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Mostre que o momento angular de um sistema de duas partículas em relação a um
ponto fixo qualquer é dado pela soma do momento angular do sistema em relação ao centro de
massa e do momento angular, de uma partícula de massa M = m1 m2 concentrada no centro
de massa do sistema se movendo com a velocidade do centro de massa, em relação ao
mesmo ponto fixo. Generalize o resultado para um sistema de n de partículas.
Esquema do problema
O problema nos diz que queremos calcular “...o momento
angular de um sistema de duas partículas em relação a um ponto fixo
qualquer...”, então fixamos um sistema de referência S nesse ponto.
As partículas 1 e 2 terão suas posições determinadas no espaço
pelos vetores r 1 e r 2 em relação a esse sistema (figura 1).
O momento angular das partículas nesse sistema pode ser
escrito como a soma de duas partes, a primeira é dada no problema
figura 1
como sendo, “...do momento angular do sistema em relação ao
centro de massa...”, assim fixamos um outro sistema de referência S’ no centro de massa. As
partículas 1 e 2 terão suas posições dadas pelos vetores r ' 1 e r ' 2 em relação a esse sistema
(figura 2).
figura 3
figura 2
A segunda parte seria “...do momento angular, de uma partícula de massa
M = m1 m2 concentrada no centro de massa do sistema se movendo com a velocidade do
centro de massa, em relação ao mesmo ponto fixo.”, toda a massa do sistema estaria
concentrada no centro de massa e este teria sua posição no espaço dado pelo vetor r CM em
relação ao referencial S (figura3).
Todos os elementos estão representados na figura 4, abaixo
figura 4
Solução
Pela figura 4 os vetores r 1 e r 2 podem se escritos como
r 1 = r CM r ' 1
e
1
r 2 = r CM r ' 2
(I)
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Como a velocidade é dada por v =
dr
, derivando as duas expressões de (I), temos
dt
v 1 = v CM v ' 1
v 2 = v CM v ' 2
e
(II)
onde v 1 e v 2 são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao sistema S, v CM é a
velocidade do centro de massa em relação ao sistema S e v ' 1 e v ' 2 são as velocidades das
partículas 1 e 2 em relação ao referencial S’.
O momento angular em relação à S é
L = r 1×p1 r 2 ×p2
(III)
as quantidades de movimento p1 e p2 são
p1 = m 1 v 1
p2 = m2 v 2
e
(IV)
substituindo as expressões (IV) em (III)
L = r 1 ×m1 v 1r 2 ×m 2 v 2
L = m 1 r 1 × v 1m 2 r 2 ×v 2
(V)
substituindo (I) e (II) em (V), obtemos
L = m1  r CM r ' 1 ×  v CM v ' 1  m2  r CM r ' 2  × v CM v '2 
L = m 1  r CM × v CMr CM ×v '1 r ' 1 ×v CM r ' 1× v ' 1 m2  r CM ×v CM r CM ×v ' 2 r ' 2 ×v CM r ' 2 ×v ' 2 
L = r CM×m 1 v CM r CM ×m1 v ' 1r '1 ×m 1 v CM r ' 1×m 1 v '1 +
+m 2 r CM ×m 2 v CM r CM×m 2 v '2 r ' 2 ×m 2 v CM r ' 2 ×m2 v ' 2
L = r CM × m1 m 2  v CM r CM× m1 v '1 m 2 v '2   m 1 r '1 m 2 r ' 2 × v CM r ' 1×m 1 v '1 r ' 2 ×m2 v ' 2
Analisando os termos do lado direito da expressão acima, temos
•
Primeiro termo r CM × m1 m 2  v CM = r CM ×M v CM , será o momento angular de uma
partícula de massa M localizada no centro de massa, se movendo com a velocidade do
centro de massa, e posição dada pelo vetor r CM em relação referencial S (terceira
parte do enunciado do problema).
•
Terceiro termo  m 1 r '1 m 2 r '2 ×v CM , multiplicando e dividindo o termo entre parênteses
pela massa total do sistema, M = m1 m 2 , teremos
M
 m 1r '1 m 2 r ' 2 M = M
onde o termo
 m 1 r ' 1m 2 r ' 2
M
=M
∑ m i r 'i
M
∑ m i r 'i
é a própria definição de centro de massa. Assim a posição do
M
centro de massa no referencial do centro de massa é zero.
observação: pela definição de centro de massa, o vetor posição de um sistema de partículas
∑ m i ri
em relação a um referencial S é dado por r CM =
, para duas massas, em particular ,
M
temos
r CM =
m 1 r 1 m2 r 2
M
onde rCM é o vetor posição do centro de massa em relação ao referencial S e r1 e r 2 são os
vetores posição das partículas m 1 e m 2 no mesmo referencial.
2
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Se o referencial S for colocado na posição do centro de massa, os vetores posição r1 e
r 2 serão indicados a partir desta posição e o vetor rCM será zero.
Isto é o que acontece com o segundo e terceiro termos da expressão do momento
angular, os vetores indicados com linha estão no referencial S’ que está no centro de massa,
por isso estes termos são nulos.
•
Segundo termo r CM × m1 v '1m 2 v ' 2  é a velocidade do centro de massa no referencial
do centro de massa que será zero.
•
O Quarto e o Quinto r ' 1 ×m1 v ' 1r '2 ×m 2 v '2 termos representam o momento angular
de um sistema de duas partículas em relação ao referencial S’, ou seja é o momento
angular do sistema em relação ao centro de massa (a segunda parte do enunciado),
assim podemos escrever
L CM = r ' 1 ×m1 v ' 1r '2 ×m 2 v ' 2
Assim o momento angular pode ser escrito na forma pedida
L = L CM r CM ×M v CM
Generalizando para um sistema de n partículas, o vetor posição será escrito como
r i = r CM r i '
i = 1..n
(VI)
derivando em relação ao tempo as velocidades das partículas serão dadas por
v i = v CM  v i '
i = 1..n
(VII)
O momento angular é dado por
n
L = ∑ r i×p i
(VIII)
i=1
a quantidade de movimento p i é
p i = m iv i
(IX)
substituindo (IX) em (VIII), vem
n
L = ∑ r i×m i v i
i= 1
substituindo (VI) e (VII) em (X), temos
n
L = ∑  r CM r ' i ×m i  v CM v ' i 
i=1
3
(X)
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n
L = ∑ r CM ×m i v CM r CM ×m i v ' ir ' i×m i v CMr ' i×m i v ' i
i= 1
n
L = r CM × v CM
n
n
n
∑ m i r CM× ∑ m i v ' i  ∑ m i r ' i ×v CM ∑ r ' i×m i v ' i

i= 1
 
i =1
M
i =1
0
0

i=1
L CM
Analisando os termos da expressão
•
No primeiro termo o somatório representa a massa total do sistema. Assim este termo
representa o momento angular do sistema, com toda a massa localizada no centro de
massa, em relação ao referencial S e se movendo com a velocidade do centro de
massa, ou seja
n
r CM× v CM
∑ m i = r CM×M v CM
i=1
•
O segundo e o terceiro termos são nulos porque estão calculados em relação ao
referencial S’ que está fixo no centro de massa do sistema.
•
O quarto termo representa o momento angular do sistema em relação ao referencial S’,
temos que
n
L CM = ∑ r ' i×m i v ' i
i=1
Assim o momento angular em relação ao referencial S pode ser escrito como
L = L CM r CM ×M v CM
4