Revista LOGOS, n. 14, 2006.
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A MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE FÍSICA
NO ENSINO MÉDIO
LOZADA1, Cláudia de Oliveira; ARAÚJO 2, Mauro Sérgio Teixeira de;
MORRONE 3, Wagner; AMARAL 4, Luiz Henrique
1,2,3,4
Universidade Cruzeiro do Sul ( UNICSUL), SP
[email protected]
[email protected]
RESUMO
As dificuldades matemáticas que os alunos
enfrentam certamente podem interferir na
aprendizagem em Física, em virtude de
não conseguirem desenvolver os modelos
matemáticos necessários para resolver os
problemas de Física. Os professores de
Física devem ficar atentos para identificar
tais dificuldades e buscar estratégias de
ensino que proporcionem as habilidades
básicas
necessárias
para
o
desenvolvimento dos modelos matemáticos
aplicados à Física, bem como preocuparse com a forma com que os alunos
desenvolvem a modelagem. Ademais,
alguns problemas possuem uma aspecto
matemático relativamente simples e
envolvem uma matemática elementar
(Biembengut & Hein, sd:1)
Nesse sentido, este trabalho busca discutir
e evidenciar a importância dos modelos
matemáticos para o Ensino de Física,
particularmente no Ensino Médio, em
virtude dos fracassos apresentados pelos
alunos na resolução de problemas em
Física, os quais frequentemente exigem a
elaboração de modelos matemáticos.
Dessa forma, são tecidas algumas
considerações e reflexões em relação ao
desenvolvimento dos modelos matemáticos
no Ensino de Física para o Ensino Médio,
destacando-se a relevância de um trabalho
interdisciplinar entre Matemática e Física,
com base em uma pesquisa qualitativa
preliminar realizada com professores de
Física.
Palavras- chave: Matemática, Educação
Matemática,
Modelos
Matemáticos,
Ensino de Física
INTRODUÇÃO
A Matemática é considerada uma
importante ferramenta para o Ensino de
Física uma vez que proporciona a
elaboração de modelos matemáticos que
resultam da interpretação dos problemas
que expressam situações envolvendo
fenômenos físicos.
Campos (2000: 10-11) mostra essa
interface entre Matemática e Física ao
afirmar que “ (...) a Matemática é mais do
que
simples
coadjuvante
no
desenvolvimento dos conceitos físicos. Ela
está sempre presente nas atividades
científicas: seja no seu processo ou no seu
produto, seja na definição de uma teoria
científica. Sobre a ligação intrínseca entre
a Física e a Matemática, Hulin (1983)
escreveu que na sua gênese, sua estrutura,
seu
funcionamento,
a
Física
é
indissoluvelmente ligada à mão de obra de
seu formalismo.” E prosseguindo em sua
argumentação, Campos afirma que “A
Física e a Matemática assumem, então,
papéis complementares passando esta a
ser um instrumento de conceituação dos
conteúdos científicos, emprestando-lhes
mais consistência, atuando mais do que um
simples modelo.”
Os modelos matemáticos exercem
um papel relevante em todo o
desenvolvimento da Física, uma vez que
compõem uma tríade fundamental para
esta área da Ciência: a Física, acima de
tudo, apóia-se em formulação de teoria,
elaboração de um modelo matemático
compatível e experimentação. As teorias
em Física, desde a Mecânica Newtoniana
até a Mecânica Quântica expressam-se por
meio de modelos matemáticos, muitos
vezes complexos, cuja transposição
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
didática para o Ensino Médio nem sempre
é possível de realizar-se, resumindo-se ao
seu aspecto conceitual, sem contudo,
perder-se de vista o seu conteúdo.Elaborar
um modelo matemático de situações que
envolvem conceitos físicos no Ensino
Médio exige o domínio de ferramentas
matemáticas básicas como, por exemplo,
as funções de primeiro e segundo graus,
utilizadas em Mecânica para o Movimento
Uniforme
e
para
o
Movimento
Uniformemente Variado. Agregado a esse
fator, outra questão relevante consiste na
interpretação
dos
enunciados
dos
problemas, o que em Física está
intimamente
relacionada
com
o
entendimento dos conceitos físicos, outro
aspecto a se ressaltar, uma vez que os erros
conceituais em Física são constantes no
contexto escolar. Entretanto, o enfoque
exageradamente centrado nos aspectos
formais tende a tornar a aprendizagem um
processo puramente mecânico, reduzido
basicamente à aplicação de fórmulas sem a
devida
significação
dos
conceitos
adjacentes.
No Ensino Médio os modelos
matemáticos aplicados em Física são
modelos adequados à faixa etária dos
alunos, sendo que no Ensino Superior,
como veremos mais adiante, o mesmo
modelo
torna-se
mais
elaborado
considerando outras variantes e exigindo
ferramentas matemáticas mais complexas.
Dessa maneira, este trabalho procura
apontar as relações dos modelos
matemáticos com o ensino de Física e as
dificuldades para que os alunos
desenvolvam a capacidade de elaborá-los e
utilizá-los, destacando o papel de um
trabalho interdisciplinar entre Matemática
e Física. Também são fornecidas algumas
reflexões sobre a Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud e a Teoria dos
Modelos Mentais para os modelos
matemáticos aplicados à Física, sugerindose a adoção de metodologias de ensino
diferenciadas, como a utilização do
software Modellus, visando melhorar a
utilização da modelagem matemática no
ensino de Física, visando propiciar uma
aprendizagem significativa, tendo em vista
3
as dificuldades apontadas por professores
de Física em uma Oficina de Física em
relação ao conteúdo matemático utilizado
pela disciplina.
REFLEXÕES
ACERCA
DA
MODELAGEM MATEMÁTICA, DOS
CAMPOS
CONCEITUAIS
DE
VERGNAUD E DA TEORIA DOS
MODELOS MENTAIS
Bassanezi (2002) apud Ferruzzi et al
(2004: 1354-1355) afirma que a
modelagem matemática “consiste na arte
de transformar problemas da realidade em
problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem
do mundo real”.
Em modelagem matemática destacam-se
os trabalhos de Leinbach , Burghes, Berry,
Blum, McClone e Braun.
No Brasil, as pesquisas em
Modelagem Matemática, no âmbito da
Educação Matemática, intensificaram-se
nos anos 80 e 90 e, em geral, estão ligadas
a trabalho de projeto, o qual consiste em
dividir os alunos em grupos e selecionar
temas de interesse que serão investigados
por meio da Matemática, sendo que esses
grupos são orientados pelo professor, que
acompanha o desenvolvimento dos
trabalhos. (Bassanezi, 1990, 1994;
Biembengut,
1990,
1999).
O
acompanhamento dos trabalhos pelo
professor deve pressupor uma avaliação
formativa (Luckesi, 2005), estando o
professor atento para o registro das
ambigüidades encontradas nas questões
interpretativas dos problemas, que pode ser
considerado um indicativo da dificuldade
de os alunos expressarem suas concepções
explicitamente (Costa & Moreira, 2002:
68).
Sabe-se
que
a
modelagem
matemática está diretamente ligada à
resolução de problemas e em geral,
envolve as seguintes etapas: (1ª) definição
do problema, (2ª) simplificação e
formulação de hipóteses, (3ª) dedução do
modelo matemático, (4ª) resolução do
problema matemático, (5ª) validação e (6ª)
aplicação do modelo. Neste processo de
resolução de problemas pode-se destacar a
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teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud. Segundo Vergnaud (1990: 23)
apud Greca & Moreira (2003:3) o
conhecimento encontra-se organizado em
campos conceituais de que o sujeito se
apropria ao longo do tempo e que podem
ser definidos como grandes conjuntos
formais, informais e heterogêneos, de
situações e problemas cuja análise e
tratamento requerem diversas classes de
conceitos, procedimentos e representações
simbólicas, inter-relacionados.
Em síntese, Vergnaud utiliza os
seguintes elementos básicos: conjunto de
situações (S), o invariante (I – esquema de
articulação dos conceitos) e a formalização
ou representação simbólica (R). Para a
modelagem matemática a dupla I e R está
inserida nas primeiras etapas apresentadas
anteriormente. Por sua vez, esta tripla
(S,I,R) mobiliza o processo cognitivo
interno do aluno, que enfrentará situações
dialéticas na dedução do modelo,
ressaltando a importância do conflito
cognitivo,
aspecto
asseverado
por
Skovsmose (1996) ao se referir ao contexto
da Educação Matemática de cunho crítico
colocando um aspecto importante a ser
trabalhado:
a
matemática
como
instrumento problemático.
Por fim, cabe destacar a Teoria dos
Modelos Mentais de Johnson Laird, que
consiste numa modelagem mental aplicada
à resolução de problemas e que considera a
maneira como os modelos mentais são
construídos
quando
os
indivíduos
entendem o que lêem ou o que é dito a eles
(Costa & Moreira, 2002:62), aspecto este
importante e que está relacionado com uma
das preocupações que em geral é apontada
pelos professores, que está relacionada à
questão
da
interpretação
dos
enunciados/textos. O modelo mental
considera o raciocínio indutivo e dedutivo,
bem como os conhecimentos prévios e as
transformações que ocorrem no modelo
mental ao longo de sua construção,
decorrentes
da
incorporação
de
informações e experiências, o que confere
ao modelo mental um caráter provisório.
Assim, pode-se dizer que os modelos
mentais inserem-se de modo preponderante
4
nas etapas da modelagem matemática
referentes à definição do problema, a
simplificação e a formulação de hipóteses
e a dedução do modelo matemático. Além
do mais, entende-se que o estímulo ao
desenvolvimento de modelos mentais
mobiliza o processo o criativo, crítico e
reflexivo dos alunos.
A TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA E OS
MODELOS MATEMÁTICOS
“As modelagens são um produto dessa
sofisticação teórica da ciência e o seu
objetivo é constituir objetos mais simples
com as ferramentas da matemática, em
particular as equações diferenciais,
visando à sofisticação de instrumentos que
permitam não apenas uma compreensão
adequada de um determinado fenômeno e
de suas tendências no tempo, mas também
a
formulação
de
programas
de
intervenção(...) (Carlos Vogt)
Considerando a afirmação acima,
considera-se relevante questionar: o que
vem a ser, então, um modelo matemático?
Segundo Bassanezi (2002: 20), “Modelo
Matemático é um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que representa de
alguma forma o objeto estudado e sua
importância consiste em ser uma
linguagem concisa que expressa nossas
idéias de maneira clara e sem
ambigüidades”.
Os livros didáticos de Ensino Médio
procuram apresentar modelos matemáticos
que implicam em situações reais,
procurando aproximar o ensino do
cotidiano do aluno. Tais modelos
relacionados a determinados conteúdos
implicam em transposição didática desses
conteúdos para o grau de ensino
apropriado à faixa etária do Ensino Médio,
sendo a transposição didática entendida
como sendo um conceito que tem origem
na didática francesa, com destaque para
Yves Chevallard e Marie-Alberte Joshua (
Pietrocola,2005), e que estabelece os
seguintes três níveis de saber: o saber
sábio, o saber a ensinar e o saber ensinado,
que são importantes nos processos de
ensino e de aprendizagem das disciplinas
no Ensino Médio. Assim, tanto em
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Matemática como em Física a transposição
didática é um fator relevante, pois os
conteúdos tornam-se mais complexos no
decorrer dos graus de ensino, conforme se
pode verificar no caso da função horária
dos espaços relacionada ao Movimento
Uniformemente Variado (MUV). No
Ensino Médio, o modelo matemático
desenvolvido para o estudo desse tipo de
movimento resulta na fórmula S = S0 + v0 t
+ (a t2)/2 (Ferraro & Soares, 1991: 71). Por
outro lado, no ensino superior pode-se
integrar a velocidade (v = ds/dt = vo + act)
(Hibbeler, 2005: 5) considerando outras
variáveis a serem analisadas em que o
significado adquirido de Movimento
Uniformemente Variado torna-se mais
elaborado e, portanto, tornando o modelo
mais complexo.
Nota-se a gradual abstração dos
conceitos e dos modelos matemáticos,
como colocam Henning & Keune (sd:1):
“O processo de modelagem é uma
constante oscilação entre vários níveis de
abstração”. Campos (op. cit) trabalhando
sob uma visão integracionista entre Física
e Matemática desenvolve uma abordagem
interdisciplinar com o conteúdo funções,
destacando as relações entre as disciplinas
em relação
ao
conteúdo
citado,
desenvolvendo a partir daí os modelos
matemáticos, que constituiriam exemplos
de modelos de sistemas dinâmicos. A esse
respeito, Veit & Teodoro (2002: 88)
afirmam que “de particular interesse em
Física são os modelos de sistemas
dinâmicos, isto é, modelos que estabelecem
alguma
relação
matemática
entre
quantidades físicas e o tempo, considerado
como uma variável independente”. No
processo de graduação da complexidade
dos modelos matemáticos em Física, o
significado não deve se perder, mas
constituir-se em agregação de outros
aspectos que o enriqueçam, demonstrando
que o conteúdo apreendido em um grau de
ensino possui continuidade.
Visando destacar esse aspecto de
continuidade dos conteúdos, considera-se
relevante citar que o Institute of Physics do
Reino Unido, por meio de um projeto que
visa revitalizar o Ensino de Física para
5
estudantes entre 16 e 19 anos, enfatiza o
uso de equações a diferenças finitas na
introdução aos conceitos de Cálculo, como
taxas de variação, derivadas e integrais, em
um nível de escolaridade anterior ao
universitário (Veit & Teodoro,2002: 92).
Por sua vez, no Japão, na Junior High
School há um projeto de aprendizagem
integrada através da modelagem em
Matemática, Ciência e Tecnologia, onde os
estudantes desenvolvem, aplicam e
avaliam modelos matemáticos para
problemas
tecnológicos
usando
o
conhecimento científico e tais modelos
devem
ter
aplicação
no
mundo
real.(Moriyama et al, sd:1).
Entretanto, há casos em que a
transposição didática dos modelos
matemáticos de determinados conteúdos
físicos para o Ensino Médio não é possível
em virtude do nível de abstração e
complexidade dos elementos envolvidos,
efetuando-se apenas a construção histórica
dos conceitos, como no caso de Física de
Partículas e de outros tópicos de Física
Moderna
e
Contemporânea.
Particularmente no caso de Física de
Partículas, a maioria dos livros didáticos de
Ensino Médio de Física aborda este
conteúdo no campo conceitual, sendo que
em algumas vezes são fornecidos exemplos
de decaimento beta, colocados de forma
intelegível e não de modo simplificado ou
reducionista, que prejudiquem o corpo
deste conteúdo. Substitui-se, nestas
abordagens pra os alunos do Ensino
Médio, a linguagem de função de onda na
definição de partícula elementar por um
conceito de caráter intuitivo, sendo
relatadas as descobertas teóricas e
experimentais
de
maneira
cronologicamente organizada: "O critério
que define elementar até que não é difícil é até bastante intuitivo: toda partícula que
pode ser quebrada não é elementar, e toda
aquela que tem um único constituinte é
considerada elementar. No entanto, do
ponto de vista experimental e teórico, o
conceito não é tão simples assim (...) do
ponto de vista teórico, o conceito que
define uma partícula elementar é, antes de
tudo, de natureza abstrata e matemática.
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
Todas as partículas elementares são
descritas por objetos matemáticos
denominados funções de onda, a partir das
quais são extraídas informações sobre a
dinâmica de tais partículas. A função de
onda que descreve uma partícula
elementar não pode ser redutível à função
de onda de outras partículas. Essa
linguagem é ditada pela mecânica
quântica e, para nossos propósitos, parece
um bocado complicada." (Abdalla, 2005:
38).
A PROBLEMÁTICA DO ENSINO DE
FÍSICA
E
OS
MODELOS
MATEMÁTICOS
Dentre as competências e habilidades
a serem desenvolvidas em Física, segundo
os Parâmetros Curriculares Nacionais
(1999: 237), podem ser destacadas
algumas
que
demonstram
estar
intimamente
relacionadas
com
a
Matemática, tais como compreender
enunciados que envolvam códigos e
símbolos físicos; ser capaz de discriminar e
traduzir as linguagens matemática e
discursiva
entre
si;
expressar-se
corretamente utilizando a linguagem física
adequada e elementos de sua representação
simbólica e apresentar de forma clara e
objetiva o conhecimento apreendido,
através de tal linguagem.
Além do mais, os PCNs (1999: 229)
destacam
a
preocupação
com
a
desarticulação
existente
entre
a
Matemática e a Física, o que evidencia um
descompasso que demonstra a ausência de
um trabalho interdisciplinar e de
metodologias eficientes de ensino, gerando
como conseqüência um aumento nas
estatísticas do péssimo rendimento dos
alunos, como adiante se constata:
“O ensino de Física tem-se realizado
freqüentemente mediante a apresentação
de conceitos, leis e fórmulas, de forma
desarticulada, distanciados do mundo
vivido pelos alunos e professores e não só,
mas também por isso, vazios de
significado. Privilegia a teoria e a
abstração, desde o primeiro momento, em
detrimento de um desenvolvimento gradual
da abstração que, pelo menos, parta da
6
prática e de exemplos concretos. Enfatiza
a utilização de fórmulas, em situações
artificiais, desvinculando a linguagem
matemática
que
essas
fórmulas
representam de seu significado físico
efetivo. Insiste na solução de exercícios
repetitivos, pretendendo que o aprendizado
ocorra
pela
automatização
ou
memorização e não pela construção do
conhecimento através das competências
adquiridas”.Esta postura tem elevado as
críticas à “matematização do ensino de
Física”, caracterizada pela aplicação dos
dados
em
fórmulas
matemáticas,
desconsiderando que as mesmas consistem
em modelos matemáticos com sentido
agregado
ao
conceito
físico.
A
matematização tende a ocorrer quando há
essa desvinculação entre as duas
disciplinas, produzindo um vazio de
significados que tem caracterizado as aulas
de Física na maioria dos contextos
escolares. Esta postura também é exposta
nos PCN Mais/ Ensino Médio (sd:
38):“Muitas vezes o ensino de Física inclui
a resolução de inúmeros problemas, onde
o desafio central para o aluno consiste em
identificar qual fórmula deve ser utilizada.
Esse tipo de questão, que exige, sobretudo,
memorização, perde sentido se desejamos
desenvolver outras competências. Não se
quer dizer com isso que seja preciso abrir
mão das fórmulas. Ao contrário, a
formalização matemática continua sendo
essencial, desde que desenvolvida como
síntese dos conceitos e relações,
compreendidas anteriormente de forma
fenomenológica e qualitativa”.
Em geral, os professores de Física do
Ensino Médio costumam apontar entre as
dificuldades apresentadas pelos alunos
aquelas relacionadas à interpretação de
enunciados/textos e dificuldades em
operações matemáticas, asseverando que
há também dificuldades em relação à
representação simbólica. Acredita-se serem
estes problemas pontos cruciais referentes
à resolução de problemas em Física que
demandam o desenvolvimento de um
modelo matemático para expressar uma
situação inserida em um conceito físico.
Este panorama corrobora as colocações de
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
Cruz (op. cit), inclusive no sentido de que
“as atividades escolares de educação
científica não ensinam a modelizar
fenômenos”.
Por conseguinte, uma pesquisa
qualitativa cuja metodologia baseou-se em
um levantamento (“survey”) (Fiorentini &
Lorenzato, 2006:106-107) foi realizada em
uma Oficina de Física, com o objetivo de
apurar alguns aspectos relativos à
formação dos professores de Física e a sua
prática docente (as metodologias, os
conteúdos e trabalhos que desenvolvem
com os alunos, bem como as dificuldades
que os alunos apresentam no processo aprendizagem em Física). A pesquisa foi
efetuada através de um questionário
dividido em quatro categorias de análise, a
saber: Perfil Docente, Docência, Ensino de
Física e Física de Partículas. Dos 70
inscritos, 40 eram professores dos quais 23
compareceram à Oficina e 21 responderam
ao questionário. Dentro das 4 categorias de
análise, destaca-se a categoria “Docência”,
na qual dentre as perguntas efetuadas, duas
perguntas merecem atenção, uma em
relação à assimilação dos conteúdos e
outra em relação às dificuldades
apresentadas pelos alunos.
Da análise dos dados extrai-se que
entre as dificuldades apontadas, merecem
destaque as três primeiras que estão
diretamente
relacionadas
com
o
desenvolvimento dos modelos matemáticos
em Física, pois requerem a mobilização
cognitiva (assimilação do conteúdo e
interpretação de enunciados/textos) e a
ferramenta
matemática
(operações
matemáticas que envolvem a constituição
dos modelos matemáticos).Pela análise dos
resultados, apurou-se que 80,95% dos
professores afirmaram que seus alunos
7
apresentam dificuldades de assimilação
dos conteúdos; 95,24% dos professores
afirmaram que seus alunos apresentam
dificuldades
na
interpretação
de
enunciados/textos; 80,95% dos professores
afirmaram que seus alunos apresentam
dificuldades em operações matemáticas.
Em relação à escrita, 38,10% dos
professores apontaram que esta também
constitui um fator que dificulta a
aprendizagem e 9,52% afirmaram que seus
alunos apresentam outras dificuldades, tais
como lógica/raciocínio e apontaram o
desinteresse como um fator que também
dificulta a aprendizagem. Em textos
conceituais de Física em que as respostas
às perguntas não requerem operações, a
escrita é um fator fundamental, pois
através dela os alunos expressam suas
idéias, expõem o entendimento dos
conceitos físicos e levantam outros
questionamentos.
Cabe ressaltar que os dois primeiros
autores deste artigo em sua experiência
como docentes de Matemática e de Física
no Ensino Médio já haviam constatado tais
dificuldades, cujos dados ora levantados
vieram a corroborar a preocupação que
ambos possuem em relação à modelagem
matemática
em
Física.Embora
considerando que a amostra pesquisada
não pode ser entendida como plenamente
representativa do universo de professores,
por meio de uma análise preliminar das
informações coletadas pode-se constatar as
dificuldades dos alunos apontadas pelos
professores em relação ao conteúdo
matemático utilizado em Física e que,
conseqüentemente, interferem na resolução
dos problemas e no desenvolvimento dos
modelos matemáticos como aponta o
gráfico (Fig.1).
8
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
Figura 1
Assim, em que pese a amostra de
professores ter sido bastante restrita, os
dados revelam claramente a preocupação
dos mesmos em relação aos processos de
ensino e aprendizagem em Física, cabendo
ressaltar que evidentemente há a
necessidade de um estudo mais profundo
para se verificar outras causas do baixo
desempenho dos alunos na modelagem
matemática em Física.Nesta perspectiva,
sugere-se um trabalho interdisciplinar entre
as disciplinas Matemática e Física, como
nos coloca Campos (op. cit):
“ (...) a interdisciplinaridade se
mostra um caminho importante na
construção de um conhecimento que
enfatiza a cooperação entre áreas diversas
das ciências e que auxilia na compreensão
das múltiplas interseções entre saberes,
muitas vezes, aparentemente distintos,
contribuindo para a formação de um
sujeito mais autônomo e crítico, na medida
em que uma visão global do conhecimento
o situa melhor dentro do universo
escolar”.
Dessa forma, os professores de
Matemática poderão trabalhar em uma
ação colaborativa com os professores de
Física visando minimizar as dificuldades
que os alunos apresentam em relação às
ferramentas básicas necessárias à resolução
dos problemas propostos, de modo que em
ambas as disciplinas seja possível
estabelecer um trabalho com modelagem,
com vistas a desenvolver as requeridas
competências e habilidades dos alunos.
Nesse cenário, considera-se de suma
importância que os professores fiquem
atentos aos erros cometidos pelos alunos e
estabeleçam formas de trabalhar esses
erros, como pontua Luckesi (2005: 57):
“os erros de aprendizagem, que
emergem a partir de um padrão de
conduta cognitivo ou prático já
estabelecido pela ciência ou pela
tecnologia, servem positivamente de ponto
de partida para o avanço, na medida em
que são identificados e compreendidos, e
sua compreensão é o passo fundamental
para a sua superação”.
Finalmente, cabe destacar que Novak
& Gowin (1988) relatam que as
ferramentas de modelagem vão desde
papel e lápis até a utilização de tecnologias
interativas, como o computador (Ogborn,
1990).
Dessa maneira, como estratégia
complementar à modelagem expressa no
papel, pode-se sugerir a utilização da
modelagem computacional, ressaltando-se
que a modelagem expressa no papel
consiste em uma etapa essencial e natural
no processo ensino – aprendizagem,
porque mobiliza os recursos cognitivos do
aluno, que lhes são intrínsecos, que lhes
são próprios, exigindo-lhe um esforço
pessoal que poderá dotá-lo de suficiente
autonomia no processo de modelagem,
evitando-se desse modo que se tornem
dependentes
de
ferramentas
computacionais para a modelagem e a
resolução de problemas.
Visando a modelagem computacional
sugere-se a utilização do software
Modellus, que permite ao aluno fazer
experimentos
conceituais
utilizando
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
modelos matemáticos (Araújo, Veit &
Moreira, 2003; Reis, 2005; Veit, Mors &
Teodoro, 2002), além de oportunizar a
construção de modelos de fenômenos
físicos entre outros tipos de modelos, por
meio de animações, gráficos e tabelas,
contribuindo
para
minimizar
as
dificuldades no tocante à modelagem.
Ademais, o software Modellus é livre,
sendo distribuído gratuitamente na internet,
o que torna seu acesso aos professores
bastante facilitado.No entanto, ao preparar
suas aulas com o auxílio do software
Modellus, o professor deverá adequá-la aos
conteúdos matemáticos do Ensino Médio,
ou introduzir outros conteúdos para que o
software possa ser utilizado com maior
abrangência, bem como não permitir que
os alunos passem a visualizar o software
apenas como aplicação de fórmulas. Podese citar também o software Stella, que
constitui uma “ferramenta de modelamento
que pode vir ser usada em muitas áreas do
conhecimento em atividades que visem ao
ensino de determinados conteúdos, bem
como a exploração das idéias dos
estudantes em termos de modelos mentais
apresentados quando da resolução de
terminadas tarefas” (Santos, 1989: 222).
Outra alternativa para aplicar a
modelagem matemática ao ensino de Física
no Ensino Médio é por meio da
experimentação. Neste caso é necessário
que o professor Necessário que o professor
elabore um questionário para levantamento
dos conhecimentos prévios dos alunos
relacionados ao tema da experimentação.
Outro questionário deve ser respondido
após a realização do experimento para que
se possa verificar a assimilação do
conteúdo, bem como sugere-se que os
alunos elaborem um relatório descrevendo
o experimento realizado, momento este
oportuno para se trabalhar a escrita. Dessa
forma, apresenta-se como exemplo de
experimento, o funcionamento de um
circuito elétrico (Ferruzi et la, 2004: 1356).
Este experimento proporcionará:
Verificar se existe alguma relação
entre a tensão, a corrente elétrica e a
resistência de um material;
9
Determinar um modelo matemático
que descreva o comportamento da corrente
que flui em um circuito, em relação à
tensão aplicada e ao resistor do
equipamento;
Introduzir o conceito de função do
1º grau, definindo-se coeficiente angular e
linear, o que mostra a viabilidade de um
trabalho interdisciplinar com Matemática e
o caráter multidisciplinar da modelagem
matemática ( Bassanezi, 2002:16).
No entanto, é preciso deixar claro
que não se quer com a realização do
experimento propagar a visão empirista da
ciência. O objetivo é levar o aluno a
desenvolver um modelo matemático já
existente e consolidado por uma teoria.
Silveira e Peduzzi ( 2006 : 50 – 52 )
esclarecem:
“Não há dúvida que experimentos,
observações, resultados de medidas são
importantes
para
o
conhecimento
científico.
(...)
A
produção
do
conhecimento científico não pode ser
entendida através da epistemologia
empirista ( apesar dos livros – textos e
muitos cientistas assim acreditarem) e não
pode ser descrita como conseqüência da
aplicação de um método científico que
começa
com
resultados
observacionais/experimentais.”
E
prosseguem: “ A história ( ou caricatura)
empirista não apenas empobrece a história
da ciência, induz a visões distorcidas da
natureza da ciência e do empreendimento
científico.”
A modelagem por meio da
experimentação é um caminho para se
trabalhar com o laboratório aberto.
Segundo Capechi ( apud Carmo e
Carvalho, 2006: 4), o laboratório aberto
consiste em “uma atividade experimental
que parte de um problema levantado pelo
professor e que envolve os estudantes.”
Asseveram que este momento é propício
para professor e aluno articularem a
linguagem matemática usada pelos físicos
com as outras linguagens para construir os
significados científicos.” Essa é a
perspectiva do ensino por investigação
(Capechi, op. cit), que corrobora os
princípios da aprendizagem significativa e
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
contribuir para ativar as idéias de base que
os alunos possuem. Nesse passo, ao
desenvolver a modelagem matemática por
meio da experimentação, sugere-se que os
alunos elaborem mapas conceituais
(Novak, 1998) estabelecendo a relação
entre os diversos conceitos que envolvem o
fenômeno. Além do mais, o fenômeno
precisa transparecer no modelo mate,atiço,
precisa ser “visualizado” na representação
da linguagem matemática. Deve haver uma
articulação entre os recursos tipológicos e
os recursos topológicos, como salienta
Carmo e Carvalho (op. Cit).
CONCLUSÃO
Acredita-se ser inegável a relação
existente entre a Matemática e a Física no
desenvolvimento de diversos conteúdos no
Ensino Médio e sua estruturação por meio
dos modelos matemáticos. Entretanto,
chama-se a atenção para o fato de que esta
relação deve ser significativa, de maneira
que os alunos consigam percebê-la e,
sobretudo, compreendê-la como um corpo
integrativo das Ciências.
A preocupação dos professores não
deve se ater aos domínios das ferramentas
matemáticas para que os alunos possam
resolver os problemas em Física, devendose avançar para além dessa perspectiva,
que restringe a abordagem aos aspectos
formais, buscando-se incorporar os
diversos valores que um trabalho
interdisciplinar pode proporcionar, na
medida em que amplia as possibilidades de
atribuição de significado aos conceitos
físicos
expressos
pelos
modelos
matemáticos. Entender os conceitos físicos
e incentivar a leitura e uma atitude
reflexiva e crítica diante da mesma,
contribui para reduzir as dificuldades em
relação à interpretação dos enunciados e a
resolução dos problemas em Física, que
pressupõe o desenvolvimento de um
modelo matemático. Além do mais,
coloca-se de suma importância o hábito de
resolver problemas desde as séries iniciais
escolares, enfatizando o desenvolvimento
do raciocínio lógico e a oportunidade de se
apontar
diferentes
caminhos
para
solucionar os problemas, criando-se os
10
modelos matemáticos e refletindo-se sobre
sua viabilidade.
Outra questão a se colocar diz
respeito a análise do modelo matemático
em si e sua relação com a interpretação dos
resultados. A análise dos resultados
provenientes do modelo matemático
aplicado à Física tende a desenvolver o
pensamento crítico e tornar visível a
necessidade de compatibilidade com a
realidade e sua possibilidade de existência,
evitando assim resultados absurdos, não
viáveis fisicamente e que, desse modo, não
possam ser correlacionados com o
fenômeno em estudo, conforme nos coloca
Silva e Almeida (2005: 11):
“O envolvimento dinâmico do aluno
no processo de modelagem contribui muito
para isso, pois aprende a tornar-se ativo e
a exercer seu poder de escolher e
decisão”.
Nesse
sentido,
deve-se
proporcionar momentos em que os alunos
discutam os modelos, sua viabilidade e,
inclusive, que proponham outros modelos.
Nesse processo, deve-se valorizar as
situações cotidianas dos alunos que
envolvem conceitos físicos e estimulá-los a
criar
os seus
próprios modelos,
possibilitando o desenvolvimento de
habilidades e competências. Ressalta-se,
ainda, a importância de se trabalhar as
simbologias, tão essenciais para a
modelagem matemática em Física, pois
expressam em sínteses as fórmulas que
muitas vezes constituem leis físicas.
Ademais, a Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud e a Teoria dos
Modelos
Mentais
constituem
um
referencial importante para se entender o
processo de resolução de problemas e
apontar caminhos para minimizar as
dificuldades que os alunos apresentam em
relação a modelagem matemática desses
problemas, contando como recurso
complementar a utilização de softwares de
modelagem, sem contudo esquecer que
estes devem ser entendidos apenas como
ferramentas de apoio. Contudo, deve-se
ressaltar a importância de um trabalho
interdisciplinar, de caráter integrado entre
Matemática e Física, no sentido de
desenvolver múltiplas metodologias de
Revista LOGOS, n. 14, 2006.
ensino que contribuam para uma melhor
assimilação e desenvolvimento dos
modelos matemáticos, destacando-se a
participação ativa do aluno no processo de
aprendizagem e a mediação do professor.
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