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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Rafael de Freitas Manço (UNI-FACEF)
Antônio Acra Freiria (UNI-FACEF)
INTRODUÇÃO
Nas mais diversas áreas das ciências as equações diferenciais
aparecem em situações práticas. A idéia é de que é possível matematizar
problemas reais e solucioná-los. Para isso precisamos criar um modelo
matemático, onde devem ser identificadas as variáveis responsáveis por
mudanças desse modelo e criar hipóteses razoáveis sobre o sistema. Esse
modelo matemático muitas vezes é uma equação diferencial.
A origem e a resolução de equações diferenciais ordinárias, num
certo sentido, começaram assim que a relação inversa entre diferenciação e
integração foi assumida, com o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral
no século XVII por Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1642-1726). Mas
a maior parte das equações diferenciais ordinárias não pode ser facilmente
reduzida à simples quadraturas, exigindo substituições e algoritmos sofisticados
para uma resolução.
Durante anos muitos matemáticos se esforçaram para resolver
diversos tipos particulares de equações. Por isso há vários métodos de soluções e
o que funciona para uma pode não funcionar para outra. Equações diferenciais
são o coração da análise e do cálculo, e um dos ramos mais importantes da
Matemática.
MODELAGEM MATEMÁTICA
São os modelos que auxiliam a descrição de fenômenos físicos e
nos ajudam a compreender e interpretar os fenômenos do cotidiano.
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O conceito de modelagem matemática é algo muito discutido e, cada
autor a define de maneira diferente, mas se apóiam na idéia de que é possível
matematizar problemas reais e solucioná-los através da interpretação de suas
respostas, utilizando a linguagem da realidade.
Bassanezi (2006, p.20) afirma que o modelo matemático é “um
conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o
objeto estudado”.
É importante diferenciar o conceito de modelo e modelagem
matemática, onde o primeiro é resultado do último, ou seja, encontra-se um
modelo matemático após a conclusão do processo de modelagem matemática.
Segundo Bassanezi,
“Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a
obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de
abstração e generalização com a finalidade de previsão de
tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de
transformar situações da realidade em problemas matemáticos
cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual”.
A modelagem é eficiente a partir do momento que nos
conscientizamos que estamos sempre trabalhando com
aproximações da realidade.
Ainda segundo Bassanezi (2006, p.20), é de extrema relevância que
um modelo matemático possua linguagem precisa, exata, sem provocar falsas
interpretações.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou
mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes,
é chamada de equação diferencial (E.D).
Quando estão envolvidas apenas duas variáveis, de maneira que só
pode ocorrer derivadas em relação a uma variável, a equação é chamada de
equação diferencial ordinária (E.D.O).
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Uma equação diferencial ordinária para y(x) é uma equação
envolvendo derivadas de y(x) com relação à variável independente x.
Uma solução de uma E.D.O é uma função f definida em algum
intervalo I , que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a
uma identidade, f é chamada de solução para a equação no intervalo.
A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é,
por definição, a ordem da equação.
Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser
escrita na forma:
a n ( x)
dy
dny
d n −1 y
+
a
(
x
)
+ ... + a1 ( x)
+ a0 ( x) y = g ( x)
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas
propriedades:
•
A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau,
isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1.
•
Cada coeficiente depende apenas da variável independente x .
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Como definimos anteriormente a ordem de uma equação diferencial
é a ordem da derivada de maior ordem na equação. Podemos então representar
uma equação diferencial de primeira ordem da seguinte maneira:
f ( x, y , y ' ) = 0
Também podemos escrevê-lá da seguinte forma:
dy
= f ( x, y , )
dx
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PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Na prática, uma equação diferencial ocorre com uma ou mais
condições. Por exemplo, se estivermos interessados em resolver a equação
diferencial de primeira ordem:
dy
= f ( x, y , )
dx
sujeita à condição inicial y ( x0 ) = y 0 o problema é chamado de problema de valor
inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação
diferencial, denifida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por
um ponto ( x0 , y 0 ) .
Vamos começar com a mais simples de todas as equações de
primeira ordem, que é a chamada equação de variáveis separáveis.
EQUAÇÃO SEPARÁVEL
Uma equação diferencial da forma
dy
dx
=
g ( x)
h( y )
é chamada separável ou tem variáveis separáveis. A equação pode ser escrita
assim:
h( y ) d y = g ( x ) d x
O método de solução consiste em integrar ambos os lados de
h( y )d y = g ( x)d x para assim encontrar uma família de soluções.
h( y )d y = g ( x )d x ⇒ ∫ h( y )dy = ∫ g ( x )dx + c , em que c é completamente arbitrária.
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APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Vamos ver agora algumas aplicações das equações diferenciais de
primeira ordem.
RESFRIAMENTO DE UM CORPO AQUECIDO
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a
temperatura do corpo e a temperatura constante do ambiente.
Pode-se representar isto através de uma equação:
∆T = K (TC − TA )∆t onde :
∆T : variação de temperatura sofrida pelo corpo;
K : representa um coeficiente de proporcionalidade, que dependerá da superfície
exposta, do calor específico do corpo e também é função de características do
meio ambiente;
TC : Temperatura inicial do corpo;
TA : Temperatura ambiente;
∆t : Intervalo de tempo.
A equação ∆T = K (TC − TA )∆t pode ser escrita na forma diferencial como:
dT
= − K (TC − T A )
dt
Notemos que esta equação é separável; portanto:
dT
= −kdt
T − TA
O coeficiente k depende de diversos fatores tais como:
•
Superfície exposta
•
Calor específico do corpo
•
Características do meio
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Esses fatores influenciam o resfriamento de um corpo e para tornar
isto mais claro, observemos algumas figuras (1 a 6) e gráficos coletados em
diferentes situações, durante a atividade experimental.
_______________
Os dados representados nestes gráficos foram coletados pelos alunos da CEFET-RS
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Comparando as Figuras 1 e 2 pode-se verificar a influência do
meio externo no resfriamento de um corpo. Nas duas situações temos o
mesmo volume de liquido, 25 ml de água, resfriados em um mesmo recipiente,
porém um deles imerso em ar e outro e outro em água. Verifica-se que o
resfriamento ocorrido com o tubo de ensaio imerso em água foi mais rápido.
Já nas figura 2 e 3 verifica-se a influência das condições de
temperatura do meio externo no resfriamento. Variou-se a temperatura do
meio, constatando-se que o resfriamento ocorre mais rapidamente a uma
temperatura externa mais baixa.
As figuras 4 e 5 mostram os dados coletados para volumes iguais,
200 ml, de um mesmo liquido em recipientes de tamanhos diferentes. Verificase, neste caso, que a superfície exposta do corpo interfere na rapidez do
resfriamento. Constata-se que, quanto maior for a superfície exposta do corpo,
mais rápido será seu resfriamento.
Podemos verificar, comparando as figuras 4 e 6, a influência do
volume do corpo na rapidez de resfriamento, percebe-se que quanto maior o
volume envolvido, menor será a rapidez de resfriamento.
Ainda há problemas de resfriamento que recaem em problemas
de valor inicial. Consideremos por exemplo um bolo retirado do forno, a uma
temperatura inicial de 300° F . Três minutos depois, sua temperatura passa
para 200° F .Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70° F , se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente
70° F ?
Sendo TA =70 devemos então resolver o problema de valor inicial:
dT
= k (T − 70) , T (0) = 300 e, determinar o valor de k para que T (3) = 200 .
dt
Separando-se as variáveis, temos:
dT
= kdt ⇒ ln | T − 70 |= kt + c ⇒ T = 70 + ce kt .
T − 70
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Aplicando a condição inicial T (0) = 300 temos c = 230 , e de T (3) = 200
temos k = −0,19018 .
Então, T (t ) = 70 + 230e −0,19018t e à medida que t → 30 temos T = 70 .
DECAIMENTO RADIOATIVO
A proporção de carbono-14 presente na matéria orgânica viva é
constante. Porém na matéria orgânica morta a quantidade de C-14 diminui com
o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente. Se chamarmos essa
quantidade de Q , teremos que a variação de Q por unidade de tempo é
proporcional a Q :
∆Q
= −kQ
∆t
Porém, falando em termos de variação instantânea:
dQ
= −kQ
dt
Podemos resolver esta equação diferencial por separação de
variáveis :
dQ
= −kdt ⇒ ln Q = −kt + c ⇒ Q = ce −kt
Q
Levando-se em conta a condição inicial Q(t = 0) = Q0 temos:
Q = Q0 e − kt
Este resultado constitui a base do processo de datação do
carbono-14.
ESCOAMENTO DE LIQUIDO DE UM TANQUE
Considere o problema do líquido se escoando de um tanque através
de uma pequena abertura na base.
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Verifica-se por observação que, quando o líquido escorre livremente,
sob ação da parte superior do líquido a velocidade de escoamento é proporcional
a
gy , sendo y a altura do liquido acima do orifício. Assim, o volume de liquido
que se escoa pelo orifício de área A , por unidade de tempo, será KA gy . A
constante de proporcionalidade k depende dos detalhes da configuração do
orifício e do tanque, como um todo, mas é, em geral, da ordem da unidade.
Suponha que S (v) seja a área da seção transversal do tanque numa
altura y . Num tempo dt , a diferença de nível do liquido que se escoa é − dy .
Então o volume do líquido que saiu do tanque é igual a
KA gy dt ; é também
igual a − S ( y )dy, uma vez que esse é o volume “deixado vago” conforme o nível
cai. Assim, KA gy = − S ( y ) dy
dt
Considere o líquido contido no interior de um funil de semi-ângulo α .
O funil inicialmente se enche até uma altura h e o líquido se escoa através de um
tubo de raio a. Aqui a seção transversal do funil é um circulo de raio ytg (α ) ; logo
S ( y ) é simplesmente igual a π ( ytgα )2 .
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Analogamente, A é igual a πa ² . Com esses valores a equação
KA gy = − S ( y )
dy
se torna:
dt
3
ka ² g
dy
kπa ² gy = − π ( ytgα )²
ou
dt = − y 2 dy .
dt
tg ²α
Integrando vem:
ka ² g
tg ²α
t=
−2
5
y
5
2
+C =
2 5
( 2−
5 h
y
5
2
),
pois y = h , quando t = 0 . Esta última equação é a relação desejada entre y e t .
O tanque estará vazio quando y = 0, e isso ocorrerá após um tempo
t=
2
5k
h
5
2
tg ²α
a² g
. Concluímos que o volume do líquido que se encontra inicialmente no
1
2
funil é proporcional a h(htgα )² ; o tempo para esvaziar o funil será proporcional a
isso; será inversamente proporcional ao tamanho do orifício, isto é, a a², e à
velocidade média de escoamento, isto é
gh .
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Curle, N. Equações Diferenciais Aplicadas.Tradução de Maria Cristina Bonomi
Farufi. 1.ed. São Paulo: Edgard Blucher, Ed. da Universidade de São Paulo, 1975.
93 p.
Dennis G. Zill, Michael R. Cullen.Equações Diferenciais.Tradução de Antonio
Zumpano. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2001. 473 p.
Figueiredo, D.G e Neves, A.F Equações Diferenciais Aplicadas. 3ed. Rio de
Janeiro: IMPA 2007. 307 p.
Ladeira, L.A.C. Álgebra Linear e Equações Diferenciais ICMC-USP, 2004.