INTRODUZINDO O CONCEITO DE ÂNGULO NO ENSINO
FUNDAMENTAL COM AUXÍLIO DO GEOGEBRA
Denise Aguiar de Oliveira Goulart¹
Révero Campos da Silva²
¹ PUC Minas/Departamento de Matemática e Estatística, [email protected]
² PUC Minas/Departamento de Matemática e Estatística, [email protected]
Resumo
O presente trabalho de investigação tem por objetivo estruturar uma sequência didática
com o intuito de auxiliar professores de matemática do 7º ano do Ensino Fundamental a
introduzirem o conceito de ângulo, por meio de um estudo dirigido, utilizando a ferramenta
interativa GeoGebra como recurso didático. Os objetivos propostos para essa pesquisa
foram alcançados por meio de levantamento bibliográfico acerca do tema investigado,
onde se apresentou uma breve descrição do software GeoGebra e discutiu-se sobre o uso
das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) em sala de aula; além de um breve
histórico sobre o papel da geometria na escola básica e as dificuldades dos estudantes em
aprendê-la. O conceito de ângulo foi introduzido por meio de um estudo dirigido
estruturado em uma sequência didática. Essa sequência foi elaborada no intuito de orientar
o professor sobre como desenvolver o estudo dirigido no laboratório de informática; aponta
os pré-requisitos que o estudante deve dominar para realizar a atividade com desenvoltura;
apresenta as estratégias didáticas a serem utilizadas pelo professor durante a aula e, por
fim, orienta esse profissional sobre como avaliar os efeitos pedagógicos da aula; além de se
constituir em um importante material didático de apoio e orientação ao trabalho docente no
ensino básico.
Palavras-chave: Conceito de ângulo; Software GeoGebra; Sequência didática.
1 – INTRODUÇÃO
O uso de computadores em sala de aula, assim como outras Tecnologias de
Informação e Comunicação (TIC), já é uma realidade na educação brasileira. As novas
gerações de estudantes têm cada dia mais contato e usabilidade com diversas tecnologias,
que a cada ano se tornam diferentes e mais modernas. No entanto, os professores ainda
encontram dificuldades em adotar tais estratégias para aprimorar o ensino, muitas vezes
por falta de conhecimento nos softwares e outras ferramentas disponíveis.
Com o intuito de auxiliar professores de matemática do 7º ano do Ensino
Fundamental a introduzirem o conceito de ângulo, pretendeu-se, com este trabalho de
investigação, elaborar um estudo dirigido, no modelo de sequência didática, em que por
meio da ferramenta interativa GeoGebra, fosse desenvolvida a temática em questão.
Para alcançar os objetivos delineados para esta pesquisa, foi realizado um
levantamento bibliográfico acerca do tema investigado, onde se apresentou uma breve
descrição do software GeoGebra e discutiu-se sobre o uso das Tecnologias de Informação e
Comunicação (TIC) em sala de aula; além de um breve histórico sobre o papel da
geometria na escola básica e as dificuldades dos estudantes em aprendê-la.
Espera-se que esta pesquisa contribua para uma melhor compreensão do uso das
TIC em sala de aula, auxiliando docentes na utilização do software GeoGebra, ampliando,
assim, seu campo de ação no processo de ensino-aprendizagem. O produto deste trabalho
de investigação se constitui em um importante material didático de apoio e orientação ao
trabalho do professor de Matemática do ensino básico.
2 – DESENVOLVIMENTO
2.1 – O PAPEL DA GEOMETRIA NA ESCOLA BÁSICA
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998), a
geometria é importante no Ensino Fundamental porque, por meio dela, os estudantes
desenvolvem uma compreensão para descrever e representar organizadamente o mundo em
que vivem.
O desenvolvimento da geometria se deu, ao longo da história, através de
observações, comparações e generalizações. Somente mais tarde chegou-se à
sistematização na geometria, a partir de conhecimentos construídos em um longo período
(AMÂNCIO, 2013).
Diante deste contexto, a geometria contribui para desenvolver a capacidade de
explorar, conjecturar e raciocinar logicamente, envolvendo três formas de processo
cognitivo: visualização, construção de configurações e raciocínio. Estes três processos
cognitivos estão entrelaçados e são de vital importância para o aprendizado de geometria
(BENTO, 2010).
Situações-problema em geometria devem ser ricamente exploradas, contribuindo,
inclusive, para o aprendizado de números e medidas, pois estimulam o aluno a observar,
perceber semelhanças e diferenças, identificar irregularidades, etc. (BRASIL, 1998).
Assim, no Ensino Fundamental, a geometria se torna de extrema importância, pois
oportuniza ao estudante uma vasta compreensão do mundo que o rodeia, desenvolve o
raciocínio lógico e faz com que a Matemática se interligue com outras áreas do
conhecimento.
2.2 – DIFICULDADES EM APRENDER GEOMETRIA
Em geral, uma grande dificuldade vivenciada pelos estudantes no estudo da
geometria é a compreensão dos conceitos formais. Na Matemática, os conceitos são usados
na sua definição formal, mas também como representações mentais, que se diferem de
pessoa para pessoa (AMÂNCIO, 2013).
Bento (2010) destaca a diferença entre um “saber cultural” e um “saber funcional”.
O primeiro, muito utilizado pelos professores do Ensino Fundamental, reduz a
aprendizagem de geometria ao conhecimento de uma coleção de objetos definidos. O
aprendiz se torna um reprodutor de definições e demonstrações, acumuladas na memória.
Já o “saber funcional” dá ao estudante ferramentas para resolver problemas evitando que
ele se limite a, tão somente, repetir “receitas prontas”. Este saber é o que nos faz enfrentar
novas situações e nos capacita a adaptarmos a ela.
O ensino da geometria, na maioria das vezes, é reduzido ao reconhecimento de
figuras e conceitos, quase sempre deixado para o fim do ano, quando se introduzem
rapidamente uma série de conceitos e se fazem alguns exercícios de fixação (BENTO,
2010).
Esse tipo de ensino é um reflexo daquilo que os próprios professores tiveram de
aprendizagem de geometria. Mas é necessário que o professor transponha seus limites e
dificuldades, adequando o ensino a uma geometria dinâmica, em que os estudantes
consigam desenvolver o raciocínio, através das visualizações e construções pertinentes ao
conteúdo estudado.
2.3 – O PAPEL DA INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O uso constante da informática em praticamente todas as áreas da vida humana
trouxe um novo desafio para os educadores: o de como utilizar esses recursos em favor da
construção do conhecimento, sem que sejam meios dispersivos da atenção. É necessário
que o professor reelabore o seu pensamento no processo de ensino-aprendizagem, de forma
a incluir recursos da informática em sua disciplina, a fim de potencializar nos alunos a
aprendizagem de conteúdos com certo grau de complexidade.
No ensino de matemática, os recursos da informática podem ser utilizados como
fonte de informação para alimentar o processo de ensino e aprendizagem; como recurso
auxiliar no processo de construção do conhecimento; como meio para desenvolver
autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; como
ferramenta para realizar determinadas atividades.
De acordo com Almeida (2012), as possibilidades metodológicas que as tecnologias
de informação e comunicação apresentam para trabalhar conteúdos diversos trazem
benefícios por ser um meio criativo, em um processo de desenvolvimento consciente e
reflexivo do conhecimento, com perspectiva transformadora da aprendizagem escolar.
Os PCN (1998) discorrem sobre o desafio da escola de incorporar, ao seu trabalho,
novas formas de comunicar e conhecer, além da oralidade e escrita. Destacam a
importância do uso de computadores, por estarem cada vez mais presentes nas diferentes
atividades da população.
A primeira etapa para a utilização da informática em sala de aula é uma quebra de
paradigmas: o docente deve vencer as barreiras impostas pelo medo da mudança e aceitar
que deve se atualizar constantemente. Em especial, os docentes da Matemática devem
entender como ela se constitui quando novos atores se fazem presentes em sua
investigação (BORBA; PENTEADO, 2003).
De acordo com Bento (2010), o estudo sobre o uso do computador no ensino de
matemática, sua relevância e seus benefícios tem se afirmado como uma das áreas mais
ativas e relevantes da Educação Matemática. Os softwares educativos são utilizados como
ferramenta de mediação entre o indivíduo e o conhecimento, pois permitem a exploração,
visualização e experimentação com várias possibilidades.
A aplicabilidade da informática no ensino da matemática requer, portanto,
profissionais capacitados, que tenham consciência de seu uso como recurso, e não como
fim. Isso exige do professor uma reflexão sobre como, onde e porque utilizar os softwares
educativos. O conteúdo a ser trabalhado deve ser adequado ao uso do software, com uma
proposta pedagógica concreta que justifique sua aplicação.
2.4 – UMA BREVE DESCRIÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA
O software GeoGebra é um software livre, escrito em Java e multiplataforma,
criado pelo Ph.D. Markus Hohenwarter, para ser utilizado em sala de aula. O nome
GeoGebra reúne GEOmetria, álGEBRA e Cálculo Diferencial e Integral (BENTO, 2010).
Este software possui inúmeros recursos, tanto de Geometria quanto de Álgebra e Cálculo
Diferencial e Integral.
O GeoGebra é um software de características gráficas, com uma área de desenho
que permite construções geométricas a partir de objetos-base, de forma interativa. O aluno
pode manipular as construções feitas de modo simples. O GeoGebra oferece uma
variedade de comandos, incluindo diferenciação e integração.
No site oficial http://www.geogebra.org, em sua página inicial, tem-se uma frase de
impacto que mostra as potencialidades desse software: “GeoGebra: é software de
matemática multiplataforma que dá a todos a oportunidade de experimentar as percepções
extraordinárias que a Matemática torna possível. ”.
Essas “percepções extraordinárias” são possíveis pois o estudante consegue, através
do software, a visualização de como se dão as propriedades matemáticas, de uma forma
lúdica, podendo simulá-las e experimentá-las visualmente.
Por ser um programa amigável, os estudantes aprendem a dominá-lo rapidamente,
possibilitando uma aprendizagem dinâmica da geometria, assim como a interação entre os
usuários.
3 – METODOLOGIA
3.1 – CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA
A pesquisa realizada neste trabalho foi do tipo revisão bibliográfica. De acordo
com Fiorentini e Lorenzato (2006), uma pesquisa bibliográfica é aquela que “[…] se
propõe a realizar análises históricas e/ou revisão de estudos ou processos tendo como
material de análise documentos escritos e/ou produções culturais [...]” (p. 71). A coleta de
informações ocorre através de fichamento das leituras realizadas.
Esse tipo de pesquisa, também conhecido como o estado da arte, é caracterizado
por esses autores como sendo a sistematização, avaliação e inventariação de um tema ou
área de conhecimento, “[…] buscando identificar tendências e descrever o estado do
conhecimento de uma área ou de um tema de estudo.” (FIORENTINI; LORENZATO,
2006, p. 103).
As fontes bibliográficas foram escolhidas para este estudo com a mediação do
orientador, quando do direcionamento de pesquisas que mostrassem a utilização de
softwares educativos no ensino-aprendizagem da Matemática, particularmente sobre o
ensino de geometria.
Para alcançar os objetivos propostos nesta investigação, foi realizado um
levantamento bibliográfico acerca da importância da informática no ensino da Matemática,
bem como da apresentação de uma breve descrição do software GeoGebra. Além disso,
para embasar o estudo, foi realizada uma pesquisa sobre a importância do ensino da
geometria e as dificuldades apresentadas pelos estudantes em aprendê-la.
O conceito de ângulo foi introduzido por meio de um estudo dirigido estruturado
em uma sequência didática. Essa sequência foi elaborada no intuito de orientar o professor
sobre como desenvolver o estudo dirigido no laboratório de informática, com o auxílio do
software GeoGebra.
Tomando como base a importância da visualização e da construção matemática
pelos estudantes, esta atividade valoriza a experiência prática da construção de um
conceito matemático muitas vezes de difícil entendimento, quando a aula se limita aos
recursos disponíveis na sala de aula. Busca-se uma maneira dinâmica e interativa de se
construir o conhecimento, utilizando o raciocínio lógico e a fácil visualização
proporcionada pela mídia utilizada: o computador.
3.2 – SOBRE A ATIVIDADE DE ENSINO
O estudo dirigido intitulado “Construindo Ângulos no GeoGebra”, elaborado pela
pesquisadora, possibilita ao estudante do 7º ano do Ensino Fundamental construir o
conceito de ângulo e determinar sua medida. Esse material didático está disponibilizado, de
forma detalhada, na seção Apêndice deste trabalho. À medida que o estudante realiza a
atividade, ele deve responder as perguntas que constam do estudo dirigido, bem como
registrar, no espaço reservado, a construção geométrica que lhe foi proposta. Esse material
didático serve não somente como um instrumento de avaliação da aprendizagem, mas deve
ser utilizado em sala de aula, pelo docente, sempre que for necessário retomar o conceito
de ângulo.
É importante que o estudante, ao final da atividade, saiba justificar alguns
procedimentos:
 Quais elementos geométricos são necessários na construção de um ângulo?
 Identificar a ação necessária para que um ângulo tenha sua medida alterada;
 O conceito intuitivo de ângulo interno e ângulo externo;
 Em um polígono regular, a medida de seus ângulos internos é influenciada pela
alteração na medida do comprimento de seus lados?
Para tanto, a atividade direciona o estudante a realizar tarefas no GeoGebra, a partir
da proposição de três atividades de ensino. Na Atividade 1, a primeira tarefa é construir um
ângulo, usando a ferramenta adequada. Ao final da atividade, o estudante deverá ter
produzido uma construção como a da Figura 1.
Figura 1: Construção de um ângulo
Fonte – Dados da pesquisa
O estudante deve, então, indicar no estudo dirigido a medida do ângulo construído.
Neste momento, o professor pode fazer uma interferência realçando as características de
um ângulo: abertura entre duas semirretas de mesma origem. Como variação dessa
atividade, o professor poderá pedir que os alunos meçam o ângulo “de fora”, mostrando
que sempre são determinados dois ângulos: o interno e o externo.
Em seguida, o estudante deverá movimentar o ponto B e verificar o efeito desse
procedimento. Ao final da tarefa, deverá ser produzida uma construção como a da Figura 2.
Figura 2: Movendo um dos pontos do ângulo
Fonte – Dados da pesquisa
É solicitado ao estudante que observe a mudança na medida do ângulo, registrando
no espaço indicado a nova medida. Também é pedido ao aprendiz que registre, com suas
palavras, o motivo da alteração da medida do ângulo. O objetivo da indagação é que o
estudante perceba o ângulo como “a abertura entre duas semirretas de mesma origem”. Em
seguida, é solicitado ao estudante que registre o que é necessário para determinar a medida
de um ângulo. O professor pode ampliar essa questão relembrando os elementos
geométricos necessários para a construção de um ângulo e motivar os alunos a observarem
como as semirretas estão desenhadas em uma e outra construção, trazendo para a discussão
o conceito de inclinação da reta, de uma maneira intuitiva.
Na Atividade 2, a primeira tarefa é construir um quadrado e medir seus ângulos
internos e o comprimento de seus lados. É solicitado ao estudante que observe a medida
dos ângulos internos do quadrado e que constate que são todas iguais a 90º. A tarefa
seguinte é que se construa dois outros quadrados: o primeiro com a medida de lado maior e
o outro com a medida de lado menor, em relação ao quadrado desenhado inicialmente.
Pede-se, novamente, que o estudante meça os ângulos internos e o comprimento dos lados.
A reflexão seguinte é se a medida dos ângulos internos muda quando se altera o
comprimento dos lados do quadrado. O estudante deve chegar à conclusão de que os
ângulos continuam iguais a 90º. O professor pode interferir neste momento, levando a
turma a refletir sobre a medida dos lados de um ângulo qualquer: o que interfere na
mudança da medida de um ângulo? Aumentar (ou diminuir) a distância entre o vértice e os
pontos B e C assinalados, ou a distância entre os pontos que não são vértices do ângulo? A
construção dos quadrados deve ser como a da Figura 3, indicada a seguir.
Figura 3: Construção dos quadrados
Fonte – Dados da pesquisa
A Atividade 3 foi proposta com o objetivo de avaliar os efeitos pedagógicos do
trabalho docente proporcionado por um ambiente informatizado, além de fornecer dados
para uma análise qualitativa sobre as relações estabelecidas entre professor e aluno, neste
processo de ensino-aprendizagem.
O quadro-síntese apresentado abaixo – conhecido, também, como “Estruturação de
uma Sequência Didática” – tem o objetivo de auxiliar o professor no desenvolvimento e na
potencialização da atividade de ensino analisada.
Quadro 1: Estruturação de uma Sequência Didática
1.
2.
3.
4.
5.
Identificação do docente
Público-alvo
Objetivo
Pré-requisito(s)
Conteúdo(s) abordado(s)
6. Tempo estimado
Nome completo do professor
Estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental
Introduzir o conceito de ângulo.
Conceitos de ponto e semirreta; propriedades do quadrado.
Conceito de ângulo (abertura e giro); determinação da medida
de um ângulo.
2 (duas) horas-aula, num total de 100 minutos.
7. Recursos didáticos
Laboratório de Informática; software GeoGebra; estudo
dirigido.
8. Estratégias de ensino
- Organizar a turma em duplas de trabalho;
- Orientações iniciais sobre como desenvolver o trabalho;
- Monitorar as duplas de trabalho quanto ao desenvolvimento
das atividades, sempre que necessário.
O professor deve conhecer o software GeoGebra
(conhecimentos básicos). O estudo dirigido mostra o passo a
passo que os estudantes devem seguir, cabendo ao professor,
ao final da atividade, fazer a sistematização entre o conteúdo
estudado e a atividade proposta.
9. Avaliação
A avaliação deve conter elementos como:
- A experiência de trabalhar a Matemática por meio de um
recurso tecnológico, no laboratório de informática;
- O trabalho em dupla: empenho e responsabilidade de cada
um no grupo;
- Arquivo eletrônico contendo protocolo das atividades
desenvolvidas pelos alunos (Atividade 1 e Atividade 2);
- Relatório final.
Deve-se atentar à forma de avaliação, não se atendo somente
ao que os alunos registraram de “certo” e “errado”, mas a todo
o desenvolvimento da atividade, considerando o trabalho em
equipe, as dificuldades encontradas (por ser uma estratégia
pouco utilizada) e o conhecimento adquirido ao final.
10. Bibliografia
CASTRUCCI, GIOVANNI E GIOVANNI JR. A Conquista da
Matemática – 7º Ano. 2012
IMENES; LELLIS. Matemática – 7º Ano. 2010
KUSIAK, PRESTES, SCHMIDT, FRANZIN. A utilização do
software GeoGebra no ensino da geometria plana: uma
experiência
PIBID.
Disponível
em:
http://senid.upf.br/2012/anais/96196.pdf
Curso de GeoGebra – Apresentação do Programa. Vídeo
tutorial disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=9orPBR1TXo&index=1&list=PL8884F539CF7C4DE3
Como usar o GeoGebra – Parte 1. Vídeo tutorial disponível
em: https://www.youtube.com/watch?v=9grh4xL_T9
Fonte – Dados da pesquisa
Ao término da aplicação dessa atividade, é sugerido ao professor que faça uma aula
expositiva retomando todos os conceitos estudados, para que os alunos tenham esse
registro no caderno. Para tanto, o professor pode envolver os próprios alunos solicitando
que dêem ideias de como deveriam registrar os conceitos matemáticos estudados, tomando
como base o que foi desenvolvido no laboratório de informática.
4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através da pesquisa bibliográfica realizada, pretendeu-se estruturar uma sequência
didática com o intuito de auxiliar professores de matemática do 7º ano do Ensino
Fundamental a introduzirem o conceito de ângulo, por meio de um estudo dirigido,
utilizando a ferramenta interativa GeoGebra como recurso didático. Para atingir esse
objetivo, realizou-se levantamento bibliográfico acerca do tema investigado, onde se
apresentou uma breve descrição do software GeoGebra e discutiu-se sobre o uso das
Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) em sala de aula; além de um breve
histórico sobre o papel da geometria na escola básica e as dificuldades dos estudantes em
aprendê-la.
De acordo com o PCN (BRASIL, 1998) e em consonância com autores como
BENTO (2010) e AMÂNCIO (2013), a importância do estudo da geometria na escola
básica diz respeito à vasta compreensão pelo estudante do mundo que o rodeia, fazendo
com que o mesmo consiga representá-lo de maneira organizada e sistemática. Além disso,
esta temática ajuda o aprendiz a desenvolver o raciocínio lógico e interliga a Matemática a
outras áreas do conhecimento.
A partir dos estudos de Bento (2010) sobre as dificuldades dos estudantes na
aprendizagem da geometria, principalmente no entendimento dos conceitos formais e na
aplicação desses conceitos de maneira dinâmica (e não somente por repetições), constatouse que o software GeoGebra pode contribuir para o entendimento da geometria, pois
permite que o estudante visualize e experimente, através de simulações, os conceitos
geométricos.
O estudo dirigido foi estruturado em uma sequência didática com o objetivo de
orientar o professor sobre como desenvolver a atividade de ensino no laboratório de
informática; aponta os pré-requisitos que o estudante deve dominar para realizar a
atividade com desenvoltura; apresenta as estratégias didáticas a serem utilizadas pelo
professor durante a aula e, por fim, orienta esse profissional sobre como avaliar os efeitos
pedagógicos da aula; além de se constituir em um importante material didático de apoio e
orientação ao trabalho docente no ensino básico.
As estratégias de ensino que são sugeridas na sequência didática (como consta do
quadro-síntese), remetem a uma postura de professor orientador – aquele que deve auxiliar
os alunos na construção do conhecimento. A proposta é que o estudante construa o
conceito de ângulo e que o professor só interfira em momentos específicos, principalmente
quando demonstram dificuldades na utilização do software. Para isso, é necessário que o
professor tenha domínio sobre como explorar as ferramentas do GeoGebra.
A atividade final, dentro do roteiro elaborado, sugere uma avaliação diferenciada,
pois o professor deve levar em consideração a postura do aluno, o trabalho em equipe, e
não somente os acertos e erros registrados durante a execução do estudo dirigido, levandose em consideração não somente os conhecimentos matemáticos, mas, também, valores
como respeito, ajuda mútua e trabalho coletivo.
Sugere-se, numa investigação futura, analisar os efeitos pedagógicos da aplicação
desse estudo dirigido na sala de aula de matemática. O docente poderá, ainda, montar um
portfólio com todas as etapas vivenciadas pelos alunos ao longo do desenvolvimento da
atividade.
O trabalho realizado fornece ao professor um modelo de estudo dirigido,
estruturado em uma sequência didática, oportunizando, a esse profissional, autonomia para
criar suas próprias atividades, apoiado na TIC como ferramenta em potencial no processo
de ensino-aprendizagem da Matemática.
5 – REFERÊNCIAS
ALMEIDA, Adilson de. A exploração da tecnologia informática, como recurso
pedagógico, em um curso de formação de professores de matemática para a educação
básica. 2012. (Dissertação de Mestrado).
AMÂNCIO, Roselene Alves. O desenvolvimento do pensamento geométrico:
Trabalhando polígonos, especialmente quadriláteros. 2013. (Dissertação de Mestrado).
BENTO, Humberto Alves. O desenvolvimento do pensamento geométrico com a
construção de figuras geométricas planas utilizando o software: Geogebra. 2010.
(Dissertação de Mestrado).
BORBA, Marcelo de Carvalho. PENTEADO, Miriam. Informática e educação
matemática. 3ª ed. rev. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. 99 p. (Tendências em educação
matemática 2). ISBN 8575360219.
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais.
Brasília: MEC/SEF, 1998.
FIORENTINI, Dario. LORENZATO, Sergio. Investigação em Educação Matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção
Formação de Professores).
GIOVANNI, José Rui; CASTRUCCI, Benedicto; GIOVANNI JR., José Rui. A Conquista
da Matemática: 7º ano. Ed. renovada. São Paulo: FTD, 2012.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática: 7º Ano. São Paulo: Moderna,
2010.
KUSIAK, Rita Salete; PRESTES, Rosangela Ferreira; SCHIMIDT, Daniela; FRANZIN,
Rozelaine de Fátima. A utilização do software GeoGebra no ensino de geometria
plana: uma experiência PIBID. Artigo publicado nos Anais do 1º Seminário Nacional de
Educação Digital, Passo Fundo, Brasil, abril de 2012. Disponível em:
<http://senid.upf.br/2012/anais/96196.pdf>. Acesso em: 10 mar 2015.
Site oficial do GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org>. Acesso realizado
em: 10 mar 2015.
APÊNDICE – Estudo Dirigido: Construindo ângulos no GeoGebra
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
ETAPA: 1ª
DATA: /
/
PROFESSOR(A): __________________ ANO: 7º TURMA: _____ TURNO: ______
ALUNO(A): ______________________________________________ Nº: ___________
ALUNO(A): ______________________________________________ Nº: ___________
Caro estudante,
O objetivo desse estudo dirigido é trabalhar o conceito e a determinação da medida
de ângulos, por meio de um tutorial, com auxílio do GeoGebra.
Para a organização do trabalho, crie uma pasta com o nome da dupla e salve todas
as atividades de acordo com a sua numeração (Atividade 1 e Atividade 2). Ao término da
aula, envie o material construído para o e-mail de vocês, pois ele comporá o trabalho final
a ser entregue.
Em todas as atividades dessa apostila, você encontrará espaço suficiente para
registrar as suas respostas. Esta apostila deverá ser entregue, com todas as atividades
desenvolvidas, no dia _____/_____/_____. Há também um espaço reservado para a
colagem das construções geométricas.
Como atividade final, cada aluno, individualmente, deverá produzir um texto
dissertativo relatando sobre suas experiências vivenciadas nas aulas desenvolvidas no
laboratório de informática. A elaboração dessa atividade será detalhada na Atividade 3.
O preenchimento dessa apostila se dará mediante as construções geométricas
sugeridas em cada atividade. Em seguida, vocês deverão responder as perguntas
enunciadas, encaminhando todas essas construções para o e-mail, e imprimindo cada uma
delas para colarem no espaço destinado à “colagem da construção”.
Todas as perguntas deverão ser respondidas, em sequência, utilizando caneta da cor
azul ou preta. Questões respondidas à lápis não serão consideradas.
Ao final de todas as aulas serão recolhidos os protocolos para avaliação. Portanto,
faça o seu trabalho com dedicação e compromisso, pois vocês serão avaliados pelos
registros produzidos e pela conduta no laboratório de informática.
Este estudo dirigido (tutorial) será desenvolvido pelas duplas, definidas
previamente pelo professor. Cada dupla receberá apenas 1(uma) apostila.
Lembrem-se: o ambiente computacional é interativo e fascinante, mas conversas e
brincadeiras poderão prejudicar sua aprendizagem e o andamento do trabalho.
Bom trabalho e se deixem levar pelo mundo maravilhoso da geometria!
Nome do(a) professor(a).
O software GeoGebra é um programa disponível gratuitamente pela internet que trabalha a
álgebra e a geometria simultaneamente. Você pode baixar o software através do link:
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR
Para iniciarmos nosso trabalho precisamos conhecer um pouco mais sobre o
programa.
 Janelas: o software possui duas janelas: a algébrica e a de visualização (ou de
construção).

Barra de Ferramentas: em nosso trabalho será útil para salvarmos as construções
geométricas e para exibir/ocultar os eixos e a malha. Portanto, usaremos a
ferramenta denominada “ARQUIVO” para salvar e a ferramenta “EXIBIR” para
configurar os eixos e a malha.

Barra de Comandos: o programa possui onze ferramentas com opções
diferenciadas de construção. Posicionando o mouse sobre cada ferramenta podemos
ler seu nome e uma breve descrição da sua função. Cada ferramenta apresenta, em
seu canto inferior direito, um pequeno triângulo invertido . Ao clicar sobre ele,
uma cascata com outras ferramentas ligadas àquela inicial surgirá.
Para darmos início ao nosso trabalho, devemos ocultar os eixos coordenados e exibir a
malha quadriculada, que servirá de auxílio para as nossas construções. Portanto, clique no
botão direito do mouse sobre a janela de visualização e selecione “EIXOS”. Da mesma
forma, selecione a opção “MALHA”. Após esses procedimentos, a tela deverá ficar
conforme a imagem abaixo.
ATIVIDADE 1: Vamos construir um ângulo? Para isso, utilize a terceira ferramenta e
selecione a opção “SEMIRRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS”.
Clique em dois pontos distintos quaisquer, na janela de visualização. Aparecerá
uma semirreta com os pontos A e B. O ponto A é chamado de ponto de origem do ângulo
ou, ainda, vértice do ângulo. Utilizando a mesma opção “SEMIRRETA DEFINIDA POR
DOIS PONTOS”, clique sobre o ponto A. Em seguida, clique em outro ponto qualquer na
janela de construção, distinto do ponto B. Surgirá, então, outra semirreta que contém o
ponto de origem A e o ponto C. Pronto! Vocês acabaram de construir um ângulo. Vamos,
então determinar a medida desse ângulo (interno)? Para isso, selecione no oitavo ícone a
ferramenta “ÂNGULO”.
Clique nos três pontos determinados (B, A e C), nessa ordem. Cuide para que o ponto de
origem A seja o segundo ponto a ser selecionado, no sentido anti-horário.
COLAGEM DA CONSTRUÇÃO
Indique a medida do ângulo determinado pelos pontos A, B e C: _______________
Movimente o ponto B. Para isso, utilize o primeiro ícone e selecione a opção “MOVER”.
COLAGEM DA CONSTRUÇÃO
Observe que a medida do ângulo BÂC alterou. Qual é a sua nova medida? Como vocês
explicam a alteração na medida do ângulo?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Com base na construção realizada, reflita sobre a seguinte questão: o que é necessário para
determinar a medida de um ângulo? Registre suas ideias.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Na barra de ferramenta “ARQUIVO”, acesse a opção “GRAVAR COMO...” e salve
a sua construção como Atividade 1.
Ainda na barra de ferramentas, após salvar a construção, utilize a ferramenta
“ARQUIVO” e acesse a opção “NOVO” para iniciar a Atividade 2.
ATIVIDADE 2: Nesta atividade, vamos trabalhar o quadrado. Esse polígono vai nos
ajudar a entender quais elementos interferem na medida de um ângulo. Inicialmente,
selecione no quinto ícone a opção “POLÍGONO REGULAR”.
Clique em dois pontos distintos sobre a malha quadriculada, garantindo entre esses dois
pontos (A e B) uma distância de 3 “quadradinhos”. Ao determinarmos esses dois pontos
aparecerá na janela de construção uma outra janela, para indicarmos quantos vértices terá
esse polígono. Como vamos construir um quadrado, devemos digitar o algarismo 4, por se
tratar de um polígono formado por quatro vértices.
Acesse no oitavo ícone a opção “ÂNGULO” e clique no interior do quadrado para que
sejam calculadas as medidas dos ângulos internos desse polígono.
O que vocês constataram em relação à medida dos quatro ângulos internos do quadrado?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Utilizando o oitavo ícone, acesse a opção “DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU
PERÍMETRO” e, em seguida, clique sobre cada um dos lados do quadrado.
Utilizando as mesmas opções de construções construa, ao lado do quadrado já desenhado,
dois outros quadrados: o primeiro com a medida de lado maior e o outro com a medida de
lado menor, em relação ao quadrado desenhado inicialmente. Indique a medida dos
ângulos internos e dos lados dos dois novos quadrados construídos.
COLAGEM DA CONSTRUÇÃO
Compare as medidas dos lados dos três quadrados construídos. Em seguida, compare as
medidas dos seus ângulos. A partir de suas observações, responda: a medida de um ângulo
é influenciada pela medida de seus lados? Registre suas ideias.
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A partir da construção sugerido na Atividade 1 e dos quadrados desenhados na Atividade
2, responda a seguinte questão: na sua opinião, o que interfere na medida de um ângulo?
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Grave as construções realizadas como Atividade 2.
ATIVIDADE 3: Finalizar uma atividade em um ambiente extraclasse exige dedicação,
compromisso e responsabilidade. É importante a sua avaliação quanto ao seu
comportamento e empenho nesse trabalho, bem como da proposta deste estudo dirigido.
Portanto, redija um pequeno texto relatando sua percepção sobre:
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A experiência de trabalhar a Matemática por meio de um recurso tecnológico,
durante a aula.
O trabalho em dupla: empenho e responsabilidade de cada um do grupo.
Elaboração desse tutorial (estudo dirigido).
As intervenções do professor.
Outros aspectos que consideram importantes.
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