função
do tempo.
Situação inicial
Movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante.
Inteiração
Como já mencionado, nesta etapa acontece a familiarização com a situação.
Nela vai ocorrer o primeiro contato com a situação-problema, em que será
formulado o problema e definidas as metas almejadas.
Recordando na Física
O conceito de aceleração está sempre relacionado a uma mudança na
velocidade. Se o movimento de um corpo for variado, o valor da velocidade v1
no instante t1 será diferente do valor de uma outra velocidade v2 num instante
qualquer t2. Isto é, durante o intervalo de tempo Δt = t2 – t1, a velocidade sofreu
uma variação Δv = v2 – v1.
Um movimento em que a variação da velocidade em cada intervalo igual de
tempo Δt é constante, ou seja, no qual a aceleração é constante, é denominado
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
Livro: Física Ensino Médio
Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga, São Paulo: Scipione, 2005, p. 49-50, v. 1.
Os componentes necessários para essa experimentação serão
 01 computador;
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
11
 01 interface;
 01 carro de retropropulsão.
Serão utilizados os softwares
 CidepeLab;
 Excel;
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
necessários
e comentários
importantes
devem
ser
explicitados;
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra e Excel devem ser salvas
como “Atividade 1”;
 No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas
decimais.
Procedimentos do experimento
Posicione o carro de retropropulsão alinhado ao sensor de presença,
distante 30cm dele. Veja a figura abaixo.
1
2
Salve a atividade a ser feita como “Atividade 1” no software CidepeLab.
Inicie a análise dos dados, regulando a aquisição de dados na janela do
3
osciloscópio, de maneira que os dados sejam captados a cada 100ms em
um tempo de 10s.
4
Exporte os dados para a tabela.
Verbalize a meta dessa atividade.
5
Matematização e resolução
1
Sabendo que está sendo observado o movimento de um corpo com
12
aceleração constante, responda, com base em seus conhecimentos de
Física, qual tipo de função matemática melhor representa o deslocamento
do objeto em relação ao tempo.
2
Escreva a fórmula geral desse tipo de Função.
Defina as variáveis dependente e independente e indique o que cada uma
3
representa no problema.
Variável independente:
Variável dependente:
Quantos pontos do experimento são suficientes para obter os coeficientes
4
da fórmula geral descrita no item 2?
5
Gere o gráfico do experimento no programa CidepeLab.
Observando o gráfico obtido e os dados da tabela, selecione esses pontos
6
do experimento. Faça essa escolha cuidadosamente, não utilizando pontos
que fujam do padrão do movimento.
Utilize cálculos manuais para obtenção da fórmula desejada.
7
13
8
9
Escreva a lei da Função obtida.
Trace seu Gráfico no GeoGebra.
Interpretação e validação
Observando o gráfico obtido no CidepeLab, desconsidere os pontos iniciais
1
e finais que fogem do padrão e exporte da tabela obtida do CidepeLab para
o Excel todos os outros pontos obtidos no experimento.
2
Gere no Excel o gráfico de tendência dos pontos e sua equação.
3
Obtenha no GeoGebra o gráfico da fórmula adquirida no Excel.
Compare os dois gráficos no intervalo em que acontece a experimentação.
Eles
demonstram uma tendência semelhante? Comente sobre os
resultados alcançados.
4
Retomando os processos de matematização e resolução
Faça o mesmo processo, a partir do item 6, utilizando outros pontos e
verificando a possibilidade de obtenção de um gráfico mais próximo do
elaborado no Excel no intervalo desejado.
Sugestões:
5.1
 Para agilizar o trabalho, utilize o software GeoGebra para os
cálculos do item 7, em que se tem um sistema linear de três
incógnitas e três equações.
5
 Elimine uma das três incógnitas somando as equações duas a
duas, chegando a sistema de ordem dois. Resolva-o no GeoGebra.
Descreva abaixo os pontos selecionados e a fórmula obtida por cada
conjunto de pontos.
5.2
14
6
Escreva abaixo a fórmula cujo gráfico é mais preciso no intervalo desejado.
Questões a serem respondidas
Através da última fórmula do item anterior, informe a aceleração do
objeto.
7.1
Qual distância o objeto percorreria no intervalo de 1 hora?
7
7.2
Obtenha a velocidade média do objeto, a partir do instante inicial, se
ele tivesse percorrido uma distância em um intervalo de 2min.
7.3
Situação final
15
Atividade 2
Análise do movimento de um corpo em queda livre
Objetivo
Estudar Função através do movimento de um corpo em queda livre.
Metodologia
Um
objeto
(bola
de
plástico)
será
desprendido
de
uma
estrutura,
caracterizando, então, um movimento em queda livre. Será feita uma análise
matemática sobre seu movimento, considerando a posição do objeto em função
do tempo.
Nessa atividade, você desenvolverá o processo de Modelagem Matemática
com maior autonomia, descrevendo todo o processo de maneira clara e
detalhada.
Situação inicial
Movimento de um corpo em queda livre.
Inteiração
Recordando na Física
Se um objeto for arremessado para cima ou para baixo e se, de alguma forma,
puder ser eliminado o efeito do ar sobre o movimento, pode ser observado que
o objeto sofre uma aceleração constante para baixo, conhecida como
aceleração em queda livre, cujo módulo é representado pela letra g. O valor
dessa aceleração não depende das características do objeto, como massa,
densidade e forma; ela é a mesma para todos os objetos.
Livro: Fundamentos de Física
David Halliday e Robert Resnick, Rio de Janeiro: LTC, 2008, p. 27, v. 1.
Os componentes necessários para essa experimentação serão
 01 computador;
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
 01 interface;
 01 cabeçote superior acoplado com 01 retenção eletromagnética;
 01 corpo de prova esférico (bola de plástico com ponto de metal).
Serão utilizados os softwares
16
 CidepeLab;
 Excel;
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
necessários
e comentários
importantes
devem
ser
explicitados;
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra e Excel devem ser salvas
como “Atividade 2”.
 No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas
decimais.
Procedimentos do experimento
1
Posicione o cabeçote eletromagnético ao cesto a haste, para que a bola
caia exatamente nele. Veja figura abaixo.
Alinhe o sensor de posição ao cesto da haste. O conjunto de equipamentos
deve ficar semelhante à figura abaixo.
2
3
4
Salve a atividade a ser feita como “Atividade 2” no software CidepeLab.
Ligue o sensor de posição e regule a aquisição de dados do osciloscópio
para captar os dados a cada 25ms em um tempo de 3s.
5
Ative o osciloscópio e solte o objeto (bola de plástico).
6
Exporte os dados para a tabela.
7
Verbalize a meta dessa atividade.
17
Matematização e resolução
Tomando como base seus conhecimentos em Física, qual tipo de função
1
matemática melhor representa, em relação ao tempo, a posição de um
objeto em queda livre?
Utilize o mesmo processo da atividade anterior para obter a fórmula que
modela a situação do experimento.
Orientações:
 Descreva detalhadamente todas as etapas seguidas.
 Utilize o GeoGebra para os cálculos, quando necessário.
2
3
4
Escreva a lei dessa Função.
Trace seu gráfico no GeoGebra.
Interpretação e validação
Faça a análise da fórmula obtida, avaliando sua validade em relação ao
1
problema de queda livre.
18
Retome os processos de matematização e resolução, se necessário
2
3
Escreva abaixo a fórmula cujo gráfico é mais preciso no intervalo desejado.
Questões a serem respondidas
Qual o valor da aceleração gravitacional local, de acordo com a
fórmula obtida?
7.1
7
A partir da equação que modela o fenômeno, em que instante a bola
7.2
tocaria o solo?
Situação final
19
Atividade 3
Análise da carga e descarga de um capacitor
Objetivo
Estudar Função através da análise do carregamento e descarregamento de um
capacitor.
Metodologia
Através de um circuito RC, conectando-se a uma fonte de tensão, um resistor e
um capacitor inicialmente descarregado, será feita uma análise matemática
sobre a diferença de potencial presente no capacitor ao carregá-lo e ao
descarregá-lo.
Situação inicial
Carregamento e descarregamento de um capacitor num circuito RC.
Inteiração
Recordando na Física
O Capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia elétrica. Uma
forma de carregar um capacitor é colocá-lo em um circuito elétrico com uma
bateria.
Circuito elétrico é um caminho fechado que pode ser percorrido por uma
corrente elétrica.
Um circuito RC em série é formado por um capacitor, uma fonte ideal e uma
resistência R.
Quando a chave S é colocada na posição a, o
capacitor é carregado. Mais tarde, quando a chave é
colocada na posição b, o capacitor é descarregado
através do resistor.
No momento em que o circuito é completado, cargas
começam a se mover (surgem correntes) no circuito. Essas correntes
acumulam uma carga q cada vez maior nas placas do capacitor e estabelecem
uma diferença de potencial VC (= q/C) entre as placas do capacitor.
Livro: Fundamentos de Física
David Halliday e Robert Resnick, Rio de Janeiro: LTC, 2008, p. 111, 112 e 128,
v. 3.
20
Os componentes necessários para essa atividade serão
 01 quadro eletroeletrônico;
 01 resistor de 150kΩ;
 01 capacitor de 1000µF;
 01 chave liga-desliga;
 01 chave de desvio;
 04 cabos vermelhos flexíveis com pinos de pressão para derivação;
 03 cabos pretos flexíveis com pinos de pressão para derivação;
 01 fonte de tensão (tipo EQ030C, EQ030F);
 01 cronômetro;
 01 multímetro;
 01 computador;
 01 calculadora científica.
Será utilizado o software
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
necessários
e comentários
importantes
devem
ser
explicitados;
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra devem ser salvas como
“Atividade 3”.
 No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas
decimais.
Procedimentos do experimento
Encaixe no quadro eletrônico o resistor e o capacitor, conforme a figura
abaixo.
1
Resistor
Entre os bornes D1 e E1.
Capacitor
Entre os Bornes F1 e F2.
2
As conexões com os outros equipamentos devem ser feitas através dos
21
cabos flexíveis, de acordo com a seguinte imagem.
Chave liga-desliga
Borne 2 da chave interligado ao borne positivo da fonte.
Chave de desvio
Borne I da chave no borne C1 do painel.
Borne III da chave no borne E2 do painel e ao borne negativo da fonte.
Voltímetro
Conexão vermelha no borne G1 do painel.
Conexão preta no borne G2 do painel.
A figura abaixo mostra o esquema elétrico do circuito RC.
3
O multímetro (ligado na função voltímetro, para medir a diferença de
potencial) está conectado de modo a medir a diferença de potencial nos
terminais do capacitor.
4
5
6
Verifique se o capacitor está totalmente descarregado antes de iniciar o
experimento.
Coloque a chave de desvio na posição I-II, a chave liga-desliga na posição
neutra (posição 1) e ajuste a fonte para 10 VCC.
Para realizar a carga do capacitor, o cronômetro deve ser disparado ao
mesmo tempo em que a chave liga-desliga.
22
Para observar os dados, serão necessários dois alunos. Um deve observar
7
o tempo no cronômetro a cada 15 segundos e informar ao outro, para que
ele anote na tabela apresentada a diferença de potencial presente no
capacitor (VC), mostrada no multímetro naquele instante.
Após o tempo de 300 segundos, o aluno que estiver anotando os dados
8
deve rapidamente acionar a chave de desvio para a posição I-III, para que
o capacitor comece a ser descarregado. A observação deve continuar no
instante seguinte, ou seja, no tempo 315 segundos.
Ligue o circuito e o cronômetro e anote os dados na tabela seguinte.
t (s)
9
VC (V)
Carga
t (s)
0
300
15
315
30
330
45
345
60
360
75
375
90
390
105
405
120
420
135
435
150
450
165
465
180
480
195
495
210
510
225
525
240
540
255
555
270
570
285
585
300
600
VC (V)
Descarga
23
Verbalize a meta dessa atividade.
10
Matematização e resolução
Primeiro será feita a análise do processo de descarga do capacitor.
Descarga do capacitor
1
Descreva todos os 21 pontos adquiridos com a descarga do capacitor no
GeoGebra.
A Função que contém esses pontos é Crescente ou Decrescente?
2
Justifique.
Dentre
3
as
Funções
Afim, Quadrática, Exponencial, Logarítmica e
Trigonométrica, qual tipo descreve melhor a tendência desses pontos?
Escreva a definição do tipo de Função citada no item anterior (fórmula geral
4
e condições de existência).
Pela fórmula geral apresentada acima, qual a condição para que a Funç ão
5
seja Crescente ou Decrescente?
A Função desejada é originada a partir de uma Função cuja base é o
número irracional e.
Atribui-se a John Napier (1550-1617) a descoberta do número de Neper. É
6

1
um número irracional obtido através do valor da expressão  1  
n 

n
para
valores muito grandes de n, sendo e = 2,7182818284590452353602874...
Esse número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço
Leonhard
Euler
(1707-1783),
um
dos
primeiros
a
estudar
suas
propriedades. Ele é importante em quase todas as áreas do conhecimento:
24
Economia, Engenharia, Biologia, Sociologia.
A Função Exponencial, ex, cuja base é o número de Neper, modela
fenômenos de importância vital nos mais variados campos da ciência:
físico-químicas,
biológicas,
econômicas,
agronômicas,
geográficas,
médicas, sociais.
O número e é um número irracional, mas de uma categoria diferente de
2 por exemplo. Enquanto
2 pode ser raiz de um polinômio, o número e
não pode ser raiz de polinômios de coeficientes inteiros: diz-se um número
irracional transcendente.
Pelas suas propriedades particulares, o número e tem sido usado como
base de logaritmos privilegiados em Matemática Superior, embora a base
10 seja a mais usada em aplicações práticas. A base de logaritmos
inventada por Neper, que era muito complicada, fazia intervir o número e,
pelo que este continua a chamar-se “número de Neper” e os logaritmos de
base e logaritmos “neperianos” ou “naturais”.
Assim, podemos escrever: lo g 1 0 x  lo g x e lo g e x  ln x .
Livro: Modelagem Matemática na Educação Básica
Lourdes Almeida, Karina Silva e Rodolfo Vertuan, São Paulo: Contexto, p.
121
A fórmula da Função que contempla a situação da descarga do capacitor
não é puramente a do tipo descrita no item 4. É a fórmula do tipo do item 4,
com base e, multiplicada por uma constante a e tendo sua variável
7
independente multiplicada por uma constante b.
Escreva, então, com as constantes a e b, a fórmula que representa a
Função desejada.
Distinga as variáveis dependente e independente e o significado de cada
uma no problema.
8
Variável independente:
Variável dependente:
9
Dentre os 21 pontos digitados no GeoGebra, selecione a quantidade
necessária para adquirir o valor dos coeficientes a e b. Lembre-se de que
25
essa escolha deve ser criteriosa.
Através de cálculos manuais e com o auxílio da calculadora científica,
obtenha os valores de a e b.
Observações:
 A calculadora científica possui as teclas “e” e “ln”, que representam
respectivamente o número irracional de Neper e o logaritmo de base e.
 Procure não fazer arredondamentos.
10
Escreva a lei da Função obtida.
11
12
Trace seu gráfico no GeoGebra.
Interpretação e validação
O gráfico obtido contempla a tendência dos 21 pontos ? Se necessário,
procure selecionar outros pontos, objetivando encontrar uma fórmula cujo
gráfico seja mais preciso, refazendo o item 10 do tópico de matematização
e resolução.
1
26
Faça comentários sobre a fórmula e o gráfico obtidos no contexto do
2
problema (descarga de um capacitor).
Matematização e resolução
Carga do capacitor
1
Descreva todos os 21 pontos obtidos através da carga do capacitor no
GeoGebra.
A Função que contém esses pontos é Crescente ou Decrescente?
2
Justifique.
A fórmula que descreve a carga do capacitor em função do tempo é do
3
tipo y  a  1  e b x   a  a e b x . Sendo a e b constantes e y a variável
dependente que representa a carga presente no capacitor em função da
variável independente x que indica o tempo.
Dentre os 21 pontos digitados no GeoGebra, selecione a quantidade
4
necessária para identificar o valor dos coeficientes a e b. Lembre-se de que
essa escolha deve ser criteriosa.
Através de cálculos manuais e com o auxílio da calculadora científica e do
GeoGebra, obtenha os valores de a e b.
Sugestões:
5
 Isole a incógnita a nas equações e obtenha uma equação fracionária
em função de b.
 Note que os denominadores de ambos os membros da equação
apresentam uma subtração entre um número real e uma potência de
27
base e com expoentes diferentes. Faça com que essas duas potências
de base e fiquem iguais, decompondo seus expoentes de maneira que
se tenha potências iguais.
4
3
Por exemplo: e 8 b   e 2 b  e e 6 b   e 2 b  .
 Faça uma substituição da potência por uma incógnita qualquer,
chegando, assim, a uma equação polinomial.
Por exemplo: substitua e 2 b p o r x , o b te n d o : e 8 b  x
4
e e
6b
 x
3
.
 Resolva a equação polinomial com o auxílio do GeoGebra (para não
atrapalhar o problema, abra uma outra janela).
 Volte na substituição feita, apresentando os valores de a e b.
6
Escreva a lei da Função obtida.
7
Trace seu gráfico no GeoGebra.
Interpretação e validação
O gráfico obtido contempla a tendência dos 21 pontos? Se necessário,
1
procure selecionar outros pontos, objetivando encontrar uma fórmula cujo
gráfico seja mais preciso, refazendo o item 5 do tópico de matematização e
resolução.
28
Faça comentários sobre os impactos ocorridos no gráfico da Função
x
Exponencial de fórmula y  e até ela se tornar a Função que modela o
problema. Se necessário, explique fazendo esboços de gráficos a cada
transformação.
2
Faça comentários sobre a fórmula e o gráfico obtidos no contexto do
3
problema (carga de um capacitor).
Situação final
29
Atividade 4
Análise do movimento harmônico simples de um corpo
Objetivo
Estudar Função através do movimento harmônico simples de um corpo.
Metodologia
Seja uma bola de isopor, será feita sua rotação através de um aparelho que
mantém a velocidade do giro constante. Apesar de se ter um movimento
circular bidimensional da bola de isopor, será feita a análise apenas do
movimento em uma dimensão, um estudo sobre um movimento harmônico.
Situação inicial
Movimento harmônico simples de um corpo.
Inteiração
Recordando na Física
Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento
periódico ou movimento harmônico.
Livro: Fundamentos de Física
David Halliday e Robert Resnick, Rio de Janeiro: LTC, 2009, p. 88, v. 2
Os componentes necessários para essa experimentação serão
 01 computador;
 01 sensor de posição;
 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena;
 01 interface;
 01 aparelho para rotação;
 01 corpo de prova esférico (bola de isopor).
Serão utilizados os softwares
 CidepeLab;
 GeoGebra.
Observações
 Os
cálculos
necessários
e comentários
importantes
explicitados;
 Todas as etapas realizadas no GeoGebra devem ser salvas.
devem
ser
30
Procedimentos do experimento
1
2
Encaixe a bola de isopor no aparelho de rotação, deixando-a mais à
esquerda possível do aparelho.
Posicione o sensor de posição à esquerda do aparelho de rotação alinhado
à bola de isopor distante, 50cm dele.
Interligue o sensor de posição à interface e a interface ao computador.
O conjunto de equipamentos deve ficar semelhante à figura abaixo.
3
4
5
6
7
8
Ao se ligar o aparelho de rotação, obter-se-á a distância que a bola se
encontra do sensor de presença em função do tempo.
Regule o aparelho de rotação na velocidade seis.
Regule a aquisição de dados na janela do osciloscópio, de maneira que os
dados sejam captados a cada 100ms, durante um tempo de 15s.
Ligue o aparelho de rotação e, em seguida, o osciloscópio no software
CidepeLab. Inicie a análise dos dados.
Exporte os dados para a tabela.
Com a experimentação feita, escreva a meta dessa atividade.
9
Matematização e resolução
Analise os dados da tabela e descreva o que acontece com a posição da
1
2
3
bola em relação ao sensor de presença, à medida que se aumenta o
tempo.
Qual tipo de função matemática pode representar essa situação?
Faça as seguintes definições sobre a Função que será estudada.
31
Variável independente:
Variável dependente:
Para fazer o trabalho de Modelagem Matemática, serão selecionados
alguns pontos importantes que descrevem a tendência do movimento.
Essa escolha é criteriosa, portanto, deve-se tomar cuidado para não utilizar
pontos atípicos, que fogem do padrão esperado. Para que o modelo seja o
mais preciso possível, provavelmente, será necessário fazer algumas
4
aproximações nos valores dos pontos, senão, será impossível padronizar o
movimento no tipo de Função desejada.
Portanto, selecione 3 pontos máximos e 3 pontos mínimos. Não há
necessidade de que esses pontos sejam exatamente os da tabela. Faça
ajustes (aproximações de valores), para que eles pertençam ao modelo de
Função estudada.
5
6
Trace os 6 pontos no GeoGebra.
Qual o conjunto imagem da função que contempla esses pontos?
Deve-se, então, procurar a lei de uma Função cujo gráfico siga o
comportamento dos pontos assinalados. Para fazer isso, partiremos da
7
função básica citada no item 2.
Escreva a lei matemática (fórmula) do tipo de Função citada no item 2.
8
9
Trace o gráfico dessa Função no GeoGebra.
Qual seu conjunto imagem?
Chama-se de amplitude desse tipo de função a metade da diferença entre
10 os pontos máximo e mínimo. Então, qual a amplitude dessa Função?
Se a lei da Função for multiplicada por uma constante positiva “c”, qual
11
será a amplitude da Função gerada? (Caso necessário, faça testes com
números quaisquer no GeoGebra).
12 E seu conjunto imagem?
32
Apenas multiplicando a lei da Função do item 7 por uma constante positiva,
13
obtenha a lei de uma Função com mesma amplitude da Função desejada
(Função que contempla os 6 pontos selecionados).
14 Trace o gráfico dessa nova Função no GeoGebra.
O que deve ser feito com a lei dessa nova Função para que ela atinja a
mesma altura da Função desejada? Escreva a fórmula dessa nova Função
15
16
e trace o seu gráfico no GeoGebra.
Qual o período dessa Função?
O que deve ser feito na lei dessa Função para modificar seu período?
17
18
Descreva como acontece esse processo.
Qual o período da Função desejada?
Como ficaria a lei de uma outra Função com o mesmo período da Função
desejada, aplicando o processo descrito no item 17 na lei da função do
19
item 13?
20 Trace no GeoGebra o gráfico dessa outra Função.
Caso o gráfico ainda não contemple os 6 pontos almejados, deve haver um
deslocamento horizontal. Ou seja, uma constante “k” deve ser adicionada
21
na fórmula do item 19. Acrescente essa constante “k” no local adequado na
lei dessa Função e descreva como se procede a alteração (confirme sua
resposta fazendo testes no GeoGebra).
33
Obtenha o valor de “k” substituindo um dos 6 pontos do experimento na
fórmula do item anterior.
22
23 Escreva a lei dessa Função.
24 Trace seu gráfico no GeoGebra.
Interpretação dos resultados e validação
Verifique a validade da fórmula obtida para outros casos. Faça um teste
com alguns valores utilizando a fórmula e comparando o resultado com os
1
dados reais presentes na tabela construída com o experimento.
Situação final