PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2012 – 1a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÕES DE 01 A 08
Instrução: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados
e marque o resultado na Folha de Respostas.
Questão 01.
Um reservatório em forma de cilindro circular reto de raio da base r = 0,80m e altura H metros tem
capacidade para 1984 litros de combustível e, para enchê-lo, são utilizados álcool e gasolina na proporção
de um litro de álcool para quatro litros de gasolina.
O gráfico – que h indica, em cm, a altura do nível de combustível contido no reservatório – descreve a
variação desse nível durante um período de 10 horas.
Considerando-se π = 3,1 e que não houve entrada e saída simultâneas de combustível do reservatório,
pode-se afirmar:
(01) O reservatório, quando cheio, contém 396,8 litros de álcool.
(02) O reservatório estava cheio quando t = 6.
(04) Em t = 0, havia no reservatório 600 litros de combustível.
(08) Em t = 2, o combustível que havia no reservatório ocupava menos da metade de sua capacidade.
(16) No intervalo de tempo entre t = 6 e t = 9, houve um consumo médio de combustível de 198,4 litros
por hora.
(32) No intervalo de tempo entre t = 4 e t =6, houve crescimento do consumo de combustível.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
a 1
a 1
a
1
= ⇒ = ⇒
= ⇒ a = 396,8
g 4
c 5
1984 5
(02) FALSA.
Cálculo da altura do recipiente:
80 2 × 3,1 × h = 1984000 ⇒ 19840h = 1984000 ⇒ h = 100cm
Quando t = 6 horas, o nível do combustível era de 70 cm, logo o recipiente não estava cheio.
(04) FALSA.
Em t = 0, havia no tanque: 80 2 × 3,1 × 30 = 595200cm3 ⇒ 595,200dm3 = 595,2l .
1
(08) VERDADEIRA.
Analisando o gráfico percebe-se que para t = 2, o nível do combustível está abaixo de 50cm.
(16) VERDADEIRA.
80 2 × 3,1 × (70 − 40)
= 19840 × 10 = 198400cm3 = 198,4dm 3 = 198,4l .
3
(32) FALSA.
Pela análise do gráfico conclui-se que no intervalo de tempo entre t = 4 e t = 6 houve entrada de
combustível.
Questão 02.
Considere-se a sequência numérica A = {1, 3,..., an , ...} – tal que, para valores inteiros positivos de n,
n (n + 1)
an =
– e a progressão aritmética B = {1, 4, ...., 28} .
2
Sobre essas sequências, é correto afirmar:
(01) A sequência A é uma progressão geométrica.
(02) A sequência B tem dez termos.
(04) Existem apenas três termos comuns às sequências.
(08) Os termos x e y da progressão geométrica crescente {x, a 3 , y, b 9 − 1} são tais que x + y = 15.
(16) Os termos da sequência C = (cn ) , em que cn = a2 n − 2an , são quadrados perfeitos.
(32) Utilizando-se algarismos do subconjunto {a1 , a 2 , a 3 } da sequência A, podem-se formar 12 números
naturais primos, sem algarismos repetidos.
(64) Existe um par de elementos da sequência B que pode ser excluído, sem alterar a sua média
aritmética.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
n(n + 1)
Sendo an =
, n ∈ Z +* , a lei de formação da sequência A = {1, 3,..., an , ...} , então,
2
3 6
A = {1, 3, 6, 10, 15, 21,...} que não é uma progressão geométrica  ≠  .
1 3
(02) VERDADEIRA.
Sendo a sequência B = {1, 4, ...., 28} uma progressão aritmética,
1 + (n − 1) × 3 = 28 ⇒ (n − 1) × 3 = 27 ⇒ (n − 1) = 9 ⇒ n = 10 .
(04) VERDADEIRA.
Sendo A = {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...} e B = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28} , então os únicos elementos
comuns às duas sequências são: 1, 10 e 28.
(08) VERDADEIRA.
Na progressão geométrica {x, a 3 , y, b 9 − 1} = {x, 6, y, 24} , 24x=6y ⇒ y =4x.
Sendo x + y = 15 ⇒ x + 4x = 15 ⇒ x = 3 e y = 12.
(16) VERDADEIRA.
A sequência C = (c n ) , tal que c n = a 2n − 2a n ⇒ c1 = 3 − 2 = 1; c 2 = 10 − 6 = 4; c 3 = 21 − 12 = 9;
c 4 = 36 − 20 = 16,.... ⇒ C = {1, 4, 9, 16,....} .
(32) FALSA.
Com os algarismos da sequência {a1 , a 2 , a 3 } = {1, 3, 6} podem-se formar apenas 3! = 6 números naturais
diferentes.
2
(64) VERDADEIRA.
(1 + 28) × 10
S10
145
2
A média aritmética dos elementos da sequência B é:
=
=
= 14,5 .
10
10
10
Na condição da exclusão de 2 elementos e a média aritmética continuar sendo 14,5, a soma de todos os
elementos será 8 × 14,5 = 116 .
Com a exclusão dos dois elementos a soma de todos os elementos iniciais ficará diminuída de
145 – 116 = 29 que é sempre igual à soma de dois elementos eqüidistantes dos extremos da sequência.
Questão 03
Desejando pagar um empréstimo de R$10 000,00 em cinco prestações mensais consecutivas, um cliente
de uma instituição financeira tem duas opções distintas.
Opção 1 – Cada prestação é constituída por 20% do valor total do empréstimo acrescido de 5% do saldo
devedor, determinado pela expressão Dn = 2000(6 − n ), n = 1, ..., 5 .
Opção 2 – Cada prestação é constituída por 50% do saldo devedor – exceto a última, em que o saldo
deve ser pago integralmente – acrescido de 5% de juros, calculados sobre esse saldo devedor,
10000
determinado pela expressão S n = n −1 , n = 1,2,..,5 .
2
RESOLUÇÃO:
OPÇÃO 1:
p n = 0,20V + 0,05D n ⇒ p n = 0,20V + 0,05 × 2000(6 − n ) ⇒ p n = 0,20V + 100(6 − n ) ⇒
p n = 0,20 × 10000 + 100(6 − n ) ⇒ p n = 2000 + 100(6 − n )
p n = 2000 + 100(6 − n )
n
1
p1 = 2000 + 500 = 2500
2
p 2 = 2000 + 400 = 2400
3
p = 2000 + 300 = 2300
4
p 4 = 2000 + 200 = 2200
3
5
p 5 = 2000 + 100 = 2100
5
∑ pn
11.500
n =1
OPÇÃO 2:
p n = 0,5S n + 0,05Sn , com S n =
10000
2 n −1
, n = 1,2,..,5
n
pn
1
p1 =
2
p2 =
3
p3 =
4
p4 =
5
p5 =
0,5 × 10000
20
0,5 × 10000
21
0,5 × 10000
22
+
+
+
0,5 ×10000
2
10000
2
4
3
+
0,05 × 10000
20
0,05 × 10000
21
0,05 × 10000
22
+
= 5000 + 500 = 5500
= 2500 + 250 = 2750
= 1250 + 125 = 1375
0,05 ×10000
23
0,05 × 10000
24
= 625 + 62,50 = 687,50
= 625 + 31,25 = 656,25
5
∑ pn
10.968,75
n =1
(01) VERDADEIRA.
3
2400
24
=
= 24%
10000 100
(02) FALSA.
p1 + p 2 + p 3 = 7.200 reais .
(04) VERDADEIRA.
500 = 125 × 4 = 125 × 2 2 = 125 × 23−1 ; 250 = 125 × 2 = 125 × 23−2 ; 125 = 125 × 1 = 125 × 2 0 = 125 × 23−3 ;
62,50 = 125 × 2 −1 = 125 × 23−4 ; 31,25 = 125 × 2 −2 = 125 × 23−5
(08) VERDADEIRA.
(16) VERDADEIRA.
T1 = 1500 e T2 = 968,75 ⇒ T1 − T2 > 0 .
(32) FALSA.
M = 10.000 + 10.000×0,05×5= 10.000 + 2.500 = 12.500 > 11.500
Questão 04
Considerem-se as funções
→
 25

e g : R → − ,+∞  definidas por f(x) = 1 − 2x e
8


g( x ) = 2x 2 − 7 x + 3 .
Com base no estudo de funções reais, pode-se afirmar:
(01) VERDADEIRA.
( ) ( ) − 7( 2 ) + 3 = 7 − 7
Sendo g 2 = 2 2
2
(
)
2 = 71− 2 e
1
1


f  2 −  = 1 − 2 2 −  = 2 − 2 2 = 2 1 − 2 ⇒
2
2



(
)
( )
g 2
7(1 − 2 ) 7
=
= ∈Q .
1  2(1 − 2 ) 2

f 2 − 
2

(02) VERDADEIRA.
 25

Sendo g : R → − ,+∞  e g(x) = 2x² – 7x + 3 o valor mínimo de g(x) é:
 8

25
− (b 2 − 4ac) − (49 − 24)
 25

=
=−
⇒ o conjunto imagem de g(x) é I m = − ,+∞  que é também o
4a
8
8
8


seu contra-domínio.
y=
4
(04) FALSA.
A função g(x) = 2x² – 7x + 3 tem vértice no ponto
 7 25 
 , −  , então função h(x), representada ao lado, e
8 
4
cujo gráfico é simétrico do gráfico de g(x) em relação ao
 7 25 
eixo Oy, tem vértice no ponto  − , −  , logo as duas
8 
 4
funções têm o mesmo valor mínimo.
(08) FALSA.
7
5
25
7
7
f   = 1 − 2  = 1 − = − ≠ −
2
2
8
4
4
(16) VERDADEIRA.
g(f(x − 1) = g(1 − 2x + 2) = g(3 − 2x) = 2(3 − 2x) 2 − 7(3 − 2x) + 3 = 8x 2 − 10x ⇒
10 5
que a soma das raízes de g(f(x − 1) é igual a
= .
16 4
(32) VERDADEIRA.
( )
x
( )
h(x) = 4f (x) = 41− 2x = 4 × 4− 2x = 4 × 4− 2 é uma função decrescente porque 0< 4 −2 <1.
1− 2x
Para determinar a inversa de h(x) = 4
,faça-se h(y) = x:
1 1
1
41−2y = x ⇒ 1 − 2y = log 4 x ⇒ 2y = 1 − log 4 x ⇒ y = − log 4 x ⇒ y = − log 4 x ,
2 2
2
com x > 0.
Questão 05.
Uma rede consiste de um número finito de nós
conectados por segmentos orientados, chamados ramos. O
estudo do fluxo através de uma rede baseia-se no chamado
“princípio da conservação do fluxo” que afirma: em cada nó, o
fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída.
A figura descreve fluxos não negativos, medidos em
litros por minuto, através de parte de uma rede de encanamento
em que nós estão representados pelos pontos A, B e C.
Aplicando-se o princípio da conservação do fluxo, é
possível obter-se um sistema de equações lineares
x + z = 20

S = 2x + y = 20
– no qual cada equação representa a conservação do fluxo em cada nó – cuja
− 2x + 2y + z = 4

 1 0 1


matriz dos coeficientes é M =  2 1 0  .
 − 2 2 1


Com base nessas informações e nos conhecimentos sobre matrizes e sistemas lineares, é correto afirmar:
5
(01) O sistema s pode ser representado pela equação matricial XT = D , em que X = (x
y z) ,
D = (20 20 4 ) e T é a transposta de M.
(02) Se o terno ordenado (a b c ) é solução do sistema S, então a = b – c.
(04) sendo k = 2 e , a matriz identidade de ordem 3, o determinante da matriz M – kI é igual a 1.
(08) A soma dos termos da segunda linha da matriz inversa de M é igual a – 3.
(16) É impossível inverter-se, na parte da rede, representada na figura, apenas a orientação do fluxo
indicado por 2y.
(32) O menor fluxo através de um ramo da parte de rede, representada na figura, é de quatro litros por
minuto.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
t
t
x + z = 20
 1 0 1  x   20    1 0 1  x    20 

     
    

S : 2x + y = 20
⇒ S :  2 1 0  y  =  20  ⇒   2 1 0  y   =  20  ⇒
 − 2 2 1  z   4    − 2 2 1  z    4 
− 2x + 2y + z = 4


     
    
x
 
 y
z
 
t
t
t
 1 0 1   20 

  
 2 1 0  =  20  ⇒ (x
 − 2 2 1  4 

  
y x ) × M t = (20 20 4 ) ⇒ XT = D .
(02) FALSA.
x + z = 20
x + z = 20
x = 8
x + z = 20
7x = 56 


S : 2x + y = 20
⇒ 4x + 2y = 40
⇒
⇒
⇒ 16 + y = 20 ⇒ y = 4 ⇒
− 2x + 2y + z = 4 2x − 2y − z = −4 6x − z = 36 x = 8
8 + z = 20 ⇒ z = 12



(a
b c ) = (8 4 12) ⇒ b − c = 4 − 12 = −8 ≠ a .
(04) VERDADEIRA.
−1
M − kI = 2
−2
0
1
−1
0 = −1 + 2 − 2 = 1 .
2
−1
(08) FALSA.
 a b c  1 0 1   1 0 0   a + 2b − 2c


 
 
 d e f  2 1 0  =  0 1 0  ⇒  d + 2e − 2f
 g h i  − 2 2 1   0 0 1   g + 2h − 2i


 
 
d + 2e − 2f = 0  1 2 − 2 0 
1




⇒  0 1 2 1 ; (L1 − L 3 ) ⇒  0
e + 2f = 1
1 0 1 0
0
d + f = 0




2

f = 7
d + 2e − 2f = 0 
4 3


⇒ e = 1 − =
⇒f +e+d=
e + 2f = 1
7 7
7f = 2


6 4
2

d = − 7 + 7 = − 7

b + 2c a + c   1 0 0 
 

e + 2f d + f  =  0 1 0  ⇒
h + 2i g + i   0 0 1 
2 − 2 0
1 2 − 2 0



1 2 1 ; (2L 2 − L 3 ) ⇒  0 1 2 1  ⇒
0 0 7 2
2 − 3 0 


3
7
6
(16) VERDADEIRA.
No nó A o fluxo de entrada e o fluxo de saída são
iguais a 20.
No nó B o fluxo de entrada e o fluxo de saída são
iguais a 20.
Porém no nó C o fluxo de entrada passou a ser 28
e o de saída 12.
Então na parte da rede representada na figura é
impossível inverter-se, apenas o fluxo
representado por 2y (=8).
(32) VERDADEIRA.
Questão 06.
Considerando-se a circunferência C1 e a reta r de equações (x + 1)2 + (y − 2)2 = 16 e 3x + 4y + 10 = 0,
respectivamente, pode-se afirmar:
(01) Uma equação de uma reta paralela a r e tangente a C1 é 3x + 4y – 20 = 0.
(02) A reta de equação 4x – 3y + 10 = 0 passa pelo centro de C1 perpendicularmente a r.
3
(04) A reta r faz com o eixo Oy um ângulo θ tal que tgθ = .
4
(08) A ordenada de um ponto P(–1, a), interior `C1, pertence ao intervalo ] –2, 6[.
(16) Todo quadrado inscrito em C1 tem área igual a 32u.a.
(32) Se a circunferência C2 tem raio 3 2 u.c. e é concêntrica à circunferência C1, então a área da coroa
circular determinada por C1 e C2 tem 7u.a.
(64) Um cubo de base circunscrita a C1 tem volume 512u.v.
RESOLUÇÃO:
A circunferência de equação (x + 1)2 + (y − 2)2 = 16 tem centro no ponto O = (− 1, 2) e raio 4.
(01) FALSA.
− 3 + 8 − 20 15
d=
=
= 3 < 4 é a distância da reta 3x + 4y – 20 = 0 ao centro da circunferência
5
9 + 16
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 16 . E sendo essa distância menor que o raio, a reta em questão é secante à
circunferência.
(02) VERDADEIRA.
Substituindo na equação 4x – 3y + 10 = 0, x e y pelas ordenadas do ponto
O = (− 1, 2) , tem-se: – 4 – 6 + 10 = 0, então a reta passa por C1.
3
4
O coeficiente angular da reta r: 3x + 4y + 10 = 0 é tgα = − e o da reta 4x – 3y + 10 = 0 é tgβ = ,
3
4
3 4
então tgα × tgβ = − × = −1 , logo as retas são perpendiculares.
4 3
7
(04) FALSA.
3
10
r: 3x + 4y +10 = 0 ⇒ y = − x −
⇒
4
4
3
3
tg(180° − α) = − ⇒ tgα = ⇒
4
4
No triângulo retângulo ABC, AC = 3x e AB = 4x, com x
∈ R+
4
Assim, de acordo com a figura ao lado, tgθ =
3
(08) VERDADEIRA.
Se um ponto é interior a uma circunferência a sua distância ao centro é
menor que a medida do raio.
Considerando a distância entre os pontos O = (− 1, 2) e
P = (− 1, a ) pertencente à reta x:
a − 2 < 4 ⇒ −4 < a − 2 < 4 ⇒ −2 < a < 6
(16) VERDADEIRA.
Todo quadrado inscrito numa circunferência tem como diagonal um dos
diâmetro da circunferência.
Na figura ao lado, a diagonal AC do quadrado inscrito tem como
medida é 2r = 8, então,
l 2 =8⇒l=
8 2
= 4 2 ⇒ SABCD = 4 2
2
( )
2
= 32 u.a.
(32) FALSA.
A área da coroa pintada de azul é igual a:
2
S =  3 2 − 4 2  π = (18 − 16)π = 2π u. a.


( )
64) VERDADEIRA.
A medida do lado do quadrado circunscrito é igual à medida do
diâmetro, 8.
Se este quadrado é base de um cubo, então o volume deste cubo é
83 = 512 u.v.
8
Questão 07
Com base nos conhecimentos de geometria plana, é correto afirmar:
(01) Se os lados de um triângulo medem 8cm, 11cm e xcm, então 3 < x < 19.
(02) O cosseno do maior ângulo interno de um triângulo cujos lados medem 6cm, 8cm e 2 37 cm é
1
igual a − .
2
(04) Se o ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12cm, então, em 40 minutos, sua
extremidade percorre mais que 30cm.
 3 1
(08) Se x pertence ao intervalo − , −  , então existe um ângulo θ tal que sen θ = 2 + 5x.
 5 5
(16) Para os ângulos α e β, indicados na figura, −
dois quadrados congruentes com um lado comum
− tem-se sen (α + β ) =
3 5
10
RESOLUÇÃO:
(01)VERDADEIRA.
Em todo triângulo a medida de um de seus lados é sempre maior que o módulo da diferença dos
outros dois lados e menor que a soma desses lados.
Então se os lados de um triângulo medem 11cm, 8cm e xcm, 11 − 8 < x < 11 + 8 ⇒ 3 < x < 19 .
(02) VERDADEIRA.
Aplicando a Lei dos cossenos em relação ao maior lado:
1
= 36 + 64 − 2 × 6 × 8 × cos α ⇒ 148 = 100 − 96 cosα ⇒ 96 cosα = −48 ⇒ cosα = − .
2
(04) VERDADEIRA.
O ponteiro dos minutos a cada hora completa uma volta, então:
40
x
2
x
=
⇒ =
⇒ x = 16π ≅ 50,24cm .
60 2 × 12π
3 24π
(08) VERDADEIRA.
3
1
Se senθ = 2 + 5x , então − 1 ≤ 2 + 5x ≤ 1 ⇒ −3 ≤ 5x ≤ −1 ⇒ − ≤ x ≤ − ⇒
5
5
3
1


x ∈ − , −  .
5
 5
(16) FALSA.
a2
O triângulo BCD (metade do quadrado) tem área
.
2
Os triângulos ABD e FBE são semelhantes e
AD 1
a
= ⇒ AD = , logo a área de ABD é
EF 2
2
2
1 a
a
× ×a =
.
2 2
4
ABC formado pela reunião dos triângulos ABD e BDC.
a 2 a 2 3a 2
Assim área de ABC é S =
+
=
2
4
4
(2 37 )
2
9
BC = a 2 (medida da diagonal do quadrado de lado a) e AB =
SABC =
a2 +
a2 a 5
=
4
2
1
a 5
3a 2
3
3 10
×a 2 ×
× sen(α + β) =
⇒ sen(α + β) =
=
.
2
2
4
10
10
Questão 08
Turma
Homens
Mulheres
I
10
25
II
35
30
Um colégio prepara duas turmas para uma olimpíada cultural e as avalia, periodicamente, através de
provas simuladas, de desafios entre grupos competidores e de outros meios que estimulem a evolução
dos estudantes.
Considerando-se a distribuição do número de estudantes, por turma e gênero, dada na tabela, pode-se
afirmar:
(01) Transferindo-se 10 homens da Turma II para a Turma I, a razão entre o número de homens e de
mulheres será a mesma nas duas turmas.
(02) É possível redistribuir os estudantes das duas turmas de modo que cada turma passe a ter tantos
homens quanto mulheres.
(04) Para um debate, cada turma deve formar uma equipe com quatro de seus compoonentes, sendo
dois homens e duas mulheres, portanto a Turma I pode formar, no máximo, 13500 equipes distintas,
assim construídas.
(08) Sendo 9,0 e 6,0, respectivamente, a maior e a menor nota obtidas pelos homens da Turma I em
uma prova simulada, a média das notas de todos os homens dessa turma é maior que 7,5
(16) escolhendo-se, ao acaso, um estudante dessas turmas, a probabilidade de ser mulher ou da
Turma II é igual a 90%.
(32) Escolhendo-se, ao acaso e simultaneamente, um componente de cada turma, a probabilidade de
44
serem do mesmo gênero é igual a
.
91
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Turma
I
II
Homens
20
25
Mulheres
25
30
20 25
≠
25 30
(02) FALSA.
Turma
I
II
Homens
x
y
Mulheres
x
y
O total de alunos é 100, logo 2x + 2y = 100 ⇒ x + y = 50 que corresponde ao total de homens e ao
total de mulheres das duas turmas.
Então para que a afirmativa da questão pudesse ocorrer o número total de homens e de mulheres nas
duas turmas que estão sendo preparadas seria 50. O que não corresponde à realidade pois são ao todo
homens e 55 mulheres.
(04) VERDADEIRA.
n = C10, 2 × C 25, 2 =
10 × 9 25 × 24
×
= 45 × 300 = 13500 .
2 ×1
2 ×1
10
(08) FALSA.
Falsa, pois sendo 6 a menor nota e 9 a maior, a única coisa que podemos garantir é que a média será
um número entre 6 e 9. Nada além disso. Por exemplo se as outras oito notas fossem iguais a 7 a
média seria
6 + 9 + 8 × 7 71
=
= 7,1 que é menor que 7,5.
10
10
(16) VERDADEIRA.
Seja A o conjunto das mulheres das duas turmas e B o conjunto dos alunos da Turma II, então o
número n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = 55 + 65 – 30 = 90.
A probabilidade pedida é:
90
= 90% .
100
(32) VERDADEIRA.
HI HII
MI MII
10 35 2
×
=
35 65 13
25 30 30
×
=
35 65 91
2 30 14 + 30 44
+
=
=
13 91
91
91
Questão 09.
Sobre as idades dos amigos X e Y, afirma-se:
•
Há cinco anos, a idade de X era um número múltiplo de 4 e, de hoje a quatro anos, será um
número múltiplo de 5.
•
Há quatro anos, a idade de Y era um número múltiplo de 5 e , de hoje a cinco anos, será um
número múltiplo de 4.
•
Hoje essas idades variam entre 40 e 60 anos.
Sendo assim, determine, em anos, a diferença entre as idades atuais de X e Y.
RESOLUÇÃO:
Seja x a idade de X e y a idade de Y, sendo que x, y ∈ ]40, 60[.
DETERMINAÇÃO DO VALOR DE x.
•
Se (x – 5) é um múltiplo de 4, então x é um número ímpar.
•
Se (x + 4) é múltiplo de 5, e sabendo que x é ímpar, então o algarismo das unidades é 1. Logo
x só poderá ser 41 ou 51.
•
Ocorre que 51 – 5 = 46 não é múltiplo de 4.portanto x não é 51.
41 – 5 = 36 é múltiplo de 4 e 41 + 4 = 45 é múltiplo de 5.
Conclusão: x = 41
DETERMINAÇÃO DO VALOR DE y.
11
•
Se (y + 5) é um múltiplo de 4, então y é um número ímpar.
•
Se (x – 4) é múltiplo de 5, e sabendo que x é ímpar, o algarismo das unidades só pode ser 9.
Logo y só poderá ser 49 ou 59.
•
Ocorre que 49 – 4 = 45 é múltiplo de 5, mas, 49 + 5 = 54 não é múltiplo de 4.
59 – 4 = 55 é múltiplo de 5 e 59 + 5 = 64 é múltiplo de 4.
Conclusão: y = 59
RESPOSTA: A diferença entre as idades dos amigos é 18 anos.
Questão 10.
Na figura, os triângulos MNP e MNQ são
retângulos com hipotenusa comum MN, o
triângulo MNP é isósceles, e seus catetos medem
cinco unidades de comprimento.
Considerando tgα =
1
e a área de MNQ igual a x
3
unidades de área, determine o valor de 4x.
RESOLUÇÃO:
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MNP:
y = 25 + 25 = 50 = 5 2
No triângulo MNQ, sendo tgα =
1 NQ
=
⇒ NQ = w e MQ = 3w, w ∈ R + .
3 MQ
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MNQ:
9w 2 + w 2 = 50 ⇒ w 2 = 5 ⇒ w = 5 ⇒ MQ = 3 5 e NQ = 5 .
Sendo x unidades de área a medida da área de MNQ:
x=
3 5 × 5 15
 15 
=
⇒ 4x = 4   = 30 .
2
2
2
RESPOSTA: A medida de 4x é 30.
12