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o
6 SÉRIE 7 ANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Caderno do Aluno
Volume 1
MATEMÁTICA
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
6a SÉRIE/7o ANO
VOLUME 1
Nova edição
2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
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Subsecretária de Articulação Regional
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Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
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Educação Básica
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Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
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Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
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Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
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Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros.
Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valiosos tesouros que nos permitem compreender o mundo que nos cerca, interagir com as
pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se
são algumas formas de compartilhar esses tesouros. Sendo assim, este material foi elaborado
especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.
O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos
matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte
de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser
consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas Situações podem ser vistas
como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.
Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade,
que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das
aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso,
é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus
questionamentos, e que também dê sua opinião.
Neste Caderno, você estudará os seguintes assuntos: sistemas de numeração, frações e
decimais, multiplicação e divisão com frações, números negativos e as regras de sinais, medidas de ângulos, figuras planas e espaciais.
Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e
pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto.
Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, assim você evita
que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental
para construção do conhecimento.
Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.
Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO:
DO EGITO AO COMPUTADOR
Leitura e análise de texto
Sistema egípcio antigo de numeração
Por volta de 3000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a representação dos algarismos utilizando símbolos, muitos dos quais fazendo alguma referência à
fauna e à flora das proximidades do Rio Nilo, local que habitavam. A base do sistema
egípcio de numeração, assim como a do nosso sistema, é decimal, o que significa que os
agrupamentos são feitos em potências de 10.
Observe, na tabela a seguir, alguns dos algarismos hieroglíficos utilizados pelos egípcios
antigos.
100
101
102
103
104
105
106
O hieróglifo que representa o número 1 000 é uma flor de lótus, muito presente às
margens do Rio Nilo. É curioso notar que o símbolo de 100 000 (um número grande) é
um girino, que normalmente é encontrado em grandes quantidades nas margens dos rios.
A formação de números nesse sistema é muito simples, pois utiliza apenas o princípio
aditivo, como se pode observar nos exemplos a seguir:
4
17
253
5
1 100
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Explique em palavras as representações dos números 4, 17, 253 e 1 100 no sistema egípcio
de numeração.
2. No sistema egípcio, a posição em que os algarismos são colocados interfere na formação do
número? Utilize os exemplos apresentados no texto para justificar sua resposta.
3. Qual é o maior número que pode ser formado com os símbolos do sistema egípcio indicados
no texto?
Leitura e análise de texto
Sistema mesopotâmico antigo de numeração
O sistema de numeração dos povos que viveram na Mesopotâmia por volta de 2000 a.C.
é um dos mais antigos sistemas posicionais que conhecemos. Dizemos que um sistema de
numeração é posicional quando as posições dos símbolos marcam os agrupamentos. Em
nosso sistema, por exemplo, o símbolo colocado mais à direita de um número inteiro indica
as unidades, em seguida vem o símbolo das dezenas, o das centenas e assim sucessivamente.
Se por um lado o sistema mesopotâmico antigo de numeração era posicional, como o nosso,
por outro ele não utilizava agrupamentos em potências de 10, como no caso do nosso sistema
decimal de numeração. Os agrupamentos no sistema mesopotâmico eram feitos em potências de 60, por isso dizemos que é um sistema de numeração sexagesimal, ou de base 60.
A escrita mesopotâmica era feita em placas de argila com o uso de bastonetes,
cunhando-se o barro, daí o nome de escrita cuneiforme.
Compare a representação de alguns números nos sistemas de numeração indo-arábico
e mesopotâmico:
6
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Sistema indo-arábico
Sistema mesopotâmico
Sistema indo-arábico
1
2
3
12
4
20
21
Sistema mesopotâmico
15
5
10
11
48
Sistema indo-arábico
Sistema mesopotâmico
Sistema indo-arábico
Sistema mesopotâmico
84
59
119
60
120
61
63
559
72
600
Analisando com atenção a tabela, percebe-se que no sistema mesopotâmico só existem
dois tipos de cunhagens, que são: j, para o 1, e g, para o 10. Essas marcas eram feitas com o
mesmo bastonete, mudando-se apenas sua inclinação de vertical para horizontal. Do 1 ao 59,
os números são formados usando-se apenas o princípio aditivo, e cada grupo de 10 marcas da
unidade (j) é substituído pela marca de uma dezena (g), o que nos dá a falsa impressão de
que se trata de um sistema decimal. Veja que o número 60 passa a ser representado novamente
pela marca da unidade, sugerindo que os agrupamentos são feitos em potências de 60. De fato,
o sistema mesopotâmico de numeração era posicional e sexagesimal (base 60). No nosso sistema de numeração, as casas, ou posições, são marcadas por potências de 10 (unidade, dezena,
centena, milhar, dezena de milhar etc.), o que significa que um algarismo colocado na terceira
casa da direita para a esquerda de um número inteiro representa o total de centenas do número.
Comparativamente, no sistema mesopotâmico, as casas, ou posições, da direita para a esquerda
representam as seguintes potências de 60: 600, 601, 602, 603,...
Observe a formação do número 952 escrito no sistema mesopotâmico, com potências de
60, e no indo-arábico, com potências de 10:
601
600
(10 5) u 601 (50 2) u 600
15 u 60 52u 1
900 52
952
102
101
100
9
5
2
9 u 102 5 u 101 2 u 100
9 u 100 5 u 10 2 u 1
900 50 2
952
7
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
4. Assim como o nosso sistema de numeração, o mesopotâmico também era posicional, porém,
apresenta certa ambiguidade na escrita dos números. Essa ambiguidade poderia ser eliminada
com a utilização de um algarismo que era desconhecido dos mesopotâmicos. Que algarismo
é esse?
Leitura e análise de texto
Sistema maia antigo de numeração
Vamos agora analisar o sistema de numeração do povo maia, que viveu por volta do
ano 500 d.C. onde hoje se localizam o México e algumas regiões na América Central.
Assim como o sistema de numeração mesopotâmico e o nosso, o maia também era posicional, porém de base 20. Para um sistema assim, espera-se que os algarismos multipliquem potências
de 20, que são 1, 20, 400, 8 000, ... porém, o sistema maia operava com uma irregularidade nesse
padrão: na posição de 20² = 400, em que o algarismo deveria ser multiplicado por 400, ele era
multiplicado por 360. Em virtude dessa anomalia, o sistema maia deixou de ser funcional por ser
posicional e ter um símbolo para representar o zero. No nosso sistema, colocar zero à direita de um
número natural corresponde a multiplicá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estritamente vigesimal
(base 20), colocar zero à direita de um número natural corresponderia a multiplicá-lo por 20, o
que não ocorre na prática em virtude do uso do 360 na casa que deveria ser ocupada pelo 400.
Observe atentamente alguns exemplos de números na escrita maia.
1
2
3
4
5
8
6
9
7
10
19
20
Observação!
As anotações das potências em vermelho não fazem parte da escrita maia. Elas foram
indicadas apenas para facilitar sua leitura e compreensão dos exemplos.
8
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Um aspecto importante que diferencia o sistema mesopotâmico do maia é o fato de que o povo
pré-colombiano concebeu um símbolo para o zero. Observando atentamente mais alguns exemplos
de números na escrita maia, é possível investigar sua lógica de funcionamento.
21
24
27
30
22
25
28
79
23
26
29
258
VOCÊ APRENDEU?
5. Com base na lógica apresentada na tabela anterior, porém utilizando 360 no lugar do 400 (que
seria a próxima potência de 20), descubra qual é o número maia indicado a seguir:
9
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Sistema romano antigo de numeração
O sistema romano antigo de numeração, cujas marcas ainda são presentes em nosso
tempo, não foi concebido para fazer contas, mas sim para o registro e a escrita dos números.
Como você verá mais adiante, o sistema romano não era operacional para a realização de
contas, o que de forma alguma quer dizer que os romanos antigos não faziam contas. Para
fazer cálculos, eles utilizavam o ábaco de fichas, que é um instrumento semelhante ao soroban que você construiu na 5a série/6o ano.
Do mesmo modo que o sistema egípcio, o romano também era regido pela adição dos
algarismos que compõem o número, com uma dificuldade adicional: os romanos também
usavam o princípio subtrativo na composição dos números.
Veja a seguir os algarismos do sistema romano de numeração.
1
5
10
50
100
500
1 000
I
V
X
L
C
D (I na origem do sistema romano)
M (CI na origem do sistema romano)
Observe agora alguns números escritos no sistema romano com o uso apenas do
princípio aditivo:
237 ‰ CCXXXVII
1 865 ‰ MDCCCLXV
O uso do princípio subtrativo na composição de números do sistema romano
é regido pela seguinte regra: a subtração na composição de um número só pode ser
utilizada entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos romanos,
e nunca podemos utilizar os algarismos V, L e D para retiradas. Dessa forma, 499 não
pode ser escrito como ID porque do algarismo D só podemos retirar o algarismo C, que
é o símbolo imediatamente anterior a ele na tabela; 45 não pode ser escrito com VL
porque o algarismo V não pode ser utilizado para fazer retiradas etc. Veja a escrita correta
dos números 499 e 45:
499 ‰ CDXCIX
45 ‰ XLV
10
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
A regra de uso do princípio subtrativo na composição de números no sistema romano exige que:
t o princípio subtrativo seja usado apenas entre algarismos consecutivos da tabela ordenada
de algarismos;
t os algarismos correspondentes aos nossos números 5, 50 e 500 (V, L e D) não podem ser
usados para fazer subtrações. Assim, pode-se subtrair deles o 1, o 10 e o 100, respectivamente,
mas eles não podem ser subtraídos do 10, do 100 e do 1 000, respectivamente.
6. Os números registrados na tabela a seguir foram escritos de forma incorreta. Justifique os erros de escrita por uma das duas regras mencionadas na atividade anterior e escreva corretamente os números
no sistema romano de numeração.
15
49
1 500
999
Escrita incorreta
VX
IL
DMM
IM
7. Utilize corretamente o princípio subtrativo e escreva os números 99, 490 e 995 no sistema
romano de numeração.
8. Podemos dizer que o sistema romano é decimal? É posicional? Em geral, a escrita dos números
no sistema romano de numeração é mais extensa ou curta em comparação à escrita em nosso
sistema de numeração?
11
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Sistema chinês antigo de numeração
A história dos sistemas antigos de numeração da China é repleta de detalhes, o que
pode ser encontrado na maioria dos livros de história da Matemática ou de história dos
sistemas de numeração. Resumidamente, existem dois tipos de sistema de numeração oriundos da China antiga, ambos posicionais como o nosso, porém com algumas diferenças.
Analisaremos brevemente os dois sistemas com o objetivo central de compará-los com
o nosso.
Os algarismos do sistema tradicional chinês de numeração são:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1 000
Pela comparação entre o nosso sistema de numeração e o tradicional sistema chinês, nota-se que existem dois aspectos em comum: o princípio multiplicativo na composição dos
números e a estrutura decimal. Observe, por exemplo, os números 26 e 5 400:
Ö 5 400
Ö 26
2
u 10
+
6
5
u 1 000 +
4
u
100
O segundo sistema de numeração chinês que abordaremos é o de barras, que foi concebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse sistema é posicional, como o nosso, e cada
posição é marcada por um único símbolo. Veja a seguir os 9 primeiros algarismos do sistema chinês de barras:
1
2
3
4
5
12
6
7
8
9
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Para os números maiores que 9, a escrita passa a ser feita da seguinte maneira:
‰ 8 326
‰ 934
Observe, na escrita dos números anteriores, que o espaçamento entre as posições de
unidade, dezena, centena etc., deve ser dado de forma clara, caso contrário pode haver
ambiguidade na leitura e compreensão do número. Atentos a isso, ao longo dos anos
os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais intercaladas.
As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, unidades de
milhão etc.) eram expressas por meio do sistema de barras verticais, e as unidades
de casas pares (dezenas, unidades de milhar, centenas de milhar, dezenas de milhões etc.),
com barras horizontais. Veja alguns exemplos de números nessa nova forma de escrita:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
‰536
‰98 432
É interessante observar que o sistema chinês resolve bem a questão da ambiguidade
de significado dos símbolos, ao contrário do sistema mesopotâmico, porém, enfrentava a
dificuldade de não ter um símbolo para o zero. Por causa da ausência de símbolo para o
zero, era difícil distinguir as notações de números como 5 444, 54 440, 50 444, 544 000
etc. Além disso, uma única barra vertical podia corresponder tanto ao 1, quanto ao 100,
ao 10 000, ao 100 000 etc.
Alguns resolveram esse problema deixando um espaço vazio na posição que corresponderia ao zero, ao passo que outros escribas optavam por uma notação mista entre o
sistema de barras e o sistema tradicional, descrito no início desta apresentação.
13
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
9. Usando apenas três barras verticais, escreva todos os números possíveis no sistema posicional
chinês de numeração. (Resolva essa atividade utilizando a escrita apenas com barras verticais.)
10. Escreva os números 238 e 4 575 no sistema chinês de numeração com barras verticais e horizontais para as casas ímpares e pares, respectivamente.
14
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Sistema binário de numeração e os computadores
Conhecendo os sistemas de numeração posicionais de bases 10, 20 e 60, cabe fazer a seguinte
pergunta: Será que existe alguma aplicação moderna para sistemas de outras bases?
A resposta a essa pergunta é sim, e a aplicação está muito mais perto de nós do que se
possa imaginar: nos computadores. Veja em que contexto isso ocorre.
Os elementos radioeletrônicos (válvulas, semicondutores) empregados nos computadores são dispositivos construídos para responder a sinais elétricos. Podemos dar dois tipos
diferentes de comandos para um dispositivo com essa característica, que são: “deixe passar a
corrente elétrica” (ligue) ou “não deixe passar a corrente elétrica” (desligue). Nesse caso,
a linguagem mais adequada para programar uma máquina como essa é a binária (sistema
de base 2), utilizando o algarismo 1 para o comando “liga” e 0 para “desliga”. Em um sistema binário, os algarismos 0 ou 1 multiplicam as potências de 2 para formar os números.
Veja alguns exemplos em que transformamos números do sistema decimal para o binário:
1 = 1 u 20 ‰ 1
2 = 1 u 21 0 u 20 ‰ 10
3 = 1 u 21 1 u 20 ‰ 11
4 = 1 u 22 0 u 21 + 0 u 20 ‰ 100
19 = 1 u 24 0 u 23 + 0 u 22 + 1 u 21 + 1 u 20 10011
1 024 = ... ‰ 10000000000
Na computação, os algarismos 0 e 1 do sistema binário são usados para representar
quantidades mínimas de informação, chamadas bits. O termo bit deriva do inglês binary
digit (dígito binário). Em geral, quando escrevemos os números no sistema binário gastamos
mais bits do que a quantidade de dígitos que gastaríamos no sistema decimal; por exemplo,
1 024, que é escrito com 4 dígitos no sistema decimal, tem 11 bits no binário. Esse fato, que
constituiria um imenso problema para a capacidade limitada de memória do homem, não
é um problema para o computador, que possui enorme capacidade para armazenar dados.
VOCÊ APRENDEU?
11. Se um número binário termina em 0, o que podemos dizer sobre seu correspondente no sistema decimal?
12. Se um número binário termina em 00, o que podemos afirmar sobre seu correspondente no sistema decimal?
15
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
13. Converta o número 11001101, escrito no sistema binário de numeração, para o sistema decimal.
14. (Atividade com uso de calculadora) – Para quantificar a “capacidade de memória” dos computadores e dos periféricos que armazenam dados (CDs e pen drives), costumam-se usar múltiplos
do byte (B), como indica a tabela a seguir:
Nome
Símbolo
Valor atribuído
Kilobyte
KB
210 B
Megabyte
MB
210 KB
Gigabyte
GB
210 MB
t Quantos bytes cabem em um CD de 700 MB?
PARA SABER MAIS
t '0.*/*Sistemas de numeração. São Paulo: Atual, 1995.
t *'3")(Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1998.
t * .&/&4-.Vivendo a Matemática: os números na história da civilização. São Paulo:
Scipione, 1989.
t *.&/&4-.Vivendo a Matemática: a numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 1989.
16
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
'3"±¿&4&%&$*."*46.$"4".&/50$0.4*(/*'*$"%0
VOCÊ APRENDEU?
1. Um professor propôs para seus alunos o seguinte problema:
1
do arame para fazer uma tela que será usada
5
na nova casa de seu cachorro. Qual é o comprimento de arame que ela vai utilizar na construção dessa tela? Justifique sua resposta.
Cláudia tem 18 metros de arame. Ela corta
Veja a resposta dada por três estudantes:
João: 3,6 metros, porque 18 ÷ 5 é igual a 3,6.
1
1
de 18, e 18 = 15 + 3, então o comprimento
Ana: de 15 é igual a 3. Como eu quero
5
5
1
usado de arame será “3 mais de 3”.
5
1
Léo:
em decimal é 0,2, então, eu multipliquei 0,2 por 18 e obtive 3,6.
5
Qual(is) dos estudantes está(ão) certo(s)?
2 20 1
, e , respectivamente. Em
10 100 5
seguida, responda: O que se pode concluir sobre essas frações?
2. Pinte nas três malhas a seguir o correspondente às frações
17
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
3. Mostre, por meio de desenhos, que
2
é equivalente a 2 ÷ 5.
5
4. Com relação ao número 2,48, podemos fazer sua leitura de inúmeras maneiras diferentes, como:
a) 2 inteiros, 4 décimos e 8 centésimos;
b) 2 inteiros e 48 centésimos;
c) 248 centésimos.
Utilizando as sequências horizontais de quadrados a seguir, pinte-as corretamente para representar o número 2,48 de acordo com cada uma das três leituras, mostrando em seguida a equivalência entre elas.
a)
b)
c)
18
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
5. Encontre números inteiros cuja divisão dê o mesmo quociente que o das seguintes divisões:
a) 4,3 ÷ 1,25
b) 0,005 ÷ 0,2
c) 12,28 ÷ 3,2
19
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
.6-5*1-*$"±°0&%*7*4°0$0.'3"±¿&4
VOCÊ APRENDEU?
1. Escreva operações com frações que representem o que se pede:
a)
3
da metade
5
b) a “terça parte” de
c)
2
7
de
5
6
d) total de “terças partes da unidade” em
4
5
1
1
de uma lata de tinta e, em seguida, do que restou de tinta na lata.
3
4
a) Escreva uma operação com frações que represente corretamente a fração da lata que foi
utilizada da última vez.
2. Um pintor utiliza
b) Realize a operação indicada no item anterior utilizando “barrinhas”.
20
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
3
por na forma de uma fração. Em seguida, multiplique o numerador
4
e o denominador dessa fração de forma que resulte em uma fração com numerador e denominador inteiros.
3. Escreva a divisão de
4. Em relação à atividade 3, resolva-a novamente multiplicando o numerador e o denominador
da fração inicial por outro número que não o escolhido na resolução anterior.
5. Registre quais são as regras práticas para fazer a multiplicação e a divisão de frações.
21
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Desafio!
2
3
de uma lata de tinta dão para pintar
de uma parede, que fração da parede
3
4
conseguirei pintar com 1 lata de tinta?
Se
LIÇÃO DE CASA
3
de uma garrafa de refrigerante. O conteúdo da jarra foi re4
partido igualmente entre 6 pessoas. Calcule a fração do refrigerante que havia inicialmente
na garrafa.
6. João colocou em uma jarra
22
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
1
de hora para terminar suas 3 tarefas de casa. Se ela dividir igualmente o tempo
4
entre as tarefas, quantas horas ela terá de dedicar a cada uma?
7. Laura tem 3
3
8. Rita comprou chocolate a granel e pagou R$ 7,20 por
de quilo. Qual é o preço do quilo
4
do chocolate que Rita comprou?
9. Podemos encher
do tanque A usando
da água contida no tanque B. Supondo-se o tan-
que A completamente vazio, que fração do tanque B seria necessária para encher o tanque A?
23
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS
REGRAS DE SINAIS
Leitura e análise de texto
Números negativos e as operações bancárias
Pensar em extratos bancários pode ajudar bastante no estudo das operações com números negativos; por isso, definiremos a seguir o significado de algumas palavras muito usadas
nas operações bancárias:
Saldo: quanto a pessoa tem na conta, ou quanto ela deve ao banco (se o valor for negativo).
Saque: valor que a pessoa retira da sua conta, geralmente mediante operação no caixa
do banco ou no caixa eletrônico.
Cheque: expressão do valor que será debitado (retirado) da conta do cliente em virtude
de um pagamento a terceiros.
Depósito: valor que será acrescido à conta do cliente.
Outro tipo de operação que pode ser contextualizada por meio de extratos bancários é a
de “retirada de uma retirada”. Imagine que um banco tenha retirado indevidamente de um
cliente a quantia de 100 reais. Esse valor deve aparecer no extrato do cliente como “–100,00”.
Uma vez identificado que a retirada foi um equívoco, o banco deve devolver ao cliente os
100 reais, que do ponto de vista contábil deve ser registrado como uma correção equivalente
a “retirar a retirada” (indevida) que foi feita. Admitindo a conta de um cliente com 500 reais
de saldo, os registros da retirada indevida e da correção seriam assim:
Operação
Saldo (em R$)
Saldo
500,00
Retirada
– 100,00
Saldo
400,00
Correção
– (–100,00)
Saldo
500,00
Com essa operação percebemos que retirar uma retirada, indicada por –(–100,00), é
equivalente a devolver 100 reais, ou seja, – (–100) = 100.
24
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise
atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados.
Operação
Saldo
Cheque 345
Saldo (em R$)
528,00
– 145,00
Cheque 346
Saldo
310,00
Depósito
295,00
Saque
Saldo
– 420,00
2. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise
atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados.
Operação
Saldo (em R$)
Saldo
Cheque 165
Depósito
Saldo
Correção
Cheque 166
– 380,00
560,00
– 250,00
– (– 400,00)
– 320,00
Depósito
Saldo
– 80,00
25
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
© Conexão Editorial
0HSÈëDPBTFHVJSJOEJDBPMVDSPNFOTBMEBTPSWFUFSJB,J'SJB ao longo dos oito primeiros meses
de um certo ano. Considere que “lucro negativo” significa o mesmo que prejuízo. Analise o
gráfico e responda às perguntas a seguir.
Lucro da sorveteria Ki-Fria
15 000
10 000
13 400
12 000
7 500
4 000
5 000
0
2 400
Janeiro Fevereiro Março
Abril
Junho
Julho Agosto
Maio
–5 000
–7 000
–10 000
–15 000
–16 500
–20 000
–18 000
B
2VBMGPJPMVDSPUPUBMEBTPSWFUFSJB,J'SJB nos 8 meses?
26
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
b) Qual foi o lucro médio mensal da sorveteria no período analisado?
c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi publicado incorretamente e que, com a correção, o lucro
nos 8 meses analisados passa a ser de R$ 1 500,00. Determine qual seria o lucro correto de
janeiro após a correção.
27
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
© Conexão Editorial
4. O gráfico indica o número de gols que um time fez e sofreu em 10 partidas do Campeonato
#SBTJMFJSPEF'VUFCPM$BMDVMFPTBMEPEFHPMTEFTTFUJNFQPSQBSUJEBFPTBMEPHFSBMEFHPMTOBT
10 partidas.
Gols pró
Gols contra
6
5
Gols
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Partidas
28
6
7
8
9
10
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
5. Observe a regularidade na sequência e responda às perguntas a seguir:
4 u ( –3) = –12
3 u ( –3) = –9
2 u ( –3) = – 6
1 u ( –3) = –3
0 u ( –3) = 0
a) O que está ocorrendo com o fator da direita da multiplicação?
b) O que ocorre com o fator da esquerda?
c) O que está ocorrendo com o resultado da multiplicação quando comparado ao da multiplicação da linha anterior?
d) Qual é a multiplicação esperada para a próxima linha da sequência?
6. Admita que os segmentos indicados em vermelho sejam paralelos. Determine a localização do
ponto marcado em verde e, em seguida, mostre que –3 u ( –2) = 6.
y
1
–a
P
x
0
–b
29
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
7. Imagine um tanque que possa ser esvaziado por uma torneira de vazão de –1 litro por minuto
(o sinal de menos indica que o líquido é retirado do tanque) e enchido por torneiras de vazão de
1 litro por minuto. Se é possível despejar nesse tanque qualquer quantidade dessas torneiras, fica
evidente que, para efeito de manutenção do fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de
vazão de –1 ℓ/min” é equivalente a “acrescentar uma torneira de vazão de 1 ℓ/min”. Utilize o texto
dessa questão para justificar que – (–1) = 1.
30
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
8. Calcule o valor numérico das expressões indicadas:
a) –1,25 u 0,2 + 0,52 ÷ 0,4
b) –32 – (–6 –10) – (–2)2
31
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
c)
3 – 8 +3
u൭
൱
2
9
d)
2 – 1 –1
u൭
൱
5
4
8
2
32
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
9. Calcule o valor numérico das expressões indicadas:
a) 7 – (4 – 6) – 15
b) –5² – (–3)²
33
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
c) 2,4 u (–3) – 1,5 u 0,2
d) 1 + 1,92 + (– 0,32)
2
e) 15 u ൭– ൱
3
34
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
2
25
f ) – u ൭– ൱
5
4
g) –
h)
3
2
+1–
2
3
2 5
÷ –5
3 6
35
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
PARA SABER MAIS
t $
045"&.Matemática e origami: trabalhando com frações. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna, 2007.
t (
6&--* 0 Números com sinais: uma grande invenção. São Paulo: Ática, 1995.
(Contando a história da Matemática, 7.)
t * .&/&4-.+",6#07*$+-&--*4.Números negativos. São Paulo: Atual,
1996. (Para que serve a Matemática?)
t 4.005)&:.Números. São Paulo: Scipione, 1995. (Investigação matemática).
36
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
A GEOMETRIA DOS ÂNGULOS
VOCÊ APRENDEU?
1. Seguindo as orientações de seu professor e as indicações a seguir, construa um transferidor de
papel com 16 subdivisões.
a) Recorte a folha em branco disponível no final deste Caderno (Anexo 1).
b) Usando os instrumentos geométricos (régua, compasso, esquadros ou transferidor), construa um quadrado nessa folha. Caso tenha dúvidas sobre essa construção, consulte seu
professor.
c) Dobre o quadrado ao meio por lados opostos e pelas diagonais de forma a fazer vincos
visíveis.
d) Considere os pontos de A até H, conforme a Figura 1. Em seguida, dobre OA sobre OB,
depois OB sobre OC, depois OC sobre OD, e assim sucessivamente até OH sobre OA,
obtendo as marcas (dobras e vincos), conforme indicado na Figura 2.
D
C
B
D
C
B
E
O
A
E
O
A
F
G
H
F
G
H
Figura 1
Figura 2
e) Marque com uma caneta ou um lápis as linhas dos ângulos, faça uma circunferência no
quadrado utilizando o compasso e recorte-a (havendo dúvidas nesse passo, consulte
seu professor). O transferidor com unidade de medida igual a 1 da circunferência
16
está pronto.
37
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
2. Chamaremos cada uma das 16 subdivisões do transferidor de 1 tuti, cuja abreviação será 1 t.
Meça cada um dos ângulos indicados nas figuras a seguir com seu transferidor e indique as
medidas em tutis.
a)
b)
c)
38
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
3. Construa um ângulo de medida 6 t.
4. Construa um ângulo de medida aproximadamente igual a 2,5 t.
39
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
5. Construa, com o auxílio de uma régua, um triângulo qualquer; meça cada um dos seus ângulos
em tutis e, em seguida, calcule a soma das medidas dos ângulos internos desse seu triângulo (em tutis).
6. Construa um triângulo diferente do que construiu na atividade anterior. Repita todos os passos e compare as somas das medidas dos ângulos internos dos triângulos construídos. O que
você observou? Com base nos resultados de sua observação, levante uma hipótese a respeito
da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo e busque uma forma de justificá-la com
argumentos lógicos.
40
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
7. Construa um quadrilátero convexo qualquer, meça cada um dos seus ângulos internos em tutis
e, em seguida, calcule a soma dos ângulos internos desse quadrilátero.
LIÇÃO DE CASA
8. Construa um quadrilátero convexo diferente daquele construído na atividade 7, da seção
Você aprendeu?. Meça os ângulos internos em tutis e, em seguida, determine sua soma.
41
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
9. Comparando o resultado obtido na atividade anterior com o que você observou nas duas últimas atividades realizadas na seção Você aprendeu?, formule uma hipótese sobre a relação entre
a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo qualquer. Em seguida, apresente um argumento lógico que possa justificar sua hipótese.
10. Compare o transferidor que você construiu com um transferidor convencional. Cada subdivisão indicada no transferidor convencional recebe o nome de 1 grau, cuja abreviação é 1o.
Observando e comparando os dois transferidores, complete a tabela a seguir.
Transferidor tuti
Transferidor convencional
90º
2t
135º
1t
30º
5t
4,5º
42
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Para auxiliá-lo, registre no espaço a seguir as contas efetuadas para a resolução da atividade.
VOCÊ APRENDEU?
11. Jogo Anguloteria: quem consegue estimar melhor a medida de um ângulo?
a) Dividam-se em grupos de, aproximadamente, cinco alunos. Seu professor vai orientá-los
nessa divisão.
b) Cada grupo deve observar atentamente os 40 ângulos indicados nas figuras a seguir e
estimar suas medidas (em graus) sem o uso do transferidor. Em seguida, o grupo deve
preencher a tabela do jogo com as medidas estimadas.
c) Com a tabela de Estimativa da medida (a seguir), cada grupo deve apresentar um critério,
que ache justo, para atribuir pontos aos jogadores.
43
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
d) Depois de recolhidas as tabelas e conferidas as medidas dos ângulos com o auxílio do transferidor, seu professor escolherá um dos critérios de pontuação propostos pelos alunos e
iniciará a contagem dos pontos. E que vença a melhor estimativa!
1
2
4
5
3
8
7
6
9
12
10
14
13
11
17
18
15
16
19
23
20
22
27
24
26
21
25
44
© Conexão Editorial
33
39
40
36
45
© Fernando Favoretto
30
© Conexão Editorial
© Melvyn Longhurst/Alamy/Glow Images
30
© Conexão Editorial
34
© Conexão Editorial
28
© Conexão Editorial
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
29
31
32
35
37
38
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Ângulo
Estimativa da medida (em graus)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
46
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Ângulo
Estimativa da medida (em graus)
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
47
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
Caso você desconheça algum termo geométrico mencionado nas atividades desta
seção, consulte um dicionário, a internet ou o seu professor em classe.
12. Desenhe as seguintes figuras:
a) Triângulo com três ângulos agudos.
b) Quadrilátero com dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos.
48
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
c) Quadrilátero com exatamente três ângulos agudos.
d) Quadrilátero com quatro ângulos retos.
49
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
e) Polígono de cinco lados (pentágono) com um ângulo maior do que 180º e menor que
360º (chamado ângulo reflexo), dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos.
13. Qual é o maior número de ângulos agudos que um triângulo pode ter? E um quadrilátero convexo?
50
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
14. Qual é a medida do ângulo BÂC indicado na figura a seguir?
70
110
60
13
120
0
90
100
80
100
C
110
12
0
70
13
60
0
50
14
0
B
0
40
14
40
50
80
20
160
10
0
170
A
180
0
180
5
170
4
10
3
160
20
2
© Conexão Editorial
30
150
0
15
30
1
15. Determine a medida dos ângulos W V̂ X, QP̂R, R P̂S e QP̂S.
W
70
60
120
80
100
80
100
110
12
70
0
60
13
50
0
13
0
0
14
0
40
14
40
50
110
90
X
10
170
V
Q
R
70
110
60
120
90
100
80
100
S
110
12
70
0
60
13
50
0
13
0
0
14
0
40
14
40
50
80
5
0
P
51
© Conexão Editorial
10
170
4
180
180
3
170
10
0
20
2
160
20
160
30
150
0
30
15
1
© Conexão Editorial
180
0
0
5
180
4
170
3
10
2
160
20
20
160
30
150
0
30
15
1
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
16. Construa os ângulos solicitados, nos itens a seguir, com os instrumentos geométricos indicados:
a) Ângulo SÔL medindo 135º (com os esquadros).
b) Ângulo MÂR medindo 15º (com compasso e régua).
52
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
c) Ângulo LÛA medindo 285º (com o transferidor).
Seu professor vai discutir uma estratégia de orientação para a navegação de embarcações, envolvendo ângulos, que vai auxiliá-lo na atividade a seguir:
17. Usando a escala de 1 cm para 10 km, construa a seguinte rota de um barco:
a) inicie na rota 40 e navegue 50 km;
b) gire 10º, pegando a rota 50, e navegue 40 km;
c) pegue a rota 150 e navegue 30 km.
53
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Alguns programas de computador que fazem construções geométricas de ângulos e
polígonos exigem dois tipos de comando do programador:
1. avance “tantos centímetros”;
2. gire “tantos graus” para a direita (ou para a esquerda).
Esses programas permitem também que uma sequência de comandos se repita determinado número de vezes. Para que o usuário do programa possa construir a figura desejada, é necessário que ele saiba planejar uma sequência correta de instruções, o que é uma
competência muito explorada no estudo da programação de computadores.
Observe duas possíveis sequências de comandos para a construção de um triângulo
equilátero de lado 5 cm e, em seguida, faça as atividades propostas:
Primeira sequência:
1. avance 5 cm;
2. gire 120º para a esquerda;
3. avance 5 cm;
4. gire 120º para a esquerda;
5. avance 5 cm.
Segunda sequência:
1. avance 5 cm;
2. gire 120º para a esquerda.
Repita os comandos 1 e 2, duas vezes.
120º
120º
Ponto de
partida
54
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
18. Apresente uma sequência de comandos para a construção da figura a seguir:
55
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
19. Usando a régua e o transferidor, construa a figura determinada pelo seguinte programa de
computador:
1. avance 2 cm para a direita;
2. gire 144º para a direita;
3. avance 2 cm;
4. gire 72º para a esquerda;
5. repita quatro vezes os comandos de 1 a 4.
56
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
REFLETINDO E GIRANDO COM SIMETRIA
VOCÊ APRENDEU?
1. Trabalhando com simetrias:
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© Martin Harvey/Alamy/Glow Images
© João Prudente/Pulsar Imagens
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a) Trace uma linha, em cada uma das figuras apresentadas a seguir, para indicar a simetria
axial.
57
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
© Arte Kowalsky/Alamy/Glow Images
© J. L. Bulcão/Pulsar Imagens
b) Sem a ajuda do transferidor, determine a medida do ângulo de simetria rotacional das
figuras a seguir:
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2. A placa indica uma figura com simetria axial, porém, o carro que ela representa não possui
simetria axial. Justifique essa afirmação.
Eixo de simetria
58
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
3. Desprezando os pequenos detalhes de cada uma das figuras a seguir, determine o ângulo de
simetria rotacional (com centro marcado em vermelho).
a)
d)
b)
c)
e)
f)
g)
LIÇÃO DE CASA
4. Qual(is) das figuras a seguir possui(em) simetria axial? Para aquela(s) que possui(em), indique onde estaria o eixo de simetria; para a(s) outra(s), indique por que ela(s) não possui(em)
simetria axial.
b)
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© Samuel Silva
a)
59
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
d)
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Getty Images
© Bobo/Alamy/Glow Images
c)
5. Complete as figuras de forma que haja simetria em relação ao eixo indicado.
a)
b)
c)
d)
60
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
6. Complete as figuras apresentadas a seguir para que tenham simetria rotacional de 180º (com
centro de rotação marcado no ponto azul).
a)
b)
d)
c)
e)
61
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
7. Translade em 3 unidades as figuras na direção e sentido indicados pela(s) seta(s) na malha de pontos.
a)
b)
62
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
c)
8. Determine as coordenadas dos vértices dos polígonos simétricos ABCDE em relação ao eixo
vertical, ao eixo horizontal e à origem O, para que a figura indicada translade de forma simétrica para os demais quadrantes do plano.
A(– 1,4)
B(– 4,3)
E(– 2,2)
C(– 3,1)
D(– 2,1)
O
63
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
POLÍGONOS E LADRILHAMENTO DO PLANO
VOCÊ APRENDEU?
1. Escolha um vértice em cada um dos polígonos a seguir e, ligando-o com outros vértices do
polígono, trace todos os triângulos possíveis. Depois de traçar os triângulos, marque os ângulos internos de um triângulo com lápis de cor azul, os ângulos internos de outro triângulo
com lápis de cor vermelho, e assim por diante, usando outras cores. Em seguida, preencha a
tabela indicada.
Figura B
Figura A
Figura E
Figura D
Figura
Nome do polígono
Figura C
Número
de lados
A
B
C
D
E
64
Número de triângulos Soma dos ângulos
a partir de um vértice
internos
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
2. Polígonos regulares são aqueles que possuem lados de mesma medida e ângulos de mesma
medida. A medida do ângulo externo de um polígono é o suplemento da medida do ângulo
interno correspondente. Como um pentágono tem 540º de soma dos ângulos internos, um pentágono regular terá ângulos internos de medida 540º ÷ 5 = 108º e ângulos externos de medida
180º < 108º = 72º. Usando os dados obtidos na atividade anterior, complete a tabela a seguir:
Polígono regular
Medida de cada ângulo interno
Medida de cada ângulo externo
540º ÷ 5 = 108º
180º – 108º = 72º
Triângulo equilátero
Quadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
3. Observe atentamente o padrão nas tabelas das duas atividades anteriores e responda: Qual é a
fórmula para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados?
Atividade experimental
Quais são os polígonos regulares que recobrem perfeitamente o plano sem lacunas nem espaços?
Devemos entender por “recobrir perfeitamente o plano” a colocação de certo número de polígonos idênticos ao redor de um vértice de tal forma que não haja sobreposição dos polígonos nem
espaços em relação a um giro completo de 360º.
Recorte os polígonos disponíveis no final do Caderno (Anexo 2), forme grupos com seus
colegas e experimente fazer o recobrimento (ladrilhamento) do plano com cada um deles.
Em seguida, responda:
Quais são os polígonos que ladrilham perfeitamente o plano?
65
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
4. Para haver um encaixe perfeito dos polígonos regulares em torno de um vértice, é necessário que
a soma das medidas dos ângulos agrupados nele seja igual a 360º (ângulos replementares). Dessa
forma, só haverá um encaixe perfeito se a medida do ângulo interno de um polígono regular dividir 360º. Considerando isso, faça o que se pede:
a) Liste todos os divisores positivos de 360º.
b) Os divisores que você listou são os “candidatos” à medida do ângulo interno do polígono
regular que estamos procurando. Substitua a letra n na fórmula indicada na tabela pelos
valores listados e, em seguida, determine quais são os polígonos regulares que ladrilham o
plano. Liste quais valores de n indicam os lados dos polígonos que ladrilham o plano.
(Dica: se necessário, utilize a calculadora.)
n
[(n – 2) u 180º] ÷ n
n
3
8
4
9
5
10
6
11
7
12
66
[(n – 2) u 180º] ÷ n
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
5. Com o uso do lápis de cor, construa mosaicos nas malhas quadriculada; com triângulos equiláteros; com hexágonos regulares; e com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares.
Malha quadriculada
67
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Malha com triângulos equiláteros
68
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Malha com hexágonos regulares
69
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Malha com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares
70
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
CLASSIFICAÇÃO, MONTAGEM E DESENHO DE POLIEDROS
VOCÊ APRENDEU?
1. Com base nas figuras indicadas, desenhe na malha de pontos a seguir:
a) os sólidos formados quando se eliminam os blocos cor-de-rosa da figura.
b) os sólidos que serão representados ao acrescentarmos um bloco junto às faces indicadas
em cor-de-rosa.
71
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Malha de pontos
72
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
2. Desenhe no plano as vistas lateral esquerda, lateral direita, frontal e superior do sólido indicado
na malha:
lateral esquerda
frontal
a) Vista lateral esquerda.
73
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
b) Vista lateral direita.
c) Vista frontal.
74
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
d) Vista superior.
3. Desenhe as vistas do poliedro da figura indicadas pelas setas no espaço a seguir:
Vista
superior
Vista
frontal
Prisma
Vista
lateral
75
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Antes de iniciar a próxima atividade, seu professor vai explicar o que é um ângulo poliédrico.
4. Para formar um ângulo poliédrico juntando polígonos, necessitamos de, ao menos, três polígonos. Calcule as medidas dos ângulos internos de um octógono regular e de um eneágono
regular e, em seguida, justifique por que não podemos formar ângulos poliédricos usando três
octógonos regulares, ou usando três eneágonos regulares.
Atividade experimental
5. Em uma folha avulsa, construa triângulos equiláteros de 6 cm de lado com régua e compasso. Em seguida, forme grupos de cinco ou seis alunos. Cada grupo deverá formar todos os poliedros que conseguir com os triângulos construídos. Para fixar as arestas dos poliedros, utilize fita
adesiva, fita-crepe ou faça uma alça de fixação e utilize cola.
76
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Leitura e análise de texto
Utilizando apenas quadrados como faces, o único poliedro regular que podemos
montar é o hexaedro regular (cubo); e, com pentágonos regulares só podemos montar
o dodecaedro regular (12 faces, 20 vértices, 30 arestas). As figuras a seguir indicam os
cinco poliedros regulares que existem: tetraedro regular, hexaedro regular (cubo), octaedro
regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.
Cubo
Octaedro
Tetraedro
Dodecaedro
Icosaedro
Os cinco poliedros regulares.
77
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Para que tenhamos um poliedro regular, basta que ele seja formado apenas por polígonos regulares de um mesmo tipo e que exista o mesmo arranjo de polígonos em cada vértice. Para que seja um poliedro de Platão, todas as faces do poliedro devem ser polígonos
com o mesmo número de lados (regulares ou não), e todos os ângulos poliédricos formados
pelo mesmo número de arestas.
Tendo por base a classificação dos poliedros, pode-se concluir que, embora todo poliedro regular seja poliedro de Platão, nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular.
Pode-se verificar que, apesar de existirem mais poliedros de Platão do que poliedros
regulares, também os poliedros de Platão só podem ser poliedros regulares dos seguintes
tipos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. A imagem a seguir mostra
a classificação dos sólidos:
Poliedros
de Platão
Poliedros
regulares
Poliedros
convexos
Poliedros
Sólidos
Em 1750, depois de analisar extensamente vários tipos de sólidos, o matemático
Leonhard Euler conjecturou a validade da fórmula V + F – A = 2, relacionando vértices
(V), faces (F) e arestas (A) de um poliedro, mas não fez propriamente uma demonstração. Anos depois, acabou apresentando uma demonstração da validade de sua hipótese
para todos os tipos de poliedros. No entanto, vários matemáticos encontraram exemplos de poliedros que contradizem a fórmula de Euler. Muito provavelmente, Euler
não considerava poliedros sólidos os que são apresentados na figura a seguir, para os
quais seu teorema não seria válido:
78
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
Depois de Euler, gerações de geômetras tentaram demonstrar o teorema, tarefa
que só foi concluída de forma satisfatória pelo matemático Henri Poincaré, em 1893.
VOCÊ APRENDEU?
6. Determine o número de faces (F), arestas (A) e vértices (V) dos poliedros representados nas
figuras a seguir, preencha a tabela e verifique se é válida a relação de Euler.
a)
b)
c)
d)
79
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
e)
f)
Poliedro convexo
Faces (F)
Arestas (A)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
80
Vértices (V)
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
81
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
ANEXO 1:
FOLHA EM BRANCO PARA SER DESTACADA
82
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
ANEXO 2:
POLÍGONOS REGULARES
Triângulo regular
(equilátero)
Quadrilátero regular
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
Eneágono regular
Decágono regular
Triângulo regular
(equilátero)
Quadrilátero regular
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
Eneágono regular
Decágono regular
83
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
84
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
ANEXO 2:
POLÍGONOS REGULARES (CONTINUAÇÃO)
Triângulo regular
(equilátero)
Quadrilátero regular
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
Eneágono regular
Decágono regular
Triângulo regular
(equilátero)
Quadrilátero regular
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
Eneágono regular
Decágono regular
85
Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1
86
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro,
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley
Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy
Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Esdeva Indústria GráÅca Ltda.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
Presidente da Diretoria Executiva
Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva
Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos
Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina
Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina
H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão,
Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento,
Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier,
Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro
Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb
Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo,
Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula
Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro
Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella
Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e
Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana
Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida
Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e
Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design GráÅco e Occy Design projeto gráÅco!.
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
coordenadora! e Ruy Berger em memória!.
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva,
Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins,
Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos
Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
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Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
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(escala, legenda e rosa dos ventos).