UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
MARIA APARECIDA FERNANDES
A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO ALTERNATIVA
PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
CONSTRUÇÕES BÁSICAS NO GEOGEBRA: QUADRILÁTEROS
Material Didático apresentado no Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado
do Paraná.
Orientadora: Márcia Maioli
UMUARAMA
2008
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SUMÁRIO
1- INTRODUÇÃO......................................................................................................................3
2- FUNDAMENTAÇÃO TEORICA..........................................................................................4
3- UM POUCO SOBRE GEOGEBRA.......................................................................................8
4- CONSTRUÇÕES BASICAS NO GEOGEBRA: QUADRILÁTEROS..............................19
4.1
TRAPEZIOS.................................................................................................................23
4.1.1 PARALEGRAMOS......................................................................................................29
4.1.2 RETANGULO..............................................................................................................32
4.1.3 LOSANGO...................................................................................................................35
4.1.4 QUADRADO...............................................................................................................37
5- CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................................................39
6- REFERÊNCIAS.......................................................................................................................39
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A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO
ALTERNATIVA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
Autor: Grupo todo1
INTRODUÇÃO: Os computadores chegaram! Como usá-los nas aulas
de matemática?
Uma nova realidade é encontrada nas escolas paranaenses com o advento de
equipamentos de informática, essa nova fase pode ser encarada como um momento de
evolução tecnológica, que pode trazer vários benefícios para a inclusão digital, socialização
de programas educacionais e enriquecimento das estratégias de ensino em todas as
disciplinas, mas o que transparece, é que a entrada dos computadores na educação tem
provocado inquietação aos professores, pois estes provocam insegurança na maioria dos
docentes. Isso implica numa mudança de postura dos membros do sistema educacional e na
formação dos administradores e professores.
O presente material apresenta orientações básicas quanto ao uso do software
Geogebra e propostas de atividades de alguns conteúdos matemáticos, dando condições
necessárias para que diminua a distância do professor com o computador de modo que se
sinta à vontade no manuseio e não ameaçado por esta tecnologia, abordando possibilidades
e limitações do uso de softwares no ensino da Matemática, estimulando a utilização dos
computadores na prática docente para enriquecer ambientes de aprendizagem e auxiliar o
aprendiz no processo de construção do seu conhecimento.
A primeira parte do material composta pela Introdução; Fundamentação Teórica e o
item intitulado Um pouco sobre o Geogebra, foram preparados em conjunto pelo grupo das
cinco professoras PDE orientadas pela professora Marcia Maioli. A partir daí, cada
professora PDE ficou responsável pela elaboração de um conjunto de atividades de acordo
com o conteúdo de seu interesse. Cada um destes conjuntos de atividades é apresentado no
item 4, com a identificação das respectivas autoras.
O Grupo todo é composto pelas professoras PDE: Leila C. Escudeiro Seifert, Maria Jussara Sobenko Hatum, Maria Aparecida
Fernandes, Silvia Tereza Juliani Brandt, Silvia Vilela de Oliveira Rodrigues.
1
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FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
As escolas públicas da Rede Estadual do Paraná estão recebendo computadores
através do programa “Paraná Digital” e junto com eles está surgindo a necessidade de se ter
conhecimentos e metodologias para sua utilização de forma pedagógica. Diante desta
situação, percebemos que é necessário que o professor busque conhecimentos e se atualize
para utilizar esse importante recurso (computador) como uma ferramenta pedagógica que o
auxilie no ensino de sua disciplina.
No ensino da Matemática, o uso do computador poderá proporcionar avanços no
processo ensino aprendizagem, contribuindo e desafiando professores e alunos a torná-lo
um aliado importante na construção do conhecimento.
Segundo VALENTE (1999), a utilização dos computadores na educação é tão
remota quanto o advento comercial dos mesmos. O autor afirma que, já em meados da
década de 50, apareceram as primeiras experiências do seu uso na educação. No entanto, a
ênfase dada nessa época era praticamente a de armazenar informação em uma determinada
seqüência e transmiti-la ao aprendiz.
Hoje, a proposta para o uso dos computadores na educação é mais diversificada e
desafiadora do que simplesmente a de transmitir informação ao aluno. O computador pode
ser um auxiliar do processo de construção do conhecimento e utilizado para enriquecer os
ambientes de aprendizagem. A simples presença das novas tecnologias não é por si só
garantia de maior qualidade na educação, pois a aparente modernidade pode mascarar um
ensino tradicional, baseado na recepção e memorização de informações.
O uso inteligente do computador na Educação está vinculado à maneira como nós
concebemos a tarefa na qual ele será utilizado. Se o utilizarmos como máquina de ensinar,
estaremos apenas informatizando os métodos de ensino tradicionais. Contudo, se o
computador for utilizado como ferramenta pedagógica, onde ele não é simplesmente o
instrumento que ensina o aprendiz, mas a ferramenta com a qual este desenvolve, descreve,
busca novas estratégias e soluciona situações–problema, estaremos abordando a perspectiva
Construcionista.
“Na abordagem Construcionista o computador não é o detentor do
conhecimento, mas uma ferramenta tutorada pelo aluno e que lhe permite
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buscar informações em redes de comunicação à distância, navegar entre
nós e ligações, de forma não-linear, segundo seu estilo cognitivo e seu
interesse momentâneo.” (ALMEIDA, 2000)
A autora ainda afirma que nessa perspectiva, é o aluno que coloca o conhecimento
no computador e indica as operações que devem ser executadas para produzir as respostas
desejadas.
Borba e Penteado (2005) afirmam que a relação entre a informática e a Educação
Matemática deve ser pensada como transformação da própria prática educativa.
De acordo com o Documento das Diretrizes Curriculares de Matemática para a
Educação Básica do Estado do Paraná,
“O ensino da Matemática trata a construção do conhecimento matemático
sob uma visão histórica, de modo que os conceitos devem ser
apresentados, discutidos, construídos e reconstruídos e também
influenciar na formação do pensamento humano e na produção de
conhecimentos por meio das idéias e das tecnologias.”
Segundo Borba (1999), no contexto da Educação Matemática, os ambientes de
aprendizagem gerados por aplicativos informáticos podem dinamizar os conteúdos
curriculares e potencializar o processo de ensino e da aprendizagem voltados à
“Experimentação Matemática” com possibilidades do surgimento de novos conceitos e
novas teorias matemáticas.
As Diretrizes Curriculares de Matemática ressaltam ainda que os recursos
tecnológicos sejam eles o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet,
entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de
resolução de problemas.
Borba e Penteado (2005) consideram as ferramentas tecnológicas interfaces
importantes no desenvolvimento de ações em Educação Matemática. Destacam que abordar
atividades matemáticas com os recursos tecnológicos enfatiza um aspecto fundamental da
disciplina, que é a experimentação.
De posse dos recursos tecnológicos, os estudantes desenvolvem argumentos e
conjecturas relacionadas às atividades com as quais se envolvem e que são resultados dessa
experimentação.
6
Torna-se necessário, portanto, buscar meios como softwares matemáticos, e avaliar
o potencial de cada um deles para o trabalho pedagógico. Por meio dos softwares
educacionais de modelagens ou simulação, os alunos podem ser estimulados a explorar
idéias e conceitos matemáticos, antes difíceis de construir com lápis e papel,
proporcionando assim, condições para descobrir e estabelecer relações matemáticas.
Conforme Gravina e Santarosa (1998), “as novas tecnologias oferecem instâncias
físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos
processos cognitivos, particularmente no que diz respeito às concretizações mentais.”
Como vimos, os pesquisadores apontam a necessidade de o computador ser
utilizado nas escolas como ferramenta pedagógica. No entanto, nos sentimos despreparados
para essa nova realidade escolar.
Existem diversos softwares matemáticos que podem ser utilizados pelo professor
para enriquecer a aprendizagem. Dentre eles, citamos Cabri-Géomètre, GeoGebra,
Winplot, Régua e Compasso, entre outros.
Por ser um software gratuito, com versão em português e funcionar na plataforma
Linux, optamos por apresentar neste trabalho atividades matemáticas utilizando o software
Geogebra (disponível em www.geogebra.org).
Criado pelo prof. Dr. Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University, em 2001,
o Geogebra é um software de matemática dinâmica para ser utilizado em Educação
Matemática nas escolas de Ensino Fundamental, Médio e Superior que reúne geometria,
álgebra e cálculo. O Geogebra é um software disponível na rede para Download e escrito
em linguagem Java. Foi traduzido para o português por J. Geraldes e é objeto de estudos de
um ex-aluno da Universidade Estadual de Maringá, Humberto José Bortollossi.
Segundo Hohenwarter (2007), idealizador do software, “a característica mais
destacável do Geogebra é a percepção dupla dos objetos: cada expressão na janela de
Álgebra corresponde a um objeto na Zona de Gráficos e vice-versa”.
Por um lado o Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de
geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e
coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o Geogebra tem a vantagem didática
de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que
interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.
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É mais uma ferramenta que pode oferecer a oportunidade de dinamizar e consolidar
o trabalho pedagógico em matemática.
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UM POUCO SOBRE GEOGEBRA
Figura 1
Fonte: www.augusta-neves.net
A proposta deste trabalho é apresentar uma breve introdução às ferramentas do
software Geogebra versão 3.0, auxiliando o leitor que não tem familiaridade no manuseio
destas ferramentas e propor algumas atividades para serem realizadas com a ajuda do
software. Outras informações poderão ser obtidas no menu Ajuda do programa (em inglês)
ou no endereço eletrônico www.geogebra.org, onde também é possível fazer o download
do programa. No site estão todas as informações sobre instalação e ajuda.
Esta primeira parte do material foi inspirada na apostila que esta disponível em:
http://www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf
A tela do Geogebra
A figura abaixo representa a tela do Geogebra:
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FERRAMENTAS
JANELA
DE
ÁLGEBRA
JANELA
DE
GRÁFICO
S
LINHA/ENTRADA
DE COMANDOS
A barra de ferramenta do Geogebra está dividida nas janelas apresentadas abaixo:
Cada janela contém várias ferramentas, para selecionar uma função, devemos clicar
sobre uma das janelas, lado direito inferior sobre a setinha, e arrastar o cursor para baixo,
quando a função desejada estiver selecionada é só dar um clique.
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Algumas dicas
• O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para anular as
últimas operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y
(refazer), esta opção também é encontrada no canto superior da tela
.
•
Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá informações de como
proceder para utilizá-la.
11
•
O menu “Exibir – Protocolo de Construção“ fornece uma tabela listando todos os
passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para revisar a construção
passo a passo utilizando as teclas de seta.
Apresentaremos algumas atividades básicas para a familiarização com as principais funções
do Geogebra.
Atividade 01
1- Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No menu
Exibir aparece essas três funções, sempre que precisar, você poderá ativá-las ou
desativá-las.
2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto
, e dê um clique na
área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes pontos: A (2,
1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2). Outra forma de marcar os ponto e digitá-los na
Caixa de Entrada da seguinte forma: A=(2,1) e teclar Enter.
3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado
direito do mouse, selecione a opção Propriedades e em seguida a opção Cor. No
lado esquerdo dessa janela aparecem os pontos. Clique neles, um a um, e na cor
desejada. Para a operação ser concluída, clique em Fechar.
4- Utilizando a ferramenta polígono
, clique sobre os pontos e forme o Polígono
ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.
5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a cor dos
pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.
6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram de cor. O
objeto Poly1 traz a medida da área do Polígono P. Os objetos a, b, c, d, são as
medidas dos lados deste polígono.
7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada, clique dentro
dele com o lado direito do mouse, a seguir, clique em Propriedades escolha a opção
Estilo, movimente com o mouse a seta de Preenchimento que pode intensificar ou
diminuir sua cor.
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8- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover
, clique no
polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre um dos pontos e mova.
Clique sobre um dos lados e mova.
9- Caso queira salvar a atividade realizada, abra o menu Arquivo clique na opção
Gravar.
Atividade 02
1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo, na janela que surge selecione Novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra, Malha e nem o Eixo. A
Janela de Álgebra também pode ser fechada, clicando no x que aparece em seu
canto superior direito.
3- Construa uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos
,
selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer no plano.
4- Renomeie os pontos A e B para C e D. Para isso, clique sobre o ponto com o lado
direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção Renomear. Digite a letra que
você identificará o ponto e clique em Aplicar.
5- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito do mouse
sobre a reta e selecione Exibir rótulo.
6- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a cor dos
pontos e do polígono).
7- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do mouse,
selecione Propriedades e na função Estilo podemos aumentar ou diminuir a
espessura da reta movendo a seta correspondente. Também nesta janela pode-se
mudar o estilo da reta para pontilhado.
8- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.
9- Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na ferramenta
Reta paralela
, a seguir clique na reta r e no ponto P (ou vice-versa).
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10- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que acontece com a
reta paralela.
Atividade 03
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos
e construa o segmento
AB, nomine como a.
4- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou centro
e clique nos pontos A e B.
5- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto médio C.
Selecione a ferramenta Reta perpendicular
,clique no segmento e no ponto C.
6- Desenhe um triângulo ao lado da reta criada. Selecione a opção Polígono
.
7- Para Construir um triângulo congruente a este. Selecione a opção Reflexão com
relação a uma reta
. Clique sobre o triângulo construído e depois sobre a reta.
Aparecerá um triângulo congruente ao primeiro.
8- Mude sua cor.
9- Observe na Janela de Álgebra e compare as medidas dos lados dos dois triângulos.
10- Movimente a reta e os triângulos.
Atividade 04
1- Abra um arquivo novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos as opções Janela de Álgebra e Eixo.
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3- Construa duas semi-retas de mesma origem. Selecione a opção Semi-reta definida
por dois pontos
. Clique em dois pontos distintos na área de trabalho. Usando
o mesmo procedimento, construa a semi-reta AC.
4- Marque o ângulo formado pelas duas semi-retas. Selecione a ferramenta Ângulo
e clique sobre os pontos no sentido horário.
5- É importante destacar que duas semi-retas, determinam dois ângulos, e que para
marcar o ângulo interno você deve selecionar a ferramenta Ângulo e clicar nos
pontos no sentido horário, BÂC (como ilustra a figura abaixo), o segundo ponto
sempre será o vértice. Caso queira marcar o ângulo externo você deverá clicar nos
pontos CÂB, nesta ordem.
6- Movimente os pontos para aumentar ou diminuir o ângulo.
Atividade 05
5- Abra um arquivo novo
6- Nesta atividade, utilizaremos a Janela de Álgebra. Desative a opção Eixo.
7- Construa um triângulo qualquer.
8- Marque os ângulos internos desse triângulo.
9- Clique com o cursor na caixa de comando Entrada que fica no canto inferior
esquerdo da Janela. Digite a soma α+β+γ e pressione a tecla Enter. Essas letras
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encontram-se à direita desta entrada. Dê um clique na letra correspondente a um
dos ângulos e esta aparecerá na caixa de entrada.
10- Observe que na janela de álgebra aparecerá a soma δ que é o valor de α+β+γ .
11- Mova os vértices e observe os ângulos na janela algébrica.
Atividade 06
1- Abra um arquivo novo.
2- Nesta atividade utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.
3- Digite na caixa de entrada a função F(x)=-2x-1 e pressione a tecla Enter. Surgirá o
gráfico na área de trabalho e sua função na janela algébrica.
4- Mude a cor da reta.
5- Digite na caixa de entrada G(x)=x^2+6x+1e pressione a tecla Enter. Sempre que for
digitar um expoente digite o acento (^) antes.
6- Para ajustar a posição do gráfico, selecione a opção
, Deslocar eixo. Com essa
ferramenta selecionada é só clicar na área de trabalho que você moverá toda a área
de trabalho e não apenas a figura.
7- Com a ferramenta
Interseção de dois objetos ativada, clique sobre a parábola
e depois na reta.
8- Aparecerão na Janela algébrica as coordenadas destes pontos.
Atividade 07
1- Construa um hexágono, selecione a ferramenta
, polígono regular, e clique
em dois pontos no plano, na janela que abrirá digite 6 que é o número de lados do
polígono.
2- Trace a mediatriz do lado AB do hexágono. Utilize a ferramenta Mediatriz
e
clique sobre os pontos A e B. Com o mesmo procedimento construa a mediatriz do
lado BC.
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3- Marque a interseção dessas duas mediatrizes. Renomeie esse ponto de interseção
para O (centro do polígono)
4- Selecione a ferramenta Circulo definido pelo centro e um de seus pontos
.
Clique no ponto O e sobre um dos vértices do polígono.
5- Para esconder as mediatrizes, clique com o lado direito do mouse sobre a mediatriz
e selecione Exibir objeto.
6- Para construir uma circunferência com um raio determinado, utilize a ferramenta
Segmento definido por dois pontos
e clique em dois pontos quaisquer na área
de trabalho. Esta medida corresponde a abertura de um compasso (raio).
7- A medida deste segmento pode ser apresentada também com seu valor, para isso
clique com o lado direito do mouse selecione Propriedades e na função Exibir
rótulo selecione Nome & Valor. Aparecerá o rótulo i seguido de sua medida.
8- Construa uma circunferência usando a ferramenta circulo dados centro e raio
, clique sobre um ponto qualquer fora do polígono e digite i na janela que
abrirá pedindo a medida do raio.
9- Com a ferramenta Mover clique em um dos pontos do segmento i e ajuste a medida
que desejar. Observe o que acontece com o circulo.
10- Vamos transportar o polígono para um documento qualquer (Word).
11- Você pode ajustar o polígono na posição e tamanho que quiser antes de transportá-
lo, basta clicar em
Mover, e clicar nos pontos em azul, que são objetos livres
da construção. Com este botão selecionado também é possível mover os rótulos
dos objetos.
12- Você também pode ampliar ou reduzir as figuras com os botões
e
respectivamente, após selecionar os botões é só clicar na área de trabalho, você
estará alterando toda a área de trabalho e não só a figura.
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13- Para ajustar a posição, você ainda tem a opção
, Deslocar eixo, com essa
ferramenta selecionada é só clicar na área de trabalho e arrastar que moverá toda a
área de e não apenas a figura.
14- Selecione a figura que será transportada (polígono). Para isso clique na ferramenta
, clique em um ponto próximo a figura e arraste o cursor formando um
retângulo onde a figura ficará inscrita.
15- Com o polígono selecionado abra o menu Arquivo, selecione a opção Exportar e
depois clique em Copiar para a área de transferência.
16- Feito isso é só abrir o documento para onde a figura será transportada, e pressionar
as teclas Ctrl+V ou a opção Colar.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, M.E. – Proinfo: Informática e formação de professores / Secretaria de
Educação a Distância. vol. 1 e 2, Brasília: Ministério da Educação, SEED, 2000.
BORBA, M.C.- Tecnologias informáticas na educação matemática e reorganização do
pensamento. In: BICUDO, M.A.V. (org.). Pesquisa em educação matemática:
concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p.285 – 295.
BORBA, M.C. & PENTEADO, M.G.– Informática e Educação Matemática, Belo
Horizonte: autêntica, 2005.
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CEFET- Centro Federal de Educação Tecnológicas de Campos. Software GeoGebra,
disponível em: http://www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf.
GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M.- A aprendizagem da Matemática em
Ambientes Informatizados. IV Congresso RIBIE. Brasília. 1998. Disponível em:
<http://euler.mat.ufrgs.br/~edumatec/artigos/a1.pdf >. Acesso em: 04/05/2007
HOHENWARTER, Markus - GeoGebra Quickstart: Guia rápido de referência sobre o
GeoGebra, disponível em:
<http://www.mtm.ufsc.br/~jonatan/PET/geogegraquickstart_pt.pdf>. Acesso em:
20/06/2007.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes
Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.
VALENTE, J.A. – O computador na sociedade do conhecimento, Campinas, SP:
UNICAMP/NIED, 1999.
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CONSTRUÇÕES BÁSICAS NO GEOGEBRA
Apresentamos neste item, conjuntos de atividades elaboradas individualmente pelos
professores PDE, orientados pela professora Marcia Maioli. Cada conjunto aborda conteúdos
matemáticos selecionados pelo respectivo professor de acordo com seus interesses, dada a sua área
de atuação.
QUADRILÁTEROS
Maria Aparecida Fernandes2
Márcia Maioli3
Se formos pesquisar na História da Matemática encontraremos estudos sobre os
quadriláteros desde as antigas civilizações. Esses estudos, geralmente, estiveram ligados às
necessidades de calcular áreas e, não há registros de que os matemáticos tenham encontrado
grandes dificuldades com esses cálculos.
O objetivo desse trabalho é desenvolver um estudo sobre quadriláteros utilizando o
software Geogebra como ferramenta pedagógica.
Apresentamos algumas sugestões de atividades em que o aluno poderá construir a
representação do objeto matemático e utilizar-se das ferramentas do software para que a
representação construída passe a ter um caráter dinâmico. Ao utilizarmos esse suporte
tecnológico estaremos favorecendo a exploração, levantamento e aprimoramento de
conjecturas visando à gradativa construção de uma teoria matemática formalizada.
2
3
Professor da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná e-mail: [email protected]
Professor do CRC/UEM e-mail: [email protected]
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O estudo dos quadriláteros é interessante porque através dele podemos abordar
vários conteúdos geométricos. Do ponto de vista geométrico, podemos nos perguntar:
O que é um Quadrilátero?
Encontramos nos livros didáticos as seguintes definições:
1- “Quadrilátero é um polígono de quatro lados”. (BONGIOVANNI, 1997).
2- “Um quadrilátero é a reunião de quatro segmentos cujas extremidades são quatro pontos
coplanares não-situados numa mesma reta”. (LONGEN, 2004).
3- “...são figuras formadas por quatro pontos A, B, C e D (três a três não colineares) e pelos
segmentos de reta AB , BC , CD e DA tais que os segmentos podem se interceptar somente
em seus extremos. Os pontos A, B, C e D são chamados de vértices do
quadrilátero.”(GERÔNIMO E FRANCO, 2005)
Adotaremos neste trabalho a definição dada por GERÔNIMO e FRANCO.
Se observarmos diferentes livros de Matemática, iremos perceber que os autores
usam notações diferentes para representar um objeto matemático, por isso, antes de
iniciarmos as atividades no Geogebra, vamos estabelecer as notações e símbolos que serão
utilizados nas mesmas:
-Para designar pontos: letras maiúsculas A, B, C,...;
-para designar retas: letras minúsculas r, s, t,...;
-para designar segmentos definidos por dois pontos: AB ;
-para designar medida de um segmento AB : AB;
- em triângulo com vértices nos pontos E, H e G; (para o ângulo formado pelas semi-retas
SEH e SEG), por exemplo: HÊG.
-para indicar congruência: o sinal “≡”.
ATIVIDADE 1:
Objetivos:
-Identificar quadrilátero e suas notações.
- Observar o número de pares de lados paralelos de um quadrilátero.
-Observar as várias formas de designar um polígono.
1. Abrir um arquivo novo e ativar as funções, Eixo, Malha e Janela Algébrica.
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2. Localizar os pontos: A(1,8); B(3,7); C(5,8); D(3,9); E(-5,1); F(-4,2); G (-2,2);
H (-3,1); I (2,2); J (5,2); K (5,3); L (2,4); M (5,-2); N (6,-3), O (8,-4); S (8,-2); U (9,6);
V (9,3); W(11,3); Y (11,6).
3. Criar os polígonos: ABCD; EFGH; IJKL; MNOS, UVWY.
4. Os polígonos ABCD e CDAB representam o mesmo quadrilátero?
5. Observe os polígonos formados, considerando o número de pares de lados paralelos
que possuem. O que você constatou?
6. Procure em alguns livros o significado dos termos: paralelogramo e trapézio.
Orientações didáticas:
Nesta atividade espera-se que os alunos percebam que existem quadriláteros com
dois pares de lados paralelos, com apenas um par e, quadriláteros sem nenhum par de lados
paralelos.
É provável que surjam questionamentos sobre as diferentes definições de trapézio
encontradas nos livros didáticos, mas, esta questão será discutida na atividade 3.
Eles deverão perceber que se não ligarmos os vértices na ordem em que o polígono
está designado poderão formar outra figura.
ATIVIDADE 2:
Objetivos:
-Verificar e demonstrar que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo
é 360º.
-Identificar os lados, ângulos, vértices e as diagonais de um quadrilátero.
1. Abra um arquivo novo sem Eixo e sem Malha.
2. Marcar quatro pontos na área de trabalho: A, B, C e D.
3. Construir o quadrilátero (convexo) ABCD. Verificar se a figura formada é um
quadrilátero convexo. Caso não seja, mover os pontos.
4. Quais são os lados e os vértices do quadrilátero?
5. Quais são as diagonais desse quadrilátero?
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6. Marcar os ângulos internos desse quadrilátero.
7. Verificar, com o Geogebra, o valor da soma destes ângulos.
Para isto, você pode clicar com o cursor na caixa de comando Entrada que fica no canto
inferior esquerdo da janela. Digitar a soma α+β+γ+δ (letras que identificam os ângulos
internos) e pressionar a tecla Enter. Essas letras encontram-se à direita desta entrada.
Clicar na letra correspondente a cada um dos ângulos e esta aparecerá na caixa de
entrada. Observar que na janela de álgebra aparecerá a soma ε =. α+β+γ+δ.
8. Mover um dos pontos e observar o que acontece com essa soma. Anote suas
observações.
Como pudemos observar na Janela de Álgebra, as medidas dos ângulos se
alteravam ao movimentarmos os vértices do quadrilátero, mas a soma dos ângulos
permaneceu inalterada.
Podemos levantar uma conjectura:
A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360º. Para podermos
generalizar essa propriedade temos que demonstrá-la.
Demonstração:
Consideremos um quadrilátero (convexo) qualquer ABCD. Traçamos uma diagonal
e ele ficará dividido em dois triângulos justapostos.
Sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é sempre
180º. Então, dados o triângulo ABC, sejam α, β e γ as medidas dos ângulos internos. Seja r
a reta que passa por B paralela ao lado AC. Temos no desenho abaixo que:
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α = α’ (alternos internos)
(1)
β = β’ (alternos internos)
(2)
α’ + γ + β’ = 180º
(3)
Logo de (1), (2) e (3), temos:
α + β + γ = 180º
Como o quadrilátero está dividido em dois triângulos, a soma das medidas dos
ângulos é igual a 360º.
Depois de demonstrada, uma conjectura adquire o status de Teorema.
Orientações didáticas
Abrir uma discussão reforçando que quadriláteros “...são figuras formadas por
quatro pontos A, B, C e D (três a três não colineares) e pelos segmentos de reta AB , BC ,
CD e DA tais que os segmentos podem se interceptar somente em seus extremos. Os
pontos A, B, C e D são chamados de vértices do quadrilátero.”(GERÔNIMO E FRANCO,
2005)
Espera-se que o aluno identifique os elementos de um quadrilátero.
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TRAPÉZIOS
Sobre trapézios, encontramos as seguintes definições nos livros didáticos:
1- “É um quadrilátero que tem dois lados paralelos.” (MATSUBARA E ZANIRATTO,
2002).
2- “Quadriláteros que têm um par de lados paralelos.” (PROMAT,1999)
3- “É todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos.” (ISOLANI...et al.,2002)
Observando essas definições, propomos um questionamento:
Qual a diferença entre elas?
Como podemos observar nas definições acima, não há consenso entre os autores
sobre a definição de trapézio, pelo fato de não haver vantagens nem desvantagens claras
para adotar uma ou outra definição. (TINOCO, 1999, Apud. MAIOLI, 2002).
Nesse estudo adotaremos as definições (1) e (2), pois nos baseamos no livro
Geometria Plana e Espacial - Um estudo Axiomático, dos autores J. R. Gerônimo e V. S.
Franco.
Alguns trapézios, devido às suas características, recebem nomes especiais:
-Trapézio isósceles: o que tem os dois lados não paralelos congruentes.
-Trapézio retângulo: o que tem dois ângulos retos.
ATIVIDADE 3:
Objetivos:
-Construir um trapézio retângulo.
-Identificar as bases de um trapézio.
-Reconhecer que o trapézio retângulo tem dois ângulos retos.
1. Abrir um arquivo novo. Sem Eixo, Malha nem Janela de Álgebra.
2. Traçar uma reta t, horizontal.
Obs. Para nomear uma reta, clique com o lado direito do mouse sobre ela e selecione
Exibir Rótulo. Para renomear um objeto, clique novamente com o botão direito do
mouse em Renomear, digite a letra desejada e clique em Aplicar. Para nomear um
ponto, o procedimento é o mesmo da reta.
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3. Traçar uma reta s perpendicular à reta t, passando pelo ponto A.
4. Marcar sobre a reta s um ponto C.
5. Traçar uma reta u, paralela a t passando pelo ponto C.
6. Marcar o ponto D sobre a reta u, não coincidente com o ponto C e a direita do
mesmo.
7. Esconder as retas t, s e u.
8. Traçar um polígono ligando os pontos ACDB.
9. Observando o polígono, que lado você escolheria para chamar de base?
10. Marcar os ângulos internos do polígono.
11. Exibir o valor da medida dos ângulos.
Obs. Clique com o botão direito do mouse sobre um dos ângulos e selecione
Propriedades, depois, Exibir Rótulo e em seguida Valor, depois clique em Aplicar e
aparecerá a medida do ângulo selecionado. Repita a mesma operação sobre cada ângulo
do polígono.
12. .Movimentar os vértices do polígono. Registrar suas observações.
13. O que se pode observar em relação aos ângulos?
Orientações Didáticas
Discutir com os alunos se é possível obter um trapézio com apenas um ângulo reto.
Deixar que experimentem com o Geogebra.
Não deixar de discutir sobre os lados do trapézio que podem ser escolhidos para
bases. Comentar que os autores escolhem os lados paralelos, provavelmente pelo fato da
distância entre esses dois lados ser constante, facilitando definir a altura. (MAIOLI, 2002)
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ATIVIDADE 4:
Objetivos:
-Construir um trapézio isósceles.
-Observar as relações entre as medidas dos ângulos internos do trapézio isósceles.
- Conjecturar e demonstrar que os ângulos opostos são suplementares.
- Conjecturar e demonstrar que os ângulos das bases são congruentes.
1. Abrir um arquivo novo. Sem Eixo, Malha nem Janela de Álgebra.
2. Construir um círculo com centro em A e raio AB .
3. Construir um círculo com centro em B e raio AB .
4. Traçar um terceiro círculo com centro C e raio BC , de forma que os pontos A, B e
C fiquem alinhados.
5. Utilizar a função Novo Ponto, marcar os pontos D e E na intersecção entre os três
círculos, acima dos pontos A, B e C.
6. Esconda os três círculos e o ponto B.
Obs. Para esconder um objeto, clique com o botão direito do mouse sobre a opção
Exibir/Esconder Objeto, clique com o botão esquerdo do mouse sobre os objetos que
você desejar esconder e clique com o lado esquerdo do mouse na ferramenta Mover.
7. Construir o polígono ADEC.
8. Marcar os ângulos do polígono.
9. Exibir a medida dos ângulos do polígono. O que se observa a respeito dos ângulos
do polígono?
10. Movimentar os vértices do polígono, de modo que a figura permaneça sendo um
trapézio isósceles. Registrar suas observações sobre os ângulos do polígono.
11. Qual o valor de: Â + Ê ? e Ĉ + D̂ ?
Será que este resultado vale para qualquer trapézio?
∧
Conjectura: “Dado um quadrilátero EFGH, se EF é paralelo a GH , então  + D̂ = B + Ĉ
= 180º.
Demonstração:
Utilizando as propriedades de ângulos definidos por duas retas paralelas e uma
transversal.
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Dado um quadrilátero EFGH, temos:
Como EF // GH e EH é transversal a EF e GH podemos afirmar que α + β’ =
180º.
Como EH e FG também são paralelas e EF é transversal a EH e FG , logo α + β
= 180º, logo α = 180º - β.
Substituindo em:
β’ + α = 180º
β’ + 180º - β = 180º
β’ = 180º -180º + β
β’ = β
Da mesma forma podemos concluir que α = α’.
12. Observe também os ângulos das bases. Será que em qualquer trapézio os ângulos
das bases são congruentes?
13. Traçar um segmento unindo os pontos C e D.
14. Traçar um segmento unindo os pontos A e E.
15. Comparar as medidas dos segmentos CD e AE . O que podemos afirmar a respeito
das diagonais do trapézio?
16. Traçar uma reta a perpendicular ao lado DE , passando pelo ponto D.
17. Traçar uma reta b perpendicular ao lado DE , passando pelo ponto E.
O que podemos observar em relação aos triângulos: ADI e BEJ? Eles são congruentes?
Por quê?
Conjecturas:
“Se um trapézio é isósceles, então os ângulos de uma mesma base são congruentes”.
“Se um trapézio é isósceles, então as suas diagonais são congruentes”.
Demonstração:
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Temos que AA 2 = BB 2 ;
Os triângulos, AA2D e BB2C são retângulos, respectivamente, em A2 e B2; BC =
AD , pois, o trapézio é isósceles.
Assim, por congruência de triângulo retângulo, temos que AA2D e BB2C são
congruentes.
∧
Façamos que x = DÂA2 e y = B2 B C.
Como os triângulos AA2D e BB2C são congruentes, temos que x = y.
Além disso, Â = 90º + x
∧
B = 90º + y = 90º + x = Â,
∴
∧
Â≡ B.
∧
Considerando os triângulos ABD e ABC, temos AD = BC, Â ≡ B e o lado AB
comum.
ABC ≡ ABD (pelo caso LAL), sendo assim AC = BD.
Seja ABCD um trapézio isósceles com AB // CD . Se A2 e B2 são, respectivamente,
as interseções das perpendiculares a CD passando por A e B, então AA2 = BB2.
Seja ABCD um trapézio isósceles, com AB // CD . Se A2 e B2 são, respectivamente,
as intersecções das perpendiculares a CD passando por A e B, então, os triângulos AA2D e
BB2C são congruentes.
Assim, se um trapézio é isósceles, então os ângulos de uma mesma base são
congruentes e suas diagonais são congruentes.
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Orientações Didáticas:
Espera-se com essa atividade que o aluno observe que:
-Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
-Os ângulos opostos são suplementares.
-As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
-Os lados não paralelos do trapézio isósceles são congruentes. Comentar sobre congruência
de triângulos, e que os triângulos são congruentes pelo caso LAL (lado, ângulo, lado).
-Os lados paralelos do trapézio são denominados bases. No trapézio DECA construído, a
base maior é o segmento AC e a base menor é o segmento DE .
Caso haja necessidade o professor deverá retomar os conteúdos propriedades dos
ângulos definidos por duas retas paralelas e uma transversal e casos de congruência de
triângulos.
PARALELOGRAMOS
São quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos.
Os paralelogramos são estruturas onde o movimento das partes envolvidas deve ser
em paralelo. São muito utilizados na prática e podem ser encontrados em diversos lugares
tais como: janelas basculantes, persianas, balanças, caixas de ferramentas, macacos de
veículos, entre outros.
ATIVIDADE 5:
Objetivos:
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-Construir paralelogramos e explorar suas propriedades com o auxílio do software
geogebra.
-Fazer conjecturas e demonstrar a congruência entre os ângulos opostos e lados opostos de
um paralelogramo.
-Fazer conjectura e demonstrar que as diagonais de um paralelogramo se interceptam no
ponto médio.
1. Abrir um arquivo novo. Sem Eixo, Malha nem Janela de Álgebra.
2. Traçar uma reta AB .
3. Nomear a reta traçada de a.
4. Traçar uma reta b paralela à reta a.
5. Traçar uma reta c, transversal às retas a e b, passando pelos pontos A e C.
6. Traçar uma reta d e paralela à reta c, passando pelo ponto B.
7. Marcar as intersecções entre elas para formar o quarto vértice, ponto D.
8. Traçar o polígono passando pelos quatro vértices formados.
9. Movimentar a figura clicando sobre cada ponto. Em todos os pontos é possível
movimentar a figura? Ao movimentar a figura ela deixa de ser um paralelogramo?
Registrar suas observações.
10. Esconder os objetos, deixando o polígono e os pontos A, B, C e D.
11. Comparar as medidas dos lados opostos. O que você observa? Podemos com essa
observação levantar a conjectura de que os lados opostos de um paralelogramo são
congruentes, mas, para garantirmos isso, temos que demonstrar.
“Se um quadrilátero tem os lados opostos congruentes, então é um paralelogramo”.
Demonstração:
O desenho acima representa o paralelogramo IJKL.
Consideremos a diagonal IK .
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∧
∧
Como IJ // KL então I J K ≡ I L K
∧
Como IL // JK então KÎL ≡ I K J
Temos também que IK é comum aos triângulos IJK e KLI, então esses triângulos
são congruentes. Logo, IL ≡
JK
e IJ ≡ KL .
12..Marcar os ângulos internos do polígono, clicando sobre os pontos no sentido
horário. O que podemos observar em relação aos ângulos? Mova os vértices e observe o
que acontece com os ângulos opostos. O que você observou?
Será que em todos os paralelogramos acontece a mesma coisa? A observação que os
ângulos opostos de qualquer paralelogramo são congruentes é uma conjectura. Para termos
certeza precisamos demonstrar.
“Se o quadrilátero EFGH é um paralelogramo, então seus ângulos opostos são
congruentes”.
Demonstração:
Dado o paralelogramo abaixo:
Como j // m e i é transversal à j e m, temos que α = α’.
Como i // h e m é transversal a i e h, temos que α’ = α”.
Analogamente, concluímos que β = β’.
13. Traçar um segmento, ligando dois vértices não consecutivos do polígono.
14. Achar o ponto médio do segmento.
15. Traçar outro segmento unindo os outros dois vértices não consecutivos. O que você
construiu? O segundo segmento traçado passou pelo ponto médio? Mova os vértices
e observe o que acontece com a intersecção das diagonais.
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Conjectura: “Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, então suas diagonais se
interceptam em seus pontos médios”.
Demonstração:
O desenho acima representa um paralelogramo ABCD.
Considerando a diagonal AC, temos:
∧
∧
BÂC ≡A C D e DÂC ≡ B C A
Considerando a diagonal BD, temos:
∧
∧
A B D ≡ B D C.
Notemos que os triângulos: ABE e CDE são congruentes (ALA), assim AE = EC e
BE = DE . Logo, E é o ponto médio das diagonais AC e BD .
16. Movimentar novamente o polígono, observando os ângulos. Tente fazer com que
todos os ângulos fiquem com a mesma medida? Que medida é essa?
Quando deixamos os quatro ângulos internos de um paralelogramo congruentes
caímos em um caso particular de paralelogramo que é o retângulo.
Orientações Didáticas:
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Iniciar uma discussão com os alunos a respeito das observações que eles fizeram,
levando-os a perceber as propriedades do paralelogramo, que são:
-Lados e ângulos opostos congruentes dois a dois;
-Diagonais se interceptam no ponto médio e possuem medidas diferentes;
RETÂNGULO
Se a interseção de duas retas formarem quatro ângulos congruentes então, as retas
são perpendiculares entre si. E os ângulos são chamados “retos”. Todo quadrilátero que
apresentar quatro ângulos retos é chamado retângulo.
Então para construirmos um retângulo é necessário garantirmos que seus ângulos
sejam retos, e para que os ângulos sejam retos é necessário que tracemos retas
perpendiculares.
Nesta atividade iremos aprofundar nossos conhecimentos com relação a este
polígono. Com a ajuda do Geogebra construiremos esse quadrilátero e discutiremos suas
propriedades.
ATIVIDADE 6:
Objetivos:
-Construir um retângulo com o auxílio do Geogebra.
-Levantar conjecturas a respeito das propriedades do retângulo.
-Compreender que o retângulo é um paralelogramo com os quatro ângulos retos.
1. Iniciar um arquivo novo. Sem Eixo, Malha nem Janela de Álgebra.
2. Marcar dois pontos, A e B, na área de trabalho.
3. Construir uma reta r passando por A e B.
4. Construir uma reta t perpendicular a r, passando pelo ponto B.
5. Marcar um ponto C sobre a reta t não coincidente com o ponto B.
6. Construir uma reta s, paralela a r, passando por C.
7. Construir uma reta u, paralela a t, passando por A.
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8. Marcar a interseção entre as retas, u e s. Nomear como ponto D.
9. Ocultar as retas.
10. Selecionar a ferramenta Polígono e construir o polígono com os vértices A, B, C e
D.
11. Com a ferramenta Relação entre dois Objetos
, comparar os lados opostos do
quadrilátero, Mover os vértices do retângulo e observar o que acontece com os lados
opostos. Além das medidas o que mais se pode observar com relação a esses lados?
12. Registrar suas observações.
13. Marcar os ângulos internos no polígono
14. Pedir para exibir o valor dos ângulos internos.
15. Registrar suas observações, quanto aos ângulos formados.
16. Movimentar os vértices do polígono e observar.
17. Com a ferramenta “Segmento de reta” selecionada, traçar a diagonal AC .
18. Marcar o ponto médio do segmento AC .
19. Traçar a diagonal BD . Qual é o ponto de interseção dessas diagonais?
20. Com a ferramenta Relação entre dois objetos, comparar as duas diagonais. O que
você observa?
Conjectura: “Se o paralelogramo ABCD é um retângulo, então suas diagonais são
congruentes”.
Demonstração:
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Considerando o desenho acima, temos que os triângulos ADC e BDC são congruentes,
pois, AD ≡ BC , CD é comum e
D̂
≡
Ĉ
(LAL). Logo, AC ≡ BD , ou seja, suas
diagonais são congruentes.
21. Registrar com suas palavras todas as propriedades apresentadas pelo retângulo.
Orientações didáticas
Antes de iniciar a atividade seria interessante discutir qual é o conhecimento prévio
que se tem sobre o polígono retângulo.
Após atividade realizada abrir uma discussão com as observações registradas no
item 21, levando-os a concluírem que:
-Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos retos;
-Um retângulo é um paralelogramo, pois apresenta lados opostos paralelos.
-As diagonais do retângulo são congruentes e se interceptam em um ponto, que é ponto
médio de ambas.
Reforçar aos alunos que o retângulo é um caso particular de paralelogramo.
LOSANGO
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Existe também um caso particular de paralelogramo que possui todos os lados
congruentes. Esse paralelogramo é denominado de losango.
ATIVIDADE 7:
Objetivos:
-Construir um quadrilátero com lados congruentes com o auxílio do Geogebra
-Fazer conjecturas sobre a posição das diagonais do losango.
-Demonstrar que as diagonais do losango são perpendiculares e que as diagonais coincidem
com as bissetrizes dos ângulos internos.
1. Abrir um arquivo novo. Sem Eixo, Malha nem Janela de Álgebra.
2. Construir um círculo definido por dois pontos, com centro em A e raio AB .
3. Traçar outro círculo com centro em B e raio BA .
4.
Marcar a intersecção entre os dois círculos, que serão os pontos C e D.
5. Ocultar os círculos, deixando somente os pontos A, B, C e D.
6. Construa o polígono ACBD, selecionando a função Polígono.
7. Comparar as medidas dos lados do polígono. O que se observa? Faça suas
anotações.
8. Marcar os ângulos internos do polígono. Exibir o valor dos ângulos. Observe e
anote.
9. Traçar um segmento unindo os pontos A e B.
10. Marcar o ponto médio do segmento AB .
11. Traçar o segmento CD . Observe a intersecção e as medidas desses segmentos e
anote.
12. Marcar os ângulos formados pelas diagonais. O que se observa?
13. E quanto aos ângulos Â,
∧
B
,
Ĉ
e
D̂
. O que acontece com eles quando traçamos
as diagonais?
Com essa atividade, levantamos as seguintes conjecturas sobre as diagonais de um
losango:
Conjectura: “Se ABCD é um losango, então suas diagonais são bissetrizes dos ângulos
internos e são perpendiculares”.
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Demonstração:
Seja o quadrilátero ABCD, abaixo:
Seja: Δ1
Δ4
≡
Δ 2 (caso LLL),
Δ3 (caso LLL),
≡
α
∴
δ
∴
Δ2
≡
Δ3 (caso LLL),
∴
Δ1
≡
Δ4 (caso LLL),
∴
γ
π
≡
≡
β
, logo Δ ΒD é bissetriz do ângulo
∧
B
∧
ω, logo BD é bissetriz do ângulo D
∧
θ, logo AC é bissetriz do ângulo C
≡
≡
φ
, logo
AC
é bissetriz do ângulo
∧
A
Diagonais perpendiculares.
Como os quatro triângulos são congruentes, os quatro ângulos com vértices em M
também são congruentes.
Se a soma das medidas é 360°, cada um mede 90°.
Orientações didáticas
Iniciar uma discussão com os alunos a respeito das observações que eles fizeram,
levando-os a perceber as propriedades do losango, que são:
-Quatro lados congruentes;
-Diagonais se cruzam perpendicularmente formando ângulos retos.
-As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
Como todo losango é também um paralelogramo, todas as propriedades dos
paralelogramos são herdadas pelos losangos.
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QUADRADO
É um quadrilátero que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos.
O quadrado é mais um caso particular do paralelogramo, também é um caso
particular do retângulo e do losango.
ATIVIDADE 8:
Objetivos:
-Construir um paralelogramo de quatro lados e quatro ângulos congruentes com o auxílio
do Geogebra.
-Verificar que um quadrado é ao mesmo tempo, um retângulo e um losango.
1. Abra um arquivo novo.
2. Com o auxílio da ferramenta Círculo Definido pelo Centro e um de seus Pontos,
construir um círculo. No centro ficará marcado o ponto A e na extremidade da
circulo o ponto B.
3. Trace uma reta r definida por dois pontos, passando pelos pontos A e B.
4. Marcar o ponto C na intersecção do círculo com a reta r.
5. Traçar uma reta s perpendicular a CB passando pelo ponto A.
6. Marcar a intersecção da reta s com o círculo. Pontos D e E.
7. Ocultar o círculo e as retas r e s e o ponto A.
8. Traçar o polígono CDBE.
9. Comparar as medidas dos lados do polígono.
10. Marcar os ângulos internos do polígono. Exibir o valor dos ângulos. Mova os
vértices e observe o que acontece com os lados e com os ângulos.
11. Traçar o segmento CB .
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12. Marcar o ponto médio desse segmento.
13. Traçar o segmento DE . Os dois segmentos se cruzaram no ponto F?
14. Compare a medida dos segmentos CB e DE . Mova os vértices. O que se pode
observar?
15. O que o quadrado tem em comum com o retângulo? E com o losango? O quadrado
pode ser um retângulo? O quadrado pode ser um losango?
Orientações didáticas
Nessa atividade espera-se que o aluno perceba que:
- As diagonais do quadrado são perpendiculares (losango) e congruentes (retângulo).
-As diagonais do quadrado são bissetrizes dos ângulos internos;
CONSIDERAÇÕES FINAIS
As atividades contidas neste trabalho foram realizadas individualmente e foram
testadas pelo grupo de professores orientados pela professora MS. Marcia Maioli.
Verificamos que a aprendizagem dos conceitos matemáticos que tratamos, fica
facilitada quando é possível visualizar, manipular, modificar, trabalhar em diferentes
formas de registros e tratá-los de forma dinâmica. Percebemos que o software Geogebra
proporciona a oportunidade de conjecturar sobre o que está sendo construído na tela do
computador, pois este permite movimentar as construções realizadas, quando apenas o uso
de régua e compasso não permite.
Nenhuma das atividades apresentadas foi testada com alunos. A proposta é trabalhar
com elas em 2008, na intervenção na escola, momento em que elas poderão ser alteradas.
REFERÊNCIAS
40
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro, RJ:
Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
BONGIOVANNI, Vincenzo; VISSOTO LEITE, Olímpio Rudinim; LAUREANO, José
Luiz Tavares. Matemática e Vida. São Paulo-SP: Editora Ática, 1997.
GRASSESCHI, Maria Cecília C.; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA, Aparecida
Borges dos Santos. Coleção Promat: projeto oficina de matemática. São Paulo: FTD,
1999.
GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial:
Um Estudo Axiomático. Maringá, PR: Massoni, 2005.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática
Elementar. São Paulo; Atual, 1985.
ISOLANI, Clélia Maria Martins...et al..Construindo o Conhecimento, Matemática 5ª
Série.
Curitiba, Módulo, 2002.
LONGEN, Adilson. Matemática Ensino Médio; Coleção Nova Didática; Curitiba;
Positivo; 2004. v.2
MAIOLI, Márcia; Uma oficina para formação de professores com enfoque em
quadriláteros. São Paulo; 2002; Dissertação de Mestrado- PUC/São Paulo.
MATSUBARA, Roberto; ZANIRATO, Ariovaldo Antonio. Big Mat – Matemática:
História, Evolução, Conscientização, 7ª Série. Coleção BigMat..São Paulo. IBEP. 2002.
ROTTA, Igino; GALVÃO, Luiz Otávio. Traçados do Desenho Geométrico. São Paulo.
FTD. 1994.