CAPÍTULO 2
DIMENSÕES E UNIDADES.
Neste capítulo são estabelecidos os procedimentos necessários para a
definição e a quantificação de uma grandeza.
Para isto, apresentam-se o conceito de dimensão e o conceito de unidade.
É apresentado, também, o conceito de grandeza adimensional e uma primeira
incursão nos processos de adimensionalização de uma equação é feita.
Neste e nos demais capítulos será utilizado o sistema de dimensões que possui
como dimensões primárias principais a massa o comprimento o tempo e a
temperatura. Da mesma maneira o sistema de unidades utilizado será o Sistema
Universal de Unidades - SI - que deriva do sistema de dimensões mencionado.
1. DESCRIÇÃO DE UMA GRANDEZA
No estudo de um fenômeno físico se lida com uma variedade enorme de
grandezas. Para analisá-las, quantificá-las e correlacioná-las torna-se necessário
desenvolver procedimentos que permitam descrever qualitativa e quantitativamente
estas grandezas.
Observe que existem duas classes de grandezas: as grandezas que são contadas
(por exemplo, o número de frutas de uma caixa) e as grandezas que são medidas (por
exemplo, o comprimento de uma mesa). As grandezas que são contadas não possuem
dimensão e as grandezas que são medidas possuem uma dimensão associadas a ela. O
conceito de dimensão e suas conseqüências são desenvolvidos a seguir.
A descrição qualitativa de uma grandeza que é medida serve para identificar a
sua natureza, o seu tipo, enfim, a essência da grandeza. Por exemplo, uma grandeza é
definida qualitativamente como sendo o comprimento de um corpo, a velocidade de
um veículo, a temperatura do fluido, uma propriedade do fluido, etc. Como será visto
a seguir, não se pode descrever quantitativamente uma grandeza sem antes definir um
padrão de comparação. Assim sendo, diz-se que um tubo tem o diâmetro de (1/2)
polegada, uma mesa tem o comprimento de 3 pés e que a sala possui uma largura de 5
m; foram usados três padrões de comparação (polegada, pé e metro) mas se pode
identificar uma propriedade comum: a dimensão de comprimento. De maneira análoga
temos a dimensão de tempo, dimensão de massa, etc; o conceito de dimensão é
retomado na parte 2 deste capítulo.
A descrição quantitativa de uma grandeza é utilizada para fornecer um valor
numérico de comparação. Como conseqüência deste fato, conclui-se que para
descrever quantitativamente uma grandeza são necessários:
- um padrão com o qual a grandeza será comparada.
- um número que indicará o resultado da comparação.
Quando, por exemplo, a grandeza é identificada (ou descrita qualitativamente)
como um comprimento, o padrão de comparação pode ser o metro, o pé, a polegada,
etc. ou ainda outra denominação qualquer (desde que seja aceita por um grupo, um
pais, uma comunidade, etc.). Analogamente, se a grandeza é identificada como sendo
o tempo, o padrão de comparação pode ser o segundo, a hora, o século, etc. Estes
padrões de comparação são denominados de unidades. A viscosidade, uma
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
propriedade do fluido, também possui uma unidade, mas que não é definida de
maneira tão simples (e direta) como as unidades de comprimento e de tempo acima
mencionadas; este aspecto será retomado mais abaixo.
Tendo escolhido o padrão de comparação (e, para isto, será necessário o
conceito de dimensão) a descrição quantitativa se completa ao se associar um número
à grandeza que se está descrevendo; este número é a medida; ele indicará se a
grandeza é igual ou, se for diferente, quantas vezes ela é maior ou menor que o padrão
de comparação. Escreve-se:
( x )
tamanho
= ( x* ) . ( xu )
unidades
padrão
EXEMPLO 1. Uma rua possui 100 m. O que isto significa?
Isto significa que a grandeza em questão é identificada (descrita qualitativamente)
como sendo “o comprimento da rua” e que esta grandeza é quantificada (descrita
quantitativamente) como sendo igual a 100, ou seja, o comprimento da rua é 100
vezes maior do que o padrão de comprimento adotado; no caso o padrão de
comprimento ou unidade de comprimento é o metro.
Fim do Exemplo 1
EXEMPLO 2. Uma viagem leva 2 horas para se completar. O que isto significa?
Isto significa que a medida da grandeza (grandeza = tempo de duração da viagem) é 2,
ou seja, o tempo de duração da viagem é 2 vezes maior do que o padrão de tempo
adotado; no caso o padrão de tempo ou unidade de tempo é a hora.
Fim do Exemplo 2
EXEMPLO 3. Uma mesa possui uma área de 1.5m2. O que isto significa?
Isto significa que a medida da grandeza (grandeza = área da mesa) é 1.5, ou seja, a
área da mesa é uma vez e meia maior do que o padrão de área adotado; no caso o
padrão de área ou unidade de área é o metro quadrado. Observe que neste caso a
unidade (m2) é expressa utilizando uma unidade de outra grandeza mais simples, o
metro. Esta possibilidade é de uma importância prática muito grande como será visto
Fim do Exemplo 3
abaixo.
2
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
2. DIMENSÕES PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS
A descrição de um objeto ou de um fenômeno físico, via de regra, exige a
utilização de um número enorme de grandezas.
Por exemplo:
- para se descrever um carro é necessário conhecer o seu comprimento, a sua largura,
a sua altura, a sua área envidraçada, a sua potência, etc., etc.
- para a descrição do vento que sopra num dado local exige que se conheça a sua
velocidade, a direção e o sentido desta velocidade, entre tantas outras grandezas.
Se o número de grandezas necessárias para a descrição do objeto ou fenômeno
for três, por exemplo, haverá a necessidade de se definir três unidades (ou três
padrões), uma para cada grandeza; esta tarefa torna-se difícil de ser realizada e,
também, pouco prática se o número de grandezas fosse duplicado. A tarefa tornar-seia praticamente impossível se o número de grandezas aumentasse para dez, vinte
vezes, por exemplo.
De fato, num mundo globalizado, seria muito pouco prático manter um
número grande de padrões que deveriam ser exatamente iguais nas várias partes do
planeta; manter um número grande de padrões em todos os paises é, no entanto, uma
necessidade!
Por este motivo é conveniente utilizar um número pequeno de grandezas que
serão denominadas de grandezas com dimensão básica (ou dimensão primária) em
função das quais as outras grandezas com dimensão derivada (ou dimensão
secundária) são expressas. Com este procedimento o número de unidades básicas fica
reduzido, como visto uma providência necessária do ponto de vista prático.
Para ilustrar este procedimento observe os exemplos 1 e 3. No exemplo 1 foi
adotado o metro como unidade (padrão) de comprimento e no exemplo 3 a unidade
(padrão) de área foi definida utilizando a unidade (padrão) de outra grandeza o
comprimento. Neste caso, a dimensão do comprimento é uma dimensão básica ou
dimensão primária e a dimensão da área é uma dimensão derivada ou dimensão
secundária.
Na seqüência desta apresentação, deverá ficar claro que o número de unidades
primárias será igual ao número de grandezas com dimensão primária.
Pode-se e é muito comum eleger as seguintes grandezas como sendo aquelas
que possuem dimensões primárias:
- o comprimento, cuja dimensão é indicada por [L].
- o tempo, cuja dimensão é indicada por [T].
- a massa, cuja dimensão é indicada por [M].
Um conjunto de grandezas com dimensões primárias forma um sistema de
dimensões. Se o sistema de dimensões for completo, as dimensões das demais
grandezas podem ser expressas em função das suas dimensões primárias; em princípio
um sistema de dimensões exige apenas as três dimensões, embora não
necessariamente as três acima mencionadas.
Se o fenômeno incluir trocas de calor, no entanto, é comum incluir, ao sistema
de dimensões com as três dimensões primárias, uma nova dimensão, a temperatura.
- a temperatura, cuja dimensão é indicada por [θ]
Para que fenômenos de outra natureza sejam quantificados inclui-se, também,
outras dimensões. A conseqüência da inclusão destas dimensões leva a uma super3
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
especificação que possui suas conseqüências como, por exemplo, a necessidade da
utilização da coeficientes dimensionais nas expressões; a análise destes casos está
além dos nossos objetivos imediatos.
O sistema de dimensões que será adotado e utilizado neste e nos demais
capítulos possui as dimensões primárias mostradas na tabela abaixo.
TABELA 1
SISTEMA DE DIMESÕES
DIMENSÕES
COMPRIMASSA
PRIMÁRIAS
TEMPE-
CORRENTE
QUANTIDADE
QUANTIDADE
RATURA
ELÉTRICA
DE LUZ
DE MATÉRIA
[θ]
[I]
[C]
[Ma]
TEMPO
MENTO
SÍMBOLO
UTILIZADO
[M]
[L]
[T]
Observe, também, que a escolha do comprimento, do tempo e da massa, etc
como dimensões primárias não é a única possível; outros sistemas de dimensões
existem e são utilizados. Como exemplo menciona-se o sistema de dimensões que
utiliza a força (cuja dimensão é indicada por [F]), o comprimento (cuja dimensão é
indicada por [L]), e o tempo (cuja dimensão é indicada por [T]), como dimensões
primárias, por exemplo.
É comum indicar um comprimento pela letra l , a área de uma superfície por
A, a velocidade por V, a aceleração por a, a intensidade da força por F, a massa
específica por ρ e assim por diante. A dimensão destas grandezas é indicada
colocando-se estas letras entre parênteses; por exemplo:
- a dimensão do comprimento é indicada por [ l ],
- a dimensão da área é indicada por [A],
- a dimensão da força é indicada por [F],
- a dimensão da massa específica é indicada por [ρ],
-etc.
Para exemplificar, as dimensões de algumas grandezas (expressas em função
das dimensões primárias) são apresentadas a seguir:
Área: como a área é expressa pelo produto de dois comprimentos, tem-se:
[A] = [M0 L2 To] = [L2]
(1)
Velocidade: como a velocidade é expressa pela razão entre um comprimento e o
tempo gasto para percorrê-lo, tem-se:
[V] = [M0 L1 T-1] = [L1T-1]
Aceleração: como a aceleração é expressa pela razão entre uma (variação da)
velocidade e o tempo (necessário para que esta variação ocorra), tem-se:
[a] = [M0 L1 T-2] = [L1T-2]
Força: como a força é expressa pelo produto de uma massa pela sua aceleração, temse:
[F] = [M1 L1 T-2] = [M1L1T-2]
Massa específica: esta grandeza é definida como a massa, m, contida num volume
unitário, logo:
[ρ] = [M1L-3To] =[M1L-3]
4
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
Pressão: esta grandeza representa uma força específica, isto é, a força que atua por
unidade de área, logo:
[p] = [M1 L-1 T-2] = [M1L-1T-2]
Observe que as grandezas utilizadas para exemplificar possuem dimensões
secundárias.
Deve-se observar, também, que a dimensão de uma área é representada como
mostra a equação (1), isto é, [A] = [L2]. Seria errado escrever apenas [L2].
EXERCÍCIO 1. Utilize o símbolo ζ para representar o trabalho realizado por uma
força F que aplicada sobre um corpo o desloca de uma distância ℓ. Em seguida, utilize
a definição de trabalho para escrever a dimensão de ζ.
EXERCÍCIO 2. Observe que a definição de trabalho não permite avaliar o real
desempenho do sistema ou equipamento que realizou o trabalho. Isto se deve ao fato
de que não se considera o tempo que foi necessário para a sua realização. Para
caracterizar este desempenho é necessário utilizar outro conceito, a potência P.
Escreva a dimensão desta nova grandeza.
5
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
3. SISTEMAS DE UNIDADES
Dos sistemas de dimensão originam-se os sistemas de unidades uma vez que
as unidades são as magnitudes atribuídas às dimensões.
Do sistema de dimensões (massa-comprimento-tempo) origina-se o sistema
internacional de unidade – SI – com as seguintes unidades:
- unidade de massa
kilogramo (kg)
- unidade de comprimento
metro (m)
- unidade de tempo
segundo (s)
- unidade de temperatura
grau Kelvin (K)
- unidade de corrente elétrica
ampere (A)
- unidade de luz
candela (cd)
- unidade de matéria
mol (mol)
Neste sistema algumas grandezas possuem nomes especiais. Por exemplo, a
unidade de força (uma grandeza com dimensão secundária) é o newton (N). Para sua
definição utiliza-se a segunda lei de Newton e, portanto, a unidade de força é definida
como sendo a força que aplicada numa massa de 1 kg resulta numa aceleração de 1
m/s2. Resulta que a unidade N é igual a (kg)(m/s2).
De maneira análoga, utilizando-se das leis e definições da Física, outras
grandezas são definidas como exemplificado a seguir
- unidade de força
1N = (1 kg)(1 m/s2) = kg.m/s2
newton (N)
- unidade de trabalho joule (J)
1 J = (1 N)(1 m) = N.m = kg.m2/s2
- unidade de pressão pascal (Pa)
1 Pa = (1N)/m2
- unidade de potência watt (W)
1 W = (1J)/(1s) = kg.m2/s3
-
etc.
A Tabela 2 é adicionada como ilustração. Esta tabela apresenta as dimensões e
unidades primárias e alguns exemplos de grandezas com dimensões secundárias ou
derivadas; apresentam-se, também, sugestões para símbolos que são usualmente
utilizados para representar as grandezas. A Tabela A1 do Anexo complementa a
presente tabela.
O sistema de dimensões (força-comprimento-tempo-temperatura-etc) dá
origem ao sistema de unidades BG (British Gravitational) que utiliza as seguintes
unidades mais usuais:
- unidade de força
libra força (lb)
- unidade de comprimento pé (ft)
- unidade de tempo
segundo (s)
- unidade de temperatura
grau Rankine (oR)
Além das unidades do Sistema BG, outras são de uso corrente, como por
exemplo; veja, também, a Tabela A2 do Anexo.
- unidades de comprimento
1 pé (ft)
= 0.3048m
1 polegada (inch)
= 0.0254m
- unidades de massa
1 libra massa(ℓbm)
1 slug (slug)
= 0.45359kg
= 14.5939kg
6
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
- unidades de força
1 kilogramo-força (kgf)
1 libra-força(ℓbf)
= 9.807N
= 4.4482N
- unidades de energia
1 British thermal unit (Btu) = 1.0551kJ
1 caloria (cal)
= 4.1868 J
- unidades de pressão
1 atmosfera (atm)
1 bar
= 101.325Pa = 1.01325bar
= 105Pa
≈ 0.987 atm
≈14.696 psi
≈14.504 psi
1 psi
≈ 6894.757Pa ≈ 68.046*10-3atm
≈ 68.9*10-3bar
1kgf/cm2
= 9.807 N/cm2 = 0.9679 atm
= 14.223psi
TABELA 2
GRANDEZAS NO SISTEMA SI
GRANDEZA
SÍMBOLO DIMENSÃO UNIDADE
(sugerido)
Massa
m
[M]
kg
Comprimento
ℓ
[L]
m
Tempo
t
[T]
s
Temperatura
T
[ϴ]
K
Corrente Elétrica
i
[I]
A
Quantidade de Luz
[Lu]
cd
Quantidade de Matéria
[Mo]
mol
Velocidade
V
[MoL1T-1]
m/s
Aceleração
a
[MoL1T-2]
m/s2
Força
F
Torque
Q
Pressão
p
Trabalho
Г
Energia
E
Potência
P
[M1L1T-2]
[M1L2T-2]
[M1L -1T-2]
[ML2T-2]
Newton
N = kg. m/s2
N.m
Pascal
N.m2
Joule
J = N.m
[ML2T-3]
Watt
W = J/s
No Sistema de Unidades SI a escala utilizada para a medida da temperatura é a
Escala Celsius (anteriormente conhecida como Escala Célsius). Nesta escala a água
congela-se a 0oC e entra em ebulição a 100ºC. Por outro lado a Escala Fahrenheit é
7
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
muito utilizada nos países de língua inglesa; esta escala atribui o valor 32ºF e 212ºF
para as temperaturas em que a água se congela e entra em ebulição respectivamente.
Desta maneira as expressões para a conversão da temperatura entre estas escalas são:
o
F = 32 + (9/5)oC
o
C = (5/9)(oF – 32)
e
(2)
No entanto, é bastante conveniente se dispor de uma escala de temperaturas
que independa das propriedades de qualquer substância; esta escala é denominada de
Escala Termodinâmica de Temperaturas.
A escala termodinâmica no Sistema SI é a Escala Kelvin. Nesta escala, a
menor temperatura é o zero absoluto, ou 0 K (não se utiliza Xo K para indicar que a
temperatura é X; utiliza-se indicar este fato como: X K); na Escala Celsius esta
temperatura é igual a -273.15ºC. Nesta escala a diferença de temperatura
correspondente a 1 grau é a mesma daquela utilizada para indicar 1 grau Celsius.
Assim sendo, elevar a temperatura de um líquido de 10oC é o mesmo que elevar a
temperatura de 10 K.
0K
- 273.15oC
- 459.67oF
273.15 K
373.15 K
0o C
100o C
212o F
o
32 F
Zero
Água
Água
absoluto
congela
ferve
K
o
o
C
F
FIGURA 1
ESCALAS DE TEMPERATURA USUAIS
As expressões para a conversão da temperatura são:
K = 273.15 + oC
o
e
C = K – 273.15
(3)
∆T(K) = ∆T(oC)
A escala termodinâmica no Sistema Ingles é a Escala Rankine e a seguinte
expressão é utilizada para a conversão da temperatura
R = 459.67 + oF
(4)
∆T(R) = ∆T( F)
o
1K
1o C
1.8o F
1.8R
FIGURA 2
MAGNITUDE DAS UNIDADES DE TEMPERATURA
EXEMPLO 4. A água em condições normais entra em ebulição a uma temperatura de
100oC.
A) Para se obter a temperatura, expressa em graus Kelvin, em que a água entra em
ebulição utiliza-se a expressão (3):
273.15 + 100 oC = 373.15 K
B) Para se obter a temperatura, expressa em graus Fahrenheit, em que a água entra em
ebulição, utiliza-se a expressão (2):
32 + (9/5) 100oC = 32 + (1.8) 100 = 212oF
8
Fim do Exemplo 4
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
EXEMPLO 5. Exprimir, no sistema SI, o comprimento de uma mesa que possui 10 ft
de comprimento. De acordo com a Tabela A2, tem-se:
GRAMDEZA
Comprimento
Tendo
Para obter
ft
m
Multiplique por
0.3048
Logo o comprimento da mesa, expresso em metros, é: 10 * 0.3048 = 3.034 m.
Fim do Exemplo 5
9
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
4. GRANDEZA ADIMENSIONAL E GRANDEZA CARACTERÍSTICA.
Podemos agrupar as grandezas em duas grandes classes: grandezas que são
contadas e grandezas que são medidas. Uma grandeza que é contada é uma grandeza
sem dimensão (com dimensão nula) é uma grandeza adimensional; exemplo de uma
grandeza adimensional é o número de frutas de uma cesta. Uma grandeza que é
medida utiliza uma unidade (com a mesma dimensão da grandeza) para descrevê-la
quantitativamente.
A utilização de grandezas adimensionalizadas não é apenas comum, mas
também, é muito conveniente.
Para exemplificar consideremos uma circunferência de diâmetro d com centro
no ponto O como mostra a figura 3. Nesta figura temos, também, o ponto P, que se
localiza a uma distância r do centro da circunferência.
r
*P
*O
d
FIGURA 3
GRANDEZA ADIMENSIONAL E GRANDEZA CARACTERÍSTICA
Analisando a figura verificamos que existe um comprimento que é muito
característico da situação apresentada. Este comprimento é o raio ro [poderia ser o
diâmetro d = 2ro] que representa a unidade natural com a qual desejamos comparar
todos os outros comprimentos como a distância r, o comprimento da circunferência,
ou outro comprimento de interesse. De fato se r = ro o ponto P localiza-se sobre a
circunferência, se r > ro o ponto P localiza-se fora da circunferência e se r < ro o ponto
P localiza-se dentro da circunferência. De maneira análoga diremos que ℓ, o
comprimento da circunferência, é proporcional ao raio (lembre que este é calculado
pela expressão ℓ = 2πro) e a área do círculo circunscrito pela circunferência é
proporcional ao quadrado do ráio (lembre que a área é dada por A = πro2) e assim por
diante.
Naturalmente, se utilizarmos uma escala artificial que tenha o metro como
unidade de comprimento, por exemplo, as conclusões óbvias acima não podem ser
verificadas. Se dissermos que r = 2 metros será necessário saber quantos metros vale o
raio da circunferência para então afirmar que o ponto P está localizado sobre a
circunferência, dentro ou fora dela. Assim sendo, diremos que ro é o comprimento
característico (ou representativo) do problema e representa a escala de comprimento
natural do fenômeno.
Imaginemos, a seguir, que a circunferência desloca-se com uma velocidade
constante U através de uma massa de água que se encontra inicialmente parada. Não é
difícil concluir que a grandes distâncias (o que é uma grande distância?) da
circunferência a água continua parada. No entanto, perto dela a água é perturbada e se
observam movimentos com velocidades diferentes em cada ponto. Se o tempo médio
que uma partícula de fluido permanece nas vizinhanças da circunferência é indicado
por (2To), tem-se imediatamente que:
10
M. H. Hirata
To =
Dimensões e Unidades
ro
U
(5)
É claro que existem partículas que levam menos tempo nas vizinhanças da
circunferência assim como há partículas que levam mais tempo nestas vizinhanças; no
entanto, um valor bastante representativo do tempo gasto por uma partícula de fluido
para atravessar as vizinhanças da circunferência é 2To. Diz-se, então, que To é o tempo
característico (ou representativo) do fenômeno e, por conseguinte, U representa a
velocidade característica (ou representativa) do fenômeno.
Como ro é o comprimento característico do fenômeno, nada mais natural que
comparar qualquer comprimento de interesse com esta grandeza. De fato, para
compararmos r com ro, a maneira mais natural será através da relação
r∗ =
r
ro
(6)
Desta maneira, as seguintes constatações são bastante importantes e ilustram
bem os conceitos:
- se r* = 1 o ponto P localiza-se sobre a circunferência independentemente do
valor do raio.
- se r* > 1 o ponto P localiza-se fora da circunferência independentemente do
valor do raio.
- se r* < 0 o ponto P localiza-se dentro da circunferência independentemente do
valor do raio.
De maneira análoga, seja (2t) o tempo que uma partícula de água permanece
nas vizinhanças da circunferência; definindo-se
t∗ =
t
t( U)
=
To
ro
(7)
concluímos que:
- se t* ≈ 1 a partícula possui uma velocidade média aproximadamente igual a U
- se t* > 1 a partícula possui uma velocidade média menor do que U
- se t* < 1 a partícula possui uma velocidade média maior do que U
Complementando as conclusões acima, observa-se que as grandezas r* e t*
são definidas pela divisão entre duas grandezas [(r e ro) e (t e To)] que possuem a
mesma dimensão; ambas possuem a dimensão de comprimento { [r] = [L] e [ro] =
[L]} e de tempo {[t] = [T] e [To] = [T]}; como conseqüência, r* e t* são grandezas
adimensionais (ou adimensionalizadas), isto é, possuem dimensões nulas:
[r*] = [LoMoTo]
e
[t*] = [LoMoTo]
(8)
OBS: Para tornar a digitação menos trabalhosa utilizamos (na apresentação das
igualdades (8)) apenas as dimensões primárias de comprimento, massa, tempo e
temperatura e omitimos as outras dimensões primárias; veja a Tabela 2.
Dos exemplos acima já se pode inferir algumas vantagens importantes da
utilização de grandezas adimensionalizadas.
Verifica-se, também, que o processo de adimensionalização é efetuado com a
manipulação de grandezas representativas. Na expressão (7) dividimos o
comprimento - r - pelo comprimento representativo - ro - e na expressão (8) utilizamos
11
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
uma combinação apropriada de grandezas representativas (ro e To) ou (ro e U); a
manipulação de grandezas representativas é, geralmente, o caso mais comum quando
as grandezas são complexas e não possuem uma dimensão primária.
Como ilustração, considere o coeficiente de pressão que é definido como:
Cp =
p − po
2
1
2 ρV
(9)
OBS: no momento preocupe-se apenas com o fato de que este coeficiente é uma
grandeza adimensional; o seu significado físico, a sua utilidade etc. serão analisados
em outra oportunidade.
Em (9), p representa a pressão medida e po a pressão de referência, ρ a massa
específica do fluido e V uma velocidade característica. Este coeficiente, o coeficiente
de pressão é uma grandeza adimensional como é verificado a seguir.
- o numerador (p – po) representando uma diferença de pressão e, por esta razão
possui a dimensão de pressão, isto é,
[p – po] = [M1 L-1 T-2]
- o denominador é representado pela combinação [ 21 ρV 2 ] que também possui
dimensão de pressão, isto é,
[ 21 ρV 2 ] =
1
2
[ρV2] = [M1L-3][L2T-2] = [M1 L-1 T-2]
uma vez que a constante numérica ( 12 ) não possui dimensão.
Levando estes resultados na expressão de Cp, tem-se imediatamente que:
[Cp] = [M0 L0 T0]
A tabela A1 do Apêndice fornece os símbolos usuais e a dimensão de
grandezas mais frequentemente encontradas e a tabela A3 do Apêndice fornece os
grupos adimensionais mais comuns.
EXEMPLO 6. Um grupo ou grandeza adimensional pode ser obtido pela combinação
de várias grandezas. No entanto, em ramos específicos do conhecimento (a Mecânica
dos Fluidos, por exemplo) as grandezas disponíveis e relevantes para se combinar são
poucas e quase sempre as mesmas. Assim, por exemplo, tem-se:
- o comprimento - ℓ
- a velocidade - V
- a massa específica - ρ
- etc.
Se, na análise de um dado fenômeno, constatarmos que F depende das grandezas
acima podemos representar esta fato utilizando a equação funcional
F = f( ℓ, ρ, V)
Esta equação mostra apenas que F depende das grandezas expostas no lado direito
- (LD) - da equação. Esta, no entanto, não mostra como a força depende das (ou varia
com) demais grandezas, isto é, a equação encontra-se na forma implícita. Se for
necessário definir um parâmetro adimensional para a força F, utilizando as grandezas
acima, os seguintes passos são apropriados
a) O parâmetro adimensional para a força é representado por CF, o coeficiente de
força.
b) O coeficiente de força pode ser expresso como uma combinação apropriada de
grandezas que na sua forma geral pode ser escrita como
12
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
CF = β F1ρaVbℓc
O expoente -1 - da grandeza força foi escolhido porque se deseja que esta
esteja presente no numerador (veja itens d) e e)) e β representa uma constante
adimensional
c) Os expoentes a, b, c serão determinados de tal maneira que CF seja uma
grandeza adimensional, isto é:
[CF] = [MoLoTo]
Como [CF] = [F][ρ]a [V]b [ ℓ]c
tem-se, que:
[MoLoTo] = [M1L1T-2] [M1L-3To] a [M0 L1 T-1] b [Mo L1 To]c
[MoLoTo] = [M 1+a+0b+0c L1-3a+1b+1c T-2+0a-1b+0c]
e identificando os expoentes dos dois lados da expressão, resulta:
0 = 1 + a + 0b + 0c
0 = 1 -3a + 1b + 1c
0 = -2 + 0a -1b + 0c
cuja solução fornece:
a = -1
b = -2
c = -2
d) Finalmente, substituindo os valores dos expoentes resulta:
CF = β F ρ-1 V-2 ℓ-2
e) A Tabela A3 fornece a seguinte expressão para o coeficiente de força
CF =
1
2
F
ρV 2 l 2
Comparando os resultados, verifica-se que ambos diferem apenas pela
constante numérica ( 12 ) que não possui dimensão; β =2.
OBS: No momento apropriado veremos a razão para que β seja igual a 2.
Fim do Exemplo 6
EXEMPLO 7. A partir da equação funcional
f(ℓ, ρ, µ, V) = 0
defina um grupo adimensional, representando-o por: Re.
Deve ser inicialmente observado que a equação funcional acima está escrita de uma
maneira ligeiramente diferente daquela utilizada no exemplo anterior; ela poderia, por
exemplo, ser escrita alternativamente como:
V = f(ℓ, ρ, µ)
Com esta forma e seguindo os passos do exemplo anterior, teríamos
Re = β V ℓa ρb µc
13
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
e, consequentemente
Re =
ρVl
µ
e
β=1
Se, por exemplo, tivéssemos optado pela sequência
µ = f(ℓ, ρ, V)
Re = β µ ℓa ρb Vc
obteríamos
Re =
µ
ρl V
β=1
que, também, é uma grandeza adimensional e a resposta estaria igualmente correta.
No entanto, a primeira forma
Re =
ρVl
µ
é a usualmente utilizada. Este grupo adimensional recebe o nome de Número de
Reynolds e possui uma importância grande na análise dos problemas da Mecânica dos
Fluidos. Veja mais detalhes na Tabela A3.
Fim do Exemplo 7.
EXERCÍCIO 3. Utilizando os resultados do exercício 2 e procedimentos análogos aos
utilizados no exemplo 6, obtenha a expressão para o parâmetro adimensional de
potência, o coeficiente de potência CP. Compare seu resultado com aquele exposto na
Tabela A3. Para a solução do exercício os seguintes passos são sugeridos
- escreva a equação funcional que relaciona a potência com as demais grandezas
- escreva a forma julgada apropriada para o parâmetro adimensional (veja item b do
exemplo 6)
- escreva a dimensão de cada grandeza presente na equação funcional
- determine o expoente apropriado de cada grandeza presente na equação funcional
(veja item c do exemplo 6).
EXERCÍCIO 4: Como procedimentos análogos aos utilizados nos exemplos acima,
suponha que se consiga escrever a equação funcional:
E= f(ℓ,ρ,V), onde E = energia
Obtenha a forma do coeficiente adimensional de energia CE. Compare seu resultado
com aquele disposto na Tabela A3
EXERCICIO 5. Na equação funcional
f(ℓ, g, V) = 0
as grandezas possuem significado usuais como definidos na Tabela A1. Defina um
grupo adimensional, indicando-o por Fr. Este grupo recebe o nome de Número de
Froude e possui uma importância grande na análise dos problemas da Mecânica dos
Fluidos. Veja mais detalhes na Tabela A3.
EXERCICIO 6. Na equação funcional
f(ℓ, k, h) = 0
as grandezas possuem significado usuais como definidos na Tabela A1.Defina um
grupo adimensional, indicando-o por Nu. Este grupo recebe o nome de Número de
14
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
Nusselt e possui uma importância grande na análise dos problemas de Transferência
de Calor. Veja mais detalhes na Tabela A3.
15
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
4. EQUAÇÃO ADIMENSIONAL
Na parte anterior deste capítulo vimos que uma grandeza pode se apresentar na
forma dimensional ou na forma adimensionalizada. Algumas vantagens e
conveniências em se utilizar grandezas adimensionalizadas já se tornaram aparente.
Nas análises dos problemas, estas vantagens e conveniências tornam-se mais
importantes quando se utilizam equações adimensionalizadas. Para ilustrar algumas
destas vantagens, considere a análise do movimento de uma partícula que é acelerada
uniformemente (isto é, com aceleração constante). A posição desta partícula no
instante t é fornecida pela equação:
x = x o + Vo t + 21 at 2
(10)
A forma adimensional desta equação é escrita como (veja abaixo como obtêla):
x* = 1 + t * +
1 1
(t *)2
2
2 (Fr)
(11)
Nesta equação temos:
x
[x*] = [MoLoTo]
xo
Vt
[t*] = [MoLoTo]
- tempo adimensionalizado: t* = o
xo
Vo
[Fr] = [MoLoTo]
- número de Froude: Fr =
ax o
Observe que a determinação da posição da partícula, no instante t, requer o
conhecimento das seguintes grandezas: a, xo e Vo se a eq. (10) for utilizada. Este fato
implica na necessidade de se resolver a equação toda vez que uma destas grandezas
muda de valor. Por outro lado, a determinação da posição x*, para um instante t*
exige o conhecimento de apenas um parâmetro Fr, se a eq. (11) for utilizada. Logo, a
solução x* será sempre a mesma, qualquer que sejam os valores assumidos por a, xo e
Vo, desde que Fr seja mantido constante.
Não é difícil de imaginar as vantagens de se utilizar (11), especialmente se a
equação que governa o fenômeno [eq. (10) ou eq. (11)] for de difícil solução. De fato,
uma ilustração gráfica é oportuna como mostra a figura 4.
- posição adimensionalizada: x* =
x
a3
xo = cte
Vo = cte
x*
Fr3
Fr2
Fr1
a2
a1
t
Um gráfico para cada par [xo,Vo]
Um gráfico único
t*
FIGURA 4
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES (10) E (11)
A solução da equação (10) para diferentes valores de (a, xo e Vo) nos leva a um
conjunto enorme de gráficos que exprimem x em função de t, tendo como parâmetro a
16
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
aceleração -a-, desde que xo e Vo sejam mantidos constantes, lado esquerdo da figura
4. Por outro lado, a utilização da eq. (11) nos leva a um único gráfico que exprime x*
em função de t*, tendo um único parâmetro Fr, lado direito da figura 4.
4.1. ADIMENSIONALIZAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
Para ilustrar o processo de adimensionalização de uma equação considere
inicialmente a eq. (10).
x = x o + Vo t + 21 at 2
(10)
Como visto, todos os termos desta equação possui a dimensão de
comprimento. Não é difícil, também, identificar xo como o comprimento característico
do fenômeno. Logo, num primeiro impulso, basta dividirmos ambos os lados da
equação por xo e teremos todos os termos da equação adimensionalizados
x o Vo t at 2
x
=
+
+
x o x o x o 2x o
Vo t at 2
x = 1+
+
x o 2x o
*
(12)
Observe que embora a eq. (12) possua todos os seus termos
adimensionalizados, não podemos considerá-la ainda na forma apropriada; compare-a
com a eq. (11). Os termos da eq. (12) são expressos por grandezas dimensionais ao
passo que aqueles da eq. (11) são todos expressos por grandezas adimensionais. Para
contornar esta aparente discrepância observemos que:
- Vo representa, também, uma grandeza característica, a velocidade característica.
- Tendo Vo e xo como velocidade e comprimento característicos, o tempo
característico pode ser imediatamente definido como:
To =
xo
Vo
(13)
- Como conseqüência o tempo adimensional é escrito como;
t* =
tV
t
= o
To
xo
(14)
Substituindo (14) em (12) e levando em consideração a definição do número
de Froude (veja eq. 11), obtemos a resposta desejada.
Todo este procedimento pode ser efetuado de maneira sistemática utilizando
os seguintes passos:
- Identifique as grandezas características do fenômeno. No exemplo acima estas são:
xo = comprimento característico
Vo = velocidade característica
To = tempo característico; veja eq. (13)
- Utilizando as grandezas características, adimensionalize as grandezas presentes na
equação. No exemplo acima temos:
x
x* =
x = x ox*
xo
Vo t
x t*
t= o
xo
Vo
- Substitua as grandezas adimensionalizadas na equação e efetue as operações
algébricas apropriadas.
t* =
17
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
2
V x t ax 2 t *
x o x = x o + o o + o2
Vo
2Vo x o
1 1
x* = 1 + t * +
(t *)2
(15)
2
2 (Fr)
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Outros aspectos associados à adimensionalização
das equações serão retomados no capítulo dedicado a Análise Dimensional e Leis
de Semelhança.
*
EXEMPLO 8. Se algumas condições muito especiais como:
- as perdas por “atrito” são tão pequenas que podem ser desprezadas
- a única força que atua no fenômeno é a força gravitacional (força peso)
- o fenômeno independe do tempo (regime permanente)
- o fenômeno ocorre a temperatura constante.
forem satisfeitas, a equação que representa o princípio de conservação da energia, isto
é, a equação da energia, pode ser escrita como:
1
1
p o + ρgz o + ρVo2 = p1 + ρgz1 + ρV12
2
2
Nesta equação p, ρ, z, g e V representam a pressão, a massa específica, a posição, a
aceleração da gravidade e a velocidade respectivamente.
- Considere, em seguida, dois pontos tal que z0 = z1, isto é, localizam-se sobre uma
mesma horizontal.
- Considere, adicionalmente, que o ponto (0) seja um ponto tomado como referência;
assim sendo, po e Vo podem ser tomados como a pressão e a velocidade de referência
(ou representativas).
Nestas condições a equação acima pode ser re-escrita como:
∆p = p1 − p o =
1
1
ρVo2 − ρV12
2
2
Não é difícil de verificar que todos os termos desta igualdade possuem a dimensão de
pressão, logo, para torná-la adimensional basta dividir tudo por [(1/2)ρVo2, resultando
na expressão:
V 
p − po
Cp =
= 1
= 1 −  1 
1
1
 Vo 
ρVo2
ρVo2
2
2
∆p
2
Esta expressão mostra que:
- O valor máximo que o coeficiente de pressão pode assumir é igual a unidade; isto
acontece se V1 = 0, isto é, se no ponto (1) a velocidade se anular; nestas condições
o ponto (1) é denominado de ponto de estagnação.
- O coeficiente de pressão varia com o quadrado da velocidade.
OBS:A equação da energia, na forma acima é denominada de Equação de Bernoulli.
Fim do exemplo 8.
EXEMPLO 9. A equação que representa o princípio de conservação da quantidade de
movimento linear, isto é, a equação do movimento em situações muito especiais tais
como:
- as perdas associadas ao “atrito” são tão pequenas que podem ser desprezadas
- a única força que atua no fenômeno é a força gravitacional (força peso)
18
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
- o fenômeno ocorre a temperatura constante.
pode ser escrita como:
∂u  ∂p
 ∂u
ρ + u  =
+ ρgz
∂x  ∂x
 ∂t
Nesta equação u representa a velocidade.
Considere, em seguida, que U e L representam a velocidade e o comprimento
representativos do fenômeno em consideração.
OBS. a solução de uma equação diferencial exige que condições de contorno e
condições iniciais sejam especificadas; são nestas condições que, geralmente, se
identificam as grandezas representativas
Pretende-se adimensionalizar a equação. Com esta finalidade utilizemos os
procedimentos acima sugeridos:
- Identificação das grandezas representativas
L = comprimento representativo
U = velocidade representativa
To = L/U = tempo representativo
- Grandezas adimensionalizadas
u
velocidade: u* =
u = Uu *
U
t
tU
t*L
=
tempo: t* =
t = To t* =
To
L
U
x
espaço: x* =
x = Lx *
L
p
pressão: p* = 1
p = 12 ρU 2 p *
2
2 ρU
(
)
- Substituição na equação original resulta.




 ∂ ( Uu*)   ∂ (12 ρU 2 )p * 
∂ ( Uu*) 

ρ
+ ρ(Uu *)
=
+ ρg( Lx*)
  L 
∂ (Lx *)   ∂ (Lx *) 

 ∂ t * 
 U 
- Manipulações algébricas apropriadas nos levam a
 U 2  ∂u *  U 2  ∂u *  U 2  1 ∂p *
 ρ

u *

+  ρ
=  ρ
+ (ρgL ) x *
 L  ∂x *  L  ∂x *  L  2 ∂x *
∂u *
∂u * 1 ∂p *
1
+ u*
=
+ 2 x *,
∂x *
∂x * 2 ∂x * Fr
OBS1:Esta equação é denominada de Euler.
Fr = número de Froude.
Fim do exemplo 9.
EXERCICIO 7. Se o fenômeno FOR DEPENDENTE DO TEMPO a equação da
energia do exemplo 8 é escrita como
1
1
dV
p o + ρgz o + ρVo2 = p + ρgz + ρV 2 + ρ
2
2
dt
Repita os procedimentos daquele exemplo utilizando esta nova forma da equação.
19
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
EXERCÍCIO 8. Se as perdas associadas ao “atrito” não puderem ser desprezadas a
equação do exemplo 9 é escrita como
∂u  ∂p
∂2u
 ∂u
ρ + u  =
+ ρgz + µ 2
∂x  ∂x
∂x
 ∂t
Esta equação é conhecida como Equação de Navier-Stokes. Pede-se adimensionalizála utilizando os procedimentos acima delineados.
20
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
5. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
Numa fruteira temos 6 bananas, 5 laranjas e 1 mamão e 1 abacaxi. Muitas
pessoas pensam que podem somar as bananas com as laranjas, mamão e abacaxi e
outras até pensam que somam. Na verdade não sabemos no que resulta a soma de 6
bananas com 5 laranjas! O que sabemos é que a fruteira contém um total de
(6+5+1+1) = 13 frutas; isto é sabemos somar 6 frutas do tipo banana com 5 frutas
do tipo laranja e assim por diante. Sabemos somar grandezas da mesma natureza, no
caso a natureza comum é que todas são frutas.
De maneira análoga, no estudo dos fenômenos físicos se aceita o princípio
conhecido como Lei da Homogeneidade Dimensional; este princípio pode ser
expresso como:
Toda equação que descreve um fenômeno físico deve ser dimensionalmente
homogênea
A interpretação deste princípio é a seguinte:
“todos os termos do lado esquerdo - LE - da equação possuem a mesma
dimensão e esta dimensão é a mesma de todos os termos do lado direito - LD - da
equação”
Assim sendo, todos os termos da equação possuem a mesma dimensão.
Como exemplo, considere a equação que descreve a posição de uma massa
uniformemente acelerada, isto é:
x = x o + Vo t + 21 at 2
(10)
Esta equação é dimensionalmente homogênea uma vez que todos os seus termos
possuem a mesma dimensão, isto é, todos os seus termos possuem a dimensão de
comprimento:
dimensão do LE da equação
[LE] = [x] = [L]
dimensão do 1º. termo do LD (ou 1tLD)
[1tLD] = [xo] = [L]
-1
[2tLD] = [Vot] = [LT T] = [L]
dimensão do 2o. termo do LD (ou 2tLD)
[3tLD] = [ 12 at 2 ] = [LT-2T2] = [L]
dimensão do 3º. termo do LD (ou 3tLD)
OBS: A constante (1/2) presente no 3o termo do LD, obviamente, não possui
dimensão.
No item 4.1, eq.(15) mostra-se que a versão adimensionalizada da eq. (10) é
escrita como:
1 1
x* = 1 + t * +
(t *)2
(15)
2
2 (Fr)
Nesta equação temos:
x
x* =
[x*] = [MoLoTo]
xo
Vt
[t*] = [MoLoTo]
t* = o
xo
Vo
[Fr] = [MoLoTo]
Fr =
ax o
21
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
isto é, todos os termos da equação possuem a mesma dimensão; são adimensionais. A
forma adimensionalizada da eq. (10) também obedece a lei da homogeneidade
dimensional, como era de se esperar.
A lei da homogeneidade dimensional será exaustivamente explorada nos
demais capítulos e em especial no capítulo que trata da Análise Dimensional e Leis de
Semelhança.
22
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
REFERÊNCIAS
1. ESNAULT-PELTERIE, R., (----), “Analyse Dimensionnelle et Métrologie”,
Gauthier-Villars & Cie, Paris.
2. FOX, R.W. and McDONALD,A.T., (1995), “Introdução à Mecânica dos
Fluidos”, 4ª. Edição, Guanabara-Koogan.
3. SEDOV, L.I., (1982), “Similarity and Dimensional Methods in Mechanics”,
Mir, Publishers Moscow.
4. WHITE, F.M., (1999), “Fluid Mechanics”, 4th. Edition, McGraw-Hill
International Editions.
23
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
PRECISA SER REVISTO
DIMENSÕES E UNIDADES
(Resumo)
DESCRIÇÃO DE UMA GRANDEZA
- Descrição qualitativa:
identifica a natureza da grandeza
Ex.: O comprimento de uma mesa
A velocidade de um avião
Etc.
- Descrição quantitativa:
fornece um valor numérico de comparação
Requer: um padrão para comparação (a unidade)
um número que resulta da comparação (a
medida)
Ex.: a mesa possui 2 m de comprimento
2 é o número, a medida
m é o padrão de comparação, a unidade.
- Unidades são os padrões de comparação utilizados na descrição quantitativa
DIMENSÕES PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS
- Necessidade: a descrição de um fenômeno físico exige um número enorme de
grandezas
cada grandeza requer uma unidade para sua descrição
impossibilidade de se estabelecer CRITERIOSAMENTE um padrão
para cada grandeza.
- Alternativa: utilizar um número pequeno de grandezas com dimensão primária em
função das quais as dimensões das demais grandezas (com dimensão
secundária ou derivada) são definidas.
- Sistema de Dimensões: Dimensões primárias
- comprimento
[L]
- massa
[M]
- tempo
[T]
- temperatura
[θ]
- Obtenção da dimensão de outras grandezas (dimensões secundárias ou derivadas)
área
A
[A] = [L2MoToθo] = [L2]
Velocidade
V
[V] = [L1MoT-1θo] = [LT-1]
Aceleração
a
[a] = [LT-2]
Força
F
[F] = [LMT-2]
24
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
GRANDEZA ADIMENSIONAL E GRANDEZA CARACTERÍSTICA
- Grandeza Adimensional:
quando possui dimensão nula
[x*] = [LoMoToθo] grandeza adimensional
- Exemplo da importância e conveniência da utilização de grandezas
adimensionalizadas distância r de um ponto P, medida a partir do centro da
circunferência de diâmetro d.
a adimensionalização é efetuada dividindo-se a grandeza por
outra de mesma dimensão.
r* =
r
d
[r*] = [LoMoToθo]
A grandeza r* independe do valor do diâmetro e, também, do
sistema de unidades utilizado para mensurá-lo.
- Outros exemplos onde a adimensionalização é efetuada com a utilização de um
conjunto apropriado de outras grandezas.
Cp =
CF =
p − po
2
1
2 ρV
1
2
coeficiente de pressão (adimensional)
F
coeficiente de força (adimensional)
ρV 2 d 2
- Grandeza Característica (ou representativa): uma grandeza (comprimento, tempo,
velocidade, etc.) que é característica do fenômeno; em geral assume um valor
constante e, em termos fenomenológicos, representa um padrão (unidade) de
comparação. No exemplo da circunferência, dizemos que a distância de um ponto
ao seu centro é grande ou pequena se ela for maior ou menor do que o diâmetro;
observe que, neste caso, estamos utilizando o diâmetro como padrão de
comparação.
Observe, ainda, que as grandezas utilizadas no processo de adimensionalização, em
geral, são grandezas características.
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
- Lei da Homogeneidade Dimensional
- A lei: “Todos os termos de uma equação que representa um fenômeno físico
devem possuir a mesma dimensão.”
- Exemplo:
x = x o + Vo t + 21 at 2
dimensão do LE da equação
[LE] = [x] = [L]
dimensão do 1º. Termo do LD
[1Tld] = [xo] =[L]
-1
[2Tld] = [Vot]= [LT T] = [L] dimensão do 2º. termo do LD
[3Tld] = [ 12 at 2 ]= [LT-2T2] = [L] dimensão do 3º. Termo do LD*
OBS: A constante (1/2), obviamente, não possui dimensão
25
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
- Equação Adimensionalizada:
grandeza característica xo grandeza adimensionalizada x o Vo t 21 at 2
x
=
+
+
x0 xo xo
x0
x* = 1 +
x*
Vo
a 2
t+
t
xo
2x 0
- Um passo além: outra grandeza característica: Vo
To =
xo
tempo característico tempo adimensionalizado t*
Vo
x* = 1 + t* +
1 1 *2
t
2 (Fr ) 2
- Adimensionalização de uma equação
: identificar as grandezas características
: definir as grandezas adimensionalizadas
: obter a equação adimensionalizada
SISTEMA DE UNIDADES
- Sistema de Dimensões Sistema de Unidades
- Sistema Internacional de Unidades: SI
Comprimento
metro (m)
Massa
kilogramo (kg)
Tempo
segundo (s)
Temperatura
grau Kelvin (K)
26
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
PRECISA SER REVISADO E COMPLEMENTADO
TEXTOS HIPERLINK
E
grupo adimensional
ρV 2 l 3
resultante da adimensionalização da energia; força especifica. Veja a Tabela A3 para
mais detalhes.
COEFICIENTE DE ENERGIA (cap.2) C E =
1
2
F
grupo adimensional
ρV 2 l 2
resultante da adimensionalização da força; força específica. Veja a Tabela A3 para
mais detalhes
COEFICIENTE DE FORÇA (cap.2) C F =
1
2
P
grupo adimensional
ρV 3 l 2
resultante da adimensionalização da potência; potência específica. Veja a Tabela A3
para mais detalhes.
COEFICIENTE DE POTÊNCIA (cap.2) C P =
1
2
p − po
grupo adimensional
2
1
ρ
V
2
resultante da adimensionalização da pressão (ou diferença de pressão). Veja a Tabela
A3 para mais detalhes
COEFICIENTE DE PRESSÃO (cap.2) C p =
Q
grupo adimensional
ρV 2 l 3
resultante da adimensionalização do torque; torque específico. Veja a Tabela A3 para
mais detalhes
COEFICIENTE DE TORQUE (cap.2) C Q =
1
2
V
grupo adimensional que
nd
relaciona a velocidade incidente com uma velocidade periférica tangencial; é um
coeficiente muito utilizado na análise de propulsores e de rotores eólicos.
COEFICIENTE DE VELOCIDADES (cap.2) Λ =
DESCRIÇÃO QUALITATIVA (cap.2) a descrição qualitativa de uma grandeza
serve para identificar a sua natureza, o seu tipo, enfim, a essência da grandeza. Por
exemplo, uma grandeza é definida qualitativamente como sendo o comprimento de
um corpo, a velocidade de um veículo, a temperatura do fluido, uma propriedade do
fluido, etc.
DESCRIÇÃO QUANTITATIVA (cap.2) a descrição quantitativa de uma
grandeza é utilizada para fornecer um valor numérico de comparação. Como
conseqüência, para descrever quantitativamente uma grandeza são necessários: a) um
padrão com o qual a grandeza será comparada. b) um número que indicará o resultado
da comparação.
DIMENSÃO BÁSICA (cap.2) ou dimensão primária de uma grandeza faz parte de
um conjunto de dimensões que definem um sistema de dimensões; em função das
dimensões primárias as dimensões de outras grandezas são expressas.
DIMENSÃO DERIVADA (cap.2) ou dimensão secundária de uma grandeza é a
dimensão expressa em função das dimensões primárias.
27
M. H. Hirata
Dimensões e Unidades
DIMENSÃO PRIMÁRIA (cap.2) ou dimensão básica de uma grandeza faz parte
de um conjunto de dimensões que definem um sistema de dimensões; em função das
dimensões primárias as dimensões de outras grandezas são expressas.
DIMENSÃO SECUNDÁRIA (cap.2) ou dimensão derivada de uma grandeza é a
dimensão expressa em função das dimensões primárias.
GRANDEZA ADIMENSIONAL (cap.2) grandeza sem dimensão ou dimensão
nula; para uma grandeza adimensional r* tem-se que [r*] = [MoLoToϴo]
GRANDEZA CARACTERÍSTICA (cap.2) ou grandeza representativa é uma
grandeza característica do fenômeno; em geral assume um valor constante e, em
termos fenomenológicos, representa um padrão (unidade) de comparação. Pode-se ter
uma grandeza característica para o comprimento, para o tempo, etc. Nos processos de
adimensionalização é conveniente utilizar grandezas características.
GRANDEZA REPRESENTATIVA (cap.2) ou grandeza característica é uma
grandeza representativa do fenômeno; em geral assume um valor constante e, em
termos fenomenológicos, representa um padrão (unidade) de comparação. Pode-se ter
uma grandeza característica para o comprimento, para o tempo, etc. Nos processos de
adimensionalização é conveniente utilizar grandezas características.
NÚMERO DE FROUDE (cap.2) Fr =
V
grupo adimensional que fornece
gl
uma indicação da importância da força inercial quando comparada com a força de
origem gravitacional. Veja a Tabela A3 para mais detalhes.
hl
grupo adimensional que fornece
k
uma indicação da importância do processo de convecção quando comparado com a
difusão de calor. Veja a Tabela A3 para mais detalhes.
NÚMERO DE NUSSELT (cap.2) Nu =
Vl
grupo adimensional que fornece
µ
uma indicação da importância da força inercial quando comparada com a força de
origem viscosa. Veja a Tabela A3 para mais detalhes.
NÚMERO DE REYNOLDS (cap.2) Re =
SISTEMA DE DIMENSÕES (cap.2) conjunto de dimensões primárias, em função
das quais a dimensão de qualquer grandeza pode ser expressa
TEOREMA DE BUCKINGHAN (cap.2) teorema que permite escrever, a partir da
equação funcional (dimensional) correspondente, a equação funcional (adimensional)
considerando o número de variáveis e o número de dimensões primárias que são
necessárias para exprimir a dimensão das variáveis. Veja mais detalhes no capítulo
que trata da Análise Dimensional e Leis de Semelhança.
28