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MARÍNDIA LEIDENS BITTARELLO
UM ESTUDO A RESPEITO DA EXPLORAÇÃO DE
POLÍGONOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA
Monografia apresentado à disciplina Trabalho
de Graduação II, Curso de Matemática,
Departamento de Ciências Exatas e da Terra,
Universidade Regional e Integrada do Alto
Uruguai e das Missões – Campus de Erechim.
Orientação:
Profª. Dra. Nilce Fátima Scheffer.
ERECHIM
2010
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Agradecimentos
Agradeço a todas as pessoas que contribuíram para a realização deste trabalho.
Em especial a minha família pelo apoio e pé no chão;
A minha mãe que desde que eu era criança me apresentou à matemática;
A professora Nilce pelos ensinamentos e orientação na área da pesquisa.
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“A matemática olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas
suprema beleza, uma beleza fria e austera, como aquela da escultura, sem
apelo a qualquer parte de nossa natureza mais fraca, sem as encantadoras
armadilhas da pintura ou da música, mas sublimemente pura, e capaz de uma
rigorosa perfeição que somente a maior das artes pode exibir.”
Bertrand A. W. Russell
(1872 – 1970)
Filósofo e matemático
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Resumo
Este trabalho apresenta os resultados de um trabalho de conclusão de curso. Com o título de
Um Estudo a Respeito da Exploração de Polígonos com o Software Geogebra, esta pesquisa
apresenta uma investigação a respeito da inserção das TIC no ensino da matemática e a
utilização de softwares para facilitar e promover a aprendizagem. Como problematização tem:
Quais as contribuições do Software Geogebra na exploração e construção de polígonos? O
objetivo geral é investigar as contribuições do Software Geogebra na exploração e construção
de polígonos e suas propriedades, considerando as diferentes possibilidades oferecidas pelo
Software Geogebra. A reflexão teórica aborda temas como as Tecnologias Informática e
Comunicação, O software gratuito e a formação do professor, além das Políticas públicas e a
utilização de tecnologias no ensino de Matemática. Apresenta-se também uma proposta
exploratória, onde são desenvolvidas atividades de construção e exploração de polígonos
regulares a partir dos recursos disponibilizados pelo software Geogebra. Com este trabalho,
percebemos que as estratégias educacionais com as TIC oferecem novas possibilidades ao
processo educativo, o que consequentemente implica em uma nova postura do professor e
compartilhamento de informações.
Palavras-chave: Tecnologias de Informação e Comunicação. Estudo de polígonos. Software
Geogebra.
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1- Interface do Geogebra............................................................20
FIGURA 2- Barra de ferramentas do Geogebra........................................20
FIGURA 3 - Botão mover.......................................................................20
FIGURA 4 - Novo ponto...........................................................................20
FIGURA 5- Reta definida por dois pontos.............................................22
FIGURA 6 - Reta perpendicular................................................................22
FIGURA 7 – Polígonos...........................................................................22
FIGURA. 8- Circulo definido.................................................................22
FIGURA 9- Elipse..................................................................................23
FIGURA 10- Ângulos............................................................................23
FIGURA 11-Reflexão com relação a reta..............................................23
FIGURA 12- Seletor..............................................................................24
FIGURA 13- Deslocar eixos..................................................................24
FIGURA 14- Triângulo eqüilátero.........................................................25
FIGURA 15- Quadrilátero.....................................................................26
FIGURA 16- Pentágono........................................................................27
FIGURA 17- Hexágono........................................................................28
FIGURA 18- Octógono.........................................................................29
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Sumário
INTRODUÇÃO..............................................................................................................6
Seção 1
As TIC no Ensino de Matemática.......................................................................7
Seção 2
O Software gratuito e a Formação do Professor...............................................10
Seção 3
As Políticas Públicas e a utilização de tecnologias no Ensino de
Matemática................................................................................................................14
Seção 4
Metodologia da Pesquisa..................................................................................18
4.1 Proposta Exploratória..................................................................................20
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICA........................................................................35
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INTRODUÇÃO
Considerando os processos de mudança que a educação vem passando e as
dificuldades em interpretar e buscar estratégias para resolver situações problemas envolvendo
a geometria e construção de polígonos, este trabalho que tem por título “Um estudo a respeito
da exploração de Polígonos com o Software Geogebra”, busca fazer um estudo a respeito da
utilização das TIC e apresentar uma proposta diferenciada de exploração geométrica com o
auxílio de um software gratuito de matemática.
As atividades desenvolvidas sobre polígonos regulares voltam-se para o Ensino
Fundamental, onde a partir da construção é possível observar características básicas, sobre os
polígonos regulares, como os elementos de um polígono (vértices, lados, ângulos internos), a
soma dos ângulos internos e a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados do
polígono regular.
Esta pesquisa apresenta uma investigação a respeito da inserção das TIC
(Tecnologias, Informática e Comunicação) no ensino da matemática, e a utilização de
software para facilitar e promover a aprendizagem matemática.
Parte do problema: Quais as contribuições do Software Geogebra na exploração e
construção de polígonos? Investiga também as contribuições do Software Geogebra na
exploração e construção de polígonos e suas propriedades, considerando as diferentes
possibilidades oferecidas pelo Software Geogebra.
Nas três primeiras secções apresenta-se uma reflexão teórica sobre as TIC no ensino,
sobre o software gratuito e a formação do professor, bem como as Políticas Públicas e a
utilização de tecnologias no ensino de Matemática.
Na apresentação da Proposta Prática destaca-se o software, os comandos básicos, a
construção dos principais polígonos regulares como o triângulo, o quadrado, pentágono,
hexágono e octógono, juntamente com uma análise da construção e exploração de cada um
dos polígonos e após as considerações finais.
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Seção 1
As TIC no Ensino de Matemática
Muitos estudos são realizados, considerando possibilidades de trabalho pedagógico
com a utilização da Informática e dos softwares gratuitos presentes no mercado.
A Informática e outras mídias fazem parte da educação atual, abrangendo práticas que
enriquecem o trabalho exploratório desenvolvido pelo professor na sala de aula,
principalmente nos níveis Fundamental e Médio.
As tecnologias segundo Cláudio e Cunha (2001), já deixaram de ser modismo e são
necessárias a um bom profissional. As tecnologias implicam em novas atitudes humanas,
exigindo outro perfil do indivíduo no mercado de trabalho, que seja criativo, crítico,
capacitado para trabalhar em sua profissão.
Assim os educadores, não podem ignorar os avanços tecnológicos que ocorrem no
mundo, segundo Perrenoud e Thurler (2000), as TIC não transformam somente as formas de
comunicação, mas também as de trabalhar, de pensar e de decidir.
Para Scheffer et all (2004), é possível destacar que a inserção dos meios tecnológicos
nas aulas de Matemática desempenha um papel fundamental uma vez que se inverte a ordem
de exposição da teoria, permitindo primeiro a experimentação e, posteriormente, a construção
de conjecturas e conceitos, uma combinação que torna as aulas investigativas, críticas e
cooperativas, promovendo maior interação entre estudantes, professores, conhecimento e
tecnologias.
Nos dias de hoje, ainda há muita resistência ao uso das TIC, por falta de conhecimento
e familiaridade do professor com elas, nesse sentido, torna-se importante destacar que as
tecnologias que se apresentam hoje para o ensino, não resolvem os problemas do ensino, mas
podem auxiliar o processo de ensino e de aprendizagem.
Isso é expresso por Skovsmose (2001), quando sublinha que ao utilizar a conjunção
“educação matemática e tecnologia” associa-se a tecnologia a um equipamento utilizado na
educação matemática ou computadores na sala de aula, mas, o que se constata, é a presença
das tecnologias em diferentes aspectos da vida social. Essa incorporação de tecnologias na
prática pedagógica do professor de Matemática pode gerar transformações significativas na
aprendizagem.
Essa visão da matemática nos remete à expressão “educação matemática crítica”
(Skovsmose, 2001), que se manifesta na orientação de problemas, na organização de projetos
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favorecendo a interdisciplinaridade, aspectos a serem valorizados na escola em situações de
ensino na busca da formação para a cidadania.
Ao conceituar Educação Matemática Crítica, Skovsmose, esclarece que:
Educação Matemática critica não é para ser entendida como um ramo especial da
educação matemática. Não pode ser identificada com certa metodologia de sala de
aula. Não pode ser constituída por um currículo especifico. Ao contrario, eu vejo a
educação matemática critica como definida em termos de algumas preocupações
emergentes da natureza critica da educação matemática. (SKOVMOSE, 2001. p.73)
A educação matemática crítica possibilita um enfoque diferenciado, não permitindo
uma prática imediata, por isso seu uso no cotidiano da sala de aula impede relações concretas
com os conteúdos desenvolvidos dentro do currículo nas diferentes séries do ensino regular,
apresentando mesmo assim sua relevância no que se refere ao desenvolvimento pleno do
educando e permitindo-lhe uma análise mais eficaz no cotidiano fora da escola.
Portanto, a incorporação das tecnologias de informação e comunicação, ou seja, de
computadores com suas mais diversas ferramentas de utilização, na prática pedagógica do
professor de Matemática torna-se fundamental, gerando transformações na cultura de seus
usuários (professores e estudantes), além de modificar a cultura profissional do educador.
Isto, por sua vez, requer reflexões acerca de sua formação, inicial e continuada, pensando em
uma nova experiência, a qual incorpora o uso de tecnologias em seu fazer profissional.
Para Bairral (2009) os processos de formação de professores de matemática podem se
desenvolver nos mais diversos ambientes, (ora na Universidade enquanto graduação, ora nas
escolas, como campo de trabalho), nos quais se produzem diferentes relações entre
formadores de professores e estudantes para professor.
Sendo assim a aprendizagem pode ocorrer de diversas formas, e acontece
constantemente, no que se refere ao aluno-professor e enquanto professor-aluno.
Na visão de Levy (2001) quando se refere à Educação do Futuro, destaca que a
educação é uma atualização da cultura, e não somente no plano de seu conteúdo, mas
sobretudo no plano de seu gesto exploratório, consciente,e acrescenta que a nossa educação
irá agora se acelerar a um ritmo bem mais rápido do que até então. Isso leva, nós professores
formadores, a refletir e propor alternativas inovadoras para o ensino, participando assim de
uma dinâmica viva que envolve o ser humano.
A exploração ampliada das mídias digitais e dos espaços virtuais tridimensionais
transforma, não apenas as formas de comunicação, através da leitura e escrita de textos, mas a
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produção, reprodução e armazenamento das informações, através de sons, imagens e
movimentos (Kenski, 2008).
Para a mesma autora, o uso adequado de tecnologias digitais inovadoras em projetos
educacionais torna possível o uso ampliado de nossas memórias e todas as nossas conhecidas
e latentes formas racionais, emocionais, intuitivas, artísticas, estéticas, verbais e não verbais
de superar desafios, lidar com novos problemas e avançar no conhecimento. O que possibilita
também, participar da emancipação educacional e social por meio de frequentes processos de
interação, comunicação, colaboração e partilha de aprendizagens.
Consequentemente o impacto das tecnologias reflete-se de maneira enfática sobre a
própria natureza do que é ciência, e do que é conhecimento. Exige assim uma reflexão mais
profunda sobre as concepções do que é o saber e sobre as formas de ensinar e aprender.
Um trabalho com essas características ganha espaço nos dias atuais com pesquisas da
natureza prático-teóricas do professor que venham a contribuir na formação e no processo de
ensino e de aprendizagem.
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Seção2
O Software Gratuito e a formação do Professor
Quando se fala em tecnologias e computadores no ensino, refere-se também ao
software gratuito educacional, ferramenta importante para o aluno na construção do seu
conhecimento matemático.
Segundo Scheffer (2006), o software educativo pode ser definido como um conjunto
de recursos informatizados cujo objetivo, ao ser usado no ensino é facilitar a aprendizagem,
ele permite ao estudante construir conhecimentos, desenvolver habilidades como resolução de
problemas, leitura, imaginação, criatividade e resolução de exercício sobre os conteúdos que
já conhece.
Para Cano (2001 apud LIMA E GIRAFFA, 2006, p. 1), o software educativo pode ser
definido como “um conjunto de recursos informáticos projetados com a intenção de serem
usados em contextos de ensino e de aprendizagem”. Para a autora esses conjuntos de recursos
devem facilitar e promover a aprendizagem. Sendo importante também, relacionar a
tecnologia disponível com a metodologia de trabalho do professor a fim de proporcionar uma
aprendizagem significativa em Matemática.
A autora explicita a finalidade da exploração dos softwares, podendo ampliar ou
reduzir a ênfase em determinados aspectos, atentando sempre para as dificuldades dos alunos
e sua conveniência no caso concreto a ser trabalhado. Com treinamentos constantes realizados
sobre estas utilizações, os professores poderão empenhar-se no uso destes recursos, e
possibilitar uma efetiva aprendizagem, uma vez que na educação estas tecnologias estão
adentrando lentamente se comparadas aos demais setores da sociedade.
A utilização de software gratuito na educação é uma alternativa a ser considerada tanto
em escolas públicas quanto em escolas particulares, por serem flexíveis e estratégicos para a
condução bem sucedida de conteúdos, além de apresentar custo zero.
Esses ambientes informatizados, na área da educação, segundo Scheffer, Bressan e
Rovani (2008) contribuem para o enriquecimento das experiências e possibilitam a construção
de um trabalho mais abrangente e investigativo onde o foco principal é a construção do
conhecimento, por parte do aluno, e o software é visto como um meio auxiliar nesse processo.
Além de facilitar a compreensão pelos alunos, o trabalho utilizando estes ambientes,
amplia a forma de abordagem do assunto permitindo que os mesmos encontrem soluções de
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outras dúvidas emergentes, de outros pontos já abordados em temas já desenvolvidos
anteriormente que deixaram de ser explorados por motivos diversos. A visualização gráfica
gera encantamento ao mesmo tempo em que desperta o desejo de se permitir construir com
precisão, uma vez que tal possibilidade só será alcançada graças à utilização destes recursos.
Assim sendo, o mais importante não é o próprio software, mas sim o modo como ele
será utilizado. Com isso, o entendimento do professor em relação à tecnologia que estará
utilizando é de fundamental importância. A criação de um ambiente reflexivo e investigativo
pode trazer mudanças profundas à formação e à cultura docente, o que vem a ser confirmado
por Scheffer 2009, quando destaca que as tecnologias implicam em novas atitudes humanas,
exigindo outro perfil do professor e dos alunos.
Nesse sentido ao refletirmos sobre o perfil do educador matemático, trazemos Bairral
(2009) que ao referir-se ao professor diz que ele é um profissional que deve constantemente
aprender a aprender e refletir criticamente sobre sua prática de modo a promover a interação
entre as tecnologias e o cenário educacional.
Bittar (2009) também concorda com os autores quando destaca que muitas vezes a
informática é usada como “apêndice” do curso habitual; ou seja, o professor dá a aula da
maneira usual e tradicional e ao fazer uso do computador, não o faz devidamente, muitas
vezes deixa de explorar todo potencial que o software pode oferecer.
Sendo assim percebemos que o perfeito domínio das tecnologias permite que se utilize
o computador mais constantemente, possibilitando desta forma um aprofundamento do ensino
e permitindo uma melhor compreensão, ao contrário de usar o computador como simples
complemento.
Constatou-se assim que o computador e suas ferramentas não são explorados em sua
potencialidade e sua utilização não é capaz de oportunizar mudanças significativas no
processo de ensino e aprendizagem. Bittar afirma ainda, que integrar o computador (software)
à prática pedagógica significa que o mesmo poderá ser usado em diversos momentos do
processo de ensino, sempre que for necessário e de forma a contribuir com o processo de
aprendizagem do aluno.
As investigações matemáticas na sala de aula possibilitam uma compreensão
abrangente dos conteúdos matemáticos, bem como o desenvolvimento de capacidades e
habilidades, de formulação, de resolução e teste de conjecturas.
Quando se trabalha com números, exploram-se aspectos geométricos, aspectos de
contagem, conservação e classificação, desenvolvem-se capacidades de visualização espacial
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e diferentes formas de representação, introduzindo o aluno na construção de novos
conhecimentos.
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), o aluno desenvolve capacidades de
formular e conduzir investigações. Diante do estudo voltado à investigação, os alunos
trabalham com problemas, participando em todas as fases, que vão desde o processo de
formulação, coleta, organização, e análise de dados, proporcionando ao estudante as
conclusões. Neste momento implica-se o bom uso dos ambientes informatizados, pois assim
os alunos chegam à produção de conhecimento.
Diante das ideias abordadas, a disseminação das tecnologias, voltadas à educação
básica e principalmente no ensino de matemática, pode ser vista como uma proposta
educativa diferenciada, auxiliando na construção de significados e no desenvolvimento do
processo de ensino e aprendizagem.
Para tanto, outro passo importante em busca da utilização da Informática em sala de
aula, é a formação do professor, pois segundo Scheffer e Sachet (2007, p.45) “O mais
importante não é o próprio software, mas sim, como ele será utilizado”. Ou seja, é preciso que
o professor esteja preparado para a correta exploração dos recursos tecnológicos.
Segundo Fiorentini, (2003), a tentativa de utilizar as tecnologias de informação e
comunicação na formação de professores e no ensino da Matemática, em um ambiente de
trabalho reflexivo e investigativo, pode trazer mudanças profundas à formação e à cultura
docente. Sendo assim, essas tecnologias implicam em uma nova postura do professor.
Essa posição do autor deixa clara a importância de um trabalho teórico prático com a
formação inicial de professores de matemática.
Tendo em vista as constantes mudanças que ocorrem na vida escolar, torna-se
relevante analisar que a aprendizagem passa, obrigatoriamente, pelo fato de levar em conta a
flexibilidade dos futuros docentes e seus conceitos sobre o ensino. Tardif (2008) destaca que
ensinar futuros docentes é, obrigatoriamente, partir dessas crenças e submetê-las a um
trabalho de transformação, principalmente por uma prática reflexiva.
Deste modo, o professor que está em contato ou utiliza ambientes informatizados e
busca mudanças significativas para o ensino, pode proporcionar a seus alunos momentos de
reflexão, e interação, tornando-se também agente na construção de seu conhecimento.
Maltempi (2008) é outro autor que defende a formação de professores ao afirmar que
novas posturas são requeridas do professor quando este passa a incorporar tecnologias em
13
suas aulas. Essas tecnologias mudam o ambiente em que o professor trabalha e tem impacto
importante no desenvolvimento das aulas.
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Seção 3
As Políticas Públicas e a Utilização de Tecnologias no Ensino de Matemática
Diante do crescente espaço que as tecnologias informáticas vêm ganhando nos
contextos educacionais, os PCN’s (1998) apontam os recursos tecnológicos como uma das
possibilidades de “fazer Matemática” na sala de aula, recursos auxiliares no processo de
construção de conhecimento, promovendo a autonomia dos estudantes. Assim consideram os
documentos oficiais:
“[...] é fato que as calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos estão
cada vez mais presentes nas diferentes atividades da população.
O uso desses recursos traz significativas contribuições para se repensar sobre o
processo de ensino e aprendizagem de Matemática [...]”(BRASIL, 1998, p.43)
Há uma necessidade de se perceber que as mudanças tecnológicas ocorrem
constantemente e que cada aluno possui uma máquina capaz de realizar operações diversas e
que já na tenra idade eles a manipulam, mesmo antes de vir para a escola. Cabe ao professor a
tarefa de promover uma melhor utilização e também uma significação desta conquista hoje já
ao alcance de todos.
Segundo Brandão (apontamentos feitos em palestra) o aluno é considerado como
“nativo” no que se refere à era digital, enquanto que o professor é visto como “imigrante”
nessa nova era da tecnologia. Ou seja, os alunos da Educação Básica já nasceram num mundo
digitalizado, e consequentemente desenvolveram mais habilidades nessa área, já o professor
vem de uma época em que o principal recurso era o livro didático, ou seja, qualquer menção a
tecnologia causa um desconforto por parte do professor uma vez que isso representa um
campo desconhecido para a maioria.
A presença da informática no processo de construção de conceitos matemáticos e na
formação do educando, tem despertado pesquisas e reflexões, que diante do crescente espaço
que as tecnologias informáticas vêm ganhando nos contextos educacionais, os Parâmetros
Curriculares Nacionais tornam evidente a importância da relação entre matemática e
tecnologias:
“[...] embora seja comum, quando nos referimos às tecnologias ligadas à Matemática,
tomarmos por base a informática e o uso de calculadoras, estes instrumentos, não
obstante sua importância de maneira alguma constitui o centro da questão.”
(BRASIL, 2000, p. 41)
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A questão principal não se limita apenas aos instrumentos tecnológicos, mas
principalmente ao direcionamento e a correta exploração desses recursos.
Além disso, os PCNs ainda apontam possibilidades de como utilizar os computadores
com variadas finalidades, especificamente para o ensino e aprendizagem da Matemática, bem
como consideram que:
“o bom uso que se possa fazer do computador na sala de aula também depende da
escolha de softwares, em função dos objetivos que se pretende atingir e da
concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo”(BRASIL,
2000, p.44)
Assim, como os professores examinavam e indicavam livros didáticos para seus
alunos adotando critérios os mais diversos, deverão agora explorar os softwares educacionais,
para que sua utilização proporcione uma aprendizagem efetiva dentro dos diferentes
conteúdos a serem explorados.
Para promover e estimular a implementação do uso de tecnologias informáticas nas
escolas brasileiras, em 1981 ocorreu um Seminário Nacional para discutir programas voltados
para o uso de tecnologias nas escolas, segundo Borba e Penteado (2007), a partir deste evento
surgiram projetos como: Educom, Formar e Proninfe. O objetivo principal era criar centros
pilotos em universidades públicas, principalmente para desenvolver pesquisas sobre as
aplicações do computador na educação.
Atualmente as escolas públicas de vários estados brasileiros, estão desenvolvendo
novos programas para oferecer ao professor estratégias de intervenção pedagógica que
favoreçam a construção de aprendizagens a partir do desenvolvimento das competências de
leitura, produção de texto e resolução de problemas.
Segundo o Referencial Curricular das Lições do Rio Grande:
“Não adianta instalar laboratório de informática nas escolas se, nas salas de aula, o
ensino continuar a ser desenvolvido apenas com quadro negro, giz e livro didático. E
o laboratório for um espaço utilizado uma ou duas vezes por semana para aprender
informática ou bater papo na internet, em geral com o atendimento de um professor
específico, enquanto os professores do currículo continuam a não utilizar softwares
educacionais” (Lições do Rio Grande, 2009.p.7)
.
O laboratório de informática disponibilizado nas escolas deve vir a contribuir de forma
significativa, no processo de aprendizagem dos alunos. A afirmação implica também em um
16
preparo por parte dos professores do currículo, que devem inteirar-se das novas tecnologias e
saber fazer um bom uso delas.
Para, Miskulin (2003) há necessidade de que universidades e políticas públicas de
formação de professores passem a valorizar o desenvolvimento da capacidade crítica dos
futuros professores. A mesma autora destaca também que, com a disseminação das
tecnologias, uma nova cultura profissional se estabelece, o que implica em novos cenários,
novas linguagens, novos conhecimentos e novas maneiras para atuar no meio educacional.
Com relação ao ensino e a aprendizagem da Matemática na Educação Básica, os
documentos oficiais destacam que cabe à Matemática apresentar ao estudante informações e
instrumentos necessários para a cidadania.
Essa afirmação desencadeia a reflexão de que trabalhar apenas com listas de
exercícios, domínio de conceitos e utilização de fórmulas não evidencia um ensino voltado
para explorações dinâmicas e críticas, possibilitando o desenvolvimento de atitudes positivas
a partir de discussões, leituras, observações e experimentações conduzindo o estudante à
construção da significação matemática. Assim, a utilização de tecnologias mediada pelo
professor, pode auxiliar os estudantes a verem a matemática como um dos meios para
conhecer, compreender e atuar no mundo.
O Referencial Curricular das Lições do Rio Grande (2009) também aponta que e
importante utilizar esse espaço didático, (os laboratórios) para que os professores
desenvolvam aulas específicas das suas disciplinas. Para isso os professores precisam estar
capacitados para usarem a tecnologia da informação – os laboratórios com os
microcomputadores e os softwares educacionais – como recursos didáticos em suas aulas. A
partir dessa necessidade surgem os cursos de formação continuada para oportunizar aos
professores acesso as tecnologias.
Assim pode-se afirmar que, com as políticas públicas atuais, a incorporação das
tecnologias já é algo possível e acessível para a maioria das escolas públicas. No entanto,
também devem ser desenvolvidas competências e habilidades em matemática para que a
utilização destas tecnologias desperte interesse e entusiasmo pelo ato de aprender, ensinar e
construir significados matemáticos. Assim, de acordo com os PCNs (2000), os recursos
tecnológicos devem ser tratados como instrumentos de produção e de comunicação, que
utilizados adequadamente possuem suas limitações e potencialidades.
Richit e Maltempi (2009) argumentam que urgem políticas públicas que fomentem a
efetiva incorporação de tecnologias na prática pedagógica de docentes de cursos de
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licenciatura. Não só na forma de disciplinas isoladas tratando de informática na educação,
mas fundamentalmente nas disciplinas de conteúdo específico, de modo que o futuro docente
possa vivenciar a aprendizagem tendo por referência o uso pedagógico das tecnologias.
As potencialidades a serem exploradas são muitas, apresentam métodos interativos,
que possibilitam aos estudantes desenvolver estratégias, estabelecer relações e utilizar seus
próprios erros para discussão de conceitos desenvolvendo assim raciocínio e autonomia.
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Seção 4
Metodologia da pesquisa
Esta pesquisa pode ser caracterizada como do tipo bibliográfica e exploratória. Para
Gil (2007, p.48) pesquisa bibliográfica e aquela “... desenvolvida com base em material já
elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos”. E as pesquisas
exploratórias, segundo Gil (2007), tem o objetivo de proporcionar maior familiaridade com o
problema, com vistas a torná-lo mais explicito testar e construir hipóteses.
Com esta pesquisa objetiva-se construir uma proposta exploratória voltada à discussão
do tema Polígonos e suas propriedades com a utilização do Software Geogebra, onde serão
apresentadas atividades pedagógicas, voltadas à exploração do tema polígonos, a serem
construídas a partir dos recursos disponibilizados do Software Geogebra.
Para a coleta dos dados necessários a elaboração desta pesquisa, foram investigados os
recursos e ferramentas disponíveis no programa do software, bem como os conteúdos
relacionados ao tema polígonos regulares, apresentados em livros didáticos do Ensino
Fundamental.
A organização dos dados culminará com a elaboração da Proposta que terá a seguinte
estrutura:
- Apresentação do software;
- Interface e comandos básicos;
- Atividades práticas de aplicação;
- Comentários analíticos.
Na apresentação do software poderemos encontrar o endereço disponível na internet
para o download e também algumas informações sobre a funcionalidade do programa. A
partir deste software e possível fazer a exploração geométrica no plano cartesiano e também a
exploração algébrica.
Na interface e comandos básicos conheceremos todas as ferramentas disponíveis para
as construções que se pretende fazer.
Na sequencia, foram elaboradas cinco atividades, abordando o tema polígonos
regulares. Os conceitos abordados em cada atividade são triângulo equilátero, quadrilátero,
pentágono, hexágono, octógono, soma dos ângulos internos e cálculo da área dos polígonos.
Logo abaixo da construção na tela do computador, segue algumas perguntas que direcionam
para uma analise matemática, onde é possível observar características dos polígonos
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regulares, como número de lados, nomenclatura, número de ângulos internos, a fórmula para
encontrar o valor de cada ângulo interno das figuras e a fórmula da para encontrar o valor da
área das figuras construídas.
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4.1- Proposta exploratória
Nesta seção pretende-se apresentar uma proposta exploratória a respeito do software
Geogebra e o estudo de polígonos. As atividades são voltadas para a partir da 7ª série do
Ensino Fundamental. Tem por objetivos caracterizar os principais polígonos regulares a partir
da construção geométrica, identificar algumas características como congruência dos lados,
ângulos internos, soma dos ângulos internos e o cálculo da área do polígono. Para a
construção de cada polígono serão apresentados os conceitos que podem ser explorados, as
atividades exploratórias e algumas considerações que podemos observar.
4.2- Apresentação do software
O software GeoGebra é um software gratuito, voltado para o estudo da matemática de
uma forma dinâmica, abrangendo Geometria, Álgebra e Cálculo. O software permite
estabelecer relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis
de ensino. Pode ser encontrado no endereço: http://www.geogebra.org. Além de possuir uma
boa interface que possibilita a exploração e manipulação rápida das figuras, possibilita medir
ângulos, distâncias, transladar, girar e refletir sobre a construção. Possibilita explorar as
propriedades das figuras geométricas. Assim é possível analisar as características específicas
dos polígonos, estabelecer relações e descobrir propriedades.
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4.3- Interface do software Geogebra e comandos básicos
O software apresenta a seguinte interface (figura1):
Fig. 1 – Interface do Geogebra
Fonte: Geogebra
Observamos que a janela inicial está dividida em duas partes: à esquerda é possível a
representação algébrica, que pode ser fechada se necessário, e à direita a representação
geométrica. Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas (Figura 2):
Fig. 2- Barra de ferramentas
Fonte: Geogebra
Cada janela da barra de ferramentas disponibiliza os seguintes comandos, conforme
figuras 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 e 12:
Fig. 3- Botao mover
Fig. 4- Novo ponto
Fonte: Geogebra
Fonte: Geogebra
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Fig. 5 – reta definida por dois pontos
Fig. 6- Reta perpendicular
Fonte: Geogebra
Fonte: Geogebra
Fig. 7 - Poligonos
Fig. 8- Circulo definido
Fonte: Geogebra
Fonte: Geogebra
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Fig. 9 - Elipse
Fig. 10- Ângulos
Fonte: Geogebra
Fonte: Geogebra
Fig. 11- Reflexão com relação a uma reta
Fonte: Geogebra
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Fig. 12 - seletor
Fonte: Geogebra
Fig. 13- Deslocar eixos
Fonte: Geogebra
4.4 Atividades práticas de aplicação
Na construção dos polígonos vamos seguir os passos: clicar em polígonos, polígonos
regulares. Marcar dois pontos qualquer na tela aparecerá uma nova janela onde se deve
digitar o número total de lados do polígono; clicar em ok e aparecerá a construção na tela.
Esta atividade pode ser trabalhada a partir da 7ª série do Ensino Fundamental e os
principais conceitos explorados são construção de polígonos regulares como o triângulo
equilátero, o quadrilátero, pentágono regular, hexágono regular, o octógono, os ângulos
internos de cada polígono e também a área de cada uma das figuras.
4.4.1 Construção de um triângulo equilátero
Conceitos a serem explorados:
-Triângulo equilátero
-Ângulo interno
-Área do triângulo equilátero
Atividades exploratórias:
-Marcar os ângulos internos, selecionar a opção ângulos e clicar nos vértices do polígono.
25
- Determinar a medida dos lados
-Determinar a soma dos ângulos internos
-Determinar a área da figura
-Caracterizar as principais propriedades do triângulo equilátero, conforme figura 14:
Fig. 14 – Triângulo equilátero
A partir da construção da figura 14, podemos observar que o triângulo equilátero é
formado por três lados iguais de medidas 3 centímetros cada lado. Como em um polígono o
número de ângulos internos é igual ao numero de lados, há três ângulos internos, cuja medida
é de 60º cada ângulo, somando 180º. Para encontrar a área do triângulo equilátero de lado l
teremos que obter a altura h do triângulo, o comprimento da base será o ponto médio da base,
portanto
l
3
e substituir na fórmula da área do triângulo equilátero que é dada por a= l ²
2
4
Com esta atividade observamos algumas características do triangulo equilátero. É um
polígono regular, pois apresenta todos os lados e todos os ângulos internos iguais. A soma dos
ângulos internos resulta em 180º, que representa outra característica de triângulo.
4.4.2 Construção do quadrilátero
Conceitos a serem explorados:
26
-Quadrilátero
-Ângulos internos
-Área do quadrilátero
Atividades exploratórias:
-Marcar os ângulos internos
- Determinar a medida dos lados
-Determinar a soma dos ângulos internos
-Determinar a área da figura
-Caracterizar as principais propriedades de um quadrilátero, conforme figura 15:
Fig.15 – Quadrilátero
Como vimos na figura 15, temos um quadrilátero, onde a medida de cada uma dos
lados vale 4 centímetros. A figura possui quatro lados iguais logo apresentará quatro ângulos
internos. Os ângulos deste quadrilátero são chamados de ângulos retos medindo 90º cada
ângulo, somando 360º. Para obtermos o valor da área do quadrilátero, aplicamos a formula de
área do quadrado a= l 2
Com esta construção, podemos observar que a característica do quadrilátero são os
quatro lados iguais e os ângulos retos internos somando 360°. A medida dos ângulos internos
torna os lados paralelos entre si.
27
4.4.3 Construção de um Pentágono
Conceitos a serem abordados:
Pentágono
Ângulos internos
Área de um pentágono
Atividades exploratórias:
-Marcar os ângulos internos
- Determinar a medida dos lados
-Determinar a soma dos ângulos internos
-Determinar a área da figura
-Caracterizar as principais propriedades do um pentágono, conforme figura 16:
Fig.16- Pentágono
Na construção acima, obtemos um polígono com 5 lados iguais e cinco ângulos
internos, medindo 108º cada um, somando 540º. Este polígono é chamado de pentágono.
Em um polígono de n lados, em que n ≥ 3, a soma das medidas dos ângulos internos,
representada por Si, é dada por Si = (n-2) x 180°. Isso pode ser demonstrado no cálculo dos
ângulos internos do pentágono, onde:
Si = (5 -2) x 180º
Si = 540º. Logo se fizermos o valor de Si ÷ n teremos 540º ÷ 5 =108º, o valor de cada
ângulo interno. Para determinarmos o valor da área, basta aplicar a fórmula
e obtermos o valor do seu espaço interno do pentágono.
28
E possível observar que polígonos de cinco lados de qualquer medida sempre terão o
mesmo ângulo interno, isso evidencia outra característica importante que é a congruência
presente nas figuras regulares.
4.4.4 Construção de um Hexágono
Conceitos a serem abordados:
Hexágono
Ângulos internos
Área de um hexágono
Atividades exploratórias:
-Marcar os ângulos internos
- Determinar a medida dos lados
-Determinar a soma dos ângulos internos
-Determinar a área da figura
-Caracterizar as principais propriedades de um hexágono, conforme figura 17:
Fig.17- Hexágono
Na construção acima, temos um polígono formado por 6 lados iguais o qual
chamamos de hexágono regular. A medida de cada um dos lados é de 2,8 centímetros.
Para determinarmos as medidas dos ângulos interno temos:
29
Si = (n-2) x 180º
Si = (6-2) x 180º
Si =720º. Com a medida total dos ângulos internos, basta dividirmos pelo número de
lados do hexágono que teremos: 720º ÷ 6 = 120º, portanto cada ângulo interno do hexágono
vale 120º. A fórmula da área do hexágono é dada por a = 6 l ²
3
4
Observa-se que para o cálculo da área, dividimos o hexágono em seis triângulos
equiláteros, aplica-se a área do triângulo equilátero, que já vimos na primeira atividade, e
multiplicamos por seis, assim termos o valor da área na figura construída.
4.4.5 Construção de um Octógono
Conceitos a serem explorados:
Octógono
Ângulos internos
Área de um octógono
Atividades exploratórias:
-Marcar os ângulos internos
- Determinar a medida dos lados
-Determinar a soma dos ângulos internos
-Determinar a área da figura
-Caracterizar as principais propriedades do octógono, conforme figura 18:
Fig.18- Octógono
30
Na figura acima, temos o octógono que é um polígono formado por oito lados iguais, e
neste caso mede 2 centímetros cada um dos lados. Para determinar as medidas dos ângulos
internos do octógono vamos fazer:
Si = (8-2) x 180º
Si = 1080º
Logo, 1080º ÷ 8 = 135º é o valor de cada ângulo interno do octógono.
Ao aplicarmos a formula 8 l ²
3
encontraremos um valor para a área do octógono.
4
A origem da palavra polígono vem do grego polygonon, Poli muitos, diversos e gono
ângulos. Polígono é então, uma figura de vários ângulos. Em um polígono o número de
ângulos é igual ao numero de lados, dizemos também que um polígono é uma figura de vários
lados.
No caso do polígono regular, o polígono apresenta, além de todos os ângulos internos
iguais, todos os lados congruentes. A regularidade presente nesses polígonos os torna únicos.
Com a construção e exploração dos polígonos, podemos perceber a característica
principal dos polígonos regulares que é a congruência dos lados de cada figura. Também
percebemos a medida dos ângulos internos que pode ser feito algebricamente a partir da
formula Si = (n-2) x 180º, ou com o software, que disponibiliza um comando para determinar
essa medida. Com a medida do ângulo interno de cada um dos vértices pode-se também
explorar os ângulos externos.
Utilizar os recursos computacionais possibilita uma ampla visualização de detalhes
conferidos a partir do uso deste recurso tecnológico permitindo uma compreensão racional da
proposta apresentada. É neste momento que os alunos analisam criticamente o que estão
realizando e visualizam as respostas tanto na forma gráfica como na forma algébrica.
Os detalhes oferecidos pelo software prendem a atenção e despertam a curiosidade,
motivando o aluno para um trabalho criativo, onde, além de ser construtor de sua aprendizagem
também proporciona o trabalho em grupo, pois quando um dos alunos termina a sua tarefa logo se
disponibiliza a ajudar o colega, propiciando uma maior interação entre os alunos.
31
4.5 Análise da proposta exploratória
Um trabalho com TIC possibilita ao professor aspectos positivos como novas formas
de promover uma aprendizagem significativa, uma vez que o aluno tem parte na construção
de seus conceitos cognitivos.
Ao considerar a Educação Matemática e as possibilidades de trabalho pedagógico com
a utilização de softwares gratuitos no ensino de matemática, autores como: Scheffer, et all
(2004), Kaiber e Conceição, (2007) destacam a experimentação, a construção de conjecturas e
conceitos, aulas investigativas, críticas e cooperativas como possibilidades que promovem
interação entre estudantes, professores, conhecimento e tecnologias.
É importante considerar que a inserção dos computadores por si só não garante maior
qualidade ou eficiência no ensino e na aprendizagem no geral, muito menos em Matemática,
esta disciplina requer um esforço contínuo de professores e estudantes para chegar à
compreensão de determinados conceitos com diferentes materiais e tecnologias. Por esse
motivo é que tanto se destaca a formação do professor e os cursos e aperfeiçoamentos para
profissionais que já atuam no magistério.
Diante disso, a presença da informática no processo de construção de conceitos
matemáticos e de formação do educando tem despertado discussões, pesquisas e reflexões,
que perante o crescente espaço que as tecnologias informáticas vêm assumindo nos contextos
educacionais, tornam evidente a importância da relação entre matemática e tecnologias.
A utilização de tecnologias, especialmente de softwares gratuitos de matemática,
representam uma contribuição, tanto para os professores no desenvolvimento de suas aulas,
quanto para os estudantes na atribuição de significados matemáticos.
Isso vem a ser confirmado por Bittar (2006) ao dizer que a verdadeira integração da
tecnologia somente acontecerá quando o professor vivenciar o processo, ou seja, quando a
tecnologia for considerada um instrumento importante de aprendizagem para todos, inclusive,
para o professor, afinal somos reflexos de nossas experiências.
Diante do exposto até aqui, se aposta em uma formação profissional, inicial e
continuada, que garanta não apenas o acesso as TIC, mas também o aprendizado e
familiaridade com as mesmas. Para tanto, não basta serem revistas a forma ou metodologia de
ensino. Vale também, uma reflexão quanto às contribuições e restrições à construção do
conhecimento matemático.
32
Esta proposta busca apresentar subsídios que possam contribuir na prática em sala de
aula. Proporcionar espaço para que o aluno faça as construções, promover um estudo
direcionado a partir de perguntas exploratórias, e fazer uma análise da atividade feita.
Proporcionam momentos diferenciados no processo de ensino e aprendizagem
Quando trabalhamos com lápis e papel somente, nem sempre conseguimos destacar todos
os aspectos importantes na exploração de figuras geométricas. Com o auxilio de recursos
tecnológicos como a visualização e manipulação torna-se possível uma melhor compreensão
desses conceitos geométricos.
Contudo, o trabalho desenvolvido a partir de tecnologias proporciona vantagens ao mesmo
tempo em que exige dedicação, estudo adequado do software, além de aprofundamentos por parte
do professor.
33
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A incorporação das tecnologias é algo possível, que deve ser previsto na escola, pois
os equipamentos tecnológicos estão se tornando mais baratos, sendo acessíveis a todas as
escolas, inclusive as públicas.
Ao direcionar o olhar para questões didáticas de sala de aula trazidas pelo uso da
informática na educação vale destacar também a importância da criatividade, que segundo
Pais (2002), é vista como o resultado de uma persistente experiência de trabalho, habilidades
fundamentais para sucesso da aprendizagem. O autor considera que um dos primeiros
desafios surgidos com a utilização do computador na escola é o de desenvolver competências
e habilidades suficientes à seleção de informações pelo próprio sujeito da aprendizagem.
Nesse sentido, pode-se considerar Bittar (2009), quando destaca que é preciso
oportunizar aos professores o acesso às tecnologias, de modo que estas venham auxiliar e
favorecer o processo de aprendizagem, possibilitando novas maneiras de pensar, bem como,
propiciar mudanças significativas no processo de ensino e de aprendizagem.
Nos cursos de formação de professores evidencia-se que a integração da tecnologia, a
correta exploração de recursos tecnológicos no ensino de matemática e implantação de
softwares gratuitos de matemática na escola, proporciona um novo cenário na construção de
conceitos de aprendizagem.
Para Maltempi (2008) as tecnologias representam uma oportunidade para mudanças na
educação, em especial da prática docente, da centrada no professor (ou tradicional) para a
centrada nos alunos, de forma a atender os anseios e demandas de conhecimento destes.
No entanto, também devem ser desenvolvidas algumas competências e habilidades em
matemática para que a utilização destas tecnologias desperte no aluno interesse e entusiasmo
em aprender para que seja capaz de construir significados matemáticos que vão muito além do
simples decorar conceitos e regras. Como afirmam os PCNs do Ensino Médio, os recursos
tecnológicos devem ser tratados como instrumentos de produção e de comunicação,
utilizando-os adequadamente e reconhecendo suas limitações e potencialidades.
Segundo Pais (2001) com a utilização da informática na educação, surge a indagação
sobre quanto o computador pode liberar o aluno do exercício de memorização inexpressiva e
34
incrementar as práticas criativas de resolução de problemas. Para o mesmo autor, o
conhecimento exigido na era tecnológica é muito mais do que apenas colecionar informações.
Em face disso podemos concordar que as aulas desenvolvidas em ambientes
informatizados possibilitam novas formas de pensar, e principalmente resolver problemas de
forma expressiva, despertando o senso critico nos alunos.
Diante disso, Kenski (2008) afirma que professores e alunos vivenciam e incorporam
novas formas de ensinar e aprender, mediadas por tecnologias inovadoras, que auxiliam na
prática profissional cotidiana.
A sociedade impõe o uso da tecnologia na educação porque grande parte da população
está em um crescente contato com ela no seu dia-a-dia. Dessa forma, cada vez mais as escolas
recebem alunos usuários de tecnologias, habituados a elas, os quais naturalmente pressionam
pelo seu uso na educação ao trazerem tecnologias para a sala de aula ou ao relacionarem as
atividades realizadas na escola com a possibilidade de serem elaboradas com o apoio de
tecnologias.
Observa-se que a realização de um trabalho feito a partir de um recurso tecnológico,
onde e possível a exploração, manipulação, visualização das construções, como foram feitas
nas atividades sugeridas na proposta, proporcionam um trabalho diferenciado, onde o aluno
amparado pelo professor e por algum recurso tecnológico torna-se responsável por sua
aprendizagem. Busca-se desenvolver um trabalho para que o aluno seja capaz de construir
seus próprios conceitos, analisar conclusões e verificar a construção do processo de
aprendizagem.
35
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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES
– CAMPUS ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS NATURAIS E DA TERRA
CURSO DE MATEMÁTICA
MARÍNDIA LEIDENS BITTARELLO
UM ESTUDO A RESPEITO DA EXPLORAÇÃO DE
POLÍGONOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA
ERECHIM
2010