Exame de Análise de Estruturas II
8 de Janeiro de 2011
Mestrado Integrado em Engenharia Civil
Responsável: JA Teixeira de Freitas
Duração de três horas
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Problema 1 (Justifique adequadamente todas as respostas: 4 valores.)
a) A estrutura articulada representada na Figura 1 foi resolvida
admitindo uma variação linear para o campo de deslocamentos
axiais e EA = const. ( L = 3 m, p = 1kN/m ):
a1) Utilize o formulário para determinar a equação resolvente
K q = Q para o carregamento indicado.
a2) Escreva a aproximação para o campo de deslocamentos axiais
nas barras AD e BD, sabendo que q1 = 3,568 /EA (m) e
L
C
B
L
q2 = 0,932 /EA (m) . Essas soluções são exactas?
A
D
q1
a3) Determine as soluções aproximadas e exactas para os esforços
p
q2
nas barras AD e BD.
b) Defina uma aproximação para o deslocamento axial na
Figura 1
barra AD que contenha a solução exacta. Identifique os deslocamentos independentes e escreva as
equações integrais que definem a contribuição dessa barra para os coeficientes K11 e Q1 da
equação resolvente.
Problema 2 (Justifique adequadamente todas as respostas: 3 valores.)
Pretende-se analisar a viga contínua
5 kN/m
10kN
representada na Figura 2, EI = const. (kNm2 ) ,
usando o modelo de viga fina (sem deformação
1
2
3
por corte):
3m
2
2
a) Identifique os deslocamentos independentes;
b) Defina os coeficientes da matriz de rigidez
Figura 2
da estrutura em função dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares;
c) Escreva a equação integral (e todos os termos que nela intervêem) que define a contribuição do
elemento 1 para a matriz de rigidez da estrutura;
d) Determine o vector das forças nodais equivalentes;
e) Defina, em função dos deslocamentos independentes da estrutura, os campos de deslocamento e
de momentos flectores no elemento 2;
f) As soluções obtidas na alínea anterior são exactas?
Problema 3 (Justifique adequadamente todas as respostas: 3 valores.)
Considere a análise da viga contínua representada na Figura 2 com o modelo de viga espessa (com
deformação por corte e rigidez GAc = 4 EI ). Admita que se usa o mesmo número de elementos e
uma aproximação linear para o deslocamento transversal e para a rotação em cada elemento:
a) Discuta a discretização e a aproximação adoptadas;
b) Identifique os deslocamentos independentes da estrutura;
c) Defina a expressão integral (e todos os termos que nela intervêem) dos coeficientes da matriz de
rigidez do elemento 1 que contribuem para a matriz de rigidez da estrutura;
d) Determine o vector das forças nodais equivalentes da equação resolvente K q = Q ;
e) Defina, em função dos deslocamentos independentes da estrutura, as componentes dos
deslocamentos e dos esforços no elemento 2 e mostre que essas soluções não são exactas;
f) Defina a expressão que permite determinar a reacção no encastramento deslizante em função
dos deslocamentos nodais da estrutura.
Problema 4 (Justifique adequadamente todas as respostas: 7 valores.)
p
Admita que a placa representada na Figura 3 é homogénea e
2
c
isotrópica ( E = const.,ν ≈ 0,2, p = 1 kN/m ), e que está
y2
b
1m
discretizada em elementos isoparamétricos de 4 nós:

Ž

x2
a) Identifique os deslocamentos independentes;
a
b) Exprima os coeficientes K aa e K bc da matriz de rigidez da
y1
1
Œ

estrutura em função dos coeficientes das matrizes de rigidez
x
1
elementares;
c) Calcule o vector das forças nodais equivalentes;
1
1
d) Defina a expressão integral (e todos os termos que nela
intervêem) dos coeficientes da matriz de rigidez do elemento 4
Figura 3
para o termo K ab da matriz de rigidez da estrutura;
e) Considere que todos os deslocamentos nodais são nulos, excepto d a = db = dc = δ . Defina a
aproximação do campo de deslocamentos no elemento 4 e trace a deformada da placa.
f) As soluções aproximadas para o campo de tensões nos elementos 1 e 2 são as seguintes:
⎧σ xx1 = 0,0672 + 0,1241x1 − 0,0770 y1
⎧σ xx2 = −0,0086 − 0,0690x2 − 0,0952 y2
⎪ 1
⎪ 2
⎨σ yy = 1,2712 + 0,6205x1 − 0,0154 y1 ,
⎨σ yy = 1,2617 − 0,3452x2 − 0,0190 y2
⎪σ 1 = −0,0308x + 0,2482 y
⎪σ 2 = 0,2482 − 0,0381x − 0,1381y
1
1
2
2
⎩ xy
⎩ xy
Verifique as seguintes condições de equilíbrio: no domínio do elemento 1, admitindo que as forças
de massa são nulas; na fronteira entre os elementos 1 e 2.
g) Tomando como base a discretização definida na Figura 4 e usando essa figura, proponha uma
malha adequada e indique o tipo de elemento utilizado, não necessariamente quadrangular.
Figura 4
Problema 5 (Justifique adequadamente todas as respostas: 3 valores.)
Considere a análise da laje representada na Figura 5a) e a descretização em elementos
isoparamétricos de 4 nós representada na Figura 5b). Admita que a laje é espessa, homogénea e
isótropa, com espessura constante, h. A carga uniforme, com intensidade p = 1kN/m −2 , está
aplicada na zona sombreada.
2
2
4
a

2
p
pilar
viga
Figura 5a)
⊗
2 b
2
4m
Figura 5b)
a) Identifique os deslocamentos independentes;
b) Admita que todos os deslocamentos nodais são nulos, excepto θa = θ e wb = w :
b1) Defina os campos de deslocamento no elemento 1;
b2) Defina os campos de esforços no mesmo elemento.
c) Defina a expressão integral (e todos os termos que nela intervêem) dos coeficientes da matriz de
rigidez do elemento 1 para o termo K ab da matriz de rigidez da estrutura;
d) Defina a expressão integral (e todos os termos que nela intervêem) e determine a contribuição
do elemento 2 para o vector das forças nodais equivalentes da estrutura;
e) Identifique os erros básicos de discretização nas malhas representadas na Figura 6;
Figura 6a)
Figura 6b)
Figura 6c)
f) Admitindo que a malha representada na Figura 6a) seria usada como base de desenvolvimento
de uma discretização adequada para a análise da laje, identifique sobre essa figura as zonas que
justificam um maior refinamento.