Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
01
Considere a figura:
a) df = 42 + 42
df = 4 2 cm
b) dc = 42 + 42 + 42
dc = 4 3 cm
c) At = 6 • 42
At = 96 cm2
(6 faces quadradas)
d) V = 4 • 4 • 4
V = 64 cm3
Respostas:
a) 4 2 cm
b) 4 3 cm
c) 96 cm2
d) 64 cm3
1
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
02
Sendo x o comprimento da aresta do cubo, e lembrando que são 12
arestas no total, temos:
12x = 60
x = 5 cm
Portanto, o volume será:
V = 53
V = 125 cm3
Resposta: A
2
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
03
Sendo x o valor do comprimento da aresta do cubo, e sendo AC a
hipotenusa do triângulo de catetos x e 4x, temos:
( 3 17 )2 = x2 + (4x)2
9 • 17 = 17x2
x = 3 cm
Portanto, o volume do cubo será:
V = 33 = 27 cm3
Resposta: E
3
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04
Montando o cubo novamente, as faces A, C, E e F serão adjacentes à
face B, sendo D a face oposta à face B.
Resposta: C
4
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05
O volume do paralelepípedo resultante será a soma dos volumes dos
cubos fundidos, portanto:
8 • 8 • x = 103 + 63
64x = 1 000 + 216
x = 19
Resposta: D
5
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
06
Sendo n o número de cubos que caberá dentro do paralelepípedo, temos:
Vparalelepipedo = n • Vcubo
10 • 8 • 6 = n • 23
n = 60 cubos
Resposta: E
6
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
07
Observe a figura:
Seja θ o ângulo formado entre a diagonal do cubo e uma das arestas e ℓ a
medida de uma aresta do cubo, temos:
sen θ =
2
3
⇒ sen θ =
2
3
⋅
3
3
=
6
3
Resposta: C
7
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08
Seja ℓ a medida do lado de um cubo ABCDEFGH.
EB = ℓ 2
Área da seção EBCH = EB • BC
16 2 = = ℓ 2 • ℓ
ℓ = 4 cm
Do triângulo ABE, seja d a distância do vértice A ao plano EBCH; assim:
d• 4 2 =4•4
d = 2 2 cm
Resposta: C
8
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
09
Observe a figura:
O volume do sólido será igual ao volume do cubo de lado 4 cm menos o
volume do paralelepípedo de dimensões x cm, (4 – x) cm e 4 cm.
V = 43 – x • (4 – x) • 4
V = 4x2 + 16x + 64
Trata-se de uma parábola com concavidade para cima, e o menor valor
que V atingirá é equivalente ao y do vértice da parábola, portanto:
− ( −768 )
−∆
=
4a
4⋅4
Vmin = 48 cm3
Vmin =
Resposta: C
9
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10
Para o empilhamento poder ser feito indefinidamente, a soma das
medidas das arestas dos cubos empilhados deverá ser equivalente à
altura h da sala, portanto:
h=1+
1
h=
1−
h=
1
1
1

+
+ ...  PG infinita de razão q = 
3
9
3

1
3
3
2
Resposta: E
10
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11
Sejam a1 e a2 as arestas dos cubos C1 e C2, respectivamente, e a2 3 a
medida da diagonal do cubo C2.
(
a2 3
V1
a
= 1 =
V2
a2
a32
V1
=3 3
V2
)
3
Resposta: A
11
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12
a) O plano do nível da água, na
iminência de derramar, é
paralelo ao plano ao qual está
apoiado o cubo. Por esse
motivo, podemos marcar outro
ângulo θ na figura.
Como o cubo inicialmente estava cheio até a altura
3
α , podemos
4
concluir que o volume da parte vazia é:
1
α3
Vvazio =
• α • α2 =
4
4
Esse volume deverá ser igual ao do prisma de base triangular de
dimensões x e α, e altura α.
α
α3 x ⋅ α
=
⇒ x=
4
2
2
α
x
1
Portanto: tg θ =
= 2 =
α
α
2
b) tg θ =
1
4
⇒
1
sen α
=
4
cos α
⇒ cos θ = 4 • sen θ
(I)
Elevando ambos os membros de (I) ao quadrado:
cos2 θ = 16 • sen2 θ ⇒ 1 – sen2 θ = 16 • sen2 θ ⇒
1
⇒ 1 = 17 sen2 θ ⇒ sen2 θ =
(II)
17
Ainda: cos 2θ – sen 2θ = cos2 θ – sen2 θ – 2 • sen θ • cos θ
Substituindo (I) em (II)
cos 2θ – sen 2θ = 16 • sen2 θ – sen2 θ – 2 • sen θ • 4 sen θ
cos 2θ – sen 2θ = 7sen2 θ
De (II), podemos concluir:
7
cos 2θ – sen 2θ =
17
Respostas: a)
(III)
1
7
; b)
2
17
12
Matemática 2 • Unidade III • Geometria espacial • Série 5 - Cubo
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Considere as figuras:
Sendo x o valor da aresta desconhecida, e dado que os volumes dos
sólidos são iguais, vem:
a3 = x • a • 0,75a
4a
x=
3
At cubo = 6a2
2
4a
 4a
 37a
At paralelepípedo = 2 • 
⋅a +
⋅ 0,75a + a ⋅ 0,75a  =
6
3
 3

Portanto:
At paralelepípedo – At cubo =
37a2
a2
– 6a2 =
6
6
Resposta: A
13