Capı́tulo 14
Derivação Implı́cita e Taxas Relacionadas
14.1
Introdução
A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou,
explicitamente, por meio de uma expressão definida em termos de x. No entanto, na resolução de problemas práticos,
freqüentemente a relação entre y e x é determinada por uma equação da forma F(x, y) = 0, que não está resolvida
para y.
Pode ser que não exista nenhum ponto (x,y) do plano que satisfaça a equação
F(x, y) = 0. Neste caso, esta equação representa um conjunto vazio. Caso contrário, uma equação do tipo acima
representa uma curva no plano que pode ser o gráfico de uma ou de várias funções da forma y = f(x). Isto acontece
porque uma equação em duas variáveis x e y pode ter uma ou mais soluções para y em termos de x ou para x em
termos de y. Dizemos, então, que estas soluções são funções definidas implicitamente pela equação F(x, y) = 0.
14.1.1
Exemplos
Exemplo 1
Uma hipérbole equilátera pode ser representada pela equação xy = 1, obtido usando-se o comando implicitplot
do pacote plots do Maple.
>
implicitplot(x*y=1,x=-5..5,y=-5..5);
4
y
2
–4
–2
0
2 x
4
–2
–4
Esta equação simples determina uma função implı́cita de x, que pode ser expressa explicitamente como y = x1 .
Exemplo 2
A circunferência de centro na origem e raio 1 é representada no plano xy pela equação x2 + y 2 = 1. Tal equação
define implicitamente 4 funções contı́nuas: duas funções de y em relação a x, a saber
√
√
y = 1 − x2 e y = − 1 − x2 , para x em [−1, 1]
x
1
0.8
–0.2
0.6
–0.4
0.4
–0.6
0.2
–0.8
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
0.2 0.4 x 0.6 0.8
e duas funções de x em relação a y, a saber
√
x = 1 − y2 e
1
–1
√
x = − 1 − y 2 , para y em [−1, 1],
186
Cap. 14. Derivação Implı́cita e Taxas Relacionadas
1
1
0.8
0.8
0.6
y
0.4
0.6
y
0.4
0.2
0
–0.2
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
–1–0.8
–0.4
x
0
–0.2
–0.4
–0.4
–0.6
–0.6
–0.8
–0.8
–1
–1
Os gráficos das duas primeiras se sobrepõem para formar a circunferência unitária, o mesmo acontecendo com o
gráfico das duas últimas funções.
Exemplo 3
A equação x3 + y 3 − 4 xy = 0 representa uma curva chamada de folium de Descartes. Com a ajuda do Maple
podemos traçar seu gráfico.
>
plots[implicitplot](x^3+y^3-4*x*y=0,x=-2..3,y=-2..3,numpoints=2000);
2
y1
–2
–1
0
1x
2
–1
–2
Embora o problema de resolver, explicitamente, esta equação em termos de y seja muito complicado, podemos
notar que existem retas verticais que interceptam o gráfico acima em 3 pontos. Isso indica que podem existir 3 funções
definidas implicitamente por esta equação. O mesmo vale para determinadas retas horizontais. Por exemplo, fazendo
x = 1 na expressão x3 + y 3 − 4 xy = 0 e resolvendo a equação resultante para y, obtemos:
>
s:=subs({x=1},x^3+y^3-4*x*y=0);
s := 1 + y 3 − 4 y = 0
>
s1:=fsolve(s,y);
s1 := −2.114907541, .2541016884, 1.860805853
Neste caso particular, para x = 1 existem três valores correspondentes para y, o que mostra que a equação dada
define, pelo menos, três funções implı́citas de x.
Exemplo 4
Nem toda equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x ou x como função de y. Por exemplo,
a equação x2 + y 2 + 4 = 0 não define função alguma, pois esta equação não tem solução real (x, y) . Ela representa
apenas o conjunto vazio.
14.2
Derivação implı́cita
Nem todas as funções definidas implicitamente são deriváveis em todos os pontos do seu domı́nio. As funções que
aparecem no Exemplo 2 não são deriváveis nos pontos extremos dos intervalos onde elas estão definidas. Exatamente
nestes pontos, as retas tangentes às curvas são verticais. Em um curso de Cálculo avançado se estudam condições que
garantem quando uma função definida implicitamente é derivável. Aqui, procederemos como se as funções definidas
implicitamente fossem deriváveis em quase todos os pontos de seu domı́nio.
Admitindo que a função y = f(x ), definida implicitamente pela equação F(x, y) = 0, seja derivável, podemos
dy
calcular a derivada dx
sem ser necessário primeiro resolver a equação F(x, y) = 0, para y. O processo consiste em,
utilizando a regra da cadeia, derivar ambos os lados desta equação, considerando x como a variável independente e
y, sempre que esta variável aparecer, como uma função de x. Resolvemos, então, a equação resultante em relação à
derivada f ′ (x). Este processo é chamado de derivação implı́cita.
Exemplo 1
W.Bianchini, A.R.Santos
187
Supondo que a função y = f (x), definida implicitamente pela equação x2 + y 2 = 1, seja derivável, podemos usar a
regra da cadeia para obter f ′ (x). Assim, substituindo y por f (x) na equação dada, obtemos
x2 + (f (x))2 = 1.
Derivando ambos os lados da equação acima em relação a x, obtemos:
2 x + 2 f (x) f ′ (x) = 0
que é equivalente a
2x + 2y
dy
= 0.
dx
Para completar o processo, resolvemos esta última equação considerando
que
dy
x
=−
dx
y
dy
dx
como a incógnita. Neste exemplo, temos
Parece estranho vermos uma derivada de y com respeito a x contendo em sua expressão tanto x como y, mas esta
fórmula pode ser tão útil quanto qualquer outra. Podemos, por exemplo, usá-la para calcular o coeficiente angular da
reta tangente ao cı́rculo x2 + y 2 = 1 no ponto ( 35 , − 45 ) e obter
3
dy x 3
= .
=− =−
dx y
−4
4
4
4
3
3
(x, y)=( 5 ,− 5 )
(x, y)=( 5 ,− 5 )
Lembramos que o resultado obtido é válido, qualquer que seja a função y = f (x) definida implicitamente pela
equação x2 + y 2 = 1. Neste
exemplo especı́fico,
é fácil concluir que existem duas funções contı́nuas definidas a partir
√
√
da equação dada: y = 1 − x2 e y = − 1 − x2 . No primeiro caso,
dy
x
x
=− ;
= −√
dx
y
1 − x2
e, no segundo,
dy
x
x
=√
=− .
dx
y
1 − x2
o que confirma o resultado encontrado pelo processo de derivação implı́cita.
Exemplo 2
Vamos agora determinar a equação da reta tangente ao gráfico do folium de Descartes
x3 + y 3 = 4 xy
no ponto (2, 2). Supondo que y = y(x ), podemos usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equação
acima. Assim, temos que
3 x2 + 3 y 2 y ′ = 4 y + 4 x y ′
Resolvendo esta equação para y ′ , vem que
y′ =
4 y − 3 x2
.
3 y2 − 4 x
Calculando o valor da expressão acima no ponto (2, 2), obtemos que y ′ = −1. Este resultado fornece a declividade
da reta tangente à curva no ponto dado. Logo, a equação da reta tangente à curva x3 + y 3 = 4 xy no ponto (2, 2) é
dada por y − 2 = −(x − 2), ou x + y − 4 = 0.
Observação Você pode conferir os cálculos feitos acima através do comando implicitdiff do Maple, usado para
calcular derivadas implı́citas, como fazemos a seguir:
>
dydx:=implicitdiff(x^3+y^3=4*x*y,y,x);
dydx :=
>
3 x2 − 4 y
−3 y 2 + 4 x
subs({x=2,y=2},dydx);
−1
188
Cap. 14. Derivação Implı́cita e Taxas Relacionadas
Exemplo 3
O método descrito nesta seção também se aplica ao cálculo de derivadas de ordem superior de funções definidas
implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da função
y = y(x), definida implicitamente pela equação x2 − xy + y 2 = 16 . Derivando esta equação implicitamente com respeito a x, obtemos:
dy
dy
2x − y − x( ) + 2y( ) = 0,
dx
dx
que é equivalente a
dy
y − 2x
=
.
dx
2y − x
2
Para obter a derivada segunda de y em relação a x, isto é dd xy2 , derivamos, outra vez, a expressão obtida acima,
implicitamente, com relação a x. Para isso, aplicamos a regra do quociente como se segue:
dy
dy
dy
( dx
− 2) (2 y − x) − (y − 2 x) (2 ( dx
) − 1)
3 x ( dx
) − 3y
d2 x
=
=
.
d x2
(2 y − x)2
(2 y − x)2
Para finalizar, substituimos, nesta última expressão, o valor encontrado no primeiro passo, para
dy
dx .
Assim,
x
3 x [ y−2
6 (x2 − xy + y 2 )
d2 x
2 y−x ] − 3 y
=
=
−
.
d x2
(2 y − x)2
(2 y − x)3
Observando que x2 − xy + y 2 = 16, podemos simplificar ainda mais a expressão acima e concluir, finalmente, que
d2 x
96
=−
.
d x2
(2 y − x)3
O resultado obtido acima pode ser conferido com a ajuda do Maple:
>
implicitdiff(x^2-x*y+y^2=16,y,x,x);
6
x2 − x y + y 2
.
x3 − 6 x2 y + 12 x y 2 − 8 y 3
Como 2 x3 − 6 x2 y + 12 x y 2 − 8 y 3 = (x − 2 y)3 e x2 − xy + y 2 = 16 este resultado confere com aquele que obtivemos acima.
14.3
Taxas relacionadas
14.3.1
Motivação
Um radar da polı́cia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em
linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polı́cia, está um telefone
de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele
momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite
de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista?
radar
x=12 metros
z
y
telefone
W.Bianchini, A.R.Santos
189
Neste problema, as distâncias z do policial ao automóvel e y do automóvel em relação ao ponto da rodovia mais
próximo da árvore variam com o tempo. O radar marca a velocidade do automóvel em relação ao policial, isto é, dz
dt
quando y = 16 m. Para saber se o motorista deve ou não ser multado, precisamos determinar dy
dt , isto é, a velocidade
desenvolvida pelo automóvel no trecho reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone).
Pela geometria do problema, usando o teorema de Pitágoras, sabemos que as distâncias x, y e z estão relacionadas
pela equação
(1) z 2 = 122 + y 2 .
A partir desta equação o processo de derivação implı́cita nos permite encontrar a relação entre a taxa de variação
de z e a taxa de variação de y e então resolver o problema proposto.
Este problema é um exemplo tı́pico de uma das aplicações elementares do Cálculo: a solução de problemas de taxas
relacionadas. O método de resolução é descrito a seguir.
Derivando implicitamente a equação (1) obtemos
2z[
dz
dy
] = 2y[ ]
dt
dt
e daı́,
dy
z dz
= [ ][ ],
dt
y dt
que é a relação que procurávamos.
Quando y = 16 m = 0, 016 km, a leitura do radar nos diz que dz
dt = 70 km/h, e, usando outra vez o teorema de
Pitágoras, podemos deduzir que, neste momento, z = 20 m = 0, 02 km. Usando estes dados, a relação acima nos
permite concluir que, quando o automóvel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada é de
>
70*0.02/0.016.;
87.50000000
que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado.
Os exemplos a seguir ilustram este método aplicado a outras situações.
Exemplo
Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmara de televisão
montada no nı́vel do chão. À medida que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que
a câmara faz com o chão. (Veja animação no texto eletrônico.)
Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o balão estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmara?
(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, com que velocidade a câmara estará girando, para filmar a subida do
balão?
Vamos denotar por h a altura que o balão está do solo, d a distância do balão à câmera e por w o ângulo que a
câmera faz com o solo.
d
h
w
100 metros
Todas estas variáveis são funções do tempo decorrido, isto é, h = h(t), d = d(t) e w = w(t).
Para resolver o item (a), podemos usar o teorema de Pitágoras a fim de obter uma equação que relacione as
variáveis d e h. Assim temos que
(1)
h2 + 1002 = d2 .
Derivando esta equação, implicitamente, com relação ao tempo, obtemos:
(2)
2hh′ = 2dd′
190
Cap. 14. Derivação Implı́cita e Taxas Relacionadas
Conhecemos h′ (velocidade com que o balão está subindo) e queremos determinar d′ (velocidade com que o balão
se afasta da câmara),
√ no instante em que h = 75, isto é, quando o balão está a 75 metros de altura. Pela√equação (1)
sabemos que d = h2 + 1002 . Fazendo h = 75 nesta última expressão, obtemos que, neste instante, d = 752 + 1002
= 125. Substituindo estes valores na equação (1) temos que
75 6
18
=
.
125
5
(75)(6) = 125d′ ⇒ d′ =
dw
Para resolver o item (b), conhecendo dh
dt = 6 m/s, precisamos determinar dt , quando t = 5 s. Para isto, como
fizemos ao resolver o item (a), é necessário obter uma expressão que relacione as funções h e w e, depois, derivar a
expressão obtida implicitamente para obter uma relação entre as taxas de variação citadas.
Novamente, observando o diagrama traçado na figura anterior, podemos concluir que
tg(w) =
h
.
100
Derivando implicitamente esta equação obtemos:
(
(3)
2
(sec w)
dw
dt
)
=
1 dh
.
100 dt
Precisamos agora determinar sec2 w quando t = 5s. Nesse instante, temos que h = 30 m e daı́, usando novamente
o teorema de Pitágoras, obtemos
√
√
d = 1002 + 302 = 10 109.
√
d
, temos que sec2 w = ( 10100109 )2 = 109
Como sec(w) = 100
100 .
De (3) obtemos
dw
1
dh
=
.
dt
100 sec2 w dt
Assim, substituindo os valores obtidos para sec2 w e
dh
dt
nesta última expressão, temos que
dw
6
=
.
dt
109
Esta razão representa a velocidade angular com que a câmara gira ao acompanhar a ascensão do balão, expressa
em radianos por segundo.
Método de resolução esquematizado
Os exemplos anteriores ilustram os passos que devemos seguir para resolver problemas de taxa relacionada que
envolvem uma situação geométrica:
1. Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no problema, incluindo as variáveis dependentes e
a variável independente. Explicite claramente quais são os dados do problema e qual a taxa de variação que se
quer calcular.
2. Use o seu diagrama para determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema.
3. Derive, implicitamente, esta equação em relação à variável independente.
4. Na equação obtida após o processo de derivação, substitua os valores numéricos dados e resolva a equação
resultante em relação à incógnita do problema.
14.4
Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labimpli.mws, da versão eletrônica deste
texto.
W.Bianchini, A.R.Santos
14.5
191
Exercı́cios
1. Determine
dy
dx ,
por derivação implı́cita:
(a) xy = 10
(b) 3 x2 − 4 y 2 = 5
√
√
√
(c) x + y = 2
(d) x2 (x − y) = y 2 (x + y)
(e) 3 x3 + 5 y 3 = 15
(f) x2 + xy + y 2 = 9
2. Supondo que y seja definido implicitamente pelas equações dadas, determine
(a) x2 + y 2 = 4
(b) x1 + y1 = 1
(c) sen(y) = x y
(d) x2 + xy + y 2 = 3
dy
dx
e
d2 y
d x2 .
(e) y 3 + x2 + x = 5
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida pela equação dada, no ponto P :
(a) Folium de Descartes: x3 + y 3 = 2 xy ; P = (1, 1)
(b) Cardióide: x2 + y 2 + x =
√
4
x2 + y 2 ; P = ( 25
,
3
25 )
y
–2
x
√
(c) Lemniscata de Bernoulli: (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 ; P = ( 2 5 3 ,
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2
2
2
(d) Astróide: x( 3 ) + y ( 3 ) = 1 ; P = (
(e) x3 + 4 y 2 = 6 xy; P = (2, 1)
(f)
2
4x y
3
√
2
4 ,
−
√
3
5 )
0.2 0.4 0.6 0.8
x
1
√
2
4 )
(g) x2 y 3 = 2 y + x; P = (−1, 1)
= 5 x + y 2 ; P = (−1, 3)
4. Encontre os pontos da curva em que a reta tangente é horizontal e os pontos em que ela é vertical:
(a) x4 + y 4 + 2 = 4 xy 3
2
(b) (x2 + y 2 ) = x2 − y 2
(c) x3 + y 3 = 2 xy
192
14.6
Cap. 14. Derivação Implı́cita e Taxas Relacionadas
Problemas propostos
1. Use derivação implı́cita para mostrar que qualquer reta tangente em um ponto P (x, y) de uma circunferência de
centro em C(x0 , y0 ) é perpendicular ao raio OP .
2. A luz de um farol giratório deve acompanhar um navio que se move paralelamente à costa. Sua posição,
considerada a partir do ponto em que ele é perpendicular à costa, é dada por s(t) = t2 . Sabendo-se que a
distância do navio à costa é de 2 km, calcule a velocidade angular do farol, após o inı́cio do seu movimento.
3. Uma lâmpada colocada num poste está a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha afastando-se
do poste à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?
√
4. Um ponto se move ao longo da parte superior da parábola y = x, de modo que sua abscissa cresce na razão
constante de 3 m/s. A projeção de P sobre o eixo x é M . Com que velocidade varia a área do triângulo OM P ,
onde O é a origem, quando a abscissa de P é igual a 4 m.
5. Enche-se de gás um balão esférico à razão de 4 m3 /min. Com que velocidade cresce o raio do balão no instante
em que mede 1 m?
6. Um bote está sendo puxado para o cais, por meio de uma corda com uma extremidade amarrada ao bote e a
outra, passando por uma roldana fixada no cais, 1,5 m acima do nı́vel do bote. Se a corda é puxada à razão de
0,5 m/s, com que velocidade o bote se aproxima do cais no instante em que ele está a 3 m da roldana?
7. Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 0,5 m3 . O raio da base do monte é sempre igual à
metade da sua altura. Com que velocidade cresce a sua altura quando ela está a 2 m?
8. Uma fonte luminosa aproxima-se perpendicularmente de uma parede com velocidade constante de 2 m/s, projetando uma imagem circular sobre esta. Sabendo-se que a abertura do facho de luz é de π2 radianos, calcule a
velocidade com que a área iluminada sobre a parede está diminuindo quando a distância da fonte à parede é de
1 m.
9. Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3 m/s. Quando o balão está a 48 metros do solo, passa,
exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de 20 m/s. Quatro segundos após este instante, com
que velocidade varia a distância entre eles?
10. Um quadro de 1 metro de altura é colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja no mesmo nı́vel dos
olhos de um observador que está se aproximando da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade a
medida do ângulo de visão do quadro estará variando quando o observador estiver a 2 metros da parede?
14.7
Um pouco de história: Um desafio a Fermat
Descartes suspeitou que o sucesso do método das secantes utilizado por Fermat para determinar a equação da tangente
a uma curva dependia da existência de uma relação explı́cita entre y e x, da forma y = f(x) e, então, desafiou-o a
encontrar tangentes à curva x3 + y 3 = n x y, com n = 1,2,.... Por isso, esta curva ficou conhecida como o Folium de
Descartes. Neste caso, não é possı́vel explicitar y como função de x, portanto, para resolver o problema é preciso
empregar o processo de diferenciação implı́cita, como foi feito neste capı́tulo.
Fermat aceitou o desafio proposto por Descartes e não encontrou dificuldades em resolver este problema.
Usando a idéia de que a reta tangente a uma curva qualquer, num ponto (x, y), poder ser obtida como o limite de
retas secantes que passam pelos pontos (x, y) e (x + h, y + k), quando h e k tendem a zero, Fermat calculou o valor
da expressão F (x, y) = 0 no ponto (x + h, y + k) e “passou o limite”, desprezando todos os termos contendo potências
de h e k ou seus produtos (repare que se h e k são números pequenos, para n ≥ 2, hn , k n e hk são desprezı́veis em
relação à unidade). A declividade da reta tangente seria dada, então, pela razão hk .
Embora o método por ele empregado fosse mais complicado do que aquele que empregamos hoje e envolvesse um
conceito nebuloso de limites, funcionava em problemas do tipo daquele proposto por Descartes.
14.8
Para você meditar: Quando as contas não fazem sentido!
Existe esta “curva”?
Considere a seguinte equação x (x + 6) + y 2 − 4 y + 14 = 0. Considerando que esta equação define implicitamente y
como função de x e usando o Maple para calcular a derivada dessa função, obtemos:
>
Diff(y,x)=implicitdiff(x*(x+6)+y^2-4*y+14=0,y,x);
W.Bianchini, A.R.Santos
193
∂
∂x
y=−
x+3
y−2
(a) Explique por que a expressão acima é completamente sem sentido.
Sugestão: Que curva plana é definida pela equação x (x + 6) + y 2 − 4 y + 14 = 0?
Derivando equações ou qual o sentido da derivação implı́cita?
Considere a equação cúbica x3 = 3 x + 8. Derivando ambos os membros desta equação em relação a x, obtemos
3 x2 = 3. Esta última equação admite duas soluções, x = 1 e x = −1, mas nenhum destes valores é solução da equação
original.
(a) O que está errado? Afinal, em vários exemplos deste capı́tulo derivamos ambos os membros de uma equação.
Este procedimento é correto ou não? Por que o processo de derivação implı́cita é válido para calcular a derivada
de uma função definida por uma expressão do tipo F(x, y) = 0 e não pode ser aplicado no contexto do exemplo
acima.
Se
dy
dx (x0 , y0 )
= 0 a tangente à curva F(x, y) = 0 é horizontal?
O problema a ser estudado aqui é o de calcular os pontos no gráfico da equação x3 + y 3 = 3 x y − 1 nos quais a reta
dy
tangente à curva seja horizontal. Para resolver este problema é preciso encontrar os pontos onde dx
= 0. Usando o
processo de derivação implı́cita temos
>
Diff(y,x)=implicitdiff(x^3+y^3 = 3*x*y-1,y,x);
∂
∂x
Desta última expressão resulta que
dy
dx
y=
x2 − y
−y 2 + x
= 0 se e somente se y = x2 e x ̸= y 2 .
(a) O ponto (1, 1) pertence à curva dada e satisfaz a relação y = x2 . Neste ponto a tangente ao gráfico da curva é
horizontal?
(b) Mostre que não há pontos no gráfico da curva x3 + y 3 = 3 x y − 1 onde a reta tangente seja horizontal.
Sugestão: Use o comando implicitplot do Maple para traçar o gráfico desta equação.