O oscilador harmônico
Você sabia que o oscilador harmônico é obíquo na Física? Por exemplo, a Eletricidade e o Magnetismo, clássicos, foram colocados juntos em uma bela teoria
unicada por Maxwell, no século XIX. Posteriormente, vários cientistas, por exemplo, Max Born, Pascual Jordan, Werner Heisenberg e, principalmente, Paul
Dirac, quantizaram o Eletromagnetismo, obtendo uma nova teoria chamada
Eletrodinâmica Quântica. Nessa teoria, mesmo no vácuo, por exemplo, há modos de vibração do campo eletromagnético. Esses modos de vibração do campo
são descritos por osciladores harmônicos. Há innitos deles no vazio! Quando
há luz no espaço vazio, há fótons, ou seja, há excitação dos modos de vibração
dos osciladores harmônicos que compõem o campo eletromagnético quântico.
Para entender tudo isso você precisa começar pelo começo: o sistema massamola. Eu nem sequer vou desenhar uma gura porque imagino que esse sistema
já seja muito familiar para você. O importante é que a força sobre a massa
m, que desliza horizontalmente ao longo do eixo x, sem atrito, presa em uma
extremidade por uma mola de massa desprezível e constante elástica k, é a força
restauradora, proporcional ao deslocamento x da mola:
−kxx̂.
F =
Note que, por conveniência, escolhemos a origem do sistema de coordenadas
exatamente no ponto em que a mola não exerce força sobre a massa m. Usando
a segunda lei de Newton, a força ao longo do eixo x é dada pela massa m
multiplicada pela aceleração, isto é,
Fx
=
m
d2 x
.
dt2
Então, igualando essa equação com a componente x da força restauradora acima,
vem
m
d2 x
dt2
= −kx.
Essa é a equação de movimento para o oscilador harmônico em sua forma mais
simples. Essa mesma equação pode ser escrita assim:
d2 x
dt2
−
=
k
x.
m
Queremos resolver essa equação. Mas o que signica isso? Ora, devemos encontrar x = x (t) , tal que essa função satisfaça a equação acima. Essa equação diz
que a segunda derivada com relação ao tempo da função que procuramos, x (t) ,
é proporcional à própria função x (t) . É fácil adivinhar que funções podem satisfazer isso. A exponencial satisfaz? Não, pois a constante de proporcionalidade
acima é negativa:
−
k
m
< 0.
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Se você não entendeu ou não acredita, façamos a conta. Tentemos
xe (t)
=
C exp (αt) ,
onde C e α são constantes a serem determinadas. Então, é fácil ver que
d2 xe (t)
dt2
= α2 C exp (αt) = α2 xe (t) .
Devemos impor que
d2 xe (t)
dt2
= −
k
xe (t) .
m
Logo,
α2
= −
k
< 0.
m
Mas quando um número real pode ser negativo? Jamais!
Tentemos outras funções. Que tal o seno? A derivada segunda de um seno
dá proporcional a ele mesmo, com um sinal de menos. Então, tentemos
xs (t)
=
A sen (αt) .
Assim,
d2 xs (t)
dt2
= −α2 A sen (αt) = −α2 xs (t) .
Agora, sim! Impondo que
d2 xs (t)
dt2
= −
k
xs (t)
m
resulta o valor de α2 :
α2
k
> 0.
m
=
Logo,
r
α
= ±
k
,
m
implicando que
r
xs (t)
= ±A sen
2
k
t
m
!
é uma solução da equação do oscilador harmônico, sem importar o valor da
constante A. Aliás, como A é qualquer, vou incorporar o sinal ± como parte da
denição da constante arbitrária A e escrever, simplesmente,
r
xs (t)
= A sen
!
k
t .
m
Mas essa não é a única função não nula que satisfaz a equação do oscilador
harmônico. A função
r
xc (t)
= B cos
!
k
t ,
m
onde B é outra constante arbitrária, também satisfaz a equação do oscilador
harmônico. Quer ver? Vamos lá:
d2 xc (t)
dt2
r
−
=
k
m
!2
r
B cos
k
t
m
!
r
k
m
=−
!2
xc (t) = −
k
xc (t) ,
m
que é a equação do oscilador harmônico!
Com qual solução camos, então? xs (t) ou xc (t)? Na dúvida, quemos com
as duas! Como? Simples: tomemos a soma de xs (t) e xc (t) como solução. Eu
posso fazer isso? Claro que sim: a equação do oscilador harmônico é linear.
Deixe isso sobre linearidade de lado, por enquanto, e vamos ver se é mesmo
possível somar as duas soluções e ter outra solução. Seja
r
x (t)
= xs (t) + xc (t) = A sen
k
t
m
!
r
+ B cos
!
k
t .
m
Então,
d2 x (t)
dt2
r
=
−
k
m
!2
r
A sen
k
t
m
!
r
−
k
m
!2
r
B cos
!
k
t ,
m
isto é,
d2 x (t)
dt2
r
= −
k
m
!2 "
r
A sen
k
t
m
!
r
− B cos
!#
k
k
t
= − x (t) .
m
m
Viu? Não falei?
Note que o cosseno não é uma função proporcional ao seno ou vice-versa.
Assim, dizemos que o seno e o cosseno são linearmente independentes. Note
também que a equação diferencial envolve uma derivada segunda com relação
ao tempo. Isso quer dizer que há duas integrais para fazer, ao invés de uma
só, como ocorre quando a equação é de primeira ordem, ou seja, quando envolve apenas a derivada primeira com relação ao tempo. Para cada integração,
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aparece, como você já sabe, uma constante arbitrária. Em duas integrações, portanto, devem aparecer duas constantes arbitrárias. Assim, nossas constantes A
e B acima são arbitrárias e, portanto, temos uma solução com duas constantes
arbitrárias. Logo, temos a solução geral! Sim! Não precisamos tentar achar
mais nenhuma outra função que satisfaça a equação do oscilador harmônico,
pois já temos uma solução geral. Qualquer outra, se existisse, poderia ser somada à solução x (t) que já temos e apareceriam três constantes arbitrárias.
Mas uma equação diferencial de segunda ordem somente pode resultar em duas
constantes arbitrárias e, portanto, chegaríamos a uma contradição. Isso tudo é
coisa de matemáticos e vamos deixar para eles argumentarem esse tipo de prova.
Vamos acreditar nessa conversa por enquanto.
A solução geral da equação do oscilador harmônico ca, portanto,
x (t)
= A sen (ωt) + B cos (ωt) ,
onde, por conveniência, denimos a constate
r
ω
=
k
.
m
Nesse momento alguém poderia levantar-se e gritar que
x1 (t)
= D sen (ωt + ϕ)
também é solução e também tem duas constantes arbitrárias: D e ϕ. E aí? como
é que eu co? Para essa questão eu tenho saída: as duas soluções são idênticas!
Isto é, eu posso expressar as constantes A e B em termos de D e ϕ e vice-versa.
É fácil ver isso; basta escrevermos:
sen (ωt + ϕ)
=
cos ϕ sen (ωt) + senϕ cos (ωt) .
Então,
x1 (t)
=
D sen (ωt + ϕ) = (D cos ϕ) sen (ωt) + (D senϕ) cos (ωt) .
Pronto; basta identicarmos as respectivas constantes arbitrárias:
A
= D cos ϕ
B
= D senϕ.
e
Outra maneira de reescrever a mesma solução geral é
x2 (t)
=
E cos (ωt + ψ) ,
onde agora as constantes E e ψ são arbitrárias. Basta tomarmos
E
=
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D
e
ψ
ϕ−
=
π
2
e teremos
x2 (t)
π
π
π
= E cos (ωt + ψ) = D cos ωt + ϕ −
= D cos (ωt + ϕ) cos −
− D sen (ωt + ϕ) sen −
.
2
2
2
Mas,
π
cos −
2
=
cos
π
2
=0
e
π
π
sen −
= −sen
= −1.
2
2
Logo,
x2 (t)
π
π
= D cos (ωt + ϕ) cos −
− D sen (ωt + ϕ) sen −
= D sen (ωt + ϕ) = x1 (t) .
2
2
Temos, portanto, três formas idênticas de expressar a solução geral da equação
de movimento do oscilador harmônico simples:
x (t)
= A sen (ωt) + B cos (ωt) ,
x (t)
=
D sen (ωt + ϕ)
x (t)
=
E cos (ωt + ψ) .
e
É o problema especíco que estaremos tratando que denirá a forma mais conveniente.
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